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Álgebra Moderna I: Acciones

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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Introducción

Antes de comenzar con el tema que nos compete, repasemos lo que hemos visto del Teorema de Cayley y su modificación de la entrada anterior. Primero, en el Teorema de Cayley, comenzamos tomando un grupo $G$, un $a$ en el grupo y actuamos con ese $a$ sobre el grupo, es decir multiplicamos los elementos. En resumen, nos permite mover los elementos del mismo grupo.

Con la modificación avanzamos en la abstracción. En el teorema nos tomamos el conjunto de clases laterales y ahora, $G$ actúa sobre las clases laterales. Detente un minuto para pensar, si cada vez somos más generales ¿cuál es el siguiente paso? ¿sobre quién queremos que actúe $G$ ahora?

La respuesta es: sobre un conjunto cualquiera $X$. Ahora queremos pensar que usamos los elementos de $G$ para mover elementos de $X$. Para eso necesitamos una especie de producto, además de algunos matices. Por ejemplo, para un $x\in X$ cuando $a = e$, el elemento $a\cdot x = x$ se quede fijo y que si se multiplica por $a$ y luego por $b$, que sea lo mismo que multiplicar por $ab$, es decir $a\cdot(b\cdot x) = ab\cdot x$. Si se cumplen estas dos condiciones diremos que $a$ es una acción de $G$ en el conjunto $X$.

Diagrama de qué es una acción.

Luces, cámara, ¡acción!

Como verás, hemos estado usando el verbo actuar para referirnos a esta transformación que sucede al operar un $a\in G$ y otro elemento, sea del mismo $G$ o de las clases laterales. Aunque no hayamos definido formalmente qué es una acción, la realidad es que ya usar actuar da una idea de lo que estamos queriendo decir. Estamos usando un elemento de un grupo para transformar un elemento de otro. A continuación definiremos formalmente a una acción.

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un conjunto. Si existe una función:
\begin{align*}
G \times X &\to X\\
(a,x) &\mapsto a\cdot x
\end{align*}
para todos $a\in G, x\in X$, tal que:

  1. $e \cdot x = x$ para toda $x\in X$.
  2. $a \cdot (b\cdot x) = (ab)\cdot x $ para todas $a,b\in G, x\in X$,

decimos que la función es una acción de $G$ en $X$, y que $G$ actúa en $X$ o que $X$ es un $G$-conjunto.

Ejemplos.

Veamos algunos ejemplos nuevos y retomemos algunos otros, para verificar que esto es una generalización para lo que se hizo en el Teorema de Cayley y en su modificación.

Ejemplo 1. Sean $G$ grupo, $X=G$ definimos $a\cdot x = ax$ para todas $a\in G, x\in X$. Es decir, definimos una acción sobre sí mismo. Probemos las dos condiciones:

\begin{align*}
&e\cdot x = ex = x &\forall x\in X\\
&a\cdot(b\cdot x) = a\cdot(bx) = a(bx) = (ab)x = (ab)\cdot x &\forall a,b\in G,\; x\in X.
\end{align*}

Así, todo grupo $G$ actúa en sí mismo mediante su operación binaria. Como vimos en la entrada del Teorema de Cayley.

Ejemplo 2. Sean $G$ grupo, $H\leq G$, $X = \{gH | g\in G\}$. Definimos $a\cdot (gH)= agH$ para toda $a,g\in G$. Ahora, probemos las dos condiciones de una acción:

\begin{align*}
&e\cdot(gH) = egH = gH &\forall g\in G
\end{align*}
\begin{align*}
a\cdot(b\cdot(gH)) &= a\cdot(bgH) = a(bg)H = (ab)gH \\
&= ab\cdot (gH) &\forall a,b,g\in G
\end{align*}

Así se tiene una acción de $G$ en las clases laterales de $H$ en $G$. Este ejemplo lo vimos en la entrada de la modificación al Teorema de Cayley.

Por último, podemos ver un ejemplo nuevo.

Ejemplo 3. Sea $G = D_{2n}$ el grupo diédrico, $X = \{1,2,\cdots, n\}$ los distintos vértices de polígono regular de $n$ lados.

Dados $g\in G, i\in X$ definimos $g\cdot i = j$ si $g$ manda el vértice $i$ en el vértice $j$. Recordemos que los elementos de un grupo diédrico son las simetrías del polígono regular de $n$ lados, es decir, son transformaciones lineales del plano que mandan del polígono en sí mismo. En particular, los vértices van a dar a vértices bajo estas transformaciones.

Representación de una grupo diédrico.

Entonces, como son transformaciones del plano nuestra acción quedaría como una evaluación $g \cdot i = g(i)$. Así, para todos $i\in X, g,h\in G$,
\begin{align*}
\text{id}\cdot i &= \text{id}(i) = i \\
g\cdot (h\cdot i )& = g\cdot (h(i)) = g(h(i)) = (gh) (i) = (gh) \cdot i.
\end{align*}

Así, $D_{2n}$ actúa en el conjunto de vértices.

Recordemos que al escribir $(gh)\cdot i$, la operación que ocurre entre $g$ y $h$ es la composición. En este momento se omitió el símbolo $\circ$ para evitar confusiones con el símbolo $\cdot$ de acción.

Otra definición de Acción

Anteriormente hemos visto la noción de que los elementos de un grupo dan lugar a permutaciones. Usaremos esta idea para dar una definición de acción equivalente a la definición que acabamos de dar.

Teorema. Sean $G$ un grupo, $X$ un conjunto. Toda acción de $G$ en $X$ induce un homomorfismo de $G$ en $S_X$ y viceversa.

Demostración.

Sean $G$ un grupo y $X$ un conjunto.
Supongamos que $G\times X \to X$ es una acción de $G$ en $X$ tal que $(g,x)\mapsto g\cdot gx$. Para cada $g\in G$ definimos $\alpha_g : X\to X$ dada por $\alpha_g(x) = g\cdot x$ para toda $x\in X$.

Ilustración del efecto de $\alpha_g$.

Analicemos las funciones $\alpha_g$, veamos que son biyectivas:

\begin{align*}
\alpha_g\circ\alpha_{g^{-1}}(x) & = \alpha_g(\alpha_{g^{-1}}) = \alpha_g(g^{-1}\cdot x) = g\cdot(g^{-1}\cdot x)\\
&= (gg^{-1})\cdot x &\text{Condición 2 de acción}\\
&= e\cdot x = x &\text{Condición 1 de acción}.
\end{align*}

Entonces $\alpha_g\circ\alpha_{g^{-1}} = \text{id}_X$.

Anáogamente $\alpha_{g^{-1}}\circ \alpha_g = \text{id}_X$, entonces $\alpha_g$ es biyectiva, es decir $\alpha_g \in S_X$.

Definimos $\psi: G \to S_X$ con $\psi (g) = \alpha_g$ para toda $g\in G$.

Veamos que $\psi$ es un homomorfismo. Tomemos $g,h\in G$,
\begin{align*}
\psi(gh)(x) &= \alpha_{gh}(x) = (gh)\cdot x = g\cdot(h\cdot x) = \alpha_g(\alpha_h(x)) & \text{Condición 2}\\
&= \alpha_g \circ \alpha_g(h) = \psi(g) \psi(h)(x) &\forall x\in X.
\end{align*}

Entonces $\psi(gh) = \psi(g)\psi(h)$ para todos $g,h\in G$.

Por lo tanto $\psi$ es un homomorfismo.

Ahora de regreso. Supongamos ahora que se tiene un homomorfismo $\psi: G\to S_X$. Entonces, para cada $g\in G, \psi(g) \in S_x$.

Definimos la función $G\times X \to X$ donde $(g,x)\mapsto g\cdot x$. Entonces $g\cdot x = \psi(g)(x)$ para toda $g\in G, x\in X$. Además, $\psi(g)(x) \in X$.

Ahora veamos que esta función es una acción. La primera condición para ser acción se cumple de la siguiente manera:

Como $\psi$ es un homomorfismo, $\psi(e) = \text{id}_X$. Así,
\begin{align*}
e\cdot x& = \psi(e)(x) = \text{id}_X(x) = x &\forall x\in X
\end{align*}

Probemos la segunda condición de acción:

\begin{align*}
g\cdot (h\cdot x) &= \psi(g) (\psi(h)(x)) = \psi(g)\circ \psi(h)(x) \\
&= \psi(gh)(x) = (gh) \cdot x & \psi\text{ es un homomorfismo}.
\end{align*}
Para todas $g,h\in G, x\in X$. Así $G$ actúa en $X$.

$\blacksquare$

Una relación de equivalencia

Si tenemos un grupo $G$ actuando sobre un conjunto $X$, entonces podemos considerar $g\in G$ y $x,y\in X$. Con los dos elementos $x,y$ de $X$, podemos preguntarnos ¿es posible llegar de $x$ a $y$ usando a $g$?, algo como $y = g\cdot x$. En realidad esto no es siempre posible, entonces podemos crear una relación de $x$ con $y$ si existe tal $g\in G$. Esto lo veremos en el siguiente resultado.

¿Es posible llegar de $x$ a $y$ usando a $g$?

Lema. Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Para todo $x,y\in X$, la relación en $X$: $x\sim y$ si y sólo si $g\cdot x = y$ para algún $g\in G$ es una relación de equivalencia.

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Definimos la relación en $X$ donde para todo $x,y\in X$.
\begin{align*}
x\sim y \Leftrightarrow g\cdot x = y \text{ para algún }g\in G.
\end{align*}

Primero, por la condición 1 de acción, $e\cdot x = x$ para toda $x\in X$ con $e\in G$, entonces $x\sim x$ para toda $x\in X$. Por lo que nuestra relación es reflexiva.

Si $x,y\in X$ son tales que $x\sim y$, entonces existe $g\in G$ tal que $g\cdot x = y$. Así,
\begin{align*}
g^{-1} \cdot y &= g^{-1}\cdot (g\cdot x) \\
&= (g^{-1}g)\cdot x & \text{por condición } 2\\
&= (e\cdot x )\\
&= x & \text{por condición } 1
\end{align*}

con $g^{-1} \in G$, entonces $y\sim x$. Por lo que tenemos una relación simétrica.

Si $x,y,z\in X$ son tales que $x\sim y$ y $y\sim z$, entonces existen $g,h\in G$ tales que $g\cdot x = y$, $h\cdot y = z$. Así
\begin{align*}
(hg)\cdot x &= h\cdot (g\cdot x) &\text{condición } 2\\
&= h \cdot y = z
\end{align*}
con $hg\in G$. Entonces $x\sim z$. Así, nuestra relación es transitiva.

Por lo tanto $\sim$ es una relación de equivalencia.

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. En los siguientes incisos determina si la función dad es una acción de $G$ en $X$:
    • Considera un campo $K$ y $V$ un $K$-espacio vectorial. Sea $G= K*$ con el producto y $X= V$. Definimos $\lambda\cdot v = \lambda v$ para cada $\lambda\in K*$ y $v\in V$. (Nota que $K*$ es el campo sin el neutro aditivo).
    • Sea $G$ un grupo y $X=G$. Definimos $g\cdot x = g^{-1}xg$ para cada $g\in G$ y cada $x\in X$.
    • Sea $G$ un grupo y $X = \{H|H\leq G\}$. Definimos $g\cdot H = gHg^{-1}$ para cada $g\in G$ y cada $H\in X$.
    • Sea $G$ un grupo y $X=N$ un subgrupo normal de $G$. Definimos $g\cdot n= gng^{-1}$ para cada $g\in G$ y cada $n\in N$.
  2. Sea $G$ un grupo y $X$ un $G$ conjunto. Considera el homomorfismo $\psi: G\to S_X$ asociado. ¿Es necesariamente $\psi$ un monomorfismo? Si lo es, pruébalo y si no, establece qué condiciones debería cumplir la acción para que lo sea.

Más adelante…

Hemos expandido la idea de que un grupo puede mover a los elementos de otro hasta llamarlo una acción. Luego, encontramos una relación de equivalencia a partir de la acción. Como es usual en este tipo de cursos, estudiaremos la partición inducida por esta relación de equivalencia y a partir de estos conjuntos, definiremos otros tipos de acciones.

Material extra

Para repasar lo que hemos visto desde el Teorema de Cayley, puedes consultar el video en inglés de Mathemaniac.

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Álgebra Moderna I: Una modificación al Teorema de Cayley

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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Introducción

En la entrada anterior aprendimos que el Teorema de Cayley es muy útil porque nos permite visualizar a un grupo $G$ como un subgrupo del grupo de permutaciones. Si el grupo es de orden $n$, se puede visualizar como un subgrupo del grupo $S_n$ que tiene orden $n!$, entonces hemos visualizado a $G$ como parte de un grupo de permutaciones $S_n$ que es realmente mucho más grande que $G$. Lo que haremos en esta entrada es relacionar al grupo $G$ con un grupo simétrico pero más pequeño que $S_n$. Utilizaremos los elementos de $G$ no para mover sus propios elementos, si no, para mover clases laterales.

Después de probar este resultado, veremos una aplicación de esta modificación del Teorema de Cayley para trabajar con clase laterales. Esta aplicación generaliza el resultado que se probó para grupos normales, anteriormente establecimos que todo subgrupo de índice 2 es un subgrupo normal. Probaremos que si tomamos el menor primo que divide al orden de un grupo y tenemos un subgrupo ese índice, entonces este subgrupo tiene que ser normal.

Para esta entrada, es recomendable que repases los grupos de permutaciones.

Relacionemos a $G$ con un grupo simétrico más pequeño

En el siguiente teorema relaciona a $G$ con un grupo simétrico, pero en este caso $n$ no es el orden de $G$, si no el índice de $G$ con respecto a un subgrupo $H$.

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$ subgrupo de $G$ de índice finito, $[ G:H ] = n.$
Existe un homomorfismo $\phi: G \to S_n$ con $\text{Núc }\phi \leq H$.

Observemos que el Teorema de Cayley nos da un isomorfismo y este teorema sólo nos da un homomorfismo (no necesariamente inyectivo). De todas maneras, se puede usar este teorema para probar otros resultados.

Demostración.

Sea $G$ un grupo, $H\leq G$ de índice finito, digamos $[ G:H ] = n$. Para cada $a \in G$ definimos $\tau_a : G/H \to G/H$ con $\tau_a(gH) = agH$ para toda $g\in G$.

Para esta demostración, como $H$ no es necesariamente normal, $G/N$ no es un grupo. Sólo lo estamos pensando como la colección de todas las clases laterales de $G$ con respecto a $H$.

Dada $g\in G$,
\begin{align*}
\tau_a \circ \tau_{a^{-1}} (gH) &= \tau_a(\tau_{a^{-1}}(gH)) = a(a^{-1}g)H = gH\\
\tau_{a^{-1}} \circ \tau_a (gH)&= \tau_{a^{-1}} (\tau_a(gH)) = a^{-1}(ag)H = gH.
\end{align*}

Así, $\tau_{a^{-1}}$ es la inversa de $\tau_a$ y $\tau_a$ es biyectiva.

Definimos entonces $\psi: G \to S_{G/H}$ con $\psi(a) = \tau_a$ para todo $a\in G$. Tomemos $a,b\in G$ y $g\in G$. A continuación demostraremos que $\psi$ es un homomorfismo:
\begin{align*}
\psi(ab) (gH) &= \tau_{ab}(gH) = (ab)gH = a(bg)H = \tau_a(\tau_b(gH))\\
&= \tau_a \circ \tau_b(gH) = \psi (a) \circ \psi(b) (gH)
\end{align*}

Observemos que las igualdades son producto exclusivamente de las definiciones de $\psi$ y de $\tau_a$. Así, $\psi(ab) = \psi(a)\circ\psi(b)$ para todo $a,b\in G$. Por lo que $\psi$ es un homomorfismo.

Ahora pasemos a la segunda parte del teorema.

Sí $a\in\text{Núc }\psi$, $\psi(a) = \text{id}_{G/N}$ y entonces, para todo $g\in G$ obtenemos,
\begin{align*}
\psi(a)(gH) = gH &\Rightarrow \tau_a(gH) = gH & \text{definición de }\psi\\
&\Rightarrow agH= gH & \text{pues } \psi(a) = \text{id}_{G/N} \\
&\Rightarrow aH = H &\text{en particular, cuando } g=e\\
&\Rightarrow a \in H.
\end{align*}

Por lo tanto $\text{Núc }\psi \leq H$.

Como $\#G/N = n$, sabemos que $S_{G/N}\cong S_n$ y existe $\rho: S_{G/H}\to S_n$ un isomorfismo. Así $\rho\circ\psi: G\to S_n$ es el homomorfismo buscado.

$\blacksquare$

Observación. Si $H = \{e\}$ se tienen el Teorema de Cayley.

Ilustremos lo aprendido

Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Tomemos el grupo simétrico $G = S_3$, el subgrupo $H = \left<(1,2)\right>$ y el cociente $G/H = \{H, (1\;3)H, (2\;3)H\}$.

Retomemos la función de la demostración: $\psi: S_3 \to S_{G/H}$, $\psi(a) = \tau_a$ para toda $a \in S_3$. Entonces,

\begin{align*}
a \in \text{Núc }\psi &\Leftrightarrow \psi(a) = \text{id}_{G/N} \\ &\Leftrightarrow \tau_a(gH) = gH \;\; \forall g\in S_3\\
&\Leftrightarrow agH = gH \;\; \forall g\in S_3.
\end{align*}

Así, en este caso si $a\in \text{Núc }\psi$,
\begin{align*}
a(1\;3)H = (1\;3)H &\Rightarrow (1\;3) a (1\;3) \in H = \{(1), (1\;2)\}.
\end{align*}
Recordemos que dos clases laterales $aH, bH$ son iguales si y sólo si $b^{-1}ab\in H$. En este caso, el inverso de $(1\;3)$ es él mismo.
\begin{align*}
&\Rightarrow a = (1) \text{ ó } a = (1\; 3) (1\; 2)(1\;3) = (3\;2).
\end{align*}

Sin embargo, como $a\in\text{Núc }\psi$, no sólo deja fijo a $(1\;3)$, si no también a $(2\;3)$, siguiendo un razonamiento similar obtenemos:
\begin{align*}
a(2\;3)H = (2\; 3)H &\Rightarrow (2\; 3)a(2\; 3) \in H = \{(1), (1\;2)\}\\
&\Rightarrow a = (1) \text{ ó } a = (2\; 3) (1\; 2) (2\; 3) = (1\; 3).
\end{align*}

Entonces, por un lado tenemos que $a = (1) \text{ ó } a = (3\;2)$ y por el otro, tenemos que $a = (1) \text{ ó } a = (1\; 3)$. Así, $a = (1)$.

Por lo tanto, $\text{Núc }\psi = \{(1)\}\leq H.$

Aplicación de la modificación

A continuación veremos la aplicación de la modificación del Teorema de Cayley que mencionamos en la introducción. La aplicación consiste en una generalización de un resultado visto previamente. En entradas anteriores, vimos que todo subgrupo de índice 2 es un subgrupo normal. Ahora veremos que si hay un subgrupo de orden el menor primo que divide al orden de un grupo, este subgrupo será normal.

Corolario. Si $G$ es un grupo finito y $p\in \z^+$ es el menor primo positivo que divide al orden de $G$, entonces todo subgrupo de $G$ de índice $p$ es normal en $G$.

Demostración.

Sea $G$ un grupo finito, $|G|= n$, $p\in\z^+$ el menor primo positivo que divide a $n$.

Supongamos que $H\leq G$ con $[ G:H ] = p$. Probaremos que $H$ es normal.

Sea $\psi:G\to S_{G/H}$ con $\psi(a) = \tau_a$ para toda $a\in G$ como en el teorema anterior. Sabemos que $\text{Núc } \psi \leq H \leq G$, como secuencia del Teorema de Lagrange tenemos
\begin{align} \label{eq:orden}
[ G: \text{Núc }\psi] = [ G:H ] [ H: \text{Núc }\psi ] = p [ H:\text{Núc } \psi].
\end{align}

Por el Primer Teorema de Isomorfía, $$G/\text{Núc }\psi\cong \text{Im }\psi \leq S_{G/H}\cong S_p,$$

\begin{align*}
\Rightarrow& [ G: \text{Núc }\psi ] = \left|G/\text{Núc }\psi \right|\Big| |S_p|\\
\Rightarrow& p [ H: \text{Núc }\psi ] \Big| p! & \text{porque } |S_p| = p! \text{ y } (\ref{eq:orden})\\
\Rightarrow &[ H: \text{Núc }\psi ] \Big| (p-1)!
\end{align*}

Si $[ H: \text{Núc }\psi ] > 1$, existiría $q\in\z^+$ un primo que lo divide, entonces $q\Big| a$ con $a \in \{1,2,\dots,p-1\}$. Por lo tanto $q<p.$

Pero, por el Teorema de Lagrange, $$|G| = [ G:\text{Núc }\psi ] |\text{Núc }\psi| = [ G:H] [ H: \text{Núc }\psi] |\text{Núc }\psi|.$$ Entonces $[ H: \text{Núc }\psi] \Big| |G|.$

Y como $q| [ H : \text{Núc }\psi ]$, entonces $q\Big||G|$.

Entonces, $q$ sería un divisor primo positivo de $n$, menor que $p$. Esto es una contradicción.

Así $[ H: \text{Núc }\psi ] = 1$, de donde $|H| = |\text{Núc }\psi|$ y como $ \text{Núc }\psi \leq H$ concluimos que $H = \text{Núc }\psi \unlhd G.$

Por lo tanto $H\unlhd G$.

$\blacksquare$

Observación. No siempre existe dicho subgrupo, por ejemplo $A_4$ no tiene subgrupos de índice 2.

Esto sucede porque $A_4$ tiene 12 elementos, el menor primo que divide a 12 es 2. Pero, de acuerdo a lo que estudiamos, $A_4$ no tiene subgrupos de orden 6, entonces no existen subgrupos de índice 2.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra la observación: Si $H = \{e\}$ se tienen el Teorema de Cayley.
  2. Sea $V$ el grupo de Klein. $H = \left< (1,0) \right>$. Determina cómo son las funciones $\tau_a$ para cada $a\in V$ y describe cómo se puede visualizar a cada elemento $a\in V$ como una permutación en $\{(a,b) + H\,|\, (a,b) \in V \}$, y como una permutación en $S_2$.
  3. Dado $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ de índice finito $n$, sabemos que existe un homomorfismo $\phi$ de $G$ en $S_n$ con $\text{Núc }\phi \leq H.$ Da una condición necesaria y suficiente para que $\text{Núc }\phi = H.$
  4. Sea $G$ un grupo finito de orden $n$ y $H$ un subgrupo de de índice primo $p$. ¿Es $H$ normal en $G$? Prueba o da un contraejemplo.

Más adelante…

Con este teorema hemos avanzado un pasito en la idea de usar elementos de un grupo para modificar otro, ahora usando clases laterales. El Teorema de Cayley y su modificación son importantes para el tema que veremos en la siguiente entrada, donde ahora sí, usaremos un grupo cualquiera para actuar sobre otro grupo cualquiera.

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

¡Hoy es el día en el que comenzamos la Unidad 4!

A partir de esta unidad veremos cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Para fines introductorios, ilustremos qué pasa en el caso de un grupo finito. Sea $G = \{e,g_2,\dots, g_n\}$, podemos escribir su tabla de producto ($*$):

$*$$e$$g_2$$g_3$$\cdots$$g_n$
$e$
$g_2$
$g_3$
$\vdots$
$a = g_i$$ae$$ag_2$$ag_3$$\cdots$$ag_n$
$\vdots$
$g_n$

¿Qué pasa si elegimos un elemento fijo? Fijemos $g_i$, para distinguirlo, denotémoslo como $a = g_i.$ Así, en la tabla del producto ese renglón quedaría $ae \;\; ag_2 \;\; ag_3 \;\; \cdots \;\; ag_n$. Como tanto $a = g_i$ como $e,g_2,\dots g_n$ están en $G$, ese renglón está conformado por elementos de $G$.

Podría darse el caso en que $ag_k = ag_t$ para algún $k,t\in \{1,\dots,n\}$, pero como $G$ es un grupo, podemos cancelar la $a$. Entonces $ag_k = ag_t \Leftrightarrow g_k = g_t$. Así, si suponemos que $g_k \neq g_t$ para todas $k \neq t$ con $k,t\in \{1,\dots,n\}$, en el renglón de $a$ aparecen $n$ elementos distintos. Es decir, aparecen todos los $n$ elementos de $G$ pero quizás en otro orden.

De esta manera, el efecto que tiene $a$ sobre los elementos de $G$ es de moverlos. Esto sucederá en cualquier renglón de la tabla, es decir, cualquier elemento de $G$ funciona como una permutación. Esto es importante porque nos permitirá visualizar a cualquier grupo como un grupo de permutaciones.

Ésta es la razón por la cual las permutaciones son tan importantes y por eso tenemos que estudiarlas bien.

La función tau $\tau$

Bajo la idea propuesta en la introducción de esta entrada, todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. Para formalizar esta idea comenzaremos con un lema.

Lema.
Sea $G$ un grupo, $a\in G$. La función $\tau_a:G \to G$ dada por $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$, es una biyección.

Demostración.

Sea $G$ un grupo, $a\in G$. Consideremos la función $\tau_a:G\to G$ con $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$.

P.D. $\tau_a$ es biyectiva.
Consideremos la función $\tau_{a^{-1}}:G\to G$ con $\tau_{a^{-1}} = a^{-1} g$, para toda $g\in G.$ Dado $g\in G$.
\begin{align*}
\tau_{a^{-1}}\circ\tau_a(g) & = \tau_{a^{-1}}(\tau_a(g)) = \tau_{a^{-1}}(ag) = a^{-1}(ag) = g\\
\tau_a\circ\tau_{a^{-1}}(g) &= \tau_a(\tau_{a^{-1}}(g)) = \tau_a(a^{-1}g) = a(a^{-1}g) = g.
\end{align*}

Donde todas las igualdades son por definición de $\tau_a$ y $\tau_{a^{-1}}$ ó por propiedades de grupo.

Así, $\tau_{a^{-1}}$ es la inversa de $\tau_a$ y entonces $\tau_a$ es biyectiva.

$\blacksquare$

Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
La demostración queda como ejercicio. Sucederá que si $a\neq e$, entonces $\tau_a$ seguirá siendo una función biyectiva, pero no un homomorfismo.

El título de la entrada

El Teorema de Cayley es quien nos dirá exactamente lo que queremos formalizar esta entrada.

Teorema. Teorema de Cayley.
Todo grupo de $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$. En particular, todo grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo. De acuerdo al lema anterior, para cada $a\in G$ se tiene que $\tau_a$ es una función biyectiva de $G$ en $G$, es decir $\tau_a\in S_G$ Definimos entonces
\begin{align*}
\phi: G \to S_G \text{ con } \phi(a) = \tau_a \; \forall a\in G.
\end{align*}

Veamos que $\phi$ es un homomorfismo.
Tomemos $a,b\in G$.
P.D. $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$.

Dado que en todas las funciones involucradas tanto el dominio como el condominio es $G$, basta probar que $\phi(ab) $ y $\phi(a)\circ\phi(b)$ tienen la misma regla de correspondencia. Sea entonces $g\in G,$ apliquemos la función $\phi(ab)$ a $g$.
\begin{align*}
\phi(ab)(g) &= \tau_{ab}(g)\\
&= (ab)g \\
&= a(bg) \\
&= \tau_a(\tau_b(g)) \\
& = \tau_a\circ\tau_b(g) = \phi(a)\circ\phi(b)(g).
\end{align*}

Por lo tanto $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$, probando así que $\phi$ es un homomorfismo.

Veamos ahora que $\phi$ es un monomorfismo. Sea $a\in \text{Núc }\varphi$,
\begin{align*}
a\in \text{Núc }\varphi \Rightarrow\; & \phi(a) = \text{id}_G & \text{Definición de Núc}\\
\Rightarrow\; & \phi(a) (g) = \text{id}_G(g) &\forall g\in G \\
\Rightarrow\; & \tau_a(g) = g & \forall g\in G\\
\Rightarrow\; &ag = g & \forall g\in G \\
\Rightarrow\; &a = e
\end{align*}

donde la última implicación se puede justificar considerando el caso particular $g = e$. De esta manera $\phi$ es un monomorfismo.

Así, al restringir el codominio de $\phi $ a la imagen $\text{Im }\phi$ obtenemos un isomorfismo.
Por lo tanto $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G$. Con esto tenemos la primero parte del teorema demostrada.

En particular, si $|G| = n $ tenemos que $S_G \cong S_n$ y como $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G\cong S_n$, entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

$\blacksquare$

Ejemplo:

Tomemos $V = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$ el grupo de Klein, con la suma entrada a entrada módulo 2.
Sean $a_1 = (0,0), a_2 = (1,0), a_3 = (0,1), a_4 = (1,1)$. Tenemos la tabla de suma de la siguiente manera:

$+$$a_1$$a_2$$a_3$$a_4$
$a_1$$a_1$$a_2$$a_3$$a_4$
$a_2$$a_2$$a_1$$a_4$$a_3$
$a_3$$a_3$$a_4$$a_1$$a_2$
$a_4$$a_4$$a_3$$a_2$$a_1$

Entonces $\tau_{a_2}$ intercambia $a_1$ y $a_2$ e intercambia $a_3$ y $a_4$ de lugar. Viendo a $a_2$ como una permutación, correspodería a $\sigma \in S_4$ con $\sigma = (1\;2)(3\;4).$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demostrar la observación:
    Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
  2. Para los siguientes grupos $G$ y $g\in G$ determina cómo es la función $\tau_g:$
    • $G$ es cíclico de orden 6, $g$ un generador de $G$.
    • $G = D_{2(4)}$, $g = b$ la reflexión sobre el eje $x$.
    • $G = Q$, $g = -j$.
  3. En los diferentes inicios del ejercicio anterior, describe cómo se puede visualizar al elemento $g\in G$ como una permutación en $S_n$ con $n = |G|.$

Más adelante…

Esta entrada es la primera de la unidad 4 porque a partir de aquí vamos a abstraer aún más lo que se trabajó en el Teorema de Cayley. Aquí vimos que un grupo se puede ver como un subgrupo de permutaciones porque podemos multiplicar $g\in G$ con todos los elementos de $G$. Pero a lo largo de este curso vimos varias operaciones que están definidas a partir del producto de $G$, por ejemplo, si tenemos $aN \in G/N$ con $N$ normal en $G$, es perfectamente válido operar $gaN$. Siguiendo la lógica del Teorema de Cayley, ¿qué pasa si definimos una nueva función multiplicando las clases laterales por los elementos del grupo? ¿Será posible definir algún tipo de operación entre los elementos de un grupo y un conjunto ya no necesariamente de clases laterales? Éstas y más preguntas serán respondidas en las siguientes entradas.

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Álgebra Moderna I: Primer Teorema de Isomorfía y Diagrama de Retícula

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Introducción

La estrella de esta entrada es el primero de los cuatro Teoremas de Isomorfía que veremos. Como el nombre indica, estos teoremas relacionan dos conjuntos a través de una isomorfía, pero no sólo eso, además en los conjuntos que se relacionan aparece un cociente de grupos. El primer teorema de isomorfía nos permite entender cómo están relacionados el dominio, el núcleo y la imagen de un homomorfismo de grupos, de forma similar al teorema de la dimensión en Álgebra lineal, que establece la relación entre el dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.

El Primer Teorema de Isomorfía se usa en la prueba del resto de los teoremas de isomorfía, así que al final de esta unidad te quedará muy claro cómo se usa y para qué sirve. Normalmente se usa definiendo un homomorfismo clave para que al aplicarlo en el grupo obtengamos los cocientes necesarios.

Si quieres reforzar algunos temas que usaremos mucho a lo largo de estas entradas, puedes revisar los conceptos de Subgrupo Normal, Cociente de grupos, Isomorfísmos y Núcleo e Imagen de un Homomorfismo. Será de mucha ayuda que los tengas presentes.

Por último, junto con los Teoremas de Isomorfía usaremos una ayuda visual llamada Diagrama de Retícula, es importante para describir las relaciones entre los distintos grupos, subgrupos y subgrupos normales que estaremos manejando.

El Teorema que vamos a tratar

Teorema. (Primer Teorema de Isomorfía)
Sean $G,\bar{G}$ grupos, $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo. Entonces
\begin{align*}
G/\text{Núc }\varphi \cong \text{Im }\varphi.
\end{align*}

Demostración.
Sea $G,\bar{G}$ grupos, $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo, $N =\text{Núc }\varphi$.

En la entrada anterior probamos que $N \unlhd G$, de modo que $G/\text{Núc }\varphi$ tiene estructura de grupo.

Para probar que $G/\text{Núc }\varphi$ y $\text{Im }\varphi$ son isomorfos, tenemos que dar un isomorfismo entre ellos. Primero construiremos una función que vaya de $G/N$ a $\text{Im }\varphi$. Sea
\begin{align*}
\psi : G/N &\to \text{Im }\varphi \\
a N &\mapsto \varphi(a) \quad \forall a \in G.
\end{align*}

Definiremos nuestra función $\psi$ como aquella que manda una clase $aN$ de $G/N$ a $\varphi(a)$, pero no queda claro si al tomar otro representante de la clase, digamos $b$, sucederá que $\varphi(a) = \varphi(b)$. Esto tenemos que probarlo.

Tomemos $a,b\in G$ tales que $aN = bN$. Entonces,

\begin{align*}
aN = bN &\Leftrightarrow a^{-1}b\in N \\
&\Leftrightarrow \varphi(a^{-1}b) = e_{\bar{G}}\\
& \Leftrightarrow \varphi(a^{-1}) \varphi(b) = e_{\bar{G}}\\
& \Leftrightarrow (\varphi(a))^{-1}\varphi(b) = e_{\bar{G}} &\text{Propiedades de homomorfismos}\\
& \Leftrightarrow \varphi(b) = \varphi(a).
\end{align*}
En realidad todas las equivalencias anteriores son producto de las propuedades de homomorfismos que ya vimos. Las implicaciones de ida ($\Rightarrow$) nos dicen que $\psi$ está bien definida, como queríamos probar. Pero las implicaciones de regreso ($\Leftarrow$) nos dicen algo más: nuestra $\psi$ es inyectiva.

Por lo tanto $\psi$ está bien definida y es inyectiva.

Ahora nos falta ver que en efecto $\psi$ es un homomorfismo y es suprayectiva.

Para ver que es un homomorfismo consideremos $a,b\in G$, entonces:
\begin{align*}
\psi(aNbN) = \psi(abN) = \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) = \psi(aN)\psi(bN).
\end{align*}
Lo anterior sale de la definición de $\psi$ y de que $\varphi$ es un homomorfismo. Así, $\psi$ es un homomorfismo.

Finalmente, si $c \in \text{Im }\varphi$, $c = \varphi(a)$ con $a\in G$. Entonces, por definición:
\begin{align*}
c = \varphi(a) = \psi(aN) \in \text{Im }\psi.
\end{align*}

Así, $\psi$ es suprayectiva.

Por lo tanto tenemos que $\psi$ es un homomorfismo inyectivo y suprayectivo, es decir, $\psi$ es un isomorfismo. En consecuencia, $G/N \cong \text{Im }\varphi$.

$\blacksquare$

Diagrama de retícula

A partir de las siguientes entradas comenzaremos a usar algo llamado diagrama de retícula. Este diagrama es una manera de representar la relación de ser subgrupo. Se escriben todos o algunos subgrupos de un grupo $G$, y se unen dos subgrupos $H$ y $K$ con una arista si $H$ es subgrupo de $K$, de modo que $H$ quede más abajo que $K$. De esta manera, si se consideran todos los sugrupos de $G$ el grupo $G$ aparece hasta arriba y el subrgupo $\{e\}$ hasta abajo del diagrama.

Veamos un ejemplo: Sea $G$ un grupo y $H,K$ subgrupos de $G$. Si consideramos $HK$, sabemos que es subgrupo de $G$, pero además, sabemos que $H\leq HK$ y $K\leq HK$. Por último, consideremos $H\cap K$, que es a su vez un subgrupo de $H$ y $K$.

Todo esto se puede resumir en el siguiente diagrama de retícula:

Diagrama de Retícula.

¿Por qué no unimos $H$ con $G$? Pues porque este diagrama es transitivo, es decir como $H \leq HK \leq G$, está implícito que $H \leq G$. Tampoco unimos un grupo consigo mismo.

Además, si un subgrupo es un subgrupo normal, anotaremos el símbolo $\unlhd$.

Observemos que si $H\unlhd G$, entonces todo elemento en $H$, al ser conjugado con elementos de $G$, sigue siendo un elemento de $H$. En particular, si conjugamos a un elemento de $H$ con un elemento de $HK$ seguimos obteniendo un elemento de $H$. Esto nos dice que $H$ también es normal en $HK$. En el diagrama, la propiedad de ser normal se escribe de la siguiente manera:

Diagrama de Retícula donde se muestra una relación de Subgrupo Normal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo cíclico con $G = \left<a\right>$. Considera el homomorfosmo $\varphi: \z \to G$ dado por $\varphi(m) = a^m$ para toda $m\in \z$.
    • Si $a$ es de orden finito con $o(a) = n$ ¿qué concluyes al aplicar el 1er Teorema de Isomorfía? ¿Qué relación existe entre dos grupos cíclicos finitos de orden $n$?
    • Si $a$ es de orden infinito ¿qué concluyes al aplicar en 1er Teorema de Isomorfía? ¿Qué relación existe entre dos grupos cíclicos infinitos?

Opcional

Puedes revisar los siguientes videos que hablan de homomorfismos:

Más adelante…

Uno de los principales usos del Primer Teorema de Isomorfía es definiendo una $\varphi$ ideal para que el núcleo y la imágen de $\varphi$ sean justo lo que queremos probar. Esto lo veremos en la siguiente entrada, donde lo usamos para probar el Segundo Teorema de Isomorfía.

El diagrama de retícula se volverá fundamental sobretodo cuando veamos el Cuarto Teorema de Isomorfía, porque veremos cómo relacionar muchos subgrupos con grupos cocientes correspondientes.

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Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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Introducción

Estamos trabajando con homomorfismos, que son funciones entre dos grupos que respetan sus operaciones. Entre las propiedades que vimos, está que el neutro del dominio siempre va al neutro del codominio. Es decir, al menos hay un elemento que, bajo el homomorfismo, cae en el neutro del codominio.

Para esta entrada consideraremos a la colección de todos los elementos del dominio que van al neutro del codominio. A este subconjunto, lo llamamos el núcleo de $\varphi$. Por otro lado, podemos tomar todos los elementos del dominio, aplicarles $\varphi$ y tomar el subconjunto que resulta en el codominio, a esto le llamamos la imagen de $\varphi$. Estos dos subconjuntos van a ser importantes en el estudio de los homomorfismos.

La imagen muestra que para $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo, el núcleo $\text{Núc }\varphi \subseteq G$ y la imagen $\text{Im }\varphi \subseteq \bar{G}$.

El núcleo y la imagen de un homomorfismo

Comencemos definiendo formalmente los subconjuntos.

Definición. Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi: G \to \bar{G}$ un homomorfismo. Definimos al núcleo de $\varphi$ como
\begin{align*}
\text{Núc } \varphi = \{g\in G | \varphi(g) = e_{\bar{G}}\}.
\end{align*}

Es decir, es el conjunto de todos los elementos de $G$ que, bajo $\varphi$ van a dar al neutro de $\bar{G}$.

Notación. Es común, por el nombre en alemán, denotar al $\text{Núc } \varphi$ como $\text{Ker }\varphi$, es llamado el Kernel de $\varphi$.

Definición. La imagen de $\varphi$ es
\begin{align*}
\text{Im } \varphi = \{\varphi(g) | g \in G\}.
\end{align*}

Notemos que $\text{Núc }\varphi \subseteq G$ y $\text{Im }\varphi \subseteq \bar{G}$.

Ejemplos.

  1. Tomemos el homomorfismo $\varphi: S_n \to \{+1,-1\}$ con $\varphi(\alpha) = sgn\, \alpha$ para toda $\alpha\in S_n$. Veamos quién es el núcleo de $\varphi$:
    \begin{align*}
    \text{Núc }\varphi &= \{\alpha\in S_n | \varphi(\alpha) = +1\} \\
    &= \{\alpha\in S_n | sgn\in\alpha = +1\} = A_n.
    \end{align*}
    Si tomamos el caso no trivial, con $n>1$,
    \begin{align*}
    \text{Im }\varphi = \{+1,-1\}.
    \end{align*}
    Ya que $\varphi((1)) = 1$ y $\varphi((1\,2)) = -1$.
    $\newline$
  2. Sea $n \in \z^+$. Consideremos el homomorfismo $\varphi: \z \to \mathbb{C}^*$ con
    \begin{align*}
    \varphi(m) = \left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m \quad \forall m\in \z.
    \end{align*}
    Buscamos describir su núcleo y su imagen.
    \begin{align*}
    \text{Núc }\varphi &= \{m\in \z| \varphi(m) =1\}\\
    &= \{m\in\z | \left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m = 1\} = n\z.
    \end{align*}
    La última igualdad se da porque ya sabemos que $e^{2\pi i} = 1$, más aún $e^{\theta i} = 1$ si y sólo si $\theta$ es un múltiplo de $2\pi$, entonces $ \left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m = 1$ si y sólo si $m$ es un múltiplo de $n$.

    Ahora la imagen:
    \begin{align*}
    \text{Im }\varphi &= \{\varphi(m)| m \in \z\} \\
    &= \{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m | m\in \z\} = \left< e^{\frac{2\pi i}{n}}\right>.
    \end{align*}

El núcleo y la imagen son subgrupos

Ahora, probaremos que el núcleo y la imagen de un homomorfismo no son sólo subconjuntos del dominio y codominio respectivamente, si no que son subgrupos.

Teorema. Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi:G\to\bar{G}$ un homomorfismo.

  1. $\text{Núc }\varphi \unlhd G$.
  2. $\text{Im }\varphi \leq \bar{G}$.
  3. $\varphi$ es un monomorfismo si y sólo si $\text{Núc }\varphi = \{e_G\}$.

Demostración.
Sean $G,\bar{G}$ grupos, $\varphi: G \to \bar{G}$ un homomorfismo.

  1. P.D. $\text{Núc }\varphi \unlhd G$.
    Primero probaremos que $\text{Núc }\varphi \leq G$.

    Como $\varphi$ es un homomorfismo, $\varphi(e_G) = e_{\bar{G}}$. Entonces $e_G \in \text{Núc }\varphi$.

    Si $a,b\in\text{Núc }\varphi$.
    \begin{align*}
    \varphi(ab^{-1}) &= \varphi(a) \varphi(b^{-1}) &\varphi \text{ es un homomorfismo}\\
    &=\varphi(a)(\varphi(b))^{-1} & \text{Proposición de homomorfismo} \\
    &= e_{\bar{G}}e_{\bar{G}}^{-1} = e_{\bar{G}} & a,b \in \text{Núc }\varphi
    \end{align*}
    Entonces $ab^{-1} \in \text{Núc }\varphi$. Por lo tanto $\text{Núc }\varphi \leq G$.

    Además, si $a\in G$ y $n\in\text{Núc }\varphi$:
    \begin{align*}
    \varphi(ana^{-1}) &= \varphi(a)\varphi(n)\varphi(a^{-1}) &\varphi\text{ es un homomorfismo}\\
    &= \varphi(a)\varphi(n)(\varphi(a))^{-1} &\text{Proposición}\\
    & = \varphi(a) e_{\bar{G}}(\varphi(a))^{-1} &n \in \text{Núc }\varphi \\
    &= \varphi(a) (\varphi(a))^{-1} = e_{\bar{G}}
    \end{align*}
    Así, $ana^{-1}\in \text{Núc }\varphi$. Esto nos dice que el núcleo de $\varphi$ es cerrado bajo conjugación. Por lo tanto $\text{Núc } \varphi \unlhd G$.
    $\newline$
  2. P.D. $\text{Im }\varphi \leq \bar{G}$.
    Primero veamos que el neutro de $\bar{G}$ está en $\text{Im }\varphi$. Esto pasa porque
    $$e_{\bar{G}} = \varphi(e_{G}) \in \text{Im }\varphi.$$

    Ahora, si $c,d\in \text{Im }\varphi$, entonces $c = \varphi(a), d = \varphi(b)$ para algunos $a,b\in G$.
    \begin{align*}
    ad^{-1} = \varphi(a)(\varphi(b))^{-1} &= \varphi(a)\varphi(b^{–1}) &\text{Proposición}\\
    &= \varphi(ab^{-1}) \in \text{Im }\varphi &\varphi\text{ es un homomorfismo}
    \end{align*}
    Por lo tanto $\text{Im }\varphi \leq \bar{G}$.
    $\newline$
  3. P.D. $\varphi$ es un monomorfismo si y sólo si $\text{Núc }\varphi = \{e_G\}$.

    $|\Rightarrow]$ Supongamos que $\varphi$ es un monomorfismo (un homomorfismo inyectivo).
    Como $\text{Núc }\varphi \leq G$, entonces $\{e_G\}\subseteq \text{Núc }\varphi$.
    Ahora, si $g\in \text{Núc }\varphi$, por la proposición anterior,
    \begin{align*}
    \varphi(g) = e_{\bar{G}} = \varphi(e_G).
    \end{align*}
    Y como $\varphi$ es inyectiva, $g = e_G$. Por lo tanto, $\text{Núc }\varphi = \{e_G\}$.

    $[\Leftarrow|$ Supongamos que $\text{Núc }\varphi =\{e_G\} $.
    Sean $a,b\in G$ tales que $\varphi(a) = \varphi(b)$. Entonces
    \begin{align*}
    e_{\bar{G}} &= \varphi(b)(\varphi(a))^{-1} \\
    &= \varphi(b)\varphi(a^{-1}) &\text{Proposición}\\
    &= \varphi(ba^{-1}) &\varphi\text{ es un homomorfismo}
    \end{align*}
    Entonces $ba^{-1} \in \text{Núc }\varphi = \{e_G\}$, así $ba^{-1} = e_G$, esto implica que $b = a$.
    Por lo tanto $\varphi$ es un monomorfismo.

$\blacksquare$

Observemos que el inciso 3 del teorema nos da una herramienta para determinar si un homomorfismo es inyectivo o no usando el núcleo.

Proyección Canónica

Ahora, tomando un grupo y un subgrupo normal, definiremos un epimorfismo de un grupo al grupo cociente.

Proposición. Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$. La función $\pi_:G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para toda $a\in G$, es un epimorfismo tal que $\text{Núc }\pi = N$.

Esta función se conoce como la proyección canónica.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $N\unlhd G$, $\pi: G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para cualquier $a\in G$.

Veamos que $\pi$ es un homomorfismo
Sean $a,b \in G$, entonces
\begin{align*}
\pi(ab) = abN = (aN)(bN) = \pi(a)\pi(b).
\end{align*}

Ahora veamos que es suprayectivo. Esto es debido a que dado $aN\in G/N$, $$aN = \pi(a).$$

Por lo tanto $\pi$ es un epimorfismo.

Finalmente,
\begin{align*}
\text{Núc }\pi = \{a\in G| \pi(a) = e_{G/N}\} = \{a\in G| aN = N\} = N.
\end{align*}

$\blacksquare$

Ahora veamos un corolario que se desprende directamente de lo que acabamos de ver.

Corolario. Todo subgrupo normal es el núcleo de un homomorfismo. De hecho, es el núcleo de un epimorfismo.

Ejemplos

Para terminar veamos unos ejemplos

Ejemplo 1. Tomemos $\varphi:(\r,+) \to (\mathbb{C}^*, \cdot)$ con $\varphi(x) = e^{xi}$ para toda $x\in\r$. Toma 2 min para pensar porqué es un homomorfismo.

Veamos el núcleo y la imágen de $\varphi$:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{x\in\r | \varphi(x) = 1\} \\
&= \{x\in\r | e^{xi} = 1\} \\
&= \{2\pi n | n \in \z\} = \left< 2\pi\right>.\\
\text{Im }\varphi &= \{\varphi(x) | x \in \r\} \\
& =\{e^{xi} | x\in\r\} \\
&= \{z\in \mathbb{C} | |z| = 1\} = \s^1.
\end{align*}
¿Cómo es $\r/\left<2\pi\right>$?
Tomemos $a,b\in \r$.
\begin{align*}
a + \left< 2\pi\right> = b + \left< 2\pi\right> &\Leftrightarrow a-b \in \left< 2\pi\right> \\
&\Leftrightarrow a-b= 2\pi n,\, n\in \z.
\end{align*}
Si lo anterior nos dice que dos números $a,b$ están en la misma clase si y sólo si difieren por un múltiplo de $2\pi$. Si lo pensamos en la recta numérica, nos dice que el $0$ y $2\pi$ quedan indentificados en la misma clase. Intuitivamente podríamos pensar que estamos doblando la recta numérica para obtener una circunferencia donde $0$ y $2\pi$ están en el mismo punto.

Así, $\r/\left< 2\pi\right> = \{a+\left< 2\pi\right> | a\in [0,2\pi)\}$.

Representación gráfica del ejemplo 1.

Ejemplo 2. Consideremos $\varphi: (\r^*,\cdot)\to (\r^*,\cdot)$ con $\varphi(x) = |x|$ para toda $x \in \r^*$ (recuerda que $\r^*=\r\setminus \{0\}$).
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{x\in\r^* | \varphi(x) = 1\} \\
&= \{x\in\r^*| |x| = 1\} = \{+1,-1\}.\\
\text{Im }\varphi &= \{\varphi(x) | x \in \r^*\} \\
& =\{|x| | x\in\r^*\} = \r^+. \\
\end{align*}
¿Cómo es $\r^*/\{+1,-1\}$?
Tomemos $a,b\in \r^*$.
\begin{align*}
a\{+1,-1\}= b\{+1,-1\} &\Leftrightarrow a^{-1}b \in \{+1,-1\} \\
&\Leftrightarrow a^{–1}b=\pm 1 \Leftrightarrow b = \pm a.
\end{align*}
Entonces, dos clases laterales van a ser iguales si y sólo si sus representantes difieren a lo más sólo por el signo.

Lo que hicimos fue tomar a los reales sin el cero y estamos identificando a cada número real $a$ con su inverso aditivo. Entonces la imagen de $\varphi$ en realidad es como si dobláramos la recta por el 0 e identificamos a los reales negativos con su correspondiente positivo.

Así, $\r^*/ \{+1,-1\} = \{a \{+1,-1\} | a\in \r^+\}$.

Representación gráfica del ejemplo 2.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $\varphi:GL(2,\r) \to \r^*$ el homomorfismo tal que $\varphi(A) = \text{det }A$. Encuentra el núcleo y la imagen de $\varphi$.
  2. Sean $G,\bar{G}$ grupos y $\varphi: G\to\bar{G}$ un homomorfismo. ¿Es $ \text{Im }\varphi$ normal en $\bar{G}$? Prueba o da un contraejemplo.
  3. Sean $G,\bar{G}$ grupos y $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo. Sean también, $H\leq G, \bar{H}\leq \bar{G}$.
    • ¿Qué puedes decir de $\varphi[H] = \{\varphi(h) | h \in H\}$?¿Y si $H\unlhd G$?
    • ¿Qué puedes decir de $\varphi^{-1}[\bar{H}] = \{g\in G| \varphi(g) \in \bar{H}\}$? ¿Y si $\bar{H}\unlhd\bar{G}$?
  4. En cada inciso calcula $\text{Núc } \varphi, \text{Im }\varphi, G/\text{Núc}$ y analiza cómo se relacionan:
    • $G$ grupo, $\varphi: G \to G$, con $\varphi =\text{id}_G $.
    • $G$ grupo, $\varphi: G \to G$, con $\varphi(g) = e_G$ para toda $g\in G$.
    • $\varphi: (\mathbb{C}^*, \cdot) \to (\r^*, \cdot)$, con $\varphi(z) = |z|$ para toda $z\in\mathbb{C}^*$.
    • $\varphi: \z \times \z \to \z\times\z$, con $\varphi(x,y) = (x,0)$ para toda $(x,y)\in \z\times\z$.

Más adelante…

Ahora que ya tenemos muy claras las definiciones de núcleo e imagen de un homomorfismo, comenzaremos a ver teoremas que relacionan lo que vimos aquí con isomorfismos y grupo cociente.

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