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Teoría de los Conjuntos I: Conjuntos inductivos y axioma del infinito

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de los conjuntos inductivos, así como de un nuevo axioma que nos permitirá establecer la existencia de conjuntos que tengan esta propiedad. Un poco después conectaremos esto con la existencia de conjuntos infinitos. El axioma de infinito será clave para probar que la colección de todos los números naturales, como la hemos pensado, es en verdad un conjunto.

Conjuntos inductivos y el axioma del infinito

Comenzaremos definiendo a un conjunto inductivo.

Definición. Sea $A$ un conjunto. Diremos que $A$ es un conjunto inductivo si:

  1. $0\in A$,
  2. Si $x\in A$, entonces $s(x)\in A$.

En la entrada anterior probamos un teorema que nos asegura que si $n$ es un número natural, entonces $s(n)$ es un número natural. Sin embargo, no hemos demostrado que la colección de todos los números naturales sea un conjunto y, de hecho, los axiomas que hemos presentado hasta ahora no nos permiten hacerlo. Así, aún no podemos decir que «el conjunto de los números naturales es inductivo».

A continuación haremos mención de un nuevo axioma: el axioma del infinito. Este axioma nos garantiza la existencia de un conjunto inductivo.

Axioma (axioma del infinito). Existe un conjunto inductivo.

Aún no hemos presentado formalmente la noción de que un conjunto sea finito o infinito. Esto lo haremos hasta la cuarta parte del curso. Pero por el momento, puedes quedarte con la idea de que un conjunto inductivo será infinito, y por ello el axioma del infinito implica la existencia de un conjunto infinito.

Los naturales y conjuntos inductivos

Ahora que hemos definido a los conjuntos inductivos y aseguramos por el axioma de existencia que existe al menos uno, veremos que cualquier natural es elemento de cualquier conjunto inductivo.

Teorema.1 Sea $A$ un conjunto inductivo. Si $n$ es un natural, entonces $n\in A$.

Demostración.

En busca de una contradicción, supongamos que $n\notin A$. Como $n$ es un natural, se tiene que $s(n)$ es un natural. Luego, $n\in s(n)\setminus A$, de donde $s(n)\setminus A$ es un subconjunto no vacío de $s(n)$, por lo que tiene elemento mínimo respecto a $\in_{s(n)}$.

Sea $b=\min(s(n)\setminus A)$. Por definición de elemento mínimo se tiene que $b\in s(n)\setminus A$ y así $b\notin A$, por lo que $b\not=0$ pues al ser $A$ un conjunto inductivo sabemos que $0\in A$.

Luego, como $b$ es no vacío y $b\in s(n)\setminus A$, entonces $b$ tiene elemento máximo respecto a $\in_{s(n)}$. Sea $z=\max(b)$. Se cumple que $z\in b$ y como $b\in s(n)$, por la transitividad de $\in$ en $s(n)$, se tiene que $z\in s(n)$. Además $z\in A$ pues de lo contrario, $z\in s(n)\setminus A$, lo que contradice el hecho de que $b=\min(s(n)\setminus A)$.

Así, como $z\in A$, por ser $A$ conjunto inductivo se satisface que $s(z)\in A$.

Afirmación. $s(z)=b$.

Demostración de la afirmación.

Veamos primero que $s(z)\subseteq b$. Sea $y\in s(z)=z\cup \set{z}$, entonces $y\in z$ o $y=z$.

Caso 1: Si $y\in z$, como $z\in b$ concluimos que $y\in b$ por transitividad de $\in$ en $b$.

Caso 2: Si $y=z$, entonces $y\in b$.

Por lo tanto, $s(z)\subseteq b$.

Ahora veamos que $b\subseteq s(z)$.

Si $y\in b$, dado que $z\in b$ y los elementos de $b$ son $\in$-comparables, entonces $y\in z$ o $z\in y$ o $y=z$.

El caso $z\in y$ no puede ocurrir pues $z=\max(b)$. Así, $y\in z$ o $y=z$, esto es, $y\in z\cup\set{z}=s(z)$. Por lo tanto, $b\subseteq s(z)$.

Por lo tanto, $b=s(z)$ y así $b\in A$ pues $s(z)\in A$ lo cual no puede ocurrir pues $b\notin A$.

Dado que la contradicción vino de suponer que $n$ no está en $A$, concluimos que $n$ está en $A$.

$\square$

El conjunto de los naturales

Con el teorema anterior, el axioma del infinito y el esquema de comprensión, podemos demostrar que la colección de números naturales es un conjunto.

Corolario. La colección de todos los números naturales es un conjunto.

Demostración.

Sea $A$ un conjunto inductivo, que existe por el axioma del infinito. Por el teorema anterior sabemos que si $n$ es un natural, entonces $n\in A$. Así,

$N=\set{n\in A: n\ \text{es natural}}$

es un conjunto por el esquema de comprensión, cuyos elementos son exactamente los números naturales.

$\square$

A este conjunto le llamaremos el conjunto de los naturales y lo denotaremos por $\mathbb{N}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te permitirán reforzar el contenido que hemos visto hasta este momento acerca de números naturales.

  1. Demuestra que si $n\in \mathbb{N}$, entonces no existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $n\in k$ y $k\in<s(n)$. Esto prueba que entres dos naturales no hay ningún otro natural.
  2. Demuestra que $\mathbb{N}$ es un conjunto transitivo.
  3. Prueba que $\mathbb{N}$ no tiene máximo con respecto a $\in_{\mathbb{N}}$. ¿Tiene mínimo? Demuéstra tu afirmación.

Más adelante…

En las siguientes entradas definiremos al principio de inducción y al principio del buen orden. Estos principios nos ayudarán a demostrar resultados que se cumplen en conjunto de los naturales.

Entradas relacionadas

Los siguientes enlaces te ayudarán a reforzar en contenido acerca de los naturales y tener un acercamiento con el principio de inducción.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. También puedes consultar la prueba de este teorema en: También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998, pp. 93-94. ↩︎

Teoría de los Conjuntos I: Sucesor

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada hablaremos acerca del sucesor de un número natural. Este concepto nos permitirá definir un poco más adelante qué son los conjuntos inductivos, que simultáneamente nos dará un método de demostración muy versátil, y conectará nuestro estudio de los números naturales con el de los conjuntos infinitos.

Sucesor

La noción que estudiaremos ahora es la siguiente.

Definición. Sea $x$ un conjunto. Definimos al sucesor de $x$ como $s(x)=x\cup \set{x}$.

Ejemplos.

  • El sucesor de $\emptyset$ es $s(\emptyset)=\emptyset\cup \set{\emptyset}=\set{\emptyset}$.
  • El sucesor de $\set{\emptyset}$ es $s(\set{\emptyset})=\set{\emptyset}\cup \set{\set{\emptyset}}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  • Luego, el sucesor de $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es $s(\set{\emptyset, \set{\emptyset}})=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.
  • El sucesor de $\set{\set{\emptyset}}$ es $s(\set{\set{\emptyset}})=\set{\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\set{\emptyset}}}= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

La noción de sucesor está definida para cualquier conjunto. Pero dado que en esta unidad únicamente estaremos trabajando con números naturales, prácticamente nos limitaremos a usar la definición de sucesor para conjuntos que son números naturales. En este caso sucede algo especial: si $n$ es un número natural, entonces $s(n)$ también lo es. Vamos a demostrar esto, pero antes demostraremos algunos lemas que nos serán de utilidad.

Unos lemas sobre la pertenencia

A continuación probaremos algunos resultados sobre la pertenencia de números naturales en sí mismos y de unos en otros. Cuando los leas, te darás cuenta de que ya habíamos demostrado resultados similares y más generales en la entrada del axioma de buena fundación. Sin embargo, nota que en las siguientes demostraciones no es necesario utilizar este axioma, pues la definición de número natural nos da todo lo que necesitamos.

Lema 1. Para cualquier número natural $n$, no es posible que $n\in n$.

Demostración.

Sea $n$ un número natural. Entonces $\in_n$ es un orden total estricto para $n$. Si sucediera que $n\in n$, entonces tendríamos una contradicción pues tendríamos $n\in_n n$ y $n\in_n n$, lo que contradice la asimetría de $\in_n$. Así, $n\not \in n$.

$\square$

Lema 2. Si $n$, $m$ son números naturales, entonces no es posible que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo.

Demostración.

Sean $n$ y $m$ números naturales. Si $n\in m$ y $m\in n$, entonces $n\in n$ pues $n$ es conjunto transitivo. Esto contradice el lema anterior.

Por lo tanto, no es posible que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo.

$\square$

Así, hemos logrado hacer estas demostraciones sin recurrir al axioma de buena fundación. Como comentario tangencial, en teoría de los conjuntos no sólo resulta de interés probar resultados que se deducen de los axiomas, sino que a veces también es interesante identificar realmente cuáles son los «axiomas suficientes» para tener algún resultado de la teoría. Nos encontraremos nuevamente con preguntas de este estilo cuando hablemos del axioma de elección.

El sucesor de un natural

Ahora que demostramos los lemas anteriores, estamos listos para probar que el sucesor de un número natural es un número natural.

Teorema.1 Si $n$ es un número natural, entonces $s(n)$ es un número natural.

Demostración.

Sea $n$ un número natural. Veamos que $s(n)$ es un número natural. Para ello tenemos que probar todo lo siguiente:

  • $s(n)$ es transitivo.
  • $\in_{s(n)}$ es un orden total estricto en $s(n)$.
  • Cualquier $B\subseteq s(n)$ no vacío tiene mínimo y máximo con respecto a $\in_{s(n)}$.

A continuación hacemos todo esto.

$s(n)$ es transitivo.

Sea $y\in s(n)=n\cup\set{n}$. Si $y\in n$, dado que $n$ es un número natural, entonces $n$ es transitivo y por lo tanto, $y\subseteq n$. Así, $y\subseteq n\cup\set{n}$. Si $y\in \set{n}$, entonces $y=n$ y en particular, $y\subseteq n$ y así, $y\subseteq n\cup\set{n}$. En cualquier caso, $y\subseteq s(n)$. Por lo tanto, $s(n)$ es un conjunto transitivo.

$\in_{s(n)}$ es un orden total estricto en $s(n)$.

Para esta parte debemos probar que $\in_{s(n)}$ es una relación asimétrica, transitiva y que cualquiera dos elementos de $s(n)$ son $\in_{s(n)}$ comparables.

Veamos que $\in_{s(n)}$ es asimétrica. Sean $y,z\in s(n)$. Como $y\in s(n)=n\cup \{n\}$, entonces o bien $y=n$, y entonces $y$ es natural, o bien $y\in n$, y entonces $y$ es natural por el teorema de la entrada anterior. De manera análoga, $z$ es natural. Por el Lema 2 de esta entrada, es imposible que $y \in_{s(n)} z$ y $z \in_{s(n)} y$ simultáneamente, por lo que $\in_{s(n)}$ es asimétrica.

Antes de ver que la relación es transitiva, veamos que cualesquiera dos elementos son comparables. Tomemos $y,z \in s(n)$ arbitrarios. Si ambos están en $n$, entonces como $\in_n$ es total, tenemos que o $y\in_n z$, o $y=z$, o $z\in_n y$. Respectivamente tendríamos que $y\in_{s(n)} z$, o $y=z$, o $z\in_{s(n)} y$. Si ambos están en $\{n\}$, entonces $y=n=z$ y así $y=z$. Si $y$ está en $n$ y $z$ está en $\{n\}$, entonces $z=n$ y por lo tanto $y\in z$, de donde $y\in_{s(n)} z$. Si $z$ está en $n$ y $y$ está en $\{n\}$, entonces $y=n$ y por lo tanto $z\in_{s(n)} y$, de donde $z\in_{s(n)} y$.

Para terminar de ver que $\in_{s(n)}$ es un orden total estricto, falta ver que es una relación transitiva. Para ello tomemos $w,y,z\in s(n)$ arbritarios tales que $w\in_{s(n)} y$ y $y\in_{s(n)} z$ y veamos que $w\in_{s(n)} z$. De acuerdo a en dónde están $w,y,z$ en $s(n)=n\cup \{n\}$, tenemos 8 casos. Pero podemos reducirlos a las siguientes tres posibilidades.

  • $w,y,z\in n$, en cuyo caso se da $w\in_n z$ por transitividad de $\in_n$, y así $w\in_{s(n)} z$.
  • Exactamente uno de $w,y,z$ es igual a $n$. No se puede $w=n$ pues llegamos a la contradicción $n=w\in y$ (por nuestra suposición) y $y\in n$ (pues exactamente hay uno igual a $n$). Análogamente, tampoco se puede $y=n$ pues llegamos a la contradicción $n\in z$ y $z\in n$. Así, sólo puede ser $z$, pero entonces $w\in n=z$, de donde $w\in_{s(n)} z$.
  • Al menos dos de $w,y,z$ es igual a $n$. Este caso es imposible pues lleva o bien a una contradicción del estilo $n\in n$ (cuando $w=n=y$ o $y=n=z$), o bien a la contradicción $n\in y \in n$.

Lo anterior cubre todos los casos para mostrar que la relación es transitiva. Hemos entonces mostrado que $\in_{s(n)}$ es un orden total y estricto para $s(n)$.

Cualquier $B\subseteq s(n)$ no vacío tiene mínimo y máximo con respecto a $\in_{s(n)}$.

Supongamos que $B$ conjunto no vacío es subconjunto de $s(n)$ y veamos que $B$ tiene máximo y mínimo.

Caso 1: Si $B\subseteq \set{n}$, como $B\not=\emptyset$ entonces $B=\set{n}$.

Luego, $n=\min (B)$ pues se satisface que para cualquier $y\in B\setminus \set{n}=\emptyset$, se tiene que $n\in y$ por vacuidad.

Finalmente, $n=\max (B)$ pues se satisface que para cualquier $y\in B\setminus \set{n}=\emptyset$, se tiene que $y\in n$ por vacuidad.

Caso 2: Si $B\subseteq n$, entonces $B$ es un subconjunto no vacío de $n$, así que tiene un mínimo $a$ y un máximo $b$ con respecto a $\in_n$, que son a la vez mínimo y máximo con respecto a $\in_{s(n)}$.

Caso 3: Si no pasa que $B\subseteq \set{n}$, ni $B\subseteq n$, entonces hay elementos de $B$ en $\set{n}$ y en $n$. Así, $n\in B$ y podemos definir $a$ como el mínimo de $B\cap n$. Afirmamos que $n=\max(B)$ y $a=\min(B)$.

En efecto, todo $y\in B\setminus\{n\}$ está en $n$ y por lo tanto $y\in_{s(n)} n$. Además, si tomamos $z\in B\setminus \{a\}$, entonces hay dos posibilidades. O bien $z=n$, que acabamos de ver que cumple $a\in_{s(n)} n$. O bien $z\in n$, pero entonces $z\in B\cap n$ y como $a$ es mínimo de $B\cap n$, tenemos entonces $a\in_n z$ y por lo tanto $a\in_{s(n)} z$.

Con esto terminamos de demostrar todo lo que necesitábamos para ver que $s(n)$ es un natural.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá aprender otras propiedades del sucesor de un número natural:

  1. Describe al sucesor del natural $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$.
  2. Sean $x$ y $y$ conjuntos cualesquiera. Demuestra que si $s(x)=s(y)$, entonces $x=y$.
  3. Prueba que para cualquier natural $n$ se cumple que $\bigcup s(n)=n$.
  4. Sea $x$ un conjunto. Demuestra que $x$ y $s(x)$ son conjuntos distintos. ¿Será siempre cierto que $x$ y $s(s(x))$ son conjuntos disintos? En caso de que sí, da una prueba. En caso de que no, da un contraejemplo.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos a los conjuntos inductivos. Tales conjuntos nos darán la base para definir al conjunto de los números naturales. Además hablaremos de un nuevo axioma: el axioma del infinito.

Entradas relacionadas

En los siguientes enlaces podrás repasar el contenido acerca de números naturales.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. También puedes consultar la prueba de este teorema en: También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998, pp. 92-93. ↩︎

Ecuaciones Diferenciales l – Introducción al Curso

Por Omar González Franco

4 respuestas

¡Bienvenidos al curso de Ecuaciones Diferenciales I!

Hola, mi nombre es Omar y te doy la bienvenida al curso de Ecuaciones Diferenciales I el cual escribí como parte del proyecto PAPIME PE104522 Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM, cuyo objetivo principal es:

  • Comenzar un enfoque unificado y articulado para crear cursos completos, de acceso libre, gratuitos y de calidad, para la impartición y el autoaprendizaje de asignaturas de los primeros semestres de la Licenciatura en Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

En este proyecto colaboran académicos y estudiantes de la Facultad de Ciencias de la UNAM, en particular, me ha tocado ser tu instructor en este curso escrito. Con este proyecto buscamos brindar a las nuevas generaciones de científicos alternativas de estudio en los temas relacionados con matemáticas, y no sólo eso, este material esta pensado para que sea utilizado por cualquier persona que quiera adquirir conocimientos en matemáticas a nivel universitario, en este caso particular, en ecuaciones diferenciales. Así mismo, se plantea fomentar una cultura de educación a distancia para que más profesores creen material de calidad y lo pongan a disposición del público en general, de manera gratuita y libre.

Este curso ha sido elaborado en base al temario oficial de la materia de Ecuaciones Diferenciales I impartido en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

El curso de Ecuaciones Diferenciales I es una materia obligatoria para estudiantes de las licenciaturas en Actuaría, Matemáticas, Matemáticas Aplicadas, Física y Física Biomédica, todas ellas impartidas en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Esta materia es impartida en cuarto semestre, de manera que se considera que cuentas con conocimientos matemáticos sólidos de los tres semestres anteriores, particularmente de las materias de Calculo Integral y Diferencial I, II y III, además de materias como Geometría Analítica, Álgebra Superior I y II, Álgebra Lineal I y, aunque no es totalmente indispensable, Álgebra Lineal II y Calculo Integral y Diferencial IV (éstas últimas suelen llevarse de forma simultánea con Ecuaciones Diferenciales).

Sin embargo, es importante aclarar que este curso es un primer acercamiento a las ecuaciones diferenciales, lo que significa que partiremos de lo más básico y esencial de tal manera que el aprendizaje sea gradual, adecuado y confortante. Además, ha sido diseñado con un sentido propedéutico, pues se han tomado en cuenta una serie de consideraciones didácticas que hacen de la lectura más agradable, enriquecedora e integradora.

A lo largo de las clases notarás que las entradas cuentan con una presentación y diseño particular. En cada una de ellas hay una introducción al tema, una serie de definiciones precedidas por una motivación, la teoría matemática se construye a profundidad y con formalidad y posteriormente se pone en práctica dicha teoría a través de una serie de ejemplos resueltos paso a paso. Finalmente encontrarás una breve conclusión del tema y una motivación hacía el siguiente, así como una series de ejercicios que puedes realizar de forma optativa en los que pondrás a prueba tus conocimientos adquiridos.

Como complemento a este curso escrito, mi compañero Eduardo Vera ha elaborado una serie de videos en los que se desarrolla gran parte de la teoría que veremos en este curso escrito, si bien los temas en su mayoría son los mismos, el enfoque que se da en cada curso varía, además de que hay algunos temas que sólo encontrarás en la sección de videos o en la sección de notas, así que llevarlos de forma simultánea vuelve más enriquecedor el aprendizaje, sin embargo basta tomar sólo el curso escrito o sólo el curso audiovisual para conocer todo lo relacionado a la materia.

A los largo de las clases encontrarás hipervínculos que redirigen a la entrada anterior, a la posterior, a la página principal del curso y a los videos del tema correspondiente, así como a definiciones, teoremas o ejemplos anteriores, ya sea dentro del mismo curso o de un curso distinto dentro del blog, que requieran ser recordados, permitiendo una fluida conectividad en todo momento del curso.

Finalmente, en este curso se han incluido temas que presentan un mayor desarrollo matemático con el propósito de dar un fundamento teórico a los distintos métodos de resolución de las diferentes ecuaciones diferenciales que presentaremos a lo largo del curso, dichos temas están a disposición del estudiante, pero pueden considerarse opcionales para aquellos estudiantes que no requieran de un profundo conocimiento teórico en sus carreras, esto de ninguna manera interrumpirá el flujo de aprendizaje del curso. Si eres de la licenciatura de Matemáticas sí recomienda revisarlos.

Sin más, espero que disfrutes del curso, adquieras los conocimientos aquí planteados y avances en tu carrera ya sea como estudiante de la Facultad de Ciencias o como estudiante de algunas otras licenciaturas en las que las ecuaciones diferenciales son fundamentales o incluso como estudiante autodidacta interesado en aprender matemáticas.

Si en algún momento algo no queda lo suficiente claro siéntete libre de preguntar en los comentaros del blog, yo, así como otros estudiantes, estaremos atentos y procuraremos responder tus dudas.

¡Buen viaje!

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Teoría de los Conjuntos I: Números naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada daremos la definición formal de qué es un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.

Número natural

Definición. Sea $n$ un conjunto. Decimos que $n$ es un número natural si satisface las siguientes tres condiciones:

  1. $n$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_n$ es un orden total estricto en $n$.
  3. Cualquier subconjunto no vacío $z$ de $n$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_n$.

Ejemplo.

Afirmamos que el conjunto $0=\emptyset$ es un número natural. Veamos por qué. En la entrada anterior vimos que $\emptyset$ es un conjunto transitivo.

Además, $(\emptyset, \in_\emptyset)$ es un conjunto totalmente ordenado pues $\in_\emptyset= \emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad (en $\emptyset$) que es una relación asimétrica y transitiva. Asimismo, los elementos de $\in_\emptyset$ son comparables por vacuidad (en $\emptyset$) y por lo tanto, $\in_\emptyset$ es un orden total.

Finalmente, se satisface por vacuidad que para cualquier $z\not=\emptyset$ (pues no hay tal) que cumple que $z\subseteq \emptyset$, se tiene que $z$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_\emptyset$.

Por lo tanto, $\emptyset$ es un número natural.

$\square$

Elementos de números naturales son números naturales

En esta sección veremos que si $n$ es número natural y $z\in n$, entonces $z$ es número natural. Lo primero que es conveniente hacer es entender la relación $\in_z$ en términos de la relación $\in_n$.

Lema 1. Si $n$ es un conjunto transtivo, entonces para cualquier $z\in n$ se cumple que $\in_n\cap (z\times z)=\in_z$..

Demostración. En efecto, tenemos que

\begin{align*}
\in_n\cap(z\times z)&=\set{(x,y)\in n\times n:x\in y}\cap(z\times z)\\
&=\set{(x,y)\in z\times z:x\in y}\\
&=\in_z.
\end{align*}

$\square$

El siguiente lema será de ayuda para mostrar que cualquier elemento de un número natural resulta ser también un número natural.

Lema 2. Si $n$ es un conjunto transitivo, entonces, para cualquier $z\in n$ se satisface que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.

Demostración.

Veamos que $\in_z$ es una relación asimétrica, transitiva y sus elementos son $\in_z$-comparables.

  1. Asimetría.
    Procedamos por contradicción. Supongamos que $x,y\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z x$. Por el Lema 1, tendríamos que $x\in_n y$ y $y\in_n x$, lo cual no puede ocurrir pues $\in_n$ es una relación asimétrica. Así, no hay tales $x$ y $y$. Esto muestra que $\in_z$ también es una relación asimétrica.
  2. Transitividad.
    Sean $x, y, w\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z w$. Por el Lema 1, tenemos que $x\in_n y$ y $y\in_n w$, lo que implica que $x\in_n w$ con $x, w\in z$. De nuevo por el Lema 1, se tiene que $x\in_zw$. Por lo tanto, $\in_z$ es transitiva en $z$.
  3. $\in_z$-comparables.
    Sean $x,y\in z$. Dado que $z\in n$, entonces $x\in n$ y $y\in n$. Como $\in_n$ es total, tenemos que $x\in_n y$ o $y\in_n x$ o $y=x$. Por el Lema 1, estas posibilidades implican, respectivamente, que $x\in_z y$ o $y\in_z x$ o $y=x$, es decir, los elementos de $z$ son $\in_z$ comparables.

Por lo tanto, $\in_z$ es un orden total en $z$.

$\square$

Estamos listos para ver que elementos de naturales son naturales.

Teorema.1 Si $z\in n$ con $n$ número natural, entonces $z$ también es un número natural.

Demostración.

Supongamos que $n$ es un número natural y que $z\in n$. Veamos que en $z$ se verifican las condiciones 1, 2 y 3 de la definición de número natural.

  1. $z$ es un conjunto transitivo.
    En efecto, sea $y\in z$. Como $n$ es transitivo y $z\in n$, tenemos que $y\in n$. Si tomamos $w\in y$, se sigue nuevamente que $w\in n$ por la transitividad de $n$. Como $\in_n$ es transitiva, y $w,y,z$ están en $n$, tenemos entonces que $w\in z$. Así, $y\subseteq z$. Concluimos que para cualquier $y\in z$ se tiene que $y\subseteq z$ y, por lo tanto, $z$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_z$ es un orden total en $z$.
    Por el Lema 2 se tiene que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.
  3. Subconjuntos no vacíos de $z$ tienen máximo y mínimo con respecto a $\in_z$.
    Sea $B\subseteq z$ con $B$ no vacío. Dado que $n$ es un número natural y $z\in n$, tenemos que $z\subseteq n$. Así, por transitividad de la contención se sigue que $B\subseteq n$, por lo que $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a $\in_n$. Llamemos a estos elementos $b_1$ y $b_2$, respectivamente. Recordemos que $b_1,b_2$ son elementos de $B$ y, por lo tanto, de $z$ y de $n$.
    Veamos que $b_1$ y $b_2$ son los elementos mínimo y máximo de $B$ con respecto a $\in_z$. Tomemos $b\in B\setminus \{b_1\}$. Como $b\in B$, tenemos que $b\in z$ y por lo tanto $b\in n$. Como $b_1$ es mínimo de $\in_n$, tenemos que $b_1\in_n b$. Por el Lema 1, tenemos entonces que $b_1\in_z b$. Así, $b_1$ es mínimo de $\in_z$. Una demostración análoga muestra que $b_2$ es máximo de $\in_z$. Por lo tanto, $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a $\in_z$.

Todo lo anterior nos permite concluir que $z$ es número natural.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada, además de seguir trabajando el concepto de conjuntos transitivos.

  1. Muestra que los conjuntos $1,2,3,4$ que hemos definido previamente en efecto son conjuntos transitivos.
  2. Este ejercicio consiste en probar una versión más general del Lema 2. Muestra que si $(x,\lt)$ es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado, entonces para cualquier subconjunto $y$ de $x$ se tiene que $(y, \lt \cap (y\times y))$ también es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado.
  3. Prueba que si $x\not=\emptyset$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcap x$ es un conjunto transitivo.
  4. Prueba que si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcup x$ es un conjunto transitivo
  5. Demuestra que si $n$ es un número natural, entonces $n\notin n$. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de de buena fundación.
  6. Demuestra que si $n$ y $m$ son números naturales, entonces no puede ocurrir que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de buena fundación.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos al sucesor de un número natural. A partir de este nuevo concepto, probaremos propiedades adicionales para los números naturales.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. También puedes consultar la prueba de este teorema en: También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998, pp. 91-92. ↩︎

Álgebra Moderna I: Producto de subconjuntos y Clases Laterales

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Antes de comenzar conviene que recordemos que estamos trabajando con grupos. Un conjunto con una operación da lugar a un grupo si cumple ciertas condiciones, entre ellas tener un neutro y ser cerrado bajo su operación. Ahora nos interesamos por los subconjuntos cualquiera del grupo, no necesariamente subgrupos. Esta entrada está dedicada al estudio del producto de dichos subconjuntos.

La primera parte comienza definiendo a nuestro producto y lo ilustramos con unos ejemplos. La segunda parte pretende responder a la pregunta ¿cuándo es el producto de dos subconjuntos un subgrupo? En la tercera parte, nos imaginamos un caso particular, ¿qué pasa cuando uno de los subconjuntos elegidos es unitario? Es decir, estamos multiplicando un subgrupo de $G$ por un solo elemento de $G$.

Producto de $S$ con $T$

Definición. Sea $G$ un grupo, $S,T$ subconjuntos no vacíos de $G$. El producto de $S$ con $T$ es el conjunto

$$ST = \{st|s\in S, t\in T\}.$$

El orden de los elementos de $ST$ es importante, recordemos que $G$ no es necesariamente abeliano. Más adelante analizaremos más al respecto.

Nota: Cuando escribimos $st$ nos referimos a la operación que pertenece al grupo $(G, \cdot)$. Por ejemplo, si tomamos a $\z$, la operación sería la suma $+$ usual.

Tomamos dos subgrupos $S$ y $T$ de $G$. Si multiplicamos sus elementos, el resultado queda en $G$

Ejemplos.

  1. Tomemos las permutaciones de $S_3 = \{(1), (1\;2), (1 \;3), (2 \; 3), (1 \; 2 \; 3), (1\;3\;2)\}$. Consideramos a $S$ como $S=\{(1\;2)\}$ y a $T$ como $T=\{(1\;2\;3), (1\;3\;2)\}$. Entonces, su producto queda
    \begin{align*}
    ST &= \{(1\;2) (1\;2\;3), (1\;2)(1\;3\;2)\}\\
    &= \{(2\;3), (1\;3)\}.
    \end{align*}
  2. Si consideramos $(\z, +)$, podemos tomar a $S$ y a $T$ como
    \begin{align*}
    S &= 2\z = \{2n|n\in \z\},\\
    T &= 3\z = \{3m|m\in\z\}.
    \end{align*}
    En este caso, el producto se denota como $S+T$ y este conjunto es
    \begin{align*}
    S+T = 2\z + 3\z = \{2n+3m|n,m\in\z\} = \z.
    \end{align*}
    Donde la última igualdad se da porque $(2,3) = 1$ (es decir, $2$ y $3$ son primos relativos).

¿Cuándo es el producto un subgrupo de $G$?

Vamos a ver qué pasa ahora a la hora de multiplicar subgrupos. Durante la demostración del siguiente teorema, observaremos que en general, el producto no es un subgrupo debido a un detalle de la conmutatividad de los elementos. El siguiente se trata de un resultado clásico que aparece por ejemplo en el texto de Dummit mencionado en la bibliografía, Proposición 14:

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$, $K$ subgrupos de $G$. Entonces,
\begin{align*}
HK \leq G \; \text{ si y sólo si } \; HK = KH.
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $H,K$ subgrupos de $G$.

$|\Rightarrow)$ Supongamos que $HK \leq G$.
P.D. $KH=HK$

Procedemos por doble contención.
$\subseteq]$
Sea $x\in KH$, entonces existen $k \in K$ y $h \in H$ tales que $x = kh$.

Como $HK$ es subgrupo de $G$, entonces $h^{-1}k^{-1} \in HK$, así
\begin{align*}
x^{-1} = (kh)^{-1} = h^{-1}k^{-1} \in HK.
\end{align*}

Entonces, $x^{-1} \in HK$, y como $HK$ es subgrupo, $x \in HK$. Por lo tanto $KH \subseteq HK$.

$\supseteq]$
Sea $x \in HK$.

Observación: Si intentamos hacer lo mismo de antes, tomaríamos $h \in H$ y $k \in K$ tales que $x = hk$, así $x^{-1} = k^{-1}h^{-1}$ ya que en el inverso se invierte el orden, es decir $x^{-1} \in KH$. Pero como no sabemos nada de $KH$, nos atoramos aquí. Por lo tanto, tomaremos un camino un tanto diferente.

Sabemos que $HK\leq G$, entonces sabemos que $x^{-1} \in HK$. Entonces existen $h \in H$ y $k\in K$ tales que $x^{-1}=hk$. Así,

\begin{align*}
&x = (x^{-1})^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH
\end{align*}
Por lo tanto $HK \subseteq KH$.

Así, $HK = KH$.

$\Leftarrow|)$ Supongamos que $HK = KH$.
P.D. $HK \leq G$.

Observemos primero que $e = ee \in HK$.

Ahora consideremos $x,y \in HK$, entonces
\begin{align*}
x = hk && h, \overline{h} \in H \\
y = \bar{h} \bar{k} && k,\overline{k} \in K.
\end{align*}

Entonces
\begin{align*}
xy^{-1} = (hk)(\bar{h} \bar{k})^{-1} &= (hk)(\bar{k}^{-1} \bar{h}^{-1})\\
&= h \left( (k\bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} \right).
\end{align*}

Pero
\begin{align*}
&(k\bar{k}^{-1}) \bar{h}^{-1} \in KH = HK &\text{Por la hipótesis} \\
\Rightarrow &\,(k \bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} =\hat{h}\hat{k} & \text{ con } \hat{h}\in H,\hat{k}\in K.
\end{align*}

Sustituyendo los valores $$xy^{-1} = h(\hat{h}\hat{k}) = (h\hat{h})\hat{k} \in HK.$$

Por lo tanto $HK \leq G$.

$\blacksquare$

Del teorema anterior se sigue este corolario:

Corolario. Sea $G$ un grupo abeliano, $H,K$ subgrupos de $G$. Tenemos que $HK$ es un subgrupo de $G$.

Clases Laterales

Ahora, tomemos $T = \{a\}$ con $a \in G$. De esta manera $TH = \{a\}H$, pero para simplificar la notación, usaremos $\{a\}H = aH$. A este caso específico, lo llamaremos clase lateral. A continuación lo definiremos de una manera más formal.

Definición. Sean $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$, $a\in G$.
La clase lateral izquierda de $H$ en $G$ con representante $a$ es
$$ aH = \{ah | h\in H\}. $$
La clase lateral derecha de $H$ en $G$ con representante $a$ es
$$Ha = \{ha|h\in H\}.$$

Ambas clases son análogas, aunque como veremos más adelante no necesariamente iguales, y para fines prácticos trabajaremos sólo con una, pero es importante definir ambas.

Ejemplos.

  1. Sean $G = S_n\, ,$ $H =A_n\, ,$ con $n\geq 2$.
    \begin{align*}
    (1\;2)\;A_n &= \{ (1\;2)\alpha \,|\, \alpha\in A_n\} \\
    & = \{\beta \in S_n \,| \, sgn\,\beta = -1\}.
    \end{align*}
  2. Sea $G=\r^2$ con la suma usual,
    \begin{align*}
    H &= \{(x,x) \,|\, x\in\r\}\\
    &\text{y }(a,b) \in\r^2 \\
    \text{Entonces, } \\
    (a,b) + H &= \{(a,b) +(x,x) \,|\, x\in \r\},
    \end{align*} que geométricamente es la diagonal trasladada por el vector $(a,b).$
Hecho con GeoGebra®
Representación de $(a,b) + H$.

Tarea moral

  1. Prueba o da un contraejemplo: Si $G$ es un grupo y $S$ y $T$ son subconjuntos de $G$ tales que $ST$ es un subgrupo de $G$, entonces $S$ y $T$ son subgrupos de $G$.
  2. Sea $D_{2(6)} = \{\text{id}, a, \dots, a^5, b, ab, \dots, a^5b \}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono, con $a$ la rotación de $\frac{\pi}{3}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$. Calcula las clases laterales izquierdas y derechas de $\left< a \right>$ en $D_{2(6)}$.
  3. En cada inciso calcula $HK$ y determina si es un subgrupo de $S_4$.
    1. $H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (1\;3)\}$.
    2. $H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (3\;4)\}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos una relación de equivalencia y, al tratar de describir las clases de equivalencias inducidas, podremos relacionar las clases laterales con los elementos de $H$. Además, continuaremos respondiendo a las preguntas: ¿qué relación existe entre el número de elementos de las clases laterales derechas e izquierdas? y ¿qué es el índice de $H$ en $G$?

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