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Variable Compleja I: Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C},d)$

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En la entrada anterior vimos que $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana, inducida por el módulo de un número complejo, forman un espacio métrico.

Al trabajar con espacios métricos, las sucesiones resultan una herramienta fundamental en el estudio del concepto de las aproximaciones. De manera particular en esta entrada abordaremos el concepto de sucesión en el sentido complejo y estudiaremos propiedades de las mismas pues veremos que estas sucesiones están estrechamente ligadas con la topología de $\mathbb{C}$. Además en su momento usaremos los resultados de esta entrada para el estudio de series de números complejos, las cuales resultarán fundamentales en el estudio de la teoría de funciones.

Sucesiones de números complejos

Definición 8.1. (Sucesión.)
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Una sucesión de puntos en $X$ es una función $f: \mathbb{N}^+ \rightarrow X$ tal que para cada $n\in\mathbb{N}^+$ asigna de manera única un elemento de $X$. Si $f(n)=x_n\in X$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces denotamos a la sucesión como el conjunto $\left\{x_n\right\}_{n\geq1}$ o simplemente $\left\{x_n\right\}$.

Observación 8.1.
En este punto es conveniente hacer énfasis en las sucesiones de $\mathbb{C}$ pues más adalente probaremos algunos resultados del espacio métrico $(\mathbb{C},d)$. Sin embargo las definiciones que daremos a continuación son válidas en general para un espacio métrico $(X,d)$. Además será de vital importancia recordar nuestros resultados para sucesiones reales ya que nos serán de utilidad más adelante.

Definición 8.2. (Sucesión compleja convergente.)
Una sucesión de números complejos $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ converge a un número complejo $z\in\mathbb{C}$, llamado el límite de $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$, si para toda $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que:
\begin{equation*}
|\,z_n \,- \, z\,|<\varepsilon, \quad \forall n \geq N,
\end{equation*} lo cual denotamos como $z_n \rightarrow z$ ó $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$. De existir dicho límite, este es único. (¿Por qué?)

Notemos que geométricamente la desigualdad $|\,z_n \,- \, z\,|< \varepsilon$ nos dice que para $n\geq N$ todos los términos de la sucesión caen en la $\varepsilon$-vecindad de $z$, es decir $B(z,\varepsilon)$, figura 47.

Figura 47: Convergencia de una sucesión de números complejos.

Ejemplo 8.1.
Veamos que la sucesión de números complejos $\left\{\dfrac{i^{n+1}}{n}\right\}_{n\geq 1}$ converge a cero.
Solución.
Considerando la fórmula de De Moivre es fácil notar que: \begin{equation*}
|\,i^{n+1} \,- \, 0\,| = |\,i^{n+1}\,| = |\,i\,|^{n+1} = 1. \end{equation*} Por otra parte, por la propiedad arquimediana se sigue que para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} \left|\,\frac{i^{n+1}}{n} \,- \, 0\,\right| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{i^{n+1}}{n} = 0$.

Definición 8.3. (Sucesión compleja divergente.)
Una sucesión de números complejos $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ diverge, lo cual denotaremos como $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = \infty$, si se cumple que $\lim\limits_{n \to \infty} |z_n| = \infty$, es decir si para toda $R>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n\,| \geq R, \quad \forall n \geq N. \end{equation*}

Observación 8.2.
Es común considerar a la «divergencia» como la no existencia del límite dado en la definición 8.1, es decir una sucesión se considera divergente si no es convergente. Sin embargo en el caso complejo es conveniente considerar a la divergencia como la tendencia a infinito. En este sentido tenemos que los conceptos de «no convergencia» y «divergencia» no son equivalentes. Lo cual veremos más adelante.

Definición 8.4. (Operaciones entre sucesiones.)
Sean $\{z_n\}_{n\geq1}$ y $\{w_n\}_{n\geq1}$ dos sucesiones de $\mathbb{C}$. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para sucesiones se definen respectivamente como:

  1. $\{z_n\}_{n\geq1} \pm \{w_n\}_{n\geq1} = \{z_n \pm w_n\}_{n\geq1}$.
  2. $\{z_n\}_{n\geq1} \cdot \{w_n\}_{n\geq1} = \{z_n w_n\}_{n\geq1}$.
  3. Si $w_n \neq 0 $ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\dfrac{\{z_n\}_{n\geq1}}{\{w_n\}_{n\geq1}} = \left\{\dfrac{z_n}{w_n}\right\}_{n\geq1}$.

Considerando que una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es un subconjunto de $\mathbb{C}$, entonces posible pensar en sucesiones acotadas.

Definición 8.5. (Sucesión acotada.)
Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ se dice que es acotada si existe un número $M>0$ tal que $|\,z_n\,| \leq M$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$.

Ejemplo 8.2.
La sucesión de números complejos $\{(-1)^n\}_{n \geq 1}$ es acotada, pero no es convergente.

De acuerdo con el ejemplo anterior es fácil concluir que una sucesión acotada no tendría porqué ser convergente. Sin embargo el recíproco sí es cierto, es decir:

Proposición 8.1.
Toda sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ convergente es acotada.

Demostración.
Supongamos que la sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$. De acuerdo con la definición 8.1 tenemos que para $\varepsilon=1$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_n \,- \,z\,| < 1, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} De acuerdo con la desigualdad del triángulo se tiene que para toda $n\geq N$ se cumple que $|\,z_n\,| < |\,z\,| + 1$. Sea $M = \text{máx}\left\{ 1 + |\,z\,|,|\,z_1\,|,|\,z_2\,|, \ldots, |\,z_N\,|\right\}$, entonces para toda $n\geq 1$ se cumple que $|\,z_n\,|\leq M$.

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Utilizando la definición 8.2 es fácil probar las siguientes propiedades para sucesiones complejas.

Proposición 8.2.
Sean $\{z_n\}_{n\geq1}$ y $\{w_n\}_{n\geq1}$ sucesiones de números complejos y supongamos que ambas son convergentes en $\mathbb{C}$, con $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$ y $\lim\limits_{n \to \infty} w_n = w$. Entonces se cumple que:

  1. $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n \pm w_n) = z \pm w$.
  2. $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n w_n) = zw$.
  3. Si además $w_n\neq 0$ para toda $n \geq 1$ y $w\neq 0$, entonces $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{ w_n}\right) = \dfrac{1}{w}$.
  4. $\lim\limits_{n \to \infty} \overline{z_n} = \overline{z}$.
  5. Si $\{z_n\}_{n\geq1}$ diverge y $\{w_n\}_{n\geq1}$ está separada de cero, es decir, si existen $r>0$ y $N\in\mathbb{N}^+$ tales que para $n\geq N$ se cumple que $|w_n|\geq r$, entonces $\{z_n w_n\}_{n\geq1}$ diverge.

Demostración.

  1. Dadas las hipótesis por la definición 8.1 tenemos que para cualquier $\varepsilon>0$ existen $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ tales que: \begin{equation*}
    |\,z_n \,-\, z\,| < \varepsilon/2, \quad \forall n \geq N_1,\end{equation*}\begin{equation*}|\,w_n \,-\, w\,| < \varepsilon/2, \quad \forall n \geq N_2. \end{equation*} Notemos que: \begin{align*}|\, (z_n \pm w_n) \,-\, (z \pm w)\,| & = |\, (z_n \,-\, z) \pm (w_n \,-\, w)\,|\\ & \leq |\,z_n \,-\, z\,| + |\,w_n \,-\, w\,| < \varepsilon, \quad \forall n \geq N, \end{align*} donde $N = \text{máx}\left\{N_1, N_2\right\}$. Por lo tanto $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n \pm w_n) = z \pm w$.
  2. Dadas las hipótesis, tenemos por la proposición 8.1 que ambas sucesiones son acotadas por lo que sin pérdida de generalidad supongamos que existe $M>0$ tal que $|\,z_n\,|\leq M$ para toda $n\geq 1$. Por otra parte, por la definición 8.2 tenemos que para cualquier $\varepsilon>0$ existen $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ tales que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z\,| < \frac{\varepsilon}{2(|\,w\,|+1)}, \quad \forall n \geq N_1,\end{equation*} \begin{equation*}|\,w_n \,-\, w\,| < \frac{\varepsilon}{2M}, \quad \forall n \geq N_2. \end{equation*} Notemos que: \begin{align*}|\, z_n w_n \,-\, z w\,| & = |\, z_n w_n \,-\, z_n w + z_n w \,-\, z w \,|\\ & \leq |\,z_n w_n \,-\, z_n w\,| + |\,z_n w \,-\, z w\,|\\ & = |\,z_n\,|\,|\,w_n \,-\, w\,| + |\,w\,|\,|\,z_n \,-\, z \,|\\ & < M \left(\frac{\varepsilon}{2M}\right) + (|\,w\,|+1) \left(\frac{\varepsilon}{2(|\,w\,|+1)}\right) = \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{align*} Por lo que $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n w_n) = zw$.
  3. Se deja como ejercicio al lector.
  4. Se deja como ejercicio al lector.
  5. Dadas las hipótesis, como $\{w_n\}_{n\geq1}$ está separada de cero, entonces existen $r>0$ y $N_1\in\mathbb{N}^+$ tales que para $n\geq N_1$ se cumple que $|w_n|\geq r$. Por otra parte, como $\{z_n\}_{n\geq1}$ diverge, dado $R>0$ existe $N_2\in\mathbb{N}^+$ tal que si $n\geq N_2$, entonces $|z_n|\geq R/r$. Por lo que, para $N = \text{máx}\left\{N_1, N_2\right\}$ se cumple que: \begin{equation*} |z_n w_n| = |z_n| \, |w_n| \geq \frac{R}{r} r = R, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} entonces $\{z_n w_n\}_{n\geq1}$ diverge.

$\blacksquare$

Observación 8.3.
Considerando la definición 8.2 y la proposición 8.2 es fácil ver que si una sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ converge a un número complejo $z\in\mathbb{C}$ entonces se cumple (¿por qué?): \begin{equation*} z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n \quad \Longleftrightarrow \quad \lim\limits_{n \to \infty} |\,z_n – z\,| = 0. \end{equation*} Y para $c\in\mathbb{C}$ constante: \begin{equation*} \lim\limits_{n\to\infty} (c z_n) = c \lim\limits_{n\to\infty} z_n. \end{equation*}

Sabemos que todo número complejo $z$ es caracterizado por su parte real y por su parte imaginaria, la cuales son números reales, por lo que considerando al $n$-ésimo término de una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ como $z_n = \operatorname{Re}(z_n) + i\operatorname{Im}(z_n)$, es fácil probar el siguiente resultado.

Proposición 8.3.
Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente en $\mathbb{C}$ si y solo si las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$, $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$. En dicho caso tenemos que: \begin{align*} \lim_{n\to \infty} z_n = z \quad & \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \operatorname{Re}(z)\\ & \quad \quad \, \text{y} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \operatorname{Im}(z). \end{align*}

Demostración.
Por la proposición 3.1 sabemos que: \begin{align*} |\,\operatorname{Re}(z_n) \,-\, \operatorname{Re}(z)\,| = |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,|,\\ |\,\operatorname{Im}(z_n) \,-\, \operatorname{Im}(z)\,| = |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|. \end{align*} Mientras que por la observación 3.1 tenemos que: \begin{align*} |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| \leq |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| + |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|,\\ |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| \leq |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| + |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|. \end{align*} De acuerdo con la observación 8.3 tenemos que $z = \lim_{n \to \infty} z_n$ si y solo si $\lim_{n \to \infty} |\,z_n \,-\, z\,| = 0$. Considerando lo anterior es claro que: \begin{align*} \lim_{n \to \infty} |\,z_n \,-\, z\,| = 0 \,\,\, & \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{n \to \infty} |\,\operatorname{Re}(z_n) \,-\, \operatorname{Re}(z)\,| = 0\\ & \quad \quad \text{y} \, \lim\limits_{n \to \infty} |\,\operatorname{Im}(z_n) \,-\, \operatorname{Im}(z)\,| = 0. \end{align*} Es decir las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$, $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$ (¿por qué?), por lo que: \begin{align*} \lim_{n\to \infty} z_n = z \quad & \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \operatorname{Re}(z)\\ & \quad \quad \, \text{y} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \operatorname{Im}(z). \end{align*} De donde se sigue el resultado.

$\blacksquare$

La proposición 8.3 es de gran utilidad al trabajar con sucesiones de números complejos, ya que la convergencia de estas sucesiones se reduce a verificar la convergencia de dos sucesiones de números reales. Más aún, podemos utilizar los resultados conocidos para sucesiones reales en el estudio de las sucesiones complejas, lo cual tiene sentido pues como vimos en la entrada 2 los números reales son un subconjunto de los números complejos, por lo que se deben cumplir las propiedades que ya conocíamos de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 8.3.
Estudiemos la convergencia de las siguientes sucesiones:
a) $\left\{\dfrac{n+2+i2^n n}{2^n(n+2)}\right\}_{n\geq 1}$.
b) $\left\{\dfrac{3+in}{n+i2n}\right\}_{n\geq 1}$.

Solución. Para cada $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos que:

  • a) \begin{equation*}
    z_n = \dfrac{n+2+i2^n n}{2^n(n+2)} = \dfrac{1}{2^n} + i\left(\dfrac{n}{n+2}\right).
    \end{equation*} De donde $\operatorname{Re}(z_n) = \dfrac{1}{2^n}$ e $\operatorname{Im}(z_n) = \dfrac{n}{n+2}$.
    Sabemos que: \begin{align*}
    \lim_{n \to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2^n} = 0.\\
    \lim_{n \to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n}{n+2} = 1.
    \end{align*} Por lo que considerando la proposición 8.3 se sigue que $\operatorname{Re}(z) = 0$ y $\operatorname{Im}(z) = 1$, es decir: \begin{equation*}
    \lim_{n \to \infty} z_n = z = i.
    \end{equation*}
  • b) \begin{equation*}
    w_n = \dfrac{3+in}{n+i2n} = \dfrac{3 + 2n}{5n} + i\left(\dfrac{n \,-\, 6}{5n}\right).
    \end{equation*} De donde $\operatorname{Re}(w_n) = \dfrac{3+2n}{5n}$ e $\operatorname{Im}(w_n) = \dfrac{n \,-\, 6}{5n}$.
    Sabemos que: \begin{align*}
    \lim_{n \to \infty} \operatorname{Re}(w_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{3+2n}{5n} = \frac{2}{5}.\\
    \lim_{n \to \infty} \operatorname{Im}(w_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n \,-\, 6}{5n} = \frac{1}{5}.
    \end{align*} Por lo que considerando la proposición 8.3 se sigue que $\operatorname{Re}(w) = \dfrac{2}{5}$ e $\operatorname{Im}(w) = \dfrac{1}{5}$, es decir: \begin{equation*}
    \lim_{n \to \infty} w_n = w = \frac{2}{5} + i\frac{1}{5}.
    \end{equation*}

Completez del espacio métrico $(\mathbb{C},d)$

Definición 8.6. (Sucesión de Cauchy.)
Una sucesión $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ en $\mathbb{C}$ se dice que es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_m\,|<\varepsilon, \quad \forall\, n,m \geq N. \end{equation*}

Proposición 8.4.
Toda sucesión convergente en $\mathbb{C}$ es de Cauchy.

Demostración.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos convergente con $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$ para algún $z\in\mathbb{C}$. Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que:\begin{equation*} |\,z_n \,-\, z\,| < \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{equation*} Entonces por la desigualdad del triángulo se tiene que para cualesquiera $n,m\in \mathbb{N}^+$ tales que $n,m\geq N$ se cumple: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_m\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| + |\,z \,-\, z_m\,| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es de Cauchy.

Considerando la proposición 8.4 es momento de dar un ejemplo para argumentar la observación 8.2, es decir veamos que la divergencia y la no convergencia no son equivalentes.

Ejemplo 8.4
Consideremos la sucesión $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$. Veamos que dicha sucesión no converge ni diverge.

Solución. Sea $z_n = i^n$. Por la fórmula de De Moivre es claro que para toda $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que: \begin{equation*}
|\,z_n\,| = |\,i^n\,| = |\,i\,|^n = 1, \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} |\,z_n\,| = 1 \neq \infty. \end{equation*} Es decir, la sucesión $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$ no diverge.

Por otra parte, veamos que dicha sucesión no es de Cauchy. Considerando el argumento principal de $i$, tenemos por la fórmula de De Moivre que: \begin{align*} z_{4n} = i^{4n} = \left(\operatorname{cis}(2\pi)\right)^n = 1^n = 1,\\ z_{4n+2} = i^{4n+2} = i^{4n}i^{2} = 1^n(-1) = -1, \end{align*} por lo que: \begin{align*}|\,z_{4n} \,&-\, z_{4n+2}\,| = 2,\\ & \Longrightarrow \quad \lim_{n \to \infty}|\,z_{4n} \,-\, z_{4n+2}\,| = 2 \neq 0. \end{align*} Entonces la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$ no es de Cauchy, por lo que por la contrapuesta de la proposición 8.4, tenemos que dicha sucesión no es convergente en $\mathbb{C}$.

Así concluimos que la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$ no diverge, pero tampoco converge.

Definición 8.7. (Completez.)
Un espacio métrico $(X,d)$ se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente en $X$.

Ejemplo 8.5.
El espacio métrico $(\mathbb{R}, d)$, con $d$ la métrica inducida por el valor absoluto, es completo.

La proposición 8.4 es válida en general para cualquier espacio métrico $(X,d)$. Sin embargo el recíproco es falso en general, por ello la importancia de la definición 8.7. Considerando que $\mathbb{R}$ es un subconjunto de $\mathbb{C}$ y que el módulo complejo de $\mathbb{C}$ es la extensi\’on del valor absoluto de $\mathbb{R}$, podemos intuir que el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ inducida por el módulo, es también completo.

Proposición 8.5.
El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana es completo.

Demostración. Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ en $\mathbb{C}$ una sucesión de Cauchy. Usando la observación 3.1 y la proposición 3.1, como en la prueba de la proposición 8.3, es fácil convencerse de que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es de Cauchy si y solo si las sucesiones reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son de Cauchy en $\mathbb{R}$. Dado que $\mathbb{R}$ es completo con la métrica inducida por el valor absoluto, entonces las sucesiones de Cauchy $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$, por lo que por la proposición 8.3 se sigue que la sucesión de Cauchy $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente en $\mathbb{C}$, por lo tanto el espacio métrico $(\mathbb{C},d)$, con $d$ la métrica euclidiana, es completo.

$\blacksquare$

Proposición 8.6.
Un punto $z_0\in\mathbb{C}$ es un punto límite (o de acumulación) de un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ si y solo si existe una sucesión $\{z_n\}_{n\geq1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z_0$.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $z_0\in\mathbb{C}$ es un punto límite de $S$, entonces por la definición 7.7 tenemos que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ existe: \begin{equation*}
z_n \in B\left(z_0, \tfrac{1}{n}\right)\setminus\{z_0\} \cap S, \end{equation*} es decir que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que $z_n \in S$, $z_n\neq z_0$ y $|\,z_n \,-\, z_0\,|<\frac{1}{n}$. Consideremos a la sucesión $\{z_n\}_{n\geq1}$ dada anteriormente. Es claro que dicha sucesión cumple las condiciones del resultado, veamos que converge a $z_0$. Por la propiedad arquimediana se sigue que para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_0\,|< \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es tal que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene $z_n \in S$, $z_n \neq z$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$. Por la propiedad arquimediana sabemos que dado $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_N \,-\, z_0\,|< \frac{1}{N} < \varepsilon. \end{equation*} Como $z_N \neq z_0$ y $z_N \in S$, entonces para todo $\varepsilon>0$ se tiene que: \begin{equation*} z_N \in B(z_0, \varepsilon)\setminus\{z_0\} \cap S. \end{equation*} Por lo que $z_0$ es un punto límite de $S$.

$\blacksquare$

Definición 8.8. (Punto de acumulación de una sucesión.)
Un número $z\in\mathbb{C}$ se llama punto de acumulación de una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un número infinito de elementos $z_n$ de la sucesión tales que $|\,z_n \,-\, z\,|<\varepsilon$, es decir si cada $\varepsilon-$vecindad de $z_0$, $B(z_0,\varepsilon)$, contiene un número infinito de elementos de la sucesión.

Observación 8.4.
No debemos confundir esta definición con la definición 7.7 de punto límite o punto de acumulación de un conjunto. Por ejemplo la sucesión $\{(-1)^n\}_{n\geq 1}$ tiene dos puntos de acumulación los cuales son $-1$ y $1$. Sin embargo el conjunto $\{-1,1\}$, que consiste de los elementos que determinan a la sucesión, no tiene ningún punto límite o de acumulación.

Además, es fácil convencerse de que todo límite de una sucesión es un punto de acumulación de la misma. Sin embargo el recíproco no se cumple, para verlo basta considerar a la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$, la cual tiene cuatro puntos de acumulación los cuales son $1, -1, i$ y $-i$, pero dicha sucesión no converge, es decir no tiene límite.

Definición 8.9. (Subsucesión.)
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Una subsucesión o sucesión parcial de $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es cualquier sucesión de la forma $\{z_{\sigma(n)} \}_{n\geq 1}$, donde $\sigma:\mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}^+$, con $\sigma(n) = k_n$, es una función estrictamente creciente.

Ejemplo 8.6.
Si definimos $k_n = 2n$, entonces una subsucesión de $\left\{\dfrac{i^n}{n}\right\}_{n\geq 1}$ está conformada por: \begin{equation*}
-\frac{1}{2}, \,\, \frac{1}{4}, \,\, -\frac{1}{6}, \ldots, \frac{i^{2n}}{2n}, \ldots, \end{equation*} es decir $\left\{\dfrac{i^{2n}}{2n}\right\}_{n\geq 1}$ es una subsucesión de $\left\{\dfrac{i^n}{n}\right\}_{n\geq 1}$.

Proposición 8.7
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Entonces, $z\in\mathbb{C}$ es un punto de acumulación de $\{z_n\}_{n\geq 1}$ si y solo si existe una subsucesión $\{z_{k_n}\}_{n\geq 1}$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} z_{k_n} = z$.

Demostración. Dadas las hipótesis.

$\Rightarrow)$
Por la definición 8.8 tenemos que para todo $\varepsilon>0$ existe un número infinito de valores de $n$ para los cuales $|\,z_n \,-\, z\,|<\varepsilon$. Entonces para $\varepsilon=1$ existe un $n=k_1$ tal que $|\,z_{k_1} \,-\, z\,| < 1$. Del mismo modo para $\varepsilon = \frac{1}{2}$ existe $n=k_2$ tal que $|\,z_{k_2} \,-\, z\,| < \frac{1}{2}$. Procediendo de forma análoga podemos obtener, en general, que para $\varepsilon = \frac{1}{n}$ existe algún $k_n>k_{n-1}$ tal que $|\,z_{k_n} \,-\, z \,| < \frac{1}{n}$, por lo que existe una subsucesión $\left\{ z_{k_n} \right\}_{n\geq 1}$ de $\{z_n\}_{n\geq 1}$. Por otra parte, tenemos por la propiedad arquimediana que para todo $\varepsilon>0$ existe algún $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}
|\,z_{k_n} \,-\, z\,| < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n \geq N.
\end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{n\to \infty} z_{k_n} = z$.

$(\Leftarrow$
Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Teorema 8.1. (Teorema de Bolzano – Weierstrass.)
Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ acotada tiene una subsucesión convergente.

Demostración. Dadas las hipótesis, por la observación 3.1 es fácil ver que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es acotada si y solo si las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son acotadas en $\mathbb{R}$. Por el teorema de Bolzano – Weierstrass para sucesiones de números reales sabemos que al ser la sucesión $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ acotada, entonces existe una subsucesión $\{\operatorname{Re}(z_{n_j})\}_{n\geq 1}$ convergente para alguna subsucesión $\{z_{n_j}\}_{n\geq 1}$ de $\{z_n\}_{n\geq 1}$. Dado que $\{\operatorname{Im}(z_{n_j})\}_{n\geq 1}$ también es acotada entonces existe alguna subsucesión $\{z_{n_{j_k}}\}_{n\geq 1}$ de $\{z_{n_j}\}_{n\geq 1}$ tal que $\{\operatorname{Im}(z_{n_{j_k}})\}_{n\geq 1}$ también converge. Entonces $\{\operatorname{Re}(z_{n_{j_k}})\}_{n\geq 1}$ es subsucesión de una sucesión convergente, por lo que también es convergente. Por lo tanto, por la proposición 8.3 se sigue que la subsucesión $\{z_{n_{j_k}}\}_{n\geq 1}$ converge en $\mathbb{C}$.

Tarea moral

  1. Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Prueba que si la sucesión converge en $\mathbb{C}$, entonces dicho límite es único.
  2. Considera las siguientes sucesiones:
    a) $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$.
    b) $\left\{\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^n\right\}_{n\geq 1}$.
    c) $\left\{\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n\right\}_{n\geq 1}$.
    d) $\left\{\dfrac{n}{2n+1} + i\, \dfrac{n-1}{n}\right\}_{n\geq 1}$.
    e) $\left\{n^2\left(i^n -1\right)\right\}_{n\geq 1}$.
    Determina cuáles sucesiones son acotadas, cuáles convergen, encuentra su límite y sus puntos de acumulación.
  3. Prueba que si la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ de números complejos converge a $z\in\mathbb{C}$, entonces la sucesión ${|\,z_n\,|}_{n\geq 1}$ converge a $|\,z\,|$. ¿Es cierto el recíproco?
    Hint: Recuerda que: $|\,|z_n| – |z|\,| \leq |z_n – z|$.
  4. Sea $z\in\mathbb{C}$, prueba lo siguiente.
    a) Si $|\,z\,|<1$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z^n = 0$.
    b) Si $|\,z\,| > 1$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z^n = \infty$.
  5. Considera la observación 8.3, argumenta porqué es cierto el resultado. En general prueba que para un espacio métrico $(X, d_X)$ se cumple que una sucesión de elementos de $X$, digamos $\{x_n\}_{n\geq 1}$, converge a $x\in X$ si y solo si $\lim\limits_{n \to \infty} d_X (x_n, x) = 0$.
  6. Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Prueba que $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = 0$ si y solo si $\lim\limits_{n\to \infty} |\,z_n\,| = 0$.
  7. Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos, sea $z \in \mathbb{C}$ y sea $\{c_n\}_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales no negativos. Demuestra lo siguiente.
    a) Si $\lim\limits_{n\to \infty} c_n = 0$ y $|\,z_n – z\,| \leq c_n$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z$.
    b) Si $\lim\limits_{n\to \infty} c_n = \infty$ y $|\,z_n \,| \geq c_n$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = \infty$.
  8. Sean $\left\{x_n\right\}_{n\geq 1}$ y $\left\{y_n\right\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones convergentes de números reales, tales que $x_n \leq y_n$ para toda $n\in\mathbb{N}$. Prueba que: \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} x_n \leq \lim_{n \to \infty} y_n. \end{equation*}

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado el concepto de sucesión compleja con la finalidad de caracterizar al espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$ como un espacio métrico completo. Para ello hicimos uso de algunos resultados para sucesiones reales y generalizamos algunos de los mismos, como el Teorema de Bolzano-Weierstrass, para números complejos.

En general vimos que muchos de los resultados que teníamos para sucesiones reales se comportan de manera similar en el sentido complejo.

Por otra parte introducimos el concepto de la divergencia a infinito, el cual será de utilidad en la entrada 11 al hablar del punto al infinito.

Los resultados de esta entrada serán de utilidad cuando hablemos de las series en el sentido complejo y sobre su convergencia. Además de que nos permitirán obtener una caracterización relacionada con los conceptos de continuidad y continuidad uniforme.

La siguiente entrada abordaremos el concepto de continuidad entre espacios métricos.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Introducción y método exhaustivo

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

Este curso es la continuación de la materia Cálculo Diferencial e Integral I. En el primer curso de cálculo hablamos del cálculo diferencial. Nuestro principal objeto matemático fue la derivada y cómo se puede interpretar como la razón de cambio del objeto de análisis: la tangente de una curva, la velocidad y aceleración de una partícula, la variación de un objeto en su trayectoria, etc.

En este siguiente curso hablaremos de temas relacionados con el cálculo integral. Hablaremos un poco de sus orígenes, de los principales objetos matemáticos que estudia, de varios aspectos fundamentales de su teoría y de sus aplicaciones. El objetivo principal de esta rama matemática es el estudio de las integrales y las anti-derivadas. Una motivación importante es que ellas son una herramienta para la solución de problemas de cálculo de áreas y de volúmenes.

Así, el objeto matemático estelar del curso será la integral y la motivaremos mediante su gran utilidad para el cálculo de áreas. Sin embargo, esto no será lo único que haremos. La definiremos formalmente, probaremos las muchas propiedades matemáticas que tiene y veremos numerosas aplicaciones no sólo al cálculo de integrales, sino también a la construcción de otros objetos matemáticos fundamentales como la función exponencial.

Es muy probable que ya cuentes con una buena noción de área. En cursos de primaria, secundaria y bachillerato se explica un poco de esto y se dan fórmulas para calcular áreas. Sin embargo, estas fórmulas no salen de la nada. Pueden ser construidas a partir de nociones más básicas y por distintos métodos. Uno de ellos es la integración. Hasta que hagamos más precisiones formales, puedes aprovechar la intuición que ya tienes sobre las áreas y pensar en ellas intuitivamente como una magnitud que «mide» qué tan grande es una región contenida dentro de ciertos límites y cuyas unidades están «al cuadrado». Esto te ayudará a tener en qué cimentar tu intuición para cuando demos una definición más formal.

Algunas notas históricas

Históricamente, se han encontrado casos de utilización de de herramientas de cálculo diferencial en trabajos antiguos, por ejemplo, los trabajos de Arquímedes. Pero fue hasta los siglos XVI y XVII donde se tuvo un desarrollo sistemático, atribuido a Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes son considerados como los dos grandes pioneros y más grandes representantes del Cálculo. Sin embargo, no fueron los únicos aportadores a éste.

Otra persona importante, Isaac Barrow, quién sería el profesor de Newton, tenía una comprensión sobre la reciprocidad entre la derivación e integración. Este concepto es el punto de partida del cálculo desarrollado por Newton y Leibnitz. Es primordial pues da pie a la introducción y demostración de los dos teoremas fundamentales del cálculo.

Método exhaustivo

A modo de introducción, platicaremos en esta entrada sobre el método exhaustivo. Es un método matemático que utiliza la geometría para aproximar algún resultado o aproximar a la solución un problema que tengamos. La característica que tiene el método es que, a la vez que aumenta el cálculo o las repeticiones, aumenta el grado de precisión de nuestra aproximación con respecto al resultado que queremos.

Arquímides desarrolló una de las aplicaciones de este método para el cálculo de áreas planas. Eudoxo también trabajó con este método, sólo que su objetivo era calcular el volumen de las pirámides de Egipto. En cierto sentido, también ya usamos este método cuando hablamos de la derivada de una función. Para pensar en la tangente en un punto $P$ a la gráfica de una función, la intuición (y de hecho, en cierto sentido la definición formal) consistió en tomar rectas secantes que pasaran por $P$ y otro punto $Q$ en la gráfica. Conforme $Q$ se acercaba a $P$ nos aproximábamos más y más a la tangente y, si cierto límite existía, justo esa era la definición de tangente.

Para ejemplificar nuevamente el método exhaustivo, veremos cómo encontrar de manera un poco informal el el área de un círculo. Sea $C$ un círculo y sea $M\geq 3$ un número natural. Tomemos $P_M$ un polígono regular de $M$ lados inscrito al círculo $C$ y $Q_M$ un polígono de $M$ lados circunscrito al círculo $C$. Para que dichos polígonos queden bien definidos, podemos pedir además que su lado inferior sea horizontal. Por ejemplo, en la figura a continuación se muestra el caso $M = 5$.

Notemos que los polígonos que definimos tienen dos áreas: una que incluye al área del círculo y otra que está incluida en el círculo.

Para cada valor de $M$ tenemos dos polígonos. De este modo, estamos generando dos sucesiones de polígonos: la de polígonos inscritos $\{P_M\}_{M\geq 3}$ y la de polígonos circunscritos $\{Q_M\}_{M\geq 3}$. Notemos que el área cada uno de los polígonos inscritos $P_M$ queda acotada superiormente por el área de cada uno de los polígonos $Q_M$; a su vez, el área de cada uno de los polígonos circunscritos $Q_M$ queda acotada inferiormente por el área de cada uno de los polígonos $P_M$. Además, no es muy difícil convencerse de que el área de los polígonos inscritos crece conforme $M$ aumenta y, en contraparte, el área de los circunscritos decrece conforme $M$ aumenta. Recordando del primer curso de cálculo lo que sabemos sobre supremos, ínfimos y sobre sucesiones monótonas y acotadas, tendríamos entonces que los siguientes dos límites existen:

\begin{align*}
p&=\lim_{M\to \infty} \text{área}(P_M)=\sup_{M\geq 3} \text{área}(P_M)\\
q&=\lim_{M\to \infty} \text{área}(Q_M)=\inf_{M\geq 3} \text{área}(Q_M).
\end{align*}

Además, $p\leq q$. De hecho, si el área del círculo $C$ que nos interesa es $c$, entonces por lo que mencionamos arriba tendríamos que $p \leq c \leq q$. Nuestra intuición nos dice que cuando la $M$ aumenta, generamos un polígono con más lados que van acercándose a la circunferencia, y que en el límite debemos obtener el área de la circunferencia. Por lo tanto, esperaríamos que $p=c=q$.

¿Qué sería suficiente para respaldar esta intuición? ¿Bastaría que calculáramos explícitamente $\lim_{M\to \infty} \text{área}(P_M)$ y $\lim_{M\to \infty} \text{área}(Q_M)$ (por ejemplo, dividiendo los polígonos en triángulos para encontrar una fórmula explícita) y que viéramos que son iguales? Esto seguro aumentaría mucho la confianza en nuestro procedimiento. Pero, ¿qué tal que aproximamos al círculo con otros polígonos que no son regulares? ¿nos dará lo mismo? Nuestra definición formal de área ayudará a resolver estas dudas.

En resumen, el método iterativo nos permite aproximar el área del círculo, encerrándolo entre 2 polígonos, de los cuales sabemos calcular el área mediante triángulos. Intuitivamente, mientras más fraccionemos los polígonos, la aproximación del área del círculo será mejor. Esta idea de «encerrar» el área que nos interesa entre dos áreas que sepamos (o acordemos) cómo calcular será clave cuando definamos la integral definida.

Más adelante…

En esta entrada hablamos brevemente sobre la conexión de este curso de cálculo con el anterior. Dimos unas pocas notas históricas e introducimos la idea del método exhaustivo. En la siguiente entrada comenzaremos a formalizar estas ideas para el cálculo de áreas entre la gráfica de una función y el eje $x$.

Tarea moral

  1. Con las herramientas de geometría que has adquirido en la educación básica, intenta completar el ejemplo que comenzamos sobre el método exhaustivo. No te preocupes mucho por la formalización de límites, funciones trigonométricas, fórmulas de áreas de triángulos, etc. Es parte de lo que haremos en este curso. Entre otras cosas, tendrás que:
    • Calcular explícitamente la distancia del centro de un círculo $C$ de radio $r$ a un vértice (y a un lado) del polígono inscrito (y circunscrito) en $C$ que es regular y de $n$ lados.
    • Encontrar el área de $P_n$ y $Q_n$.
    • Encontrar los límites de estas áreas conforme $n$ tiende a infinito.
  2. Investiga más sobre los orígenes del cálculo integral.
  3. Averigua sobre el método exhaustivo y otros usos históricos que se le ha dado.
  4. El método exhaustivo puede ser algo peligroso si se usa apresuradamente. Por ejemplo, toma un cuadrado de lado $1$ y divídelo en cuadrados pequeños para formar un tablero de $n\times n$. Mediante un camino $C_n$ que sube y va a la derecha alternadamente, se puede comenzar en el vértice inferior izquierdo y llegar al vértice superior derecho. Intuitivamente, cuando $n$ tiende a infinito, este camino pareciera converger a la diagonal del cuadrado, la cual tiene longitud $\sqrt{2}$. Sin embargo, la longitud de cada camino $C_n$ siempre es $2$ pues en total avanza una unidad a la derecha y una hacia arriba. ¿Por qué la longitud de $C_n$ no tiende a $\sqrt{2}$ si aparentemente $C_n$ tiende a la diagonal del cuadrado?
  5. Realiza un repaso de los teoremas principales de Cálculo Diferencial e Integral I. ¡Te serán sumamente útiles para este curso! En particular, sería bueno que revises los siguientes temas:
    • Definición y propiedades de límites.
    • Definición y propiedades de funciones contínuas.
    • Definición y propiedades de derivadas.
    • Reglas de derivación.
    • El teorema del valor intermedio.
    • El teorema del valor medio.

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Cálculo Diferencial e Integral I: El número de Euler

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Supongamos que tenemos un peso el cual hemos decidido invertir y, para hacerlo, tenemos tres opciones. La primera es invertir en el Banco A que está dispuesto a regresarnos un 100% de interés después de un año. En este caso, al finalizar el año tendríamos el doble de dinero que con el que iniciamos, es decir, tendríamos $ \$2.00.$

Nuestra segunda opción es el Banco B, que nos propone invertir nuestro dinero con ellos y promete generar el 50% del capital dos veces al año. Asumiendo que reinvertimos el dinero obtenido de tal forma que el capital inicial del segundo semestre es igual al capital final del primero, tendríamos lo siguiente

SemestreInterésCapital inicialCálculoCapital final
150% / $\frac{1}{2}$$1.00$1 \cdot (1+\frac{1}{2})$$1.50
250% / $\frac{1}{2}$$1.50$1.5\cdot (1+\frac{1}{2})$$2.25

Notemos que el cálculo podemos hacerlo de forma directa mediante la siguiente expresión

$$\left(1 \cdot \left(1+\frac{1}{2} \right) \right) \cdot \left(1+\frac{1}{2} \right) = 1 \cdot \left(1+\frac{1}{2} \right)^2.$$

Por otro lado, la tercera opción, el Banco C, promete entregarnos 25% de interés cada trimestre. Si después de cada trimestre se invierte todo el capital inicial más los intereses generados, tenemos el siguiente escenario.

TrimestreInterésCapital inicialCálculoCapital final
125% / $\frac{1}{4}$$1.00$1 \cdot (1+\frac{1}{4})$$1.25
225% / $\frac{1}{4}$$1.25$1.25 \cdot (1+\frac{1}{4})$$1.5625
325% / $\frac{1}{4}$$1.5625$1.5625 \cdot (1+\frac{1}{4})$$1.953125
425% / $\frac{1}{4}$$1.953125$1.953125 \cdot (1+\frac{1}{4})$$2.441406

De igual forma, podemos compactar los cálculos anteriores:

$$1 \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right) \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right) \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right) \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right) = 1 \cdot \left(1+\frac{1}{4} \right)^4.$$

Después de analizar todas las opciones, vemos que el Banco C nos permite generar más dinero al final del año siendo la mejor de nuestras tres opciones. Una interrogante natural después de haber evaluado los ejercicios anteriores es saber qué sucede si tenemos una tasa de interés de $\frac{1}{365}$ de forma diaria, lo cual generaría

$$1 \cdot \left(1 + \frac{1}{365} \right)^{365} = 2.714567.$$

Este escenario nos permite ganar una mayor cantidad de dinero al final del periodo. ¿Qué pasaría si tuviésemos una tasa de interés que se paga cada hora o cada minuto o cada segundo? Con una periodicidad lo suficientemente alta, ¿podríamos hacernos infinitamente ricos? Esta última pregunta la responderemos analizando el siguiente límite:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.$$

El número de Euler

Después de la motivación dada en la introducción, definiremos la sucesión $\{e_n\}$ tal que $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right).$

Por los ejemplos revisados donde se calcula el interés en diferentes periodicidades, podemos inferir que la sucesión $\{e_n\}$ es creciente y a continuación lo probaremos.

Proposición. La sucesión $\{e_n\}$ es creciente.

Demostración.

Usando la fórmula del binomio de Newton se tiene lo siguiente

\begin{align*}
e_n & = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \\ \\
& = \sum_{ k = 0}^{n} { n \choose k } \frac{1}{n^k} \\ \\
& = \sum_{ k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n (n-1) \ldots (n-k+1)}{n^k} \\ \\
& = \sum_{ k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \ldots \frac{n-k+1}{n} \\ \\
& = \sum_{ k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot \left( 1 – \frac{1}{n} \right) \ldots \left( 1 – \frac{k-1}{n} \right) \tag{1} \\ \\
& = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 – \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \left(1 – \frac{1}{n} \right) \left(1 – \frac{2}{n} \right) + \ldots + \frac{1}{n!} \left( 1 – \frac{1}{n} \right) \left( 1 – \frac{2}{n} \right) \ldots \left( 1 – \frac{n-1}{n} \right).
\end{align*}

$$\therefore e_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 – \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \left(1 – \frac{1}{n} \right) \left(1 – \frac{2}{n} \right) + \ldots + \frac{1}{n!} \left( 1 – \frac{1}{n} \right) \cdot \left( 1 – \frac{2}{n} \right) \ldots \left( 1 – \frac{n-1}{n} \right).$$

Análogamente, se tiene que

\begin{align*}
e_{n + 1} = & 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 – \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{3!} \left(1 – \frac{1}{n+1} \right) \left(1 – \frac{2}{n+1} \right) + \ldots \\ \\
& + \frac{1}{n!} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right) \cdot \left( 1 – \frac{2}{n +1} \right) \ldots \left( 1 – \frac{n-1}{n+1} \right) \\ \\
& + \frac{1}{(n+1)!} \left( 1- \frac{1}{n+1} \right) \left( 1 – \frac{2}{n+1} \right) \ldots \left( 1 – \frac{n}{n+1} \right).
\end{align*}

Notemos que

$$\left( 1 – \frac{1}{n} \right) < \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right), \ldots, \left( 1- \frac{k-1}{n} \right) < \left( 1- \frac{k-1}{n+1} \right).$$

Es decir, cada término de $e_n$ es más chico que su correspondiente de $e_{n+1}$ a partir del tercero. Además, $e_{n+1}$ tiene un término positivo extra, se sigue entonces que $e_n < e_{n+1}.$

Por tanto, $\{e_n\}$ es creciente.

$\square$

Antes de continuar, probaremos una proposición respecto a la serie geométrica.

Proposición. Sea $r \in \mathbb{R}$ tal que $|r|<1$, entonces

$$\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$$

Demostración.

Sea $S_n = 1 + r + r^2 + r^3 + \ldots + r^n$. Entonces se tiene que

$$r \cdot S_n = r + r^2+r^3+r^4+\ldots+r^{n+1}.$$

Restando $S_n-rS_n$ se tiene

\begin{align*}
S_n-rS_n & = 1 + r + r^2 + r^3 + \ldots + r^n-(r + r^2+r^3+r^4+\ldots+r^{n+1}) \\
& = 1-r^{n+1}.
\end{align*}

\begin{gather*}
\Rightarrow & S_n-rS_n = 1-r^{n+1}. \\
\Rightarrow & S_n (1-r) = 1-r^{n+1}.
\end{gather*}

$$\therefore S_n = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$$

$\square$

Al inicio se planteó la siguiente pregunta: con una periodicidad lo suficientemente alta, ¿podríamos hacernos infinitamente ricos? La respuesta es no y lo probamos en la siguiente proposición.

Proposición. La sucesión $\{e_n\}$ está acotada entre 2 y 3.

Demostración.

Dado que $\{ e_n\}$ es creciente, se tiene que $e_1 \leq e_n$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Así, $e_1 = \left( 1 + \frac{1}{1} \right)^{1} = 2$. Por tanto, $2 \leq e_n$ para todo $n \in \mathbb{N}.$

Ahora probaremos que $3$ es una cota superior de la sucesión.

Notemos que $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots k \geq 1 \cdot 2 \cdot 2 \ldots 2 = 2^{k-1}$ y de $(1)$ tenemos que

\begin{align*}
e_n & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot \left( 1 – \frac{1}{n} \right) \ldots \left( 1 – \frac{k-1}{n} \right) \\ \\
& < \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \\ \\
& = 1 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k!} \\ \\ 
& \leq 1 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} \\ \\
& = 1 + \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{2^{k}}.
\end{align*}

Además, por la proposición anterior se tiene que

$$ \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{2^k} = \frac{1 – \frac{1}{2^n}}{1- \frac{1}{2}} <2.$$

Por tanto, se sigue que $$1 + \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{2^{k}} < 3.$$

Se concluye que $2 < e_n < 3$.

$\square$

Hemos probado que $\{e_n\}$ es una sucesión creciente y acotada. Por tanto, se sigue que es convergente, y converge al supremo. Definimos el número de Euler de la siguiente forma:

$$e := \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.$$

A continuación, mostramos la gráfica de esta sucesión.

Este número ha logrado posicionarse como uno de los más conocidos dentro del mundo de las matemáticas, siendo $e$ la base del logaritmo natural y dentro de este mismo curso se ha usado antes al momento de estudiar la función exponencial.

Más adelante…

En esta unidad hemos revisado a detalle el límite de una sucesión y en la unidad anterior estudiamos el concepto y propiedades de las funciones, es tiempo de continuar con un concepto más avanzado que requiere del entendimiento de ambos temas: el límite de una función.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Encuentra los siguientes límites:

  • $$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$
  • $$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n.$$
  • $$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}.$$
  • $$\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones de Cauchy

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En las entradas anteriores vimos las propiedades de una sucesión convergente para lo cual era necesario conocer su límite. En esta ocasión estudiaremos a las sucesiones de Cauchy, éstas cumplen una propiedad particular: dado un valor positivo arbitrario, existe un momento a partir del cual la distancia entre dos términos cualesquiera de la sucesión es menor al valor arbitrario establecido. Además, probaremos la relación entre este tipo de sucesiones y las sucesiones convergentes.

Sucesiones de Cauchy

La definición formal de sucesión de Cauchy se da a continuación.

Definición. Se dice que una sucesión $\{a_n\}$ de números reales es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$ existe un número natural $k$ tal que para todos los números naturales $n$, $m \geq k$ se satisface que $|a_n – a_m| < \varepsilon.$

En esta entrada demostraremos la equivalencia entre que una sucesión sea de Cauchy y que sea convergente. La gran ventaja que presenta el concepto de sucesión de Cauchy es que podremos probar que una sucesión converge sin necesidad de conocer su límite, puesto que la definición no hace uso de él. Pero antes de probarlo, veremos un par de ejemplos para familiarizarnos con la definición.

Ejemplo 1. La sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ es una sucesión de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Tomemos $k > \frac{2}{\varepsilon}$. Si $n$, $m > k$, entonces $\frac{1}{n} < \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2}$. Análogamente se tiene que $\frac{1}{m} < \frac{\varepsilon}{2}.$

Por lo anterior, si $n$, $m > k$, entonces

\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right\rvert & \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore \left\lvert \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right\rvert < \varepsilon.$$

Se concluye que $\{\frac{1}{n}\}$ es una sucesión de Cauchy.

$\square$

Ejemplo 2. Prueba que la sucesión $\{ \frac{n}{n+1} \}$ es de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0.$ Consideremos $k \in \mathbb{N}$ tal que $k > \frac{2}{\varepsilon}$, y por tanto $ \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2}$. Además, si $n$, $m > k$, entonces se sigue que

\begin{align*}
\left| \frac{n}{n+1} – \frac{m}{m+1} \right| & = \left| \frac{nm+n-nm-m}{(n+1)(m+1)} \right| \\ \\
& = \left| \frac{n-m}{(n+1)(m+1)} \right| \\ \\
& \leq \left| \frac{n-m}{nm} \right| , \text{ pues } (n+1)(m+1) > nm \\ \\
& = \left| \frac{n}{nm} – \frac{m}{nm} \right| \\ \\
& = \left| \frac{1}{m} – \frac{1}{n} \right| \\ \\
& \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \\ \\
& < \frac{1}{k} + \frac{1}{k}, \text{ pues } n,m > k \\ \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}, \text{ pues } \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2} \\ \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

Por tanto, $\{ \frac{n}{n+1} \}$ es de Cauchy.

$\square$

Ejemplo 3. Demuestra que la sucesión $\{ (-1)^n \}$ no es de Cauchy.

Demostración.

Debemos probar que existe $\varepsilon > 0$ tal que para todo $k \in \mathbb{N}$, existe al menos un $n > k$ y al menos un $m > k$, tales que $|a_n-a_m| \geq \varepsilon$.

Notemos que la sucesión toma el valor $1$ cuando $n$ es par y $-1$ cuando $n$ es impar. Así, consideremos $\varepsilon = 2$ y sea $k \in \mathbb{N}$. Tomemos cualquier número par $n$ tal que $n > k$ y sea $m = n+1$, $m$ impar. Entonces se tiene que

$$|a_n-a_m| = |1-(-1)| = 2 = \varepsilon.$$

Por tanto, se puede concluir que $\{(-1)^n\}$ no es de Cauchy.

$\square$

Proposición. Si $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son sucesiones de Cauchy, entonces la sucesión $\{a_n+b_n\}$ también es de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Como $\{a_n\}$ es de Cauchy, para $\frac{\varepsilon}{2} > 0$ existe $k_1$ tal que si $n$, $m > k_1$, se tiene que $$|a_n-a_m| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Como $\{b_n\}$ es de Cauchy, para $\frac{\varepsilon}{2} > 0$ existe $k_2$ tal que si $n$, $m > k_2$, se tiene que $$|b_n-b_m| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Consideremos $k = max\{k_1, k_2 \}$, si $n$, $m > k$, entonces

\begin{align*}
|(a_n+b_n)-(a_m+b_m)| & = |(a_n-a_m)+(b_n-b_m)| \\
& \leq |a_n-a_m| + |b_n-b_m| \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |(a_n+b_n)-(a_m+b_m)| < \varepsilon.$$

Por lo tanto, la sucesión $\{a_n+b_n\}$ también es de Cauchy.

$\square$

Una de las propiedades naturales de las sucesiones de Cauchy es que son sucesiones acotadas; esto derivado directamente de la definición donde debe existir un punto $k$ a partir de donde cualesquiera dos términos deben distar menos de $\varepsilon$. A continuación demostraremos tal propiedad.

Proposición. Toda sucesión de Cauchy está acotada.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de Cauchy. Entonces para $\varepsilon = 1$, existe $k \in \mathbb{N}$ tal que para $n \geq k$, se tiene que $|a_n – a_k| < \varepsilon = 1$. De la desigualdad del triángulo se tiene que

\begin{gather*}
& |a_n|-|a_k| \leq |a_n-a_k| < 1. \\
\Rightarrow & |a_n| \leq 1 + |a_k|.
\end{gather*}

Notemos que $1+|a_k|$ es una cota para los términos subsecuentes de $a_k$. Para extender la cota a los primeros $k-1$ términos, consideremos $M = max\{ |a_1|, |a_2|, \ldots, |a_{k-1}|, 1+|a_k|\}$. De esta forma, para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que $|a_n| < M$. Por tanto, la sucesión está acotada.

$\square$

Es importante resaltar que no es equivalente que una sucesión sea de Cauchy a que cumpla que la distancia entre dos términos consecutivos sea cada vez menor, y lo veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4. Sea $\{a_n\}$ tal que $a_n = \sqrt{n}$. Prueba que la sucesión $\{a_n\}$ satisface que

$$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}-a_n| = 0.$$

Pero que no es una sucesión de Cauchy.

Demostración.

Notemos que

\begin{align*}
|a_{n+1}-a_n| & = \left\lvert \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right\rvert \\ \\
& = \left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right) \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\
& = \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\ & = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
\end{align*}

Por lo anterior, se sigue que
$$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}-a_n| = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0.$$

Por otro lado, se tiene que la sucesión $\{a_n\}$ no está acotada, por lo cual no puede ser una sucesión de Cauchy.

$\square$

Relación entre sucesiones convergentes y de Cauchy

Como se menciona anteriormente, dentro del conjunto de los números reales, que una sucesión sea de Cauchy es equivalente a que sea convergente y a este hecho se le suele llamar Completitud de $\mathbb{R}$. Este tema se estudiará en cursos más avanzados, pero de forma intuitiva, que $\mathbb{R}$ sea completo quiere decir que «no deja huecos en la recta numérica». Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real.

Teorema. Si $\{a_n\}$ es una sucesión convergente de números reales, entonces es de Cauchy.

Demostración

Sea $\varepsilon > 0$. Dado que $\{a_n\}$ es convergente, digamos a $L$, entonces para $\frac{\varepsilon}{2}$ existe un número $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ se satisface que $|a_n – L | < \frac{\varepsilon}{2}.$

Consideremos $k = n_0$. Si $n$, $m \geq k$, entonces

\begin{align*}
|a_n-a_m| & = |a_n-L+L-a_m| \\
& \leq|a_n-L| + |L-a_m| \\
& = |a_n-L| + |a_m – L| \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |a_n-a_m| < \varepsilon.$$

Por lo tanto, $\{a_n\}$ es de Cauchy.

$\square$

Teorema. Toda sucesión de Cauchy es convergente.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de Cauchy. Por la proposición revisada anteriormente, $\{a_n\}$ está acotada. Además, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión $\{a_{n_r}\}$ convergente y llamemos $L$ al límite de tal subsucesión. Probaremos que $\{a_n\}$ también converge a $L$.

Sea $\varepsilon > 0$. Como la sucesión $\{a_n\}$ es de Cauchy, entonces existe $k \in \mathbb{N}$ tal que
$$|a_n-a_m| < \varepsilon \quad \forall n,m \geq k. \tag{1}$$

Por otro lado, como $\{a_{n_r} \}$ converge a $L$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que

$$|a_{n_l} – L| < \varepsilon \quad \forall n_l \geq n_0. \tag{2}$$

Consideremos $M = max\{k, n_0\}$. Si $s \geq M \geq n_0$, entonces se cumple $(2)$ y además sabemos que $n_s \geq s \geq M \geq k$, pues $n_l$ es una sucesión creciente de números naturales. Por tanto, también se cumple $(1)$. De esto se sigue que

\begin{align*}
|a_s-L|& = |a_s-a_{n_s}+a_{n_s}-L| \\
& \leq |a_s-a_{n_s}|+|a_{n_s}-L| \\
& \leq \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |a_s-L| < \varepsilon \quad \forall s \geq M.$$

Se concluye que $\{a_n\}$ es convergente.

$\square$

Más adelante…

Uno de los números más famosos en matemáticas y que probablemente has escuchado hablar de él es el número de Euler: $e$. En la siguiente entrada estudiaremos este número a través de sucesiones y probaremos algunas de sus propiedades.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Da un ejemplo de una sucesión de Cauchy.
  • Da un ejemplo de una sucesión acotada que no sea una sucesión de Cauchy.
  • Prueba mediante la definición que la sucesión $\{ \frac{n+1}{n} \}$ es de Cauchy.
  • Demuestra mediante la definición que la sucesión $\{ (-1)^n \}$ no es de Cauchy.
  • Demuestra mediante la definición que si $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son sucesiones de Cauchy, entonces la sucesión $\{a_n \cdot b_n\}$ también es de Cauchy.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Subsucesiones

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Dada una sucesión, si «quitamos» cierta cantidad de términos de tal forma que aún queda una cantidad infinita de ellos y se conserva el orden de la sucesión original, se genera un tipo particular de sucesión llamado subsucesión. En esta entrada probaremos algunas de sus características y veremos cómo se enlazan sus propiedades respecto a la sucesión original.

Subsucesiones

Primero formalizaremos la idea intuitiva dada en la introducción a través de la siguiente definición.

Definición. Sea $\{a_n\}$ una sucesión de números reales y sea $n_1 < n_2 < \ldots < n_k < \ldots$, con $k \in \mathbb{N}$, una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces la sucesión $\{ a_{n_k} \}$ dada por $$\{ a_{n_1}, a_{n_2}, \ldots, a_{n_k}, \ldots \}$$

es una subsucesión de $\{a_n\}$.

Observación. Es importante recalcar que en la definición se indica que los índices de los términos de la subsucesión son una sucesión por sí mismos. Esto se podrá apreciar claramente en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 1. Consideremos la sucesión $\{ a_n \} = \{ \frac{1}{n} \}$.

Si tomamos los términos con índice par, obtenemos la subsucesión $\{ a_2, a_4, a_6, \ldots, a_{2k}, \ldots \}$ cuyos términos son

$$\left\lbrace \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \ldots, \frac{1}{2k}, \ldots \right\rbrace.$$

De esta forma, se tiene que $n_1 = 2$, $n_2 = 4$, $\ldots$, $n_k = 2k$, $\ldots$. Y podemos observar que los índices forman una sucesión estrictamente creciente, es decir, se cumple que $$n_1 < n_2 < \ldots < n_k < \ldots.$$

Si consideramos ahora $n_k = 2k-1$, obtenemos una nueva subsucesión $\{ a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{2k-1}, \ldots \}$ conformada por los términos

$$\left\lbrace \frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \ldots, \frac{1}{2k-1}, \ldots \right\rbrace.$$

Otra subsucesión podría ser la generada por los índices $n_k = k^2$, generando la subsucesión $\{ a_1, a_4, a_9, \ldots, a_{k^2} \}$, con términos

$$\left\lbrace \frac{1}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \ldots, \frac{1}{k^2}, \ldots \right\rbrace.$$

En contraste, podemos observar que $\{a_2, a_1, a_4, a_3, \ldots, a_{k+1}, a_{k-1}, \ldots \}$ no es una subsucesión de $\{ a_n \}$. Los términos generados son

$$\left\lbrace \frac{1}{2}, \frac{1}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k-1}, \ldots \right\rbrace.$$

Y no es subsucesión debido a que ésta no respeta el orden de la sucesión original, en otras palabras, la sucesión de índices $\{n_k\}$ no es estrictamente creciente. En este caso
$$n_k = \begin{cases} k+1 & \text{ si } k \text{ es impar} \\ k-1 & \text{ si } k \text{ es par}. \end{cases}$$

Con lo cual podemos ver que $n_1 = 2$, $n_2=1$, $n_3 = 4$, $n_4 = 3$, $\ldots$, por lo que $\{n_k\}$ no es monótona y, particularmente, no es estrictamente creciente.

Una forma singular de crear subsucesiones a partir de una sucesión dada, es eliminando los primeros $m$ términos de la sucesión. Así, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $\{a_n\}$ una sucesión de números reales y sea $m \in \mathbb{N}$. Definimos la cola-$m$ de $\{a_n\}$ como la sucesión

$$\{a_{m+n}: n \in \mathbb{N}\} = \{ a_{m+1}, a_{m+2}, \ldots \}.$$

La cola-$m$ es una subsucesión donde $n_1 = m+1$, $n_2 = m +2$, $\ldots$, $n_k = m+k$.

Ejemplo 2. Consideremos la sucesión $\{a_n\} = \{ \sqrt{n} \}.$

La cola-$10$ de $\{a_n\}$ es la subsucesión $\{ a_{11}, a_{12}, \ldots, a_k \ldots \}$, cuyos términos son $\{ \sqrt{11}, \sqrt{12}, \ldots, \sqrt{k}, \ldots \}.$

Subsucesiones de sucesiones convergentes

Si generamos una subsucesión de una sucesión convergente, es natural que dicha subsucesión también converja y, de hecho, lo hace al límite de la sucesión original.

Teorema. Si una sucesión $\{a_n\}$ de números reales converge a un número real $L$, entonces cualquier subsucesión $\{ a_{n_k}\}$ también converge a $L$.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Como $\{a_n\}$ converge a $L$, entonces existe un número natural $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_0$ se tiene que

$$|a_n – L| < \varepsilon.$$

Dado que $n_1 < n_2 < \ldots < n_k < \ldots$ es una sucesión creciente de números naturales, se tiene que $n_k \geq k$. De esta forma, tenemos que si $k \geq n_0$, entonces $n_k \geq k \geq n_0$. Por lo que se cumple que
$$|a_{n_k} – L| < \varepsilon.$$

Por lo tanto, la sucesión $\{ a_{n_k} \}$ también converge a $L$.

$\square$

Ejemplo 3. Del teorema anterior se sigue que dada una sucesión $\{a_n\}$ convergente a $L$, la cola-$m$ de la sucesión también converge a $L$ para todo $m \in \mathbb{N}$.

Ejemplo 4. Consideremos la sucesión $\{a_n\} = \{ \frac{1}{\pi^n}\}$.

Notemos que $\frac{1}{\pi^n} = \left( \frac{1}{\pi} \right)^n$.

Además, como $\pi > 1$, entonces $\frac{1}{\pi} <1$. Por tanto $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi^n} = 0.$$

Así, toda subsucesión de $\{a_n\}$ converge a cero. Podemos considerar, por ejemplo, la subsucesión generada tomando $n_k = 2k$, es decir, la subsucesión $\{a_{n_k} \} = \{ \frac{1}{\pi^{2k}} \}$ converge a cero.

Subsucesiones y la no convergencia

Hasta este punto hemos revisado las subsucesiones y su relación con la convergencia; ahora es momento de encontrar qué sucede respecto a la no convergencia.

Teorema. Sea $\{a_n\}$ una sucesión de números reales. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. La sucesión $\{a_n\}$ no converge a $L \in \mathbb{R}.$
  2. Existe $\varepsilon_0 > 0$ tal que para cualquier $k \in \mathbb{N}$, existe $n_k \in \mathbb{N}$ tal que $n_k \geq k$ y $|a_{n_k} – L| \geq \varepsilon_0.$
  3. Existe $\varepsilon_0 > 0$ y una subsucesión $\{a_{n_k}\}$ de $\{a_n\}$ tal que $|a_{n_k} – L| \geq \varepsilon_0$ para todo $k \in \mathbb{N}.$

Demostración.

$1 \Rightarrow 2]$ Si $\{a_n\}$ no converge, entonces existe $\varepsilon_0 > 0$ para el cual no es posible encontrar un natural $k$ tal que para todo $n \geq k$ se cumpla $|a_n-L| < \varepsilon$. Es decir, para todo $k \in \mathbb{N}$ existe un natural $n_k \geq k$ tal que $|a_{n_k} – L | \geq \varepsilon_0.$

$2 \Rightarrow 3]$ Sea $\varepsilon_0 > 0$ tal que cumple $2)$ y sea $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que $n_1 \geq 1$ y $|a_{n_1} – L| \geq \varepsilon_0.$

Ahora sea $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que $n_2 > n_1$ y $|a_{n_2} – L| \geq \varepsilon_0.$

Sea $n_3 \in \mathbb{N}$ tal que $n_3 > n_2$ y $|a_{n_3} – L| \geq \varepsilon_0.$

Se continúa de esta manera para obtener la subsucesión $\{a_{n_k}\}$ tal que $|a_{n_k} – L| \geq \varepsilon_0$ para todo $k \in \mathbb{N}.$

$3 \Rightarrow 1]$ Supongamos que $\{a_n\}$ tiene una subsucesión $\{a_{n_k}\}$ que satisface la condición $3)$. Entonces $\{a_n\}$ no puede converger a $L$ porque sería una contradicción al teorema anterior.

$\square$

Criterios de no convergencia. Sea $\{a_n\}$ una sucesión de números reales. Si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones, entonces la sucesión es divergente.

  1. $\{a_n\}$ tiene dos subsucesiones convergentes $\{a_{n_k}\}$ y $\{a_{n_l}\}$. Donde $\{a_{n_k}\}$ converge $L$ y $\{a_{n_l}\}$ converge a $M$, pero $L \neq M.$
  2. $\{a_n\}$ no está acotada.

Ejemplo 5. Prueba que la sucesión $\{(-1)^n\}$ no es convergente.

Demostración.

Consideremos las subsucesiones $\{(-1)^{2k}\}$ y $\{(-1)^{2k-1}\}$. Es claro que la primera subsucesión converge a $1$, mientras que la segunda converge a $-1$. Por tanto, la sucesión no converge.

$\square$

Ejemplo 6. Prueba que la sucesión $\{n!\}$ no es convergente.

Demostración.

Dado que $n! \geq n$ para todo $n \in \mathbb{N}$, y sabemos que la sucesión generada por los números naturales no está acotada. Se sigue que la sucesión $\{n!\}$ no está acotada. Por tanto, no es convergente.

$\square$

Ejemplo 7. Prueba que la sucesión $\{ 1 – (-1)^n + \frac{1}{n} \}$ no es convergente.

Demostración.

Consideremos las subsucesiones $\{ 1 – (-1)^{2k} + \frac{1}{2k} \}$ y $\{ 1 – (-1)^{2k-1} + \frac{1}{2k-1} \}.$

Notemos que

\begin{align*}
\lim_{k \to \infty } 1 – (-1)^{2k} + \frac{1}{2k} & = \lim_{k \to \infty } 1 – ((-1)^2)^k + \frac{1}{2k} \\ \\
& = \lim_{k \to \infty } 1 – (1)^k + \frac{1}{2k} \\ \\
& = 1-1+0 \\ \\
& = 0.
\end{align*}

Análogamente, se tiene que

\begin{align*}
\lim_{k \to \infty } 1 – (-1)^{2k-1} + \frac{1}{2k-1} & = \lim_{k \to \infty } 1 – (-1)^{2k} \cdot (-1)^{-1} + \frac{1}{2k-1} \\ \\
& = \lim_{k \to \infty } 1 – (1)^k \cdot (-1) + \frac{1}{2k-1} \\ \\
& = 1+1+0 \\ \\
& = 2.
\end{align*}

Por tanto, la primera subsucesión converge a $0$, mientras que la segunda converge a $2$. Se concluye que la sucesión $\{ 1 – (-1)^n + \frac{1}{n} \}$ no es convergente.

$\square$

Teorema de Bolzano-Weierstrass

El teorema de Bolzano-Weierstrass nos indica que toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Un ejemplo claro es el revisado en esta entrada, la sucesión $\{(-1)^n\}$ de la cual hemos probado anteriormente que está acotada y es fácil notar que la subsucesión generada por los índices pares $n_k =2k$ es convergente. Sin embargo, para probar el caso general, veremos primero que toda sucesión tiene una subsucesión monótona y, usando un teorema previamente revisado que indica que toda sucesión monótona acotada es convergente, podremos probar fácilmente el teorema de Bolzano-Weierstrass.

Teorema. Si $\{a_n\}$ es una sucesión de números reales, entonces existe una subsucesión $\{a_{n_k} \}$ que es monótona.

Demostración.

Por practicidad, diremos que $a_m$ es un «pico» si $a_m \geq a_n$ para todo $n \geq m$. Es decir, $a_m$ nunca es excedido por ningún término posterior en la sucesión. Tal como se muestra en la siguiente ilustración, donde los puntos rojos representan los «picos» de la sucesión.

Podemos notar que en una sucesión decreciente cualquier término es un pico, mientras que para una sucesión creciente ningún término es un pico. Dada una sucesión, podemos dividir en dos casos de acuerdo a la cantidad de picos que ésta posea.

  • Caso 1: La sucesión tiene una cantidad infinita de picos.
    En este caso, la enumeración de los picos se hace con subíndices crecientes: $a_{m_1}$, $a_{m_2}$, $\ldots$, $a_{m_k}$, $\ldots$ Puesto que cada término es un pico se tiene que
    $$ a_{m_1} \geq a_{m_2} \geq \ldots \geq a_{m_k}.$$
    Por tanto, la subsucesión $\{ a_{m_k}\}$ es una subsucesión decreciente de $\{ a_n\}$.

  • Caso 2: La sucesión tiene una cantidad finita de picos.
    Nuevamente, la sucesión generada por los subíndices es creciente: $a_{m_1}$, $a_{m_2}$, $\ldots$, $a_{m_k}$. Sea $s_1 = m_k+1$ el primer índice después del último pico, entonces existe $s_2 > s_1$ tal que $a_{s_1} < a_{s_2}$ dado que $a_{s_1}$ no es un pico. Además, sucede que $a_{s_2}$ tampoco es un pico, por lo que existe $s_3 > s_2$ tal que $a_{s_2} < a_{s_3}$. Al continuar de esta forma, se obtiene una subsucesión creciente $\{ a_{s_k}\}$ de $\{a_n\}.$

De ambos casos podemos concluir que toda sucesión tiene una subsucesión monótona.

$\square$

Teorema de Bolzano-Weierstrass. Toda sucesión acotada de números reales tiene una subsucesión convergente.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión acotada. Por el teorema anterior, sabemos que $\{a_n\}$ tiene una subsucesión monótona $\{a_{n_k}\}$, además la subsucesión también está acotada pues $\{a_n\}$ lo está, entonces $\{a_{n_k}\}$ es convergente.

$\square$

Como último teorema, revisaremos que si toda subsucesión convergente de una sucesión acotada tiene límite $L$, entonces debe suceder que la sucesión original también converja a $L$.

Teorema. Sea $\{a_n\}$ una sucesión acotada de números reales. Si toda subsucesión convergente $\{a_{n_k} \}$ de $\{a_n\}$ converge a $L$, entonces $\{a_n\}$ también converge y lo hace a $L$.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión acotada tal que todas sus subsucesiones convergentes lo hacen a $L$. Entonces existe $M \in \mathbb{R}$ tal que $|a_n| < M$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Supongamos que $\{a_n\}$ no converge a $L$, entonces existen $\varepsilon_0 > 0$ y una subsucesión $\{a_{n_k}\}$ tal que

$$|a_{n_k} – L| \geq \varepsilon_0 \quad \forall k \in \mathbb{N}. \tag{1}$$

Puesto que $\{ a_{n_k}\}$ es una subsucesión de $\{a_n\}$, entonces también se cumple que $|a_{n_k}| < M $. Es decir, $M$ también es una cota $\{ a_{n_k}\}$. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, esto implica que $\{a_{n_k}\}$ tiene una subsucesión convergente $\{a_{r_k}\}$. Puesto que esta última subsucesión también es subsucesión de $\{a_n\}$ converge a $L$ por hipótesis. Por tanto, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para $r_k \geq n_0$ se tiene que $|a_{r_k} – L| \leq \varepsilon_0$, lo cual contradice $(1).$

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos las sucesiones de Cauchy, las cuales nos permitirán dar un enfoque especial a las sucesiones convergentes donde no será necesario conocer a priori el valor del límite. Además, probaremos la equivalencia existente entre las sucesiones convergentes y las sucesiones de Cauchy.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Da un ejemplo de una sucesión y dos subsucesiones de ella.
  • Da un ejemplo de una sucesión acotada que tenga una subsucesión convergente.
  • Da un ejemplo de una sucesión no acotada que tenga una subsucesión convergente.
  • Prueba que la sucesión $\{ \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right) ^{n^2} \}$ es convergente.
  • Determina el límite de la sucesión$\{ (3n)^{\frac{1}{2n}} \}$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»