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Investigación de Operaciones: Soluciones básicas, factibles y no degeneradas (10)

Por Aldo Romero

Introducción

Ya hablamos de qué es la forma canónica y la forma estándar de un problema lineal. Como platicamos, esto nos permitirá llevar los problemas que nos interesan a ciertas formas especiales a las que podremos aplicarles algunos métodos más adelante. Lo que haremos ahora es comenzar a pensar en qué quiere decir resolver un problema lineal. Para ello, recordaremos de distintos tipos de soluciones que los problemas lineales pueden tener.

Tipos de soluciones y región de factibilidad

En esta sección recordaremos los conceptos de soluciones factibles, soluciones básicas factibles (degeneradas y no degeneradas) y de región de factibilidad.

Supongamos que tenemos un problema de programación lineal en su forma canónica:

$\begin{aligned} M a x z & = c \cdot x \\ s . a . \\ A x & \leq b \\ x & \geq 0, \end{aligned}$

donde usamos la misma notación que en la entrada anterior, pero donde tomaremos $l$ variables de decisión. En particular, $x, c$ son vectores en $R^{n}$ , $b$ es un vector en $R^{m}$ y $A$ es una matriz de entradas reales de $m \times n$ . Recuerda que en la expresión anterior entendemos $0$ como el vector en $R^{n}$ con entradas todas iguales a cero.

Este problema también tiene una forma estándar, en donde transformamos las desigualdades en igualdades introduciendo variables de sobra y de holgura.
$\begin{aligned} M a x z & = c \cdot x \\ s . a . \\ A^{'} x^{'} & = b \\ x^{'} & \geq 0, \end{aligned}$

en donde en hemos agregado $n - m$ variables de holgura al vector $x$ , para obtener un vector $x^{'}$ en $R^{n}$ , así como $n - m$ columnas a $A$ para volverla una matriz en de $m \times n$ , para agregar los coeficientes de las variables de holgura que hacen que se de la igualdad.

Como recordatorio, tenemos las siguientes definiciones para los tipos de soluciones del problema lineal.

Definición. Una solución factible al problema lineal en forma canónica dado anteriormente es un vector columna $x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$ que satisface las restricciones $A x \leq b$ y $x \geq 0$ . Esto se corresponde con una solución $x^{'}$ al problema en forma estándar que satisface $A^{'} x^{'} = b$ y $x^{'} \geq 0$ .

Definición. La región de factibilidad del problema lineal en forma canónica es el conjunto de todas las soluciones factibles.

De entre las soluciones factibles, hay algunas que son un poco más sencillas, en el sentido de que varias de sus entradas son iguales a cero pensadas como soluciones del problema en forma estándar. En las siguientes definiciones suponemos que el rango de la matriz $A^{'}$ es exactamente igual a $m$ .

Definición. Una solución básica factible es una solución factible $x$ correspondiente a una solución $x^{'}$ del problema en forma estándar con no más de $m$ componentes positivas. En otras palabras, $x^{'}$ tiene al menos $n - m$ entradas iguales a cero.

Definición. Una solución básica factible no degenerada es una solución factible $x$ correspondiente a una solución $x^{'}$ del problema en forma estándar con exactamente $m$ componentes positivas. En otras palabras, $x^{'}$ tiene exactamente $n - m$ entradas iguales a cero.

Definición. Una solución básica factible degenerada es una solución factible $x$ correspondiente a uan solución $x^{'}$ del problema en forma estándar con menos de $m$ componentes positivas. En otras palabras, $x^{'}$ tiene más de $n - m$ entradas iguales a cero.

La importancia de las soluciones básicas factibles y no degeneradas es que cumplen las siguientes:

Se puede mostrar que si un problema de programación lineal tiene óptimo, entonces dicho óptimo se alcanza para alguna solución básica factible y no degenerada.
Las soluciones básicas factibles y no degeneradas se pueden encontrar resolviendo sistemas de ecuaciones.
Geométricamente, las soluciones básicas factibles y no degeneradas están en vértices de la región de factibilidad.

A continuación explicaremos algunos de estos puntos con un ejemplo detallado, que te ayudará a entender la intuición detrás de estas definiciones y de su importancia.

Ejemplos de región de factibilidad y tipos de solución

Consideremos el siguiente problema de programación lineal:

$\begin{aligned} M a x . z & = 2 x_{1} + 3 x_{2} \\ s . a . \\ \begin{array}{c} 2 x_{1} & + x_{2} & \leq & 4 \\ x_{1} & + 2 x_{2} & \leq & 5 \end{array} \\ x_{1}, x_{2} \geq 0. \end{aligned}$

Antes de comenzar a estudiar la región de factibilidad, debemos verificar que está en forma canónica. En efecto, todo está en orden: el problema es de maximización, las desigualdades son $\leq$ y a las variables de decisión se les pide ser no negativas.

La región de factibilidad es el conjunto de todos los $(x_{1}, x_{2})$ (en el plano $R^{2}$ ) que cumplen las restricciones del problema, es decir, $2 x_{1} + x_{2} \leq 4$ , $x_{1} + 2 x_{2} \leq 5$ , $x_{1} \geq 0$ y $x_{2} \geq 0$ . Para entender esto mejor, lo podemos pensar en cuatro regiones:

Región 1: La región $x_{1} \geq 0$ , que queda a la derecha del eje $y$ .

Región 2: La región $x_{2} \geq 0$ , que queda arriba del eje $x$ .

Región 3: La región $2 x_{1} + x_{2} \leq 4$ , que queda debajo de la recta $2 x_{1} + x_{2} = 4$ .

Región 4: La región $x_{1} + 2 x_{2} \leq 5$ , que queda por debajo de la recta $x_{1} + 2 x_{2} = 5$ .

Como queremos que $(x_{1}, x_{2})$ satisfaga todas las restricciones simultáneamente, necesitamos que esté en la intersección de todas las regiones. Así, la región de factibilidad es en la que se intersectan todas estas regiones que acabamos de dibujar. Al sobreponerlas, obtenemos la región encerrada en la siguiente figura:

Si gustas, puedes también explorar el interactivo de GeoGebra en donde se han coloreado los complementos de las regiones para más claridad. Puedes usar el cursor para mover la figura y las herramientas de lupa para hacer acercamientos y alejamientos.

La intuición que debemos tener ahora es que el máximo de la función objetivo $2 x_{1} + 3 x_{2}$ se tiene que alcanzar en alguno de los vértices del cuadrilátero que es la región factible. A grandes rasgos, estos vértices serán las soluciones básicas factibles y no degeneradas. Veamos dónde el álgebra nos dice esto.

Para ello, pensemos al problema en su forma estándar, tomando variables de holgura $s_{1}$ y $s_{2}$ . Las restricciones que tienen las cuatro variables en conjunto son las siguientes.

$\begin{aligned} 2 x_{1} + x_{2} + s_{1} & = 4 \\ x_{1} + 2 x_{2} + s_{2} & = 5 \\ x_{1}, x_{2}, s_{1}, s_{2} & \geq 0. \end{aligned}$

La matriz $A^{'}$ es $(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{matrix})$ , que puedes verificar que tiene rango $2$ . Las soluciones básicas y no degeneradas corresponden a tener en ese sistema de ecuaciones exactamente $m = 2$ variables positivas, de manera que necesitamos hacer exactamente $n - m = 4 - 2 = 2$ de estas variables iguales a cero. Al hacer esto, podemos resolver para las $m = 2$ variables restantes. Por ejemplo, si establecemos $x_{1} = 0$ y $x_{2} = 0$ , las ecuaciones se convierten en

$\begin{array}{r} s_{1} = 4 \\ s_{2} = 5 \\ x_{1}, x_{2}, s_{1}, s_{2} \geq 0, \end{array}$

que tiene solución única $(x_{1}, x_{2}, s_{1}, s_{2}) = (0, 0, 4, 5)$ . Así, la solución básica del problema en forma canónica es $(x_{1}, x_{2}) = (0, 0)$ . Hay que recordar dar la solución básica ya sólo para las variables originales, es decir, las del problema en forma canónica.

Esta solución corresponde al punto $C$ del interactivo de GeoGebra. Se puede determinar otra solución básica fijando $s_{1} = 0$ y $s_{2} = 0$ , donde el sistema sería ahora

$\begin{array}{r} 2 x_{1} + x_{2} = 4 \\ x_{1} + 2 x_{2} = 5 \\ x_{1}, x_{2}, s_{1}, s_{2} \geq 0, \end{array}$

y tras resolver las dos ecuaciones, la solución básica que se obtiene es $(x_{1}, x_{2}) = (1, 2)$ , que es el punto $A$ del interactivo de GeoGebra.

Podemos seguir haciendo esto. Si consideramos todas las posibilidades en las que dos variables son cero y resolvemos las ecuaciones resultantes, eso nos dará puntos $(x_{1}, x_{2})$ en el plano. La solución óptima es la solución básica factible (punto de esquina) con el mejor valor objetivo.

En este ejemplo tenemos $(\binom{4}{2}) = \frac{4!}{2! 2!} = 6$ formas de volver dos de las $n$ variables iguales a cero. Ya para las variables $x_{1}$ y $x_{2}$ , los puntos que obtenemos son los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ que son vértices de la región de factibilidad. Los puntos $E$ y $F$ del interactivo también son puntos básicos y no degenerados (son las otras dos intersecciones de las rectas que dibujamos), pero como no satisfacen la condición de factibilidad del problema, entonces no los podemos considerar y por lo tanto no son candidatos a dar el valor óptimo.

La siguiente tabla muestra todas las soluciones básicas y no básicas de este ejemplo:

Variables no básicas (cero)	Variables básicas	Solución para $(x_{1}, x_{2})$	Punto de esquina asociado	¿Factible?	Valor objetivo z
$(x_{1}, s_{1})$	$(s_{1}, s_{2})$	$(0, 0)$	C	Sí	0
$(x_{1}, s_{1})$	$(x_{2}, s_{2})$	$(0, 4)$	E	No	___
$(x_{1}, s_{2})$	$(x_{2}, s_{1})$	$(0, 2.5)$	D	Sí	7.5
$(x_{2}, s_{1})$	$(x_{1}, s_{2})$	$(2, 0)$	B	Sí	4
$(x_{2}, s_{2})$	$(x_{1}, s_{1})$	$(5, 0)$	F	No	___
$(s_{1}, s_{2})$	$(x_{1}, x_{2})$	$(1, 2)$	A	Sí	8 (óptimo)

Más adelante…

Notemos que a medida que el tamaño del problema se incrementa, enumerar todos los puntos esquina se volverá una tarea que tomaría mucho tiempo. Por ejemplo, si tuviéramos $20$ variables (ya con las de holgura) y $10$ restricciones, es necesario resolver considerar $(\binom{20}{10}) = 184756$ formas de crear ecuaciones de $10 \times 10$ , y resolver cada una de ellas. Aunque esto es finito, son demasiadas operaciones. Y este en la práctica incluso es un ejemplo pequeño, ya que en la vida real hay problemas lineales que pueden incluir miles de variables y restricciones.

Por ello, se vuelve cruciar encontrar un método que atenúe esta carga computacional en forma drástica, que permita investigar sólo un subconjunto de todas las posibles soluciones factibles básicas no degeneradas (vértices de la región de factibilidad), pero que garantice encontrar el óptimo. Una idea intuitiva que debería servir es comenzar en un vértice y «avanzar en una dirección que mejore la función objetivo». Esto precisamente es la intuición detrás del método simplex, que repasaremos a continuación.

Tarea moral

Considera el siguiente problema lineal en su forma canónica:

$\begin{aligned} M a x z & = 2 x_{1} + 3 x_{2} \\ s . a . \\ \begin{array}{c} x_{1} & + 3 x_{2} & \leq & 6 \\ 3 x_{1} & + 2 x_{2} & \leq & 6 \end{array} \\ x_{1}, x_{2} \geq 0. \end{aligned}$

Sigue los pasos descritos arriba para encontrar todas sus soluciones básicas factibles y no degeneradas. Usa ello para encontrar el óptimo del problema.

Actualiza las restricciones en el interactivo de GeoGebra que se compartió en la entrada para visualizar este problema y confirmar tus cuentas del ejercicio anterior. Para ello, deberás ir al apartado «Álgebra» del interactivo y modificar los objetos $a$ y $b$ .
Considera un problema de optimización lineal en dos variables $x$ y $y$ , en forma canónica y con $m$ restricciones (desigualdades), además de las restricciones $x \geq 0$ y $y \geq 0$ . Explica por qué la región de factibilidad siempre es un polígono con a lo más $m + 2$ lados, y por qué entonces basta evaluar la función objetivo en a lo más $m + 2$ puntos para encontrar su máximo.
¿Cómo se vería la región de factibilidad de un problema de optimización lineal de maximización que no tenga máximo? Explica todas las posibilidades y da ejemplos.
Intenta usar las ideas de esta entrada para resolver los problemas de optimización lineal clásicos que hemos descrito en entradas anteriores.

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Geometría Analítica I: Introducción al curso

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Bienvenido al curso de Geometría Analítica I. A través de esta serie de entradas cubriremos el temario oficial del programa de la materia tal y como se requiere en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Esto incluye desarrollar no sólo habilidades para ejecutar procedimientos («hacer cuentitas»), sino también aquellas que nos permitan deducir los resultados que obtendremos a través de razonamientos lógicos («demostrar»).

Pre-requisitos del curso

En la mayoría de las entradas seguiremos un flujo matemático, en el cual escribiremos definiciones, proposiciones, ejemplos, teoremas y otro tipo de enunciados matemáticos. Siempre que digamos que algo sucede, es importante argumentar o justificar por qué es esto, es decir, que demos una demostración. Las demostraciones nos ayudarán a justificar que ciertos procedimientos (para encontrar distancias, ángulos, etc.) son válidos.

Para entender un poco más al respecto, te recomendamos leer las siguientes dos entradas, o incluso llevar a la par un curso de Álgebra Superior I:

Además de estos pre-requisitos de pensamiento lógico, también es importante que recuerdes algunos de los conceptos fundamentales de geometría (punto, línea, segmento, triángulo, distancia, etc.). Si bien todo lo construiremos «desde cero», el recordar estos conceptos te ayudará mucho en la intuición de por qué ciertas cosas las definimos como lo haremos, y por qué ciertos enunciados que planteamos «deben ser ciertos».

Finalmente, también supondremos que sabes manejar a buen nivel las operaciones y propiedades en $R$ , los números reales. Por ejemplo, que la suma es conmutativa ( $a + b = b + a$ ), que se distribuye con el producto ( $a (b + c) = a b + a c$ ), etc. Si bien en otros cursos se definen a los reales con toda formalidad, para este curso sólo será importante que sepas hacer estas operaciones.

La idea fundamental

La geometría se trata de figuras, de ver, de medir. El álgebra se trata de sumar, de operar, de comparar. La idea clave que subyace a la geometría analítica, como la veremos en este curso, es la siguiente:

La geometría y el álgebra son complementarias e inseparables, ninguna con más importancia sobre la otra. Podemos entender al álgebra a partir de la geometría, y viceversa.

Un ejemplo muy sencillo que se ve desde la educación básica es que la suma de reales se corresponde con «pegar segmentos». Si en la recta real tenemos un segmento de longitud $a$ y le pegamos un segmento de longitud $b$ , entonces el segmento que se obtiene tiene longitud $a + b$ . Si bien es obvio, cuando estemos estableciendo los fundamentos tendremos que preguntarnos, ¿por qué pasa? ¿qué es pegar segmentos?

Nuestro objetivo será entender a profundidad muchas de estas equivalencias.

Interactivos

En este curso procuraremos incluir interactivos para que explores las ideas que vayamos introduciendo. Si bien un interactivo no reemplaza a una demostración, lo cierto es que sí ayuda muchísimo a ver más casos en los cuales una proposición o teorema se cumple. Nuestros interactivos están hechos en GeoGebra y necesitarás tener activado JavaScript en tu navegador.

En el siguiente interactivo puedes mover los puntos $A$ , $B$ y $C$ . Observa como la suma de dos segmentos siempre es igual al tercero. ¿Qué pasa si $B$ «se pasa de $C$ »? ¿Cuál segmento es la suma de los otros dos?

Te recomendamos fuertemente que dediques por lo menos un rato a jugar con los interactivos: intenta ver qué se puede mover, qué no, qué cosas piensas que suceden siempre y para cuales crees que haya ejemplos que fallen.

Más adelante…

En esta entrada platicamos de cómo son las notas del curso en general. Platicamos de pre-requisitos y de la idea fundamental que subyace al curso. A partir de la siguiente entrada comenzaremos con el tratamiento teórico de la materia. Hablaremos de dos visiones de geometría: la sintética y la analítica. Veremos un primer resultado que nos dice que, en realidad, ambas están muy relacionadas entre sí.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Escribe en una hoja de papel o en un documento digital qué significan para ti los siguientes términos: punto, línea, círculo, plano, semiplano, elipse, intersección, alineado, longitud, ángulo, dirección, vector. ¿En cuáles de estas palabras tuviste que usar las otras? ¿En cuáles no? Más adelante formalizaremos cada una de estas.
Explora el inicio del siguiente libro digital: Euclides de Byrne.
Si aprendes a manejar GeoGebra por tu cuenta, podrás hacer interactivos tú mismo. Si te interesa esto, revisa el siguiente curso de GeoGebra.
¿Cómo le harías para a cada punto del plano asociarle una pareja de números reales? ¿Cómo le harías para a cada pareja de números reales asociarle un punto en el plano?
Si la suma de números corresponde a pegar segmentos, ¿a qué corresponde la multiplicación de números?

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Álgebra Superior II: Desigualdades de polinomios reales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En la entrada anterior mostramos el teorema de factorización para polinomios con coeficientes reales. Lo que haremos ahora es ver que podemos aplicarlo en la resolución de desigualdades de polinomios en $R [x]$ . El objetivo es que, al final de la entrada, entendamos cómo se pueden resolver problemas como los siguientes:

Problema 1. Determina todos los números $x$ en $R$ para los cuales $x^{6} - 12 x^{4} - 49 x^{2} - 30 > 3 x^{5} - 48 x^{3} - 51 x + 6.$

Problema 2. Determina todos los números $x$ en $R$ para los cuales $\frac{1}{x} > x^{3} - x^{2} + 1.$

Antes de hablar de resolución de desigualdades de polinomios, veremos una forma alternativa de factorizar en $R [x]$ usando potencias.

Teorema de factorización de polinomios reales con potencias

De acuerdo al teorema de factorización en $R [x]$ , un polinomio $p (x)$ se puede factorizar de manera única en factores lineales y factores cuadráticos con discriminante negativo. De ser necesario, podemos agrupar los factores lineales iguales y reordenarlos para llegar a una factorización de la forma $a (x - r_{1})^{α_{1}} \dots (x - r_{m})^{α_{m}} (x^{2} - b_{1} x + c_{1}) \dots (x^{2} - b_{n} x + c_{n}),$ en donde:

$a$ es un real distinto de cero,
$α_{1}, \dots, α_{m}$ y $n$ son enteros positivos tales que $2 n + \sum_{i = 1}^{m} α_{i}$ es igual al grado de $p (x)$ ,
para cada $i$ en ${1, \dots, m}$ se tiene que $r_{i}$ es raíz real de $p (x)$ y $r_{1} < r_{2} < \dots < r_{m}$
para cada $j$ en ${1, \dots, n}$ se tiene que $b_{j}, c_{j}$ son reales tales que $b_{j}^{2} - 4 c_{j} < 0$ .

Observa que los $r_{i}$ son ahora distintos y que están ordenados como $r_{1} < \dots < r_{m}$ . De aquí, obtenemos que $(x - r_{i})^{α_{i}}$ es la mayor potencia del factor lineal $x - r_{i}$ que divide a $p (x)$ . Este número $α_{i}$ se usa frecuentemente, y merece una definición por separado.

Definición. Sea $p (x)$ un polinomio en $R [x]$ y $r$ una raíz de $p (x)$ . La multiplicidad de $r$ como raíz de $p (x)$ es el mayor entero $α$ tal que $(x - r)^{α} ∣ p (x) .$ Decimos también que $r$ es una raíz de multiplicidad $α$ .

Ejemplo. El polinomio $k (x) = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ se factoriza como $(x - 1)^{3} (x + 2)$ . Así, la multiplicidad de $1$ como raíz de $k (x)$ es $3$ . Además, $- 2$ es una raíz de $k (x)$ de multiplicidad $1$ .

$△$

Después hablaremos de una forma práctica en la que podemos encontrar la multiplicidad de una raíz, cuando hablemos de continuidad de polinomios y sus derivadas.

Desigualdades de polinomios reales factorizados

Supongamos que tenemos un polinomio $p (x)$ no constante en $R [x]$ para el cual conocemos su factorización en la forma $a (x - r_{1})^{α_{1}} \dots (x - r_{m})^{α_{m}} (x^{2} - b_{1} x + c_{1}) \dots (x^{2} - b_{n} x + c_{n}),$ y que queremos determinar para qué valores reales $r$ se cumple que $p (r) > 0.$

Daremos por cierto el siguiente resultado, que demostraremos cuando hablemos de continuidad de polinomios.

Proposición. Las evaluaciones en reales de un polinomio cuadrático y mónico en $R [x]$ de discriminante negativo, siempre son positivas.

Lo que nos dice este resultado es que, para fines de la desigualdad que queremos resolver, podemos ignorar los factores cuadráticos en la factorización de $p (x)$ pues

$a (x - r_{1})^{α_{1}} \dots (x - r_{m})^{α_{m}} (x^{2} - b_{1} x + c_{1}) \dots (x^{2} - b_{n} x + c_{n})$ y $a (x - r_{1})^{α_{1}} \dots (x - r_{m})^{α_{m}}$ tienen el mismo signo.

Por la miasma razón, podemos ignorar aquellos factores lineales con exponente par, y de los de exponente impar, digamos $(x - r)^{2 β + 1}$ obtenemos una desigualdad equivalente si los remplazamos por exponente $1$ , pues $(x - r)^{2 β}$ es positivo y por lo tanto no cambia el signo de la desigualdad si lo ignoramos.

En resumen, cuando estamos resolviendo una desigualdad del estilo $p (x) > 0$ podemos, sin cambiar el conjunto solución, reducirla a una de la forma $q (x) := a (x - r_{1}) (x - r_{2}) \dots (x - r_{m}) > 0.$ La observación clave para resolver desigualdades de este estilo está resumida en el siguiente resultado.

Proposición. Tomemos un polinomio $q (x)$ en $R [x]$ de la forma $q (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2}) \dots (x - r_{m})$ con $r_{1} < \dots < r_{m}$ reales.

Si $m$ es par:

Para reales $r$ en la unión de intervalos $(- \infty, r_{1}) \cup (r_{2}, r_{3}) \cup \dots \cup (r_{m - 2}, r_{m - 1}) \cup (r_{m}, \infty),$ la evaluación $q (r)$ tiene el mismo signo que $a$
Para reales $r$ en la unión de intervalos $(r_{1}, r_{2}) \cup (r_{3}, r_{4}) \cup \dots \cup (r_{m - 3}, r_{m - 2}) \cup (r_{m - 1}, r_{m}),$ la evaluación $q (r)$ tiene signo distinto al de $a$ .

Si $m$ es impar:

Para reales $r$ en la unión de intervalos $(r_{1}, r_{2}) \cup (r_{3}, r_{4}) \cup \dots \cup (r_{m - 2}, r_{m - 1}) \cup (r_{m}, \infty),$ la evaluación $q (r)$ tiene el mismo signo que $a$ .
Para reales $r$ en la unión de intervalos $(- \infty, r_{1}) \cup (r_{2}, r_{3}) \cup \dots \cup (r_{m - 3}, r_{m - 2}) \cup (r_{m - 1}, r_{m}),$ la evaluación $q (r)$ tiene signo distinto al de $a$ .

Demostración. El producto $(r - r_{1}) (r - r_{2}) \dots (r - r_{m})$ es positivo si y sólo si tiene una cantidad par de factores negativos. Si $r > r_{m}$ , todos los factores son positivos, y por lo tanto $q (r)$ tiene el mismo signo que $a$ cuando $r$ está en el intervalo $(r_{m}, \infty)$ .

Cada que movemos $r$ de derecha a izquierda y cruzamos un valor $r_{i}$ , cambia el signo de exactamente uno de los factores, y por lo tanto la paridad de la cantidad de factores negativos. El resultado se sigue de hacer el análisis de casos correspondiente.

Veamos cómo podemos utilizar esta técnica para resolver desigualdades polinomiales que involucran a un polinomio que ya está factorizado en irreducibles.

Problema 1. Determina para qué valores reales $x$ se tiene que $- 2 (x - 5)^{7} (x + 8)^{4} (x + 2)^{3} (x + 10) (x^{2} - x + 2)^{3}$ es positivo.

Solución. Por la discusión anterior, podemos ignorar el polinomio cuadrático del final, pues es irreducible. También podemos ignorar los factores lineales con potencia par, y podemos remplazar las potencias impares por unos. Así, basta con encontrar los valores reales de $x$ para los cuales $q (x) = - 2 (x - 5) (x + 2) (x + 10)$ es positivo. Tenemos $3$ factores, así que estamos en el caso de $m$ impar en la proposición.

Las tres raíces, en orden, son $- 10, - 2, 5$ . Por la proposición, para $x$ en la unión de intervalos $(- \infty, - 10) \cup (- 2, 5)$ se tiene que $q (x)$ tiene signo distinto al de $a = - 2$ y por lo tanto es positivo. Para $x$ en el conjunto $(- 10, - 2) \cup (5, \infty)$ se tiene que $q (x)$ tiene signo igual al de $a = - 2$ , y por lo tanto es negativo. De esta forma, la respuesta es el conjunto $(- \infty, - 10) \cup (- 2, 5) .$

Puedes dar clic aquí para ver en GeoGebra las gráfica de $q (x)$ y del polinomio original, y verificar que tienen el mismo signo en los mismos intervalos.

$△$

Si estamos resolviendo una desigualdad y el valor de $a$ en la factorización es positivo, es un poco más práctico ignorarlo desde el principio, pues no afecta a la desigualdad.

Problema 2. Determina para qué valores reales $x$ se tiene que $7 (x + 7)^{13} (x + 2)^{31} (x - 5)^{18} (x^{2} + 1)$ es positivo.

Solución. Tras las cancelaciones correspondientes, obtenemos la desigualdad equivalente $(x + 7) (x + 2) > 0.$

Las raíces del polinomio que aparece son $- 7$ y $- 2$ . De acuerdo a la proposición, estamos en el caso con $m$ par. De esta forma, la expresión es negativa en el intervalo $(- 7, - 2)$ y es positiva en la unión de intervalos $(- \infty, - 7) \cup (- 2, \infty) .$

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Otras desigualdades de polinomios y manipulaciones algebraicas

Si tenemos otras expresiones polinomiales, también podemos resolverlas con ideas similares, solo que a veces se tienen que hacer algunas manipulaciones previas para llevar la desigualdad a una de la forma $p (x) > 0$ .

Problema. Determina todos los números $x$ en $R$ para los cuales $x^{6} - 12 x^{4} - 49 x^{2} - 30 > 3 x^{5} - 48 x^{3} - 51 x + 6.$

Solución. El problema es equivalente a encontrar los reales $x$ para los cuales $x^{6} - 3 x^{5} + 12 x^{4} + 48 x^{3} - 29 x^{2} + 51 x - 36 > 0.$ El polinomio del lado izquierdo se puede factorizar como $(x - 3)^{2} (x - 1) (x + 4) (x^{2} + 1)$ , así que obtenemos el problema equivalente $(x - 3)^{2} (x - 1) (x + 4) (x^{2} + 1) > 0,$ que ya sabemos resolver. El resto de la solución queda como tarea moral.

Puedes ver la gráfica del polinomio $(x - 3)^{2} (x - 1) (x + 4) (x^{2} + 1)$ en GeoGebra si das clic aquí.

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Tener cuidado al multiplicar por denominadores

Hay que tener cuidado al realizar algunas manipulaciones algebraicas, pues pueden cambiar el signo de la desigualdad que estamos estudiando. Veamos un ejemplo donde sucede esto.

Problema. Determina todos los números $x$ en $R$ para los cuales $\frac{1}{x} > x^{3} - x^{2} + 1.$

Solución. La expresión no está definida en $x = 0$ , pues se anula un denominador. Supongamos entonces que $x \neq 0$ , y recordémoslo al expresar la solución final. Vamos a multiplicar la desigualdad por $x$ , pero tenemos que hacer casos.

Si $x > 0$ , entonces el signo de desigualdad no se altera y obtenemos la desigualdad equivalente $0 > x^{4} - x^{3} + x - 1 = (x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1) .$ El factor cuadrático es irreducible y lo podemos ignorar. Si estuviéramos trabajando en todo $R$ , el conjunto solución sería el intervalo $(- 1, 1)$ . Sin embargo, tenemos que restringir este conjunto solución sólo al caso en el que estamos, es decir, $x > 0$ . Así, para este caso sólo los reales en $(0, 1)$ son solución.

Si $x < 0$ , entonces el signo de la desigualdad sí se altera, y entonces obtenemos la desigualdad equivalente $0 < x^{4} - x^{3} + x - 1 = (x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1) .$ De nuevo podemos ignorar el factor cuadrático. La desigualdad tiene solución en todo $R$ al conjunto $(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$ , pero en este caso debemos limitarlo adicionalmente con la restricción $x < 0$ . De este modo, las soluciones para este caso están en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Ahora sí, juntando ambos casos, tenemos que el conjunto solución final es $(- \infty, - 1) \cup (0, 1) .$

Puedes ver la gráfica en GeoGebra de $\frac{1}{x} - x^{3} + x^{2} - 1$ dando clic aquí. Ahí puedes verificar que esta expresión es positiva exactamente en el conjunto que encontramos.

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Más adelante…

Como queda claro, resulta ser útil tener un polinomio en su forma factorizada para resolver desigualdades de polinomios reales. En los ejemplos que dimos en esta entrada, se dieron las factorizaciones de los polinomios involucrados. En el resto del curso veremos herramientas que nos permitirán encontrar la factorización de un polinomio o, lo que es parecido, encontrar sus raíces:

Veremos propiedades de continuidad de polinomios para mostrar la existencia de raíces para polinomios reales en ciertos intervalos.
El teorema del factor nos dice que si $r$ es raíz de $p (x)$ , entonces $x - r$ divide a $p (x)$ . Sin embargo, no nos dice cuál es la multiplicidad de $r$ . Veremos que la derivada de un polinomio nos puede ayudar a determinar eso.
También veremos el criterio de la raíz racional, que nos permite enlistar todos los cantidatos a ser raíces racionales de un polinomio $p (x)$ con coeficientes racionales.
Finalmente, veremos que para los polinomios de grado $3$ y $4$ hay formas de obtener sus raíces de forma explícita, mediante las fórmulas de Cardano y de Ferrari.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Completa la solución del problema enunciado en la sección de manipulaciones algebraicas.
Encuentra el conjunto solución de números reales $x$ tales que $(x + 1) (x + 2)^{2} (x + 3)^{3} (x + 4)^{4} > 0.$
Determina las soluciones reales a la desigualdad $\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x + 2}{x - 1} .$ Ten cuidado con los signos. Verifica tu respuesta en este enlace de GeoGebra, que muestra la gráfica de $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 1}$ .
Realiza las gráficas de otros polinomios de la entrada en GeoGebra para verificar las soluciones dadas a las desigualdades de polinomios.
Revisa esta entrada, en donde se hablan de aplicaciones de desigualdades polinomiales para un problema de un concurso de matemáticas.

Entradas relacionadas

Ir a: Álgebra Superior II
Entrada anterior del curso: Irreducibilidad y factorización en polinomios reales
Entrada siguiente del curso: Procedimiento gráfico para resolver una desigualdad polinomials

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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