Introducción

En esta entrada hablaremos acerca del complemento de un conjunto y algunos resultados que se dan a partir de esta definición. A su vez, veremos las leyes de De Morgan, las cuales nos dirán cuál es el complemento de la intersección y de la unión de dos o más conjuntos.

Complemento de un conjunto

Definición. Sean $A$ y $X$ conjuntos, tales que $A\subseteq X$. Definimos al complemento de $A$ respecto del conjunto $X$, como la diferencia $X\setminus A$.

Ejemplo.

Sea $X=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$. Tenemos que $X\setminus A=\set{x\in X: x\notin A}=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

En efecto, pues $\emptyset\in X$ y $\emptyset\in A$ por lo que $\emptyset\notin X\setminus A$ pues no cumple la propiedad para ser elemento del conjunto $X\setminus A$. Por su parte, $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ tampoco es elemento de $X\setminus A$ pues $\set{ \emptyset,\set{\emptyset}}\in X$ y $\set{ \emptyset,\set{\emptyset}}\in A$. Finalmente, $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}\in X$ y $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}\notin A$, por lo que $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}\in X\setminus A$.

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Resultados del conjunto complemento

Usaremos el siguiente resultado repetidamente para la demostración de propiedades posteriormente.

Proposición. Sean $A$, $B$, $X$ conjuntos, tales que $A$, $B\subseteq X$. Se cumple que $A\setminus B=A\cap (X\setminus B)$.

Demostración.

$\subseteq$] Sea $a\in A\setminus B$, entonces $a\in A$ y $a\notin B$. Como $a\in A\subseteq X$, entonces $a\in X$. Así, es cierto que $a\in A$ y ($a\in X$ y $a\notin B$), por lo que $a\in A$ y $a\in X\setminus B$ y por lo tanto, $a\in A\cap (X\setminus B)$.

Concluimos que $A\setminus B\subseteq A\cap (X\setminus B)$.

$\supseteq$] Sea $a\in A\cap(X\setminus B)$, entonces $a\in A$ y $a\in X \setminus B$. Entonces $a\in A$ y $a\in X$ y $a\notin B$, en particular, $a\in A$ y $a\notin B$. Así, $a\in A\setminus B$.

Por lo tanto, $A\cap (X\setminus B)= A\setminus B$.

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Veamos otras tres propiedades del complemento.

Proposición. Sean $A$ y $X$ conjuntos tales que $A\subseteq X$. Entonces se cumple lo siguiente:

a) $A\cap (X\setminus A)=\emptyset$,

b) $A\cup (X\setminus A)=X$,

c) $X\setminus(X\setminus A)= A$.

Demostración:

a) Supongamos que $A\cap(X\setminus A)\not=\emptyset$ en búsqueda de una contradicción. Entonces, existe $x\in A\cap(X\setminus A)$, de donde $x\in A$ y $x\in X\setminus A$.

Así, $x\in A$ y $x\in X$ y $x\notin A$. En particular, $x\in A$ y $x\notin A$ lo cual no puede ocurrir. Por lo tanto, $A\cap(X\setminus A)=\emptyset$.

b) Sea $x\in A\cup (X\setminus A)$, entonces $x\in A$ o $x\in X\setminus A$.

Caso 1: Si $x\in A$, entonces $x\in X$ pues $A\subseteq X$.

Caso 2: Si $x\in X\setminus A$, entonces $x\in X$ y $x\notin A$. En particular, $x\in X$.

En cualquier caso, $x\in X$. Por lo tanto, $A\cup (X\setminus A)\subseteq X$.

Por otro lado, supongamos que $x\in X$. Tenemos dos casos: $x\in A$ o $x\notin A$.

Caso 1: Si $x\in A$, entonces $x\in A\cup (X\setminus A)$.

Caso 2: Si $x\notin A$, entonces $x\in X$ y $x\notin A$ y así, $x\in X\setminus A$. Por lo tanto, $x\in A\cup(X\setminus A)$.

En cualquiera de los dos casos concluimos que $X\subseteq A\cup (X\setminus A)$.

Por lo tanto, $A\cup (X\setminus A)= X$.

c) Primero veamos que $A\subseteq X\setminus (X\setminus A)$. Sea $x\in A$, entonces $x\notin X\setminus A$. Por otro lado, $x\in X$ pues $A\subseteq X$.

Por lo que $x\in X$ y $x\notin X\setminus A$, es decir, $x\in X\setminus(X\setminus A)$. Esto concluye la prueba de que $A\subseteq X\setminus (X\setminus A)$.

Ahora, sea $x\in X\setminus (X\setminus A)$, entonces $x\in X$ y $x\notin X\setminus A$. Esto implica que $x\in X$ y ($x\notin X$ o $x\in A$). Como $x\in X$, entonces $x\notin X$ no es posible y así, $x\in A$. Por lo tanto, $X\setminus(X\setminus A)\subseteq A$.

Por lo tanto, $A=X\setminus (X\setminus A)$.

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Leyes de De Morgan

Las leyes de De Morgan nos dicen cómo se comportan los complementos de uniones e intersecciones. A continuación damos la versión para uniones e intersecciones de dos conjuntos. En los ejercicios tendrás que demostrar las versiones para uniones e intersecciones arbitrarias.

Teorema. Sean $A$, $B$ y $X$ conjuntos. Entonces

1. $X\setminus (A\cap B)= (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$,
2. $X\setminus (A\cup B)= (X\setminus A)\cap (X\setminus B)$. ¹

Demostración.

1. Se tiene $x\in X\setminus (A\cap B)$,
   si y sólo si $x\in X$ y $x\notin A\cap B$ por definición de complemento,
   si y sólo si $x\in X$ y ($x\notin A$ o $x\notin B$),
   si y sólo si ($x\in X$ y $x\notin A$) o $(x\in X$ y $x\notin B$),
   si y sólo si $x\in X\setminus A$ o $x\in X\setminus B$,
   si y sólo si $x\in (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$.
   Por lo tanto, $X\setminus(A\cap B)=(X\setminus A)\cup (X\setminus B)$.
   
2. Se tiene $x\in X\setminus (A\cup B)$,
   si y sólo si $x\in X$ y $x\notin A\cup B$ por definición de complemento,
   si y sólo si $x\in X$ y ($x\notin A$ y $x\notin B$),
   si y sólo si ($x\in X$ y $x\notin A$) y $(x\in X$ y $x\notin B$),
   si y sólo si $x\in X\setminus A$ y $x\in X\setminus B$,
   si y sólo si $x\in (X\setminus A)\cap (X\setminus B)$.
   Por lo tanto, $X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap (X\setminus B)$.

$\square$

Tarea moral

• Demuestra que para $X$ un conjunto cualquiera se cumple que $X\setminus \emptyset= X$.
• Prueba que si $X$ un conjunto arbitrario, entonces $X\setminus X=\emptyset$.
• Sean $A$, $B\subseteq X$ conjuntos. Prueba que $A\subseteq B$ si y sólo si $X\setminus B\subseteq X\setminus A$.
• Muestra que si $A$ es un conjunto no vacío, entonces $(A\cup A)\setminus A\not=A\cup (A\setminus A)$.
• Sean $X$ y $F$ conjuntos:
  – Muestra que $X\setminus (\bigcup F) = \bigcap (X\setminus F)$.
  – Supongamos que $F\neq \emptyset$. Muestra que $X\setminus (\bigcap F) = \bigcup (X\setminus F)$.

Este último ejercicio son las leyes de De Morgan para intersecciones y uniones arbitrarias.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos acerca del álgebra de conjuntos, para ello retomaremos las operaciones entre conjuntos que definidas anteriormente. Así mismo, haremos uso de los resultados que probamos en esta sección acerca del complemento de un conjunto. Un poco después, definiremos una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica.

Entradas relacionadas

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• Álgebra Superior I: Leyes de De Morgan y diferencia simétrica de conjuntos
• Álgebra Superior I: Intersecciones, uniones y complementos de conjuntos
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

1. También puedes consultar la demostración de este teorema en: Gómez L. C, Álgebra Superior Curso Completo. Publicaciones Fomento Editorial, 2014, pp. 32-33. ↩︎