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Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones de Cauchy

Introducción

En las entradas anteriores vimos las propiedades de una sucesión convergente para lo cual era necesario conocer su límite. En esta ocasión estudiaremos a las sucesiones de Cauchy, éstas cumplen una propiedad particular: dado un valor positivo arbitrario, existe un momento en la sucesión a partir del cual la distancia entre dos términos cualesquiera es menor al valor arbitrario establecido. Además, probaremos la relación entre este tipo de sucesiones y las sucesiones convergentes.

Sucesiones de Cauchy

La definición formal de sucesión de Cauchy se da a continuación.

Definición. Se dice que una sucesión $\{a_n\}$ de números reales es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$ existe un número natural $k$ tal que para todo los números naturales $n$, $m \geq k$ se satisface que $|a_n – a_m| < \varepsilon$.

Notemos que, a diferencia de las sucesiones convergentes, las sucesiones de Cauchy no hablan en ningún momento de un límite. Veremos a continuación un ejemplo.

Ejemplo. La sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ es una sucesión de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Tomemos $k > \frac{2}{\varepsilon}$. Si $n$, $m > k$, entonces $\frac{1}{n} < \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2}$. Análogamente se tiene que $\frac{1}{m} < \frac{\varepsilon}{2}$.

Por lo anterior, si $n$, $m > k$, entonces

\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right\rvert & \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon
\end{align*}

$$\therefore \left\lvert \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right\rvert < \varepsilon$$

Se concluye que $\{\frac{1}{n}\}$ es una sucesión de Cauchy.

$\square$

Una de las propiedades naturales de la sucesiones de Cauchy es que son sucesiones acotadas; esto derivado directamente de la definición donde debe existir un punto $k$ a partir de donde cualesquiera dos términos deben distar menos de $\varepsilon$, pues si la sucesión no estuviese acotada implicaría que crece o decrece indefinidamente y, en consecuencia, también comenzaría a crecer mucho la distancia entre, digamos, $n=k+1$ y un valor $m \gg k$. A continuación demostraremos tal propiedad.

Proposición. Toda sucesión de Cauchy está acotada.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de Cauchy. Entonces para $\varepsilon = 1$, existe $k \in \mathbb{N}$ tal que para $n \geq k$, se tiene que $|a_n – a_k| < \varepsilon = 1$. De la desigualdad del triangulo se tiene que

\begin{gather*}
& |a_n|-|a_k| \leq |a_n-a_k| < 1 \\
\Rightarrow & |a_n| \leq 1 + |a_k|
\end{gather*}

Notemos que $1+|a_k|$ es una cota para los términos subsecuentes de $a_k$. Para extender la cota a los primeros $k-1$ términos, consideremos $M = max\{ |a_1|, |a_2|, \cdots, |a_{k-1}|, 1+|a_k|\}$. De esta forma, para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que $|a_n| < M$. Por tanto, la sucesión está acotada.

$\square$

Es importante resaltar que es distinto que una sucesión sea de Cauchy a que cumpla que la distancia entre dos términos consecutivos sea cada vez menor, y lo veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ tal que $a_n = \sqrt{n}$. Prueba que la sucesión $\{a_n\}$ satisface que

$$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}-a_n| = 0$$

Pero que no es una sucesión de Cauchy.

Demostración.

Notemos que

\begin{align*}
|a_{n+1}-a_n| & = \left\lvert \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right\rvert \\ \\
& = \left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right) \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\
& = \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\ & = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
\end{align*}

Por lo anterior, se sigue que
$$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}-a_n| = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$$

Por otro lado, se tiene que la sucesión $\{a_n\}$ no está acotada, por lo cual no puede ser una sucesión de Cauchy.

$\square$

Relación entre sucesiones convergentes y de Cauchy

Dentro de los números reales, que una sucesión sea de Cauchy es equivalente a que sea convergente y a este hecho se le suele llamar Completitud.

Teorema. Si $\{a_n\}$ es una sucesión de números reales convergentes, entonces es de Cauchy.

Demostración

Sea $\varepsilon > 0$

Dado que $\{a_n\}$ es convergente, digamos a $L$, entonces para $\frac{\varepsilon}{2}$ existe un número $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ se satisface que $|a_n – L | < \frac{\varepsilon}{2}$.

Consideremos $k = n_0$. Si $n$, $m \geq k$, entonces

\begin{align*}
|a_n-a_m| & = |a_n-L+L-a_m| \\
& \leq|a_n-L| + |L-a_m| \\
& = |a_n-L| + |a_m – L| \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon
\end{align*}

$$\therefore |a_n-a_m| < \varepsilon$$

Por lo tanto, $\{a_n\}$ es de Cauchy.

$\square$

Teorema. Toda sucesión de Cauchy es convergente.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de Cauchy. Por la proposición revisada anteriormente, $\{a_n\}$ está acotada. Además por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión $\{a_{n_r}\}$ convergente y llamemos $L$ al límite de tal subsucesión. Probaremos que $\{a_n\}$ también converge a $L$.

Sea $\varepsilon > 0$.

Como la sucesión $\{a_n\}$ es de Cauchy, entonces existe $k \in \mathbb{N}$ tal que
$$|a_n-a_m| < \varepsilon \quad \forall n,m \geq k \tag{1}$$

Por otro lado, como $\{a_{n_r} \}$ converge a $L$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que

$$|a_{n_i} – L| < \varepsilon \quad \forall n_i \geq n_0 \tag{2}$$

Consideremos $M = max\{k, n_0\}$. Si $s \geq M \geq n_0$, entonces se cumple $(2)$ y además sabemos que $n_s \geq s \geq M \geq k$, pues $n_i$ es una sucesión creciente de números naturales, por tanto también se cumple $(1)$. De esto se sigue que

\begin{align*}
|a_s-L|& = |a_s-a_{n_s}+a_{n_s}-L| \\
& \leq |a_s-a_{n_s}|+|a_{n_s}-L| \\
& \leq \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon
\end{align*}

$$\therefore |a_n-L| < \varepsilon \quad \forall n \geq M$$

Se concluye que $\{a_n\}$ es convergente.

$\square$

Tarea moral

  • Da una sucesión acotada que no sea una sucesión de Cauchy.
  • Prueba mediante la definición que la sucesión $\{ \frac{n+1}{n} \}$ es de Cauchy.
  • Demuestra mediante la definición que la sucesión $\{ (-1)^n \}$ no es ce Cauchy.
  • Prueba mediante la definición que si $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son sucesiones de Cauchy, entonces la sucesión $\{a_n+b_n\}$ también es de Cauchy.
  • Demuestra mediante la definición que si $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son sucesiones de Cauchy, entonces la sucesión $\{a_n \cdot b_n\}$ también es de Cauchy.

Más adelante…

Uno de los números más famosos en mátematicas y que probablemente has escuchado hablar de él es el número de Euler: $e$. En la siguiente entrada estudiaremos este número a través de sucesiones y probaremos algunas de sus propiedades.

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