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Variable Compleja I: Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C},d)$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En la entrada anterior vimos que $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana, inducida por el módulo de un número complejo, forman un espacio métrico.

Al trabajar con espacios métricos, las sucesiones resultan una herramienta fundamental en el estudio del concepto de las aproximaciones. De manera particular en esta entrada abordaremos el concepto de sucesión en el sentido complejo y estudiaremos propiedades de las mismas pues veremos que estas sucesiones están estrechamente ligadas con la topología de $\mathbb{C}$. Además en su momento usaremos los resultados de esta entrada para el estudio de series de números complejos, las cuales resultarán fundamentales en el estudio de la teoría de funciones.

Sucesiones de números complejos

Definición 8.1. (Sucesión.)
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Una sucesión de puntos en $X$ es una función $f: \mathbb{N}^+ \rightarrow X$ tal que para cada $n\in\mathbb{N}^+$ asigna de manera única un elemento de $X$. Si $f(n)=x_n\in X$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces denotamos a la sucesión como el conjunto $\left\{x_n\right\}_{n\geq1}$ o simplemente $\left\{x_n\right\}$.

Observación 8.1.
En este punto es conveniente hacer énfasis en las sucesiones de $\mathbb{C}$ pues más adalente probaremos algunos resultados del espacio métrico $(\mathbb{C},d)$. Sin embargo las definiciones que daremos a continuación son válidas en general para un espacio métrico $(X,d)$. Además será de vital importancia recordar nuestros resultados para sucesiones reales ya que nos serán de utilidad más adelante.

Definición 8.2. (Sucesión compleja convergente.)
Una sucesión de números complejos $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ converge a un número complejo $z\in\mathbb{C}$, llamado el límite de $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$, si para toda $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que:
\begin{equation*}
|\,z_n \,- \, z\,|<\varepsilon, \quad \forall n \geq N,
\end{equation*} lo cual denotamos como $z_n \rightarrow z$ ó $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$. De existir dicho límite, este es único. (¿Por qué?)

Notemos que geométricamente la desigualdad $|\,z_n \,- \, z\,|< \varepsilon$ nos dice que para $n\geq N$ todos los términos de la sucesión caen en la $\varepsilon$-vecindad de $z$, es decir $B(z,\varepsilon)$, figura 47.

Figura 47: Convergencia de una sucesión de números complejos.

Ejemplo 8.1.
Veamos que la sucesión de números complejos $\left\{\dfrac{i^{n+1}}{n}\right\}_{n\geq 1}$ converge a cero.
Solución.
Considerando la fórmula de De Moivre es fácil notar que: \begin{equation*}
|\,i^{n+1} \,- \, 0\,| = |\,i^{n+1}\,| = |\,i\,|^{n+1} = 1. \end{equation*} Por otra parte, por la propiedad arquimediana se sigue que para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} \left|\,\frac{i^{n+1}}{n} \,- \, 0\,\right| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{i^{n+1}}{n} = 0$.

Definición 8.3. (Sucesión compleja divergente.)
Una sucesión de números complejos $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ diverge, lo cual denotaremos como $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = \infty$, si se cumple que $\lim\limits_{n \to \infty} |z_n| = \infty$, es decir si para toda $R>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n\,| \geq R, \quad \forall n \geq N. \end{equation*}

Observación 8.2.
Es común considerar a la «divergencia» como la no existencia del límite dado en la definición 8.1, es decir una sucesión se considera divergente si no es convergente. Sin embargo en el caso complejo es conveniente considerar a la divergencia como la tendencia a infinito. En este sentido tenemos que los conceptos de «no convergencia» y «divergencia» no son equivalentes. Lo cual veremos más adelante.

Definición 8.4. (Operaciones entre sucesiones.)
Sean $\{z_n\}_{n\geq1}$ y $\{w_n\}_{n\geq1}$ dos sucesiones de $\mathbb{C}$. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para sucesiones se definen respectivamente como:

$\{z_n\}_{n\geq1} \pm \{w_n\}_{n\geq1} = \{z_n \pm w_n\}_{n\geq1}$.
$\{z_n\}_{n\geq1} \cdot \{w_n\}_{n\geq1} = \{z_n w_n\}_{n\geq1}$.
Si $w_n \neq 0 $ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\dfrac{\{z_n\}_{n\geq1}}{\{w_n\}_{n\geq1}} = \left\{\dfrac{z_n}{w_n}\right\}_{n\geq1}$.

Considerando que una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es un subconjunto de $\mathbb{C}$, entonces posible pensar en sucesiones acotadas.

Definición 8.5. (Sucesión acotada.)
Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ se dice que es acotada si existe un número $M>0$ tal que $|\,z_n\,| \leq M$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$.

Ejemplo 8.2.
La sucesión de números complejos $\{(-1)^n\}_{n \geq 1}$ es acotada, pero no es convergente.

De acuerdo con el ejemplo anterior es fácil concluir que una sucesión acotada no tendría porqué ser convergente. Sin embargo el recíproco sí es cierto, es decir:

Proposición 8.1.
Toda sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ convergente es acotada.

Demostración.
Supongamos que la sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$. De acuerdo con la definición 8.1 tenemos que para $\varepsilon=1$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_n \,- \,z\,| < 1, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} De acuerdo con la desigualdad del triángulo se tiene que para toda $n\geq N$ se cumple que $|\,z_n\,| < |\,z\,| + 1$. Sea $M = \text{máx}\left\{ 1 + |\,z\,|,|\,z_1\,|,|\,z_2\,|, \ldots, |\,z_N\,|\right\}$, entonces para toda $n\geq 1$ se cumple que $|\,z_n\,|\leq M$.

$\blacksquare$

Utilizando la definición 8.2 es fácil probar las siguientes propiedades para sucesiones complejas.

Proposición 8.2.
Sean $\{z_n\}_{n\geq1}$ y $\{w_n\}_{n\geq1}$ sucesiones de números complejos y supongamos que ambas son convergentes en $\mathbb{C}$, con $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$ y $\lim\limits_{n \to \infty} w_n = w$. Entonces se cumple que:

$\lim\limits_{n \to \infty}(z_n \pm w_n) = z \pm w$.
$\lim\limits_{n \to \infty}(z_n w_n) = zw$.
Si además $w_n\neq 0$ para toda $n \geq 1$ y $w\neq 0$, entonces $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{ w_n}\right) = \dfrac{1}{w}$.
$\lim\limits_{n \to \infty} \overline{z_n} = \overline{z}$.
Si $\{z_n\}_{n\geq1}$ diverge y $\{w_n\}_{n\geq1}$ está separada de cero, es decir, si existen $r>0$ y $N\in\mathbb{N}^+$ tales que para $n\geq N$ se cumple que $|w_n|\geq r$, entonces $\{z_n w_n\}_{n\geq1}$ diverge.

Demostración.

Dadas las hipótesis por la definición 8.1 tenemos que para cualquier $\varepsilon>0$ existen $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ tales que: \begin{equation*}
|\,z_n \,-\, z\,| < \varepsilon/2, \quad \forall n \geq N_1,\end{equation*}\begin{equation*}|\,w_n \,-\, w\,| < \varepsilon/2, \quad \forall n \geq N_2. \end{equation*} Notemos que: \begin{align*}|\, (z_n \pm w_n) \,-\, (z \pm w)\,| & = |\, (z_n \,-\, z) \pm (w_n \,-\, w)\,|\\ & \leq |\,z_n \,-\, z\,| + |\,w_n \,-\, w\,| < \varepsilon, \quad \forall n \geq N, \end{align*} donde $N = \text{máx}\left\{N_1, N_2\right\}$. Por lo tanto $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n \pm w_n) = z \pm w$.
Dadas las hipótesis, tenemos por la proposición 8.1 que ambas sucesiones son acotadas por lo que sin pérdida de generalidad supongamos que existe $M>0$ tal que $|\,z_n\,|\leq M$ para toda $n\geq 1$. Por otra parte, por la definición 8.2 tenemos que para cualquier $\varepsilon>0$ existen $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ tales que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z\,| < \frac{\varepsilon}{2(|\,w\,|+1)}, \quad \forall n \geq N_1,\end{equation*} \begin{equation*}|\,w_n \,-\, w\,| < \frac{\varepsilon}{2M}, \quad \forall n \geq N_2. \end{equation*} Notemos que: \begin{align*}|\, z_n w_n \,-\, z w\,| & = |\, z_n w_n \,-\, z_n w + z_n w \,-\, z w \,|\\ & \leq |\,z_n w_n \,-\, z_n w\,| + |\,z_n w \,-\, z w\,|\\ & = |\,z_n\,|\,|\,w_n \,-\, w\,| + |\,w\,|\,|\,z_n \,-\, z \,|\\ & < M \left(\frac{\varepsilon}{2M}\right) + (|\,w\,|+1) \left(\frac{\varepsilon}{2(|\,w\,|+1)}\right) = \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{align*} Por lo que $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n w_n) = zw$.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Dadas las hipótesis, como $\{w_n\}_{n\geq1}$ está separada de cero, entonces existen $r>0$ y $N_1\in\mathbb{N}^+$ tales que para $n\geq N_1$ se cumple que $|w_n|\geq r$. Por otra parte, como $\{z_n\}_{n\geq1}$ diverge, dado $R>0$ existe $N_2\in\mathbb{N}^+$ tal que si $n\geq N_2$, entonces $|z_n|\geq R/r$. Por lo que, para $N = \text{máx}\left\{N_1, N_2\right\}$ se cumple que: \begin{equation*} |z_n w_n| = |z_n| \, |w_n| \geq \frac{R}{r} r = R, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} entonces $\{z_n w_n\}_{n\geq1}$ diverge.

$\blacksquare$

Observación 8.3.
Considerando la definición 8.2 y la proposición 8.2 es fácil ver que si una sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ converge a un número complejo $z\in\mathbb{C}$ entonces se cumple (¿por qué?): \begin{equation*} z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n \quad \Longleftrightarrow \quad \lim\limits_{n \to \infty} |\,z_n – z\,| = 0. \end{equation*} Y para $c\in\mathbb{C}$ constante: \begin{equation*} \lim\limits_{n\to\infty} (c z_n) = c \lim\limits_{n\to\infty} z_n. \end{equation*}

Sabemos que todo número complejo $z$ es caracterizado por su parte real y por su parte imaginaria, la cuales son números reales, por lo que considerando al $n$-ésimo término de una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ como $z_n = \operatorname{Re}(z_n) + i\operatorname{Im}(z_n)$, es fácil probar el siguiente resultado.

Proposición 8.3.
Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente en $\mathbb{C}$ si y solo si las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$, $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$. En dicho caso tenemos que: \begin{align*} \lim_{n\to \infty} z_n = z \quad & \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \operatorname{Re}(z)\\ & \quad \quad \, \text{y} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \operatorname{Im}(z). \end{align*}

Demostración.
Por la proposición 3.1 sabemos que: \begin{align*} |\,\operatorname{Re}(z_n) \,-\, \operatorname{Re}(z)\,| = |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,|,\\ |\,\operatorname{Im}(z_n) \,-\, \operatorname{Im}(z)\,| = |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|. \end{align*} Mientras que por la observación 3.1 tenemos que: \begin{align*} |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| \leq |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| + |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|,\\ |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| \leq |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| + |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|. \end{align*} De acuerdo con la observación 8.3 tenemos que $z = \lim_{n \to \infty} z_n$ si y solo si $\lim_{n \to \infty} |\,z_n \,-\, z\,| = 0$. Considerando lo anterior es claro que: \begin{align*} \lim_{n \to \infty} |\,z_n \,-\, z\,| = 0 \,\,\, & \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{n \to \infty} |\,\operatorname{Re}(z_n) \,-\, \operatorname{Re}(z)\,| = 0\\ & \quad \quad \text{y} \, \lim\limits_{n \to \infty} |\,\operatorname{Im}(z_n) \,-\, \operatorname{Im}(z)\,| = 0. \end{align*} Es decir las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$, $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$ (¿por qué?), por lo que: \begin{align*} \lim_{n\to \infty} z_n = z \quad & \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \operatorname{Re}(z)\\ & \quad \quad \, \text{y} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \operatorname{Im}(z). \end{align*} De donde se sigue el resultado.

$\blacksquare$

La proposición 8.3 es de gran utilidad al trabajar con sucesiones de números complejos, ya que la convergencia de estas sucesiones se reduce a verificar la convergencia de dos sucesiones de números reales. Más aún, podemos utilizar los resultados conocidos para sucesiones reales en el estudio de las sucesiones complejas, lo cual tiene sentido pues como vimos en la entrada 2 los números reales son un subconjunto de los números complejos, por lo que se deben cumplir las propiedades que ya conocíamos de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 8.3.
Estudiemos la convergencia de las siguientes sucesiones:
a) $\left\{\dfrac{n+2+i2^n n}{2^n(n+2)}\right\}_{n\geq 1}$.
b) $\left\{\dfrac{3+in}{n+i2n}\right\}_{n\geq 1}$.

Solución. Para cada $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos que:

a) \begin{equation*}
z_n = \dfrac{n+2+i2^n n}{2^n(n+2)} = \dfrac{1}{2^n} + i\left(\dfrac{n}{n+2}\right).
\end{equation*} De donde $\operatorname{Re}(z_n) = \dfrac{1}{2^n}$ e $\operatorname{Im}(z_n) = \dfrac{n}{n+2}$.
Sabemos que: \begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2^n} = 0.\\
\lim_{n \to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n}{n+2} = 1.
\end{align*} Por lo que considerando la proposición 8.3 se sigue que $\operatorname{Re}(z) = 0$ y $\operatorname{Im}(z) = 1$, es decir: \begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} z_n = z = i.
\end{equation*}

b) \begin{equation*}
w_n = \dfrac{3+in}{n+i2n} = \dfrac{3 + 2n}{5n} + i\left(\dfrac{n \,-\, 6}{5n}\right).
\end{equation*} De donde $\operatorname{Re}(w_n) = \dfrac{3+2n}{5n}$ e $\operatorname{Im}(w_n) = \dfrac{n \,-\, 6}{5n}$.
Sabemos que: \begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \operatorname{Re}(w_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{3+2n}{5n} = \frac{2}{5}.\\
\lim_{n \to \infty} \operatorname{Im}(w_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n \,-\, 6}{5n} = \frac{1}{5}.
\end{align*} Por lo que considerando la proposición 8.3 se sigue que $\operatorname{Re}(w) = \dfrac{2}{5}$ e $\operatorname{Im}(w) = \dfrac{1}{5}$, es decir: \begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} w_n = w = \frac{2}{5} + i\frac{1}{5}.
\end{equation*}

Completez del espacio métrico $(\mathbb{C},d)$

Definición 8.6. (Sucesión de Cauchy.)
Una sucesión $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ en $\mathbb{C}$ se dice que es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_m\,|<\varepsilon, \quad \forall\, n,m \geq N. \end{equation*}

Proposición 8.4.
Toda sucesión convergente en $\mathbb{C}$ es de Cauchy.

Demostración.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos convergente con $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$ para algún $z\in\mathbb{C}$. Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que:\begin{equation*} |\,z_n \,-\, z\,| < \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{equation*} Entonces por la desigualdad del triángulo se tiene que para cualesquiera $n,m\in \mathbb{N}^+$ tales que $n,m\geq N$ se cumple: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_m\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| + |\,z \,-\, z_m\,| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es de Cauchy.

Considerando la proposición 8.4 es momento de dar un ejemplo para argumentar la observación 8.2, es decir veamos que la divergencia y la no convergencia no son equivalentes.

Ejemplo 8.4
Consideremos la sucesión $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$. Veamos que dicha sucesión no converge ni diverge.

Solución. Sea $z_n = i^n$. Por la fórmula de De Moivre es claro que para toda $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que: \begin{equation*}
|\,z_n\,| = |\,i^n\,| = |\,i\,|^n = 1, \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} |\,z_n\,| = 1 \neq \infty. \end{equation*} Es decir, la sucesión $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$ no diverge.

Por otra parte, veamos que dicha sucesión no es de Cauchy. Considerando el argumento principal de $i$, tenemos por la fórmula de De Moivre que: \begin{align*} z_{4n} = i^{4n} = \left(\operatorname{cis}(2\pi)\right)^n = 1^n = 1,\\ z_{4n+2} = i^{4n+2} = i^{4n}i^{2} = 1^n(-1) = -1, \end{align*} por lo que: \begin{align*}|\,z_{4n} \,&-\, z_{4n+2}\,| = 2,\\ & \Longrightarrow \quad \lim_{n \to \infty}|\,z_{4n} \,-\, z_{4n+2}\,| = 2 \neq 0. \end{align*} Entonces la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$ no es de Cauchy, por lo que por la contrapuesta de la proposición 8.4, tenemos que dicha sucesión no es convergente en $\mathbb{C}$.

Así concluimos que la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$ no diverge, pero tampoco converge.

Definición 8.7. (Completez.)
Un espacio métrico $(X,d)$ se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente en $X$.

Ejemplo 8.5.
El espacio métrico $(\mathbb{R}, d)$, con $d$ la métrica inducida por el valor absoluto, es completo.

La proposición 8.4 es válida en general para cualquier espacio métrico $(X,d)$. Sin embargo el recíproco es falso en general, por ello la importancia de la definición 8.7. Considerando que $\mathbb{R}$ es un subconjunto de $\mathbb{C}$ y que el módulo complejo de $\mathbb{C}$ es la extensi\’on del valor absoluto de $\mathbb{R}$, podemos intuir que el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ inducida por el módulo, es también completo.

Proposición 8.5.
El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana es completo.

Demostración. Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ en $\mathbb{C}$ una sucesión de Cauchy. Usando la observación 3.1 y la proposición 3.1, como en la prueba de la proposición 8.3, es fácil convencerse de que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es de Cauchy si y solo si las sucesiones reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son de Cauchy en $\mathbb{R}$. Dado que $\mathbb{R}$ es completo con la métrica inducida por el valor absoluto, entonces las sucesiones de Cauchy $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$, por lo que por la proposición 8.3 se sigue que la sucesión de Cauchy $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente en $\mathbb{C}$, por lo tanto el espacio métrico $(\mathbb{C},d)$, con $d$ la métrica euclidiana, es completo.

$\blacksquare$

Proposición 8.6.
Un punto $z_0\in\mathbb{C}$ es un punto límite (o de acumulación) de un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ si y solo si existe una sucesión $\{z_n\}_{n\geq1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z_0$.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $z_0\in\mathbb{C}$ es un punto límite de $S$, entonces por la definición 7.7 tenemos que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ existe: \begin{equation*}
z_n \in B\left(z_0, \tfrac{1}{n}\right)\setminus\{z_0\} \cap S, \end{equation*} es decir que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que $z_n \in S$, $z_n\neq z_0$ y $|\,z_n \,-\, z_0\,|<\frac{1}{n}$. Consideremos a la sucesión $\{z_n\}_{n\geq1}$ dada anteriormente. Es claro que dicha sucesión cumple las condiciones del resultado, veamos que converge a $z_0$. Por la propiedad arquimediana se sigue que para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_0\,|< \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es tal que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene $z_n \in S$, $z_n \neq z$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$. Por la propiedad arquimediana sabemos que dado $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_N \,-\, z_0\,|< \frac{1}{N} < \varepsilon. \end{equation*} Como $z_N \neq z_0$ y $z_N \in S$, entonces para todo $\varepsilon>0$ se tiene que: \begin{equation*} z_N \in B(z_0, \varepsilon)\setminus\{z_0\} \cap S. \end{equation*} Por lo que $z_0$ es un punto límite de $S$.

$\blacksquare$

Definición 8.8. (Punto de acumulación de una sucesión.)
Un número $z\in\mathbb{C}$ se llama punto de acumulación de una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un número infinito de elementos $z_n$ de la sucesión tales que $|\,z_n \,-\, z\,|<\varepsilon$, es decir si cada $\varepsilon-$vecindad de $z_0$, $B(z_0,\varepsilon)$, contiene un número infinito de elementos de la sucesión.

Observación 8.4.
No debemos confundir esta definición con la definición 7.7 de punto límite o punto de acumulación de un conjunto. Por ejemplo la sucesión $\{(-1)^n\}_{n\geq 1}$ tiene dos puntos de acumulación los cuales son $-1$ y $1$. Sin embargo el conjunto $\{-1,1\}$, que consiste de los elementos que determinan a la sucesión, no tiene ningún punto límite o de acumulación.

Además, es fácil convencerse de que todo límite de una sucesión es un punto de acumulación de la misma. Sin embargo el recíproco no se cumple, para verlo basta considerar a la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$, la cual tiene cuatro puntos de acumulación los cuales son $1, -1, i$ y $-i$, pero dicha sucesión no converge, es decir no tiene límite.

Definición 8.9. (Subsucesión.)
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Una subsucesión o sucesión parcial de $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es cualquier sucesión de la forma $\{z_{\sigma(n)} \}_{n\geq 1}$, donde $\sigma:\mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}^+$, con $\sigma(n) = k_n$, es una función estrictamente creciente.

Ejemplo 8.6.
Si definimos $k_n = 2n$, entonces una subsucesión de $\left\{\dfrac{i^n}{n}\right\}_{n\geq 1}$ está conformada por: \begin{equation*}
-\frac{1}{2}, \,\, \frac{1}{4}, \,\, -\frac{1}{6}, \ldots, \frac{i^{2n}}{2n}, \ldots, \end{equation*} es decir $\left\{\dfrac{i^{2n}}{2n}\right\}_{n\geq 1}$ es una subsucesión de $\left\{\dfrac{i^n}{n}\right\}_{n\geq 1}$.

Proposición 8.7
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Entonces, $z\in\mathbb{C}$ es un punto de acumulación de $\{z_n\}_{n\geq 1}$ si y solo si existe una subsucesión $\{z_{k_n}\}_{n\geq 1}$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} z_{k_n} = z$.

Demostración. Dadas las hipótesis.

$\Rightarrow)$
Por la definición 8.8 tenemos que para todo $\varepsilon>0$ existe un número infinito de valores de $n$ para los cuales $|\,z_n \,-\, z\,|<\varepsilon$. Entonces para $\varepsilon=1$ existe un $n=k_1$ tal que $|\,z_{k_1} \,-\, z\,| < 1$. Del mismo modo para $\varepsilon = \frac{1}{2}$ existe $n=k_2$ tal que $|\,z_{k_2} \,-\, z\,| < \frac{1}{2}$. Procediendo de forma análoga podemos obtener, en general, que para $\varepsilon = \frac{1}{n}$ existe algún $k_n>k_{n-1}$ tal que $|\,z_{k_n} \,-\, z \,| < \frac{1}{n}$, por lo que existe una subsucesión $\left\{ z_{k_n} \right\}_{n\geq 1}$ de $\{z_n\}_{n\geq 1}$. Por otra parte, tenemos por la propiedad arquimediana que para todo $\varepsilon>0$ existe algún $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}
|\,z_{k_n} \,-\, z\,| < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n \geq N.
\end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{n\to \infty} z_{k_n} = z$.

$(\Leftarrow$
Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Teorema 8.1. (Teorema de Bolzano – Weierstrass.)
Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ acotada tiene una subsucesión convergente.

Demostración. Dadas las hipótesis, por la observación 3.1 es fácil ver que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es acotada si y solo si las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son acotadas en $\mathbb{R}$. Por el teorema de Bolzano – Weierstrass para sucesiones de números reales sabemos que al ser la sucesión $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ acotada, entonces existe una subsucesión $\{\operatorname{Re}(z_{n_j})\}_{n\geq 1}$ convergente para alguna subsucesión $\{z_{n_j}\}_{n\geq 1}$ de $\{z_n\}_{n\geq 1}$. Dado que $\{\operatorname{Im}(z_{n_j})\}_{n\geq 1}$ también es acotada entonces existe alguna subsucesión $\{z_{n_{j_k}}\}_{n\geq 1}$ de $\{z_{n_j}\}_{n\geq 1}$ tal que $\{\operatorname{Im}(z_{n_{j_k}})\}_{n\geq 1}$ también converge. Entonces $\{\operatorname{Re}(z_{n_{j_k}})\}_{n\geq 1}$ es subsucesión de una sucesión convergente, por lo que también es convergente. Por lo tanto, por la proposición 8.3 se sigue que la subsucesión $\{z_{n_{j_k}}\}_{n\geq 1}$ converge en $\mathbb{C}$.

Tarea moral

Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Prueba que si la sucesión converge en $\mathbb{C}$, entonces dicho límite es único.
Considera las siguientes sucesiones:
a) $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$.
b) $\left\{\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^n\right\}_{n\geq 1}$.
c) $\left\{\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n\right\}_{n\geq 1}$.
d) $\left\{\dfrac{n}{2n+1} + i\, \dfrac{n-1}{n}\right\}_{n\geq 1}$.
e) $\left\{n^2\left(i^n -1\right)\right\}_{n\geq 1}$.
Determina cuáles sucesiones son acotadas, cuáles convergen, encuentra su límite y sus puntos de acumulación.
Prueba que si la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ de números complejos converge a $z\in\mathbb{C}$, entonces la sucesión ${|\,z_n\,|}_{n\geq 1}$ converge a $|\,z\,|$. ¿Es cierto el recíproco?
Hint: Recuerda que: $|\,|z_n| – |z|\,| \leq |z_n – z|$.
Sea $z\in\mathbb{C}$, prueba lo siguiente.
a) Si $|\,z\,|<1$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z^n = 0$.
b) Si $|\,z\,| > 1$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z^n = \infty$.
Considera la observación 8.3, argumenta porqué es cierto el resultado. En general prueba que para un espacio métrico $(X, d_X)$ se cumple que una sucesión de elementos de $X$, digamos $\{x_n\}_{n\geq 1}$, converge a $x\in X$ si y solo si $\lim\limits_{n \to \infty} d_X (x_n, x) = 0$.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Prueba que $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = 0$ si y solo si $\lim\limits_{n\to \infty} |\,z_n\,| = 0$.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos, sea $z \in \mathbb{C}$ y sea $\{c_n\}_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales no negativos. Demuestra lo siguiente.
a) Si $\lim\limits_{n\to \infty} c_n = 0$ y $|\,z_n – z\,| \leq c_n$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z$.
b) Si $\lim\limits_{n\to \infty} c_n = \infty$ y $|\,z_n \,| \geq c_n$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = \infty$.
Sean $\left\{x_n\right\}_{n\geq 1}$ y $\left\{y_n\right\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones convergentes de números reales, tales que $x_n \leq y_n$ para toda $n\in\mathbb{N}$. Prueba que: \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} x_n \leq \lim_{n \to \infty} y_n. \end{equation*}

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado el concepto de sucesión compleja con la finalidad de caracterizar al espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$ como un espacio métrico completo. Para ello hicimos uso de algunos resultados para sucesiones reales y generalizamos algunos de los mismos, como el Teorema de Bolzano-Weierstrass, para números complejos.

En general vimos que muchos de los resultados que teníamos para sucesiones reales se comportan de manera similar en el sentido complejo.

Por otra parte introducimos el concepto de la divergencia a infinito, el cual será de utilidad en la entrada 11 al hablar del punto al infinito.

Los resultados de esta entrada serán de utilidad cuando hablemos de las series en el sentido complejo y sobre su convergencia. Además de que nos permitirán obtener una caracterización relacionada con los conceptos de continuidad y continuidad uniforme.

La siguiente entrada abordaremos el concepto de continuidad entre espacios métricos.

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Variable Compleja I: Topología de $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

De manera intuitiva podemos considerar a un espacio métrico como un conjunto en el cual se puede hablar de la “distancia” entre sus elementos, por lo que definir lo que entendemos por distancia es de suma importancia. Para ello en esta entrada introduciremos los conceptos de distancia o métrica y espacio métrico. Es importante considerar que estos conceptos se analizan en primera instancia en un curso de Cálculo III y con mayor detalle en un curso de Análisis Matemático, por lo que es recomendable acompañar estos conceptos con algún material complementario, pues algunos resultados de los espacios métricos se darán por válidos y/o conocidos. Puedes consultar los libros Metric Spaces de Satish Shirali y Metric Spaces de Mícheál Ó Searcoid, o cualquier libro sobre topología de espacios métricos.

En la entrada anterior la métrica euclidiana $d$ nos permitió describir algunos lugares geométricos del plano complejo $\mathbb{C}$ con los que ya estábamos familiarizados en $\mathbb{R}^2$. Es importante mencionar que existen otras formas de definir la distancia entre dos números complejos $z$ y $w$. Sin embargo para los fines del curso estaremos utilizando la métrica euclidiana definida en la entrada anterior.

Hablar de la «topología» en $\mathbb{C}$ hace referencia a un resultado de los espacios métricos en el que se prueba que en un espacio métrico $(X,d)$ la métrica $d$ induce una topología en el conjunto $X$. Por lo que en esta entrada analizaremos la topología inducida por la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z-w\,|$ en $\mathbb{C}$.

Lo anterior nos motiva a definir algunos conjuntos de puntos de $\mathbb{C}$ que serán necesarios para continuar en el estudio de la topología en $\mathbb{C}$. Por lo que introducir el concepto de disco o vecindad será de gran utilidad para caracterizar a los conjuntos de $\mathbb{C}$, así como para dar una definición formal de límite y continuidad en $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}$ como un espacio métrico

Definición 7.1. (Métrica y espacio métrico.)
Un conjunto $X\neq\emptyset$ dotado con una función $d: X \times X \to [0,\infty)$ es llamado un espacio métrico, lo cual se denota como $(X,d)$, si la función $d$ cumple las siguientes propiedades para todo $x,y, z\in X$:

$d(x, y) \geq 0$.
$d(x,y) = 0$ si y solo si $x=y$.
Simetría: $d(x,y) = d(y,x)$.
Desigualdad del triángulo: $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$.

Dicha función $d$ es llamada métrica en $X$ o función distancia en $X$. Es común denotar a la métrica en $X$ como $d_X$ cuando se están trabajando con varios espacios métricos y se requiere especificar donde está definida dicha métrica.

Ejemplo 7.1.

a) Consideremos al conjunto de los números reales $\mathbb{R}$. La función $d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to [0,\infty)$ dada por:\begin{equation*}
d(x,y) = |\,x-y\,|,
\end{equation*} utilizando las propiedades del valor absoluto es fácil verficar que $d$ es una métrica en $\mathbb{R}$.

b) Si $X = \mathbb{R}^n$, entonces para $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ y $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ en $X$ se define:\begin{equation*}
d(x,y) = \left(\sum_{k=1}^{n} (x_k – y_k)^2 \right)^{1/2}.
\end{equation*}
La función $d$ es llamada la métrica euclidiana en $\mathbb{R}^n$.

c) Sea $X$ cualquier conjunto no vacío, entonces se define a la métrica discreta en $X$ como la función:
\begin{equation*}
d(x,y) = \left\{
\begin{array}{lcc}
0 & \text{si} & x = y,\\
1 & \text{si} & x \neq y.
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Usando la definición del módulo es fácil probar que la distancia euclidiana, dada en la definición 6.1 de la entrada anterior, es una función $d: \mathbb{C}\times\mathbb{C} \rightarrow [0,\infty)$ que satisface las condiciones para ser una métrica.

Proposición 7.1. (El espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.)
El conjunto $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z-w\,|$, $z,w\in\mathbb{C}$, es un espacio métrico.

Demostración. Sean $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$, entonces:

$d(z_2, z_1) \geq 0$, se sigue de la definición del módulo de un número complejo.
Ejercicio.
Ejercicio.
Queremos probar que:
\begin{equation*}
d(z_2, z_1) \leq d(z_2, z_3) + d(z_3, z_1),
\end{equation*}o equivalentemente que:
\begin{equation*}
|\,z_2 – z_1\,| \leq |\,z_2 – z_3\,| + |\,z_3 – z_1\,|.
\end{equation*}

Sean $z = z_2 – z_3$ y $w = z_3 – z_1$, entonces podemos reescribir $z + w = z_2 – z_1$ y así probar que:
\begin{equation*}
|\, z + w \, | \leq |\,z\,| + |\,w\,|,
\end{equation*}lo cual se sigue de la proposición 3.2.

$\blacksquare$

Observación 7.1.
De acuerdo con la proposición 7.1 y la definición 7.1 tenemos que $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana $d$ forma un espacio métrico, denotado por $(\mathbb{C}, d)$. Es importante mencionar que en esta entrada daremos algunos resultados de manera general para un espacio métrico $(X,d_X)$ y cuando sea necesario puntualizar algo del espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$ trabajaremos de manera particular con dicho espacio métrico.

Definición 7.2.
Dado $z_0\in\mathbb{C}$ un punto fijo y una cantidad $\rho>0$, se define a la circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho$ en $\mathbb{C}$, figura 40a, como el conjunto de puntos:
\begin{equation*}
C(z_0,\rho)= \left\{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| = \rho\right\}.
\end{equation*}

De acuerdo con la entrada anterior sabemos que las ecuaciones:\begin{align*}
|\,z-z_0\,|< \rho,\\
|\,z-z_0\,|> \rho,
\end{align*} nos describen a los puntos $z\in\mathbb{C}$ que caen dentro o fuera de la circunferencia $C(z_0,\rho)$ respectivamente, figura 40b.

Definición 7.3. (Disco o $\rho$-vecindad.)
Dado $z_0\in\mathbb{C}$ un punto fijo y una cantidad $\rho>0$, se definen en $\mathbb{C}$ a los conjuntos: \begin{equation*}
B(z_0,\rho)= \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| < \rho\},
\end{equation*} \begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho)= \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| \leq \rho\},
\end{equation*} como el disco abierto de radio $\rho$ y centro $z_0$ o la $\rho$-vecindad de $z_0$, figura 41(a), y el disco cerrado de radio $\rho$ y centro $z_0$, figura 41(b), respectivamente.

Figura 40: Circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho>0$.

Observación 7.2.
En ocasiones será necesario trabajar con una $\rho$-vecindad de $z_0$ sin considerar al punto $z_0$, es decir $B^*(z_0,\rho) = B(z_0,\rho) \setminus \{z_0\}$, en dado caso llamaremos a ese conjunto como una $\rho$-vecindad perforada o un disco perforado.
Análogamente se puede hablar de un disco cerrado perforado como el conjunto $\overline{B}^*(z_0,\rho) = \overline{B}(z_0,\rho) \setminus \{z_0\}$.

Definición 7.4. (Punto interior y conjunto abierto.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Diremos que $z_0\in \mathbb{C}$ es un punto interior de $S$ si existe $\rho>0$ tal que $B(z_0,\rho)\subset S$.
Al conjunto de puntos interiores de $S$ se le denota como $\operatorname{int}S$ o $ \mathring{S}$. Si se cumple que $S = \operatorname{int}S$, entonces diremos que $S$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$.

De acuerdo con la definición de $\operatorname{int}S$, notemos $\operatorname{int}S\subset S$. De hecho, dado un espacio métrico $(X,d)$ y $S\subset X$, entonces se cumple que $\operatorname{int}S$ es un conjunto abierto y es el mayor subconjunto abierto de $X$ contenido en $S$.

Figura 41: Disco abierto y cerrado con centro $z_0$ y radio $\rho>0$.

Definición 7.5. (Conjunto cerrado.)
Un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ se dice que es cerrado en $\mathbb{C}$ si su complemento $S^C = \mathbb{C}\setminus S$ es abierto en $\mathbb{C}$.

Observación 7.3.
Comunmente denotaremos a los conjuntos abiertos de $\mathbb{C}$ con la letra $U$ y a los conjuntos cerrados de $\mathbb{C}$ con la letra $F$.

Ejemplo 7.2.
Utilizando la desigualdad del triángulo es fácil verificar que:

a) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0<|\,z\,|<1\}$ es abierto en $\mathbb{C}$, figura 42a.

b) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : |\,z\,| \leq 1\}$ es cerrado en $\mathbb{C}$, figura 42b.

c) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0< |\,z\,| \leq 1\}$ no es abierto ni cerrado en $\mathbb{C}$, figura 43.

d) Los conjuntos $\emptyset$ y $\mathbb{C}$ son conjuntos abiertos y cerrados en $\mathbb{C}$, ¿por qué?

Figura 42: Conjuntos del ejemplo 7.1 inciso a) y b).

Figura 43: El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0< |\,z\,| \leq 1\}$ no es cerrado ni es abierto en $\mathbb{C}$.

Definición 7.6. (Punto exterior y punto frontera.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto exterior de $S$ si existe $\rho>0$ tal que $B(z_0,\rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$.
Por otra parte, diremos que $z_0$ es un punto frontera de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene que $B(z_0,\rho) \cap S \neq \emptyset$ y $B(z_0,\rho) \cap \mathbb{C}\setminus S \neq \emptyset$.

Al conjunto de los puntos exteriores de $S$ se le denota como $\operatorname{ext}S$. Mientras que al conjunto de los puntos frontera de $S$ se le denota como $\partial S$.

Definición 7.7. (Punto de acumulación o punto límite y punto aislado.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto de acumulación o un punto límite de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho)\setminus\{z_0\} \cap S \neq \emptyset.
\end{equation*} O equivalentemente que para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
\{ z \in S : 0 < |\,z-z_0\,|<\rho\} \neq \emptyset.
\end{equation*}

Si se cumple que $z_0\in S$, pero $z_0$ no es punto de acumulación de $S$, entonces diremos que $z_0$ es un punto aislado de $S$. En este caso se tiene que existe algún $\varepsilon>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(z_0,\varepsilon) \cap S = \{z_0\}.
\end{equation*}

Al conjunto de puntos de acumulación lo denotaremos como $S’$ y lo llamaremos el conjunto derivado de $S$.

Definición 7.8. (Punto de adherencia.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto de adherencia de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho) \cap S \neq \emptyset.
\end{equation*}

Al conjunto de puntos de adherencia lo llamaremos la cerradura o la clausura de $S$ y lo denotaremos como $\overline{S}$.

De acuerdo con la definición de $\overline{S}$, tenemos que $S \subset \overline{S}$. Además, dado un espacio métrico $(X,d)$ y $S\subset X$, entonces se cumple que $\overline{S}$ es un conjunto cerrado y es el menor subconjunto cerrado de $X$ que contiene a $S$.

De hecho, dado un espacio métrico $(X,d_X)$ y $S\subset X$, se tiene que $S$ es cerrado en $X$ si y solo si $S = \overline{S}$.

Proposición 7.2.
Consideremos al espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ la métrica euclidiana. Un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ es cerrado en $\mathbb{C}$ si y sólo si $S$ contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $S$ es cerrado en $\mathbb{C}$. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$ un punto de acumulación de $S$. Por reducción al absurdo supongamos que $z_0 \in \mathbb{C}\setminus S$. Notemos que por definición $\mathbb{C}\setminus S$ es un conjunto abierto, por lo que para algún $\rho>0$ se tiene que $B(z_0, \rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$, es decir que al disco abierto $B(z_0,\rho)$ no pertenece ningún punto de $S$, lo cual contradice el hecho de que $z_0$ es un punto de acumulación de $S$. Por lo tanto $z_0\in S$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que a $S$ pertenecen todos sus puntos de acumulación. Entonces para algún $z_0 \in \mathbb{C} \setminus S$ se cumple que $z_0$ no es punto de acumulación de $S$, por lo que existe $\rho>0$ tal que $B(z_0, \rho)$ no tiene puntos de $S$, por lo que $B(z_0, \rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$, por tanto $\mathbb{C}\setminus S$ es abierto, de donde se sigue que $S$ es cerrado.

$\blacksquare$

Ejemplo 7.3.
Veamos que no necesariamente todo punto de un conjunto cerrado debe ser un punto de acumulación del mismo. Consideremos al conjunto:
\begin{equation*}
S = \left\{z\in\mathbb{C}\, : \, z = \frac{1}{n}, \,\, n\in\mathbb{N}^+ \right\} \cup \left\{0\right\}.
\end{equation*}

Es claro que $S\subset\mathbb{C}$. Notemos que el único punto de acumulación de $S$ es $z=0$. Desde que dicho punto pertenece a $S$, por la proposición 7.2 es claro que $S$ es cerrado. Por otra parte no es díficil convencerse de que salvo $z=0$, el resto de los puntos de $S$ son puntos aislados, ya que basta con tomar $\rho = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} > 0$ para que se cumpla que:
\begin{equation*}
B\left(\frac{1}{n}, \rho\right) \cap S = \left\{\frac{1}{n}\right\}.
\end{equation*}

Definición 7.9. (Conjunto acotado.)
Un conjunto $S \subset \mathbb{C}$ se dice que es acotado si existe un número real $R>0$ tal que $|\,z\,| < R$ para todo $z\in S$.

Esta definición nos dice que $S$ es acotado si puede ser completamente encerrado por un $R$-vecindario del origen.

Ejemplo 7.4.
Sea $X = \left\{z\in\mathbb{C} \, : \, 0<|\,z\,|<1\right\} \cup \{2\}$, figura 44. Entonces:

a) Los puntos interiores de $X$ son el conjunto $\operatorname{int} X = \{z\in\mathbb{C} \, : \, 0<|\,z\,|<1\}$.

b) Los puntos exteriores de $X$ son el conjunto $\operatorname{ext} X = \{z\in\mathbb{C} \, : \, 1 < |\,z\,|\} \cap \{z\in\mathbb{C} \, : \, z \neq 2\}$.

c) La frontera de $X$ es el conjunto $\partial X = \{0, 2\} \cup \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z\,|=1\}$.

d) Los puntos de acumulación de $X$ son el conjunto $X’ = \{z\in\mathbb{C} \, : \, |\,z\,|\leq 1\}$.

e) El punto $z=2$ es un punto aislado de $X$.

f) Tomando $R=3>0$ es claro que el conjunto $X$ es acotado ya que $|\,z\,|< R$ para todo $z\in X$.

Figura 44: Puntos del conjunto $X$ del ejemplo 7.2.

De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo (y Análisis Matemático) sabemos que en un espacio métrico, en este caso en $(\mathbb{C},d)$, se cumple que:

Proposición 7.3.
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Sean $z_0 \in X$ y $S\subset X$, entonces:

Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $X$.
Para todo $\rho>0$, la $\rho$-vecindad de $z_0$, es decir el conjunto:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho) = \{ z\in X \,: \, d_X(z,z_0) < \rho\},
\end{equation*} es un conjunto abierto en $X$.
Para todo $\rho>0$, el disco cerrado, es decir el conjunto:
\begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho) = \{ z\in X \,: \, d_X(z,z_0) \leq \rho\},
\end{equation*} es un conjunto cerrado en $X$.
$S’ \subset \overline{S}$.
$\overline{S} = S \cup S’$.
$\overline{S} = \operatorname{int}S \cup \partial S$.
$X = \operatorname{int}S \cup \operatorname{ext}S \cup \partial S$.
Si $A \subset B$, entonces:
a) $\overline{A} \subset \overline{B}$.
b) $\operatorname{int}A \subset \operatorname{int}B$.
La unión de un número arbitrario de conjuntos abiertos en $X$ es también un conjunto abierto en $X$.
La intersección de un número finito de conjuntos abiertos en $X$ es un conjunto abierto en $X$.
La intersección de un número arbitrario de conjuntos cerrados en $X$ es también un conjunto cerrado en $X$.
La unión de un número finito de conjuntos cerrados en $X$ es un conjunto cerrado en $X$.

Demostración.

Ejercicio.
Dadas las hipótesis, sea $\rho>0$. Tomemos $z\in B(z_0,\rho)$ y sea $\varepsilon = \rho – d_X(z_0, z) > 0 $. Considerando la desigualdad del triángulo tenemos que para todo $w \in B(z,\varepsilon)$ se cumple que:
\begin{equation*}
d_X(w, z_0) \leq d_X(w, z) + d_X(z, z_0) < \varepsilon + d_X(z, z_0) = \rho,
\end{equation*} por lo que $B(z,\varepsilon) \subset B(z_0, \rho)$ para todo $z\in B(z_0,\rho)$.

Figura 45: Todo disco abierto $B(z_0,\rho)$ es un conjunto abierto en $X$.

Dadas las hipótesis, sea $\rho>0$. Tomemos $z\in \overline{\overline{B}(z_0,\rho)}$, entonces para todo $\varepsilon > 0$ existe:
\begin{equation*}
z_\varepsilon \in B(z,\varepsilon)\cap \overline{B}(z_0,\rho).
\end{equation*} De acuerdo con la desigualdad del triángulo, para todo $\varepsilon > 0$ se cumple que:
\begin{equation*}
d_X(z, z_0) \leq d_X(z, z_\varepsilon) + d_X(z_\varepsilon, z_0) < \varepsilon + \rho,
\end{equation*} de donde se sigue que $d(z, z_0) < \rho$, por lo que $\overline{\overline{B}(z_0,\rho)}\subset \overline{B}(z_0,\rho)$. Entonces
\begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho) = \overline{\overline{B}(z_0,\rho)},
\end{equation*} por lo tanto, todo disco cerrado es un conjunto cerrado en $X$.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Sea $\{ G_j : j\in J\}$, con $J$ un conjunto de índices, una colección de conjuntos abiertos en $X$. Tomemos a $z\in G = \bigcup\limits_{j\in J} G_j$, entonces $z \in G_j$, para algún $j\in J$, así por la definición 7.4 tenemos que existe $\rho>0$ tal que $B(z,\rho) \subset G_j \subset G$, por lo que $G$ es abierto.
Sean $G_1, G_2, \ldots , G_n$ subconjuntos abiertos de $X$ y sea $z \in G = \bigcap\limits_{k=1}^{n} G_k$. Tenemos que $z\in G_k$ para $k=1,2, \ldots, n$, por lo que por la definición 7.4 se tiene que para cada $k$ existe $\rho_k > 0$ tal que $B(z,\rho_k) \subset G_k$. Si tomamos a $\rho = \operatorname{min}{\rho_k : 1 \leq k \leq n}$, entonces para cada $k$, con $1 \leq k \leq n$, se cumple que $B(z,\rho) \subset B(z,\rho_k) \subset G_k$. Entonces $B(z,\rho) \subset G$, por lo que $G$ es abierto.
Ejercicio.
Ejercicio.

$\blacksquare$

Es posible encontrar la prueba de estas propiedades en algún libro de topología o de topología de espacios métricos, como Topología de espacios métricos de Ignacio L. Iribarren.

Definición 7.10. (Conjunto denso.)
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Diremos que un conjunto $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A} = X$.

Ejemplo 7.5.

a) El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ con la métrica usual de $\mathbb{R}$, $d(x,y) = |\,x-y\,|$.

b) El conjunto ${x+iy : x,y\in\mathbb{Q}}$ es denso en $\mathbb{C}$ con la métrica euclidiana.

Tarea moral

Prueba que las siguientes funciones $d_i: \mathbb{C}\times\mathbb{C} \to [0,\infty)$, con $i=1,2$, dadas por:
\begin{equation*}
d_1(x+iy, a+ib) = |\,x-a\,| + |\,y-b\,|,
\end{equation*} \begin{equation*}
d_2(x+iy, a+ib) = \text{máx}\left\{|\,x-a\,|,|\,y-b\,|\right\},
\end{equation*} son también una métrica en $\mathbb{C}$.
Considera la observación 7.2 y argumenta porqué esos conjuntos se pueden definir respectivamente como:
\begin{equation*}
B^*(z_0,\rho) = \{z\in\mathbb{C}\,:\, 0<|\,z-z_0\,|<\rho\},
\end{equation*} \begin{equation*}
\overline{B^*}(z_0,\rho) = \{z\in\mathbb{C}\,:\, 0<|\,z-z_0\,|\leq\rho\}.
\end{equation*} ¿Cómo son esos conjuntos en $\mathbb{C}$? ¿Cerrados, abiertos o ninguno de los dos? Describe al conjunto de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulación y de adherencia. ¿Son acotados esos conjuntos?
Argumenta porqué los conjuntos $\emptyset$ y $\mathbb{C}$ son abiertos y cerrados en $\mathbb{C}$, ejemplo 7.2(c).
Completa la demostración de las proposiciones 7.1 y 7.3.
Hasta ahora sabemos que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$. Por otra parte, de nuestros cursos de cálculo sabemos que un intervalo abierto en $\mathbb{R}$, es decir el conjunto:
\begin{equation*}
(a,b) = \{ x\in\mathbb{R} \,:\, a<x<b\},
\end{equation*} es un conjunto abierto en $\mathbb{R}$. Prueba que dicho conjunto no es abierto en $\mathbb{C}$.
Utilizando la definición describe cómo son los siguientes conjuntos de $\mathbb{C}$, es decir ¿son abiertos o cerrados o ninguna de las dos en $\mathbb{C}$? ¿Son acotados?
a) Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$, definimos:\begin{align*}
A = \{z\in\mathbb{C}\, :\, a< \operatorname{Re}(z)<b\},\\
B = \{z\in\mathbb{C}\, :\, a< \operatorname{Im}(z)<b\}.
\end{align*} b) $X = \{z\in\mathbb{C} \,:\ \, \operatorname{Re}(z)<0\} \cup \{0\}$.
c) $Y = \{z\in\mathbb{C} \,:\ \, 0\leq\operatorname{Im}(z)\}$.

Considera a los siguientes conjuntos:
a) $S_1 = B(0,1)$.
b) $S_2 = \overline{B}\left(-1-i\sqrt{2},\frac{7}{8}\right)$.
c) $S_3 = \overline{B}\left(2+i\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$.
De acuerdo con la proposición 7.2 tenemos que $S_1$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$, mientras que $S_2$ y $S_3$ son conjuntos cerrados en $\mathbb{C}$. Describe los puntos interiores, exteriores y frontera de cada uno de los tres conjuntos.

Considera al siguiente conjunto:
\begin{equation*}
S = \left\{ z\in\mathbb{C} \,:\, |\,\operatorname{Im}(z)\,| < |\,\operatorname{Re}(z)\,| \right\},
\end{equation*} el cual está representado en la figura 46. Prueba que:
a) $S$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$.
b) $\partial S = \{ z\in\mathbb{C} \,:\, |\,\operatorname{Re}(z)\,| = |\,\operatorname{Im}(z)\,|\}$.
c) Los puntos de acumulación de $S$ son precisamente la clausura de $S$, es decir $\overline{S}$.
d) $S$ no es cerrado en $\mathbb{C}$.
e) $S$ no es acotado en $\mathbb{C}$.

Más adelante…

En esta entrada hemos hecho una breve descripción de la topología de los espacios métricos, en particular analizamos la topología del plano complejo $\mathbb{C}$. Esta caracterización de $\mathbb{C}$ como un espacio métrico nos será de gran utilidad en las siguientes entradas para poder continuar el estudio del campo de los números complejos.

En esta entrada hemos visto que existe una estrecha relación entre la topología de $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}^2$, lo cual no debe sorprendernos ya que como espacios vectoriales dichos conjuntos son isomorfos, ver ejercicio 6 de la entrada 2. Más adelante veremos que como espacios métricos son homeomorfos, por lo que muchas propiedades que conocemos para $\mathbb{R}^2$ nos permitirán caracterizar a los números complejos. Por otra parte es fácil convencerse que la topología de $\mathbb{C}$ induce en $\mathbb{R}$ su topología usual considerando la distancia definida mediante el valor absoluto.

La siguiente entrada abordaremos las sucesiones en $\mathbb{C}$ y discutiremos la completez del espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ la métrica euclidiana.

Entradas relacionadas

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Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada abordaremos a las operaciones entre conjuntos desde una perspectiva diferente: el álgebra. Veremos que existe otra forma de probar la igualdad entre conjuntos sin necesidad de usar la demostración por doble contención.

Algunos recordatorios

En el álgebra de conjuntos lo que se hace es primero probar algunas propiedades fundamentales de las operaciones de conjuntos, y usar estas propiedades repetidamente para demostrar otras, aprovechando que la igualdad de conjuntos es transitiva. Es por ello que nos conviene recopilar varias propiedades de las operaciones que tenemos hasta ahora.

Sean $A$, $B$, $C$ y $X$ conjuntos tales que $A, B,C\subseteq X$. Entonces:

$A\cup \emptyset=A$,
$A\cup A=A$,
$A\cup B=B\cup A$,
$(A\cup B)\cup C = A \cup (B\cup C)$,
$A\cap \emptyset =\emptyset$,
$A\cap A=A$,
$A\cap B = B\cap A$,
$(A\cap B)\cap C =A \cap (B\cap C)$,
$A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)$,
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$,
$A\setminus \emptyset=A$,
$A\setminus A=\emptyset$,
$A\setminus B= A\cap (X\setminus B)$,
$A\cap (X\setminus A)=\emptyset$,
$A\cup (X\setminus A)=X$,
$X\setminus (A\cap B)= (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$,
$X\setminus (A\cup B)= (X\setminus A)\cap (X\setminus B)$,
$X\setminus (X\setminus A)= A$,
Si $A\subseteq B$, entonces $A\cap B=A$.

Hay otras propiedades que ya hemos demostrado, pero no las pusimos aquí. Podríamos ponerlas para ir recopilando más cosas que sabemos que son válidas.

Demostraciones con álgebra de conjuntos

Ahora veremos algunos ejemplos de cómo se trabaja con álgebra de conjuntos. En varias de las siguientes proposiciones enunciamos resultados para cuando $A$ y $B$ son subconjuntos de un conjunto en común $X$. Toma en cuenta que para $A$ y $B$ arbitrarios, siempre podemos tomar $X=A\cup B$.

Proposición. Sean $A, B\subseteq X$ conjuntos. Prueba que $A\setminus B= A\setminus (A\cap B)$.

Demostración.

\begin{align*}
A\setminus (A\cap B)&= A\cap (X\setminus (A\cap B)) \tag{usando 13}\\
&=A\cap((X\setminus A)\cup(X\setminus B)) \tag{usando 16} \\
&=(A\cap (X\setminus A))\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 9} \\
&=\emptyset\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 14} \\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1 y 3} \\
&=A\setminus B \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. Sean $A$, $B\subseteq X$ son conjuntos, entonces $A\setminus B= (A\cup B)\setminus B$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus B &= (A\cup B)\cap (X\setminus B) \tag{usando 13}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus B)) \tag{usando 9}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup \emptyset \tag{usando 14}\\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1}\\
&=A\setminus B \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. Para $A$, $B$, $X$ conjuntos tales que $A, B\subseteq X$, $(A\cap B)\cup (A\setminus B)= A$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cap B)\cup (A\setminus B)&= (A\cap B)\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 13}\\
&=A\cap (B\cup (X\setminus B)) \tag{usando 9}\\
&=A\cap X \tag{usando 15}\\
&=A \tag{usando 14}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $A\cap (B\setminus C)=(A\cap B)\setminus C$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C &=(A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 13}\\
&=A\cap (B\cap X\setminus C) \tag{usando 8}\\
&= A\cap (B\setminus C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C&= (A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 13}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cap (B\cap X\setminus C) \tag{usando 6 ,7 y 8}\\
&= (A\setminus C)\cap (B\setminus C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus C&= (A\cup B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 13}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cup (B\cap X\setminus C) \tag{usando 9}\\
&= (A\setminus C)\cup (B\setminus C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)&= (A\setminus C)\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 13}\\
&=(A\setminus C)\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C)) \tag{usando 13}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus (X\setminus C))) \tag{usando 16}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 18}\\
&=(A\setminus C\cap (X\setminus B))\cup ((A\setminus C)\cap C) \tag{usando 9}\\
&=((A\cap(X\setminus C))\cap (X\setminus B))\cup ((A\cap(X\setminus C))\cap C) \tag{usando 13}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap((X\setminus C)\cap C)) \tag{usando 8}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap\emptyset) \tag{usando 14}\\
&=((A\setminus B)\setminus C)\cup \emptyset \tag{usando 13 y 5}\\
&=(A\setminus B)\setminus C \tag{usando 1}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. Sean $A$, $B$, $C$ subconjuntos de $X$. Tenemos que $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$.

Demostración.

\begin{align*}
A\setminus (B\setminus C)&= A\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 13}\\
&=A\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C))) \tag{usando 13}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup (X\setminus(X\setminus C))) \tag{usando 16}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 18}\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup (A\cap C) \tag{usando 9}\\
&=(A\setminus B)\cup (A\cap C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Tras realizar estas demostraciones es importante notar que muchas veces hacer el uso del álgebra nos ayuda a ahorrar tiempo. Sin embargo, para poder lograr esto es necesario utilizar muchas de las propiedades que sí hemos demostrado previamente por doble contención.

Tarea moral

Realiza las siguientes demostraciones haciendo uso del álgebra de conjuntos:

Prueba que para $A, B, C, X$ conjuntos tales que $A, B, C\subseteq X$ se cumple que: $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)= (A\cap C)\setminus B$.
Prueba que $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)=A\cap (C\setminus B)$.
Si $A, B\subseteq X$, entonces $(X\setminus A)\setminus (X\setminus B)=B\setminus A$.
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Entonces $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Retomaremos los resultados que hemos visto hasta ahora y seguiremos haciendo uso del álgebra de conjuntos para demostrar algunas propiedades de esta nueva operación.

Entradas relacionadas

Entrada relacionada: Teoría de los Conjuntos I: Operaciones entre conjuntos
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Probabilidad I: Varianza de una Variable Aleatoria

Por Octavio Daniel Ríos García

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Introducción

En esta entrada veremos un concepto que se relaciona cercanamente con el valor esperado: la varianza. Así como el valor esperado, la varianza será una cantidad numérica que tiene la intención de resumir numéricamente otro aspecto del comportamiento probabilístico de una variable aleatoria. En este caso, lo que intentaremos resumir será la variabilidad respecto al valor esperado. Es decir, en promedio, ¿qué tanto se aleja una variable aleatoria del «centro» de su distribución?

Además, con las herramientas que tenemos hasta ahora, podemos desarrollar algunas propiedades de la varianza, que no serán difíciles de demostrar utilizando las herramientas de las últimas entradas sobre valor esperado.

Motivación y definición

Dada una v.a. $X\colon\Omega\to\RR$, vimos que el valor esperado de $X$, $\Esp{X}$, es el valor promedio (a la larga) de $X$. Es decir, que si observamos muchas veces a $X$, el promedio de esas observaciones debe de acercarse a $\Esp{X}$. Además, gracias a la ley del estadístico inconsciente, podemos calcular $\Esp{g(X)}$, que es el valor promedio de $g(X)$.

La varianza de una v.a. $X$ se define como el valor esperado de una transformación particular de $X$, y lo que busca cuantificar la dispersión promedio que tiene $X$ con respecto a su valor esperado. Por ello, se propone la transformación $v\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} v(x) &= {\left(x − \Esp{X}\right)}^{2} & \text{para cada $x\in\RR$.} \end{align*}

Así, observa que $v(X) = {\left(X − \Esp{X}\right)}^{2}$ es una v.a. cuyo valor tiene un significado especial: $v(X)$ es la distancia entre $X$ y su valor esperado, elevada al cuadrado. Por ello, $\Esp{v(X)}$ es la distancia cuadrada promedio entre $X$ y su valor esperado. Esta discusión da lugar a la definición de varianza.

Definición. Sea $X$ una variable aleatoria. La varianza de $X$, denotada con $ \mathrm{Var}(X) $, se define como sigue:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \Esp{{\left(X − \Esp{X} \right)}^{2}},\end{align*}

siempre que ${\left(X − \Esp{X} \right)}^{2}$ sea una v.a. con valor esperado finito. En tal caso, se dice que $X$ tiene varianza finita.

Definiciones para el caso discreto y el caso continuo

Debido a la distinción entre valores esperados de v.a.’s discretas y continuas, la varianza tiene dos formas de calcularse directamente. Sin embargo, veremos más adelante en esta entrada que no es necesario hacer el cálculo directo, y puede hacerse mediante una expresión más sencilla.

Varianza (Caso discreto). Si $X$ es una v.a. discreta, entonces la varianza de $X$ tiene la siguiente expresión:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \sum_{x\in X[\Omega]} (x − \Esp{X})^{2} \Prob{X = x}, \end{align*}

siempre que esta serie sea absolutamente convergente.

Varianza (Caso continuo). Si $X$ es una v.a. continua con función de densidad $f_{X}$, entonces la varianza de $X$ puede escribirse de la siguiente manera:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} (x − \Esp{X})^{2} f_{X}(x) \, \mathrm{d}x.\end{align*}

Es importante observar que, independientemente del caso en el que nos encontremos, para calcular la varianza de $X$ es necesario conocer el valor esperado de $X$.

Terminología y notación usual

Existe cierta notación especial para la varianza que encontrarás en la literatura referente a probabilidad y estadística. Si $X$ es una v.a., entonces suele denotarse a la varianza de $X$ con $\sigma^{2}$, o con $\sigma_{X}^{2}$, en caso de que sea necesario saber qué v.a. es la varianza. Además, a la raíz cuadrada (positiva) de la varianza (que bajo esta notación sería $\sigma$ o $\sigma_{X}$) se le conoce como desviación estándar. En resumen, si $X$ es una v.a., entonces podrías encontrarte con fuentes que adoptan la siguiente notación:

$\sigma_{X}^{2} := \mathrm{Var}(X)$ para denotar a la varianza.
$\sigma_{X} := \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ para denotar a la desviación estándar.

Nostros no adoptaremos esta notación en general, pero hay una distribución de probabilidad en particular en la que sí la utilizaremos.

Propiedades de la varianza

Debido a que la varianza se define como un valor esperado, tiene algunas propiedades que son consecuencia de lo que hemos estudiado en las últimas entradas.

La primera propiedad es muy elemental, y establece que la varianza de cualquier v.a. es no-negativa.

Propiedad 1. Sea $X$ una variable aleatoria. Entonces se cumple que

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) \geq 0. \end{align*}

Demostración. Te la dejamos como tarea moral.

$\square$

Por su parte, la siguiente propiedad establece que la varianza de una constante debe de ser $0$.

Propiedad 2. Sea $c\in\RR$ y $f_{c}$ la v.a. constante igual a $c$. Entonces se cumple que

\begin{align*} \mathrm{Var}(f_{c}) &= 0. \end{align*}

Si abusamos un poco de la notación, lo anterior quiere decir que si $c\in\RR$ es un valor constante, entonces $ \mathrm{Var}(c) = 0$.

Demostración. Sea $v\colon\RR\to\RR$ la transformación que define a la varianza (en este caso, para cada $x\in\RR$, $v(x) = x − \Esp{f_{c}}$). Como $\Esp{f_{c}} = c$, entonces se tiene que $v(x) = x − c$. Así, $v(f_{c})$ es la v.a. dada por

\begin{align*} v(f_{c}(\omega)) &= f_{c}(\omega) − c & \text{para cada $\omega\in\Omega$.} \end{align*}

Además, como $f_{c}(\omega) = c$ para cualquier $\omega\in\Omega$, entonces se tiene que $v(f_{c})$ es la v.a. constante igual a $0$. En consecuencia,

\begin{align*} \mathrm{Var}(f_{c}) &= \Esp{v(f_{c})} = \Esp{0} = 0, \end{align*}

que es justamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

La propiedad 2 tiene sentido, pues la dispersión promedio de una v.a. que puede tomar un único valor debe de ser $0$.

La propiedad siguiente nos dice que la varianza es invariante ante traslaciones.

Propiedad 3. Sean $X$ una variable aleatoria y $c \in \RR$. Entonces

\begin{align*} \mathrm{Var}(X + c) &= \mathrm{Var}(X) . \end{align*}

Demostración. Podemos obtener este resultado directamente desarrollando la expresión de la varianza de $X + c$, recordando que $\Esp{X + c} = \Esp{X} + c$:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X + c) &= \Esp{(X + c − \Esp{X + c})^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X + c − (\Esp{X} + c))^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X + c − \Esp{X} − c))^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X − \Esp{X})^{2}} \\[1em] &= \mathrm{Var}(X) ,\end{align*}

que es precisamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

La propiedad 3 quiere decir que si trasladamos una v.a. sumándole una constante, su dispersión promedio no se ve afectada, pues el comportamiento probabilístico sigue siendo el mismo, lo único que se cambia es el «centro» de la distribución. Es decir, la v.a. trasladada tiene el mismo comportamiento, pero centrado alrededor de un valor distinto, por lo que su variabilidad con respecto a ese nuevo centro será la misma.

La propiedad que sigue establece que la varianza saca constantes multiplicando al cuadrado.

Propiedad 4. Sean $X$ una variable aleatoria y $c\in\RR$. Entonces

\begin{align*} \mathrm{Var}(cX) &= c^{2} \mathrm{Var}(X). \end{align*}

Demostración. Al igual que la propiedad 1, te dejamos esta como tarea moral.

$\square$

La siguiente propiedad establece una expresión más sencilla para el cálculo de la varianza de una v.a. $X$.

Propiedad 5. Sea $X$ una variable aleatoria con varianza finita. Entonces se cumple que

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \Esp{X^{2}} − {\left(\Esp{X}\right)}^{2}.\end{align*}

Demostración. Podemos hacer el siguiente desarrollo de la expresión que vimos en la definición de la varianza.

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \Esp{{\left(X − \Esp{X}\right)}^{2}} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2} − 2 X \Esp{X} + {\left(\Esp{X}\right)}^{2}} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2}} + \Esp{−2 X \Esp{X}} + \Esp{\left(\Esp{X}\right)^{2}} \tag{$*$} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2}} − 2\Esp{X}\Esp{X} + {\left(\Esp{X}\right)}^{2} \tag{$**$} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2}} − 2{\left(\Esp{X}\right)}^{2} + {\left(\Esp{X}\right)}^{2} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2}} − {\left(\Esp{X}\right)}^{2}.\end{align*}

Observa que al pasar de $(*)$ a $(**)$ usamos que $−2\Esp{X} \in \RR$ es constante, por lo que «sale multiplicando».

$\square$

La propiedad 5 nos otorga una manera alternativa de calcular la varianza de una v.a. que nos será muy útil más adelante, en especial cuando hayamos visto el tema de la entrada siguiente.

¿La varianza «abre» la suma? ¡No siempre!

Como una última «propiedad», vamos a demostrar que, en general, la varianza no es lineal respecto a la suma. Esto es, en general se tiene que

\begin{align*} \mathrm{Var}(X + Y) &\neq \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) . \end{align*}

Para confirmarlo, veamos la siguiente proposición.

Proposición 1. Sean $X$, $Y$ variables aleatorias. Entonces se tiene que

\begin{align*} \mathrm{Var}({X + Y}) &= \mathrm{Var}({X}) + \mathrm{Var}({Y}) + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}.\end{align*}

Demostración. Podemos desarrollar la varianza de $X + Y$ directamente para obtener el resultado:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X + Y) &= \Esp{(X + Y − \Esp{X + Y})^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X + Y − (\Esp{X} + \Esp{Y}))^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X + Y − \Esp{X} − \Esp{Y})^{2}} \\[1em] &= \Esp{((X − \Esp{X}) + (Y − \Esp{Y}))^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X − \Esp{X})^{2} − 2(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y}) + (Y − \Esp{Y})^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X − \Esp{X})^{2}} + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})} + \Esp{(Y − \Esp{Y})^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X − \Esp{X})^{2}} + \Esp{(Y − \Esp{Y})^{2}} + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})} \\[1em] &= \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}, \end{align*}

lo cual concluye la demostración.

$\square$

Con lo anterior, es evidente que no siempre $\mathrm{Var}(X+Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$, pues hay muchas v.a.’s para las cuales el valor $\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}$ es distinto de $0$. Sin embargo, un caso en el que sí se cumple que la varianza abre la suma es cuando $X$ y $Y$ son independientes. En tal caso, basta con demostrar que si $X$ y $Y$ son independientes, entonces

\begin{align*} \Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})} &= 0. \end{align*}

De hecho, en el futuro verás que el valor $ \Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}$ es conocido como la covarianza entre $X$ y $Y$, que generalmente se denota con $\mathrm{Cov}(X,Y)$, y busca cuantificar la relación que existe entre $X$ y $Y$. De este modo, el resultado de la Proposición 1 puede reescribirse como sigue:

\begin{align*} \mathrm{Var}({X + Y}) &= \mathrm{Var}({X}) + \mathrm{Var}({Y}) + 2\mathrm{Cov}(X,Y).\end{align*}

Compendio de propiedades de la varianza

Antes de terminar, incluimos una lista de las propiedades vistas (y demostradas) en esta entrada. Todas estarán disponibles para que las uses en tus tareas y exámenes, a menos que tu profesor o profesora indique lo contrario.

Propiedades de la Varianza. Sean $X$ y $Y$ variables aleatorias con varianza finita, y sea $c\in\RR$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

La varianza es no-negativa: \begin{align*}\mathrm{Var}(X) \geq 0,\end{align*}
La varianza de una constante es $0$: \begin{align*}\mathrm{Var}(c) = 0,\end{align*}
Es invariante ante traslaciones: \begin{align*}\mathrm{Var}(X+c) = \mathrm{Var}{X},\end{align*}
Saca constantes multiplicando al cuadrado: \begin{align*}\mathrm{Var}(cX) = c^{2}\mathrm{Var}(X),\end{align*}
Expresión alternativa para la varianza: \begin{align*}\mathrm{Var}(X) = \Esp{X^{2}} − {\left(\Esp{X}\right)}^{2},\end{align*}
Varianza de la suma de dos v.a.’s:\begin{align*}\mathrm{Var}({X + Y}) &= \mathrm{Var}({X}) + \mathrm{Var}({Y}) + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}.\end{align*}

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

Demuestra la Propiedad 1 de la varianza.
Demuestra también la Propiedad 4 de la varianza.
Usando la Proposición 1, demuestra que si $X$ y $Y$ son v.a.’s independientes, entonces\begin{align*} \mathrm{Var}({X + Y}) &= \mathrm{Var}({X}) + \mathrm{Var}({Y}). \end{align*}Sugerencia: En la entrada pasada vimos que cuando $X$ y $Y$ son independientes, $\Esp{XY}$ se puede «abrir». Utilíza eso para ver que $\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})} = 0$.

Más adelante…

Así como el valor esperado, la varianza es un concepto ubicuo en la probabilidad y la estadística. En conjunto, el valor esperado y la varianza son valores numéricos que resumen dos características del comportamiento de una variable aleatoria: la tendencia central y la variabilidad respecto a esa tendencia central. Por ello, incluso sin visualizar la densidad o masa de probabilidad de una v.a., estas cantidades pueden utilizarse para «darse una idea» de su aspecto y de su comportamiento.

En la entrada que sigue veremos un conjunto de valores asociados a la distribución de una variable aleatoria, conocidos como momentos.

Entradas relacionadas

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Geometría Moderna I: Circunferencia de Brocard

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Con esta entrada concluimos la unidad tres y en general temas relacionados con el triángulo, hablaremos de la circunferencia de Brocard y el primer triángulo de Brocard, veremos como se relacionan con los puntos de Brocard.

Circunferencia de Brocard

Definición. La circunferencia $\Gamma(KO)$ que tiene como diámetro el segmento que une el punto simediano $K$ y el circuncentro $O$ de un triángulo se conoce como circunferencia de Brocard.

El triángulo cuyos vértices son las segundas intersecciones de las mediatrices de un triángulo con su circunferencia de Brocard es el primer triángulo de Brocard.

Observación. Recordemos que el centro de la primera circunferencia de Lemoine es el punto medio entre el punto simediano y el circuncentro de un triángulo, por lo tanto, la circunferencia de Brocard y la primera circunferencia de Lemoine son concéntricas.

Teorema 1. Los puntos de Brocard están en la circunferencia de Brocard.

Demostración. En $\triangle ABC$ sea $\Omega$ el primer punto de Brocard, $K$ el punto simediano, $O$ el circuncentro y $A’$, $B’$, $C’$, los puntos medios de $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente.

Recordemos que las distancias de $K$ a los lados del triángulo son proporciónales a estos,
$d(K, BC) = a \dfrac{2(\triangle ABC)}{a^2 + b^2 + c^2}$

En un ejercicio de la entrada anterior se pide mostrar que
$\dfrac{1}{\tan \omega} = \cot \omega = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{4(\triangle ABC)}$.

Donde $\omega$ es el ángulo de Brocard y $a$, $b$, $c$ los lados de $\triangle ABC$.

Por lo tanto, $d(K, BC) = \dfrac{a}{2} \tan \omega$.

Sea $A_1 = OA’ \cap B\Omega$, en $\triangle A_1BA’$, $A’A_1 = \dfrac{a}{2} \tan \omega$.

Esto implica que $A_1K \parallel BC$, como $OA_1$ es mediatriz de $BC$ entonces $\angle OA_1K = \dfrac{\pi}{2}$, y por lo tanto $A_1 \in \Gamma (KO)$.

De manera similar si consideramos $B_1$ la intersección del rayo $C\Omega$ con la mediatriz de $CA$, podemos ver $B_1K \parallel CA$ y que $B_1 \in \Gamma(KO)$.

Como $A_1K \parallel BC$ y $B_1K \parallel CA$ entonces $\angle KA_1\Omega = \omega = \angle KB_1\Omega$.

En consecuencia, el cuadrilátero $\square \Omega A_1B_1K$ es cíclico, pero el circuncírculo de $\triangle A_1B_1K$, es la circunferencia de Brocard.

Por lo tanto, el primer punto de Brocard $\Omega$, está en la circunferencia de Brocard.

Sea $\Omega’$ el segundo punto de Brocard, como $A_1$ y $B_1$ están en las mediatrices de $BC$ y $CA$ entonces $\triangle A_1BC$ y $\triangle B_1CA$ son isósceles y $\angle A_1CB = \angle B_1AC = \angle \Omega’CB = \angle \Omega’AC = \omega$.

Esto implica que $CA_1$ y $AB_1$ se intersecan en $\Omega’$.

Ya que $A_1K \parallel BC$ y $B_1K \parallel CA$, entonces, $\angle \Omega’A_1K = \omega$ y $\angle KB_1\Omega’ = \pi – \omega$.

Esto implica que $\square A_1\Omega B_1K$ es cíclico, y así el segundo punto de Brocard está en la circunferencia de Brocard.

$\blacksquare$

Corolario 1. Un triángulo y su primer triángulo de Brocard están en perspectiva desde los puntos de Brocard.

Demostración. En el teorema anterior vimos que $BA_1$ y $CB_1$ se intersecan en el primer punto de Brocard, de manera similar se puede ver que $A$, $C_1$ y $\Omega$ son colineales.

También mostramos que $CA_1 \cap AB_1 = \Omega’$, de manera análoga podemos ver que $BC_1$ pasa por $\Omega’$.

Por lo tanto $\Omega$ y $\Omega’$ son centros de perspectiva de $\triangle ABC$ y $\triangle A_1B_1C_1$.

$\blacksquare$

Corolario 2. $\triangle ABC$ y su primer triángulo de Brocard son semejantes.

Demostración. Como $B_1K \parallel CA$, $A_1K \parallel BC$ y tomando en cuenta que $\square A_1C_1B_1K$ es cíclico entonces $\angle ACB = \pi – \angle A_1KB_1 = \angle B_1C_1A_1$.

De manera similar vemos que $\angle A = \angle A_1$ y $\angle B = \angle B_1$.

$\blacksquare$

Conjugado isotómico del punto simediano

En la entrada triángulos en perspectiva vimos que si dos triángulos tienen dos centros de perspectiva entonces existe un tercero, en la siguiente proposición describimos este punto.

Proposición 1. El tercer centro de perspectiva entre un triángulo y su triángulo de Brocard es el conjugado isotómico del punto simediano respecto del triángulo original.

Demostración. Bajo la misma notación del teorema anterior, Recordemos que la $A$-simediana y la $A$-exsimediana son conjugadas armónicas respecto de $AB$, $AC$.

También sabemos que $BK$ y la $A$-exsimediana se intersecan en un punto exsimediano, es decir el punto de intersección de las tangentes por $A$ y $C$ al circuncírculo de $\triangle ABC$.

Sea $S = BK \cap AC$, entonces la hilera $BKSE$ es armónica, así, el haz $B’(BKSE)$ es armónico.

Tomando en cuenta que $OB_1B’E$ es una recta.

En el teorema anterior vimos que $B_1K \parallel AC$, entonces las otras tres rectas del haz bisecan a $B_1K$, es decir $BB’$ biseca a $B_1K$.

Sea $X = BB_1 \cap AC$, como $\triangle BB_1K$ y $\triangle BXS$ son semejantes entonces $B’$ es el punto medio entre $X$ y $S$.

Por lo tanto, $BK$, $BB_1$, son rectas isotómicas, es decir, unen puntos isotómicos con el vértice opuesto.

Igualmente vemos que $AK$, $AA_1$ y $CK$, $CC_1$ son rectas isotómicas, como las simedianas concurren en $K$, entonces, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$concurren en u punto $Y$.

$\blacksquare$

Centroide del triángulo de Brocard

Teorema 2. El centroide de un triángulo y el centroide de su primer triángulo de Brocard coinciden.

Demostración. Nuevamente emplearemos la notación del teorema 1.

$A_1$, $B_1$ y $C_1$ están en las mediatrices de $BC$, $CA$ y $AB$ entonces $\triangle A_1BC$, $\triangle B_1CA$, $\triangle C_1AB$ son isósceles, además son semejantes, pues $\angle A_1BC = \angle B_1CA = \angle C_1AB = \omega$, por lo tanto,

$\dfrac{AC_1}{AB_1} = \dfrac{AB}{CA}$ y $\dfrac{CA_1}{CB_1} = \dfrac{BC}{CA}$.

Sea $X$ la reflexión de $B_1$ respecto de $CA$, entonces
$\angle C_1AX = \angle C_1AC + \angle CAX $
$= \angle C_1AC + \angle B_1AC = \angle C_1AC + \omega $
$= \angle A$,

además $\dfrac{AC_1}{AX} = \dfrac{AC_1}{AB_1} =\dfrac{AB}{CA}$.

Por criterio de semejanza LAL, $\triangle ABC \sim \triangle AC_1X$, igualmente podemos ver que $\triangle ABC \sim \triangle XA_1C$.

Por lo tanto, $\triangle AC_1X \sim \triangle XA_1C$, pero $AX = AB_1 = B_1C = CX$, así que $\triangle AC_1X$ y $\triangle XA_1C$ son congruentes.

En consecuencia, $C_1X = A_1C = A_1B$ y $XA_1 = AC_1 = C_1B$, esto implica que $\square C_1BA_1X$ es un paralelogramo y por lo tanto $A_1C_1$ y $BX$ se cortan en su punto medio $M$.

En $\triangle B_1BX$, $B_1M$ y $BB’$ son medianas, donde $B’$ es el punto medio de $B_1X$ y $CA$, por lo tanto, su intersección $G$, triseca a ambas medianas de $\triangle B_1BX$.

Pero el centroide de $\triangle ABC$ y de $\triangle A_1B_1C_1$ es el único punto con esa propiedad, por lo tanto, su centroide es el mismo.

$\blacksquare$

Concurrencia en el centro de los nueve puntos.

Proposición 3. Las perpendiculares a los lados de un triángulo desde los puntos medios de su primer triángulo de Brocard concurren en el centro de los nueve puntos.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A_1B_1C_1$ su primer triángulo de Brocard, $D$, $E$, $F$, los puntos medios de $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_1B_1$ respectivamente.

Notemos que las perpendiculares por $D$, $E$, $F$, a $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente, son paralelas a $OA_1$, $OB_1$, $OC_1$ respectivamente, donde $O$ es el circuncentro de $\triangle ABC$.

Como $\triangle A_1B_1C_1$ y $\triangle DEF$, están en homotecia desde $G$, el centroide de $\triangle A_1B_1C_1$, y razón $\dfrac{- 1}{2}$, entonces los tres pares de rectas paralelas son pares de rectas homotéticas, pues pasan por puntos homólogos.

Como $OA_1$, $OB_1$, $OC_1$, concurren en $O$ entonces sus correspondientes rectas homotéticas concurren en el correspondiente punto homólogo, $O’$.

Entonces $O$, $G$ y $O’$ son colineales en ese orden y $\dfrac{OG}{2} = GO’$.

Como $G$ también es el centroide de $\triangle ABC$ entonces $O’$ es el centro de los nueve puntos de $\triangle ABC$.

$\blacksquare$

Punto de Steiner

Proposición 4. Las rectas paralelas (perpendiculares) por los vértices de un triángulo a los respectivos lados de su primer triángulo de Brocard concurren en el circuncírculo del triángulo original, el punto de concurrencia se conoce como punto de Steiner (Tarry).

Demostración. Si $\triangle A_1B_1C_1$ es el primer triángulo de Brocard de $\triangle ABC$, sea $S$ la intersección de la paralela a $A_1C_1$ por $B$ y la paralela a $A_1B_1$ por $C$.

$\angle BSC = \angle C_1A_1B_1 = \angle BAC$, por lo tanto, $S$ se encuentra en el arco $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$.

De manera análoga vemos que $CS$ y la paralela a $B_1C_1$ por $A$ se intersecan en el circuncírculo de $\triangle ABC$.

Por lo tanto, las paralelas concurren en $S$.

Considera $T$ el punto diametralmente opuesto a $S$, entonces $AT \perp AS \Rightarrow AT \perp B_1C_1$.

De manera similar vemos que $BT \perp A_1C_1$ y $CT \perp A_1B_1$.

Por lo tanto, las perpendiculares concurren en el circuncírculo de $\triangle ABC$.

$\blacksquare$

Más adelante…

Con la siguiente entrada comenzaremos la última unidad en la que hablaremos sobre cuadriláteros, mostraremos algunos teoremas que establecen propiedades análogas a la de los triángulos, como, cuando un cuadrilátero tiene un incírculo o la formula de Euler que mide la distancia entre el incentro y el circuncentro pero esta vez para cuadriláteros.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Construye un triángulo, dado su primer triángulo de Brocard.
Muestra que la recta que une los vértices de un triángulo con los correspondientes vértices de su primer triángulo de Brocard dividen a los lados opuestos del triángulo original en el inverso de la razón de los cuadrados de los lados adyacentes.
Prueba que la reflexión del punto simediano respecto del centro de los nueve puntos de un triángulo es el centro de la circunferencia de Brocard de su triángulo anticomplementario.
Muestra que el punto simediano y el circuncentro de un triángulo son el punto de Steiner y el punto de Tarry de su primer triángulo de Brocard.
El triángulo cuyos vértices son las segundas intersecciones de las simedianas de un triángulo con su circunferencia de Brocard es el segundo triángulo de Brocard, demuestra que:
$i)$ los vértices del segundo triángulo de Brocard son los puntos medios de las cuerdas del circuncírculo de su triángulo de referencia determinadas por sus simedianas,
$ii)$ las circunferencias del grupo directo e indirecto que son tangentes a los lados de un mismo ángulo de un triángulo se intersecan en los vértices de su segundo triángulo de Brocard.

Entradas relacionadas

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 279-284.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 277-282.
Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 73-75.
Honsberger, R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington: The Mathematical Association of America, 1995, pp 106-124.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»