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Cálculo Diferencial e Integral I: Diferenciales

Introducción

Vimos que una forma de expresar a la derivada de una función $y=f(x)$ es utilizando la notación:
$$\dfrac{dy}{dx}=f'(x)$$

Recordemos que $ \dfrac{dy}{dx}$ es un «símbolo» que utilizamos para denotar el límite:
$$\lim_{\varDelta x \to 0}\frac{\varDelta y}{\varDelta x}$$
Por lo que no consideremos a $\dfrac{dy}{dx}$ como una fracción donde su numerador es $dy$ y su denominador $dx$. No obstante en diversos problemas de aplicaciones del Cálculo es necesario dar interpretaciones separadas a $dx$ y $dy$. En esta entrada veremos cuál es la interpretación de estos nuevos «símbolos» y como su aplicación nos resulta útil.

Definición de la diferencial de una función

Definición (Diferencial): Si tenemos una función $f$ derivable. Definimos a la diferencial de $f$ como el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente $x$.
$$df(x)=f'(x)dx$$

Para simplificar un poco la notación consideremos $y=f(x)$ y nos quedamos con:
$$dy=f'(x)dx$$

A continuación veremos algunos ejemplos donde se nos pide hallar la diferencial de una función haciendo uso de la definición revisada.

Algunos ejemplos de funciones y su diferencial

Obtén la diferencial de las siguientes funciones:

  1. $$y=x^{3}-3x$$
  2. $$\rho = \sin(a\theta)$$
  3. $$t=\frac{x}{a}+\frac{a}{x}$$
  4. $$s=\theta cos(\theta)$$
  5. $$y=\log(\sin(x))$$
  6. $$\gamma = e^{t}cos(\pi t)$$

Solución: Aplicaremos la definición siguiente en cada uno de los incisos
$$dy=f'(x)dx$$

  1. Para la función $y=x^{3}-3x$ tenemos:
    \begin{align*}
    dy&=(x^{3}-3x)’ dx\\
    &=(3x^{2}-3)dx
    \end{align*}
    Por lo que la diferencial es $dy=(3x^{2}-3)dy$
  2. Ahora para la función $\rho =\sin(a\theta)$:
    \begin{align*}
    d \rho &= (\sin(a\theta))’ d\theta\\
    &=a \cos(a\theta) d\theta
    \end{align*}
    Concluimos que $d \rho =a \cos(a\theta) d\theta$
  3. Aplicando la definición con $t=\frac{x}{a}+\frac{a}{x}$:
    \begin{align*}
    dt &=\left(\frac{x}{a}+\frac{a}{x}\right)’ dx\\
    &= \left(\frac{x}{a}+ax^{-1}\right)’ dx\\
    &=\left(\frac{1}{a}-ax^{-2}\right) dx\\
    &= \left(\frac{1}{a}-\frac{a}{x^{2}}\right) dx
    \end{align*}
    Por lo tanto $dt = \left(\frac{1}{a}-\frac{a}{x^{2}}\right) dx$
  4. Del mismo modo para $s=\theta cos(\theta)$:
    \begin{align*}
    ds&= (\theta \cos(\theta))’ d\theta\\
    &= (\cos(\theta)-\theta \sin(\theta))d\theta
    \end{align*}
    Así $ds = (\cos(\theta)-\theta \sin(\theta))d\theta$
  5. Y si consideramos $y=\log(\sin(x))$:
    \begin{align*}
    dy &= (\log(\sin(x)))’dx\\
    &=\frac{1}{\sin(x)}\cdot \cos(x) dx\\
    &=\frac{\cos(x)}{\sin(x)} dx\\
    &=ctg(x) dx
    \end{align*}
    Por lo que $dy = ctg(x) dx$
  6. Finalmente para $\gamma = e^{t}cos(\pi t)$:
    \begin{align*}
    d\gamma &= (e^{t}\cos(\pi t))’ dt\\
    &= (e^{t}\cos(\pi t)-e^{t}\sin(\pi t))dt
    \end{align*}
    Concluyendo $d\gamma =(e^{t}\cos(\pi t)-e^{t}\sin(\pi t))dt$

A continuación veremos una interpretación geométrica de la diferencial que más adelante nos permitirá revisar algunos problemas de aplicación.

Una interpretación de la diferencial

Tomemos la función $y=f(x)$ y al punto $A$ sobre la curva. Consideremos a $f'(x)$ como el valor de la derivada en $A$ y tracemos la recta tangente en dicho punto.

Nombremos al segmento $AB$ como $dx$. Recordemos que la definición de la diferencial es:
$$dy=f'(x)dx$$

Por lo visto en la primera entrada de esta unidad sabemos que:
$$f'(x)=\tan(\alpha)$$

Además aplicando la definición de la función tangente apoyándonos en el gráfico siguiente se sigue:
\begin{align*}
\tan(\alpha)&= \frac{co}{ca}\\
&=\frac{CB}{AB} \tag{*}
\end{align*}

Cuando sustituimos $(*)$ y $dx=AB$ obtenemos lo siguiente:
\begin{align*}
dy&= \left(\frac{CB}{AB}\right)(AB)\\
&= \left(\frac{CB}{\cancel{AB}}\right)(\cancel{AB})\\
&=CB
\end{align*}
Observamos que $dy$ nos brinda una aproximación al incremento $\varDelta y$ que esta dado por el segmento $A_1B$, cuando $dx$ es pequeña.

Es decir:
$$dy \approx \varDelta y$$

Utilizaremos esta cualidad cuando necesitemos hallar un valor aproximado del incremento de una función. En las siguientes secciones revisaremos un par de problemas donde haremos uso de la diferencial para resolverlos.

Problema 1

Obtener el incremento del área de un cuadrado de lado $8m$ al aumentar el lado $5mm$.
Para resolver este problema veremos dos métodos de solución, en el primero no usaremos la diferencial y en el segundo si la utilizaremos.

Solución sin usar la diferencial

Sabemos del problema que:
\begin{align*}
I&= 8m & \varDelta l &=5mm\\
A&=64 m^{2} & l_0&= 8.005m
\end{align*}
Por lo que el área del nuevo cuadrado con el lado $l_0$ sería:
\begin{align*}
A_0&= (8.005 m)^{2}\\
&=64.080025 m^{2}
\end{align*}

Obtenemos el incremento del área $\varDelta A$ haciendo la resta del área original con el área del nuevo cuadrado.
\begin{align*}
\varDelta A &= 64.080025m^{2} -64m^{2}\\
&=0.080025m^{2}
\end{align*}

$$\therefore \varDelta A=0.080025 m^{2}$$

Solución utilizando la diferencial

Si tomamos a $l$ como el lado del cuadrado tenemos que su área es:
$$A=l^{2}$$
Cómo sabemos que $dA\approx \varDelta A$ usando la definición para la diferencial de $a$ tendríamos:
\begin{align*}
dA&= 2l dl\\
&=2(8)(0.005)\\
&= 0.08
\end{align*}
Por lo tanto tenemos que el incremento obtenido es:
$$\varDelta A \approx 0.08m^{2}$$

que notamos es una buena aproximación al incremento obtenido en el método anterior, sin embargo, al haber utilizado la diferencial el problema nos resultó un poco más sencillo de resolver.

Problema 2

Si sabemos que $\sqrt{25}=5$, obtén una aproximación al valor $\sqrt{27}$.
Solución:
Consideraremos la función $y=\sqrt{x}$. Del problemas podemos ver que el incremento de $x$ es:
$$\varDelta x = 27-25=2$$

Ahora obtengamos la diferencial de $y$:
$$dy=\frac{dy}{2\sqrt{x}}$$
$(**)$

Nosotros consideraremos a $x=25$ y como una aproximación al diferencial de $x$ al incremento $\varDelta x=2$. Entonces ocurre que al sustituir todo en $(**)$ tenemos:
\begin{align*}
dy&=\frac{2}{2\sqrt{25}}\\
&=\frac{2}{(2)(5)}\\
&=\frac{1}{5}\\
&=0.2
\end{align*}
Concluimos así que una aproximación al valor de $\sqrt{27}$ es:
\begin{align*}
\sqrt{27}&\approx 5+0.2\\
&\approx 5.2
\end{align*}
$$\therefore \sqrt{27}\approx 5.2$$
Si comparamos esta aproximación con el valor que nos brinda una calculadora ($\sqrt{27}=1961$ considerando sólo cuatro decimales) podemos notar que es bastante similar. Así la diferencial se puede utilizar cuando necesitemos obtener aproximaciones de valores cuyo incremento con uno conocido sea pequeño.

En la siguiente sección encontrarás ejercicios que podrás realizar para aplicar lo estudiado en esta entrada.

Tarea moral

  • Demuestra usando la definición, las siguientes reglas para las diferenciales:
    • $$d(s+t)=ds + dt$$
    • Con $c$ una constante:
      $$d(cu)=c \cdot du$$
    • $$d(st)=s dt+ t ds$$
  • Hallar la diferencial de las siguientes funciones:
    • $y=\sqrt{1-4x}$
    • $t=\sin{2s}$
    • $u=\log{cv}$
  • Sabiendo que $\sqrt{16} =4$ utilizando la diferencial obtén una aproximación de $\sqrt{17}$.
  • Utilizando la diferencial da una aproximación del incremento del volumen de un cubo con $l=3m$ al aumentar el lado $0.002m$.

Más adelante

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