Geometría Moderna II: Circunferencias Ortogonales

Por Armando Arzola Pérez

1.3 Circunferencias Ortogonales

Observación

Dos circunferencias que se intersecan son ortogonales si sus tangentes a un punto de contacto forman un ángulo recto, o también si los radios que van de los centros a los puntos de intersección son ortogonales.

Teorema:

El centro de una circunferencia que corta a 2 circunferencias ortogonales, está en el eje radical de estas últimas.

Demostración:

Sean \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) dos circunferencias dadas, y sea \(C_3(O_3,r_3)\) una circunferencia ortogonal a $C_1$ y $C_2$.

Denotaremos a $T_1$ a uno de los puntos de intersección de $C_1$ y $C_3$, y a $T_2$ un punto de intersección de $C_2$ y $C_3$. Por demostrar que $O_3$ está en el eje radical de $C_1$ y $C_2$, solo falta demostrar que

$Pot(O_3,C_1)$ $=$ $Pot(O_3,C_2)$

Ahora como $O_3T_2$ y $O_3T_1$ son radios de $C_3$, entonces

$O_3T_1$ $=$ $O_3T_2$ $\Longleftrightarrow$ $(O_3T_1)^2=(O_3T_2)^2$

Por proposición 3 de potencia:

$Pot(O_3,C_1)=(O_3T_1)^2=(O_3T_2)^2=Pot(O_3,C_2)$

$Pot(O_3,C_1)=Pot(O_3,C_2)$

$\therefore$ $O_3$ es un punto del eje radical de $C_1$ y $C_2$. $\blacksquare$

Teorema:

Si una circunferencia cuyo centro está en el eje radical de dos circunferencias, y es ortogonal una de ellas, es también ortogonal a la otra.

Demostración:

Tomando como referencia la figura anterior.

Sea $C_3$ una circunferencia tal que su centro $O_3$ está en el eje radical de $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias dadas y $C_3$ es ortogonal a $C_2$.

Se quiere demostrar que $C_3$ es ortogonal a $C_1$ o sea por Pitágoras

$(O_3O_1)^2-r_1^2= (O_3T_1)^2$

Dado que $C_3$ es ortogonal a $C_2$, el triángulo $\triangle O_3T_2O_2$ es rectángulo, entonces por Pitágoras $(O_3O_2)^2-r_2^2= (O_3T_2)^2$. Ahora como $O_3$ está en el eje radical de $C_1$ y $C_2$, y por propiedad de potencias se tiene:

$(O_3O_2)^2 – r_2^2=(O_3O_1)^2-r_1^2$ y como $O_3T_1=O_3T_2$

$\Rightarrow$ $(O_3T_1)^2=(O_3T_2)^2=(O_3O_2)^2-r_2^2=(O_3O_1)^2-r_1^2$

$\therefore$ $C_3$ es ortogonal a $C_1$. $\blacksquare$

Teorema:

Sean 2 circunferencias $C_1$ y $C_2$, y sea $C_3(O_3,r_3)$ una circunferencia ortogonal a $C_1$ y $C_2$. Entonces se generan 3 casos:

  1. Si $C_1$ y $C_2$ se intersecan, entonces $C_3$ no interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.
  2. Si $C_1$ y $C_2$ son tangentes, $C_3(O_3,r_3)$ es tangente a $O_1O_2$ la línea de los centros.
  3. Si $C_1$ y $C_2$ no se intersecan, entonces $C_3$ interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.

Demostración:

Sea $C_3$ una circunferencia ortogonal a 2 circunferencias dadas $C_1$ y $C_2$. Sea $X$ a la intersección de $O_1O_2$ con «$l$» el eje radical de las circunferencias $C_1$ y $C_2$. Ahora, dado que $C_3$ es ortogonal a $C_1$ y $C_2$, se tienen dos triángulos rectángulos:

$\triangle O_3T_1O_1$ y $\triangle O_3XO_1$

$\Rightarrow$ Por Pitágoras:

$(O_3T_1)^2+r_1^2=(O_3O_1)^2=(O_1X)^2+(O_3X)^2$

$\Longleftrightarrow$ $r_1^2-(O_1X)^2=(O_3X)^2-r_3^2$

Caso 1

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias que no se intersecan. Por demostrar que $C_3$ no interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.

Como

$r_1>O_1X$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2>O_1X^2$

$\Rightarrow$ $r_1-O_1X>0$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2-O_1X^2>0$

$\Rightarrow$ $r_1^2-(O_1X)^2$ $=$ $(O_3X)^2-r_3^2$

$\Rightarrow$ $(O_3X)^2-r_3^2>0$ $\Longleftrightarrow$ $(O_3X)^2>r_3^2$

$\Longleftrightarrow$ $O_3X>r_3$

$\therefore$ $C_3(O_3,r_3)$ no interseca la línea de los centros $O_1O_2$ $\blacksquare$

Caso 2

Sean $C_1$ y $C_2$ tangentes. Por demostrar que $C_3(O_3,r_3)$ es tangente a $O_1O_2$ la línea de los centros.

$r_1=O_1X$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2=O_1X^2$

$\Rightarrow$ $r_1-O_1X=0$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2-O_1X^2=0$

$\Rightarrow$ Por Pitágoras $r_1^2-(O_1X)^2$ $=$ $(O_3X)^2-r_3^2$

$\Rightarrow$ $(O_3X)^2-r_3^2=0$ $\Longleftrightarrow$ $(O_3X)^2=r_3^2$

$\Longleftrightarrow$ $O_3X=r_3$

$\therefore$ $C_3(O_3,r_3)$ es tangente a $O_1O_2$ la línea de los centros.$\blacksquare$

Caso 3

Sean $C_1$ y $C_2$ que no se interceptan. Por demostrar que $C_3$ interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.

$r_1<O_1X$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2<O_1X^2$

$\Rightarrow$ $r_1-O_1X<0$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2-O_1X^2<0$

$\Rightarrow$ Por Pitágoras $r_1^2-(O_1X)^2$ $=$ $(O_3X)^2-r_3^2$

$\Rightarrow$ $(O_3X)^2-r_3^2<0$ $\Longleftrightarrow$ $(O_3X)^2<r_3^2$

$\Longleftrightarrow$ $O_3X<r_3$

$\therefore$ $C_3(O_3,r_3)$ interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.$\blacksquare$

Más adelante…

Se abordará en la siguiente entrada las Familias Coaxiales.

Al final de los temas de esta primera unidad se dejará unas series de ejercicios.

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