Cálculo Diferencial e Integral II: Definición de la integral definida

Introducción

Hemos revisado las sumas superiores e inferiores como una aproximación para el cálculo de áreas bajo una curva.

Integral de Riemann

Definición: Sea $\underline{S(f)} = Sup \lbrace \underline{S(f,p)} \text{| de todas las particiones P de [a,b]} \rbrace$

Y sea $\overline{S(f)} = Sup \lbrace \overline{S(f,p)} \text{| de todas las particiones P de [a,b]} \rbrace$

Entonces, la Integral de Riemman existe si $ \underline{S(f)} = \overline{S(f)} = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx$

Lo que nos propone la definición es, tomamos un conjunto de todas las particiones posibles, aunque la longitud de la partición sea muy pequeña sin ser cero. Realizamos el proceso de sumas, superior e inferior, como vimos en la sección anterior. De este nuevo conjunto de sumas superiores e inferiores, realizamos el siguiente proceso:

Tomamos el supremo de las sumas inferiores, es decir, la suma inferior cuyo resultado sea mayor de todo el conjunto de las sumas inferiores.

Por otro lado, tomamos el ínfimo de las sumas superiores, en otras palabras, la suma superior cuyo resultado sea el menor de todo el conjunto de sumas superiores.

Entonces, definimos la integral definida de Riemann cuando el ínfimo es igual al supremo.

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) dx = Sup \lbrace \underline{S(f,p)} \quad | \quad p \in P[a,b] \rbrace = inf \lbrace \overline{S(f,p)} \quad| \quad p \in P[a,b] \rbrace $$

En otra notación.

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \overline{S}(f) = \underline{S}(f) $$

En donde

$$ \overline{S}(f) = inf \lbrace \underline{S(f,p)} \quad | \quad p \in P[a,b] \rbrace $$

$$ \underline{S}(f) = Sup \lbrace \underline{S(f,p)} \quad | \quad p \in P[a,b] \rbrace $$

Teorema. Condición de Riemann

Si $f$ está definida en $[a,b]$ es Riemann integrable en $[a,b]$ si y solo si para todo $\epsilon > 0 $ existe una partición $P_\epsilon$ tal que

$$\overline{S}(f,P_\epsilon) – \underline{S}(f,P_\epsilon) < \epsilon$$

Dado que tenemos un si y solo si, hacemos la demostración en ambos sentidos.

Demostración a): f es integrable, por demostrar que $\overline{S}(f,P_\epsilon) – \underline{S}(f,P_\epsilon) < \epsilon$.

Entonces, dado $\epsilon >0$, existe una partición $P_\epsilon$ tal que

$$\overline{S}(f,P_\epsilon) < \overline{S}(f) + \epsilon$$

$$ – \underline{S}(f,P_\epsilon) < – \underline{S}(f) + \epsilon$$

Ahora, si sumamos las desigualdades

$$ \overline{S}(f,P_\epsilon) – \underline{S}(f,P_\epsilon) < \overline{S}(f) + \epsilon – \underline{S}(f) + \epsilon = 2 \epsilon$$

Demostración b): Se satisface $\overline{S}(f,P_\epsilon) – \underline{S}(f,P_\epsilon) < \epsilon$ , probar que es integrable, en otras palabras, demostrar $ \overline{S}(f) = \underline{S}(f) $

Sabemos que

$$\overline{S}(f,P_\epsilon) > \overline{S}(f) $$

$$ \underline{S}(f,P_\epsilon) < \underline{S}(f) \Longrightarrow – \underline{S}(f,P_\epsilon) > – \underline{S}(f) $$

$$\Longrightarrow \epsilon > \overline{S}(f,P_\epsilon) – \underline{S}(f,P_\epsilon) > \overline{S}(f) – \underline{S}(f) $$

Y $\epsilon$ es tan pequeño como lo queramos, por lo tanto.

$$ \overline{S}(f) = \underline{S}(f) \quad \blacksquare$$

Ahora, probemos que son integrables familias de funciones conocidas.

Lema: Si $f$ es monótona en $[a,b]$, entonces es Riemann Integrable en $[a,b]$.

Lema: Si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces es Riemann Integrable en $[a,b]$.

Ejemplo 1

Calcula la integral de la función $f(x)=x$ en el intervalo $[3,4]$

$$ \int \limits_{3}^{4} x \bullet dx = lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(a+i* \frac{b-a}{n}) \frac{b-a}{n} $$

$$ \Rightarrow \int \limits_{3}^{4} x \bullet dx = lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} (3+i* \frac{4-3}{n}) \frac{4-3}{n} $$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} (3+ \frac{i}{n}) \frac{1}{n} $$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} (\frac{3}{n}+ \frac{i}{n^2}) $$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} (\sum_{i=1}^{n} (\frac{3}{n}) + \sum_{i=1}^{n} (\frac{i}{n^2}) )$$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} ((\frac{3}{n})*n + \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} (i) )$$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} ((\frac{3}{n})*n + \frac{1}{n^2}*\frac{n(n+1)}{2} )$$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} (3 + \frac{n^2}{2*n^2} + \frac{n}{2*n^2} )$$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} (3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2*n} )$$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} (3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2*n} )$$

$$ \Rightarrow (3 + \frac{1}{2} +lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2*n} )$$

$$ \Rightarrow (3 + \frac{1}{2} +\frac{1}{2} lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} )$$

Calculamos el límite y sabemos que se va a cero, por lo que al final tenemos.

$$ \int \limits_{3}^{4} x \bullet dx = 3 + \frac{1}{2} = 7/2 \blacksquare$$

Ejemplo 2

Calcula la integral de la función $f(x)=-x^2 + 3$ en el intervalo $[1,3]$

En este caso tenemos 2 áreas, una por encima del eje x y otra por debajo del eje x. Tenemos que determinar bien que áreas son las que se deben integrar.

$$ \int \limits_{1}^{3} -x^2 +3 \bullet dx = lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} -(1+i* (\frac{3-1}{n}))^2+3) (\frac{3-1}{n}) $$

$$ \int \limits_{1}^{3} -x^2 +3 \bullet dx = lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} -(1+i* (\frac{2}{n}))^2+3) (\frac{2}{n}) $$

$$\Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} -(1+ \frac{4i}{n} + \frac{4 i^2}{n^2})+3) (\frac{2}{n}) $$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{4}{n} – \frac{8i} {n^2} + \frac{8 i^2}{n^3}))$$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{4}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 – \frac{8}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i – \frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 )$$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{4}{n} * n – \frac{8}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} – \frac{8}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} )$$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} (4 – (4 + \frac{4}{n}) – \frac{8}{n^3} \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} )$$

$$ \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} – \frac{4}{n} – \frac{16n^3+24n^2+8n}{6n^3} $$

$$ \Rightarrow \frac{-16}{6} + lim_{n \rightarrow \infty} – \frac{4}{n} – \frac{24n^2+8n}{6n^3} $$

Podemos observar que la parte del límite se va a cero, por lo que nos queda como resultado la constante obtenida.

$$ \int \limits_{1}^{3} -x^2 +3 \bullet dx = – 8/3 $$

Observación:

Habíamos comentado que la integral se utiliza para el cálculo de áreas, entones una pregunta válida que resulta del ejercicio anterior es, ¿hay áreas negativas?

La intuición dice que no, es acertado. En nuestro paradigma matemático actual, no tenemos áreas negativas, así que… ¿Por qué la integral salió negativa?

El cálculo de las integrales dependen del cuadrante en el que estés trabajando, el modelo toma el máximo, el mínimo o punto medio dentro del intervalo, este cambia de acuerdo al cuadrante donde se evalúa la función.

Por ello es importante tener definido el tipo de problema que se quiere resolver, si solo se debe calcular la integral, pues se resuelve como lo hemos visto. Si se necesita calcularla con un fin dentro de un problema, tienes que ver cual sería el ajuste que tienes que hacer.

Retomando el ejercicio anterior, calculemos el área sombreada.

Ejercicio 1

Calcula el área que genera la función $f(x)=-x^2 + 3$ en el intervalo $[1,3]$

Primero, obtengamos el punto donde cruza la función al eje x.

$$ \text{La raíz de la función se encuentra cuando igualamos la ecuación a 0, \text{así que} y=0, entonces.$$

$$0=x^2 +3$$

$$\therefore x=\sqrt(3)$$

Ya encontramos el punto raíz, así que podemos partir el intervalo original en 2, el primero del punto inicial al punto raíz y el segundo, del punto raíz al punto final del intervalo.

Este proceso se puede repetir tantas veces sea necesario con la función.

El problema nos pide obtener el área, un número que sabemos es positivo. Tenemos que hacer un pequeño cambio en la formula que tenemos.

$$ \int \limits_{1}^{3} -x^2 +3 \bullet dx = \int \limits_{1}^{\sqrt 3} -x^2 +3 \bullet dx \hspace{5mm} – \hspace{5mm} \int \limits_{\sqrt 3}^{3} -x^2 +3 \bullet dx $$

Se agrega el signo menos porque los valores que toma $y$ son negativos, es como si consideramos que el rectángulo que se forma, tiene una altura negativa, solo multiplicamos por un menos para que la altura sea positiva y podamos calcular el área.

Ahora queda replicar el proceso que vimos en la suma anterior con estos 2 nuevos intervalos y considerando el cambio de signo.

Desarrollando los cálculos, encontramos que el área es de $4 \sqrt 3 – \frac{8}{3}$

Tarea Moral

  1. Replique el cálculo para calcular el área del ejercicio 2 y verifique la respuesta.

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