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Límites y continuidad en $\mathbb{C}$

Introducción

A lo largo de nuestros cursos de Cálculo hemos trabajado el concepto de límite a detalle, pues como sabemos conceptos esenciales en la teoría de las funciones reales como el de continuidad y derivada, además de muchos otros, tienen sustento y se definen precisamente a tráves del límite. Intuitivamente sabemos que el límite de una función real, cuando existe, digamos $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$, nos dice que los valores de la función $f$ estarán tan cercanos al número real $L$ siempre que $x$ esté próximo a $x_0$, pero sin llegar a ser igual a dicho valor.

En esta entrada veremos que al igual que en el caso real, el concepto de límite para funciones complejas nos permitirá hablar de la continuidad y la diferenciabilidad de una función compleja. Aunque el concepto de límite para funciones complejas será idéntico a nuestra idea de proximidad en el caso real, veremos que el caso complejo es mucho más rico ya que aquí consideraremos más de dos posibles direcciones en que un número complejo se aproxime a otro.

Es interesante cuestionarnos sobre cómo podríamos pensar de forma intuitiva el concepto de continuidad en el caso complejo, puesto que solíamos asociar la idea intuitiva de que una función real continua era aquella cuya gráfica no tenía huecos o saltos, sin embargo como hemos mencionado antes, en el caso complejo nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja. Por lo que, aunque tendremos definiciones similares a las del caso real, no debemos dar por hecho que el comportamiento de las funciones complejas será el mismo que el de las funciones reales y de hecho veremos que las funciones complejas se comportan distinto a las funciones vectoriales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$.

Límites

Recordemos que para $S\subset\mathbb{C}$, el conjunto $S’$ denota al conjunto de los puntos de acumulación de $S$.

Definición 13.1. (Límite.)
Sea $S \subset \mathbb{C}$ y sea $z_0 \in S’$. Dada $f\in\mathcal{F}(S)$, diremos que el número complejo $L\in\mathbb{C}$ es el límite de $f(z)$ cuando z tiende a $z_0$, lo cual denotamos como $\lim_{z\to z_0} f(z) = L$, si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta$ entonces $|\,f(z) – L\,|<\varepsilon$.

Observación 13.1.
Al igual que en el caso real, de existir dicho límite, este es único. Supongamos que $\lim_{z \to z_0} f(z) = L_1$ y $\lim_{z \to z_0} f(z) = L_2$. Por la definición 12.4 tenemos que dado $\varepsilon>0$ existen $\delta_1>0$ y $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z – z_0\,|<\delta_2$, entonces $|\,f(z) – L_1\,|<\frac{\varepsilon}{2}$ y $|\,f(z) – L_2\,|<\frac{\varepsilon}{2}$. Como $z_0 \in S’$, entonces para $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\} > 0$ existe $z^* \in S$ tal que $0<|\,z^* – z_0\,| < \delta$, por lo que: \begin{equation*} |\,L_1 – L_2\,| \leq |\,f(z^*) – L_1\,| + |\,f(z^*) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*} Como se cumple para todo $\varepsilon>0$, entonces $L_1 = L_2$.

Observación 13.2.
Primeramente, notemos que la existencia del límite $L$ no depende de que la función $f$ esté definida en el punto $z_0$. Por otra parte, de acuerdo con la observación 12.6 tenemos que para garantizar la existencia de $\lim_{z \to z_0} f(z)$, debe suceder que la función $f$ evaluada en $z$ se aproxime siempre al mismo número complejo $L$, esto sin importar la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$, figura~\ref{fig:f60}. Es decir, si $f$ se aproxima a dos números complejos distintos, digamos $L_1$ y $L_2$, cuando $z$ se aproxima a $z_0$ siguiendo dos trayectorias distintas, entonces $\lim_{z \to z_0} f(z)$ no existe.

Figura 60: Gráfica de los planos $z$ y $w$ donde se representan dos posibles formas en que $f(z)$ se aproxima a $L$ conforme $z$ se aproxima a $z_0$. La existencia del límite no depende de la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$.

Ejemplo 13.1.
a) Consideremos la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \dfrac{z^2 + 4}{z-2i}. \end{equation*} Es claro que el dominio de $f$ es $S = \mathbb{C} \setminus \{2i\}$. Sin embargo, veamos que $\lim_{z \to 2i} f(z) = 4i$.

Solución. Sea $z \in S$. Notemos que: \begin{equation*} |\,f(z) \,-\, 4i\,| = \left|\, \dfrac{z^2 + 4}{z-2i} \, – \, 4i \,\right| = |\,z – 2i\,|. \end{equation*} Por lo que para $\varepsilon>0$ definimos $\delta = \varepsilon$, entonces $|\,f(z) – 4i\,|<\varepsilon$ si $0<|\,z – 2i\,|<\delta$, es decir $\lim_{z \to 2i} f(z) = 4i$.

b) Consideremos a la función $f(z) = \overline{z}^2 – 2$. Es claro que la función $f$ está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que $\lim_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.

Solución. Sean $z\in\mathbb{C}$ y $\varepsilon>0$. Notemos que: \begin{align*} |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| & = |\,\overline{z}^2 – 2i\,| = |\,\overline{\overline{z}^2 – 2i}\,| = |\,z^2 + 2i\,|\\ & = |\,z-(1-i)\,| \, |\,z+(1-i)\,|\\ &\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( |\,z-(1-i)\,| + 2|\,1-i\,| \bigg). \end{align*}

Haciendo $0<|\,z-(1-i)\,|<1$ tenemos que: \begin{align*} |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| &\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( 1 + 2\sqrt{2} \bigg) \end{align*} Por lo que tomando $\delta= \text{mín}\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{1+2\sqrt{2}}\right\}>0$, se sigue que si $0<|\,z-(1-i)\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – (-2+i)\,| = |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.

c) Sea $c\in\mathbb{C}$ una constante. Consideremos a las funciones $f(z) = c$, $g(z)=z$ y $h(z)=\overline{z}$. Es claro que dichas funciones complejas están definidas en todo $\mathbb{C}$. Entonces para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) = c,\\ \lim_{z \to z_0} g(z) = z_0,\\ \lim_{z \to z_0} h(z) = \overline{z_0}. \end{align*}

Ejemplo 13.2.
Consideremos a la función: \begin{equation*} f(z) = \dfrac{z}{\overline{z}},\end{equation*} cuyo dominio es $S =\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Veamos que $\lim_{z\to 0} f(z)$ no existe.

Solución. De acuerdo con la observación 12.7, basta encontrar dos trayectorias por las que $z$ se aproxime a $0$ que nos den valores distintos para dicho límite.

Notemos que si nos acercamos a $0$ a través del eje real, es decir tomando $z=x+i0$, con $x\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x+i0}{x-i0} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x} = 1. \end{equation*}

Mientras que si nos acercamos a $0$ a través del eje imaginario, es decir tomando $z=0+iy$, con $y\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{0+iy}{0-iy} = \lim_{y \to 0} \dfrac{iy}{-iy} = -1. \end{equation*}

Por lo que $\lim_{z\to 0} f(z)$ no existe.

Proposición 13.1.
Sean $f\in\mathcal{F}(S)$, $z_0\in S’$ y $L\in\mathbb{C}$. Se tiene que:
\begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L \quad & \text{si y solo si}\\ &\lim_{z \to z_0} \operatorname{Re}(f(z)) = \operatorname{Re}(L) \,\,\, \text{y} \,\, \lim_{z \to z_0} \operatorname{Im}(f(z)) = \operatorname{Im}(L) \end{align*}

Demostración. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que para todo $z\in S$ se cumple que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(f(z)) – \operatorname{Re}(L)\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,\operatorname{Re}(f(z)) – \operatorname{Re}(L)\,| + |\,\operatorname{Im}(f(z)) – \operatorname{Im}(L)\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,\operatorname{Im}(f(z)) – \operatorname{Im}(L)\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,\operatorname{Re}(f(z)) – \operatorname{Re}(L)\,| + |\,\operatorname{Im}(f(z)) – \operatorname{Im}(L)\,|. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.

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Por la proposición 13.1 tenemos que la existencia de un límite en $\mathbb{C}$ está garantizada por la existencia de los límites de dos funciones escalares, por lo que podemos utilizar los resultados que conocemos para límites de funciones escalares de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ para verificar si dicho límite existe en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 13.3.
Consideremos a la función $f(z) = z^2$, la cual está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = z_0^2. \end{equation*}

Solución. Procediendo por la definición 13.1 es fácil probar la existencia de dicho límite. Sin embargo, podemos hacer uso de la proposición 13.1 para probar el resultado. Sean $z=x+iy$ y $z_0 = x_0+iy_0$. Entonces tenemos que:\begin{equation*} f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*}

donde $\operatorname{Re}(f(z)) = u(x,y) = x^2 -y^2$ e $\operatorname{Im}(f(z))=v(x,y) = 2xy$.

Tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \operatorname{Re}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \ y \to y_0}} u(x,y) = x_0^2 – y_0^2,\\ \lim_{z \to z_0} \operatorname{Im}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \ y \to y_0}} v(x,y) = 2x_0 y_0. \end{align*} Por lo tanto $\lim_{z \to z_0} f(z) = x_0^2 – y_0^2 + i2x_0y_0 = z_0^2$.

Observación 13.3.
Notemos que para la función $f(z)=z^n$, con $n\in\mathbb{N}^+$ y $z\in\mathbb{C}$, se puede probar por inducción que para todo $z_0\in\mathbb{C}$: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \lim_{z \to z_0} z^n = z_0^n. \end{equation*}

Proposición 13.2. (Álgebra de límites.)
Sean $f,g\in\mathcal{F}(S)$, sea $z_0 \in S’$ y sean $c, L_1, L_2 \in \mathbb{C}$. Supongamos que $\lim_{z \to z_0} f(z) = L_1$, $\lim_{z \to z_0} g(z) = L_2$. Entonces:

  1. $\lim_{z \to z_0} \left[f(z) \pm c g(z)\right] = L_1 \pm c \, L_2$.
  2. $\lim_{z \to z_0} \left[f(z)g(z)\right] = L_1L_2$.
  3. Si $L_2 \neq 0$, entonces $\lim_{z \to z_0} \left[\dfrac{f(z)}{g(z)}\right] = \dfrac{L_1}{ L_2}$.

Demostración.

  1. Dadas las hipótesis, tenemos que si $c = 0$ entonces se sigue el resultado. Supongamos que $c\neq 0$ y sea $\varepsilon>0$, entonces existen $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z-z_0\,|<\delta_2$, entonces: \begin{align*} |\,f(z) – L_1\,| < \frac{\varepsilon}{2},\\ |\,g(z) – L_2\,| < \frac{\varepsilon}{2|c|}. \end{align*} Por lo que tomando $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\}>0$, tenemos que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) \pm cg(z) – (L_1 \pm c \, L_2) \,| \leq |\,f(z) – L_1\,| + |\,c\,| \, |\,g(z) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*}
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Se deja como ejercicio al lector.

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Observación 13.4.
De acuerdo con la proposición 13.2 y el inciso (c) del ejemplo 13.1, podemos calcular de forma inmediata el límite de un polinomio en cualquier punto, o el límite de una función racional en un punto donde dicha función esté definida, simplemente evaluando el polinomio o la función racional en el punto dado.

Ejemplo 13.4.
Hallar cada uno de los siguientes límites:
a) $\lim_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z-3i}$.
b) $\lim_{z \to 2+3i} (z-5i)^2$.
c) $\lim_{z \to i} 3z^2 + 2z -1$.

Solución. Considerando la observación 13.4 y las propiedades de los límites tenemos:
a) \begin{align*} \lim_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z-3i} & = \lim_{z \to 3i} \dfrac{(z+3i)(z-3i)}{z-3i}\\ & = \lim_{z \to 3i} z+3i\\ & = \lim_{z \to 3i} z + \lim_{z \to 3i} 3i \\ & = 3i + 3i \\ & = 6i. \end{align*}
b) \begin{align*} \lim_{z \to 2+3i} (z-5i)^2 & = \lim_{z \to 2+3i} (z-5i)(z-5i) \\ & = \left(\lim_{z \to 2+3i} z-5i\right)^2 \\ & = \left(\lim_{z \to 2+3i} z – \lim_{z \to 2+3i} 5i\right)^2 \\ & = \left(2+3i – 5i\right)^2\\ & = \left(2-2i\right)^2\\ & = -8i. \end{align*}
c) \begin{align*} \lim_{z \to i} 3z^2 + 2z -1 & = 3 \lim_{z \to i} z^2 + 2\lim_{z \to i} z – \lim_{z \to i} 1\\ & = 3\left( \lim_{z \to i} z\right)^2 + 2i – 1\\ & = 3i^2 + 2i – 1 \\ & = -4 + 2i. \end{align*}

Consideremos ahora a la función $f(z) = 1/z$, dada en el ejemplo 12.1(d). Al pensarla como una función compleja definida en $\mathbb{C}$, es claro que el dominio $S$ de dicha función es $S = \mathbb{C}\setminus{0}$. Sin embargo, considerando al plano complejo extendido tomemos $f:S\subset\mathbb{C}_\infty \to\mathbb{C}_\infty$, por lo que podemos definir a la imagen de $z=0$ bajo dicha función como el punto al infinito, es decir $w = f(z) = \infty$. Es claro que al trabajar con $\mathbb{C}_\infty$ la función f es biyectiva, por lo que podemos pensar en la inversa de $f$, es decir en $z = f^{-1}(w) = 1/w$. Entonces ¿qué pasa con $\lim{w\to 0} f(f^{-1}(w))$? ¿y con $\lim_{z \to \infty} f(z)$? ¿Qué relación hay entre dichos límites?

Por otra parte, como vimos en la entrada 11, cuando pensamos en que un número complejo tiende a infinito, lo cual denotamos como $z \to \infty$, estamos considerando que su módulo crece de manera arbitraria, es decir $|\,z\,| \to \infty$. Del mismo modo al hablar de una función $f$ que tiende a infinito, lo cual denotamos como $f(z) \to \infty$, estamos considerando que el módulo de dicha función crece de forma arbitraria, es decir $|\,f(z)\,| \to \infty$.

Para formalizar todo lo anterior consideremos la siguientes definiciones.

Definición 13.2. ($\rho$-vecindad de $\infty$.)
Sea $\rho>0$ suficientemente pequeño. En el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$, una $\rho$-vecindad de $\infty$ o simplemente una vecindad de $\infty$, es el conjunto: \begin{equation*} B(\infty, \rho) = \left\{z\in\mathbb{C} \,: \, \frac{1}{\rho} < |\,z\,| \right\}. \end{equation*}
Un conjunto $U\subset\mathbb{C}\infty$ abierto que contenga a una $\rho$-vecindad de $\infty$, para algún $\rho>0$, es también una $\rho$-vecindad de $\infty$.

Definición 13.3. (Límites al infinito e infinitos.)
Sea $f:S\subset\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función.

  1. Diremos que $\lim_{z\to \infty} f(z) = w_0$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – w_0\,| < \varepsilon. \end{equation*}
  2. Diremos que $\lim_{z\to z_0} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}
  3. Diremos que $\lim_{z\to \infty} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}

Ejemplo 13.5.
a) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z^2}$, con $z\neq 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to \infty} f(z) = 0. \end{equation*}
Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\sqrt{\varepsilon}>0$, si $z\neq 0$ y $|\,z\,| > \dfrac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z) – 0\,\right| = \left|\,\frac{1}{z^2} – 0\,\right| = \frac{1}{|\,z^2\,|} = \frac{1}{|\,z\,|^2} < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $\lim_{z\to \infty} f(z) = 0$.
b) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z-3}$, con $z\neq 3$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to 3} f(z) = \infty. \end{equation*}
Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\varepsilon>0$, si $z\neq 3$ y $0<|\,z-3\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z)\,\right| = \left|\,\frac{1}{z-3}\,\right| = \frac{1}{|\,z-3\,|} > \frac{1}{\varepsilon}.\end{equation*} Por lo que $\lim_{z\to 3} f(z) = \infty$.

De lo anterior tenemos que los valores $z_0$ y $L$ en la definición 13.1 pueden ser sustituidos de forma indistinta por el punto al infinito, es decir en: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L, \end{equation*} podemos remplazar a $z_0$ y/o $L$ por $\infty$, para ello solo habría que remplazar apropiadamente sus vecindades por vecindades de $\infty$. Para tener más claro esto y poder trabajar de manera más sencilla con estos límites tenemos el siguiente resultado.

Proposición 13.3.
Sea $f:S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función y sean $z_0$ en el plano $z$, que corresponde al del dominio de $f$, y $w_0$ en el plano $w$, que corresponde al plano de la imagen de $f$, observación 12.1, entonces:

  1. \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to z_0} \frac{1}{f(z)} = 0. \end{equation*}
  2. \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = w_0 \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} f\left(\frac{1}{z}\right) = w_0. \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} = 0. \end{equation*}

Demostración.

  1. Sea $z\in S$. Si $\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$ existe, entonces de la definición 13.3(2) tenemos que para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon} \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Notemos que para el punto $w=f(z)$ se tiene que $|\,w\,| > 1/\varepsilon$, es decir $w$ pertenece a un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$, siempre que $0<|\,z-z_0\,|<\delta$. De lo anterior tenemos que: \begin{equation*} \left|\,\frac{1}{f(z)} – 0 \,\right| = \left|\,\frac{1}{f(z)}\,\right| = \frac{1}{|f(z)|} < \varepsilon \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Por lo que $\lim_{z \to z_0} \dfrac{1}{f(z)} = 0$.
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Se deja como ejercicio al lector.

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La proposición 13.3 es de gran utilidad al trabajar con el punto al infinito. La idea de dicha proposición es representar al punto al infinito y su entorno mediante sus imágenes en la función $w = f(z) = 1/z$. Esto es, el punto $z=\infty$ corresponde con el punto $w=0$ y un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$ corresponde con un $\varepsilon$-vecindario de $0$. Por lo que la existencia de un límite de una función $f(z)$ que considere al punto $z=\infty$ dependerá de la existencia de un límite que considere al punto $w=0$.

Ejemplo 13.6.
a) Consideremos a la función $f(z) = \dfrac{2z^3-1}{z^2+1}$ definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{i,-i\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} f(1/z) = \frac{(2/z^3)-1}{(1/z^2)+1}, \quad \quad \frac{1}{f(1/z)} = \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1}. \end{equation*} De acuerdo con la proposición 13.3 como: \begin{align*} \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} &= \lim_{z \to 0} \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1}\\ &= \lim_{z \to 0} \frac{z^3\left[(1/z^2)+1\right]}{z^3\left[(2/z^3)-1\right]}\\ &= \lim_{z \to 0} \frac{z^3 + z}{2 – z^3} = 0. \end{align*} Entonces $\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$.
b) Consideremos a la función $g(z) = \dfrac{iz+3}{z+1}$ con dominio $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} g(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} \frac{1}{g(z)} = \lim_{z \to -1} \frac{z+1}{iz+3} = 0.\ \end{equation*} Por lo que se sigue de la proposición 13.3 que $\lim_{z \to \infty} g(z) = \infty$.
c) Sea $h(z) = \dfrac{2z+i}{z+1}$ una función definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} h(z) = 2. \end{equation*} Solución. De acuerdo con la proposición 13.3 como:
\begin{equation*} \lim_{z \to 0} h(1/z) = \lim_{z \to 0} \frac{(2/z)+i}{(1/z)+1} = \lim_{z \to 0} \frac{2+iz}{1 + z} = 2. \end{equation*} Entonces $\lim_{z \to \infty} h(z) = 2$.

Continuidad

Definición 13.4. (Continuidad.)
Sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Diremos que $f$ es continua en un punto $z_0\in S$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)-f(z_0)\,|<\varepsilon$. Si $f$ es continua en todo punto $z_0 \in S$, entonces diremos que $f$ es continua en $S$. Si $f$ no es continua en $z_0\in S$, entonces diremos que es discontinua en $z_0$.

Ejemplo 13.7.
a) Veamos que las funciones $f(z) = \operatorname{Re}(z)$ y $g(z) = \operatorname{Im}(z)$ son continuas para todo $z_0\in\mathbb{C}$. Solución. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon >0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z – z_0\,| < \delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – f(z_0)\,| = |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| < \varepsilon, \end{equation*} \begin{equation*} |\,g(z) – g(z_0)\,| = |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.
b) Veamos que la función $h(z)=|\,z\,|$ es continua para todo $z_0 \in\mathbb{C}$. Solución. Sea $z_0\in\mathbb{C}$. Por la proposición 3.3 sabemos que: \begin{equation*} |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,h(z) – h(z_0)\,| = |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $f$ es continua para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Ejemplo 13.8.
De acuerdo con la observación 13.3, el ejemplo 13.1(c) y la proposición 13.2(2) es claro que para $c\in\mathbb{C}$ una constante y $z\in\mathbb{C}$ se tiene para toda $n\in\mathbb{N}^+$ que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} c z^n = c z_0^n, \end{equation*} por lo que $f(z) = c z^n$ es una función continua en $\mathbb{C}$.

Observación 13.5.
Notemos que en la definición 13.4 se tiene implícita la condición de que:

  1. existe $f(z_0)$.

Además, si $z_0 \in S\cap S’$ también debe cumplirse que:

  1. existe $\lim_{z \to z_0} f(z)$,
  2. y $\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$.

Por lo que basta con que no se cumpla alguna de estas tres condiciones para que una función $f\in\mathcal{F}(S)$ sea discontinua en $z_0\in S\subset\mathbb{C}$.

Ejemplo 13.9.
a) Verificar si la función $f(z) = z^2 – iz + 2$ es continua en $z_0 = 1 – i$.

Solución. De acuerdo con la observación 13.5 para ver si la función $f$ es continua en el punto $z_0$ basta con ver que se cumplan las tres condiciones establecidas en dicha observación.
1. Es claro que $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = (1-i)^2 – i(1-i) + 2 = 1 – 3i. \end{equation*} 2. Considerando la observación 13.4 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to z_0} z\right)^2 – i \left( \lim_{z \to z_0} z\right) + 2\\ & = \left(1-i\right)^2 – i \left(1-i\right) + 2\\ & = 1-3i. \end{align*} 3. Tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0). \end{equation*} Por lo tanto $f$ es continua en $z_0 = 1-i$.

b) Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} z^2 & \text{si} & z \neq i, \\ 0 & si & z = i. \end{array} \right. \end{equation*} Probar que $f$ no es continua en $z_0 = i$.

Solución. Notemos que:
1. $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = 0. \end{equation*} 2. Considerando la observación 13.4 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to i} z\right)^2\\ & = (i)^2 = -1. \end{align*} 3. Es claro que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = -1 \neq 0 = f(z_0). \end{equation*} Por lo tanto, considerando la observación 13.5 tenemos que $f$ no es continua en $z_0 = i$.

Observación 13.6.
Dado que $\mathbb{C}$ dotado con el módulo es un espacio métrico, entonces son válidas las propiedades de continuidad para espacios métricos dados en la entrada 9.

Proposición 13.4.
Sea $H\subset \mathbb{C}$, $g\in\mathcal{F}(H)$ una función tal que $g(H) \subset S \subset\mathbb{C}$ y sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Supongamos que $z_0$ es un punto de acumulación de $H$, que $\lim_{z \to z_0} g(z) = w_0 \in S$ y que $f$ es continua en $w_0$. Entonces $\lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$, es decir: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f\left(\lim_{z \to z_0} g(z) \right). \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que dado $\varepsilon>0$ existe $\eta>0$ tal que si $w\in S$ y $|\,w – w_0\,| < \eta $ entonces: \begin{equation*} |\,f(w) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Más aún, tenemos que para dicha $\eta>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,g(z) – w_0\,| < \eta. \end{equation*} Por lo que considerando estas dos implicaciones se sigue que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(g(z)) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$.

$\blacksquare$

Proposición 13.5.
Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones continuas en $S$, entonces:

  1. $f \pm g$ es continua en $S$.
  2. $fg$ es continua en $S$. Si $g$ es constante, es decir si $g(z) = c\in\mathbb{C}$ para todo $z\in S$, entonces $cf$ es continua en $S$.
  3. Si $g(z) \neq 0$ para todo $z\in S$, entonces $\dfrac{f}{g}$ es continua en $S$.

Demostración. Utilizando la definición 13.4 y la proposición 13.2 es fácil probar el resultado, por lo que se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Corolario 13.1.
Los polinomios son continuos en $\mathbb{C}$. Las funciones racionales son continuas en su dominio de definición.

Demostración. Sea \begin{equation*} p(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots + c_n z^n, \end{equation*} con $z\in\mathbb{C}$, un polinomio de coeficientes complejos, es decir $c_i \in\mathbb{C}$ para toda $i\in{0,1,\ldots, n}$, con $c_n\neq 0$.

Procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$. Notemos que para $n=0$ se tiene que $p(z) = c_0\neq 0$ es una función constante, por lo que considerando el ejemplo 13.1 inciso (c) tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} p(z) = \lim_{z\to z_0} c_0= c_0 = p(z_0), \end{equation*} por lo que en dicho caso $p(z)$ es continuo para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Para $n=1$, tenemos que $p(z) = c_0 + c_1 z$, por lo que considerando la proposición 13.5(1), al ser $c_0$ y $c_1 z$ funciones continuas en $\mathbb{C}$, entonces $p(z) = c_0 + c_1 z$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Supongamos que $p(z) = c_0 + \sum_{n = 1}^{k}c_n z^n$, para algún $k\in\mathbb{N}$ fijo, es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Para $n=k+1$ tenemos que: \begin{align*} p(z) & = c_0 + \sum_{n = 1}^{k+1}c_n z^n\\ & = c_0 + \sum_{n = 1}^{k}c_n z^n + c_{k+1} z^{k+1}, \end{align*} por hipótesis de inducción tenemos que $c_0 + \sum_{n = 1}^{k}c_n z^n$ es continuo y al ser $c_{k+1} z^{k+1}$ una función continua, entonces por la proposición 13.5(1), es claro que para $n=k+1$ el polinomio $p(z)$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$, por lo que el resultado es válido para todo $n\in\mathbb{N}$.

Por otra parte, consideremos a $f(z) = \dfrac{p(z)}{q(z)}$, la cual es una función racional definida como el cociente de dos polinomios. De acuerdo con la proposición 13.5(3), considerando que todo polinomio es continuo en $\mathbb{C}$ se sigue que $f$ es continua en todo su dominio de definición, es decir en $S =\{z\in\mathbb{C} \, : \, q(z)\neq 0\}$.

$\blacksquare$

Observación 13.7.
Considerando la definición 13.2 y la proposición 13.3 notemos que podemos extender el concepto de continuidad para funciones definidas sobre el plano complejo extendido, es decir, diremos que una función $f: \mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ es continua en $\infty$ si \begin{equation*} f(\infty) = \lim_{z\to \infty} f(z) \end{equation*} y si $f(a) = \infty$, entonces $f$ es continua en $a$ si \begin{equation*} f(a) = \infty =\lim_{z\to a} f(z). \end{equation*}

Ejemplo 13.10.
Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z) = \frac{z+i}{z-i}, \end{equation*} es claro que dicha función no está definida en $z=i$, sin embargo dado que: \begin{equation*} f(i) = \infty = \lim_{z\to i} f(z) \end{equation*} y \begin{equation*} f(\infty) = 1 = \lim_{z\to \infty} f(z), \end{equation*} entonces definiendo: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z+i}{z-i} & \text{si} & z \neq i, \\ 1 & \text{si} & z = \infty, \\ \infty & \text{si} & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} es claro que $f$ es una función continua de $\mathbb{C}_\infty$ en $\mathbb{C}_\infty$.

Tarea moral

  1. Completa la demostración de las proposiciones 13.2 y 13.3.
  2. Considera a la función $f(z) = \dfrac{zi}{2}$ definida en el disco abierto $B(0,1)$. Prueba usando la definición que: \begin{equation*} \lim_{z \to 1} f(z) = \frac{i}{2} \end{equation*}
  3. Usando la definición de límite prueba que si: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} f(z) = w_0, \end{equation*} entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} |\,f(z)\,| = |w_0|. \end{equation*} ¿Es cierto el recíproco?
  4. Considera la función $T:S\subset\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} T(z) = \frac{az+b}{cz+b}, \quad \text{con} \,\, ad – bc \neq 0. \end{equation*} Usando la definición, prueba que:
    a) Si $c=0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \infty. \end{equation*} b) Si $c\neq 0$, entonces: \begin{align*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \frac{a}{c},\\ \lim_{z \to -\frac{d}{c}} T(z) = \infty. \end{align*}
  5. Sea $S = [a,b] = \{ x\in\mathbb{R} \, : \, a\leq x \leq b\}$. Considera a $S\subset \mathbb{C}$ y sea $f: S \to \mathbb{C}$ una función. Tomando $z=x+i0$ podemos escribir $f(z) = u(x) + i v(x)$. Prueba que $f$ es continua si y solo si $u$ y $v$ son continuas.
  6. Analiza la continuidad de la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z^3 – 1}{z-1} & \text{si} & |\,z\,| \neq 1, \\ 3 & \text{si} & |\,z\,| = 1. \end{array} \right. \end{equation*} en los puntos $z_0 = 1$, $z_1 = -1$, $z_2 = i$ y $z_3 = -i$.
  7. Considerando la definición 13.3 y la definición de $\mathbb{C}_\infty$ prueba las siguientes reglas para límites que consideran al punto al infinito. Sean $a\in\mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones.
    a) Si $\lim{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim_{z\to z_0}\left( f(z) + g(z) \right)=\infty$.
    b) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim_{z\to z_0}\left( f(z) \cdot g(z) \right)=\infty$.
    c) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty = \lim_{z\to z_0} g(z)$, entonces $\lim_{z\to z_0}\left( f(z) \cdot g(z) \right)=\infty$.
    d) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=0$.
    e) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=\infty$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal las definiciones de límite y continuidad desde el enfoque de la variable compleja. Mediante una serie de resultados hemos caracterizado a las funciones complejas a través del estudio de su parte real e imaginaria, ya que dichas funciones escalares las hemos estudiado a detalle en nuestros cursos de Cálculo, por lo que los resultados que conocemos sobre dichas funciones pueden emplearse al trabajar con funciones complejas.

Aunque las definiciones que hemos dado en esta entrada son muy similares a las de las funciones reales de variable real, veremos en la siguiente entrada que al trabajar con funciones complejas algunos conceptos se vuelven más restrictivos para estas funciones, el cual es el caso de la diferenciabilidad compleja, ya que como veremos la definición de diferenciabilidad que hemos estudiado en nuestros cursos de Cálculo para $\mathbb{R}^2$ no bastará para garantizar la diferenciabilidad en el sentido complejo.

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Variable Compleja I : Topología de $\mathbb{C}$

Introducción

De manera intuitiva podemos considerar a un espacio métrico como un conjunto en el cual se puede hablar de la “distancia” entre sus elementos, por lo que definir lo que entendemos por distancia es de suma importancia. Para ello en esta entrada introduciremos los conceptos de distancia o métrica y espacio métrico. Es importante considerar que estos conceptos se analizan en primera instancia en un curso de Cálculo III y con mayor detalle en un curso de Análisis Matemático, por lo que es recomendable acompañar estos conceptos con algún material complementario, pues algunos resultados de los espacios métricos se darán por válidos y/o conocidos. Puedes consultar los libros Metric Spaces de Satish Shirali y Metric Spaces de Mícheál Ó Searcoid, o cualquier libro sobre topología de espacios métricos.

En la entrada anterior la métrica euclidiana $d$ nos permitió describir algunos lugares geométricos del plano complejo $\mathbb{C}$ con los que ya estábamos familiarizados en $\mathbb{R}^2$. Es importante mencionar que existen otras formas de definir la distancia entre dos números complejos $z$ y $w$. Sin embargo para los fines del curso estaremos utilizando la métrica euclidiana definida en la entrada anterior.

Hablar de la «topología» en $\mathbb{C}$ hace referencia a un resultado de los espacios métricos en el que se prueba que en un espacio métrico $(X,d)$ la métrica $d$ induce una topología en el conjunto $X$. Por lo que en esta entrada analizaremos la topología inducida por la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z-w\,|$ en $\mathbb{C}$.

Lo anterior nos motiva a definir algunos conjuntos de puntos de $\mathbb{C}$ que serán necesarios para continuar en el estudio de la topología en $\mathbb{C}$. Por lo que introducir el concepto de disco o vecindad será de gran utilidad para caracterizar a los conjuntos de $\mathbb{C}$, así como para dar una definición formal de límite y continuidad en $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}$ como un espacio métrico

Definición 7.1. (Métrica y espacio métrico.)
Un conjunto $X\neq\emptyset$ dotado con una función $d: X \times X \to [0,\infty)$ es llamado un espacio métrico, lo cual se denota como $(X,d)$, si la función $d$ cumple las siguientes propiedades para todo $x,y, z\in X$:

  1. $d(x, y) \geq 0$.
  2. $d(x,y) = 0$ si y solo si $x=y$.
  3. Simetría: $d(x,y) = d(y,x)$.
  4. Desigualdad del triángulo: $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$.

Dicha función $d$ es llamada métrica en $X$ o función distancia en $X$. Es común denotar a la métrica en $X$ como $d_X$ cuando se están trabajando con varios espacios métricos y se requiere especificar donde está definida dicha métrica.

Ejemplo 7.1.

  • a) Consideremos al conjunto de los números reales $\mathbb{R}$. La función $d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to [0,\infty)$ dada por:\begin{equation*}
    d(x,y) = |\,x-y\,|,
    \end{equation*} utilizando las propiedades del valor absoluto es fácil verficar que $d$ es una métrica en $\mathbb{R}$.
  • b) Si $X = \mathbb{R}^n$, entonces para $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ y $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ en $X$ se define:\begin{equation*}
    d(x,y) = \left(\sum_{k=1}^{n} (x_k – y_k)^2 \right)^{1/2}.
    \end{equation*}
  • La función $d$ es llamada la métrica euclidiana en $\mathbb{R}^n$.
  • c) Sea $X$ cualquier conjunto no vacío, entonces se define a la métrica discreta en $X$ como la función:
    \begin{equation*}
    d(x,y) = \left\{
    \begin{array}{lcc}
    0 & \text{si} & x = y,\\
    1 & \text{si} & x \neq y.
    \end{array}
    \right.
    \end{equation*}

Usando la definición del módulo es fácil probar que la distancia euclidiana, dada en la definición 6.1 de la entrada anterior, es una función $d: \mathbb{C}\times\mathbb{C} \rightarrow [0,\infty)$ que satisface las condiciones para ser una métrica.

Proposición 7.1. (El espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.)
El conjunto $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z-w\,|$, $z,w\in\mathbb{C}$, es un espacio métrico.

Demostración. Sean $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$, entonces:

  1. $d(z_2, z_1) \geq 0$, se sigue de la definición del módulo de un número complejo.
  2. Ejercicio.
  3. Ejercicio.
  4. Queremos probar que:
    \begin{equation*}
    d(z_2, z_1) \leq d(z_2, z_3) + d(z_3, z_1),
    \end{equation*}o equivalentemente que:
    \begin{equation*}
    |\,z_2 – z_1\,| \leq |\,z_2 – z_3\,| + |\,z_3 – z_1\,|.
    \end{equation*}

Sean $z = z_2 – z_3$ y $w = z_3 – z_1$, entonces podemos reescribir $z + w = z_2 – z_1$ y así probar que:
\begin{equation*}
|\, z + w \, | \leq |\,z\,| + |\,w\,|,
\end{equation*}lo cual se sigue de la proposición 3.2.

$\blacksquare$

Observación 7.1.
De acuerdo con la proposición 7.1 y la definición 7.1 tenemos que $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana $d$ forma un espacio métrico, denotado por $(\mathbb{C}, d)$. Es importante mencionar que en esta entrada daremos algunos resultados de manera general para un espacio métrico $(X,d_X)$ y cuando sea necesario puntualizar algo del espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$ trabajaremos de manera particular con dicho espacio métrico.

Definición 7.2.
Dado $z_0\in\mathbb{C}$ un punto fijo y una cantidad $\rho>0$, se define a la circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho$ en $\mathbb{C}$, figura 40a, como el conjunto de puntos:
\begin{equation*}
C(z_0,\rho)= \left\{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| = \rho\right\}.
\end{equation*}

De acuerdo con la entrada anterior sabemos que las ecuaciones:\begin{align*}
|\,z-z_0\,|< \rho,\\
|\,z-z_0\,|> \rho,
\end{align*} nos describen a los puntos $z\in\mathbb{C}$ que caen dentro o fuera de la circunferencia $C(z_0,\rho)$ respectivamente, figura 40b.

Definición 7.3. (Disco o $\rho$-vecindad.)
Dado $z_0\in\mathbb{C}$ un punto fijo y una cantidad $\rho>0$, se definen en $\mathbb{C}$ a los conjuntos: \begin{equation*}
B(z_0,\rho)= {z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| < \rho},
\end{equation*} \begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho)= {z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| \leq \rho},
\end{equation*} como el disco abierto de radio $\rho$ y centro $z_0$ o la $\rho$-vecindad de $z_0$, figura 41(a), y el disco cerrado de radio $\rho$ y centro $z_0$, figura 41(b), respectivamente.

Figura 40: Circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho>0$.

Observación 7.2.
En ocasiones será necesario trabajar con una $\rho$-vecindad de $z_0$ sin considerar al punto $z_0$, es decir $B(z_0,\rho) \setminus {z_0}$, en dado caso llamaremos a ese conjunto como una $\rho$-vecindad perforada o un disco perforado
Análogamente se puede hablar de un disco cerrado perforado como el conjunto $B^*(z_0,\rho) = \overline{B}(z_0,\rho) \setminus {z_0}$.

Definición 7.4. (Punto interior y conjunto abierto.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Diremos que $z_0\in \mathbb{C}$ es un punto interior de $S$ si existe $\rho>0$ tal que $B(z_0,\rho)\subset S$.
Al conjunto de puntos interiores de $S$ se le denota como $\operatorname{int}S$ o $ \mathring{S}$. Si se cumple que $S = \operatorname{int}S$, entonces diremos que $S$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$.

De acuerdo con la definición de $\operatorname{int}S$, notemos $\operatorname{int}S\subset S$. De hecho, dado un espacio métrico $(X,d)$ y $S\subset X$, entonces se cumple que $\operatorname{int}S$ es un conjunto abierto y es el mayor subconjunto abierto de $X$ contenido en $S$.

Figura 41: Disco abierto y cerrado con centro $z_0$ y radio $\rho>0$.

Definición 7.5. (Conjunto cerrado.)
Un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ se dice que es cerrado en $\mathbb{C}$ si su complemento $\mathbb{C}\setminus S$ es abierto en $\mathbb{C}$.

Observación 7.3.
Comunmente denotaremos a los conjuntos abiertos de $\mathbb{C}$ con la letra $U$ y a los conjuntos cerrados de $\mathbb{C}$ con la letra $F$.

Ejemplo 7.2.
Utilizando la desigualdad del triángulo es fácil verificar que:

  • a) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0<|\,z\,|<1\}$ es abierto en $\mathbb{C}$, figura 42a.
  • b) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : |\,z\,| \leq 1\}$ es cerrado en $\mathbb{C}$, figura 42b.
  • c) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0< |\,z\,| \leq 1\}$ no es abierto ni cerrado en $\mathbb{C}$, figura 43.
  • d) Los conjuntos $\emptyset$ y $\mathbb{C}$ son conjuntos abiertos y cerrados en $\mathbb{C}$, ¿por qué?

Figura 42: Conjuntos del ejemplo 7.1 inciso a) y b).

Figura 43: El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0< |\,z\,| \leq 1\}$ no es cerrado ni es abierto en $\mathbb{C}$.

Definición 7.6. (Punto exterior y punto frontera.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto exterior de $S$ si existe $\rho>0$ tal que $B(z_0,\rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$.
Por otra parte, diremos que $z_0$ es un punto frontera de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene que $B(z_0,\rho) \cap S \neq \emptyset$ y $B(z_0,\rho) \cap \mathbb{C}\setminus S \neq \emptyset$.

Al conjunto de los puntos exteriores de $S$ se le denota como $\operatorname{ext}S$. Mientras que al conjunto de los puntos frontera de $S$ se le denota como $\partial S$.

Definición 7.7. (Punto de acumulación o punto límite.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto de acumulación o un punto límite de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho)\setminus{z_0} \cap S \neq \emptyset.
\end{equation*} O equivalentemente que para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
\{ z \in S : 0 < |\,z-z_0\,|<\rho\} \neq \emptyset.
\end{equation*}

Si se cumple que $z_0\in S$, pero $z_0$ no es punto de acumulación de $S$, entonces diremos que $z_0$ es un punto aislado de $S$. En este caso se tiene que existe algún $\varepsilon>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(z_0,\varepsilon) \cap S = {z_0}.
\end{equation*}

Al conjunto de puntos de acumulación lo denotaremos como $S’$ y lo llamaremos el conjunto derivado de $S$.

Definición 7.8. (Punto de adherencia.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto de adherencia de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho) \cap S \neq \emptyset.
\end{equation*}

Al conjunto de puntos de adherencia lo llamaremos la cerradura o la clausura de $S$ y lo denotaremos como $\overline{S}$.

De acuerdo con la definición de $\overline{S}$, tenemos que $S \subset \overline{S}$. Además, dado un espacio métrico $(X,d)$ y $S\subset X$, entonces se cumple que $\overline{S}$ es un conjunto cerrado y es el menor subconjunto cerrado de $X$ que contiene a $S$.

De hecho, dado un espacio métrico $(X,d_X)$ y $S\subset X$, se tiene que $S$ es cerrado en $X$ si y solo si $S = \overline{S}$.

Proposición 7.2.
Consideremos al espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ la métrica euclidiana. Un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ es cerrado en $\mathbb{C}$ si y sólo si $S$ contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $S$ es cerrado en $\mathbb{C}$. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$ un punto de acumulación de $S$. Por reducción al absurdo supongamos que $z_0 \in \mathbb{C}\setminus S$. Notemos que por definición $\mathbb{C}\setminus S$ es un conjunto abierto, por lo que para algún $\rho>0$ se tiene que $B(z_0, \rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$, es decir que al disco abierto $B(z_0,\rho)$ no pertenece ningún punto de $S$, lo cual contradice el hecho de que $z_0$ es un punto de acumulación de $S$. Por lo tanto $z_0\in S$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que a $S$ pertenecen todos sus puntos de acumulación. Entonces para algún $z_0 \in \mathbb{C} \setminus S$ se cumple que $z_0$ no es punto de acumulación de $S$, por lo que existe $\rho>0$ tal que $B(z_0, \rho)$ no tiene puntos de $S$, por lo que $B(z_0, \rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$, por tanto $\mathbb{C}\setminus S$ es abierto, de donde se sigue que $S$ es cerrado.

$\blacksquare$

Ejemplo 7.3.
Veamos que no necesariamente todo punto de un conjunto cerrado debe ser un punto de acumulación del mismo. Consideremos al conjunto:
\begin{equation*}
S = \left\{z\in\mathbb{C}\, : \, z = \frac{1}{n}, \,\, n\in\mathbb{N}^+ \right\} \cup \left\{0\right\}.
\end{equation*}

Es claro que $S\subset\mathbb{C}$. Notemos que el único punto de acumulación de $S$ es $z=0$. Desde que dicho punto pertenece a $S$, por la proposición 7.2 es claro que $S$ es cerrado. Por otra parte no es díficil convencerse de que salvo $z=0$, el resto de los puntos de $S$ son puntos aislados, ya que basta con tomar $\rho = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} > 0$ para que se cumpla que:
\begin{equation*}
B\left(\frac{1}{n}, \rho\right) \cap S = \left\{\frac{1}{n}\right\}.
\end{equation*}

Definición 7.9. (Conjunto acotado.)
Un conjunto $S \subset \mathbb{C}$ se dice que es acotado si existe un número real $R>0$ tal que $|\,z\,| < R$ para todo $z\in S$.

Esta definición nos dice que $S$ es acotado si puede ser completamente encerrado por un $R$-vecindario del origen.

Ejemplo 7.4.
Sea $X = \left\{z\in\mathbb{C} \, : \, 0<|\,z\,|<1\right\} \cup \{2\}$, figura 44. Entonces:

  • a) Los puntos interiores de $X$ son el conjunto $\operatorname{int} X = \{z\in\mathbb{C} \, : \, 0<|\,z\,|<1\}$.
  • b) Los puntos exteriores de $X$ son el conjunto $\operatorname{ext} X = \{z\in\mathbb{C} \, : \, 1 < |\,z\,|\} \cap \{z\in\mathbb{C} \, : \, z \neq 2\}$.
  • c) La frontera de $X$ es el conjunto $\partial X = \{0, 2\} \cup \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z\,|=1\}$.
  • d) Los puntos de acumulación de $X$ son el conjunto $X’ = \{z\in\mathbb{C} \, : \, |\,z\,|\leq 1\}$.
  • e) El punto $z=2$ es un punto aislado de $X$.
  • f) Tomando $R=3>0$ es claro que el conjunto $X$ es acotado ya que $|\,z\,|< R$ para todo $z\in X$.
Figura 44: Puntos del conjunto $X$ del ejemplo 7.2.

De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo (y Análisis Matemático) sabemos que en un espacio métrico, en este caso en $(\mathbb{C},d)$, se cumple que:

Proposición 7.3.
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Sean $z_0 \in X$ y $S\subset X$, entonces:

  1. Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $X$.
  2. Para todo $\rho>0$, la $\rho$-vecindad de $z_0$, es decir el conjunto:
    \begin{equation*}
    B(z_0,\rho) = \{ z\in X \,: \, d_X(z,z_0) < \rho\},
    \end{equation*} es un conjunto abierto en $X$.
  3. Para todo $\rho>0$, el disco cerrado, es decir el conjunto:
    \begin{equation*}
    \overline{B}(z_0,\rho) = \{ z\in X \,: \, d_X(z,z_0) \leq \rho\},
    \end{equation*} es un conjunto cerrado en $X$.
  4. $S’ \subset \overline{S}$.
  5. $\overline{S} = S \cup S’$.
  6. $\overline{S} = \operatorname{int}S \cup \partial S$.
  7. $X = \operatorname{int}S \cup \operatorname{ext}S \cup \partial S$.
  8. Si $A \subset B$, entonces:
    a) $\overline{A} \subset \overline{B}$.
    b) $\operatorname{int}A \subset \operatorname{int}B$.
  9. La unión de un número arbitrario de conjuntos abiertos en $X$ es también un conjunto abierto en $X$.
  10. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos en $X$ es un conjunto abierto en $X$.
  11. La intersección de un número arbitrario de conjuntos cerrados en $X$ es también un conjunto cerrado en $X$.
  12. La unión de un número finito de conjuntos cerrados en $X$ es un conjunto cerrado en $X$.

Demostración.

  1. Ejercicio.
  2. Dadas las hipótesis, sea $\rho>0$. Tomemos $z\in B(z_0,\rho)$ y sea $\varepsilon = \rho – d_X(z_0, z) > 0 $. Considerando la desigualdad del triángulo tenemos que para todo $w \in B(z,\varepsilon)$ se cumple que:
    \begin{equation*}
    d_X(w, z_0) \leq d_X(w, z) + d_X(z, z_0) < \varepsilon + d_X(z, z_0) = \rho,
    \end{equation*} por lo que $B(z,\varepsilon) \subset B(z_0, \rho)$ para todo $z\in B(z_0,\rho)$.
Figura 45: Todo disco abierto $B(z_0,\rho)$ es un conjunto abierto en $X$.
  1. Dadas las hipótesis, sea $\rho>0$. Tomemos $z\in \overline{\overline{B}(z_0,\rho)}$, entonces para todo $\varepsilon > 0$ existe:
    \begin{equation*}
    z_\varepsilon \in B(z,\varepsilon)\cap \overline{B}(z_0,\rho).
    \end{equation*} De acuerdo con la desigualdad del triángulo, para todo $\varepsilon > 0$ se cumple que:
    \begin{equation*}
    d_X(z, z_0) \leq d_X(z, z_\varepsilon) + d_X(z_\varepsilon, z_0) < \varepsilon + \rho,
    \end{equation*} de donde se sigue que $d(z, z_0) < \rho$, por lo que $\overline{\overline{B}(z_0,\rho)}\subset \overline{B}(z_0,\rho)$. Entonces
    \begin{equation*}
    \overline{B}(z_0,\rho) = \overline{\overline{B}(z_0,\rho)},
    \end{equation*} por lo tanto, todo disco cerrado es un conjunto cerrado en $X$.
  2. Ejercicio.
  3. Ejercicio.
  4. Ejercicio.
  5. Ejercicio.
  6. Ejercicio.
  7. Sea $\{ G_j : j\in J\}$, con $J$ un conjunto de índices, una colección de conjuntos abiertos en $X$. Tomemos a $z\in G = \bigcup\limits_{j\in J} G_j$, entonces $z \in G_j$, para algún $j\in J$, así por la definición 7.4 tenemos que existe $\rho>0$ tal que $B(z,\rho) \subset G_j \subset G$, por lo que $G$ es abierto.
  8. Sean $G_1, G_2, \ldots , G_n$ subconjuntos abiertos de $X$ y sea $z \in G = \bigcap\limits_{k=1}^{n} G_k$. Tenemos que $z\in G_k$ para $k=1,2, \ldots, n$, por lo que por la definición 7.4 se tiene que para cada $k$ existe $\rho_k > 0$ tal que $B(z,\rho_k) \subset G_k$. Si tomamos a $\rho = \operatorname{min}{\rho_k : 1 \leq k \leq n}$, entonces para cada $k$, con $1 \leq k \leq n$, se cumple que $B(z,\rho) \subset B(z,\rho_k) \subset G_k$. Entonces $B(z,\rho) \subset G$, por lo que $G$ es abierto.
  9. Ejercicio.
  10. Ejercicio.

$\blacksquare$

Es posible encontrar la prueba de estas propiedades en algún libro de topología o de topología de espacios métricos, como Topología de espacios métricos de Ignacio L. Iribarren.

Definición 7.10. (Conjunto denso.)
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Diremos que un conjunto $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A} = X$.

Ejemplo 7.5.

  • a) El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ con la métrica usual de $\mathbb{R}$, $d(x,y) = |\,x-y\,|$.
  • b) El conjunto ${x+iy : x,y\in\mathbb{Q}}$ es denso en $\mathbb{C}$ con la métrica euclidiana.

Tarea moral

  1. Prueba que las siguientes funciones $d_i: \mathbb{C}\times\mathbb{C} \to [0,\infty)$, con $i=1,2$, dadas por:
    \begin{equation*}
    d_1(x+iy, a+ib) = |\,x-a\,| + |\,y-b\,|,
    \end{equation*} \begin{equation*}
    d_2(x+iy, a+ib) = \text{máx}\left\{|\,x-a\,|,|\,y-b\,|\right\},
    \end{equation*} son también una métrica en $\mathbb{C}$.
  2. Considera la observación 7.2 y argumenta porqué esos conjuntos se pueden definir respectivamente como:
    \begin{equation*}
    B^*(z_0,\rho) = \{z\in\mathbb{C}\,:\, 0<|\,z-z_0\,|<\rho\},
    \end{equation*} \begin{equation*}
    \overline{B^*}(z_0,\rho) = \{z\in\mathbb{C}\,:\, 0<|\,z-z_0\,|\leq\rho\}.
    \end{equation*} ¿Cómo son esos conjuntos en $\mathbb{C}$? ¿Cerrados, abiertos o ninguno de los dos? Describe al conjunto de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulación y de adherencia. ¿Son acotados esos conjuntos?
  3. Argumenta porqué los conjuntos $\emptyset$ y $\mathbb{C}$ son abiertos y cerrados en $\mathbb{C}$, ejemplo 7.2(c).
  4. Completa la demostración de las proposiciones 7.1 y 7.3.
  5. Hasta ahora sabemos que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$. Por otra parte, de nuestros cursos de cálculo sabemos que un intervalo abierto en $\mathbb{R}$, es decir el conjunto:
    \begin{equation*}
    (a,b) = \{ x\in\mathbb{R} \,:\, a<x<b\},
    \end{equation*} es un conjunto abierto en $\mathbb{R}$. Prueba que dicho conjunto no es abierto en $\mathbb{C}$.
  6. Utilizando la definición describe cómo son los siguientes conjuntos de $\mathbb{C}$, es decir ¿son abiertos o cerrados o ninguna de las dos en $\mathbb{C}$? ¿Son acotados?
    a) Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$, definimos:\begin{align*}
    A = \{z\in\mathbb{C}\, :\, a< \operatorname{Re}(z)<b\},\\
    B = \{z\in\mathbb{C}\, :\, a< \operatorname{Im}(z)<b\}.
    \end{align*} b) $X = \{z\in\mathbb{C} \,:\ \, \operatorname{Re}(z)<0\} \cup \{0\}$.
    c) $Y = \{z\in\mathbb{C} \,:\ \, 0\leq\operatorname{Im}(z)\}$.
  1. Considera a los siguientes conjuntos:
    a) $S_1 = B(0,1)$.
    b) $S_2 = \overline{B}\left(-1-i\sqrt{2},\frac{7}{8}\right)$.
    c) $S_3 = \overline{B}\left(2+i\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$.
    De acuerdo con la proposición 7.2 tenemos que $S_1$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$, mientras que $S_2$ y $S_3$ son conjuntos cerrados en $\mathbb{C}$. Describe los puntos interiores, exteriores y frontera de cada uno de los tres conjuntos.
  1. Considera al siguiente conjunto:
    \begin{equation*}
    S = \left\{ z\in\mathbb{C} \,:\, |\,\operatorname{Im}(z)\,| < |\,\operatorname{Re}(z)\,| \right\},
    \end{equation*} el cual está representado en la figura 46. Prueba que:
    a) $S$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$.
    b) $\partial S = \{ z\in\mathbb{C} \,:\, |\,\operatorname{Re}(z)\,| = |\,\operatorname{Im}(z)\,|\}$.
    c) Los puntos de acumulación de $S$ son precisamente la clausura de $S$, es decir $\overline{S}$.
    d) $S$ no es cerrado en $\mathbb{C}$.
    e) $S$ no es acotado en $\mathbb{C}$.
Figura 46: Conjunto $S$, ejercicio 8.

Más adelante…

En esta entrada hemos hecho una breve descripción de la topología de los espacios métricos, en particular analizamos la topología del plano complejo $\mathbb{C}$. Esta caracterización de $\mathbb{C}$ como un espacio métrico nos será de gran utilidad en las siguientes entradas para poder continuar el estudio del campo de los números complejos.

En esta entrada hemos visto que existe una estrecha relación entre la topología de $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}^2$, lo cual no debe sorprendernos ya que como espacios vectoriales dichos conjuntos son isomorfos, ver ejercicio 6 de la entrada 2. Más adelante veremos que como espacios métricos son homeomorfos, por lo que muchas propiedades que conocemos para $\mathbb{R}^2$ nos permitirán caracterizar a los números complejos. Por otra parte es fácil convencerse que la topología de $\mathbb{C}$ induce en $\mathbb{R}$ su topología usual considerando la distancia definida mediante el valor absoluto.

La siguiente entrada abordaremos las sucesiones en $\mathbb{C}$ y discutiremos la completez del espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ la métrica euclidiana.

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