Geometría Analítica II: Cilindros sobre cónicas

Por Brian Manzano

Introducción

Con esta entrada comenzamos nuestra exploración de los objetos en el espacio de tres dimensiones. Lo primero que haremos es estudiar los cilindros que se construyen sobre cónicas. La mayoría de nosotros tiene una noción bastante buena sobre ellos, o por lo menos los «cilindros usuales», en donde las secciones horizontales son círculos. Sin embargo, si bien entendemos muy bien su forma de manera intuitiva, ¿cómo los podemos representar en el lenguaje matemático?

A continuación definiremos qué entenderemos por un cilindro sobre una cónica. Veremos algunos ejemplos y luego haremos cilindros con objetos que hemos estudiado en el curso de Geometría Analítica I: con cónicas.

Definición de cilindros sobre curvas

Los cilindros que conocemos de manera intuitiva comienzan con una circunferencia y luego esta se extiende sin cambios a lo largo de un eje. Los cilindros con los que nos encontramos cotidianamente se extienden sólo de manera acotada. Pero podemos pensar en qué sucedería si los extendemos indefinidamente. Si hacemos esto, llegamos a la siguiente definición.

Definición. Un cilindro es una superficie en $\mathbb{R}^3$ que se pueda obtener tomando un plano $\Pi$, tomando en él una curva $\mathcal{C}$ y tomando para cada punto $p$ de $\mathcal{C}$ una recta ortogonal a $\Pi$ que pase por $p$. La unión de estas rectas son el cilindro. A cada una de las rectas le llamamos una directriz del cilindro y a la curva $\mathcal{C}$ le llamamos la generatriz del cilindro.

Con esta definición podemos ver un poco de lo que por intuición conocemos viendo a un cilindro como un conjunto de lineas paralelas que se encuentran delimitadas por una curva plana, imaginemos esto como dibujar sobre papel una curva sobre la cual después pegaremos palos perpendiculares a la hoja

Cilindros a partir de cónicas

Para dar algunos ejemplos, podemos tomar una familia de curvas muy conocida: las cónicas. Ya que podemos elegir con libertad la curva plana, pensemos en usar alguna de las cónicas que conocemos. Para simplificar la situación, supondremos que dibujamos la cónica en el plano XY y entonces que las directrices son perpendiculares al plano XY, es decir, paralelas al eje Z.

Ya fijando estas ideas, podemos construir los siguientes cilindros basados en cónicas.

Cilindros elípticos

Se obtienen a partir de una curva dada por ecuaciones del siguiente tipo: $$ \frac{(x-x_{0})^2}{a^2}+\frac{(y-y_{0})^2}{b^2} =1.$$

De tener $a=b$, tendremos un cilindro circular desplazado debido a $x_{0} y y_{0}$ pero paralelo al eje z, tendremos algo muy similar si remplazamos $x,y$ por$ x,z$ o$ y,z4 siendo solo la orientación la que cambia, pues tendremos nuestra curva en un diferente plano.

Cilindros parabólicos

Para estos, necesitamos una curva dada por una ecuación del siguiente tipo: $$ (y-y_{0})^2 = 2p(x-x_{0}).$$

tendremos de igual manera que el eje esta desplazado pero es paralelo al eje $z$, análogamente tendremos para los distintos planos.

Cilindros hiperbólicos

La curva base de un cilindro hiperbólico es una hipérbola. Entonces, tiene una ecuación del estilo $$\frac{(x-x_{0})^2}{a^2}-\frac{(y-y_{0})^2}{b^2} =1.$$

tendremos también desplazado pero paralelo al eje $z$, y podemos ver lo mismo para los otros casos donde la curva este en otro plano.

Problemas ejemplo de cilindros

Veamos algunos ejemplos de cilindros a partir de cónicas.

Ejemplo. Tomemos el lugar geométrico de los puntos $(x,y,z) \in $ $\mathbb{R} ^3$ que cumplen con la siguiente ecuación: $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25} = 1.$$

Podemos comenzar detectando la ausencia de la variable $z$, con lo que las generatrices serán rectas paralelas al eje $z$, o de otra forma podemos ver que el eje del cilindro será el eje $z$, (esto no siempre ocurre ya que no necesariamente su centro se encontrara en el origen, pero debido a que no tenemos constantes que acompañen los valores $x$ o $y $ su centro no se encontrará desplazado), extendiendo un poco mas el análisis podemos ver que su ecuación se asemeja a la de un cilindro elíptico.

¿Qué nos dicen los valores $4,25$ que acompañan a sus variables correspondientes ?Con todo en mente veamos su gráfica

Veamos desde otra perspectiva, no solo sobre el plano, sino con una vista incluyendo el otro eje coordenado obtenemos la siguiente gráfica.

Ejemplo. Tomemos el lugar geométrico en $\mathbb{R}^3$ de los puntos $(x,y,z)$ que cumplen la siguiente ecuación: $$y^2=6x.$$

De manera muy similar notamos que la ausencia de la variable $z$ llevara a que su directriz se encuentre en el plano $XY$ de forma que vista desde este plano:

¿Puedes decir a que cónica pertenece esta gráfica?

Agregando la perspectiva con el eje faltante obtenemos:

Nota importante. Como habrás notado al graficar obtenemos estas representaciones que parecen estar cortadas o seccionadas por planos paralelos al $XY$ , en realidad estos cilindros se extienden sin límite.

Ejemplo. Para la siguiente ecuación: $$\frac{z^2}{4}-\frac{y^2}{9} = 1,$$ ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos $(x,y,z)$ en $\mathbb{R}^3$ que la cumplen?

Notemos ahora que además de representar otro tipo de cónica tenemos ahora un cambio importante, ya no contamos de manera explicita con la $y$ en la ecuación, ¿Qué cambios conllevara esto? ¿En que plano podremos observar la cónica correspondiente?

Veamos si tu intuición fue correcta

Gráfica de la ecuación en el plano YZ

Desde otra perspectiva donde podremos ver su profundidad, tenemos ahora que las generatrices se extienden desde $- \infty$ hasta $\infty$.

Más adelante…

En esta primer entrada del curso hablamos de los primeros objetos geométricos de tres dimensiones que nos interesan: los cilindros con cierta curva generatriz. En la siguiente entrada veremos otra manera con la cual podemos crear un objeto de tres dimensiones a partir de rectas: las superficies de revolución. Un poco más adelante estudiaremos una versión más general de objetos que podemos obtener de esta manera: los conjuntos cero de ecuaciones de segundo grado en tres variables.

Tarea moral

Estos ejercicios te ayudaran a comprender de mejor forma los conceptos vistos.

  1. Reescribe las ecuaciones de los ejemplos que dimos para que sus directrices se encuentren en diferentes planos.
    Sugerencia: Nota qué pasa con el tercer ejemplo.
  2. Ahora que hemos cambiado los planos donde se encuentran las directrices, grafica estas ecuaciones, ¿Cómo cambian los cilindros? Realiza un cambio de variable para el segundo ejemplo haciendo el reemplazo $x\to x-3$. ¿Qué cambia? ¿pasa lo mismo para el primer ejemplo?
  3. Determina la ecuación para un cilindro parabólico cuya parábola directriz esté contenida en el plano XY y cuyo foco sea el punto $(2, 0)$ de este plano. Hay varias de estas parábolas. Puedes usar la que gustes.
  4. Gráfica los cilindros asociados a cada una de las siguientes ecuaciones:
    1. $x^2-z^2=0$.
    2. $(y-9)^2+(z-4)^2=0$.
    3. $x^2=y$.

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