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Probabilidad I: Transformaciones de V.A.’s Continuas

Por Octavio Daniel Ríos García

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Introducción

En la entrada pasada comenzamos a abordar el problema de encontrar la distribución de la transformación de una v.a. conocida. En particular, analizamos un método para el caso en el que la v.a. conocida es discreta, y sólamente para ese caso. No obstante, este método nos servirá como «base» para dar paso al caso continuo. Primero presentaremos un método que consiste en manipular directamente la función de distribución; muy parecido al método que vimos en la entrada pasada. Después, analizaremos un método más especializado que permite encontrar la función de densidad de la transformación de una v.a. sin necesidad de manipular la función de distribución.

Motivación del primer método

Sea $X$ una v.a. y $g\colon\RR\to\RR$ una función Borel-medible. En la entrada pasada ya describimos el proceso para obtener los eventos de $g(X)$ en términos de eventos que involucran a $X$. De hecho, vimos que para cada $A \in \mathscr{B}(\RR)$ se cumple que

\begin{align*} (g(X) \in A) = (X \in g^{-1}[A]). \end{align*}

¡Atención! En la entrada pasada centramos nuestra atención en las v.a.’s discretas, pero la igualdad anterior es cierta para cualquier variable aleatoria. Por ello, también aplica para las v.a.’s continuas. En particular, para cada $y \in \RR$ se cumple que $(-\infty, y] \in \mathscr{B}(\RR)$, por lo que

\begin{align*} {\left(g(X) \leq y\right)} = \left(g(X) \in (-\infty, y]\right) = {\left(X \in g^{-1}[(-\infty, y]]\right)}. \end{align*}

Por lo tanto, se tiene que

\begin{align*} \Prob{g(X) \leq y} = \Prob{X \in g^{-1}[(-\infty, y]]}. \end{align*}

Es decir, si definimos a $Y = g(X)$ y $F_{Y}\colon\RR\to\RR$ es la función de distribución de $Y$, entonces lo anterior quiere decir que para cada $y \in \RR$,

\begin{align*} F_{Y}(y) = \Prob{X \in g^{-1}[(-\infty, y]]}; \end{align*}

por lo que es posible obtener la distribución de $Y$ en términos de la probabilidad de un evento que involura a $X$, cuya distribución sí conocemos.

Primer método: manipular la función de distribución

Con la discusión anterior llegamos a que si $X$ es una v.a. (cuya distribución es conocida), $g\colon\RR\to\RR$ es una función Borel-medible, y $Y$ es la v.a. definida como $Y = g(X)$, entonces la función de distribución de $Y$, $F_{Y}\colon\RR\to\RR$, puede obtenerse como

\begin{align*} F_{Y}(y) &= \Prob{X \in g^{-1}[(-\infty, y]]} & \text{para cada $y \in \RR$.} \end{align*}

Por ello, el problema consistirá en encontrar el conjunto $g^{-1}[(-\infty, y]]$, y así encontrar la probabilidad de ${\left(X \in g^{-1}[(-\infty, y]]\right)}$.

Ejemplo 1. Sea $X$ una v.a. con función de densidad $f_{X}\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} f_{X}(x) &= \frac{1}{2}e^{-{\left| x \right|}}, & \text{para cada $x \in \RR$}. \end{align*}

Una v.a. con esta función de densidad es conocida como una v.a. con distribución Laplace, o distribución doble exponencial. Su función de distribución $F_{X}\colon\RR\to\RR$ está dada por

\begin{align*} F_{X}(x) &= \begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{x} & \text{si $x < 0$}, \\[1em] 1 − \dfrac{1}{2} e^{-x} & \text{si $x \geq 0$}. \end{cases}\end{align*}

Sea $g\colon\RR\to\RR$ la función dada por $g(x) = |x|$ para cada $x \in \RR$. De este modo, defínase $Y = g(X) = {\left| X \right|}$. Para obtener la función de distribución $Y$, podemos seguir un método similar al que usamos en la entrada anterior. Sea $y \in \RR$. Un primer detalle que podemos observar sobre $Y$ es que no toma valores negativos. Por ello, si $y < 0$, se tiene que $(Y \leq y) = \emptyset$, y en consecuencia, $\Prob{Y \leq y} = 0$ para $y < 0$. Por otro lado, para $y \geq 0$ se tiene que que

\begin{align*} \omega \in (Y \leq y) &\iff Y(\omega) \leq y \\[1em] &\iff |X(\omega)| \leq y \\[1em] &\iff -y \leq X(\omega) \leq y \\[1em] &\iff \omega \in ( -y \leq X \leq y ), \end{align*}

por lo que para cada $y \geq 0$ se tiene que $(Y \leq y) = (-y \leq X \leq y)$. Como esos dos eventos son iguales, se sigue que $\Prob{Y \leq y} = \Prob{ -y \leq X \leq y}$. , por lo queAdemás, nota que

\begin{align*} \Prob{-y \leq X \leq y} &= \Prob{X \leq y} − \Prob{X < -y} \\[1em] &= \Prob{X \leq y} − \Prob{X \leq -y} \tag{$*$} \\[1em] &= F_{X}(y) − F_{X}(-y), \end{align*}

donde el paso $(*)$ es válido debido a que $X$ es una v.a. continua. Por ello, podemos concluir que para cada $y \geq 0$,

\begin{align*} F_{Y}(y) = F_{X}(y) − F_{X}(−y). \end{align*}

Por lo tanto, la función de distribución de $Y$ queda como sigue:

\begin{align*} F_{Y}(y) &= \begin{cases} 0 & \text{si $y < 0$}, \\[1em] F_{X}(y) − F_{X}(-y) & \text{si $y \geq 0$}. \end{cases} \end{align*}

De aquí podemos obtener una expresión explícita. Para cada $y \geq 0$ se tiene que $-y \leq 0$, así que

\begin{align*} F_{X}(y) − F_{X}(-y) &= {\left(1 − \frac{1}{2}e^{-y}\right)} − \frac{1}{2}e^{-y} \\[1em] &= 1 − \frac{1}{2}e^{-y} − \frac{1}{2}e^{-y} \\[1em] &= 1 − e^{-y}. \end{align*}

En conclusión, la función de distribución de $Y$ queda así:

\begin{align*} F_{Y}(y) &= \begin{cases} 0 & \text{si $y < 0$}, \\[1em] 1 − e^{-y} & \text{si $y \geq 0$}. \end{cases} \end{align*}

Probablemente te resulte familiar: ¡Es la función de distribución de una v.a. exponencial! Este ejemplo exhibe que algunas transformaciones de algunas v.a.’s «famosas» resultan en otras v.a.’s «famosas». En este caso, vimos que si $X$ es una v.a. que sigue una distribución Laplace, entonces $|X|$ sigue una distribución exponencial. Más adelante veremos muchas más distribuciones importantes, y veremos cómo se relacionan entre sí mediante transformaciones.

Segundo método: teorema de cambio de variable

Existe un método más especializado para obtener la función de densidad de la transformación de una v.a. continua. La razón por la que decimos que es más especializado es porque funciona para transformaciones que cumplen ciertas condiciones.

Teorema. Sea $X\colon\Omega\to\RR$ una v.a. continua con función de densidad $f_{X}\colon\RR\to\RR$, y sea $g\colon X[\Omega]\to\RR$ una función diferenciable y estrictamente creciente o decreciente. Entonces la función de densidad de $Y = g(X)$ está dada por

\begin{align*} f_{Y}(y) &= \begin{cases} f_{X}{\left( g^{-1}(y) \right)} {\left| \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} {\left[ g^{-1}(y) \right]} \right|} & \text{si $y \in (g \circ X )[ \Omega ]$}, \\[1em] 0 & \text{en otro caso}, \end{cases} \end{align*}

donde $g^{-1}\colon g[\RR] \to\RR$ es la inversa de $g$, y $(g \circ X )[ \Omega ]$ es la imagen directa de $\Omega$ bajo $g \circ X$. Esto es, $(g \circ X) [ \Omega ] = \{\, y \in \RR \mid \exists \omega \in \Omega : (g \circ X )(\omega) = y \,\}$, que corresponde al conjunto de valores que toma la v.a. $Y = g(X)$.

Demostración. Demostraremos el caso en el que $g$ es estrictamente creciente. Para ello, sea $y \in \RR$. Primero, recuerda que

\begin{align*} (Y \leq y) &= (X \leq g^{-1}[(-\infty,y]]). \end{align*}

Por un lado, se tiene el caso en el que $y \in (g \circ X)[\Omega]$; es decir, $y$ es uno de los valores que toma la v.a. $Y$ (pues $(g \circ X)[\Omega] = Y[\Omega]$). En este caso, el valor $g^{-1}(y)$ está bien definido, ya que $g^{-1}\colon (g \circ X)[\Omega]\to\RR$ es una función cuyo dominio es la imagen de $g$. De este modo, para cada $\omega\in\Omega$ tendremos que

\begin{align*} Y(\omega) \leq y &\iff X(\omega) \leq g^{-1}(y). \tag{$*$} \end{align*}

Como $g$ es una función estrictamente creciente, su inversa $g^{-1}\colon (g \circ X)[\Omega]\to\RR$ también es estrictamente creciente, y por lo tanto, la desigualdad en $(*)$ «no se voltea».

De lo anterior se sigue que $\Prob{Y \leq y} = \Prob{X \leq g^{-1}(y)}$ para cada $y \in (g \circ X)[\Omega]$. En consecuencia, se tiene que

\begin{align*} F_{Y}(y) = F_{X}(g^{-1}(y)). \end{align*}

Podemos diferenciar ambos lados de la igualdad respecto a $y$, y por la regla de la cadena obtenemos

\begin{align*} f_{Y}(y) &= f_{X}{\left( g^{-1}(y) \right)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} {\left[ g^{-1}(y) \right]} \\[1em] &= f_{X}{\left( g^{-1}(y) \right)} {\left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} {\left[ g^{-1}(y) \right]} \right|}, \end{align*}

donde el último paso se obtiene de que $g^{-1}$ es estrictamente creciente, y por lo tanto, su derivada es positiva.

Por otro lado, resta el caso en el que $y \notin (g \circ X)[\Omega]$; es decir, cuando $y$ no es uno de los valores que puede tomar $Y$. En este caso, simplemente $f_{Y}$ vale $0$, pues la densidad de una v.a. continua es $0$ en aquellos valores que no toma. De este modo, $Y$ tiene densidad $f_{Y}\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} f_{Y}(y) &= \begin{cases} f_{X}{\left( g^{-1}(y) \right)} {\left| \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} {\left[ g^{-1}(y) \right]} \right|} & \text{si $y \in (g \circ X )[ \Omega ]$}, \\[1em] 0 & \text{en otro caso}, \end{cases} \end{align*}

que es justamente lo que queríamos demostrar.

El caso para $g$ estrictamente decreciente es casi análogo, por lo que te lo dejamos de tarea moral.

$\square$

Es importante notar que el teorema anterior no funciona para cualquier $g\colon\RR\to\RR$ Borel-medible, sólamente para aquellas que cumplen las hipótesis del teorema. Bajo estas hipótesis, el teorema permite obtener la densidad de la transformación de una v.a. de manera más eficiente que los otros métodos que hemos abordado.

Ejemplo 2. Sea $Z$ una v.a. con densidad $f_{Z}\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} f_{Z}(z) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^{2} / 2}, & \text{para cada $z \in \RR$}.\end{align*}

Se dice que una v.a. con esa función de densidad sigue una distribución normal estándar. Observa que $f_{Z}(z) > 0$ para todo $z \in \RR$, por lo que $Z[\Omega] = \RR$. Es decir, $Z$ puede tomar cualquier valor en $\RR$.

Sea $W = e^{Z}$. La función $\exp\colon\RR\to\RR^{+}$ dada por $\exp(x) = e^{x}$ es estrictamente creciente y diferenciable, por lo que podemos usar el teorema anterior para obtener la función de densidad de $W$. Así, tenemos que

\begin{align*} f_{W}(w) = f_{Z}{ \left(\exp^{-1}(w) \right)} {\left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} w} {\left[ \exp^{-1}(w) \right]} \right|}, \end{align*}

donde $\exp^{-1}\colon\RR^{+}\to\RR$ es la inversa de la función exponencial $\exp$. De hecho, la inversa de $\exp$ es la función $\ln\colon\RR^{+}\to\RR$, el logaritmo natural. Ahora, como $Z[\Omega] = \RR$, se tiene que $(\exp{} \circ Z)[\Omega] = \RR^{+}$, pues la función $\exp{}$ toma únicamente valores positivos.

En consecuencia, para $w \in \RR^{+}$ se tiene

\begin{align*} f_{W}(w) &= f_{Z}{ \left(\ln(w) \right)} {\left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} w} {\left[ \ln(w) \right]} \right|} \\[1em] &= f_{Z}{ \left(\ln(w) \right)} {\left| \frac{1}{w} \right|} \\[1em] &= \frac{1}{w \sqrt{2\pi}} \mathrm{exp} { \left( − \frac{(\ln(w))^{2}}{2}\right) }\end{align*}

y así, tenemos que $W$ tiene densidad $f_{W}\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} f_{W}(w) &= \begin{cases} \dfrac{1}{w \sqrt{2\pi}} \mathrm{exp} { \left( − \dfrac{(\ln(w))^{2}}{2}\right) } & \text{si $w > 0$}, \\[1em] 0 & \text{en otro caso}. \end{cases} \end{align*}

Como nota adicional, $f_{W}$ es la densidad de una v.a. cuya distribución es conocida como log-normal.

Para concluir, es importante mencionar que la transformación $g$ del teorema sólamente necesita ser diferenciable y estrictamente creciente sobre $X[\Omega]$ (por eso es que en el enunciado la pusimos como $g\colon X[\Omega] \to \RR$). Por ejemplo, la función $g\colon\RR^{+}\cup\{0\}\to\RR$ dada por $g(x) = x^{2}$ es una función creciente sobre su dominio. Por ello, si $X$ es una v.a. continua que toma únicamente valores no-negativos, entonces puede aplicarse el teorema para obtener la densidad de $g(X)$. En resumidas cuentas, el teorema puede aplicarse siempre y cuando la transformación $g$ sea diferenciable y estrictamente creciente sobre el conjunto de valores que puede tomar $X$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

  1. Verifica que la función de distribución de la v.a. $X$ del Ejemplo 1 es la función que te dimos. Es decir, obtén la función de distribución de $X$ a partir de su función de densidad.
  2. Demuestra el caso en el que $g$ es estrictamente decreciente del teorema de cambio de variable.
  3. Retoma el segundo Ejemplo 2, pero esta vez comienza con la v.a. $W$, cuya función de densidad es \begin{align*} f_{W}(w) &= \begin{cases} \dfrac{1}{w \sqrt{2\pi}} \mathrm{exp} { \left( − \dfrac{(\ln(w))^{2}}{2}\right) } & \text{si $w > 0$}, \\[1em] 0 & \text{en otro caso}, \end{cases} \end{align*}y encuentra la función de densidad de $Z = \ln(W)$ usando el teorema.

Más adelante…

El teorema de esta entrada es muy útil para obtener la densidad (y, en consecuencia, la distribución) de muchas transformaciones de v.a.’s continuas. Por ello, nos será de utilidad en el futuro relativamente cercano, cuando veamos las distribuciones de probabilidad más conocidas. Por otro lado, te será de utilidad mucho más adelante en materias posteriores, pues este teorema puede generalizarse al caso en el que la transformación tiene como dominio a $\RR^{n}$ y como codominio a $\RR$ con $n \in \mathbb{N}^{+}$ y $n \geq 2$ (por ejemplo, $g\colon\RR^{2}\to\RR$ dada por $g(x, y) = x + y$).

En la siguiente entrada comenzaremos el estudio de un concepto asociado a las v.a.’s llamado el valor esperado de una variable aleatoria.

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Por Octavio Daniel Ríos García

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Introducción

En la entrada pasada vimos el último tipo importante de v.a. que veremos, por ahora: las v.a.’s mixtas. En particular, vimos una manera de construir v.a.’s mixtas siguiendo un método muy sencillo: evaluando el $\max$ y el $\min$ en alguna v.a. continua. Esto puede pensarse como «transformar» la v.a. continua dada mediante las funciones $\max$ y $\min$. No sólamente la transformación fue posible, sino que además la función resultante es una v.a., y obtuvimos su función de distribución. Este proceso puede generalizarse para obtener la distribución de muchas más funciones de v.a.’s continuas.

Composición de funciones y variables aleatorias

Una de las cosas que hicimos en la entrada pasada fue ver que, dada una v.a. continua $X$, podíamos obtener v.a.’s mixtas a partir de $X$. Vamos a refinar un poco lo que hicimos en la entrada pasada. Sea $c\in\RR$, y sea $\mathrm{max}_{c}\colon\RR\to\RR$ la función dada por

\begin{align*} \mathrm{max}_{c}(x) &= \max{\left\lbrace x, c \right\rbrace}, & \text{para cada $x\in\RR$.} \end{align*}

De este modo, definimos una v.a. nueva $U$ como $U = \mathrm{max}_{c}(X)$. Sin embargo, ¿qué es exactamente «$\mathrm{max}_{c}(X)$»? Sabemos que $X$ es una «variable aleatoria», lo que significa que $U$ es como «evaluar» una función en una variable aleatoria. No obstante, esto no es otra cosa que… ¡una composición de funciones! Como recordatorio de Álgebra Superior I, dadas funciones $f\colon A\to B$, $g\colon B\to C$, la composición $g \circ f \colon A \to C$, llamada $f$ seguida de $g$, se define como

\begin{align*} g \circ f (x) &= g(f(x)), & \text{para cada $x\in A$.} \end{align*}

Recordando la definición de variable aleatoria, cuando tenemos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ sabemos que una función $X\colon\Omega\to\RR$ es una variable aleatoria si satisface una condición de «medibilidad», que dimos hace unas entradas. De momento, lo que más nos importa es que una v.a. es una función. En consecuencia, la v.a. $U$ que definimos no es otra cosa que $\mathrm{max}_{c} \circ X\colon\Omega\to\RR$, dada por

\begin{align*} \mathrm{max}_{c} \circ X (\omega) &= \max{\{ X(\omega), c \}}, & \text{para cada $x \in \Omega$}, \end{align*}

que es justamente como la definimos en la entrada anterior a esta. Ahora bien, dadas una v.a. $X\colon\Omega\to\RR$ y una función $g\colon\RR\to\RR$, hay que tener cuidado con $g$ para que $g \circ X$ sea una v.a., pues puede pasar que la función resultante no es una variable aleatoria, de acuerdo con la definición. Nosotros nos abstendremos de presentar casos degenerados de ese estilo, pero expondremos las condiciones que se necesitan para que una transformación de una v.a. sea nuevamente una v.a.

¿Cuáles funciones sí dan como resultado variables aleatorias?

Comenzaremos con una definición general del tipo de funciones que nos serán útiles.

Definición. Si $g\colon\RR\to\RR$ es una función, diremos que $g$ es una función Borel-medible si para cada $B \in \mathscr{B}(\RR)$ se cumple que $g^{-1}(B) \in \mathscr{B}(\RR)$.

Es decir, $g$ es una función Borel-medible si la imagen inversa de cualquier elemento del σ-álgebra de Borel es también un elemento del σ-álgebra de Borel.

Si recuerdas la definición de variable aleatoria, podrás observar que… ¡Es casi la misma! En realidad, ambas son el mismo concepto en la teoría más general: son funciones medibles. En particular, las funciones Borel-medibles reciben su nombre por el σ-álgebra que preservan: el σ-álgebra de Borel. De hecho, observa que las funciones Borel-medibles son un caso particular de nuestra definición de variable aleatoria, usando $(\RR, \mathscr{B}(\RR), \mathbb{P})$ como espacio de probabilidad. Por ello, todos los resultamos que hemos visto hasta ahora para v.a.’s aplican para funciones Borel-medibles.

Resulta que esta clase de funciones son aquellas que, al componer con una v.a., nos devuelven otra variable aleatoria.

Proposición. Sean $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad, $X\colon\Omega\to\RR$ una v.a. y $g\colon\RR\to\RR$ una función Borel-medible. Entonces $g \circ X \colon\Omega\to\RR$ es una variable aleatoria.

Demostración. Queremos demostrar que $g \circ X$ es una variable aleatoria. Es decir, que para cada $A \in \mathscr{B}(\RR)$ se cumple que $(g \circ X)^{-1}[A] \in \mathscr{F}$. Ahora, $(g \circ X)^{-1}[A] = X^{-1}[g^{-1}[A]]$, por propiedades de la imagen inversa. En consecuencia, hay que ver que para cada $A \in \mathscr{B}(\RR)$ se cumple que $X^{-1}[g^{-1}[A]] \in \mathscr{F}$.

Sea $A \in \mathscr{B}(\RR)$. Como $g$ es una función Borel-medible, esto implica que $g^{-1}[A] \in \mathscr{B}(\RR)$. Ahora, como $X$ es una variable aleatoria, $g^{-1}[A] \in \mathscr{B}(\RR)$ implica $X^{-1}[g^{-1}[A]] \in \mathscr{F}$, que es justamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

Así, si $g\colon\RR\to\RR$ es una función Borel-medible y $X\colon\Omega\to\RR$ es una variable aleatoria, entonces $g \circ X$ es también una variable aleatoria.

Pero entonces, ¿qué funciones podemos usar?

A pesar de que lo anterior nos da muchas funciones con las cuales transformar v.a.’s, de momento quizás no conozcas ninguna función Borel-medible. No temas, el siguiente teorema nos da una gran cantidad de funciones que son Borel-medibles, y con las cuales seguramente te has encontrado antes.

Proposición. Si $g\colon\RR\to\RR$ es una función continua, entonces es Borel-medible.

Demostración. Sea $g\colon\RR\to\RR$ una función continua. Queremos demostrar que $g$ es Borel-medible. Es decir, que para cada $x \in \RR$, $X^{-1}[(-\infty, x)] \in \mathscr{B}(\RR)$.

Sea $x\in\RR$. Como $(-\infty, x)$ es un intervalo abierto, es un subconjunto abierto (en la topología usual) de $\RR$. En consecuencia, como $g$ es continua, $g^{-1}[(-\infty, x)]$ también es un subconjunto abierto de $\RR$.

Ahora, como $g^{-1}[(-\infty, x)]$ es un abierto, esto implica que existe una familia numerable de intervalos abiertos $\{ I_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ tales que

\[ g^{-1}[(-\infty, x)] = \bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n}. \]

Nota que como $I_{n}$ es un intervalo abierto, para cada $n \in \mathbb{N}^{+}$, entonces $I_{n} \in \mathscr{B}(\RR)$. Por lo tanto, $\bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n} \in \mathscr{B}(\RR)$, que implica $g^{-1}[(-\infty, x)] \in \mathscr{B}(\RR)$, que es justamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

Es muy probable que estés cursando Cálculo Diferencial e Integral III al mismo tiempo que esta materia, por lo que quizás no hayas visto algunos detalles de la topología usual de $\RR$ que utilizamos en la demostración anterior. Puedes consultar nuestras notas de Cálculo Diferencial e Integral III sobre el tema si lo consideras necesario.

Con esta última proposición hemos encontrado una gran cantidad de funciones válidas para transformar v.a.’s. Seguramente conoces muchísimas funciones continuas: los polinomios, funciones lineales, algunas funciones trigonométricas (como $\sin$ y $\cos$), etcétera.

Un primer método para obtener la distribución de una transformación

Una vez que conocemos muchas funciones con las cuales podemos transformar v.a.’s, nuestro objetivo es encontrar la distribución de tales transformaciones. Si $g\colon\RR\to\RR$ es una función Borel-medible y $X\colon\Omega\to\RR$ es una v.a. (cuya función de distribución es conocida), queremos encontrar la distribución de $Y = g \circ X$. Para hacerlo, basta con encontrar la probabilidad de los eventos de la forma

\begin{align*} (Y \leq y) = (g \circ X \leq y) = \{ \, \omega \in \Omega \mid g(X(\omega)) \leq y \, \}. \end{align*}

Es común encontrar la notación $g(X) = g \circ X$, y de este modo, se usa $(g(X) \leq y)$ para referirse a los eventos $(g \circ X \leq y)$.

Sin embargo, el caso de las v.a.’s discretas puede ser más sencillo, ya que la función de masa de probabilidad caracteriza el comportamiento de ese tipo de v’a’s. Veamos cómo hacerlo mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Sea $Z$ una v.a. con función de masa de probabilidad $p_{Z}\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} p_{Z}(z) = \begin{cases} \dfrac{1}{5} & \text{si $z \in \{-2, -1, 0, 1, 2 \}$}, \\[1em] 0 & \text{en otro caso}. \end{cases}\end{align*}

Figura. Gráfica de la función de masa de probabilidad de $Z$.

Ahora, sea $g\colon\RR\to\RR$ la función dada por

\begin{align*} g(x) &= x^{2} & \text{para cada $x \in \RR$.} \end{align*}

Defínase $Y = g (Z)$, es decir, $Y = Z^{2}$. Primero, el conjunto de posibles valores que puede tomar $Y$ es

\[ \{\, z^2 \mid z \in \textrm{Im}(Z) \,\} = \{ (-2)^{2}, (-1)^{2}, 0^{2}, 1^{2}, 2^{2} \} = \{ 4, 1, 0, 1, 4 \} = \{ 0, 1, 4 \}. \]

Observa que $Y$ puede tomar $3$ valores distintos, mientras que $Z$ puede tomar $5$. Ya desde este momento se nota que las probabilidades de los eventos que involucran a $Y$ van a ser distintas a los de $Z$.

Sea $y \in \RR$. Para obtener la función de masa de probabilidad de $Y$ tenemos que obtener la probabilidad de los eventos de la forma $(Y = y)$. Este evento es

\[ (Y = y) = \{\,\omega\in\Omega\mid Y(\omega) = y \,\}, \]

Es decir, $\omega\in (Y=y) \iff Y(\omega) = y$. Usando la definición de $Y$, se tiene que

\begin{align*} \omega\in (Y = y) &\iff Y(\omega) = y \\[1em] &\iff (g \circ Z)(\omega) = y \\[1em] &\iff g(Z(\omega)) = y \\[1em] &\iff (Z(\omega))^{2} = y \\[1em] &\iff {\left|Z(\omega)\right|} = \sqrt{y} \\[1em] &\iff (Z(\omega) = \sqrt{y} \lor Z(\omega) = -\sqrt{y}), \end{align*}

esto es, $\omega$ es un elemento de $(Y=y)$ si y sólamente si $Z(\omega) = \sqrt{y}$ o $Z(\omega) = -\sqrt{y}$. Esto es equivalente a que $\omega \in (Z = \sqrt{y}) \cup (Z = -\sqrt{y})$, por lo que podemos concluir que

\[ (Y = y) = (Z = \sqrt{y}) \cup (Z = -\sqrt{y}). \]

En consecuencia, $\Prob{Y = y} = \Prob{(Z = \sqrt{y}) \cup (Z = -\sqrt{y})}$, y así:

\[ \Prob{Y = y} = \Prob{Z = \sqrt{y}} + \Prob{Z = -\sqrt{y}}. \]

Para $y < 0$, observa que

\[ (Z = \sqrt{y}) = \{\,\omega\in\Omega\mid Z(\omega) = \sqrt{y} \,\} = \emptyset, \]

pues $Z$ toma valores en los reales, no en los complejos. Del mismo modo, cuando $y < 0$, $(Z = -\sqrt{y}) = \emptyset$; y así,

\begin{align*} \Prob{Y = y} &= \Prob{Z = \sqrt{y}} + \Prob{Z = -\sqrt{y}} = 0, & \text{para $y < 0$.} \end{align*}

Por otro lado, para $y \geq 0$, sólamente hay $3$ valores que importan: $0$, $1$ y $4$, como acordamos previamente. Para el caso de $y = 0$, observa que $(Z = \sqrt{0}) \cup (Z = -\sqrt{0}) = (Z = 0)$, pues

\begin{align*} \omega \in (Z = \sqrt{0}) \cup (Z = -\sqrt{0}) &\iff (Z(\omega) = \sqrt{0} \lor Z(\omega) = -\sqrt{0}) \\[1em] &\iff (Z(\omega) = 0 \lor Z(\omega) = 0) \\[1em] &\iff Z(\omega) = 0 \\[1em] &\iff \omega \in (Z = 0). \end{align*}

Por lo tanto, se tiene que

\begin{align*}
\Prob{Y = 0} &= \Prob{Z = 0} = \frac{1}{5}.
\end{align*}

Para $y = 1$ y $y = 4$ sí podemos aplicar la fórmula que obtuvimos:

\begin{align*} \Prob{Y = 1} &= \Prob{Z = \sqrt{1}} + \Prob{Z = -\sqrt{1}} = \Prob{Z = 1} + \Prob{Z = -1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}, \\[1em] \Prob{Y = 4} &= \Prob{Z = \sqrt{4}} + \Prob{Z = -\sqrt{4}} = \Prob{Z = 2} + \Prob{Z = -2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}. \end{align*}

En conclusión, la función de masa de probabilidad de $Y$ es la función $p_{Y}\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} p_{Y}(y) &= \begin{cases} \dfrac{1}{5} & \text{si $y = 0$,} \\[1em] \dfrac{2}{5} & \text{si $y = 1$ o $y = 4$,} \\[1em] 0 &\text{en otro caso.} \end{cases} \end{align*}

Figura. Función de masa de probabilidad de $Y$.

El ejemplo anterior ilustra lo que se debe de hacer para obtener las probabilidades de la transformación de una v.a. discreta. Sea $X\colon\Omega\to\RR$ una v.a. y sea $g\colon\RR\to\RR$ una función Borel-medible. Para cada $A \in \mathscr{B}(\RR)$, sabemos que el evento $(X \in A)$ no es otra cosa que $X^{-1}[A]$. Definimos la v.a. $Y$ como $Y = g(X)$. Ahora, sabemos que para cada $\omega\in\Omega$ se cumple que

\[ \omega \in X^{-1}[A] \iff X(\omega) \in A, \]

por la definición de imagen inversa. En consecuencia, para $(Y \in A)$ tenemos que

\begin{align*} \omega \in (Y \in A) &\iff \omega \in (g(X) \in A) \\[1em] &\iff g(X(\omega)) \in A \\[1em] &\iff X(\omega) \in g^{-1}[A] \\[1em] &\iff \omega \in (X \in g^{-1}[A]). \end{align*}

Por lo que $(Y \in A) = (X \in g^{-1}[A])$. Por ello, $\Prob{Y \in A} = \Prob{X \in g^{-1}[A]}$. Esto tiene sentido: como $Y = g(X)$, entonces la probabilidad de que $g(X)$ tome algún valor en $A$ es la misma que la probabilidad de que $X$ tome algún valor en $g^{-1}[A]$, pues todos los elementos de $g^{-1}[A]$ son mandados a $A$ cuando se les aplica $g$.

Finalmente, utilizando que $X$ es una v.a. discreta, tendremos que

\begin{align}\label{transf:1} \Prob{Y \in A} = \sum_{x \in g^{-1}[A]} \Prob{X = x}. \end{align}

En el caso particular en el que existe $y \in \RR$ tal que $A = \{ y \}$, tendremos que

\begin{align}\label{transf:2} \Prob{Y = y} = \sum_{x \in g^{-1}[\{ y\}]} \Prob{X = x}, \end{align}

justamente como hicimos en el ejemplo anterior. A continuación presentamos otro ejemplo siguiendo la misma metodología.

Ejemplo. Sea $V$ una v.a. con función de masa de probabilidad $p_{V}\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} p_{V}(v) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{|v|+1}} & \text{si $v \in \{-3,-2,-1,1,2,3\}$}, \\[1em] \dfrac{1}{16} & \text{si $v = 0$}, \\[1em] 0 & \text{en otro caso}. \end{cases} \end{align*}

Figura. Gráfica de la función de masa de probabilidad de $V$.

Nuevamente, considera la transformación $g\colon\RR\to\RR$ dada por $g(x) = x^{2}$ para cada $x \in \RR$. De este modo, defínase la v.a. $T$ como $T = g(V)$. Antes que nada, el conjunto de valores que puede tomar $T$ es el resultado de transformar el conjunto de los valores que puede tomar $V$. Si $\mathrm{Supp}(V) = \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ es el conjunto de valores que puede tomar $V$, entonces el conjunto de valores que puede tomar $T$ es

\[ g{\left( \mathrm{Supp}(V) \right)} = \{ \, t \in \RR \mid \exists v \in \mathrm{Supp}(V)\colon g(v) = t \, \} = \{0, 1, 4, 9 \}. \]

Como $g$ es la misma transformación que en el ejemplo anterior, hay algunas cosas que ya sabemos. Primero,

\begin{align*} \Prob{T = t} &= 0, & \text{para cada $t < 0$},\end{align*}

mientras que para $t = 0$, se tiene que $\Prob{T = 0} = \Prob{V = 0} = \frac{1}{8}$. Para $t > 0$, vimos previamente que $g^{-1}[\{t\}] = \{ \sqrt{t}, -\sqrt{t} \}$. Así, tendremos que

\begin{align*} \Prob{T = t} = \sum_{v \in g^{-1}[\{ t \}]} \Prob{V = v} = \Prob{V = \sqrt{t}} + \Prob{V = -\sqrt{t}}. \end{align*}

En particular, la v.a. $V$ sólamente toma probabilidades mayores a $0$ en $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}$, por lo que $\Prob{T = t} > 0$ para $t \in \{0, 1, 4, 9 \}$, y $\Prob{T = t} = 0$ en otro caso. Así, tenemos que

\begin{align*} \Prob{T = 1} &= \Prob{V = \sqrt{1}} + \Prob{V = -\sqrt{1}} = \frac{1}{2^{|1| + 1}} + \frac{1}{2^{|-1|+1}} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \\[1em] \Prob{T = 4} &= \Prob{V = \sqrt{4}} + \Prob{V = -\sqrt{4}} = \frac{1}{2^{|2| + 1}} + \frac{1}{2^{|-2|+1}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}, \\[1em] \Prob{T = 9} &= \Prob{V = \sqrt{9}} + \Prob{V = -\sqrt{9}} = \frac{1}{2^{|3| + 1}} + \frac{1}{2^{|-3|+1}} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8}. \end{align*}

Alternativamente, podemos obtener una fórmula cerrada para cada $t \in \{1, 4, 9 \}$, que queda así:

\begin{align*} \Prob{T = t} = \Prob{V = \sqrt{t}} + \Prob{V = -\sqrt{t}} &= \frac{1}{2^{{\left|\sqrt{t}\right|} + 1}} + \frac{1}{2^{{\left|-\sqrt{t}\right|} + 1}} \\[1em] &= \frac{1}{2^{\sqrt{t} + 1}} + \frac{1}{2^{\sqrt{t} + 1}} \\[1em] &= \frac{2}{2^{\sqrt{t} + 1}} \\[1em] &= \frac{1}{2^{\sqrt{t}}}.\end{align*}

Y así obtenemos una expresión para la función de masa de probabilidad de $T$:

\begin{align*} p_{T}(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{\sqrt{t}}} & \text{si $t \in \{1,4,9\}$}, \\[1em] \dfrac{1}{8} & \text{si $t = 0$}, \\[1em] 0 & \text{en otro caso}. \end{cases} \end{align*}

Figura. Gráfica de la función de masa de probabilidad de $T$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

  1. Verifica que la función de masa de probabilidad de la v.a. $Z$ del primer ejemplo satisface las propiedades de una función de masa de probabilidad.
  2. Haz lo mismo para la función de masa de probabilidad de la v.a. $V$ del segundo ejemplo.
  3. Retomando los dos ejemplos vistos en esta entrada y las v.a.’s $Z$ y $V$ de cada ejemplo, y tomando la transformación $f\colon\RR\to\RR$ dada por $f(x) = x^{3} − x^{2} − 4x + 4$:
    1. Encuentra la función de masa de probabilidad de $f(Z)$.
    2. Encuentra la función de masa de probabilidad de $f(V)$.

Más adelante…

El método expuesto en esta entrada funciona para cualquier variable aleatoria discreta. No hay fórmulas «cerradas» para la f.m.p. (función de masa de probabilidad) de la transformación de una v.a. discreta. Sin embargo, las fórmulas \eqref{transf:1} y \eqref{transf:2} son suficientes para encontrar las probabilidades de eventos que involucran a la transformación de la v.a. discreta conocida. No obstante, estas fórmulas sólamente funcionan para v.a.’s discretas. Por ello, en la siguiente entrada centraremos nuestra atención en el caso de las v.a.’s continuas.

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Introducción

En las últimas entradas presentamos dos tipos muy importantes de v.a.’s que estudiaremos a lo largo del curso. No obstante, estos no son los únicos dos tipos de v.a.’s que existen, hay algunos tipos más. En particular, en esta entrada centraremos nuestra atención en las variables aleatorias mixtas. Estas son v.a.’s que no son ni discretas ni continuas, pero combinan propiedades de ambos tipos. Es decir, una v.a. mixta consta de una parte discreta y de una parte continua, que es la razón por la que reciben el nombre de mixta. Debido a que ya hemos estudiado ambos tipos de v.a.’s, podremos utilizar lo que hemos visto hasta ahora para describir a este nuevo tipo de v.a.’s.

Distribución mixta

Para comenzar, podemos ver una propiedad que ocurre al combinar dos funciones de distribución. Sean $F\colon\RR\to\RR$ y $G\colon\RR\to\RR$ dos funciones de distribución, y sea $\lambda\in[0,1]$. Definimos $H\colon\RR\to\RR$ como sigue:

\[ H(x) = \lambda F(x) + (1 − \lambda) G(x), \qquad \text{para cada $x \in \RR$.} \]

Es decir, para cada $x \in \RR$, $H(x)$ es una combinación lineal de $F(x)$ y $G(x)$. Más aún, como $\lambda$ es algún valor en $[0,1]$, se trata de una combinación convexa. Bien, ¡pues resulta que $H$ es una función de distribución! Te dejamos la comprobación de este hecho como tarea moral.

En particular, cuando $F$ y $G$ son funciones de distribución discretas, $H$ también es una función de distribución discreta. En cambio, cuando $F$ y $G$ son funciones de distribución absolutamente continuas, $H$ también es absolutamente continua.

Por otro lado, el tema principal de esta entrada surge cuando una de las dos distribuciones es discreta y la otra es continua. En tal caso, $H$ no es discreta ni continua, y es llamada una función de distribución mixta.

Ejemplo. Sean $F\colon\RR\to\RR$ y $G\colon\RR\to\RR$ las siguientes funciones de distribución.

\begin{align*}F(x) &= \begin{cases} 1 − e^{−2x} & \text{si $x \geq 0$,} \\[1em] 0 & \text{en otro caso,} \end{cases} & G(x) &= \begin{cases} 0 & \text{si $x < \frac{1}{2}$,} \\[1em] \dfrac{1}{2} & \text{si $\frac{1}{2} \leq x < 1$,} \\[1em] 1 & \text{si $x \geq 1$.}\end{cases} \end{align*}

Gráficamente, $F$ y $G$ se ven como sigue.

Definimos $H\colon\RR\to\RR$ como sigue.

\[ H(x) = \frac{1}{2}F(x) + \frac{1}{2}G(x) \qquad \text{para cada $x \in \RR$.} \]

Para visualizar un poco cómo se obtiene la gráfica de $H$, primero hay que multiplicar a $F$ y a $G$ por $\frac{1}{2}$, que nos da las siguientes gráficas:

Observa que se parecen mucho a las gráficas de las distribuciones $F$ y $G$, pero «aplastadas». El «aplastamiento» corresponde a que se han multiplicado por $\frac{1}{2}$. Al superponer ambas gráficas, obtenemos la siguiente figura:

Y en la gráfica de $H$, en el eje vertical tomará los valores $\frac{1}{2}F(x) + \frac{1}{2}G(x)$ para cada $x \in \RR$. La gráfica resultante es la siguiente:

Figura. Gráfica de la función $H$.

Observa cómo la gráfica de $H$ es diferente a las que hemos visto en las últimas entradas: no es la función de distribución de una v.a. discreta porque no es una función escalonada, pero tampoco es la distribución de una v.a. continua porque presenta discontinuidades.

Sin embargo, ¡sí es una función de distribución! Es no-decreciente, continua por la derecha y sus límites a $-\infty$ e $\infty$ son $0$ y $1$, respectivamente. Por ello, sí es la función de distribución de alguna v.a… aún cuando esa v.a. no sea ni discreta ni continua.

De manera explícita, $H\colon\RR\to\RR$ es la función

\[ H(x) = \begin{cases} 0 & \text{si $x < 0$}, \\[1em] \dfrac{1 − e^{−2x}}{2} & \text{si $0 \leq x < \frac{1}{2}$}, \\[1em] \dfrac{1}{4} + \dfrac{1 − e^{−2x}}{2} & \text{si $\frac{1}{2} \leq x < 1$}, \\[1em] \dfrac{1}{2} + \dfrac{1 − e^{−2x}}{2} & \text{si $x \geq 1$}, \end{cases} \]

Sea $X$ una v.a. aleatoria con distribución $H$. Es decir, $X$ es una v.a. cuya función de distribución es $H$. Hay algunos aspectos interesantes que tiene una v.a. con esta distribución. Primero, los puntos de discontinuidad de $H$ son aquellos puntos con masa de probabilidad mayor a $0$. Observa que

\[ \Prob{X = \frac{1}{2}} = H{\left(\frac{1}{2}\right)} − H{\left(\frac{1}{2}−\right)} \]

Ahora, hay que tener cuidado con $H{\left(\frac{1}{2}−\right)}$. Para obtener este valor, hay que ver cómo se comporta $H(x)$ cuando $x \to \frac{1}{2}$ por la izquierda. Como $x$ se acerca por la izquierda a $\frac{1}{2}$, necesariamente el valor de $x$ es menor a $\frac{1}{2}$, así que $H(x) = \dfrac{1 − e^{−2x}}{2}$. Así, tenemos que

\[ H{\left(\frac{1}{2}−\right)} = \lim_{x\to{\frac{1}{2}}^{-}} H(x) = \lim_{x\to{\frac{1}{2}}^{-}} \dfrac{1 − e^{−2x}}{2} = \dfrac{1 − e^{−2{\left( \frac{1}{2} \right)}}}{2} = \dfrac{1 − e^{−1}}{2}. \]

Este límite fue fácil de evaluar porque la expresión de $H$ para $x < \frac{1}{2}$ describe una función continua. Es decir, $H(x)$ se acerca al valor $\dfrac{1 − e^{−1}}{2}$ cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ por la izquierda. Aún cuando $H$ brinca en ese punto, el límite por la izquierda corresponde al lugar donde se encuentra el hoyito en la gráfica.

En consecuencia, tenemos que

\[ \Prob{X = \frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + \dfrac{1 − e^{−1}}{2} − {\left(\dfrac{1 − e^{−1}}{2}\right)} = \frac{1}{4}. \]

De manera similar podemos obtener que

\[ \Prob{X = 1} = \frac{1}{2} + \dfrac{1 − e^{−2}}{2} − {\frac{1}{4} + \left(\dfrac{1 − e^{−2}}{2}\right)} = \frac{1}{4}, \]

por lo que hay dos puntos que tienen masa de probabilidad mayor a $0$. Esto es algo que no pasa en las v.a.’s absolutamente continuas. Debido a esto, cuando se trata de v.a.’s mixtas, hay que tener cuidado en el cálculo de probabilidades de algunos eventos. Por ejemplo,

\[ \Prob{X \leq \frac{1}{2}} = H{\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{4} + \dfrac{1 − e^{−1}}{2}, \]

pero por otro lado,

\[ \Prob{X < \frac{1}{2}} = H{\left(\frac{1}{2}\right)} − \Prob{X = \frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + \dfrac{1 − e^{−1}}{2} − \frac{1}{4} = \dfrac{1 − e^{−1}}{2}. \]

En consecuencia, existe $a \in \RR$ tal que $\Prob{X \leq a} \neq \Prob{X < a}$, que es algo que pasa en las v.a.’s discretas. Esos puntos son precisamente los puntos en los que la función de distribución presenta una discontinuidad, por lo que hay que tener cuidado cuando una desigualdad involucra a uno de estos puntos. En consecuencia, también se debe de tener cuidado al obtener la probabilidad de intervalos de la forma $(a,b)$, $[a,b]$, $(a,b]$, etcétera, cuando $a$ y $b$ son puntos en los que la distribución presenta una discontinuidad.

Otra manera de obtener variables aleatorias mixtas

Además de hacer combinaciones lineales de funciones de distribución, también es posible obtener v.a.’s mixtas a partir de v.a.’s continuas. Sea $X\colon\Omega\to\RR$ una v.a. continua, y sea $c \in \RR$ una constante tal que $0 < F_{X}(c) < 1$ (esto es, la distribución de $X$ evaluada en $c$ es mayor a $0$ y menor a $1$). Definimos las variables aleatorias $U\colon\Omega\to\RR$ y $L\colon\Omega\to\RR$ como sigue:

\begin{align*} U(\omega) &= \max{\left\lbrace X(\omega), c \right\rbrace} \qquad \text{para cada $\omega \in \Omega$}, \\[1em] L(\omega) &= \min{\left\lbrace X(\omega), c \right\rbrace} \qquad \text{para cada $\omega \in \Omega$}. \end{align*}

Resulta que estas v.a.’s son ejemplos de variables aleatorias mixtas. Veamos que $U$ lo es. Para ello, hay que analizar dos subconjuntos importantes del espacio muestral sobre el que está definida $X$. Estos son:

\begin{align*} A_{1} &= \{ \, \omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq c \, \} & A_{2} &= \{ \,\omega \in \Omega \mid X(\omega) > c \, \}\end{align*}

La razón por la que hemos escogido estos conjuntos se basa en el valor que toma $U(\omega)$ dependiendo de si $X(\omega) \leq c$ o $X(\omega) > c$. Cuando $X(\omega) \leq c$, se tiene que

\[ U(\omega) = \max{\left\lbrace X(\omega), c \right\rbrace} = c, \]

al ser $c$ el mayor de los dos valores. En consecuencia, por la manera en que hemos definido a $A_{1}$, para cada $\omega \in A_{1}$ se cumple que $U(\omega) = c$. Esto significa que

\[ \Prob{U = c} = \Prob{A_{1}} = \Prob{\{ \, \omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq c \, \}} = \Prob{X \leq c} = F_{X}(c), \]

y como $c$ cumple que $0 < F_{X}(c) < 1$, se tiene que

\[ \Prob{U = c} > 0, \]

por lo que $U$ tiene al menos un punto con masa de probabilidad mayor a cero. Esto nos indica que $U$ al menos cuenta con una parte discreta, algo que $X$ no tenía.

Por otro lado, para $\omega \in\Omega$ tal que $X(\omega) > c$, se tiene que

\[ U(\omega) = \max{\left\lbrace X(\omega), c \right\rbrace} = X(\omega). \]

Por consiguiente, para cada $\omega \in A_{2}$ se tiene que $U(\omega) = X(\omega)$. Ahora, nota que para cada $x \in [c,\infty)$ se cumple que

\[ \{ \, \omega \in \Omega \mid X(\omega) > x \, \} \subseteq A_{2} \]

pues si $\omega \in \Omega$ satisface $X(\omega) > x$, como $x \in [c,\infty)$, se tiene que $x \geq c$, y por lo tanto, $X(\omega) > c$. Luego, $\omega \in A_{2}$. Por tanto, para $x \in [c, \infty)$ se cumple $\Prob{X > x} = \Prob{U > x}$, pues $X(\omega) = U(\omega)$ en cada uno de los $\omega \in (X > x)$. Así, para cada $x \in [c,\infty)$ se tiene que

\begin{align*} \Prob{X > x} = \Prob{U > x} &\iff 1 − \Prob{X \leq x} = 1 − \Prob{U \leq x} \\[1em] &\iff − \Prob{X \leq x} = − \Prob{U \leq x} \\[1em] &\iff \Prob{X \leq x} = \Prob{U \leq x} \\[1em] &\iff F_{X}(x) = F_{U}(x), \end{align*}

es decir, $X$ y $U$ tienen la misma función de distribución sobre conjunto $[c, \infty)$. Esto garantiza que, sobre $[c, \infty)$, la función de distribución de $U$ es una función absolutamente continua. Sin embargo, hay un detalle importante que necesitamos para asegurarnos de que $U$ es una v.a. mixta. Observa que como pedimos que $F_{X}(c) < 1$, se tiene que $0 < 1 − F_{X}(c)$, y como $F_{X}(c) = F_{U}(c)$, esto garantiza que $0 < 1 − F_{U}(c)$. En conclusión, $\Prob{U > c} > 0$, garantizando que $U$ no es una v.a. exclusivamente discreta.

Ejemplo. Sea $X\colon\Omega\to\RR$ una v.a. con función de densidad $f_{X}\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} f_{X}(x) &= \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^{2}} & \text{para cada $x \in \RR$}, \end{align*}

y sea $U\colon\Omega\to\RR$ la v.a. dada por

\begin{align*} U(\omega) &= \max{\left\lbrace X(\omega), 0 \right\rbrace} & \text{para cada $\omega \in \Omega$}. \end{align*}

Cuando una v.a. tiene esta función de densidad, se dice que sigue una distribución logística. Ahora, ¿cuál es la función de distribución de $U$? Para obtenerla, primero obtengamos la función de distribución de $X$, $F_{X}$. Conocemos la función de densidad de $X$. Gráficamente:

Figura. Gráfica de la función de densidad de $X$.

Así que podemos obtener la distribución de $X$ a partir de esta. Así, para cada $x \in \RR$ tenemos que

\begin{align} \label{eq:dist1} F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f_{X}(t) \,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{x} \frac{e^{-t}}{(1 + e^{-t})^{2}} \,\mathrm{d}t. \end{align}

Mediante una sustitución de variables, podemos obtener que la primitiva de $f_{X}$ que satisface lo anterior es

\begin{align} \label{eq:dist2} F_{X}(x) &= \frac{1}{1 + e^{-x}} & \text{para cada $x\in\RR$}. \end{align}

Es decir, esta es la función de distribución de $X$. Gráficamente:

Figura. Gráfica de la función de distribución de $X$.

Ahora, para obtener la función de distribución de $U$, hay que ver varios casos. Sea $u \in \RR$ tal que $u < 0$. Para este caso, tenemos que

\[ F_{U}(u) = \Prob{U \leq u} = \Prob{\max\{X, 0\} \leq u}. \]

Sin embargo, como $u < 0$ y $\max\{X, 0\} \geq 0$, el evento $(\max\{X,0\} \leq u) = \emptyset$, pues

\[ (U \leq u) = (\max\{X,0\} \leq u) = \{\, \omega \in \Omega \mid \max\{X(\omega), 0\} \leq u \,\}, \]

y para que exista algún $\omega \in (U \leq u)$, debe de cumplirse que $\max\{X(\omega), 0\} \leq u < 0$, lo cual es imposible. En consecuencia, se tiene que

\begin{align*} F_{U}(u) &= 0 & \text{para $u < 0$}. \end{align*}

Por otro lado, para $u = 0$, tenemos que

\[ F_{U}(u) = \Prob{U \leq 0} = \Prob{U = 0} + \Prob{U < 0} = \Prob{U = 0}. \]

Por su parte, $\Prob{U = 0} = \Prob{\max\{X, 0\} = 0}$, así que hay que recurrir a la distribución de $X$ para obtener este valor. Así,

\begin{align*} \Prob{\max\{X, 0\} = 0} &= \Prob{\{\, \omega \in \Omega \mid \max\{X(\omega), 0\}} = 0 \,\} \\[1em] &= \Prob{\{\, \omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq 0 \,\}} \\[1em] &= \Prob{X \leq 0} \\[1em] &= F_{X}(0) \\[1em] &= \frac{1}{1 + e^{-(0)}} \\[1em] &= \frac{1}{1 + 1} \\[1em] &= \frac{1}{2}. \end{align*}

De este modo, $F_{U}(0) = \frac{1}{2}$. Así, tenemos que

\[ F_{U}(u) = \begin{cases} 0 & \text{si $u < 0$}, \\[1em] \frac{1}{2} & \text{si $u = 0$}. \end{cases} \]

Finalmente, para $u > 0$, ya vimos (en el caso general) que

\[ F_{U}(u) = F_{X}(u) = \frac{1}{1 + e^{-u}}\]

por lo que la función de distribución de $U$ queda como

\[ F_{U}(u) = \begin{cases} 0 & \text{si $u < 0$}, \\[1em] \dfrac{1}{2} & \text{si $u = 0$}, \\[1em] \dfrac{1}{1 + e^{-u}} & \text{si $u > 0$}.\end{cases} \]

Gráficamente, la función de distribución de $U$ se ve así:

Figura. Gráfica de la función de distribución de $U$.

Observa que la función de distribución de $U$ es precisamente la de $X$, pero truncada. De hecho, como comentamos previamente, para cada $x \geq 0$ se cumple que $F_{U}(x) = F_{X}(x)$. Sin embargo, la función de distribución de $U$ es $0$ para cada $x<0$, pues $U$ no toma valores menores a $0$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

  1. Sean $F\colon\RR\to\RR$ y $G\colon\RR\to\RR$ dos funciones de distribución. Demuestra que para cualquier $\lambda\in [0,1]$, la función $H\colon\RR\to\RR$ dada por\[ H(x) = \lambda F(x) + (1 − \lambda) G(x), \qquad \text{para cada $x \in \RR$,} \]es una función de distribución.
  2. Sean $X\colon\Omega\to\RR$ una v.a. continua y $c \in \RR$ tal que $0 < F_{X}(c) < 1$. Sea $L\colon\Omega\to\RR$ la v.a. dada por\[ L(\omega) = \min{\left\lbrace X(\omega), c \right\rbrace} \qquad \text{para cada $\omega \in \Omega$}. \]Verifica que $L$ es una v.a. mixta.
  3. Al definir las v.a.’s del máximo y el mínimo, ¿qué pasa si $F_{X}(c) = 0$ o $F_{X}(c) = 1$? Por ejemplo, toma $X$ una v.a. con distribución exponencial (vista en la entrada pasada), y toma $c = -5$. ¿Qué pasa con las v.a.’s $U = \max{\{ X, c \}}$ y con $L = \min{\{X, c \}}$?
  4. Verifica que la función de distribución dada por \eqref{eq:dist2} es la función que satisface la ecuación \eqref{eq:dist1}.

Más adelante…

Las v.a.’s aleatorias mixtas llegan a hacerse presentes en algunas aplicaciones financieras y estadísticas. En el análisis de supervivencia (correspondiente a la materia de Estadística III, o Modelos de Supervivencia y Series de Tiempo) hay modelos que hacen uso de transformaciones de v.a.’s como el mínimo, dando como resultado v.a.’s mixtas.

Existe un tipo adicional de v.a.’s que no hemos mencionado hasta el momento, que son las variables aleatorias singulares. Cerca del final del curso haremos una mención a este último tipo de v.a.’s, cuando hayamos definido la noción de «convergencia en distribución». Con ello, presentaremos el bosquejo de un ejemplo de una v.a. cuya distribución es singular.

En la siguiente entrada abordaremos el tema de obtener la distribución de funciones de v.a.’s aleatorias, que no será otra cosa que hacer una composición de funciones.

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Por Octavio Daniel Ríos García

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de los dos tipos de v.a.’s que nos interesan, y vimos el caso de las v.a.’s discretas. Sin embargo, puede que te preguntes exactamente por qué es necesaria esta distinción. Por ello, en esta entrada presentaremos las propiedades de las v.a.’s continuas para que compares ambos tipos, y puedas apreciar sus diferencias.

A diferencia de las v.a.’s discretas, las v.a.’s continuas pueden tomar una cantidad infinita no numerable de valores distintos. Es decir, el conjunto de valores que puede tomar una v.a. continua tiene la misma cardinalidad que los números reales.

Definición de una v.a. continua

En la introducción comentamos que las v.a.’s continuas, a grandes rasgos, son aquellas cuyo conjunto de valores posibles es infinito no numerable. Sin embargo, no las definiremos a partir de este hecho, sino a partir de una propiedad que debe cumplir su función de distribución.

Definición. Una variable aleatoria $X$ es absolutamente continua si y sólamente si existe una función $f\colon\RR\to\RR$ integrable y no-negativa tal que para cada $x \in \RR$ se cumple que

\[ F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \text{d}t. \]

Llamamos a $f$ la función de densidad (o simplemente la densidad) de $X$.

A este tipo de v.a.’s se les llama absolutamente continuas debido a que su función de distribución es una función absolutamente continua. Es común encontrarse con el término «continua» en vez de «absolutamente continua«, aunque en contextos más formales existen diferencias entre ambos términos. De manera equivalente, una v.a. $X$ es continua si existe una función $f\colon\RR\to\RR$ integrable y no-negativa tal que para cada $x \in \RR$ se cumple que

\[ \Prob{X \leq x} = \int_{-\infty}^{x} f(t) \text{d}t, \]

por la definición de $F_{X}$. Es decir, $X$ es una v.a. continua si la función de distribución de $X$ puede escribirse como la integral de una función integrable y no-negativa $f$, que es llamada la densidad de $X$. Es decir, las probabilidades de los eventos que involucran a una v.a. continua se pueden expresar en términos del área debajo de su función de densidad.

En consecuencia, si $X$ es una v.a. continua con densidad $f\colon\RR\to\RR$, como $F_{X}(x) \to 1$ cuando $x \to \infty$, se tiene que

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\text{d}t = 1. \]

Además, para cada $a$, $b \in \RR$ tales que $a < b$ se tiene que $\Prob{X \in (a, b]} = F_{X}(b) − F_{X}(a)$, por lo que

\[ \Prob{X \in (a, b]} = \int_{-\infty}^{b} f(t) \text{d}t − \int_{-\infty}^{a} f(t) \text{d}t = \int_{a}^{b} f(t) \text{d}t. \]

Es importante notar que en la definición pedimos que la densidad de una v.a. continua $X$ debe ser una función integrable, lo cual garantiza que la función de distribución de $X$ es continua.

Ejemplo 1. Sea $\lambda \in \RR$ tal que $\lambda > 0$ y sea $X$ una v.a. con distribución $F\colon\RR\to\RR$ dada por

\[ F(x) = \begin{cases} 1 − e^{-\lambda x} & \text{si $x \geq 0$}, \\[1em] 0 & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

Gráficamente, para algunos valores de $\lambda$, $F$ se ve como sigue:

Figura. Gráfica de la función $F(x) = 1 − e^{-\lambda x}$ para distintos valores de $\lambda$.

Si tomamos a $f\colon\RR\to\RR$ como sigue

\[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{si $x \geq 0$}, \\[1em] 0 & \text{en otro caso,} \end{cases} \]

se cumplirá que $f$ es la densidad de $X$. Para verlo, tomamos $x \in \RR$. Primero, observa que si $x < 0$, entonces

\[ \int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{x} 0 \mathrm{d}t = 0 = F(x), \]

donde $F(x) = 0$ se cumple por la definición de $F$. Por otro lado, para el caso en el que $x \geq 0$ se tiene que

\begin{align*} \int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t &= \int_{-\infty}^{0} 0 \mathrm{d}t + \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t} \mathrm{d}t \\[1em] &= 0 + {\left( − e^{−\lambda t} \right)} \Big|_{0}^{x} \\[1em] &= e^{−\lambda \cdot 0} − e^{−\lambda x} \\[1em] &= 1 − e^{-\lambda x}, \end{align*}

por lo que queda demostrado que para cada $x \in \RR$ se cumple que $F(x) = \int_{−\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t$. Por lo tanto, $f$ es la densidad de $X$.

Figura. Gráfica de la función de densidad de $X$, $f(x) = \lambda e^{−\lambda x}$, para algunos valores de $\lambda$.

Cuando una v.a. tiene la función de distribución (y, en consecuencia, la densidad) del ejemplo anterior, se dice que sigue una distribución exponencial. Esta es una de las muchas distribuciones importantes que veremos más adelante.

¿Las v.a.’s continuas tienen función de masa de probabilidad?

Como seguramente ya notaste, la relación que existe entre la densidad y la función de distribución de una v.a. continua se parece mucho a la relación entre la masa de probabilidad y la distribución de una v.a. discreta. En el caso de las discretas, para obtener el valor de $F(x)$ para $x \in \RR$ a partir de la función de masa de probabilidad, lo que se hace es sumar todas las probabilidades de los valores menores o iguales a $x$. Por otro lado, en el caso de las continuas lo que se hace es integrar la función de densidad desde $−\infty$ hasta $x$.

Sin embargo, hay un detalle muy importante en el que difieren las v.a.’s continuas de las discretas, que desarrollaremos a continuación. Sea $X$ una v.a. continua. ¿Recuerdas la siguiente propiedad? La vimos en la entrada pasada. Para cada $a \in \RR$, se cumple que

\[ \Prob{X =a} = F_{X}(a) − F_{X}(a-), \]

donde no olvides que $F_{X}(a-)$ es el límite de $F(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda. Sin embargo, en el caso de una v.a. continua, sabemos que existe $f\colon\RR\to\RR$ integrable y no-negativa tal que para cada $x \in \RR$, se cumple que

\[ F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t. \]

Debido a que $f$ es una función integrable, la función $F_{X}$ es continua. En particular, es continua por la izquierda, por lo que para cada $a \in \RR$ se cumple que

\[ \Prob{X = a} = F_{X}(a) − F_{X}(a-) = F_{X}(a) − F_{X}(a) = 0. \]

Esto seguramente te resulta confuso, ¿la probabilidad de que la v.a. $X$ tome cualquier valor real es $0$? ¡Así es! Sin embargo, nosotros habíamos dicho que en la probabilidad, medíamos qué tan «probable» es que pase un evento con una calificación del $0$ al $1$. En particular, habíamos acordado que $0$ representa lo más improbable posible. ¿Esto significa que es imposible que una v.a. continua tome algún valor fijo? ¡No! Ten mucho cuidado, nosotros dijimos que cuando un evento tiene probabilidad $0$ esto significa que es lo más improbable posible de acuerdo con la medida de probabilidad que se está utilizando. Esto puede interpretarse como que sí es imposible (como pasa con los puntos de probabilidad $0$ en una v.a. discreta, o los puntos donde la densidad de una v.a. continua vale $0$), o puede significar que es muy improbable, pero no imposible.

Además, debido a esto último, cuando $X$ es una v.a. continua se cumple que

\[ \Prob{X \in (a,b]} = \Prob{X \in (a,b)} = \Prob{X \in [a,b)} = \Prob{X \in [a,b]}, \]

y que

\[ \Prob{X \leq a} = \Prob{X < a}, \qquad \Prob{X \geq a} = \Prob{X > a}, \]

por lo que con las v.a.’s continuas no es necesario preguntarse si la desigualdad es estricta o no. Mucho cuidado, con las discretas sí debes de tener cuidado con eso, porque en las discretas hay valores $a \in \RR$ para los cuales $\Prob{X = a} > 0$.

Pese a que la probabilidad de los eventos $(X = a)$ es $0$ para cada $a \in \RR$ cuando $X$ es una v.a. continua, la variable aleatoria sí puede tomar cualquiera de los valores en los que su función de densidad es mayor a $0$.

Partiendo de una función de densidad

En la entrada pasada vimos que puede definirse la distribución de una v.a. discreta a partir de una función de masa de probabilidad. De manera muy similar, puede definirse la distribución de una v.a. continua a partir de una función de densidad. Sin embargo, hay que establecer las propiedades que debe de satisfacer una función para poder uitlizarla como función de densidad.

Sea $f\colon\RR\to\RR$ una función integrable. Si se cumple que

\begin{align*} f(x) \geq 0 &\quad \text{para cada $x \in \RR$,} \tag{1} \\[1em] \int_{−\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{d}t &= 1, \tag{2}\end{align*}

entonces $f$ es la densidad de alguna v.a. continua. Para confirmar este hecho, define $F\colon\RR\to\RR$ como

\[ F(x) = \int_{−\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t, \quad \text{para cada $x \in \RR$,} \]

y demuestra (tarea moral) que $F$ es una función de distribución. Esto es, que $F$ es no-decreciente, continua por la derecha y su límite a $\infty$ es $1$ y a $−\infty$ es $0$.

Ejemplo 2. La función de densidad de una v.a. continua debe de ser integrable. Sin embargo, no tiene por qué ser continua, ya que funciones integrables que tienen discontinuidades. Por ejemplo, considera a $f\colon\RR\to\RR$ dada por

\[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si $x \in [−1.5, −1]$,} \\[1em] 1 & \text{si $x \in [1, 1.5]$,} \\[1em] 0 & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

Gráficamente:

Figura. Gráfica de la función $f$. Observa que claramente $f$ no es una función continua.

Para ver que $f$ es la función de densidad de alguna v.a. continua, hay que demostrar que $f$ satisface:

\begin{align*} f(x) \geq 0 \quad \text{para cada $x \in \RR$} \qquad \text{y} \qquad \int_{−\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{d}t = 1.\end{align*}

Primero, observa que por la definición de $f$, para cada $x \in \RR$ se cumple que $f(x) = 0$ o $f(x) = 1$, por lo que $f$ es no-negativa. Por otro lado, veamos cuánto vale la integral de $f$ sobre $\RR$.

\begin{align*} \int_{−\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{d}t &= \int_{−\infty}^{−1.5} f(t) \mathrm{d}t + \int_{−1.5}^{−1} f(t) \mathrm{d}t + \int_{−1}^{1} f(t) \mathrm{d}t + \int_{1}^{1.5} f(t) \mathrm{d}t + \int_{1.5}^{\infty} f(t) \mathrm{d}t \\[1em] &= \int_{−\infty}^{−1.5} 0 \mathrm{d}t + \int_{−1.5}^{−1} 1 \mathrm{d}t + \int_{−1}^{1} 0 \mathrm{d}t + \int_{1}^{1.5} 1 \mathrm{d}t + \int_{1.5}^{\infty} 0 \mathrm{d}t \\[1em] &= \int_{−1.5}^{−1} 1 \mathrm{d}t + \int_{1}^{1.5} 1 \mathrm{d}t \\[1em] &= {\Big( t \, \Big|_{−1.5}^{−1} \Big)} + {\Big( t \, \Big|_{1}^{1.5} \Big)} \\[1em] &= (−1 − (−1.5)) + (1.5 − 1) \\[1em] &= (−1 + 1.5) + (1.5 − 1) \\[1em] &= 0.5 + 0.5 \\[1em] &= 1, \end{align*}

por lo que $\int_{−\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{d}t = 1$, así que $f$ es la función de densidad de alguna v.a. continua.

A partir de $f$ podemos obtener la función de distribución que le corresponde, donde para cada $x \in \RR$, se define $F$ como

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t. \]

Sin embargo, como $f$ está definida por pedazos, hay que tener cuidado con cada uno de los casos para $x$. En este caso, $f$ tiene $5$ casos que analizar. Primero, cuando $x < -1.5$, tenemos que

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{x} 0 \mathrm{d}t = 0, \]

pues $f(x) = 0$ cuando $x < -1.5$. Luego, cuando $-1.5 \leq x \leq 1$, tenemos que

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{-1.5} 0 \mathrm{d}t + \int_{-1.5}^{x} 1 \mathrm{d}t = 0 + {\Big( t \, \Big|_{-1.5}^{x} \Big)} = x − (-1.5) = x + 1.5, \]

¡observa con cuidado cómo los integrandos difieren debido a que $f$ está definida por pedazos! Continuando con el ejemplo, cuando $-1 < x < 1$, se tiene que

\begin{align*} F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{-1.5} 0 \mathrm{d}t + \int_{-1.5}^{-1} 1 \mathrm{d}t + \int_{-1}^{1} 0 \mathrm{d}t &= 0 + {\Big( t \, \Big|_{-1.5}^{-1} \Big)} + 0 \\[1em] &= (-1) − (-1.5) \\[1em] &= 0.5, \end{align*}

es decir, $F$ permanece constante entre $-1$ y $1$, y toma el valor $0.5$. Cuando $1 \leq x \leq 1.5$, la integral queda como sigue

\begin{align*} F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t &= \int_{-\infty}^{-1.5} 0 \mathrm{d}t + \int_{-1.5}^{-1} 1 \mathrm{d}t + \int_{-1}^{1} 0 \mathrm{d}t + \int_{-1}^{x} 1 \mathrm{d}t \\[1em] &= 0 + {\Big( t \, \Big|_{-1.5}^{-1} \Big)} + 0 + {\Big( t \, \Big|_{1}^{x} \Big)} \\[1em] &= ((-1) − (-1.5)) + (x − 1) \\[1em] &= 0.5 + x − 1 \\[1em] &= x − 0.5, \end{align*}

y así obtenemos la función de distribución asociada a $f$, que es

\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si $x < -1.5$}, \\[1em] x + 1.5 & \text{si $-1.5 \leq x \leq 1$}, \\[1em] 0.5 & \text{si $-1 < x < 1$}, \\[1em] x − 0.5 & \text{si $1 \leq x \leq 1.5$}, \\[1em] 1 & \text{si $1.5 \leq x$}, \end{cases} \]

que gráficamente se ve como la siguiente figura

Figura. Gráfica de la función de distribución $F$. Observa que, informalmente, puede apreciarse que satisface las propiedades de una función de distribución (como ya lo esperábamos): es no-decreciente, continua por la derecha y sus límites a $-\infty$ e $\infty$ son $0$ y $1$, respectivamente.

Teniendo la función de distribución, es posible calcular muchas probabilidades. Si $U$ es una v.a. cuya distribución es la función $F$ que obtuvimos, entonces podemos obtener:

\[ \Prob{U \leq -\frac{4}{3}} = -\frac{4}{3} + 1.5 = -\frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{-8 + 9}{6} = \frac{1}{6} \approx 0.16666, \]

por lo que $\Prob{U \leq -\frac{4}{3}} \approx 16.666\%$. Además, como $U$ es una v.a. continua, se tiene que $\Prob{U \leq -\frac{4}{3}} = \Prob{U < -\frac{4}{3}}$, pues $\Prob{U = -\frac{4}{3}} = 0$. Esto pasa con cualquier valor, como ya mencionamos anteriormente. Por ello, al obtener probabilidades de que una v.a. continua esté dentro de algún intervalo, puedes no preocuparte por los extremos. Otro ejemplo:

\[ \Prob{X \in (-1.2, 1.4]} = F(1.4) − F(-1.2) = (1.4 − 0.5) − ((-1.2) + 1.5) = 0.9 − 0.3 = 0.6, \]

que es igual a $\Prob{X \in (-1.2, 1.4)}$, pues $\Prob{X = 1.4} = 0$.

Recuperando la densidad a partir de la distribución

Habrá situaciones en las que tendremos la función de distribución de una v.a. continua, y necesitaremos su función de densidad. El siguiente ejemplo exhibe una metodología para obtener la densidad de una v.a. continua a partir de su función de distribución.

Ejemplo 3. Sea $Z$ una v.a. con distribución $G\colon\RR\to\RR$ dada por

\[ G(z) = \begin{cases} 0 & \text{si $x < 0$}, \\[1em] z^2 & \text{si $0 \leq z < \frac{1}{2}$}, \\[1em] 1 − \dfrac{3(1 − z)}{2} & \text{si $\frac{1}{2} \leq z < 1$}, \\[1em] 1 & \text{si $z \geq 1$},\end{cases} \]

que gráficamente se ve como sigue:

Figura. Gráfica de la función $G$. Parece que sí es una función de distribución… ¡No se te olvide verificarlo!

Ahora, para obtener la función de densidad de $Z$, digamos, $g$. Para hacerlo, hay que hacer el procedimiento inverso al que seguimos en el ejemplo anterior. No obstante, la densidad $g$ será una función definida por pedazos, así como $G$ (y como la densidad del ejemplo anterior).

Además, en lugar de integrar, ahora tenemos que encontrar la derivada $G$. Es decir, la función $g$ que buscamos debe de satisfacer que

\[ G'(z) = g(z), \qquad \text{para cada $z\in\RR$.} \]

Sin embargo, observa que la función no es diferenciable sobre todo su dominio. Gráficamente, tiene un piquito en $z=\frac{1}{2}$, que es un indicador de que la función no es diferenciable en ese punto. Lo mismo pasa en $z=1$.

Sin embargo, es posible obtener la derivada de la función $G$ en los pedazos en los que sí es diferenciable. Podemos trabajar de manera similar a como lo hicimos en el ejemplo anterior, analizando cada uno de los casos que contempla la regla de correspondencia de $G$. De este modo, sea $z < 0$. Queremos encontrar $g_{1}$, una función no-negativa, tal que

\[ G(z) = \int_{-\infty}^{z} g_{1}(t) \mathrm{d}t, \]

y como $z < 0$, $G(z) = 0$, por lo que buscamos $g_{1}$ tal que

\[ \int_{-\infty}^{z} g_{1}(t) \mathrm{d}t = 0, \]

que debe de ser una función constante para que se cumpla que $G'(t) = g_{1}(t)$ para $t < 0$. Además, $g_{1}$ debe de ser no-negativa, pues buscamos que sea parte de una función de densidad, la cual debe de ser no negativa. De este modo, la única función $g_{1}$ que satisface este hecho es la función dada por $g_{1}(t) = 0$, pues es constante y su integral de $-\infty$ a $z$ es $0$, con $z < 0$. De este modo, $g$, la derivada de $G$ que buscamos, cumple que $g(z) = 0$ para cada $z < 0$.

Después, para $z \in [0, \frac{1}{2})$, tenemos que

\[ G(z) = z^{2}, \]

y lo que queremos es encontrar una función $g_{2}$ tal que

\[ G(z) = \int_{-\infty}^{0} g_{1}(t) \mathrm{d}t + \int_{0}^{z} g_{2}(t) \mathrm{d}t, \]

donde $g_{1}$ es la que obtuvimos en el paso anterior (gracias al paso anterior sabemos que la derivada de $G$ que estamos construyendo vale $0$ de $-\infty$ a $0$). Por ello, buscamos $g_{2}$ tal que

\[ z^{2} = \int_{-\infty}^{0} g_{1}(t) \mathrm{d}t + \int_{0}^{z} g_{2}(t) \mathrm{d}t = 0 + \int_{0}^{z} g_{2}(t) \mathrm{d}t = \int_{0}^{z} g_{2}(t) \mathrm{d}t, \]

por lo que $g_{2}$ es la función dada por $g_{2}(t) = 2z$ para cada $z \in [0, \frac{1}{2})$; ya que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\left( z^{2} \right)} = 2z$.

Ahora, para $z \in [\frac{1}{2}, 1)$, se tiene que

\[ G(z) = 1 − \frac{3(1 − z)}{2}, \]

y ahora buscamos una función $g_{3}$ tal que

\[ G(z) = \int_{-\infty}^{0} g_{1}(t) \mathrm{d}t + \int_{0}^{\frac{1}{2}} g_{2}(t) \mathrm{d}t + \int_{\frac{1}{2}}^{z} g_{3}(t) \mathrm{d}t. \]

Desarrollando el lado derecho de esta última igualdad obtenemos la siguiente expresión

\begin{align*} \int_{-\infty}^{0} g_{1}(t) \mathrm{d}t + \int_{0}^{\frac{1}{2}} g_{2}(t) \mathrm{d}t + \int_{\frac{1}{2}}^{z} g_{3}(t) \mathrm{d}t &= 0 + {\left({\left( \frac{1}{2} \right)}^{2} − 0^{2} \right)} + \int_{\frac{1}{2}}^{z}g_{3}(t) \mathrm{d}t \\[1em] &= \frac{1}{4} + \int_{\frac{1}{2}}^{z}g_{3}(t) \mathrm{d}t, \end{align*}

y, por otro lado, desarrollando el lado izquierdo, obtenemos que

\[ G(z) = 1 − \frac{3(1 − z)}{2} = 1 − \frac{3 − 3z}{2} = \frac{2 − (3 − 3z)}{2} = \frac{3z − 1}{2} \]

por lo que la función $g_{3}$ que buscamos debe de cumplir que

\[ \frac{3z − 1}{2} = \frac{1}{4} + \int_{\frac{1}{2}}^{z}g_{3}(t) \mathrm{d}t, \]

que desarrollando un poco, nos dice que $g_{3}$ debe de satisfascer

\[ \frac{3z}{2} − \frac{3}{4} = \int_{\frac{1}{2}}^{z}g_{3}(t) \mathrm{d}t. \]

Ahora, esto es algo que no se notó mucho en el paso anterior en el que obtuvimos $g_{2}$, pero la expresión de la izquierda incluye las constantes de integración. Esto es de esperarse, pues se trata del teorema fundamental del cálculo.

Bien, ahora observa $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\left( \frac{3z}{2} − \frac{3}{4} \right)} = \frac{3}{2}$; así que $g_{3}(t) = \frac{3}{2}$ es la función que queremos. Más aún, podemos confirmarlo integrando $g_{3}$ de $\frac{1}{2}$ a $z$:

\[ \int_{\frac{1}{2}}^{z} \frac{3}{2} \mathrm{d}t = \frac{3}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{z} 1 \mathrm{d}t = \frac{3}{2}{\left( z − \frac{1}{2} \right)} = \frac{3z}{2} − \frac{3}{4}, \]

por lo que $g_{3}(t) = \frac{3}{2}$ es precisamente la función que buscamos.

Finalmente, para $z \geq 1$, tenemos que $G(z) = 1$, por lo que nos queda encontrar $g_{4}$ tal que

\begin{align*} 1 &= \int_{-\infty}^{0} g_{1}(t) \mathrm{d}t + \int_{0}^{\frac{1}{2}} g_{2}(t) \mathrm{d}t + \int_{\frac{1}{2}}^{1} g_{3}(t) \mathrm{d}t + \int_{1}^{\infty} g_{4}(t) \mathrm{d}t, \\[1em] &= \int_{-\infty}^{0} 0 \mathrm{d}t + \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2t \mathrm{d}t \mathrm{d}t + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{3}{2} \mathrm{d}t + \int_{1}^{\infty} g_{4}(t) \mathrm{d}t \\[1em] &= 0 + \frac{1}{4} + {\left( \frac{3}{2} − \frac{3}{4} \right) } + \int_{1}^{\infty} g_{4}(t) \mathrm{d}t \\[1em] &= \frac{1}{4} + {\left( \frac{6 − 3}{4} \right) } + \int_{1}^{\infty} g_{4}(t) \mathrm{d}t \\[1em] &= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \int_{1}^{\infty} g_{4}(t) \mathrm{d}t \\[1em] &= 1 + \int_{1}^{\infty} g_{4}(t) \mathrm{d}t \end{align*}

por lo que $g_{4}$ debe de satisfacer que

\[ 1 = 1 + \int_{1}^{\infty} g_{4}(t) \mathrm{d}t, \]

o equivalentemente, que $\int_{1}^{\infty} g_{4}(t) \mathrm{d}t = 0$. Similarmente a $g_{1}$, la única función no-negativa que satisface esto es $g_{4}(z) = 0$, para cada $z \geq 1$. Así, colocando cada una de las funciones que hemos obtenido en el caso que le corresponde, obtenemos que la densidad de $Z$ es la función $g\colon\RR\to\RR$ dada por

\[ g(z) = \begin{cases} 0 & \text{si $x < 0$}, \\[1em] 2z & \text{si $0 \leq z < \frac{1}{2}$}, \\[1em] \frac{3}{2} & \text{si $\frac{1}{2} \leq z < 1$}, \\[1em] 0 & \text{si $z \geq 1$},\end{cases} \]

que gráficamente se ve como sigue:

Figura. Gráfica de $g$, la densidad de $Z$. Observa que $g$ no es continua, algo que ya dejamos claro que no es necesario. Sin embargo, $g$ claramente es una función integrable.

Usos de las variables aleatorias continuas

Las v.a.’s continuas tienen una cantidad no-numerable de valores que pueden tomar. Esto se debe a que $\RR$ y muchos de sus subconjuntos son ejemplos de conjuntos infinitos no-numerables. Por ejemplo, los intervalos $[0,1]$, $[0, \infty)$, $(−5, 3]$ son ejemplos de conjuntos con cardinalidad infinita no-numerable. Por ello, las v.a.’s continuas se utilizan en fenómenos cuyo resultado amerita usar la precisión de los números reales.

Un primer ejemplo son los fenómenos en donde el resultado es un valor de tiempo. El tiempo que esperas hasta que llega un autobús a la parada en la que lo tomas; el tiempo que tarda en fallar algún aparato electrónico (el ejemplo clásico es el tiempo que tarda un foco en fundirse); el tiempo de vida que le queda a una persona (espeluznante, pero a los actuarios les interesa debido a los seguros de vida); etcétera. Cuando se habla de tiempos, suelen usarse v.a.’s continuas que tengan a $[0, \infty)$ como soporte para asegurar que el modelo contempla únicamente valores no-negativos. Las v.a.’s con distribución exponencial (que mencionamos en el primer ejemplo de esta entrada) son un ejemplo de este tipo de v.a.’s.

Otro ejemplo donde se usan v.a.’s continuas son los fenómenos financieros. El precio de un activo en un momento dado; la paridad cambiaria entre divisas; el valor que tomará la tasa de interés o de rendimiento en un instrumento financiero (como una anualidad) en el futuro; etcétera. La teoría de los procesos estocásticos es la rama de la probabilidad que se encarga del estudio de fenómenos aleatorios a través del tiempo, y resulta fundamental para el análisis de fenómenos financieros como los que aquí mencionamos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

  1. Demuestra que si $f\colon\RR\to\RR$ es una función que satisface \begin{align*} f(x) \geq 0 \quad \text{para cada $x \in \RR$} \qquad \text{y} \qquad \int_{−\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{d}t = 1,\end{align*}entonces $f$ es la función de densidad de alguna v.a. continua. Sugerencia: Define $F\colon\RR\to\RR$ como sigue: para cada $x \in \RR$, \[ F(x) = \int_{−\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{d}t, \]y demuestra que $F$ es una función de distribución.
  2. Demuestra que la función $g\colon\RR\to\RR$ dada por\[ g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si $x \in [−1,0)$,} \\[1em] 1 − x & \text{si $x \in [0, 1]$,} \\[1em] 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]es la función de densidad de alguna v.a. continua. La gráfica de $g$ puede apreciarse en la siguiente figura:
  3. Verifica que la función $G$ del Ejemplo 3 es una función de distribución.

Más adelante…

Es importante que entiendas las diferencias que existen entre las v.a.’s discretas y las continuas. Repasa esta entrada y la anterior las veces que sea necesario para que no te confundas entre ambas. En la siguiente entrada veremos qué es lo que resulta de aplicarle funciones (transformaciones) a una v.a.

En cuanto a las aplicaciones, verás muchísimas más en materias posteriores, como en las materias de estadística. Por nuestro lado veremos varias distribuciones de probabilidad importantes (como la distribución exponencial) con las que seguramente te encontrarás en ese tipo de materias.

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Introducción

En las entradas pasadas introdujimos los conceptos de variable aleatoria y función de distribución. Además, al final de la entrada pasada comentamos que las variables aleatorias pueden clasificarse como discretas o continuas, dependiendo de la cardinalidad del conjunto de valores que pueden tomar.

En esta entrada trataremos el caso de las variables aleatorias discretas. En el contexto de las matemáticas se usa el término «discreta» para hacer referencia a conjuntos finitos o infinitos numerables. Por ello, a grandes rasgos, las variables aleatorias discretas son aquellas cuyo conjunto de valores que pueden tomar es a lo más infinito numerable.

¡IMPORTANTE! Algunas convenciones que usaremos

De ahora en adelante, escribiremos «variable aleatoria» simplemente como v.a. De este modo, por ejemplo, cuando digamos «sea $X$ una v.a.», deberás de leerlo como «sea $X$ una variable aleatoria».

Por otro lado, usaremos los límites laterales (por la derecha y por la izquierda) de la función de distribución, por lo que introduciremos la siguiente notación: si $F\colon\RR\to\RR$ es una función, entonces

\begin{align*}F(a+) &:= \lim_{x\to a^{+}} F(x), \\ F(a-) &:= \lim_{x\to a^{-}} F(x). \end{align*}

En otras palabras,

  • $F(a+)$ es el límite de $F(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la derecha.
  • $F(a-)$ es el límite de $F(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda.

Esta convención facilita la escritura de las fórmulas que involucran a estos límites.

Definición de variable aleatoria discreta

Como su nombre lo indica, una v.a. discreta es aquella v.a. cuyo conjunto de valores que puede tomar es un conjunto de cardinalidad a lo más numerable. Es decir, que la cantidad de valores distintos que puede tomar la v.a. es finito, o infinito numerable.

Definición. Sea $X$ una v.a. sobre $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$. Diremos que $X$ es una variable aleatoria discreta si el conjunto de valores que puede tomar $X$ es finito o infinito numerable.

De manera más formal, un conjunto $S \in \mathscr{B}(\RR)$ es llamado un soporte de la v.a. $X$ si $\Prob{X \in S} = 1$. Así, $X$ es una v.a. discreta si tiene un soporte finito o infinito numerable.

Cuando $X$ es una v.a. discreta, y el conjunto de valores que toma $X$ es $\{ x_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ de tal manera que $x_{n} < x_{n+1}$ para cada $n \in \mathbb{N}^{+}$, la función de distribución de $X$, $F_{X}$, es una función escalonada con una discontinuidad de magnitud $\Prob{X = x_{n}}$ en cada $x_{n}$. Además, $F_{X}$ es constante entre los $x_{n}$, y toma el valor mayor en cada discontinuidad. Esto es algo que puedes observar en el ejemplo 4 de la entrada anterior.

Además, si $X$ es una variable aleatoria cualquiera, se cumple que

\[ \Prob{X = a} = \Prob{X \leq a} − \Prob{X < a} = F_{X}(a) − F_{X}(a-). \]

En particular, cuando $X$ es una variable aleatoria discreta, $\Prob{X = a} > 0$ cuando $a$ es alguno de los valores que puede tomar $X$; y es $0$ en cualquier otro caso. La demostración de que $F_{X}(a-) = \Prob{X < a}$ te la dejamos como parte de la tarea moral.

Más aún, como vimos que la función de distribución de una v.a. contiene toda la información sobre una v.a. $X$, entonces si $X$ es una v.a. discreta, los valores $\Prob{X = a}$ para cada $a \in \RR$ capturan toda la información sobre el comportamiento probabilístico de $X$. ¡Cuidado! Esto sólamente pasa con las v.a.’s discretas, veremos que con las continuas no es así.

Función de masa de probabilidad de una v.a. discreta

A la función que manda a cada $a\in\RR$ al valor $\Prob{X=a}$ se le conoce como la función de masa de probabilidad (en inglés, probability mass function), que definimos a continuación.

Definición. Sea $X$ una v.a. discreta que toma los valores $\{ x_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$. Se define la función de masa de probabilidad (f.m.p.) de $X$, denotada por $p_{X}\colon\RR\to\RR$, como sigue.

\[ p_{X}(x) = \Prob{X = x}. \]

Esta función también es conocida simplemente como función de probabilidad.

Observa que $p_{X}(x) > 0$ cuando $x$ es alguno de los valores en $\{ x_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$; y $p_{X}(x) = 0$ en cualquier otro caso. De acuerdo con lo anterior, para cualquier $A \in \mathscr{B}(\RR)$ se tendrá que

\[ \Prob{X \in A} = \sum_{x\in A} p_{X}(x). \]

La suma anterior es discreta, pues $p_{X}(x)$ es mayor a $0$ en a lo más en una cantidad numerable de valores.

Ejemplo 1. Sea $X$ una v.a. con distribución $F\colon\RR\to\RR$ dada por

\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si $x < -1$,} \\[1em] 0.1 & \text{si $-1 \leq x < 0$,} \\[1em] 0.3 & \text{si $0 \leq x < 1$,} \\[1em] 0.8 & \text{si $1 \leq x < 2$,} \\[1em] 1 & \text{si $2 \leq x$.}\end{cases} \]

Es decir, la función de distribución de $X$ es $F$. Gráficamente, la función $F$ se ve como sigue:

Figura. Gráfica de la función $F$.

Los puntos en los que $F$ presenta una discontinuidad son los valores que toma la variable aleatoria $X$, y la magnitud de los saltos es la probabilidad de que tome cada respectivo valor. La magnitud del salto corresponde precisamente a

\[ \Prob{X = a} = F(a) − F(a-), \]

pues en aquellos valores de $a$ en los que hay una discontinuidad, $F(a)$ y $F(a-)$ son valores distintos. Además, observa que para cada $a \in \RR$, $F(a)$ es la probabilidad acumulada por todos los valores menores o iguales a $a$. Por ejemplo, $F(-2) = 0$, que significa que $F$ no ha acumulado probabilidad hasta el valor $-2$. Es decir, todos los números reales menores o iguales a $-2$ acumulan $0$ de probabilidad. Por otro lado, $F(0) = 0.3$, por lo que la probabilidad acumulada hasta $0$ es de $0.3$. Esto es, los números reales que son menores o iguales a $0$ acumulan $0.3$ de la probabilidad.

A partir de la distribución $F$ podemos obtener la función de masa de probabilidad de $X$. Para ello, tenemos que usar la fórmula

\[ \Prob{X = a} = F(a) − F(a-). \]

Esta expresión es distinta de $0$ en todos los valores de $a$ en los que $F$ presenta una discontinuidad, y es $0$ en otro caso. En los puntos de discontinuidad se tiene que:

\begin{array}{lclclcl} \Prob{X =-1} &= & F(-1) − F((-1)-) & = & 0.1 − 0 & = & 0.1, \\
\Prob{X = 0} &= & F(0) − F(0-) & = & 0.3 − 0.1 & = & 0.2, \\
\Prob{X = 1} &= & F(1) − F(1-) & = & 0.8 − 0.3 & = & 0.5, \\ \Prob{X = 2} &= & F(2) − F(2-) & = & 1 − 0.8 & = & 0.2. \\ \end{array}

De este modo, la función de masa de probabilidad de $X$ es la función $p_{X}\colon\RR\to\RR$ dada por

\[ p_{X}(x) = \begin{cases} 0.1 & \text{si $x = -1$,} \\[1em] 0.2 & \text{si $x = 0$ o $x = 2$,} \\[1em] 0.5 & \text{si $x = 1$,} \\[1em] 0 & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

Esto significa que la variable aleatoria $X$ toma valores en el conjunto $\{ -1, 0, 1, 2 \}$, que son precisamente los puntos en los que $F$ tiene una discontinuidad.

Conexión entre la función de masa de probabilidad y la función de distribución

En el ejemplo anterior puede observarse que la función de masa de probabilidad de $X$ contiene toda la información sobre el comportamiento probabilístico de $X$, pues gracias a ella podemos saber:

  • El conjunto de valores que puede tomar $X$, que son aquellos cuya probabilidad es mayor a $0$.
  • La probabilidad de que tome cada uno de estos valores.

Además, es posible recuperar la función de distribución de $X$ en cada $x \in \RR$ sumando los valores que toma $p_{X}$ hasta $x$.

\[ F(x) = \sum_{y \in (-\infty, x]} p_{X}(y). \]

La suma anterior tendrá a lo más una cantidad numerable de términos, pues $p_{X}(y) > 0$ en a lo más una cantidad numerable de valores. Además, como la función de masa de probabilidad permite recuperar una función de distribución, es suficiente con tener la f.m.p. para conocer el comportamiento probabilístico de una v.a. discreta. Por ello, usualmente en los ejercicios se te dará la función de masa de probabilidad.

Ejemplo 2. Una variable aleatoria que toma una cantidad infinita numerable de valores también es discreta. Por ejemplo, sea $Y$ una v.a. con función de masa de probabilidad $p_{Y}\colon\RR\to\RR$ dada por

\[ p_{Y}(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{y}} & \text{si $y \in \mathbb{N}^{+}$,} \\[1em] 0 & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

De este modo, tenemos que

\begin{align*} p_{Y}(1) = \Prob{Y = 1} = \frac{1}{2^{1}} = \frac{1}{2}, \\[1em] p_{Y}(2) = \Prob{Y = 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}, \\[1em] p_{Y}(3) = \Prob{Y = 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}, \end{align*}

etcétera. Sin embargo, observa que ahora te estamos dando una función de masa de probabilidad, y no te damos una función de distribución. ¿Cómo podemos estar seguros de que la función que nos están dando representa el comportamiento probabilístico de manera correcta? Hay dos cosas de tenemos que revisar:

  • Para cada $y \in \RR$, se debe de cumplir que $p_{Y}(y) \geq 0$. Recuerda, $p_{Y}(y)$ es una probabilidad, así que debe de ser mayor o igual a $0$.
  • Que la suma de todos los valores que toma $p_{Y}$ es $1$. Esto debe de pasar porque la probabilidad de que $Y$ tome alguno de los valores que puede tomar debe de ser $1$.

La primera propiedad se cumple, pues $p_{Y}(y)$ es $0$ o una potencia de $\frac{1}{2}$. La segunda propiedad hay que verificarla. Para ello, hay que obtener

\[ \sum_{k=1}^{\infty} p_{Y}(k) = \sum_{k=1}^{\infty} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{k}. \]

Podemos hacer uso de la fórmula para una serie geométrica, modificando un poco la expresión anterior. Así,

\begin{align*} \sum_{k = 1}^{\infty} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{k} &= \sum_{k = 0}^{\infty} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{k+1} \\[1em] &= \sum_{k = 0}^{\infty} {\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)} \sum_{k = 0}^{\infty} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{k} \\[1em] \end{align*}

Así, nos queda una serie geométrica de la forma $\sum_{k=0}^{\infty} ar^{k}$, con $0 < r < 1$, por lo que resulta

\begin{align*} {\left(\frac{1}{2}\right)} \sum_{k = 0}^{\infty} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{k} &= {\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{1}{1 − \frac{1}{2} }\right)} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(2\right)} \\[1em] &= 1.\end{align*}

Esto garantiza que $p_{Y}$ es una función que describe el comportamiento probabilístico de una v.a.

Podemos hacer el cálculo de probabilidades de $Y$. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que $Y$ sea $2$ o sea $6$? Para verlo, tenemos que obtener la probabilidad de $(X =2) \cup (X = 6)$. Estos dos conjuntos son ajenos, pues

\[ (X = 2) \cap (X = 6) = X^{-1}[\{ 2 \}] \cap X^{-1}[\{ 6 \}] = X^{-1}[\{ 2 \} \cap \{ 6 \}] = X^{-1}[\emptyset] = \emptyset, \]

así que $\Prob{(X = 2) \cup (X = 6)} = \Prob{X = 2} + \Prob{X = 6}$. Así, tenemos que

\begin{align*} \Prob{(X = 2) \cup (X = 6)} &= \Prob{X = 2} + \Prob{X = 6} \\[1em]
&= p_{Y}(2) + p_{Y}(6) \\[1em] &= \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{6}} \\[1em] &= \frac{1}{4} + \frac{1}{64} \\[1em] &= \frac{17}{64} \approx 0.2656, \\[1em] \end{align*}

así que la probabilidad de que $Y$ tome el valor $2$ o tome el valor $6$ es de aproximadamente $0.2656$, o $26.56\%$. Por otro lado, ¿cuál será la probabilidad de que $Y \leq 5$? Esta es la probabilidad de que tome alguno de los valores $1$, $2$, $3$, $4$ o $5$. En consecuencia, tenemos que

\begin{align*} \Prob{Y \leq 5} &= \Prob{Y = 1} + \Prob{Y = 2} + \Prob{Y = 3} + \Prob{Y = 4} + \Prob{Y = 5} \\[1em] &= \sum_{k=1}^{5} \Prob{Y = k} \\[1em] &= \sum_{k=1}^{5} p_{Y}(k) \\[1em] &= \sum_{k=1}^{5} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{k} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)}\sum_{k=1}^{5} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{k−1} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)}\sum_{k=0}^{4} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{k} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)} {\left(\dfrac{1 − {\left(\frac{1}{2}\right)}^{4+1}}{1 − \frac{1}{2}}\right)} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)} {\left(\dfrac{1 − {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5}}{\frac{1}{2}}\right)} \\[1em] &= {1 − {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5}} = 0.96875, \end{align*}

así que la probabilidad de que $Y$ sea menor o igual a $5$ es de $0.96875$, o $96.875\%$. Otra pregunta interesante es, ¿cuál es la probabilidad de que $Y$ sea un número par? Es decir, si $P$ es el conjunto de números naturales pares,

\[ P = \{ n \in \mathbb{N}^{+} \mid \exists k \in \mathbb{N}\colon n = 2k \}, \]

¿cuál es el valor de $\Prob{Y \in P}$? Para verlo, observa que como en las probabilidades anteriores, la probabilidad que queremos calcular puede verse como la suma de las probabilidades de todos los valores en $P$. De este modo, se tiene que

\begin{align*} \Prob{Y \in P} &= \sum_{n \in P} \Prob{Y = n} \\[1em] &= \sum_{k = 1}^{\infty} \Prob{Y = 2k} \\[1em] &= \sum_{k = 1}^{\infty} p_{Y}(k) \\[1em] &= \sum_{k=1}^{\infty} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2k} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}\sum_{k=1}^{\infty} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2k−2} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}\sum_{k=1}^{\infty} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2(k−1)} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}\sum_{k=1}^{\infty} {\left(\frac{1}{2^{2}}\right)}^{k−1} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}\sum_{k=1}^{\infty} {\left(\frac{1}{4}\right)}^{k−1} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}\sum_{k=0}^{\infty} {\left(\frac{1}{4}\right)}^{k} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{4}\right)}{\left(\dfrac{1}{1 − \frac{1}{4}}\right)} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{4}\right)}{\left(\dfrac{1}{\frac{3}{4}}\right)} \\[1em] &= {\left(\frac{1}{4}\right)}{\left(\dfrac{4}{3}\right)} = \frac{1}{3},\end{align*}

así que la probabilidad de que $Y$ tome como valor un número par es de $\frac{1}{3}$, o $33.333\ldots\%$.

Finalmente, observa que $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}^{+}$ son soportes de $Y$, pues $\Prob{Y \in \mathbb{N}^{+}} = 1$, y como $\mathbb{N}^{+} \subseteq \mathbb{N}$, se tiene que $\Prob{Y \in \mathbb{N}^{+}} \leq \Prob{Y \in \mathbb{N}}$, que implica $\Prob{Y \in \mathbb{N}} = 1$. Esto exhibe que cuando $S$ es un soporte de una v.a. discreta, está asegurado que contiene a todos los valores que puede tomar la v.a., pero no significa que todos los elementos de $S$ tienen probabilidad positiva. Por ejemplo, en este caso tenemos que $\Prob{Y = 0} = 0$ y $0 \in \mathbb{N}$.

Propiedades de una función de masa de probabilidad

Como vimos en el ejemplo anterior (y en la discusión que le precede), la función de masa de probabilidad es suficiente para conocer el comportamiento probabilístico de una v.a. discreta. Por ello, es necesario saber qué propiedades necesita una función cualquiera para ser la función de masa de probabilidad de alguna v.a. discreta $X$.

Sea $p\colon\RR\to\RR$ una función y sea $S = \{ \, s_{i} \mid i \in I \, \} \in \mathscr{B}(\RR)$ un conjunto a lo más numerable de números reales y sea $\{ \pi_{i} \mid i \in I \}$ una colección de números reales tales que

  1. Para cada $i \in I$ se cumple que $\pi_{i} \geq 0$.
  2. Se cumple que\[ \sum_{i \in I} \pi_{i} = 1, \]

si definimos $p\colon\RR\to\RR$ como

\[ p(x) = \begin{cases} \pi_{i} & \text{si $x = s_{i}$, con $i \in I$,} \\[1em] 0 & \text{si $x \notin S$,}\end{cases} \]

entonces existe una v.a. discreta $X$ tal que $p$ es la función de masa de probabilidad de $X$. En efecto, al tomar $F\colon\RR\to\RR$ dada por

\[ F(x) = \sum_{s \in (-\infty, x]} p(s), \quad \text{para cada $x \in \RR$,} \]

se tiene que $F$ es una función de distribución, así que la existencia de $X$ está garantizada por lo que vimos en la entrada de Funciones de Distribución.

En conclusión, si tu cuentas con una colección a lo más numerable $S = \{ \, s_{i} \mid i \in I \, \}$ de números reales, y $\{ \, \pi_{i} \mid i \in I \, \}$ son números reales que se pueden usar como la probabilidad de los elementos de $S$ (de tal manera que $\pi_{i}$ es la probabilidad de $s_{i}$), estos valores definen las probabilidades de que alguna v.a. discreta tome los valores en $S$.

Esto es, existe una v.a. discreta $X$ tal que

\begin{align*} \Prob{X = s_{i}} &= \pi_{i}, \quad \text{para cada $i \in I$.}\end{align*}

Fórmula para la función de distribución a partir de la función de masa de probabilidad

Más adelante veremos algunas v.a.’s que tienen a $\mathbb{N}$ como un soporte. Esto es, la probabilidad de que esas v.a.’s caigan en $\mathbb{N}$ es $1$. Por ello, el conjunto de valores que puede tomar una v.a. de ese tipo es el conjunto de los números naturales, o algún subconjunto de este, como $\mathbb{N}^{+}$ o $\{ 0, 1, \ldots, n \}$, para algún $n \in \mathbb{N}^{+}$. Por ejemplo, ya vimos que $\mathbb{N}$ es un soporte de la v.a. $Y$ del último ejemplo; aún cuando el conjunto de valores que puede tomar $Y$ es $\mathbb{N}^{+}$.

En tales casos, la función de distribución de una v.a. discreta puede escribirse a partir de la función de masa de probabilidad de manera ordenada como sigue. Si $X$ es una v.a. discreta tal que su función de masa de probabilidad es $p_{X}\colon\RR\to\RR$ dada por

\[p_{X}(x) = \begin{cases} \pi_{x} & \text{para cada $x \in \mathbb{N}$,} \\[1em] 0 & \text{si $x \notin \mathbb{N}$}, \end{cases} \]

donde $\{ \pi_{i} \mid i \in \mathbb{N} \}$ son números reales tales que $\pi_{i} \geq 0$ para cada $i \in \mathbb{N}$ y $\sum_{k=0}^{\infty} \pi_{k} = 1$. Entonces la función de distribución de $X$ puede escribirse como

\[ F_{X}(x) = \begin{cases} 0 & \text{si $x < 0$,} \\[1em] \pi_{0} + \pi_{1} + \cdots + \pi_{\lfloor x \rfloor} & \text{si $x \geq 0$}. \end{cases} \]

donde $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero que es menor o igual a $x$. Por ejemplo, $\lfloor \pi \rfloor = 3$ y $\lfloor 6.34 \rfloor = 6$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

  1. Demuestra que si $X$ es una v.a., entonces se para cada $a \in \RR$ se cumple que\[ F_{X}(a-) = \Prob{X < a}. \]Sugerencia: Aplica el teorema de continuidad de la probabilidad a la sucesión de conjuntos $\{ A_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$, donde para cada $n\in\mathbb{N}^{+}$ definimos $A_{n} = (-\infty, a − \frac{1}{n}]$.
  2. Retomando el Ejemplo 1, encuentra la probabilidad de que «$X$ tome el valor $1$ o el valor $-1$».
  3. Encuentra la función de distribución de la variable aleatoria $Y$ del Ejemplo 2. Sugerencia: Nosotros obtuvimos $\Prob{Y \leq 5}$, ¿qué pasa si en vez de hacerlo para $5$, lo haces para cualquier $x \in \RR$?

Más adelante…

Más adelante veremos muchas v.a.’s discretas para las cuales $\mathbb{N}$ es un soporte. Como comentamos en la última sección de esta entrada, esto significará que el conjunto de valores que pueden tomar esas v.a.’s es $\mathbb{N}$ o algún subconjunto de $\mathbb{N}$. Por ello, la función de distribución de esas v.a.’s podrá escribirse utilizando la fórmula que obtuvimos en esa sección.

En la siguiente entrada abordaremos las v.a.’s continuas. Así como las v.a.’s discretas, las v.a.’s continuas tienen ciertas peculiaridades importantes que tenemos que analizar.

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