Geometría Moderna I: Punto simediano

Introducción

El punto simediano es el punto en el que concurren las simedianas de un triángulo, es otro punto notable del triángulo, en esta entrada veremos algunas de sus propiedades.

Punto simediano

Teorema 1. Las tres simedianas de un triángulo son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto simediano o punto de Lemoine a menudo denotado con la letra $K$ .

Demostración. En la entrada teorema de Menelao mostramos que un triángulo $△ A B C$ y su triangulo tangencial $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , están en perspectiva desde una recta, conocida como eje de Lemoine.

Por el teorema de Desargues, $△ A B C$ y $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ están en perspectiva desde un punto, es decir, $A K_{a}$ , $B K_{b}$ y $C K_{c}$ concurren en un punto $K$ .

Por el teorema 2 de la entrada anterior, dos exsimedianas (los lados del triángulo tangencial $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ ) y una simediana, que pasan por vértices distintos de $△ A B C$ concurren en un punto exsimediano, es decir, $A K_{a}$ , $B K_{b}$ , $C K_{c}$ son las simedianas de $△ A B C$ .

Observación. Como el eje de Lemoine de $△ A B C$ es el eje de Gergonne de $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , entonces el punto de Lemoine de $△ A B C$ es el punto de Gergonne de $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , su triángulo tangencial.

Corolario 1. Sea $S = A K \cap B C$ entonces $A K S K_{a}$ es una hilera armónica de puntos.

Demostración. Por el corolario de la entrada anterior $B (A K_{b} C K_{a})$ es un haz armónico de rectas y como $A D$ es transversal entonces sus intersecciones con el haz forman una hilera armónica.

Triángulo pedal del punto simediano

Definición. Dados un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , es aquel cuyos vértices son las proyecciones de $P$ en los lados de $△ A B C$ . Por ejemplo, el triángulo órtico es el triángulo pedal del ortocentro.

Teorema 2, de Lemoine. El punto simediano es el único punto del plano que es el centroide de su propio triángulo pedal.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $K$ su punto simediano, considera $X$ , $Y$ y $Z$ las proyecciones de $K$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, sea $X^{'} \in K X$ tal que $Y X^{'} ∥ K Z$ .

Entonces $△ A B C \sim △ Y X^{'} K$ , pues sus respectivos lados son perpendiculares, esto es
$\frac{A B}{A C} = \frac{Y X^{'}}{Y K}$ .

Pero $\frac{A B}{A C} = \frac{K Z}{K Y}$ pues $K$ esta en la $A$ -simediana, por lo tanto $K Z = Y X^{'}$ .

En consecuencia, $X^{'} Z K Y$ es un paralelogramo y por lo tanto $K X^{'}$ biseca a $Y Z$ .

Como resultado tenemos que $X K$ es mediana de $△ X Y Z$ .

De manera análoga vemos que $Y K$ , $Z K$ son medianas de $△ X Y Z$ , por lo tanto, $K$ es el centroide de su triangulo pedal.

Recíprocamente, supongamos que $K$ es el centroide de su triángulo pedal $△ X Y Z$ respecto a $△ A B C$ , con $X \in B C$ , $Y \in C A$ , $Z \in A B$ , sea $M$ el punto medio de $Y Z$ , extendemos $K M$ hasta un punto $X^{'}$ tal que $K M = M X^{'}$ .

Como $Y Z$ y $K X^{'}$ se bisecan entonces $X^{'} Z K Y$ es un paralelogramo, entonces $Y X^{'} = K Z$ y $Y X^{'} ∥ K Z$ .

Ya que los lados de $△ Y X^{'} K$ son perpendiculares a los lados de $△ A B C$ , entonces son semejantes, esto es
$\frac{A B}{A C} = \frac{Y X^{'}}{Y K} = \frac{K Z}{K Y}$ .

Por lo tanto, $K$ está en la $A$ -simediana, igualmente vemos que $K$ pertenece a las $B$ y $C$ -simedianas.

En consecuencia, $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ .

Conjugado isotómico del punto simediano

Teorema 3. Las rectas que unen el punto medio del lado de un triángulo con el punto medio de la altura perpendicular a ese lado concurren en el punto simediano del triángulo.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $K$ el punto simediano, $K_{b}$ el punto exsimediano opuesto al vértice $B$ , $S = B K_{b} \cap C A$ .

Por el corolario 1, $B K S K_{b}$ es una hilera armónica, por lo tanto, $B^{'} (B K S K_{b})$ es un haz armónico, donde $B^{'}$ es el punto medio de $C A$ .

Considera $O$ el circuncentro de $△ A B C$ y $H_{b}$ el pie de la altura por $B$ , notemos que $O$ , $B^{'}$ y $K_{b}$ son colineales, por lo tanto, $B^{'} K_{b}$ es perpendicular a $C A$ y así $B H_{b} ∥ B^{'} K_{b}$ .

Como $B H_{b}$ es paralela a una de las rectas del haz armónico, entonces las otras tres rectas del haz dividen a $B H_{b}$ en dos segmentos iguales, es decir $B^{'} K$ biseca a $B H_{b}$ .

Igualmente vemos que $A^{'} K$ y $C^{'} K$ bisecan a $A H_{a}$ y $C H_{c}$ respectivamente, y de esto concluimos la concurrencia de las rectas mencionadas.

Proposición 1. El ortocentro de un triángulo y el punto simediano de su triángulo anticomplementario son conjugados isotómicos respecto del triángulo original.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ su triángulo anticomplementario.

Como $A B$ y $A C$ son segmentos medios de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces $A B A^{'} C$ es un paralelogramo, por lo tanto, $△ A B C$ y $△ A^{'} C B$ son congruentes, además $A A^{'}$ y $B C$ se intersecan en su punto medio $N$ .

Sean $H_{a}$ , $M_{a}$ los pies de las alturas desde $A$ y $A^{'}$ respectivamente en $B C$ , como $△ A B C ≅ △ A^{'} C B$ , entonces $A H_{a} = M_{a} A^{'}$ .

Por criterio de congruencia ALA, $△ A H_{a} N ≅ △ A^{'} M_{a} N$ , por lo que $H_{a} N = N M_{a}$ , es decir, el punto medio de $H_{a}$ y $M_{a}$ coincide con el punto medio de $B C$ ,

Por lo tanto, $H_{a}$ y $M_{a}$ son puntos isotómicos respecto de $△ A B C$ .

Sea $F$ el pie de la altura por $A^{'}$ en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , como $A H_{a} M_{a} F$ es un rectángulo entonces $M_{a} A^{'} = A H_{a} = F M_{a}$ , y así $M_{a}$ es el punto medio de la altura $A^{'} F$ .

Por lo tanto, el segmento $A M_{a}$ une los puntos medios de un lado y una altura de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

De manera análoga vemos que los pies de las alturas en $△ A B C$ , $H_{b}$ , $H_{c}$ son isotómicos a los puntos medios de las alturas en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $M_{b}$ , $M_{c}$ , respectivamente.

Como las alturas de $△ A B C$ concurren en el ortocentro $H$ y, por el teorema 3, los segmentos $A M_{a}$ , $B M_{b}$ , $C M_{c}$ concurren en el punto simediano $S^{'}$ de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces estos puntos son conjugados isotómicos respecto de $△ A B C$ .

Construcción de un triángulo dado su punto simediano

Problema. Construye un triángulo dados dos vértices $B$ , $C$ , y su punto simediano $K$ .

Solución. Supongamos que $△ A B C$ es el triángulo requerido y consideremos $G$ y $A^{'}$ el centroide y el punto medio de $B C$ respectivamente.

Sean $B^{'}$ , $C^{'} \in B C$ , tales que $B^{'} A ∥ B G$ y $A C^{'} ∥ G C$ .

Por el teorema de Tales tenemos
$\frac{1}{2} = \frac{A^{'} G}{G A} = \frac{A^{'} B}{B B^{'}} = \frac{A^{'} C}{C C^{'}}$ .

Por lo tanto, $B B^{'} = C C^{'} = 2 A^{'} B = B C$ , así que $B^{'}$ y $C^{'}$ pueden ser construidos teniendo $B$ y $C$ .

Por otro lado, como $B^{'} A ∥ B G$ y $A C^{'} ∥ G C$ y tomando en cuenta que $K$ esta en las reflexiones de $B G$ y $C G$ respecto de las bisectrices de $∠ B$ y $∠ C$ respectivamente, tenemos lo siguiente:

$∠ B^{'} A B = ∠ G B A = ∠ K B C$ y $∠ C A C^{'} = ∠ A C G = ∠ K C B$ .

Y estos ángulos son conocidos.

Entonces $B^{'} B$ y $C C^{'}$ subtienden ángulos conocidos en $A$ , por lo que podemos trazar los arcos de circunferencia que son el lugar geométrico de los puntos que subtienden estos ángulos.

Así que de la intersección de estos dos arcos resultara en el vértice faltante.

Notemos que los arcos pueden tener dos intersecciones, ser tangentes o no intersecarse, por lo tanto, existen dos, una o cero soluciones.

Distancia del punto simediano a los lados del triángulo

Proposición 2. El punto simediano de un triángulo es el único punto dentro del triángulo cuyas distancias a los lados del triángulo son proporcionales a los respectivos lados.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $K$ su punto simediano, considera $X$ , $Y$ y $Z$ las proyecciones de $K$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, denotemos $B C = a$ , $C A = b$ , $A B = c$ .

Dado que $K$ está en las tres simedianas del triángulo, por el teorema 4 de la entrada anterior, las razones de sus distancias a los lados del triángulo son proporcionales a estos:

$\begin{matrix} (1) & \frac{K Z}{K Y} = \frac{c}{b}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (2) & \frac{K Y}{K X} = \frac{b}{a}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (3) & \frac{K X}{K Z} = \frac{a}{c} . \end{matrix}$

Por $(1)$ , $(2)$ y $(3)$
$\frac{K X}{a} = \frac{K Y}{b} = \frac{K Z}{c} = q$ .

Por lo tanto,
$K Z = \frac{c K Y}{b} = c q$ ,
$K Y = \frac{b K X}{a} = b q$ ,
$K X = \frac{a K Z}{c} = a q$ .

La unicidad se da por que solo los puntos en las simedianas cumplen esa propiedad y solo $K$ se encuentra en las tres simedianas.

Corolario. 2 $K X = a \frac{2 (A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Demostración. Calculamos el área de $△ A B C$ en función de áreas menores (figura 6).

$(△ A B C) = (△ K B C) + (△ K C A) + (△ K A B)$
$= \frac{1}{2} (a K X + b K Y + c K Z)$
$= \frac{q}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ .

Por lo tanto, $K X = a q = a \frac{2 (A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Teorema 4. La suma de los cuadrados de las distancias de un punto a los lados de un triángulo dado, es mínima si el punto es el punto simediano del triángulo.

Demostración. Sean $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ , $z$ seis números reales entonces la siguiente igualdad es cierta:

$(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = (a x + b y + c z)^{2} + (a y - b x)^{2} + (a z - c x)^{2} + (b z - c y)^{2}$ .

Para comprobarlo solo hace falta realizar los productos.

Podemos pensar estas cantidades como los lados de un triángulo $△ A B C$ , $B C = a$ , $C A = b$ , $A B = c$ , y $x$ , $y$ , $z$ , las distancias de un punto $K$ , a los lados de $△ A B C$ .

Notemos $a x + b y + c z$ representa al menos dos veces el área del triángulo $△ A B C$ , $2 (△ A B C)$ , que junto con $(a^{2} + b^{2} + c^{2})$ son constantes.

Como las cantidades $(a y - b x)^{2}$ , $(a z - c x)^{2}$ , $(b z - c y)^{2}$ son mayores o iguales a cero, entonces el mínimo se alcanza si se satisfacen las siguientes igualdades:
$\begin{matrix} (4) & (a y - b x)^{2} = (a z - c x)^{2} = (b z - c y)^{2} = 0, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (5) & a x + b y + c z = 2 (△ A B C) . \end{matrix}$

Por otra parte, por las ecuaciones $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ sabemos que el punto simediano cumple $(4)$ y por el corolario 2 cumple $(5)$ , también podemos calcular directamente,

$K X^{2} + K Y^{2} + K Z^{2} = \frac{(2 (△ A B C))^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Por lo tanto, si $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ , se alcanza el mínimo.

Más adelante…

En la próxima entrada veremos otra propiedad del punto simediano, o punto de Lemoine, que amerita su propia entrada, se trata de un conjunto de circunferencias asociadas a este punto.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Si $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ , sea $X$ la proyección de $K$ en $B C$ , muestra que la reflexión de $X$ respecto de $K$ esta en la mediana que pasa por $A$ .
Encuentra el punto simediano de un triángulo rectángulo.
Sobre los lados de un triángulo $△ A B C$ construye cuadrados externamente, muestra que los lados (de los cuadrados) opuestos a los lados de $△ A B C$ se intersecan formando un triángulo homotético a $△ A B C$ , con centro de homotecia el punto simediano de $△ A B C$ .
Si las simedianas de $△ A B C$ intersecan a su circuncírculo en $D$ , $E$ y $F$ muestra que $△ A B C$ y $△ D E F$ tienen el mismo punto simediano.
$i)$ Muestra que las distancias a los lados de un triángulo desde sus puntos exsimedianos son proporcionales a las longitudes de los lados del triángulo,
$i i)$ calcula dichas distancias.
Prueba que de entre todos los triángulos inscritos en un triángulo dado, el triángulo pedal del punto simediano, es el que tiene la propiedad de que la suma de los cuadrados de sus lados es mínima.

Entradas relacionadas

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Entrada anterior del curso: Simediana.
Siguiente entrada del curso: Circunferencias de Lemoine.
Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 252-257.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 129-145.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 215-218.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

2 comentarios en “Geometría Moderna I: Punto simediano”

Carlos noviembre 19, 2022 a las 1:34 am

Buenos días.
Estoy buscando el nombre de una figura, y no consigo encontrarlo a pesar de que hace años lo encontré pero no lo guarde. Creo recordar que era un tipo de estrella o algo así. A ver si puedo explicarme por si usted puede ayudarme a localizarla.
Se trataría de un tetraedro que tiene un punto (o vértice interior medio) interior equidistante a los vértices exteriores. Es decir, todos los vértices estarían unidos por una linea de forma que no tendría caras exteriores. Cada vértice estará unido a cada uno de los otros y la figura sería algo así como planos determinados por cada vértice incluyendo siempre el punto medio.
Uff, no se si logro explicarme.
Cualquier información sería de gran ayuda para mí.
Muchísimas gracias.

Responder ↓
1. Leonardo Ignacio Martínez Sandoval enero 17, 2023 a las 1:01 pm
  
  Hola Carlos. La verdad, no se muy bien si esa figura tenga un nombre. Y si lo tiene, no lo conozco. Sin embargo, espero que puedas encontrarlo. A lo mejor algunas opciones para buscarlo es «tetraedro apretado», «tetraedro aplastado», «tetraedro sumido» o algo así.
  
  Responder ↓

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Geometría Moderna I: Punto simediano

Introducción

Punto simediano

Triángulo pedal del punto simediano

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Construcción de un triángulo dado su punto simediano

Distancia del punto simediano a los lados del triángulo

Más adelante…

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