Geometría Analítica II

Leonardo Martínez con StableDifussion

En esta página puedes encontrar notas y otro material para el curso oblligatorio de Geometría Analítica II de la Facultad de Ciencias de la UNAM. En estas notas seguimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.

Organización del curso

El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.

  • Unidad 1: Superficies cuádricas
  • Unidad 2: Transformaciones
  • Unidad 3: La geometría de la esfera
  • Unidad 4: Transformaciones de Möbius

Notas del curso

Durante el semestre 2023-2, elaboraremos notas para ir llenando las siguientes secciones.

Unidad 1: El plano euclideano y más dimensiones

  • Cilindros sobre cónicas
  • Superficies de revolución sobre cónicas
  • La ecuación de 2$^\circ$ grado sin términos mixtos
  • Simetrías y extensión de superficies cuádricas
  • Cuádricas con ejes paralelos a los coordenados
  • Superficies regladas
  • Plano tangente a una cuádrica

Unidad 2: Introducción a cónicas y sus propiedades

  • Funciones y transformaciones
  • Grupos de transformaciones
  • Las transformaciones afines de R
  • Isometrías de R
  • Isometrías y transformaciones ortogonales
  • Grupos de simetrías
  • Transformaciones ortogonales
  • Las funciones lineales
  • Extensión lineal
  • La estructura de las funciones lineales
  • Matrices
  • La matriz de una función lineal
  • Algunas familias distinguidas de matrices
  • Definición y ejemplos de transformaciones rígidas en $\mathbb{R}^2$ y en $\mathbb{R}^3$
  • Subgrupos
  • Descomposición de una transformación rígida como una lineal seguida de una traslación
  • Eliminación de los términos mixtos de la ecuación general de $2^\circ$ grado en 3 variables
  • Transformaciones afines

Unidad 3: Transformaciones geométricas del plano

  • Geometría esférica como superficie
  • Geometría esférica como sólido
  • Volumen y área
  • Ecuaciones de la esfera
  • Geodésicas
  • Un poco de trigonometría esférica
  • Secciones
  • Planos en un punto de la superficie esférica
  • Plano tangente
  • Plano normal
  • Plano binormal
  • Coordenadas sobre la esfera
  • Extremos de sólidos en la esfera
  • Generalizaciones de la esfera
  • Esferas en dimensiones superiores
  • Esferas en otras métricas
  • Esferas en topología

Unidad 4: Clasificación de cónicas

  • Interpretación geométrica de la suma y producto de números complejos
  • Construcción del grupo de Möbius
  • Transformaciones particulares
  • Inversión
  • Razón simple de tres puntos
  • Razón doble de cuatro puntos
  • Puntos fijos
  • Simetría
  • Circunferencias orientadas
  • Familias de circunferencias
  • Clasificación por conjugación o puntos fijos
  • Transformaciones elípticas
  • Transformaciones hiperbólicas
  • Transformaciones loxodrómicas
  • Transformaciones parabólicas
  • Clasificación por la traza

Videos del curso

Por el momento no tenemos videos disponibles para este curso.

Moodle del curso

Por el momento no tenemos un Moodle disponible para este curso.

Evaluación

La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.

Bibliografía

Las notas que se estarán escribiendo están basadas en los siguientes textos.

  • Bracho, J. Geometría Analítica. Notas.
  • Efimov, N., Geometría Superior. Moscú: MIR, 1984.
  • Preston, G. C., Lovaglia, A. R., Modern Analytic Geometry. New York: Harper y Row,1971.
  • Ramírez-Galarza, A., Geometría Analítica: Una Introducción a la Geometría. México: Las Prensas de Ciencias, 1998.

Créditos

Las siguientes personas han colaborado con la elaboración y revisión de este material.

  • Brian Daniel Manzano Quechol
  • Leonardo Ignacio Martínez Sandoval