1.2 Eje radical de 2 circunferencias
Se considera el eje radical de 2 circunferencias como el lugar geométrico de un punto cuyas potencias con respecto a las dos circunferencias es igual.
Definición (Eje Radical)
El eje radical de \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) dos circunferencias no concéntricas, es el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que
$Pot(P_1,C_1)=Pot(P_2,C_2)$
Proposición:
El eje radical de dos circunferencias no concéntricas \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) es una línea perpendicular a $O_1O_2$ por $P$ un punto que tiene la misma potencia con respecto a estas circunferencias.
Demostración:
Para demostrar este hecho es necesario analizar 3 propiedades.
- Existe al menos un punto en el eje radical.
- Hallar todos los puntos del eje radical.
- No existen puntos más haya de los localizados.
Propiedad 1) Ya vimos en el capítulo de potencia como construir la potencia de un punto, pero también se puede construir un punto $P$ equipotente con respecto a 2 circunferencias.
Construcción:
Dadas \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) dos circunferencias no concéntricas.
Si trazamos \(C_3(O_3,r_3)\) una circunferencia que interseque a \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) en los pares de punto $A_1, B_1, y A_2, B_2$ respectivamente:
Dado lo anterior se obtiene $P$ un punto equipotente con respecto a las dos circunferencias:
$Pot(P,C_1)=PA_1$ $\times$ $PB_1=Pot(P,C_3)=PA_2$ $\times$ $PB_2=Pot(P,C_2)$
Por lo anterior es una realidad que existe al menos un punto en el eje radical. $\blacksquare$
Propiedad 2) Como $P$ esta en el eje radical, entonces por propiedad de la potencia de un punto:
$ (PO_1)^2 – r_1^2 = (PO_2)^2 – r_2^2$ $\hspace{1cm}$ (1)
Denotemos $M$ el pie de la perpendicular a $O_1O_2$ por $P$. Para demostrar que $M$ pertenece al eje radical, ósea $Pot(M,C_1)=Pot(M,C_2)$.
Tracemos los segmentos $O_1P$ y $O_2P$, entonces tenemos los triángulos $\triangle PMO_1$ y $\triangle PMO_2$ son rectángulos, por Pitágoras se sigue:
$(PO_1)^2=(MO_1)^2+PM^2$
y
$(PO_2)^2=(MO_2)^2+PM^2$
Al sustituir en «(1)» , obtenemos:
$(MO_1)^2+PM^2-r_1^2=(MO_2)^2+PM^2-r_2^2$
Se tiene la expresión de potencia:
$ (MO_1)^2-r_1^2=(MO_2)^2-r_2^2 $ $\hspace{1cm}$ (2)
A este eje radical lo llamaremos $l$.
Sea $X$ un punto en $l$ por mostrar que:
$Pot(X,C_1)=Pot(X,C_2)$
Trazamos $O_1X$ y $O_2X$.
Como los triángulos $\triangle XMO_1$ y $\triangle XMO_2$ son rectángulos, igual por Pitágoras:
$(XO_1)^2=(MO_1)^2+XM^2$
y
$(XO_2)^2=(MO_2)^2+XM^2$
Al sustituir en «(2)» , tendremos:
$(XO_1)^2+XM^2-r_1^2=(XO_2)^2+XM^2-r_2^2$
$\Rightarrow (XO_1)^2-r_1^2=(XO_2)^2 -r_2^2 $
$\therefore$ Todo punto $X$ en $l$ es un punto en el eje radical. $\blacksquare$
Propiedad 3) No existen más puntos de los ya localizados:
Supongamos un punto $N$ en la recta $O_1O_2$, $N\neq M$ y $Pot(N,C_1)=Pot(N,C_2)$, por lo cual:
$(NO_1)^2-r_1^2=(NO_2)^2-r_2^2$
$(NM+MO_1)^2-r_1^2= (NM+MO_2)^2-r_2^2 $
$(NM)^2+2NM \times MO_1+(MO_1)^2-r_1^2= (NM)^2+2NM \times MO_2+(MO_2)^2-r_2^2 $
$2NM \times MO_1+(MO_1)^2-r_1^2= 2NM \times MO_2+(MO_2)^2-r_2^2 $
Por «(2)» :
$2NM \times MO_1 = 2NM \times MO_2 $
$NM \times MO_1 = NM \times MO_2 $
$NM \times MO_1 – NM \times MO_2 =0 $
$NM(MO_1-MO_2)=0$
$MN(O_1M+MO_2)=0$
$MN \times O_1O_2=0$
$MN=0$, pues $O_1O_2 \neq 0$
$\Rightarrow N=M \bot (Contradicción)$
Por lo cual en la línea $O_1O_2$, $M$ es el único punto equipotente con respecto a $C_1(O_1,r_1)$ y $C_2(O_2,r_2)$.
Para finalizar supongamos que existe un punto $P’$ tal que «no» se encuentre en la línea «$l$» y además $Pot(P’,C_1)=Pot(P’,C_2)$.
Trazamos $l’$ la perpendicular a $O_1O_2$ por $P’$ y llamamos $M’$ al pie de esta perpendicular.
Al igual que el desarrollo del punto (2) de estas demostraciones, se tiene $M’$ es equipotente con respecto a $C_1$ y $C_2$.
Pero se demostró en $O_1O_2$, $M$ es el único punto equipotente a $C_1(O_1,r_1)$ y $C_2(O_2,r_2)$.
Entonces $M=M’$ entonces la línea $l’$ coincide con $l$ y $P’$ es punto de $l$.
$\therefore$ No existen puntos más haya de los localizados en la línea «$l$» y que sean equipotentes con respecto a $C_1$ y $C_2$. $\blacksquare$
Proposición:
Sean dos circunferencias no concéntricas. Si $P$ es un punto equipotente con respecto a las dos circunferencias y $M$ es el pie de la perpendicular a la línea de los centros por $P$, entonces $M$ es equipotente con respecto a las dos circunferencias.
Teorema:
Los ejes radicales de 3 circunferencias tomados por pares son concurrentes.
Demostración:
Consideremos 3 circunferencias $C_1,C_2$ y $C_3$, cuyos centros $O_1,O_2$ y $O_3$ no son colineales.
Sean $e_1,e_2$ y $e_3$ los ejes radicales de $C_1(O_1,r_1) $ con $C_2(O_2,r_2)$, $C_2(O_2,r_2)$ con $C_3(O_3,r_3)$ y $C_1(O_1,r_1) $ con $C_3(O_3,r_3)$ respectivamente.
Llamamos $P$ al punto de intersección de $e_1$ y $e_2$. Como $P$ está en $e_1 \Rightarrow Pot(P,C_1)=Pot(P,C_2)$ y dado que $P$ está en $e_2 \Rightarrow Pot(P,C_2)=Pot(P,C_3)$.
$\Rightarrow Pot(P,C_1)=Pot(P,C_3)$ y ahora $P$ está en $e_3$.
$\therefore$ Los 3 ejes radicales concurren en $P$. $\blacksquare$
«El punto de concurrencia de los 3 ejes radicales de las 3 circunferencias tomadas en pares, es llamado su centro radical.»
Construcción del eje radical
(El eje radical de dos circunferencias no concéntricas)
Dibujemos una circunferencia que corte a las circunferencias $C_1$ y $C_2$, en $A,A’$ y $B,B’$. Sea $P$ la intersección de $AA’$ y $BB’$, dibujamos la perpendicular a la línea de los centros de las circunferencias dadas. La perpendicular es el eje radical requerido.
Más adelante…
Se seguirá abordando el tema de potencia de un punto y el eje radical con respecto a las circunferencias ortogonales.
Al final de los temas de esta primera unidad se dejará unas series de ejercicios.
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