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Teoría de los Conjuntos I: Conjuntos inductivos y axioma del infinito

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta entrada, hablaremos acerca de los conjuntos inductivos, así como de un nuevo axioma que nos permitirá establecer la existencia de conjuntos con una cantidad infinita de elementos, este axioma será pieza importante pues los axiomas que tenemos hasta ahora no nos permiten probar que la colección de números naturales es un conjunto.

Concepto

Comenzaremos definiendo a un conjunto inductivo.

Definición: $A$ es un conjunto inductivo si:

  1. $0\in A$,
  2. Si $x\in A$, entonces $s(x)\in A$.

Si lo pensamos, los números naturales conforman a un conjunto inductivo. En la entrada anterior probamos un teorema que nos asegura que si $x$ es un número natural, entonces $s(x)$ es un número natural. Sin embargo, no hemos demostrado que la colección de todos los números naturales sea un conjunto pues hasta ahora no hay nada que nos permita probarlo.

A continuación haremos mención de un nuevo axioma: el axioma del infinito. Tal como lo dice su nombre este axioma nos asegurará la existencia de un conjunto infinito, al que hemos definido como conjunto inductivo.

Axioma: Existe un conjunto inductivo.

Los naturales y conjuntos inductivos

Ahora que hemos definido a los conjuntos inductivos y aseguramos por el axioma de existencia que existe al menos uno, veremos que si $N=\set{x:x\ \text{es un natural}}$ y $A$ es cualquiera conjunto inductivo, entonces $N\subseteq A$.

Teorema: Sea $A$ un conjunto inductivo. Si $x$ es un natural, entonces $x\in A$.

Demostración:

Sea $A$ un conjunto inductivo. Supongamos en busca de una contradicción que $N\not\subseteq A$, es decir, existe $x\in N$ tal que $x\notin A$.

Como $x\in N$, entonces $x$ es un natural y así, $s(x)$ es un natural. Luego, $x\in s(x)\setminus A$ donde $s(x)\setminus A$ es un subconjunto no vacío de $s(x)$, por lo que tiene elemento mínimo.

Sea $b=\min(s(x)\setminus A)$, por definición de elemento mínimo se tiene que $b\in s(x)\setminus A$ y así $b\notin A$, por lo que $b\not=0$ pues al ser $A$ un conjunto inductivo sabemos que $0\in A$.

Luego, como $b$ es no vacío y $b\in s(x)\setminus A$, entonces $b$ tiene elemento máximo. Sea $z=\max(b)$, se cumple que $z\in b$ y como $b\in s(x)$, por la transitividad de $\in$ en $s(x)$, $z\in s(x)$. Además $z\in A$ pues de lo contrario, $z\in s(x)\setminus A$, lo que contradice el hecho de que $b=\min(s(x)\setminus A)$.

Así, como $z\in A$, por ser $A$ conjunto inductivo se satisface que $s(z)\in A$.

Afirmación: $s(z)=b$

Demostración de la afirmación:

Veamos primero que $s(z)\subseteq b$. Sea $y\in s(z)=z\cup \set{z}$, entonces $y\in z$ o $y=z$.

Caso 1: Si $y\in z$, como $z\in b$ concluimos que $y\in b$ por transitividad de $\in$ en $b$.

Caso 2: Si $y=z$, entonces $y\in b$.

Por lo tanto, $s(z)\subseteq b$.

Ahora veamos que $b\subseteq s(z)$.

Si $y\in b$, dado que $z\in b$ y los elementos de $b$ son $\in$-comparables, entonces $y\in z$ o $z\in y$ o $y=z$.

El caso $z\in y$ no puede ocurrir pues $z=\max(b)$. Así, $y\in z$ o $y=z$, esto es, $y\in z\cup\set{z}=s(z)$. Por lo tanto, $b\subseteq s(z)$.

Por lo tanto, $b=s(z)$ y así $b\in A$ pues $s(z)\in A$ lo cual no puede ocurrir pues $b\notin A$.

Dado que la contradicción vino de suponer que $N\not\subseteq A$, podemos inferir que para cualquier conjunto inductivo $A$, se tiene que $N\subseteq A$.

$\square$

El conjunto de los naturales

Con el teorema anterior y el axioma del infinito podemos demostrar que la colección $N$ es un conjunto.

Corolario: $N$ es un conjunto.

Demostración:

Por el teorema anterior sabemos que si $x$ es un natural, entonces $x\in A$ para cualquier conjunto inductivo $A$. Entonces, si $A$ es un conjunto inductivo se tiene

$N=\set{x:x\ \text{es natural}}=\set{x\in A: x\ \text{es natural}}$.

Así, por el axioma de comprensión $N$ es un conjunto.

$\square$

A este conjunto le llamaremos conjunto de los naturales y lo denotaremos por $\mathbb{N}$.

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios te permitirán reforzar el contenido que hemos visto hasta este momento acerca de números naturales.

  • Demuestra que si $n\in \mathbb{N}$, entonces no existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $n<k<s(n)$. (Esto prueba que entres dos naturales no hay ningún otro natural)
  • Escribe un conjunto inductivo distinto a los naturales.

Más adelante

En la siguiente sección definiremos al principio de inducción y al principio de buen orden. Estos principios nos ayudarán a demostrar resultados que cumple el conjunto de los naturales.

Enlaces

Los siguientes enlaces te ayudarán a reforzar en contenido acerca de los naturales y tener un acercamiento con el principio de inducción.