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Teoría de los Conjuntos I: Cotas superiores y supremos

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de cotas superiores y supremos. Estos nuevos conceptos también nos permitirán acotar conjuntos ordenados.

Cotas superiores

Para comenzar esta entrada definiremos a una cota superior.

Definición: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es una cota superior de $B$ si $x\leq a$ para toda $x\in B$.

Notemos que la definición es muy parecida al concepto de máximo, sin embargo, los conceptos difieren en que el máximo debe vivir en el conjunto al que estamos acotando y la cota no necesariamente debe satisfacer esto. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ ordenado con la inclusión. Sea $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\leq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

$\square$

Ejemplo:

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ ordenado con la inclusión. Sea $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\leq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Además $\set{\emptyset}\in B$ también es una cota superior de $B$ pues para cada $x\in B$, $x\leq \set{\emptyset}$. Más aún, $\set{\emptyset}$ es el elemento máximo de $B$.

Como consecuencia de lo anterior podemos concluir que la propiedad de ser máximo implica ser cota superior, pero no siempre es válido el regreso.

$\square$

De este último ejemplo podemos notar que la cota superior en un conjunto puede no ser única, y entonces podemos pensar en el conjunto que tenga a todas las cotas superiores. Esta idea junto con el concepto de mínimo motiva el concepto de supremo.

Supremos

Definición: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es supremo de $B$ si es el elemento mínimo del conjunto de todas las cotas superiores de $B$. Lo denotamos por $\sup(B)$.

Ejemplo:

Retomando el ejemplo anterior, si consideramos al conjunto de todas las cotas superiores de $B$, es decir, $\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tenemos que el supremo es $\set{\emptyset}$ pues respecto al orden de $A$ se tiene que $\set{\emptyset}\leq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y por lo tanto, $\set{\emptyset}$ es el mínimo de las cotas superiores de $B$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}= \sup(B)$.

$\square$

Teorema: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene supremo en el orden $\leq$, entonces es único.

Demostración:

Sea $(A,\leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ no vacío. Supongamos que $B$ tiene supremo, es decir, que existe $a\in A$ de tal forma que $x\leq a$ para toda $x\in B$ y, si $b\in A$ es tal que $x\leq b$ para toda $x\in B$, entonces, $a\leq b$.

Supongamos que $a_1,a_2\in A$ son supremos de $B$. Veamos que $a_1=a_2$.

Como $a_1$ es supremo de $B$, en particular se tiene que $x\leq a_1$ para toda $x\in B$. Luego, como $a_2$ es supremo de $B$ se sigue por definición que $a_2\leq a_1$. De manera análoga, como $a_2$ es supremo de $B$, en particular se tiene que $x\leq a_2$ para toda $x\in B$ y así, como $a_1$ es supremo de $B$ se sigue por definición que $a_1\leq a_2$.

Tenemos entonces que $a_1\leq a_2$ y $a_2\leq a_1$, de donde se sigue que $a_1=a_2$, lo cual demuestra la unicidad del supremo.

$\square$

Teorema: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $b\in B$ es el elemento máximo de $B$, entonces $b$ es el supremo de $B$.

Demostración:

Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Luego como $b\in B$ es el elemento máximo de $B$, entonces para cualquier $x\in B$, $x\leq b$.

Sea $C$ el conjunto de todas las cotas superiores de $B$. Veamos que $b\in C$ y que $b=\min(C)$. Dado que $x\leq b$ para todo $x\in B$, entonces $b$ es cota superior de $B$ y, por tanto, $b\in C$. Luego, si $c\in C$ es cualquier elemento, entonces $c$ es cota superior de $B$, es decir, $x\leq c$ para cualquier $x\in B$. En particular, como $b\in B$ se tiene que $b\leq c$. Esto muestra que $b=\min(C)$.

Por lo tanto, $b=\sup(B)$.

$\square$

Aún cuando ser máximo implica ser supremo, no siempre va a ocurrir que el supremo de un conjunto sea máximo, como ocurre en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ ordenado con la inclusión. Sea $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\leq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Sin embargo, $B$ no tiene máximo pues no existe $x\in B$ tal que $y\leq x$ para todo $y\in B$. De forma especifica aunque $\emptyset\leq \set{\emptyset}$ y $\emptyset\leq \set{\set{\emptyset}}$, no hay nadie por encima de $\set{\emptyset}$ ni de $\set{\set{\emptyset}}$ dentro del conjunto $B$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta sección y de la sección anterior(Teoría de los Conjuntos I: Mínimos, máximos, minimales y maximales):

  • Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Demuestra que si $b$ es supremo y $b\in B$, entonces $b$ es máximo de $B$.
  • Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B,C\subseteq A$ no vacíos. Si $B$ y $C$ tienen supremo y $B\subseteq C$, demuestra que $\sup(B)\leq \sup(C)$.
  • Exhibe un conjunto que esté acotado superiormente pero que no tenga supremo.
  • Dé un ejemplo de un conjunto ordenado $(A,\leq)$ en el cual se cumpla que el conjunto $\emptyset$ tiene supremo.

Más adelante

La siguiente sección estará dedicada a un tipo particular de conjuntos ordenados llamados: Buenos órdenes. En dicha sección serán importantes los conceptos sobre máximos y mínimos.

Enlaces

En los siguientes enlaces puedes consultar más contenido acerca de cotas superiores e inferiores, así como de ínfimos y supremos, esta vez desde la perspectiva del cálculo.