Introducción

En esta nueva sección hablaremos acerca del complemento de un conjunto y algunos resultados que se dan a partir de esta definición. A su vez veremos las leyes de De Morgan, las cuales nos dirán cuál es el complemento de la intersección y de la unión de dos o más conjuntos.

Problemas con la definición

Al intentar hablar del complemento de un conjunto, nos gustaría referirnos a la parte que los a completa, es decir, todo lo que no pertenece a él. Por lo que bajo esta idea podríamos definir al complemento de un conjunto como sigue.

Para un conjunto $A$ definimos al complemento de $A$, como la colección:

$A^c=\set{x:x\notin A}$.

Entonces los elementos de $A^c$ serán aquellos que no pertenecen al conjunto $A$. Sin embargo, esta colección no es un conjunto, esto debido a que no existe ninguna restricción extra para sus elementos. Veamos con la siguiente proposición que ocurre si suponemos que $A^c$ definido de esta forma es un conjunto.

Proposición: Para $A$ un conjunto, entonces $\set{x:x\notin A}$ no es un conjunto.

Demostración:

Sea $A$ un conjunto arbitrario y supongamos que $z= \set{x:x\notin A}$ si es un conjunto en busca de una contradicción. Luego, por el axioma de unión $A\cup z$ es un conjunto. Notemos ahora que $A\cup z=\set{x: x\in A\ o\ x\notin A}$ es la colección de todos los conjuntos, pues cualquier conjunto $y$ satisface $y\in A$ o $y\notin A$, es decir, cualquier conjunto $y$ está en $A\cup z$.

Por lo tanto, como $A\cup z$ es un conjunto, concluimos que la colección de todos los conjuntos es un conjunto y esto sabemos que es falso. (Revisar Teoría de los Conjuntos I: Paradoja de Russell)

Como la contradicción viene de suponer que $z=\set{x:x\notin A}$ es un conjunto, se sigue que $z$ no es un conjunto.

$\square$

Arreglemos la definición

Para quitar el problema que nos genera definir al complemento de un conjunto como lo hicimos antes, haremos uso del axioma esquema de comprensión. De modo que, el complemento de un conjunto quedará bien definido si condicionamos a sus elementos. Esto último lo haremos de la siguiente forma:

Definición: Sean $A$ y $X$ conjuntos, definimos al complemento de $A$ respecto del conjunto $X$, como:

$A^c= \set{x\in X:x\notin A}$.

Ejemplo:

Sea $X=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$. Tenemos que $A^c=\set{x\in X: x\notin A}=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

En efecto, pues $\emptyset\in X$ y $\emptyset\in A$ por lo que $\emptyset\notin A^c$ pues no cumple la propiedad para ser elemento del conjunto $A^c$. Por su parte, $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ tampoco es elemento de $A^c$ pues $\set{ \emptyset,\set{\emptyset}}\in X$ y $\set{ \emptyset,\set{\emptyset}}\in A$. Finalmente, $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}\in X$ y $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}\notin A$, por lo que $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}\in A^c$.

$\square$

Observación: Para $A$ y $X$ conjuntos cualesquiera, $A^c= X\setminus A$.

Demostración:

En efecto, pues:

$X\setminus A=\set{x\in X: x\notin A}= A^c$.

$\square$

Resultados del conjunto complemento

Teorema: Sean $A$, $B$, $X$ conjuntos, tales que $A$, $B\subseteq X$. Demuestra que $A\setminus B=A\cap (X\setminus B)$.

Demostración:

$\subseteq$] Sea $a\in A\setminus B$, entonces $a\in A$ y $a\notin B$. Como $a\in A\subseteq X$, entonces $a\in X$. Así, es cierto que $a\in A$ y ($a\in X$ y $a\notin B$), por lo que $a\in A$ y $a\in X\setminus B$ y por lo tanto, $a\in A\cap (X\setminus B)$.

Concluimos que $A\setminus B\subseteq A\cap (X\setminus B)$.

$\supseteq$] Sea $a\in A\cap(X\setminus B)$, entonces $a\in A$ y $a\in X \setminus B$. Entonces $a\in A$ y $a\in X$ y $a\notin B$, en particular, $a\in A$ y $a\notin B$. Así, $a\in A\setminus B$.

Por lo tanto, $A\cap (X\setminus B)= A\setminus B$.

Lo que concluye la prueba.

$\square$

Proposición: Sean $A$ y $B$ conjuntos tales que $A$, $B\subseteq X$. Entonces se cumple lo siguiente:

a) $A\cap (X\setminus A)=\emptyset$,

b) $A\cup (X\setminus A)=X$,

c) $X\setminus(X\setminus A)= A$,

Demostración:

a) Supongamos que $A\cap(X\setminus A)\not=\emptyset$ es busca de una contradicción. Entonces, existe $x\in A\cap(X\setminus A)$, de donde $x\in A$ y $x\in X\setminus A$.

Así, $x\in A$ y $x\in X$ y $x\notin A$. En particular, $x\in A$ y $x\notin A$ lo cual no puede ocurrir. Por lo tanto, $A\cap(X\setminus A)=\emptyset$.

b) Sea $x\in A\cup (X\setminus A)$, entonces $x\in A$ o $x\in X\setminus A$.

Caso 1: Si $x\in A$, entonces $x\in X$ pues $A\subseteq X$ y por lo tanto, $A\cup (X\setminus A)\subseteq X$.

Caso 2: Si $x\in X\setminus A$, entonces $x\in X$ y $x\notin A$. En particular, $x\in X$ y así, $A\cup (X\setminus A)\subseteq X$.

Por lo tanto, $A\cup (X\setminus A)\subseteq X$.

Por otro lado, supongamos que $x\in X$. Tenemos dos casos: $x\in A$ o $x\notin A$.

Caso 1: Si $x\in A$, entonces $x\in A\cup (X\setminus A)$.

Caso 2: Si $x\notin A$, entonces $x\in X$ y $x\notin A$ y así, $x\in X\setminus A$. Por lo tanto, $x\in A\cup(X\setminus A)$.

En cualquiera de los dos casos concluimos que $X\subseteq A\cup (X\setminus A)$.

Por lo tanto, $ $A\cup (X\setminus A)= X$.

c) Primero veamos que $A\subseteq X\setminus (X\setminus A)$. Sea $x\in A$, entonces $x\notin X\setminus A$. Por otro lado, $x\in X$ pues $A\subseteq X$.

Por lo que $x\in X$ y $x\notin X\setminus A$, es decir, $x\in X\setminus(X\setminus A$. Lo que concluye la prueba de que $A\subseteq X\setminus (X\setminus A)$.

Ahora, sea $x\in X\setminus (X\setminus A)$, entonces $x\in X$ y $x\notin X\setminus A$. Esto implica que $x\in X$ y ($x\notin X$ o $x\in A$). Como $x\in X$, entonces $x\notin X$ no es posible y así, $x\in A$. Por lo tanto, $X\setminus(X\setminus A)\subseteq A$.

Por lo tanto, $A=X\setminus (X\setminus A)$.

$\square$

Leyes de De Morgan

Teorema: Sean $A$, $B\subseteq X$, demuestra que:

1. $X\setminus (A\cap B)= (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$,
2. $X\setminus (A\cup B)= (X\setminus A)\cap (X\setminus B)$.

Demostración:

1. Sea $x\in X\setminus (A\cap B)$,
   si y sólo si $x\in X$ y $x\notin A\cap B$ por definición de complemento,
   si y sólo si $x\in X$ y ($x\notin A$ o $x\notin B$) usando que ($\neg (p\land q)\equiv \neg p\vee \neg q$),
   si y sólo si ($x\in X$ y $x\notin A$) o $(x\in X$ y $x\notin B$),
   si y sólo si $x\in X\setminus A$ o $x\in X\setminus B$,
   si y sólo si $x\in (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$.
   Por lo tanto, $X\setminus(A\cap B)=(X\setminus A)\cup (X\setminus B)$.
   
2. Sea $x\in X\setminus (A\cup B)$,
   si y sólo si $x\in X$ y $x\notin A\cup B$ por definición de complemento,
   si y sólo si $x\in X$ y ($x\notin A$ y $x\notin B$) usando que ($\neg (p\vee q)\equiv \neg p\land\neg q$),
   si y sólo si ($x\in X$ y $x\notin A$) y $(x\in X$ y $x\notin B$),
   si y sólo si $x\in X\setminus A$ y $x\in X\setminus B$,
   si y sólo si $x\in (X\setminus A)\cap (X\setminus B)$.
   Por lo tanto, $X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap (X\setminus B)$.

$\square$

Tarea moral

• Demuestra que para $X$ un conjunto cualquiera se cumple que $X\setminus \emptyset= X$.
• Prueba que si $X$ un conjunto arbitrario, entonces $X\setminus X=\emptyset$.
• Sean $A$, $B\subseteq X$ conjuntos. Prueba que $A\subseteq B$ si y sólo si $X\setminus B\subseteq X\setminus A$.
• Muestra que si $A$ es un conjunto no vacío, entonces $(A\cup A)\setminus A\not=A\cup (A\setminus A)$.

Más adelante…

En la siguiente lección hablaremos acerca del álgebra de conjuntos, para ello retomaremos las operaciones entre conjuntos que definimos en una de las secciones anteriores. Así mismo, haremos uso de los resultados que probamos en esta sección acerca del complemento de un conjunto. A su vez, definiremos una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica.

Enlaces

Entradas relacionadas:

• Álgebra Superior I: Leyes de De Morgan y diferencia simétrica de conjuntos
• Álgebra Superior I: Intersecciones, uniones y complementos de conjuntos
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