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Ecuaciones Diferenciales l – Introducción al Curso

Por Omar González Franco

4 respuestas

¡Bienvenidos al curso de Ecuaciones Diferenciales I!

Hola, mi nombre es Omar y te doy la bienvenida al curso de Ecuaciones Diferenciales I el cual escribí como parte del proyecto PAPIME PE104522 Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM, cuyo objetivo principal es:

  • Comenzar un enfoque unificado y articulado para crear cursos completos, de acceso libre, gratuitos y de calidad, para la impartición y el autoaprendizaje de asignaturas de los primeros semestres de la Licenciatura en Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

En este proyecto colaboran académicos y estudiantes de la Facultad de Ciencias de la UNAM, en particular, me ha tocado ser tu instructor en este curso escrito. Con este proyecto buscamos brindar a las nuevas generaciones de científicos alternativas de estudio en los temas relacionados con matemáticas, y no sólo eso, este material esta pensado para que sea utilizado por cualquier persona que quiera adquirir conocimientos en matemáticas a nivel universitario, en este caso particular, en ecuaciones diferenciales. Así mismo, se plantea fomentar una cultura de educación a distancia para que más profesores creen material de calidad y lo pongan a disposición del público en general, de manera gratuita y libre.

Este curso ha sido elaborado en base al temario oficial de la materia de Ecuaciones Diferenciales I impartido en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

El curso de Ecuaciones Diferenciales I es una materia obligatoria para estudiantes de las licenciaturas en Actuaría, Matemáticas, Matemáticas Aplicadas, Física y Física Biomédica, todas ellas impartidas en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Esta materia es impartida en cuarto semestre, de manera que se considera que cuentas con conocimientos matemáticos sólidos de los tres semestres anteriores, particularmente de las materias de Calculo Integral y Diferencial I, II y III, además de materias como Geometría Analítica, Álgebra Superior I y II, Álgebra Lineal I y, aunque no es totalmente indispensable, Álgebra Lineal II y Calculo Integral y Diferencial IV (éstas últimas suelen llevarse de forma simultánea con Ecuaciones Diferenciales).

Sin embargo, es importante aclarar que este curso es un primer acercamiento a las ecuaciones diferenciales, lo que significa que partiremos de lo más básico y esencial de tal manera que el aprendizaje sea gradual, adecuado y confortante. Además, ha sido diseñado con un sentido propedéutico, pues se han tomado en cuenta una serie de consideraciones didácticas que hacen de la lectura más agradable, enriquecedora e integradora.

A lo largo de las clases notarás que las entradas cuentan con una presentación y diseño particular. En cada una de ellas hay una introducción al tema, una serie de definiciones precedidas por una motivación, la teoría matemática se construye a profundidad y con formalidad y posteriormente se pone en práctica dicha teoría a través de una serie de ejemplos resueltos paso a paso. Finalmente encontrarás una breve conclusión del tema y una motivación hacía el siguiente, así como una series de ejercicios que puedes realizar de forma optativa en los que pondrás a prueba tus conocimientos adquiridos.

Como complemento a este curso escrito, mi compañero Eduardo Vera ha elaborado una serie de videos en los que se desarrolla gran parte de la teoría que veremos en este curso escrito, si bien los temas en su mayoría son los mismos, el enfoque que se da en cada curso varía, además de que hay algunos temas que sólo encontrarás en la sección de videos o en la sección de notas, así que llevarlos de forma simultánea vuelve más enriquecedor el aprendizaje, sin embargo basta tomar sólo el curso escrito o sólo el curso audiovisual para conocer todo lo relacionado a la materia.

A los largo de las clases encontrarás hipervínculos que redirigen a la entrada anterior, a la posterior, a la página principal del curso y a los videos del tema correspondiente, así como a definiciones, teoremas o ejemplos anteriores, ya sea dentro del mismo curso o de un curso distinto dentro del blog, que requieran ser recordados, permitiendo una fluida conectividad en todo momento del curso.

Finalmente, en este curso se han incluido temas que presentan un mayor desarrollo matemático con el propósito de dar un fundamento teórico a los distintos métodos de resolución de las diferentes ecuaciones diferenciales que presentaremos a lo largo del curso, dichos temas están a disposición del estudiante, pero pueden considerarse opcionales para aquellos estudiantes que no requieran de un profundo conocimiento teórico en sus carreras, esto de ninguna manera interrumpirá el flujo de aprendizaje del curso. Si eres de la licenciatura de Matemáticas sí recomienda revisarlos.

Sin más, espero que disfrutes del curso, adquieras los conocimientos aquí planteados y avances en tu carrera ya sea como estudiante de la Facultad de Ciencias o como estudiante de algunas otras licenciaturas en las que las ecuaciones diferenciales son fundamentales o incluso como estudiante autodidacta interesado en aprender matemáticas.

Si en algún momento algo no queda lo suficiente claro siéntete libre de preguntar en los comentaros del blog, yo, así como otros estudiantes, estaremos atentos y procuraremos responder tus dudas.

¡Buen viaje!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Teoría de los Conjuntos I: Números naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada daremos la definición formal de qué es un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.

Número natural

Definición. Sea $n$ un conjunto. Decimos que $n$ es un número natural si satisface las siguientes tres condiciones:

  1. $n$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_n$ es un orden total estricto en $n$.
  3. Cualquier subconjunto no vacío $z$ de $n$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_n$.

Ejemplo.

Afirmamos que el conjunto $0=\emptyset$ es un número natural. Veamos por qué. En la entrada anterior vimos que $\emptyset$ es un conjunto transitivo.

Además, $(\emptyset, \in_\emptyset)$ es un conjunto totalmente ordenado pues $\in_\emptyset= \emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad (en $\emptyset$) que es una relación asimétrica y transitiva. Asimismo, los elementos de $\in_\emptyset$ son comparables por vacuidad (en $\emptyset$) y por lo tanto, $\in_\emptyset$ es un orden total.

Finalmente, se satisface por vacuidad que para cualquier $z\not=\emptyset$ (pues no hay tal) que cumple que $z\subseteq \emptyset$, se tiene que $z$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_\emptyset$.

Por lo tanto, $\emptyset$ es un número natural.

$\square$

Elementos de números naturales son números naturales

En esta sección veremos que si $n$ es número natural y $z\in n$, entonces $z$ es número natural. Lo primero que es conveniente hacer es entender la relación $\in_z$ en términos de la relación $\in_n$.

Lema 1. Si $n$ es un conjunto transtivo, entonces para cualquier $z\in n$ se cumple que $\in_n\cap (z\times z)=\in_z$..

Demostración. En efecto, tenemos que

\begin{align*}
\in_n\cap(z\times z)&=\set{(x,y)\in n\times n:x\in y}\cap(z\times z)\\
&=\set{(x,y)\in z\times z:x\in y}\\
&=\in_z.
\end{align*}

$\square$

El siguiente lema será de ayuda para mostrar que cualquier elemento de un número natural resulta ser también un número natural.

Lema 2. Si $n$ es un conjunto transitivo, entonces, para cualquier $z\in n$ se satisface que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.

Demostración.

Veamos que $\in_z$ es una relación asimétrica, transitiva y sus elementos son $\in_z$-comparables.

  1. Asimetría.
    Procedamos por contradicción. Supongamos que $x,y\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z x$. Por el Lema 1, tendríamos que $x\in_n y$ y $y\in_n x$, lo cual no puede ocurrir pues $\in_n$ es una relación asimétrica. Así, no hay tales $x$ y $y$. Esto muestra que $\in_z$ también es una relación asimétrica.
  2. Transitividad.
    Sean $x, y, w\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z w$. Por el Lema 1, tenemos que $x\in_n y$ y $y\in_n w$, lo que implica que $x\in_n w$ con $x, w\in z$. De nuevo por el Lema 1, se tiene que $x\in_zw$. Por lo tanto, $\in_z$ es transitiva en $z$.
  3. $\in_z$-comparables.
    Sean $x,y\in z$. Dado que $z\in n$, entonces $x\in n$ y $y\in n$. Como $\in_n$ es total, tenemos que $x\in_n y$ o $y\in_n x$ o $y=x$. Por el Lema 1, estas posibilidades implican, respectivamente, que $x\in_z y$ o $y\in_z x$ o $y=x$, es decir, los elementos de $z$ son $\in_z$ comparables.

Por lo tanto, $\in_z$ es un orden total en $z$.

$\square$

Estamos listos para ver que elementos de naturales son naturales.

Teorema. Si $z\in n$ con $n$ número natural, entonces $z$ también es un número natural.

Demostración.

Supongamos que $n$ es un número natural y que $z\in n$. Veamos que en $z$ se verifican las condiciones 1, 2 y 3 de la definición de número natural.

  1. $z$ es un conjunto transitivo.
    En efecto, sea $y\in z$. Como $n$ es transitivo y $z\in n$, tenemos que $y\in n$. Si tomamos $w\in y$, se sigue nuevamente que $w\in n$ por la transitividad de $n$. Como $\in_n$ es transitiva, y $w,y,z$ están en $n$, tenemos entonces que $w\in z$. Así, $y\subseteq z$. Concluimos que para cualquier $y\in z$ se tiene que $y\subseteq z$ y, por lo tanto, $z$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_z$ es un orden total en $z$.
    Por el Lema 2 se tiene que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.
  3. Subconjuntos no vacíos de $z$ tienen máximo y mínimo con respecto a $\in_z$.
    Sea $B\subseteq z$ con $B$ no vacío. Dado que $n$ es un número natural y $z\in n$, tenemos que $z\subseteq n$. Así, por transitividad de la contención se sigue que $B\subseteq n$, por lo que $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a $\in_n$. Llamemos a estos elementos $b_1$ y $b_2$, respectivamente. Recordemos que $b_1,b_2$ son elementos de $B$ y, por lo tanto, de $z$ y de $n$.
    Veamos que $b_1$ y $b_2$ son los elementos mínimo y máximo de $B$ con respecto a $\in_z$. Tomemos $b\in B\setminus \{b_1\}$. Como $b\in B$, tenemos que $b\in z$ y por lo tanto $b\in n$. Como $b_1$ es mínimo de $\in_n$, tenemos que $b_1\in_n b$. Por el Lema 1, tenemos entonces que $b_1\in_z b$. Así, $b_1$ es mínimo de $\in_z$. Una demostración análoga muestra que $b_2$ es máximo de $\in_z$. Por lo tanto, $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a $\in_z$.

Todo lo anterior nos permite concluir que $z$ es número natural.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada, además de seguir trabajando el concepto de conjuntos transitivos.

  1. Muestra que los conjuntos $1,2,3,4$ que hemos definido previamente en efecto son conjuntos transitivos.
  2. Este ejercicio consiste en probar una versión más general del Lema 2. Muestra que si $(x,\lt)$ es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado, entonces para cualquier subconjunto $y$ de $x$ se tiene que $(y, \lt \cap (y\times y))$ también es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado.
  3. Prueba que si $x\not=\emptyset$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcap x$ es un conjunto transitivo.
  4. Prueba que si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcup x$ es un conjunto transitivo
  5. Demuestra que si $n$ es un número natural, entonces $n\notin n$. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de de buena fundación.
  6. Demuestra que si $n$ y $m$ son números naturales, entonces no puede ocurrir que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de buena fundación.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos al sucesor de un número natural. A partir de este nuevo concepto, probaremos propiedades adicionales para los números naturales.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Moderna I: Producto de subconjuntos y Clases Laterales

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Antes de comenzar conviene que recordemos que estamos trabajando con grupos. Un conjunto con una operación da lugar a un grupo si cumple ciertas condiciones, entre ellas tener un neutro y ser cerrado bajo su operación. Ahora nos interesamos por los subconjuntos cualquiera del grupo, no necesariamente subgrupos. Esta entrada está dedicada al estudio del producto de dichos subconjuntos.

La primera parte comienza definiendo a nuestro producto y lo ilustramos con unos ejemplos. La segunda parte pretende responder a la pregunta ¿cuándo es el producto de dos subconjuntos un subgrupo? En la tercera parte, nos imaginamos un caso particular, ¿qué pasa cuando uno de los subconjuntos elegidos es unitario? Es decir, estamos multiplicando un subgrupo de $G$ por un solo elemento de $G$.

Producto de $S$ con $T$

Definición. Sea $G$ un grupo, $S,T$ subconjuntos no vacíos de $G$. El producto de $S$ con $T$ es el conjunto

$$ST = \{st|s\in S, t\in T\}.$$

El orden de los elementos de $ST$ es importante, recordemos que $G$ no es necesariamente abeliano. Más adelante analizaremos más al respecto.

Nota: Cuando escribimos $st$ nos referimos a la operación que pertenece al grupo $(G, \cdot)$. Por ejemplo, si tomamos a $\z$, la operación sería la suma $+$ usual.

Tomamos dos subgrupos $S$ y $T$ de $G$. Si multiplicamos sus elementos, el resultado queda en $G$

Ejemplos.

  1. Tomemos las permutaciones de $S_3 = \{(1), (1\;2), (1 \;3), (2 \; 3), (1 \; 2 \; 3), (1\;3\;2)\}$. Consideramos a $S$ como $S=\{(1\;2)\}$ y a $T$ como $T=\{(1\;2\;3), (1\;3\;2)\}$. Entonces, su producto queda
    \begin{align*}
    ST &= \{(1\;2) (1\;2\;3), (1\;2)(1\;3\;2)\}\\
    &= \{(2\;3), (1\;3)\}.
    \end{align*}
  2. Si consideramos $(\z, +)$, podemos tomar a $S$ y a $T$ como
    \begin{align*}
    S &= 2\z = \{2n|n\in \z\},\\
    T &= 3\z = \{3m|m\in\z\}.
    \end{align*}
    En este caso, el producto se denota como $S+T$ y este conjunto es
    \begin{align*}
    S+T = 2\z + 3\z = \{2n+3m|n,m\in\z\} = \z.
    \end{align*}
    Donde la última igualdad se da porque $(2,3) = 1$ (es decir, $2$ y $3$ son primos relativos).

¿Cuándo es el producto un subgrupo de $G$?

Vamos a ver qué pasa ahora a la hora de multiplicar subgrupos. Durante la demostración del siguiente teorema, observaremos que en general, el producto no es un subgrupo debido a un detalle de la conmutatividad de los elementos. El siguiente se trata de un resultado clásico que aparece por ejemplo en el texto de Dummit mencionado en la bibliografía, Proposición 14:

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$, $K$ subgrupos de $G$. Entonces,
\begin{align*}
HK \leq G \; \text{ si y sólo si } \; HK = KH.
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $H,K$ subgrupos de $G$.

$|\Rightarrow)$ Supongamos que $HK \leq G$.
P.D. $KH=HK$

Procedemos por doble contención.
$\subseteq]$
Sea $x\in KH$, entonces existen $k \in K$ y $h \in H$ tales que $x = kh$.

Como $HK$ es subgrupo de $G$, entonces $h^{-1}k^{-1} \in HK$, así
\begin{align*}
x^{-1} = (kh)^{-1} = h^{-1}k^{-1} \in HK.
\end{align*}

Entonces, $x^{-1} \in HK$, y como $HK$ es subgrupo, $x \in HK$. Por lo tanto $KH \subseteq HK$.

$\supseteq]$
Sea $x \in HK$.

Observación: Si intentamos hacer lo mismo de antes, tomaríamos $h \in H$ y $k \in K$ tales que $x = hk$, así $x^{-1} = k^{-1}h^{-1}$ ya que en el inverso se invierte el orden, es decir $x^{-1} \in KH$. Pero como no sabemos nada de $KH$, nos atoramos aquí. Por lo tanto, tomaremos un camino un tanto diferente.

Sabemos que $HK\leq G$, entonces sabemos que $x^{-1} \in HK$. Entonces existen $h \in H$ y $k\in K$ tales que $x^{-1}=hk$. Así,

\begin{align*}
&x = (x^{-1})^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH
\end{align*}
Por lo tanto $HK \subseteq KH$.

Así, $HK = KH$.

$\Leftarrow|)$ Supongamos que $HK = KH$.
P.D. $HK \leq G$.

Observemos primero que $e = ee \in HK$.

Ahora consideremos $x,y \in HK$, entonces
\begin{align*}
x = hk && h, \overline{h} \in H \\
y = \bar{h} \bar{k} && k,\overline{k} \in K.
\end{align*}

Entonces
\begin{align*}
xy^{-1} = (hk)(\bar{h} \bar{k})^{-1} &= (hk)(\bar{k}^{-1} \bar{h}^{-1})\\
&= h \left( (k\bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} \right).
\end{align*}

Pero
\begin{align*}
&(k\bar{k}^{-1}) \bar{h}^{-1} \in KH = HK &\text{Por la hipótesis} \\
\Rightarrow &\,(k \bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} =\hat{h}\hat{k} & \text{ con } \hat{h}\in H,\hat{k}\in K.
\end{align*}

Sustituyendo los valores $$xy^{-1} = h(\hat{h}\hat{k}) = (h\hat{h})\hat{k} \in HK.$$

Por lo tanto $HK \leq G$.

$\blacksquare$

Del teorema anterior se sigue este corolario:

Corolario. Sea $G$ un grupo abeliano, $H,K$ subgrupos de $G$. Tenemos que $HK$ es un subgrupo de $G$.

Clases Laterales

Ahora, tomemos $T = \{a\}$ con $a \in G$. De esta manera $TH = \{a\}H$, pero para simplificar la notación, usaremos $\{a\}H = aH$. A este caso específico, lo llamaremos clase lateral. A continuación lo definiremos de una manera más formal.

Definición. Sean $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$, $a\in G$.
La clase lateral izquierda de $H$ en $G$ con representante $a$ es
$$ aH = \{ah | h\in H\}. $$
La clase lateral derecha de $H$ en $G$ con representante $a$ es
$$Ha = \{ha|h\in H\}.$$

Ambas clases son análogas, aunque como veremos más adelante no necesariamente iguales, y para fines prácticos trabajaremos sólo con una, pero es importante definir ambas.

Ejemplos.

  1. Sean $G = S_n\, ,$ $H =A_n\, ,$ con $n\geq 2$.
    \begin{align*}
    (1\;2)\;A_n &= \{ (1\;2)\alpha \,|\, \alpha\in A_n\} \\
    & = \{\beta \in S_n \,| \, sgn\,\beta = -1\}.
    \end{align*}
  2. Sea $G=\r^2$ con la suma usual,
    \begin{align*}
    H &= \{(x,x) \,|\, x\in\r\}\\
    &\text{y }(a,b) \in\r^2 \\
    \text{Entonces, } \\
    (a,b) + H &= \{(a,b) +(x,x) \,|\, x\in \r\},
    \end{align*} que geométricamente es la diagonal trasladada por el vector $(a,b).$
Representación de $(a,b) + H$.

Tarea moral

  1. Prueba o da un contraejemplo: Si $G$ es un grupo y $S$ y $T$ son subconjuntos de $G$ tales que $ST$ es un subgrupo de $G$, entonces $S$ y $T$ son subgrupos de $G$.
  2. Sea $D_{2(6)} = \{\text{id}, a, \dots, a^5, b, ab, \dots, a^5b \}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono, con $a$ la rotación de $\frac{\pi}{3}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$. Calcula las clases laterales izquierdas y derechas de $\left< a \right>$ en $D_{2(6)}$.
  3. En cada inciso calcula $HK$ y determina si es un subgrupo de $S_4$.
    1. $H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (1\;3)\}$.
    2. $H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (3\;4)\}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos una relación de equivalencia y, al tratar de describir las clases de equivalencias inducidas, podremos relacionar las clases laterales con los elementos de $H$. Además, continuaremos respondiendo a las preguntas: ¿qué relación existe entre el número de elementos de las clases laterales derechas e izquierdas? y ¿qué es el índice de $H$ en $G$?

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Teoría de los Conjuntos I: Construcción de los números naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Hasta ahora solo hemos usado los conjuntos $0$, $1$, $2$, $3$ y $4$ que definimos en la entrada de axioma del par y axioma de unión, pero es momento de hablar de números naturales de manera más general y rigurosa. En esta entrada comenzaremos a hacer esto, enunciando algunas propiedades conjuntistas que esperamos que tengan los números naturales. Sin embargo, no dejaremos de lado la noción intuitiva que ya tenemos.

Construcción

Al principio del curso hablamos acerca de los primeros axiomas de la teoría de los conjuntos. A partir de ellos obtuvimos un conjunto $\emptyset$ que no tiene elementos, y además probamos que era el único conjunto con esta propiedad. Por comodidad, a este conjunto también le pusimos el «nombre» o «etiqueta» $0$. Después, aplicamos el axioma del par para a partir de $0$ conseguir al conjunto $\{\emptyset\}$ al que llamamos $1$. En los ejercicios, hablamos de cómo a partir de los axiomas se pueden construir también a $2:=1\cup \{1\}= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, a $3:=2\cup \{2\}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, y también a $4:=3\cup \{3\}$.

Por supuesto, también se pueden construir otros conjuntos que no «siguien este patrón», por ejemplo, aplicando dos veces el axioma del par se puede construir al conjunto $\set{\set{\emptyset}}$.

Si nos fijamos en la cantidad de elementos que tienen los conjuntos $0,1,2,3,4$, notamos que las etiquetas son muy precisas y coinciden con nuestra intuición, pues por ejemplo el $0$ es el vacío que tiene cero elementos, el $1$ es $\{\emptyset\}$ que tiene un sólo elemento que es $\emptyset$, etc. De hecho, parte del ejercicio de la entrada mencionada pedía ver que $4=\{0,1,2,3\}$, que en efecto tiene cuatro elementos. Pero puede haber otros conjuntos distintos que también tengan la misma cantidad que estos conjuntos. Por ejemplo, el conjunto $\set{\set{\emptyset}}$ también tiene un elemento (tiene sólo a $\set{\emptyset}$), pero no es el mismo conjunto que $1$.

Parte de lo que queremos lograr al construir los números naturales formalmente es asociar a cada «número que usamos para contar» un conjunto con esa cantidad de elementos. Lo mencionado arriba debe dejarnos la idea de que puede haber muchas maneras de hacer esto. Por ejemplo, una posible manera sería formalizar la siguiente construcción:

\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\set{\emptyset}}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}}\\
\vdots
\end{align*}

Otra posible manera sería formalizar la siguiente construcción, que se parece más a cómo hemos estado utilizando las etiquetas $0,1,2,3,4$:

\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\emptyset}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\\
\vdots
\end{align*}

Debido a que hay muchas maneras de lograr nuestro objetivo, podemos poner algunas condiciones adicionales. Hablaremos de ellas en el transcurso de estas entradas. Estas propiedades adicionales que requeriremos nos llevarán a que la construcción apropiada es la segunda presentada aquí arriba.

Conjuntos transitivos

Para definir formalmente a los números naturales comenzaremos definiendo una de las características que tendrá cada uno de los números naturales.

Definición. Sea $x$ un conjunto. Decimos que $x$ es un conjunto transitivo si para cualquier $y\in x$ se cumple que $y\subseteq x$.

Observa que si $x$ es transitivo en la definición que acabamos de dar, entonces si $z\in y$ y $y\in x$, entonces $z\in x$.

Ejemplo.

Nos gustaría que cada número natural sea transitivo y nos gustaría que $0$, como lo definimos, sea número natural. En efecto lo es pues, en este caso, $0=\emptyset$ y entonces por vacuidad se cumple que si $y\in \emptyset$, se tiene que $y\subseteq \emptyset$.

$\square$

Ejemplo.

También el conjunto que definimos como $1$ es transitivo. Recordemos que $1=\set{\emptyset}$. El único elemento de $1$ es $y=\emptyset$, así que para ver que $x$ es transitivo basta ver que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$, lo cuál sabemos que es cierto. Por lo tanto, $1$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Ejemplo.

Sea $x=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que $x$ no es transitivo. En efecto, se tiene que $\set{\set{\emptyset}}\in x$ pero $\set{\set{\emptyset}}\not\subseteq x$ dado que $\set{\emptyset}\in \set{\set{\emptyset}}$ pero $\set{\emptyset}\notin x$. Por lo tanto, $\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ no es un conjunto transitivo.

$\square$

Equivalencias de conjuntos transitivos

A continuación veremos algunas equivalencias para que conjunto sea transitivo.

Proposición. Sea $x$ un conjunto. Entonces, $x$ es un conjunto transitivo si y sólo si $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.

Demostración.

Comencemos suponiendo que $x$ es transitivo. Veremos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$. Sea $y\in x$. Como $x$ es un conjunto transitivo, se tiene que $y\subseteq x$ y por lo tanto, $y\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.

Ahora, supongamos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$ y veamos que $x$ es un conjunto transitivo. Sea $y\in x$. Tenemos que $y\in \mathcal{P}(x)$ y así, $y\subseteq x$. Por lo tanto, $x$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Otra equivalencia que tendrás que demostrar como parte de los ejercicios es la siguiente.

Proposición. Un conjunto $x$ es transitivo si y sólo si $\bigcup x\subseteq x$.

Otros resultados para conjuntos transitivos

Para concluir esta entrada veremos algunos resultados para conjuntos transitivos, esta vez con respecto a la intersección y la unión.

Proposición. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, entonces $x\cap y$ es un conjunto transitivo.

Demostración.

Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cap y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cap y$ se cumple que $z\subseteq x\cap y$.

  1. Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
  2. Como $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.

De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cap y$ se satisface que $z\subseteq x\cap y$. Por lo tanto, $x\cap y$ es transitivo.

$\square$

Hay una segunda demostración de la proposición anterior, usando álgebra de conjuntos y la primera caracterización de la sección anterior.

Demostración. Como $x$ y $y$ son transitivos, tenemos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$ y $y\subseteq \mathcal{P}(y)$. Así, por propiedades que hemos demostrados de intersección, $$x\cap y \subseteq \mathcal{P}(x) \cap \mathcal{P}(y) \subseteq \mathcal{P}(x\cap y).$$

Así, $x\cap y \subseteq \mathcal{P}(x\cap y)$ y por lo tanto $x\cap y$ es transitivo.

$\square$

La transitividad también se preserva al unir conjuntos.

Proposición. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, entonces $x\cup y$ es un conjunto transitivo.

Demostración.

Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cup y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cup y$ se cumple que $z\subseteq x\cup y$.

  1. Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
  2. Como $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.

De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cup y$ se satisface que $z\subseteq x\cup y$. Por lo tanto, $x\cup y$ es transitivo.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar el concepto de conjunto transitivo.

  1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son transitivos?
    1. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$,
    2. $\set{\set{\emptyset}}$,
    3. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.
  2. Verifica que, por definición, cada uno de los conjuntos $0,1,2,3,4$ que ya definimos son transitivos.
  3. Demuestra que $(\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}, \in)$ es un conjunto totalmente ordenado.
  4. Demuestra que $x=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tiene elemento máximo y elemento mínimo en el orden $\in_x$.
  5. Demuestra la segunda equivalencia de la sección de conjuntos transitivos, es decir, que $x$ es transitivo si y sólo si $\bigcup x\subseteq x$.
  6. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, ¿será cierto que $x\setminus y$ siempre es un conjunto transitivo?, ¿será cierto que $x\triangle y$ siempre es un conjunto transitivo? Da una demostración o encuentra un contraejemplo en cada caso.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos la definición formal y rigurosa de qué es un número natural. Además demostraremos algunas de sus propiedades.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Cotas superiores y supremos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de cotas superiores y supremos. Así como las cotas inferiores que vimos en la entrada anterior, estos nuevos conceptos también nos permitirán acotar subconjuntos de conjuntos parcialmente ordenados.

Cotas superiores

Para comenzar esta entrada definiremos qué es una cota superior.

Definición. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es una cota superior de $B$ si $x\leq a$ para toda $x\in B$. Si $B$ tiene por lo menos una cota superior, diremos que $B$ está acotado superiormente.

Notemos que la definición es muy parecida al concepto de máximo, sin embargo, los conceptos difieren en que el máximo debe ser elemento del conjunto al que estamos acotando y la cota no necesariamente debe satisfacer esto. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ ordenado con la inclusión. Sea $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

$\square$

Ejemplo.

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ ordenado con la inclusión. Sea $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Además $\set{\emptyset}\in B$ también es una cota superior de $B$ pues para cada $x\in B$, $x\subseteq \set{\emptyset}$. Más aún, $\set{\emptyset}$ es el elemento máximo de $B$.

$\square$

El ejemplo anterior sugiere que la propiedad de ser máximo implica ser cota superior, pero no siempre es válido el recíproco.

De este último ejemplo podemos notar que la cota superior en un conjunto puede no ser única, y entonces podemos pensar en el conjunto que tenga a todas las cotas superiores. Esta idea junto con el concepto de mínimo motiva el concepto de supremo.

Supremos

Definición. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es supremo de $B$ si es el elemento mínimo del conjunto de todas las cotas superiores de $B$. Lo denotaremos por $\sup(B)$.

Ejemplo.

Retomando el ejemplo anterior, si consideramos al conjunto de todas las cotas superiores de $B$, es decir, $\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tenemos que el supremo es $\set{\emptyset}$ pues respecto al orden de $A$ se tiene que $\set{\emptyset}\subseteq\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y por lo tanto, $\set{\emptyset}$ es el mínimo de las cotas superiores de $B$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}= \sup(B)$.

$\square$

Teorema. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene supremo en el orden $\leq$, entonces es único.

Demostración.

Sea $(A,\leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ no vacío. Supongamos que $B$ tiene supremo, es decir, que existe $a\in A$ de tal forma que $x\leq a$ para toda $x\in B$ y, si $b\in A$ es tal que $x\leq b$ para toda $x\in B$, entonces, $a\leq b$.

Supongamos que $a_1,a_2\in A$ son supremos de $B$. Veamos que $a_1=a_2$.

Como $a_1$ es supremo de $B$, en particular se tiene que $x\leq a_1$ para toda $x\in B$. Luego, como $a_2$ es supremo de $B$ se sigue por definición que $a_2\leq a_1$. De manera análoga, como $a_2$ es supremo de $B$, en particular se tiene que $x\leq a_2$ para toda $x\in B$ y así, como $a_1$ es supremo de $B$ se sigue por definición que $a_1\leq a_2$.

Tenemos entonces que $a_1\leq a_2$ y $a_2\leq a_1$, de donde se sigue que $a_1=a_2$, lo cual demuestra la unicidad del supremo.

$\square$

Teorema. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene un elemento máximo $b$, entonces $b$ es el supremo de $B$.

Demostración.

Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Luego como $b\in B$ es el elemento máximo de $B$, entonces para cualquier $x\in B$, $x\leq b$.

Sea $C$ el conjunto de todas las cotas superiores de $B$. Veamos que $b\in C$ y que $b=\min(C)$. Dado que $x\leq b$ para todo $x\in B$, entonces $b$ es cota superior de $B$ y, por tanto, $b\in C$. Luego, si $c\in C$ es cualquier elemento, entonces $c$ es cota superior de $B$, es decir, $x\leq c$ para cualquier $x\in B$. En particular, como $b\in B$ se tiene que $b\leq c$. Esto muestra que $b=\min(C)$.

Por lo tanto, $b=\sup(B)$.

$\square$

Aún cuando ser máximo implica ser supremo, no siempre va a ocurrir que el supremo de un conjunto sea máximo, como ocurre en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ ordenado con la inclusión. Sea $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Sin embargo, $B$ no tiene máximo pues no existe $x\in B$ tal que $y\subseteq x$. En efecto, si existiera tal $x$, tendría que simultánteamente contener a $\set{\emptyset}$ y a $\set{\set{\emptyset}}$, por lo que debe tener como elementos a $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$. Pero entonces debe ser $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, el cual no está en $B$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada y las dos anteriores.

  1. Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Demuestra que si $b$ es supremo y $b\in B$, entonces $b$ es máximo de $B$.
  2. Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B,C\subseteq A$ no vacíos. Si $B$ y $C$ tienen supremo y $B\subseteq C$, demuestra que $\sup(B)\leq \sup(C)$.
  3. Exhibe un conjunto que esté acotado superiormente pero que no tenga supremo.
  4. Da un ejemplo de un conjunto ordenado $(A,\leq)$ en el cual se cumpla que el conjunto $\emptyset$ tiene supremo.

Más adelante…

La siguiente entrada estará dedicada a un tipo particular de conjuntos ordenados llamados buenos órdenes. Para este tema serán importantes los conceptos sobre máximos y mínimos.

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