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Geometría Analítica II: Cilindros sobre cónicas

Por Brian Manzano

Introducción

Con esta entrada comenzamos nuestra exploración de los objetos en el espacio de tres dimensiones. Lo primero que haremos es estudiar los cilindros que se construyen sobre cónicas. La mayoría de nosotros tiene una noción bastante buena sobre ellos, o por lo menos los «cilindros usuales», en donde las secciones horizontales son círculos. Sin embargo, si bien entendemos muy bien su forma de manera intuitiva, ¿cómo los podemos representar en el lenguaje matemático?

A continuación definiremos qué entenderemos por un cilindro sobre una cónica. Veremos algunos ejemplos y luego haremos cilindros con objetos que hemos estudiado en el curso de Geometría Analítica I: con cónicas.

Definición de cilindros sobre curvas

Los cilindros que conocemos de manera intuitiva comienzan con una circunferencia y luego esta se extiende sin cambios a lo largo de un eje. Los cilindros con los que nos encontramos cotidianamente se extienden sólo de manera acotada. Pero podemos pensar en qué sucedería si los extendemos indefinidamente. Si hacemos esto, llegamos a la siguiente definición.

Definición. Un cilindro es una superficie en $\mathbb{R}^3$ que se pueda obtener tomando un plano $\Pi$, tomando en él una curva $\mathcal{C}$ y tomando para cada punto $p$ de $\mathcal{C}$ una recta ortogonal a $\Pi$ que pase por $p$. La unión de estas rectas son el cilindro. A cada una de las rectas le llamamos una directriz del cilindro y a la curva $\mathcal{C}$ le llamamos la generatriz del cilindro.

Con esta definición podemos ver un poco de lo que por intuición conocemos viendo a un cilindro como un conjunto de lineas paralelas que se encuentran delimitadas por una curva plana, imaginemos esto como dibujar sobre papel una curva sobre la cual después pegaremos palos perpendiculares a la hoja

Cilindros a partir de cónicas

Para dar algunos ejemplos, podemos tomar una familia de curvas muy conocida: las cónicas. Ya que podemos elegir con libertad la curva plana, pensemos en usar alguna de las cónicas que conocemos. Para simplificar la situación, supondremos que dibujamos la cónica en el plano XY y entonces que las directrices son perpendiculares al plano XY, es decir, paralelas al eje Z.

Ya fijando estas ideas, podemos construir los siguientes cilindros basados en cónicas.

Cilindros elípticos

Se obtienen a partir de una curva dada por ecuaciones del siguiente tipo: $$ \frac{(x-x_{0})^2}{a^2}+\frac{(y-y_{0})^2}{b^2} =1.$$

De tener $a=b$, tendremos un cilindro circular desplazado debido a $x_{0} y y_{0}$ pero paralelo al eje z, tendremos algo muy similar si remplazamos $x,y$ por$ x,z$ o$ y,z4 siendo solo la orientación la que cambia, pues tendremos nuestra curva en un diferente plano.

Cilindros parabólicos

Para estos, necesitamos una curva dada por una ecuación del siguiente tipo: $$ (y-y_{0})^2 = 2p(x-x_{0}).$$

tendremos de igual manera que el eje esta desplazado pero es paralelo al eje $z$, análogamente tendremos para los distintos planos.

Cilindros hiperbólicos

La curva base de un cilindro hiperbólico es una hipérbola. Entonces, tiene una ecuación del estilo $$\frac{(x-x_{0})^2}{a^2}-\frac{(y-y_{0})^2}{b^2} =1.$$

tendremos también desplazado pero paralelo al eje $z$, y podemos ver lo mismo para los otros casos donde la curva este en otro plano.

Problemas ejemplo de cilindros

Veamos algunos ejemplos de cilindros a partir de cónicas.

Ejemplo. Tomemos el lugar geométrico de los puntos $(x,y,z) \in $ $\mathbb{R} ^3$ que cumplen con la siguiente ecuación: $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25} = 1.$$

Podemos comenzar detectando la ausencia de la variable $z$, con lo que las generatrices serán rectas paralelas al eje $z$, o de otra forma podemos ver que el eje del cilindro será el eje $z$, (esto no siempre ocurre ya que no necesariamente su centro se encontrara en el origen, pero debido a que no tenemos constantes que acompañen los valores $x$ o $y $ su centro no se encontrará desplazado), extendiendo un poco mas el análisis podemos ver que su ecuación se asemeja a la de un cilindro elíptico.

¿Qué nos dicen los valores $4,25$ que acompañan a sus variables correspondientes ?Con todo en mente veamos su gráfica

Veamos desde otra perspectiva, no solo sobre el plano, sino con una vista incluyendo el otro eje coordenado obtenemos la siguiente gráfica.

Ejemplo. Tomemos el lugar geométrico en $\mathbb{R}^3$ de los puntos $(x,y,z)$ que cumplen la siguiente ecuación: $$y^2=6x.$$

De manera muy similar notamos que la ausencia de la variable $z$ llevara a que su directriz se encuentre en el plano $XY$ de forma que vista desde este plano:

¿Puedes decir a que cónica pertenece esta gráfica?

Agregando la perspectiva con el eje faltante obtenemos:

Nota importante. Como habrás notado al graficar obtenemos estas representaciones que parecen estar cortadas o seccionadas por planos paralelos al $XY$ , en realidad estos cilindros se extienden sin límite.

Ejemplo. Para la siguiente ecuación: $$\frac{z^2}{4}-\frac{y^2}{9} = 1,$$ ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos $(x,y,z)$ en $\mathbb{R}^3$ que la cumplen?

Notemos ahora que además de representar otro tipo de cónica tenemos ahora un cambio importante, ya no contamos de manera explicita con la $y$ en la ecuación, ¿Qué cambios conllevara esto? ¿En que plano podremos observar la cónica correspondiente?

Veamos si tu intuición fue correcta

Gráfica de la ecuación en el plano YZ

Desde otra perspectiva donde podremos ver su profundidad, tenemos ahora que las generatrices se extienden desde $- \infty$ hasta $\infty$.

Más adelante…

En esta primer entrada del curso hablamos de los primeros objetos geométricos de tres dimensiones que nos interesan: los cilindros con cierta curva generatriz. En la siguiente entrada veremos otra manera con la cual podemos crear un objeto de tres dimensiones a partir de rectas: las superficies de revolución. Un poco más adelante estudiaremos una versión más general de objetos que podemos obtener de esta manera: los conjuntos cero de ecuaciones de segundo grado en tres variables.

Tarea moral

Estos ejercicios te ayudaran a comprender de mejor forma los conceptos vistos.

  1. Reescribe las ecuaciones de los ejemplos que dimos para que sus directrices se encuentren en diferentes planos.
    Sugerencia: Nota qué pasa con el tercer ejemplo.
  2. Ahora que hemos cambiado los planos donde se encuentran las directrices, grafica estas ecuaciones, ¿Cómo cambian los cilindros? Realiza un cambio de variable para el segundo ejemplo haciendo el reemplazo $x\to x-3$. ¿Qué cambia? ¿pasa lo mismo para el primer ejemplo?
  3. Determina la ecuación para un cilindro parabólico cuya parábola directriz esté contenida en el plano XY y cuyo foco sea el punto $(2, 0)$ de este plano. Hay varias de estas parábolas. Puedes usar la que gustes.
  4. Gráfica los cilindros asociados a cada una de las siguientes ecuaciones:
    1. $x^2-z^2=0$.
    2. $(y-9)^2+(z-4)^2=0$.
    3. $x^2=y$.

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Geometría Analítica I: Teoremas de clasificación de polinomios cuadráticos y curvas cuadráticas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Nos hemos estado preparando para enunciar formalmente los resultados de clasificación que nos dirán «cómo son todas las cónicas algebraicamente», o bien que nos dirán «cómo se ven conjuntos de ceros de cualquier polinomio cuadrático en dos variables». En una entrada anterior hablamos de qué es un resultado de clasificación en matemáticas. Después, definimos con toda precisión cuáles son los objetos que clasificaremos: los polinomios cuadráticos en dos variables y las curvas cuadráticas. Finalmente, establecimos las nociones de equivalencia afín y equivalencia isométrica que usaremos para dar nuestra clasificación.

En esta entrada finalmente enunciaremos con toda precisión los teoremas de clasificación que nos interesan. La demostración de estos teoremas no es directa, así que nos tomará algunas entradas más preparar la teoría necesaria para poder hacerlo.

Teoremas de clasificación isométrica

Los primeros teoremas que demostraremos serán bajo la equivalencia dada por las isometrías. Daremos teoremas para clasificar tanto polinomios cuadráticos en dos variables, como curvas cuadráticas.

El resultado para PCDVs es un poco más abstracto. La clasificación es un poco aparatosa, pues habrá muchos posibles parámetros involucrados. Pero tiene la ventaja de que es el que podremos demostrar a partir de las técnicas de matrices que ya conocemos y de algunas más que desarrollaremos sobre la marcha.

El resultado para curvas cuadráticas es muy intuitivo, pues lo podemos pensar en términos puramente geométricos: nos dirá que cualquier curva cuadrática se puede llevar, sin alterar su métrica, a una curva cuadrática mucho más fácil de describir, que viene de una «lista corta» de posibilidades. Como las transformaciones permitidas son las isometrías, esto es lo que más se parece a nuestro entendimiento de «ser la misma figura».

Veamos qué dice cada resultado. El primer teorema clasifica PCDVs a través de isometrías.

Teorema. Cualquier polinomio cuadrático en dos variables es isométricamente equivalente a exactamente alguno de los siguientes polinomios:

  1. A algún polinomio de la forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1$ para $a\geq b$ reales distintos de cero
  2. A algún polinomio de la forma $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1$ para $a\geq b$ reales distintos de cero
  3. A algún polinomio de la forma $y^2-cx$ para $c$ real distinto de cero
  4. A algún polinomio de la forma $c^2x^2-y^2$ para $c$ real distinto de cero
  5. A algún polinomio de la forma $c^2x^2-1$ para $c$ real disinto de cero
  6. Al polinomio $x^2$
  7. A algún polinomio de la forma $c^2x^2+y^2$ para $c$ real distinto de cero
  8. A algún polinomio de la forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}+1$ para $a,b$ reales distintos de cero
  9. A algún polinomio de la forma $c^2x^2+1$ para $c$ real distinto de cero

El segundo teorema clasifica curvas cuadráticas bajo isometrías, y será un corolario del teorema anterior.

Teorema. Cualquier curva cuadrática del plano es isométricamente equivalente a exactamente una de las siguientes:

  1. A alguna elipse canónica con centro en $(0,0)$ y focos en el eje $x$
  2. A alguna hipérbola canónica con centro en $(0,0)$ y focos en el eje $x$
  3. A alguna parábola canónica de vértice $(c,0)$ y directriz $y=-c$
  4. A dos rectas que se intersectan en el origen
  5. A dos rectas paralelas de la forma $x=c$ y $x=-c$
  6. A la recta $x=0$
  7. Al origen $(0,0)$
  8. Al conjunto vacío

Teoremas de clasificación afín

Después de realizar la clasificación isométrica, agrandaremos un poco el conjunto de transformaciones que usaremos: permitiremos utilizar cualquier transformación afín. Al hacer esto, tenemos más transformaciones y por lo tanto deberíamos esperar que nuestra clasificación tenga menos posibilidades. En efecto este es el caso.

De hecho, la razón por la cual hacemos esto es que al permitir a todas las transformaciones afines nuestros polinomios cuadráticos en dos variables (o curvas cuadráticas) quedan clasificadas en muy muy pocos tipos: una cantidad finita. A continuación enunciamos los resultados concretos.

El primer teorema es para polinomios cuadráticos en dos variables.

Teorema. Cualquier polinomio cuadrático en dos variables es afínmente equivalente a exactamente uno de los siguientes polinomios:

  1. $x^2+y^2-1$
  2. $x^2-y^2-1$
  3. $y^2-x$
  4. $x^2-y^2$
  5. $x^2+1$
  6. $x^2$
  7. $x^2+y^2$
  8. $x^2+y^2+1$
  9. $x^2+1$

¡Este resultado es fantástico! Existen muchísimas expresiones de la forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$ y el teorema anterior nos dice que, en realidad, podemos «resumirlas» únicamente en nueve posibilidades muy fáciles de enunciar.

Como corolario, obtendremos el segundo resultado para clasificación mediante transformaciones afines: el correspondiente a las curvas cuadráticas.

Teorema. Cualquier curva cuadrática del plano es afínmente equivalente a exactamente una de las siguientes posibilidades:

  1. La circunferencia unitaria
  2. La hipérbola unitaria
  3. La parábola unitaria
  4. Las rectas $y=x$ y $y=-x$
  5. Las rectas $x=1$ y $x=-1$
  6. La recta $x=0$
  7. El origen
  8. El conjunto vacío

Una vez más, es increible que existiendo tantísimas curvas cuadráticas en el plano, sea posible resumirlas a tan solo ocho posibilidades.

Y, ¿por qué sirve esta clasificación?

En el transcurso de las siguientes entradas nos encontraremos con muchas situaciones concretas en las que clasificar una cónica será de utilidad. Mientras tanto discutimos esto de manera un poco informal. Imagina que comenzamos con el siguiente polinomio cuadrático en dos variables: $$P((x,y))=x^2-5xy-y^2+2x-y+5.$$

Tras hacer una figura en el plano usando alguna herramienta computacional, obtenemos que la curva cuadrática definida por $P$ se ve como en la siguiente figura.

Parece ser que esta es una hipérbola. Una de las ventajas del teorema de clasificación isométrica de curvas cuadráticas es que nos dirá que, en efecto, esto es una hipérbola. De hecho, tendremos una manera práctica de encontrar de manera explícita la transformación $T$ que manda el polinomio $P$ que define esta hipérbola $\mathcal{H}$ a un polinomio isométricamente equivalente $P’$ de una hipérbola canónica $\mathcal{H}’$.

¿Cuáles son los focos de $\mathcal{H}$? ¿Cuál es el centro de $\mathcal{H}$? ¿Cuál es la longitud de sus ejes? Esto no se aprecia claramente a partir del polinomio $P$. Sin embargo, la hipérbola $\mathcal{H}’$ tiene ecuación canónica, así que en $P’$ podemos leer fácilmente los focos, ejes y centro de $\mathcal{H’}$. Y luego usando precisamente la transformación $T$ podemos transferir esta información que sabemos de $\mathcal{H}’$ a $\mathcal{H}$. Por ejemplo, usando que $T$ es isometría obtenemos que $\mathcal{H}$ y $\mathcal{H}’$ tienen la misma longitud de ejes.

Más adelante…

En las siguientes entradas nos enfocaremos en demostrar los teoremas de clasificación aquí enunciados. Antes de hacer esto, debemos desarrollar un poco más de teoría. Por un lado, necesitamos comprender cómo las traslaciones nos pueden ayudar a «eliminar los términos lineales» de algunos polinomios cuadráticos. Luego, necesitamos comprender cómo las rotaciones nos pueden ayudar a «eliminar el término cruzado $xy$».

Las traslaciones las podremos entender fácilmente. Sin embargo, las rotaciones que «eliminan el término cruzado» requierirán que entendamos un nuevo procedimiento para matrices simétricas: el de diagonalizarlas. Esto nos llevará a discutir los eigenvalores, eigenvectores y el polinomio característico de la matriz.

Tarea moral

  1. Demuestra que cualesquiera dos segmentos del plano son afínmente equivalentes.
  2. Demuestra que cualesquiera dos rectángulos del plano son afínmente equivalentes.
  3. Resuelve los siguientes incisos:
    1. Prueba que dos cuadrados del plano son isométricamente equivalentes si y sólo si tienen la misma longitud de lado.
    2. Demuestra que cualquier cuadrado es isométricamente equivalente a algún cuadrado de vértices $(0,0)$, $(c,0)$, $(0,c)$ y $(c,c)$ para $c>0$.
    3. Demuestra que el cuadrado de vértices $(0,0)$, $(c,0)$, $(0,c)$ y $(c,c)$ tiene diagonal de longitud $\sqrt{2}c$.
    4. Usa todo lo anterior para demostrar que en cualquier cuadrado de lado $c$ se tiene que la diagonal mide $\sqrt{2}c$.
  4. En el teorema de clasificación afín de PCDV tenemos que cualquier PCDV es afínmente equivalente a exactamente una de las posibilidades enunciadas. En particular, esto implica que de esos nueve polinomios, no hay dos de ellos que sean afínmente equivalentes entre sí. Demuestra esto.
  5. Enuncia y demuestra un teorema de clasificación isométrico y un teorema de clasificación afín para triángulos en el plano.

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Geometría Analítica I: Hipérbolas

Por Héctor Morales

Introducción

En las entradas anteriores definimos un círculo y establecimos algunas de sus propiedades; esto nos llevó naturalmente a estudiar las elipses: una de las tres figuras geométricas que podemos observar al hacer «cortes» en diferentes secciones de un cono. Al igual que para las circunferencias, discutimos detalladamente los elementos que componen a una elipse, estudiamos sus propiedades y hablamos, de manera general, sobre las aplicaciones que pueden tener en diferentes campos como en física o ingeniería.

La segunda de las secciones cónicas que vamos a estudiar en esta unidad son las hipérbolas. Decimos que será la segunda, pues recordemos que una circunferencia es una elipse; una en la cual el eje mayor y el eje menor tienen el mismo tamaño. Al igual que para las elipses, la motivación para estudiar analíticamente las hipérbolas, nace de observar fenómenos naturales. Probablemente ya has visto antes una hipérbola, y tal vez tengas dificultades pensando en qué momento de tu vida cotidiana has visto la misma figura; para motivarnos a estudiar la hipérbola hablaremos de una de sus aplicaciones: sistemas de navegación.

En el sistema de navegación LORAN se utiliza la propiedad de la definición de la hipérbola que nos dice que «la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante»; es este tipo de sistema de navegación, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar (ver figura). Puesto que un barco que monitorre las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entra las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales. En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias también será constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están locaclicados en las posiciones de las dos estaciones.

Esquema del sistema de navegación LORAN: una de las aplicaciones de la hipérbola a la ingeniería.

Como pudimos ver, las hipérbolas son extensamente usadas para resolver problemas importantes; entonces es importante encontrar una expresión analítica que nos permita extraer toda su información geométrica. Esta expresión analítica, saldrá naturalmente cuando veamos cómo podemos definir una hipérbola.

Definición de Hipérbola

Ya que hemos discutido brevemente por qué queremos tener una expresión analítica de la hipérbola, pasemos a definirla de una forma más formal. La hipérbola está definida como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia (em valor absoluto) de sus distancias a dos puntos fijos $\mathbf{p}$ y $\mathbf{q}$, llamados focos, es constante. Entonces, una hipérbola $\mathcal{H}$ está definida por la ecuación

\begin{equation}
|d(\mathbf{x}, \mathbf{p})-d(\mathbf{x}, \mathbf{q})|=2 a.
\end{equation}

donde $a>0$, y además $2 a<d(\mathbf{p}, \mathbf{q})=: 2 c$. A continuación puedes ver la figura que define a este conjunto de puntos, sometidos a la condición de la definición. Como ya te habrás dado cuenta, la definición de la hipérbola es muy parecida a la definición de la elipse. A lo largo de esta entrada y de la siguiente veremos que a pesar de ser figuras muy distintas comparten varios elementos y características.

Hipérbola como conjunto de puntos que cumplen la ecuación 1.

Así como hicimos para la elipse, queremos llegar a una ecuación canónica que sea «sencilla» y que nos permite leer toda la información geométrica de la figura. Si tomamos como focos a $\mathbf{p}=(c, 0)$ y a $\mathbf{q}=(-c, 0)$; ver la siguiente figura, esta ecuación toma la forma

\begin{equation}
\left|\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\right|=2 a.
\end{equation}

y veremos a continuación que es equivlente a

\begin{equation}
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
\end{equation}

donde $b>0$ está definida por $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. A esta última ecuación se le llama la ecuación canónica de la hipérbola.

Hipérbola vertical centrada en el orgien

Como las ecuaciones anteriores involucraban un valor absoluto, entonces se tienen dos posibilidad que corresponden a las dos ramas de la hipérbola. En una de ellas la distancia a uno de los focos es mayor y en la otra se invierten los papeles. De la ecuación $2$ se tienen dos posibilidades:

\begin{equation}
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2 a+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}
\end{equation}

\begin{equation}
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2 a+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}
\end{equation}

la primera corresponde a la rama donde $x<0$ y la segunda a $x>0$. Como hicimos en el caso de la elipse vamos a llegar a la ecuación canónica desarrollando todos los pasos. Partiendo de la definición y de la fórmula de distancia:

$$
d_{2}-d_{1}=\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}=2 a.
$$

Ahora, simplificando la expresión:

$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2 a.
$$

Si movemos uno de los radicales al lado opuesto:

$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2 a+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
$$

Luego, elevando al cuadrado ambos lados:

$$
(x+c)^{2}+y^{2}=\left(2 a+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\right)^{2}.
$$

Después, expandimos los cuadrados:

$$
x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=4 a^{2}+4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}+y^{2}.
$$

Ahora, si expandimos el cuadrado restante:

$$
x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=4 a^{2}+4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2}.
$$

En la ecuación anterior combinamos los términos y separamos al radical:

$$
2 c x=4 a^{2}+4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-2 c x
$$

$$
4 c x-4 a^{2}=4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}
$$

Dividiendo entre $4$ y elevando al cuadrado ambos lados:

$$
c x-a^{2}=a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}
$$

$$
\left(c x-a^{2}\right)^{2}=a^{2}\left[\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\right]^{2}
$$

Finalmente, expandiendo de nuevo el cuadrado y agrupando términos semejantes llegamos a que,

$$
c^{2} x^{2}-2 a^{2} c x+a^{4}=a^{2}\left(x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2}\right)
$$

$$
c^{2} x^{2}-2 a^{2} c x+a^{4}=a^{2} x^{2}-2 a^{2} c x+a^{2} c^{2}+a^{2} y^{2}
$$

$$
a^{4}+c^{2} x^{2}=a^{2} x^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} y^{2}
$$

$$
c^{2} x^{2}-a^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} c^{2}-a^{4}
$$

$$
x^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)-a^{2} y^{2}=a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)
$$

$$
x^{2} b^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}
$$

$$
\frac{x^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}}-\frac{a^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}}=\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}}
$$

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
$$

Como ya mencionamos, esta última ecuación es la ecuación canónica de la hipérbola.

Como conclusión de este primer acercamiento a las hipérbolas, prueba el siguiente recuadro interactivo de GeoGebra. Identifica los elementos básicos de la hipérbola y dibuja algunas variando parámetros. Observa cómo variando los diferentes elementos de la ecuación cambia la forma de la hipérbola.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  • A partir de la definición de hipérbola, determine la ecuación de la que tiene sus focos en $(6,0)$ y $(-6,0)$ si $2a=8$.
  • A partir de su definición, muestre que la ecuación de una hipérbola cuyos focos están en $F_{1}(a,a)$ y $F_{2}(-a,a)$ y para la cual se cumple que $$|\mathbf{PF}_{1}| – |\mathbf{PF}_{2}| = \pm 2a$$ para todo punto $P(x,y)$ de la curva es $xy=\frac{1}{2}a^{2}$.
  • Dada la siguiente ecuación, determina si se trata de una hipérbola. En caso de que sí, escríbela en su forma canónica:

$$
25 x^{2}-16 y^{2}=400
$$

Más adelante…

En esta entrada nos familiarizamos con la idea elemental de la hipérbola. Todavía nos queda mucho que estudiar acerca de esta sección cónica. En la siguiente entrada nombraremos cada uno de sus elementos, presentaremos algunas propiedades métricas y discutiremos su propiedad focal. Al igual que como hicimos para las elipses, tocaremos brevemente el tema de excentricidad y luego realizaremos algunos ejercicios sobre hipérbolas.

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