Introducción
En este curso entraremos en la segunda parte de la materia Cálculo Diferencial e Integral I. En estas notas tomaremos los temas que involucra el cálculo integral, desde su origen hasta las aplicaciones de las diferentes propiedades de la integral.
El objetivo principal de esta rama matemática es el estudio de las integrales y las anti-derivadas como un método de solución a los problemas de cálculo de áreas y de volúmenes.
Históricamente, se han encontrado casos de utilización de estas herramientas del cálculo en trabajos antiguos, por ejemplo, los trabajos de Arquímedes; pero fue hasta los siglos XVI y XVII donde se tuvo un desarrollo sistemático, generado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, considerados como los dos grandes pioneros y más grandes representantes del Cálculo; más no fueron los únicos aportadores a este.
Entre los diferentes aportadores del cálculo, se encuentra Isaac Barrow, quién sería el profesor de Newton, tenía una comprensión sobre la reciprocidad entre la derivación e integración. Este concepto es el punto de partida del cálculo desarrollado por Newton y Leibnitz.
En el curso anterior de cálculo hablamos de la derivada y que se puede interpretar como la razón de cambio del objeto de análisis: la tangente de una curva, la velocidad y aceleración de una partícula, la variación de un objeto en su trayectoria, etc. En este curso hablaremos de la integral y su utilidad para el cálculo de áreas bajo la curva.
Tenemos una noción de área con formulas predefinidas en nuestros cursos de primaria, secundaria y bachillerato, pero antes de establecer estas fórmulas cerradas, se construyeron por diferentes métodos y uno de ellos es la integración. Definimos, intuitivamente, al área como la región contenida en una curva, la cual mide cuantas unidades cuadradas contiene la curva.
Método exhaustivo
El método exhaustivo es un método matemático que utiliza la geometría para aproximar algún resultado o aproximar a la solución un problema que tengamos- La característica que tiene el método es que, a la vez que aumenta el cálculo o las repeticiones, aumenta el grado de precisión al resultado que queremos.
Uno de las aplicaciones que tiene este método la desarrolló Arquímedes, quien utilizó este método para el cálculo de áreas planas, procedimiento que desarrolló Eudoxo, solo que su objetivo era calcular el volumen de las pirámides de Egipto.
Para ejemplificar este método de manera informal, vamos a calcular el área de un circulo mediante este método.
Sea $C$ un círculo y sea $M$ un número natural tal que $P_M$ sea un polígono de $M$ lados que se inscribe en el círculo, del mismo modo tendremos un polígono $Q_M$ que se circunscribe en el mismo círculo. Por ejemplo: sea $M = 5$.
De esta forma, generamos 2 áreas usando los polígonos.
Cada vez que cambiamos la $M$, generamos un par de polígonos diferentes, así que estamos generamos 2 sucesiones de ellos. Primero tenemos una sucesión de polígonos inscritos $P_M$ cuya área queda acotada superiormente por el área de los polígonos $Q_M$; a su vez que el área de la sucesión de polígonos $Q_M$ queda acotada inferiormente por la sucesión $P_M$ y el área del circulo $C$ queda entre ambas áreas; más aún.
$$Sup_{n>=1} (área(P_N)) = Inf_{n>=1} (área(Q_n))$$
Por lo tanto, cuando la $M$ aumenta, generamos un polígono con más lados que van acercándose a la circunferencia.
Con este método iterativo, aproximamos el área del circulo que ahora se encuentra inscrito entre 2 polígonos, de los cuales, sabemos calcular el área mediante triángulos. Y mientras más fraccionemos los polígonos, la aproximación del área del círculo será más certera.