Geometría Moderna II: Potencia de un punto

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

En esta primera unidad abordaremos todos los temas relacionados a las circunferencias coaxiales, iniciando con la potencia de un punto. A grandes rasgos, esto trata de lo siguiente.

Pensemos en que una circunferencia está dada por la notación $C(O,r)$ con \(O\) como el centro y \(r\) el radio. Tomemos un punto \(P\) un punto cualquiera en esta. Tomemos una recta \(l\) que interseca \(C(O,r)\) en \(A\) y \(B\). Lo que veremos en esta entrada es que el producto de \(PA\) y \(PB\) es constante sin importar la elección de \(l\) es decir: \(PA \times PB = cte\). Para mostrar esto, introduciremos algunas definiciones y posteriormente haremos una demostración por casos.

Definición de potencia de un punto

Definición. (Potencia de un punto)

La potencia de un punto \(P\) con respecto a una circunferencia es el producto de sus distancias a cualquier pareja de puntos en una circunferencia que sean colineales con \(P\) . ( \(Pot(P,C)\) es definido como la potencia de \(P\) con respecto a una circunferencia \(C\) ). Si los puntos alineados con $P$ son $A$ y $B$, tendríamos entonces que

\(PA \times PB = Pot(P,C).\)

De esto se sigue que la potencia de un punto puede ser positiva, negativa o cero, de acuero a si $P$ está dentro, fuera o en la circunferencia. Veamos esto caso por caso.

  • Sea \(P\) un punto externo a \( C(O,r)\). Entonces $PA>0$ y $PB>0$. Así \(Pot(P,C) > 0\).
Geometría Moderna II: Potencia de un punto respecto a un punto externo.
  • Sea \(P\) un punto interno a \( C(O,r)\). Entonces $PA$ está dirigido hacia un lado y $PB$ está dirigido hacia otro, de modo que tienen signo contrario. Así, \(Pot(P,C) < 0\).
Geometría Moderna II: Potencia de un punto respecto a un punto interno de la circunferencia.
  • Sea \(P\) un punto en \( C(O,r)\). Entonces algunos de los puntos $A$ o $B$ son $P$. Así, $PA=0$ ó $PB=0$. De este modo \(Pot(P,C) = 0\).
Geometría Moderna II: Potencia de un punto que está sobre la circunferencia.

Propiedades básicas de la potencia

La potencia de un punto cuple las siguiente propiedades

Proposición 1 (Potencia de un punto).

Sean $l,m$ rectas secantes a una circunferencia $C(O,r)$. Sean $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ con $C(O,r)$ y $C$ y $D$ los puntos de intersección de $m$ con $C(O,r)$. Se cumple que $PA \times PB = PC \times PD$.

Demostración. Haremos la demostración por casos de acuerdo a cuando $P$ está adentro o afuera de la circunferencia.

  • Dentro de la circunferencia:

Tomemos las cuerdas $AB$ y $CD$ en la circunferencia, las cuales se cortan en $P$. Los triángulos $\triangle APC$ y $\triangle DPB$ son semejantes ya que:

Geometría Moderna II: Potencia de un punto proposición 1 cuando el punto está dentro de la circunferencia.
  1. $\angle PAC = \angle PDB $ mismo arco $\overline{BC}$.
  2. $\angle APC = \angle BPD $ por opuestos al vértice.
  3. $\angle PCA = \angle PBD $ mismo arco $\overline{AD}$.

Entonces de la semejanza $\triangle APC \cong \triangle DPB $ tenemos que

$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB},$

de donde obtenemos la igualdad $PA\times PB =PC \times PD$ deseada.

  • Fuera de la circunferencia:

Nuevemente, $AB$ y $CD$ son dos secantes que se intersecan en $P$, pero ahora con $P$ exterior a $C$.

Tenemos que $\triangle APC \cong \triangle DPB $ son semejantes, ya que:

Geometría Moderna II: Potencia de un punto proposición 1 cuando el punto está fuera de la circunferencia.
  1. El cuadrilátero $\square ABDC$ es cíclico, entonces: $\angle ACD + \angle ABD = 180^\circ$ y $\angle ABD + \angle DBP = 180^\circ $, de donde $\angle DBP = \angle ACD$.
  2. $\angle BPD$ y $\angle CPA$ son los mismos ángulos.

Entonces $\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB},$ de donde se obtiene la igualdad buscada

$PA\times PB=PC\times PD.$

  • Sobre la circunferencia:

Este caso es sencillo pues sin importar las secantes tomadas, en cada uno hay un punto igual a $P$ y por lo tanto una distancia igual a cero. De este modo, $PA\times PB=0=PC\times PD$.

$\square$

Proposición 2. (Potencia en términos de la tangente)

Desde un punto exterior $P$ de una circunferencia $C$, su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.

Es decir, sea $PT$ una tangente a $C(O,r)$ con $P$ un punto externo y $T$ el punto de tangencia. Se tiene que $Pot(P,C)=PT^2$.

Imagen representativa de la Proposición 2.

Demostración. Tenemos que mostrar que $PA\times PB =PT^2$.

El ángulo $\angle PTA$ es semi-inscrito y es igual al ángulo inscrito $ \angle TBA$, pues ambos tienen el mismo arco $\overline{AT}$.

Entonces los triángulos $\triangle APT$ y $\triangle TPB$ comparten el ángulo con vértice en $P$ y $\angle PTA=\angle TBA$. Por lo cual se tiene por semejanza de ángulos, se sigue $\triangle APT \cong \triangle TPB $ son semejantes y sus lados son proporcionales:

$\frac{AP}{TP} = \frac{PT}{PB} \Longleftrightarrow PA\times PB=PT\times PT=PT^2=Pot(P,C)$

$\square$

Proposición 3 (Potencia en términos de radio y distancia al origen).

Sea $P$ un punto en cualquier posición, su potencia con respecto a una circunferencia $C(O,r)$, es $\overline{PO}^2 – r^2$

$Pot(P,C) = \overline{OP}^2 – r^2$

Demostración. Haremos la demostración por casos

  • Punto interno a la circunferencia:

Sea $\overline{AB} $ la cuerda que pasa por el centro $O$ y $P$.

Entonces el producto es : $PA\times PB=(r+d)(r-d)=r^2-d^2$

Potencia de un punto imagen de Proposición 3 cuando un punto está dentro de la circunferencia.

Entonces sucede lo mismo para cualquier otra cuerda:

$PC\times PD= r^2-d^2 =r^2-OP^2$

Ahora $PC$ y $PD$ son sentidos opuestos $\Rightarrow PC\times PD \leq 0 \Longleftrightarrow -(PC\times PD) \geq 0$ y como $ r^2-OP^2 \geq 0$ $\Rightarrow -( PC\times PD) = r^2 – OP^2 \Rightarrow (PC\times PD) = OP^2 -r^2 $

$\Rightarrow Pot(P,C)=OP^2-r^2.$

  • Punto externo a la circunferencia:

$P$ un punto exterior de $C(O,r)$.

Desde $P$ se traza una tangente a $C(O,r)$. Ahora como $\angle PTO =90^o =\frac{\pi}{2}$ entonces $\triangle POT$ es un triángulo rectángulo, entonces por Pitágoras:

Potencia de un punto imagen de Proposición 3 cuando un punto está fuera de la circunferencia.

$OP^2=PT^2+OT^2 \Longleftrightarrow PT^2=OP^2-OT^2=OP^2-r^2$

Por la Proposición 2, tenemos que $\Rightarrow Pot(P,C) =PT^2=OP^2-r^2.$

$\square$

Dadas las 3 proposiciones anteriores, se puede expresar lo potencia de un punto $P$ respecto a $C(O,r)$:

$Pot(P,C) = PA \times PB =PT^2=OP^2-r^2.$

Más adelante…

Se seguirá abordando el tema de potencia de un punto y su relación con el eje radical de dos circunferencias.

Al final de los temas de esta primera unidad se dejará unas serie de ejercicios.

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.