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Álgebra Lineal I: Transformaciones multilineales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Con esta entrada empieza el cuarto y último bloque del curso de Lineal I. En este último bloque hablaremos de determinantes de matrices, de eigenvectores, eigenvalores y de polinomios característicos. Además, probaremos el teorema espectral para matrices simétricas reales. Nuestro cimiento teórico para definir a los determinantes y probar sus propiedades fácilmente serán las transformaciones multilineales, que generalizan a las formas bilineales de las que ya hemos hablado.

Antes de empezar, vale la pena recapitular lo que hemos aprendido en los bloques anteriores:

  • Bloque 1: Primero, hablamos de vectores y matrices con entradas reales, y sus operaciones básicas. Luego, vimos que nos ayudan a plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aquí hablamos de varias equivalencias de matrices invertibles. Al final de este bloque, definimos espacios vectoriales en general. En ellos hablamos de conjuntos generadores, independientes y bases. Mediante el lema de Steinitz definimos y probamos propiedades de espacios de dimensión finita.
  • Bloque 2: Vimos la teoría básica de transformaciones lineales. Hablamos de imágenes y kernels de transformaciones. Vimos cómo se comportan con independientes y bases. Luego hablamos de cómo representar transformaciones lineales entre espacios de dimensión finita usando matrices, y en particular cómo hacer cambios de base.
  • Bloque 3: Este bloque fue más «geométrico». Primero, vimos formas lineales y la teoría de dualidad y la aplicamos para ver que todo subespacio es intersección de hiperplanos. Luego, definimos formas bilineales y cuadráticas. De ahí salió la noción de producto interior, que nos permite «hacer geometría» en espacios vectoriales. Hablamos de desigualdades vectoriales, de bases ortogonales, para qué sirven y cómo encontrarlas.

La intuición que obtuvimos de formas bilineales nos ayudará a entender formas multilineales. Pero antes de entrar en este tema, que es un poco técnico, veamos un ejemplo que nos ayudará a entender lo que nos espera en este bloque.

Elevando una matriz a la 100

Considera la matriz $$A=\begin{pmatrix}-4&-10\\3&7\end{pmatrix}.$$ Imagina que para alguna aplicación queremos elevarla a la $100$. Esto probablemente lo puedas hacer a mano, y mejor aún, a computadora. Pero en aplicaciones en la vida real, puede que hacer los cálculos matriciales sea mucho incluso para una computadora. ¿Habrá una forma de que sea más fácil hacer $A^{100}$?

Resulta que para este caso en particular, sí. Considera las matrices $$B=\begin{pmatrix}3 & 5\\ 1& 2\end{pmatrix}$$ y $$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}.$$ La matriz $B$ es invertible, con inversa $$B^{-1}=\begin{pmatrix}2&-5 \\-1&3\end{pmatrix},$$ como puedes verificar. Además, la matriz $A$ se puede «factorizar» así: $$A=B^{-1}DB.$$

Esto es muy útil para nuestros fines. Nota que
\begin{align*}
A^2&=(B^{-1}DB)(B^{-1}DB)\\
&=B^{-1}D^2B,
\end{align*}

y que de hecho inductivamente $A^n=B^{-1}D^n B$ para cualquier entero positivo $n$.

Por otro lado, como la matriz $D$ es diagonal, sus potencias son muy sencillas, de hecho, se puede probar inductivamente que $D^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{n}\end{pmatrix}$ para cualquier entero positivo $n$. De esta forma, podemos hacer $A^n$ con tan solo dos multiplicaciones de matrices:
\begin{align*}
A^n&=B^{-1}D^nB\\
&=\begin{pmatrix}2&-5 \\ -1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&2^{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 5\\ 1& 2\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}2&-5 \\ -1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&5 \\ 2^n&2^{n+1}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}6-5\cdot 2^n& 10-5\cdot 2^{n+1}\\ -3+3\cdot 2^n & -5+3\cdot 2^{n+1}\end{pmatrix}
\end{align*}

Así, el problema que queremos resolver es sencillo ahora. Basta tomar $n=100$ para obtener $$A^{100}=\begin{pmatrix}6-5\cdot 2^{100} & 10-5\cdot 2^{101}\\ -3+3\cdot 2^{100} & -5+3\cdot 2^{101}\end{pmatrix}.$$

Si podemos escribir una matriz $A$ como $B^{-1}DB$ con $B$ invertible y $D$ diagonal, decimos que es diagonalizable. La conclusión anterior es que una matriz diagonalizable se puede elevar fácilmente a potencias.

Todo esto está muy bien pero, ¿de dónde salen las matrices $B$ y $D$? ¿toda matriz es diagonalizable? ¿qué otras ventajas tiene diagonalizar una matriz? Este tipo de preguntas son las que estudiaremos en este bloque.

Diagonalizar matrices de 2×2

El determinante de una matriz $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ en $M_2(\mathbb{R})$, como quizás hayas visto antes, está dado por $ad-bc$. Resulta que una forma sistemática para encontrar matrices $B$ y $D$ como las del ejemplo de arriba es la siguiente:

  • Tomar una matriz $A$.
  • Considerar el polinomio $P(\lambda)=\det(\lambda I – A)$. A este polinomio se le conoce como el polinomio característico de $A$.
  • Encontrar las raíces $\lambda_1$ y $\lambda_2$ de $P(\lambda)$. A estos valores se les llama los eigenvalores de $A$.
  • Encontrar vectores $v_1$ y $v_2$ no cero tales que $(A-\lambda_1I) v_1 =0$ y $(A-\lambda_2 I)v_2 = 0$. Estos simplemente son sistemas lineales homogéneos, que ya sabemos resolver con reducción gaussiana. A estos vectores se les llama eigenvectores de $A$.
  • Usar a $\lambda_1$ y $\lambda_2$ como las entradas de la matriz diagonal $D$.
  • Usar a $v_1$ y $v_2$ como columnas de la matriz $B^{-1}$. Encontrar la inversa de $B^{-1}$ para encontrar a $B$.

¿Cómo se hace en dimensiones más altas? ¿Siempre podemos seguir este proceso esto? ¿Hay algunos tipos de matrices para los que siempre funcione? Estas son otras preguntas que responderemos en el transcurso de estas semanas.

Mientras tanto, veamos qué sucede si aplicamos este método para la matriz $A=\begin{pmatrix}-4&-10\\3&7\end{pmatrix}$ del ejemplo. Tenemos que el determinante de $\lambda I-A = \begin{pmatrix}\lambda+4&-10\\-3&\lambda – 7\end{pmatrix}$ es el polinomio \begin{align*}P(\lambda)&= (\lambda+4)(\lambda-7)+30\\ &=\lambda^2-3\lambda-28+30\\ &=\lambda^2-3\lambda+2,\end{align*} cuyas raíces son $1$ y $2$. De aquí construimos $$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}.$$

Busquemos los eigenvectores. Por un lado, si queremos que suceda que $Av=v$ para un vector $v=(x,y)$, necesitamos que $$(-4x-10y, 3x+7y)=(x,y),$$ y una de las soluciones es $(x,y)=(2,-1)$. Por otro lado, si queremos que suceda que $Av=2v$ para un vector $v=(x,y)$, necesitamos que $$(-4x-10y,3x+7y)=(2x,2y),$$ y una de las soluciones es $(x,y)=(-5,3)$. De aquí construimos $$B^{-1}=\begin{pmatrix}2&-5 \\-1&3\end{pmatrix},$$ y podemos hacer reducción gaussiana para encontrar $B$. Observa que obtenemos exactamente las mismas matrices que propusimos en el ejemplo.

Nos gustaría poder hacer esto mismo en dimensiones más altas y entender cuándo y por qué funciona. Para ello, lo primero que necesitamos hacer es entender muy bien el concepto de determinante y aprender a manejar hábilmente sus propiedades principales.

Hay varias formas de definir determinante y quizás ya hayas visto algunas en cursos anteriores. En este curso definiremos determinante mediante transformaciones multilineales. Es un poco más abstracto, pero ayuda a que sea más fácil probar técnicas para trabajar con determinantes y entender por qué funcionan.

Transformaciones multilineales

En el bloque anterior ya hablamos de formas bilineales. Como recordatorio, tomábamos un espacio vectorial real $V$ y una forma bilineal era una función $b:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que cada que fijábamos una entrada, la función era lineal en la otra. La palabra «forma» la usábamos porque la imagen caía en el campo.

Generalizaremos esta idea para más entradas, y para cuando la imagen cae en cualquier espacio vectorial. Trabajaremos en espacios vectoriales sobre un campo $F$, que puedes pensar que es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

Definición. Sean $V_1,\ldots, V_d$ y $W$ espacios vectoriales sobre $F$. Una función $f:V_1\times \ldots \times V_d\to W$ es multilineal si cada que fijamos una $i$ y para cada $j\neq i$ fijamos vectores $v_j$ en $V_j$, la transformación $$V_i\to W$$ dada por $$v_i\mapsto f(v_1,v_2,\ldots,v_d)$$ es lineal.

Aclaración. De nuevo, es muy importante no confundir una transformación multilineal con una transformación lineal del espacio vectorial $V_1\times \ldots \times V_d$ a $W$.

Ejemplo. Consideremos $\mathbb{R}^3=\mathbb{R}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ y consideramos la transformación $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ dada por $T(x,y,z)=xyz.$ Afirmamos que esta es una transformación multilineal.

Si fijamos $y$ y $z$, tenemos que mostrar que la transformación $x\mapsto xyz$ es lineal, lo cual es cierto pues para $x_1,x_2$ reales y $r$ real se cumple que
\begin{align*}
T(x_1+rx_2,y,z)&=(x_1+rx_2)yz\\
&=x_1yz + rx_2yz\\
&=T(x_1,y,z)+rT(x_2,y,z).
\end{align*}

De manera similar se prueba para las otras entradas.

Sin embargo, $T$ no es una transformación lineal. Por ejemplo, no saca escalares ya que $T(1,1,1)=1\cdot 1\cdot 1=1$ y $$T(2,2,2)=8\neq 2 = 2T(1,1,1).$$

$\square$

Las transformaciones multilineales son muy generales, y ayudan a crear algo que se llama el producto tensorial. Sin embargo, para los fines que necesitamos ahora, no hace falta tanta generalidad. Sólo nos enfocaremos en las transformaciones multilineales cuando $V_1=V_2=\ldots=V_d$, es decir, en transformaciones $f:V^d\to W$.

Definición. Para $d$ un entero positivo y $V$, $W$ espacios vectoriales, una transformación $d$-lineal es una transformación multilineal de $V^d$ a $W$.

Ejemplo. Si $V$ es un espacio vectorial real y $W=\mathbb{R}$, entonces toda forma bilineal $b:V\times V\to \mathbb{R}$ es una transformación $2$-lineal.

Ejemplo. Tomemos $V=\mathbb{R}^3$ y $d=4$. Tomemos las siguientes formas lineales en $V$:
\begin{align*}
l_1(x,y,z)&=x+y+z\\
l_2(x,y,z)&=3x-2y+z\\
l_3(x,y,z)&=y\\
l_4(x,y,z)&=x+z.
\end{align*}

Consideremos la transformación $T:V^4\to \mathbb{R}$ dada por $$T(v_1,v_2,v_3,v_4)=l_1(v_1)l_2(v_2)l_3(v_3)l_4(v_4),$$ por ejemplo, si $v_1=(1,0,0)$, $v_2=(0,1,0)$, $v_3=(0,1,1)$ y $v_4=(1,1,1)$, tenemos que

\begin{align*}
l_1(v_1)&=l_1(1,0,0)=1+0+0=1\\
l_2(v_2)&=l_2(0,1,0)=0-2+0=-2\\
l_3(v_3)&=l_3(0,1,1)=1\\
l_4(v_4)&=l_4(1,1,1)=1+1=2,
\end{align*}

y por lo tanto $$T(v_1,v_2,v_3,v_4)=(1)(-2)(1)(2)=-4.$$

Tenemos que $T$ es $4$-lineal pues para cada $i$, al fijar las tres entradas $v_j$ con $j\neq i$ tenemos que $T(v_1,v_2,v_3,v_4)$ es de la forma $cl_i(v_i)$ con $c$ un escalar. Como $l_i$ es una forma lineal, $cl_i$ también.

$\square$

Nos interesan un tipo todavía más restringido de transformaciones multilineales. Para definirlas, tenemos que hacer una pequeña desviación hacia el tema de permutaciones.

Permutaciones y signos

Tomemos un entero positivo y usemos $[n]$ para hablar del conjunto de los enteros de $1$ a $n$, es decir, $[n]:=\{1,2,\ldots,n\}$.

Definicion. Una permutación de $[n]$ es una función biyectiva $\sigma: [n]\to [n]$.

En otras palabras, una permutación básicamente «revuelve los elementos» de $[n]$. Usualmente expresamos a la permutación con la notación $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \ldots & \sigma(n)\end{pmatrix}$$

Ejemplo. La función $\sigma:[3]\to [3]$ tal que $\sigma(1)=2$, $\sigma(2)=3$ y $\sigma(3)=1$ es una permutación que manda al conjunto ordenado $(1,2,3)$ al conjunto ordenado $(2,3,1)$. La expresamos como $$\begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}.$$

$\square$

Como las permutaciones son funciones, entonces podemos componerlas. Para evitar complicar la notación, no pondremos el signo de composición $\circ$, sino simplemente permutaciones adyacentes. La composición usualmente no es conmutativa.

Ejemplo. Tomemos la permutación $\sigma_1:[4]\to [4]$ representada por $$\begin{pmatrix}1& 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}$$ y la permutación $\sigma_2:[4]\to [4]$ representada por $$\begin{pmatrix}1& 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1\end{pmatrix}.$$

¿Qué hace la función $\sigma_1 \sigma_2$? Es una función de $[4]$ a $[4]$ y cumple lo siguiente:
\begin{align*}
\sigma_1(\sigma_2(1))&=\sigma_1(4)=4,\\
\sigma_1(\sigma_2(2))&=\sigma_1(2)=2,\\
\sigma_1(\sigma_2(3))&=\sigma_1(3)=1,\\
\sigma_1(\sigma_2(4))&=\sigma_1(1)=3,
\end{align*}

es decir, la composición es la permutación representada por $$\begin{pmatrix}1& 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3\end{pmatrix}.$$

Por otro lado, la función $\sigma_2\sigma_1$ hace algo un poco diferente. También es una función de $[4]$ a $[4]$ y cumple lo siguiente:
\begin{align*}
\sigma_2(\sigma_1(1))&=\sigma_2(3)=3,\\
\sigma_2(\sigma_1(2))&=\sigma_2(2)=2,\\
\sigma_2(\sigma_1(3))&=\sigma_2(1)=4,\\
\sigma_2(\sigma_1(4))&=\sigma_2(4)=1,
\end{align*}

así que es la permutación representada por $$\begin{pmatrix}1& 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1\end{pmatrix}.$$

$\square$

Al conjunto de permutaciones de $[n]$ le llamamos $S_n$. Tomemos una permutación $\sigma$ en $S_n$. Para dos elementos $i<j$ en $[n]$, decimos que $\sigma$ los invierte si $\sigma(i)>\sigma(j)$.

Definición. Sea $\sigma$ un elemento de $S_n$. Decimos que el signo de $\sigma$ es $1$ si invierte una cantidad par de parejas, y es $-1$ si invierte una cantidad impar de parejas. Al signo de $\sigma$ lo denotamos $\text{sign}(\sigma)$.

Ejemplo. La permutación $$\begin{pmatrix}1& 2 & 3 & 4 & 5\\ 5 & 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}$$ invierte a la pareja $(1,2)$ pues $\sigma(1)=5>2=\sigma(2)$. Todas las parejas que invierte son $(1,2)$, $(1,3)$, $(1,4)$, $(1,5)$, $(2,3)$, $(4,5)$. Estas son $6$ parejas, que son una cantidad par, así que la permutación tiene signo $1$.

La permutación identidad en $S_n$ no invierte ninguna pareja, así que tiene signo $1$.

$\square$

En la siguiente entrada combinaremos estas nociones de permutaciones y de transformaciones multilineales para hablar de antisimetría y alternancia. Por el momento, reflexiona en lo siguiente: si $\sigma$ es una permutación en $S_n$ y $f:V^n\to W$ es una transformación $n$-lineal, entonces la transformación $\sigma f:V^n \to W$ definida por $$(\sigma f)(x_1,x_2,\ldots,x_n) = f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots,x_{\sigma(n)})$$ también es una transformación $n$-lineal.

Tarea moral

  • Toma $T:V^d\to W$ una transformación $d$-lineal. Muestra que si de entre $x_1,\ldots,x_d$ elementos de $V$ alguno de ellos es el vector $0$, entonces $T(x_1,\ldots,x_d)=0$.
  • Muestra que la transformación del ejemplo de transformaciones multilineales también es lineal en la segunda y tercera entradas.
  • Supón que $l_1,\ldots,l_d$ son formas lineales de $V$ al campo $F$. Muestra que $f:V^d\to F$ dada por $$f(x_1,\ldots,x_d)=l_1(x_1)\ldots l_d(x_d)$$ es una transformación $d$-lineal.
  • Encuentra una transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ que no sea una transformación multilineal.
  • Muestra que la composición de dos permutaciones siempre es una permutación.
  • Muestra que para dos permutaciones $\sigma_1$ y $\sigma_2$ se tiene que $$\text{sign}(\sigma_1\sigma_2)=\text{sign}(\sigma_1)\text{sign}(\sigma_2).$$

Más adelante…

En esta primera entrada de la cuarta unidad hemos visto cómo la intuición que obtuvimos cuando estudiamos formas bilineales, nos ha ayudado a entender el concepto de formas multilíneales. En las siguientes entradas del blog, abordaremos el concepto de determinante y aprenderemos cómo se usa.

Para la definición de determinante y para demostrar algunas de sus propiedades , usaremos lo que aprendimos en esta entrada sobre las transformaciones multilineales. Veremos que es una herramienta del álgebra lineal bastante útil y entender detalladamente cómo funciona será fundamental para abordar uno de los teoremas más importantes del curso: el teorema espectral.

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Álgebra Lineal I: Ortogonalidad y espacio ortogonal

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En entradas anteriores hablamos de formas lineales y del espacio dual. Vimos que las formas coordenadas correspondientes a una base forman bases del espacio dual. También hicimos ejemplos prácticos de cómo encontrar bases duales y cómo hacer cambios de base en el espacio dual. Usaremos la teoría que hemos desarrollado hasta el momento para estudiar los conceptos de ortogonalidad y espacio ortogonal.

Antes de comenzar, es importante dejar un consejo. Quizás a estas alturas asocias a la ortogonalidad con la perpendicularidad. Esta intuición puede ayudar un poco más adelante, pero por el momento es recomendable que dejes esa intuición de lado. El problema es que la «perpendicularidad» habla de parejas de segmentos, parejas de lineas, o parejas de vectores. Sin embargo, las nociones de ortogonalidad que estudiaremos ahora hablan de cuándo una forma lineal $l$ y un vector $v$ son ortogonales, por lo cual es mejor pensarlo por el momento en la ortogonalidad como un concepto nuevo.

Definiciones de ortogonalidad y espacio ortogonal

En esta sección, $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $F$.

Definición. Tomemos una forma lineal $l$ de $V$ y $v$ un vector en $V$. Decimos que $l$ y $v$ son ortogonales si $$\langle l,v \rangle = 0.$$

De manera equivalente, $l$ y $v$ son ortogonales si $l(v)=0$, o si $v$ está en el kernel de $l$.

Ejemplo. Consideremos la forma lineal $l$ de los polinomios en $\mathbb{R}_2[x]$ que a un polinomio lo manda a su evaluación en $2$, es decir, tal que $l(p)=p(2)$. Consideremos al polinomio $p(x)=x^2-3x+2$. Tenemos que \begin{align*}l(p)&=p(2)\\&=2^2-3\cdot 2 +2\\&=4-6+2\\&=0,\end{align*} de modo que $\langle l, p\rangle =0,$ así que $l$ y $p$ son ortogonales. Por otro lado, si $q(x)=x+1$, tenemos que $\langle l,q\rangle = l(q)=3$, de modo que $l$ y $q$ no son ortogonales.

$\square$

Ejemplo. Consideremos la forma lineal $l(x,y,z)=2x+3y-z$ de $\mathbb{R}^3$. Un vector que es ortogonal con $l$ es el vector $v=(0,0,0)$. Un vector un poco más interesante es el vector $(1,1,5)$ pues $l(1,1,5)=2+3-5=0$.

El vector $(1,1,5)$ también es ortogonal a la forma lineal $m(x,y,z)=x+y-\frac{2z}{5}$, como puedes verificar.

$\square$

A partir de la noción anterior, nos podemos hacer dos preguntas. Dado un conjunto de vectores, ¿quiénes son todas las formas lineales ortogonales a todos ellos? Dado un conjunto de formas lineales, ¿quiénes son todos los vectores ortogonales a todas ellas? Esta noción queda capturada en la siguiente definición.

Definición. Para $S$ un subconjunto de $V$, definimos al ortogonal de $S$ como el conjunto de formas lineales de $V$ ortogonales a todos los elementos de $S$. En símbolos, $$S^\bot:= \{l\in V^\ast: \langle l,v \rangle = 0\, \forall v \in S\}.$$

Tenemos una definición dual para subconjuntos de $V^\ast$.

Definición. Para $S$ un subconjunto de $V^\ast$, el ortogonal de $S$ es el conjunto de vectores de $V$ ortogonales a todos los elementos de $S$. En símbolos, $$S^\bot=\{v\in V: \langle l, v \rangle = 0 \, \forall l\in S\}.$$

Observa que estamos definiendo al ortogonal para subconjuntos de $V$ (y de $V^\ast$), es decir, que $S$ no tiene por qué ser un subespacio vectorial de $V$. Por otro lado, sea o no $S$ un subespacio, siempre tenemos que $S^\bot$ es un subespacio. Por ejemplo, si $S$ es un subconjunto de $V$ y $l_1$, $l_2$ son formas lineales que se anulan en todos los elementos de $S$, entonces para cualquier escalar $c$ también tenemos que $l_1+cl_2$ se anula en todos los elementos de $S$.

Ejercicio. Tomemos $S$ al subconjunto de matrices diagonales con entradas enteras en $M_2(\mathbb{R})$. ¿Quién es $S^\bot$? Ojo: Aquí $S$ no es un subespacio.

Solución. Sabemos que para cualquier forma lineal $l$ de $M_2(\mathbb{R})$ existen reales $p$, $q$, $r$, $s$ tales que $$l\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=pa+qb+rc+sd.$$

Si $l$ está en $S^\bot$, se tiene que anular en particular en las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, pues ambas están en $S$. En otras palabras, $$0 = l(A) = p$$ y $$0 = l(B) = s.$$ Así, la forma lineal tiene que verse como sigue:

$$l\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}= qb+rc.$$

Y en efecto, todas las formas lineales de esta forma se anulan en cualquier matriz diagonal con entradas enteras, pues en esas matrices $b=c=0$.

$\square$

Encontrar el espacio ortogonal de manera práctica

Ya mencionamos que $S$ no necesariamente tiene que ser un subespacio para definir $S^\bot$. Sin embargo, usando la linealidad podemos mostrar que, para cualquiera de las dos definiciones, basta estudiar qué sucede con subespacios vectoriales. La demostración de la siguiente proposición es sencilla, y se deja como tarea moral.

Proposición 1. Para $S$ un subconjunto de $V$ (o de $V^\ast$), tenemos que $$S^\bot = \text{span}(S)^\bot.$$

Esta proposición es particularmente importante pues en espacios vectoriales de dimensión finita nos permite reducir el problema de encontrar ortogonales para subconjuntos de vectores (o de formas lineales), a simplemente resolver un sistema de ecuaciones. El procedimiento que hacemos es el siguiente (lo enunciamos para vectores, para formas lineales es análogo):

  • Tomamos una base $B=\{b_1,\ldots,b_n\}$ de $V$
  • Tomamos un subconjunto $S$ de vectores de $V$.
  • Usamos la Proposición 1 para argumentar que $S^\bot=\text{span}(S) ^\bot$.
  • Consideramos una base $C=\{c_1,\ldots,c_m\}$ de $\text{span}(S)$ y notamos que una forma lineal $l$ se anula en todo $\text{span}(S)$ si y sólo si se anula en cada elemento de $C$.
  • Escribimos a cada $c_i$ como combinación lineal de elementos de $B$, digamos $$c_i=a_{i1}b_1+\ldots+a_{in}b_n.$$
  • Cada condición $l(c_i)=0$ se transforma en la ecuación lineal $$a_{i1}l(b_1)+\ldots+a_{in}l(b_n)=l(c_i)=0$$ en las variables $l(b_1), l(b_2),\ldots, l(b_n)$ igualada a $0$, de forma que las $m$ condiciones dan un sistema de ecuaciones homogéneo.
  • Podemos resolver este sistema con reducción gaussiana para encontrar todas las soluciones, aunque basta con encontrar a las soluciones fundamentales, pues justo forman la base de $\text{span}(S)^\bot=S^\bot$.

Veamos este método en acción.

Ejemplo de encontrar el espacio ortogonal de manera práctica

Ejercicio. Considera el subconjunto $S$ de $\mathbb{R}^3$ cuyos elementos son $(2,3,-5)$, $(-1,0,1)$, $(3,3,-6)$, $(-3,-2,5)$. Determina $S^\bot$.

Solución. Para encontrar $S^\bot$, basta encontrar $\text{span}(S)^\bot$.

Lo primero que notamos es que todos los vectores de $S$ satisfacen que la suma de sus entradas es $0$, así que todos los vectores en $\text{span}(S)$ también, de modo que $\text{span}(S)$ no es todo $\mathbb{R}^3$, así que es de dimensión a lo más $2$. Notamos también que $(-1,0,1)$ y $(2,3,-5)$ son linealmente independientes, así que $\text{span}(S)$ es de dimensión al menos $2$, de modo que es de dimensión exactamente $2$ y por lo tanto $(-1,0,1)$ y $(2,3,-5)$ es una base.

Para cualquier forma lineal $l$ en $\mathbb{R}^3$ existen reales $a$, $b$, $c$ tales que $l(x,y,z)=ax+by+cz$. Para encontrar aquellas formas lineales que se anulan en $\text{span}(S)$, basta encontrar aquellas que se anulan en la base, es decir, en $(-1,0,1)$ y $(2,3,-5)$. De esta forma, necesitamos resolver el sistema de ecuaciones homogéneo \begin{align*}-a+c&=0\\2a+3b-5c&=0.\end{align*}

Para resolver este sistema, aplicamos reducción gaussiana:

\begin{align*}
&\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & -5\end{pmatrix}\\
\to & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 3 & -3\end{pmatrix}\\
\to & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}
\end{align*}

La variable libre es $c$ y las pivote son $a$ y $b$. Obtenemos $a=c$ y $b=c$, de donde las soluciones se ven de la forma $(c,c,c)$. Concluimos entonces que $S^\bot$ son las formas lineales tales que $$l(x,y,z)=c(x+y+z)$$ para algún real $c$.

$\square$

En el ejemplo anterior, la dimensiones de $\text{span}(S)$ y de $\text{span}(S)^\bot$ suman $3$, que es la dimensión de $\mathbb{R}^3$. Esto no es una casualidad, como veremos en la siguiente sección.

El teorema de dualidad

Las dimensiones de un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita, y de su espacio ortogonal, están relacionadas con la dimensión del espacio. Este es uno de los teoremas más importantes de dualidad.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$ y $W$ un subespacio de $V$ (o de $V^\ast)$. Entonces $$\dim W + \dim W^\bot = \dim V.$$

Demostración. Hagamos primero el caso en el que $W$ es un subespacio de $V$. Supongamos que $\dim V = n$ y que $\dim W = m$. Como $W$ es subespacio, tenemos que $m\leq n$. Tenemos que mostrar que $\dim W^\bot = n-m$, así que basta exhibir una base de $\dim W^\bot$ con $n-m$ formas lineales.

Para ello, tomemos $e_1,e_2,\ldots, e_m$ una base de $W$ y tomemos elementos $e_{m+1},\ldots,e_{n}$ que la completan a una base de $V$. Afirmamos que la base de $W^\bot$ que estamos buscando consiste de las formas coordenadas $e_{m+1}^\ast,\ldots,e_{n}^\ast$ correspondientes a $e_{m+1},\ldots,e_n$.

Por un lado, estas formas coordenadas son linealmente independientes, pues son un subconjunto de la base $e_1^\ast,\ldots, e_n^\ast$ de $V^\ast$. Por otro lado, si tenemos a una forma lineal $l$ de $V$, habíamos mostrado que la podemos expresar de la forma $$l=\sum_{i=1}^n \langle l, e_i \rangle e_i^\ast,$$ de modo que si $l$ se anula en todo $W$, en particular se anula en los vectores $e_1,\ldots,e_m$, por lo que $$l=\sum_{i=m+1}^n \langle l, e_i\rangle e_i^\ast,$$ lo cual exhibe a $l$ como combinación lineal de los elementos $e_{m+1}^\ast,\ldots,e_n^\ast$. De esta forma, este subconjunto de formas lineales es linealmente independiente y genera a $W^\bot$, que era justo lo que necesitábamos probar.

Ahora hagamos el caso en el que $W$ es un subespacio de $V^\ast$. Podríamos hacer un argumento análogo al anterior, pero daremos una prueba alternativa que usa la bidualidad canónica $\iota: V\to V^\ast ^\ast$. La igualdad $\langle l,v \rangle = 0$ es equivalente a $\langle \iota(v),l \rangle =0$. De esta forma, $v$ está en $W^\bot$ si y sólo si $\iota(v)\in V^\ast ^\ast$ se anula en todo $W$. Como $\iota$ es isomorfismo y el espacio de los $g\in V^\ast ^\ast$ que se anulan en $W$ tiene dimensión $$\dim V^\ast-\dim W = \dim V – \dim W$$ (por la primer parte del teorema), concluimos entonces que $$\dim W^\bot = \dim V – \dim W,$$ lo cual prueba la otra parte del teorema.

$\square$

Problema. Sea $W$ el subespacio de matrices simétricas de $M_3(\mathbb{R})$ ¿Cuál es la dimensión de $W^\bot$?

Solución. Se puede mostrar que $E_{11}$, $E_{22}$, $E_{33}$, $E_{12}+E_{21}$, $E_{23}+E_{32}$, $E_{13}+E_{31}$ forman una base para $W$. De esta forma, $W$ tiene dimensión $6$. Por el Teorema 1, tenemos que $\dim W^\bot = \dim M_3(\mathbb{R})-6=9-6=3$.

$\square$

Aplicar dos veces ortogonalidad en subespacios

Una consecuencia importante del teorema anterior es que aplicarle la operación «espacio ortogonal» a un subespacio de un espacio de dimensión finita nos regresa al inicio. Más formalmente:

Corolario. Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ y $W$ un subespacio de $V$ (o de $V^\ast$), entonces $(W^\bot)^\bot=W$.

Demostración. Haremos la prueba para cuando $W$ es subespacio de $V$. La otra es análoga y se deja como tarea moral. Lo primero que vamos a mostrar es que $W\subset (W^\bot)^\bot$. Tomemos $w$ en $W$. Tenemos que mostrar que $l(w)=0$ para cualquier $l$ en $W^\bot$. Por definición, un $l$ en $W^\bot$ se anula en todo elemento de $W$, así que se anula particularmente en $w$, como queremos.

Como $W$ y $(W^\bot)^\bot$ son espacios vectoriales, tenemos que $W$ es subespacio de $(W^\bot)^\bot$. Por el teorema de dualidad, tenemos que $$\dim W^\bot = \dim V – \dim W.$$ Usando esto y de nuevo el teorema de dualidad, tenemos que $$\dim (W^\bot)^\bot = \dim V – \dim W^\bot = \dim W.$$

De esta forma, $W$ es un subespacio de $\dim (W^\bot)^\bot$ de su misma dimensión, y por lo tanto $W= (W^\bot)^\bot$.

$\square$

Hay que tener particular cuidado en usar el corolario anterior. Solamente se puede garantizar su validez cuando $W$ es un subespacio de $V$, y cuando $V$ es de dimensión finita. En efecto, si $S$ es simplemente un subconjunto de $V$ y no es un subespacio, entonces la igualdad $S=(S^\bot)^\bot$ es imposible, pues al lado derecho tenemos un subespacio de $V$ y al izquierdo no.

Tarea moral

  • Demuestra la proposición enunciada en la entrada
  • Sea $S$ el subespacio de matrices diagonales en $M_n(\mathbb{R})$. ¿Cuál es la dimensión de $S^\bot$?
  • Considera $\mathbb{R}_3[x]$, el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más $3$. Considera las formas lineales $\text{ev}_2$ y $\text{ev}_3$ que evalúan a un polinomio en $2$ y en $3$ respectivamente. ¿Quién es el espacio ortogonal de $\{\text{ev}_2,\text{ev}_3\}$?
  • Prueba la segunda parte del teorema de dualidad con un argumento análogo al que usamos para probar la primer parte.
  • Prueba el corolario para cuando $W$ es subespacio de $V^\ast$.
  • Verifica que las matrices propuestas en el último ejercicio en efecto forman una base para el subespacio de matrices simétricas.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de ortogonalidad y de espacios ortogonales como si fueran un concepto nuevo, dejando de lado, al menos por el momento, nuestras ideas previas de asociar ortogonalidad con perpendicularidad. También vimos cómo encontrar un espacio ortogonal de manera práctica y hablamos de un teorema muy importante: el teorema de la dualidad.

Lo que sigue es hablar de cómo la noción de ortogonalidad nos permite estudiar sistemas de ecuaciones e hiperplanos. En la siguiente entrada estudiaremos estos conceptos.

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Álgebra Lineal I: Introducción a espacio dual

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En esta entrada empezamos la tercera unidad del curso de Álgebra Lineal I. Los conceptos fundamentales de esta nueva unidad son el de espacio dual y el de formas bilineales.

Hagamos un pequeño recordatorio, que será útil para entender los temas que vendrán. Ya definimos qué es un espacio vectorial y qué son las transformaciones lineales.

Para los espacios vectoriales, hablamos de subespacios, de conjuntos generadores, independientes y bases. A partir de ellos definimos qué quiere decir que un espacio sea de dimensión finita y, en ese caso, dijimos cómo definir la dimensión. Un lema fundamental para hacer esto fue el lema del intercambio de Steinitz.

Dijimos que las transformaciones lineales son funciones «bonitas» entre espacios vectoriales que «abren sumas» y «sacan escalares». Dimos como ejemplos a las proyecciones y las simetrías. Vimos lo que le hacen a generadores, linealmente independientes y bases. También, vimos que podemos expresarlas a través de matrices.

Un tipo de matrices de trasformaciones lineales muy importante son las matrices de cambios de base, que permiten conocer las coordenadas de vectores en distintas bases y pasar matrices de transformaciones lineales entre distintas bases. Finalmente, hablamos del rango para matrices y transformaciones lineales.

Es muy bueno entender estos temas lo mejor posible antes de continuar. Aunque no te queden 100% claras todas las demostraciones, por lo menos intenta sí conocer las hipótesis y los enunciados de los resultados principales.

Los temas que vendrán están basados en los capítulos 6 y 10 del libro de Titu Andreescu.

Dualidad y espacio dual

Antes de continuar, el siguiente ejemplo te debe de quedar clarísimo. Dice que hay una forma de hacer un espacio vectorial cuyos elementos son transformaciones lineales. Así es, cada vector de este espacio es una transformación lineal. Esto no debería de ser tan raro pues ya estudiamos algunos espacios vectoriales de funciones.

De ser necesario, verifica que en efecto se satisfacen los axiomas de espacio vectorial, para entender todavía mejor el ejemplo.

Ejemplo. Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales sobre un mismo campo $F$, entonces el conjunto de transformaciones lineales de $V$ a $W$ es un espacio vectorial con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.

Recordemos que la suma de funciones manda a las funciones $S:V\to W$ y $T:V\to W$ a la función $S+T:V\to W$ para la cual $$(S+T)(v)=S(v)+T(v)$$ y que la multiplicación por escalar manda al escalar $c\in F$ y a la función $T:V\to W$ a la función $cT:V\to W$ para la cual $$(cT)(v)=cT(v).$$

La razón por la cual este es un espacio vectorial es que es un subconjunto del espacio vectorial de todas las funciones de $V$ a $W$, y además es cerrado bajo sumas y multiplicaciones por escalar, de modo que es un subespacio.

A este espacio vectorial le llamamos $\text{Hom}(V,W)$.

$\square$

En esta unidad vamos a estudiar $\text{Hom}(V,W)$, pero para un caso particular muy concreto: para cuando $W$ es $F$, el campo sobre el cual está $V$. Podemos hacer esto, pues recuerda que podemos pensar al campo $F$ como un espacio vectorial sobre sí mismo.

A partir de ahora fijaremos el campo $F$. Si quieres, puedes pensarlo como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ pero lo que digamos funcionará para campos arbitrarios.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. El espacio dual $V^\ast$ de $V$ es el conjunto de transformaciones lineales $l:V\to F$ dotado con las operaciones suma dada por $$(l_1+l_2)(v)=l_1(v)+l_2(v)$$ y producto por escalar dado por $$(cl)(v)=c(l(v))$$ para $l_1,l_2, l$ en $V^\ast$, $v$ en $V$ y $c$ en $F$.

A cada elemento de $V^\ast$ le llamamos una forma lineal en $V$. Usamos la palabra «forma» para insistir en que es una transformación que va hacia el campo $F$ sobre el cual está $V$.

Ejemplo. Consideremos al espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Está sobre el campo $\mathbb{R}$. Una forma lineal aquí es simplemente una transformación lineal $S_1:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$, por ejemplo $$S_1(x,y,z)=x+y-z.$$ Otra forma lineal es $S_2:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ dada por $$S_2(x,y,z)=y+z-x.$$ Si sumamos ambas formas lineales, obtenemos la forma lineal $S_1+S_2$, la cual cumple $$(S_1+S_2)(x,y,z)=(x+y-z)+(y+z-x)=2y.$$

Estas son sólo dos formas lineales de las que nos interesan. Si queremos construir todo el espacio dual $(\mathbb{R}^3)^\ast$, necesitamos a todas las transformaciones lineales de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}$.

Recordemos que cada transformación lineal $T$ de estas está representada de manera única por una matriz en $M_{1,3}(\mathbb{R})$ de la forma, digamos, $\begin{pmatrix} a & b & c\end{pmatrix}$. Así, toda transformación lineal de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}$ lo que hace es enviar a $(x,y,z)$ a $$\begin{pmatrix} a& b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=ax+by+cz.$$ Se puede verificar que la suma de matrices y el producto escalar corresponden precisamente con la suma de sus transformaciones lineales asociadas, y su producto escalar.

Dicho de otra forma, $(\mathbb{R}^3)^\ast$ se puede pensar como el espacio vectorial de matrices $M_{1,3}(\mathbb{R})$. Observa que $\mathbb{R}^3$ y $(\mathbb{R}^3)^\ast$ tienen ambos dimensión $3$.

$\square$

Ejemplo. Consideremos el espacio vectorial $V$ de funciones continuas del intervalo $[0,1]$ a $\mathbb{R}$. Una forma lineal es una transformación lineal que a cada vector de $V$ (cada función) lo manda a un real en $\mathbb{R}$. Un ejemplo es la forma lineal $T:V\to \mathbb{R}$ tal que $$T(f)=\int_0^1 f(t)\,dt.$$ Otro ejemplo es la forma lineal $\text{ev}_0:V\to \mathbb{R}$ que manda a cada función a lo que vale en $0$, es decir, $$\text{ev}_0(f)=f(0).$$ Aquí dimos dos formas lineales, pero hay muchas más. De hecho, en este ejemplo no está tan sencillo decir quienes son todos los elementos de $V^\ast$.

$\square$

Espacio dual de un espacio de dimensión finita

Sea $V$ un espacio de dimensión finita $n$ y $B=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ una base de $V$. Como ya vimos antes, una transformación lineal queda totalmente definida por lo que le hace a los elementos de una base. Más concretamente, si $v=x_1e_1+\ldots+x_ne_n$, entonces lo que hace una forma lineal $l$ en $v$ es $$l(x_1e_1+\ldots+x_ne_n)=x_1a_1+\ldots+x_na_n,$$ en donde $a_i=l(e_i)$ son elementos en $F$.

Hay una manera canónica de combinar a un elemento $l$ de $V^\ast$ y a un elemento $v$ de $V$: evaluando $l$ en $v$. Así, definimos al emparejamiento canónico entre $V$ y $V^\ast$ como la función $$\langle\cdot, \cdot \rangle: V^\ast \times V$$ definida para $l$ en $V^\ast$ y $v$ en $V$ como $$\langle l,v\rangle = l(v).$$

Observa que $\langle\cdot, \cdot \rangle$ es lineal en cada una de sus entradas por separado, es decir para $c$ en $F$, para $l_1,l_2,l$ en $V^\ast$ y para $v_1,v_2,v$ en $V$ se tiene que $$\langle cl_1+l_2,v\rangle = c\langle l_1,v\rangle + \langle l_2,v\rangle$$ y que $$\langle l,cv_1+v_2\rangle = c\langle l,v_1\rangle +\langle l,v_2\rangle.$$ Esto es un ejemplo de una forma bilineal. Estudiaremos estas formas a detalle más adelante.

Vamos a hacer una pequeña pausa. Hasta ahora, para un espacio vectorial $V$ definimos:

  • Su espacio dual $V^\ast$.
  • El emparejamiento canónico entre $V$ y $V^\ast$.

Si a $V^\ast$ le estamos llamando «el dual» es porque esperamos que sea «muy parecido» a $V$. También, en una operación de dualidad nos gustaría que al aplicar dualidad dos veces «regresemos» al espacio original.

Por esta razón, nos gustaría a cada elemento $v$ de $V$ asociarle un elemento de $V^ {\ast \ast} $, el espacio dual del espacio dual. Afortunadamente, hay una forma muy natural de hacerlo. Para cada $v$ en $V$ podemos considerar la forma lineal $\text{ev}_v:V^\ast \to F$ que a cada forma lineal $l$ en $V^\ast$ le asigna $l(v)$.

Ejemplo. Considera el espacio vectorial de matrices $M_{2}(\mathbb{R})$. El espacio dual $M_{2}(\mathbb{R})^\ast$ consiste de todas las transformaciones lineales $T: M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$. Un ejemplo de estas transformaciones es la transformación $T$ que a cada matriz la manda a la suma de sus entradas, $T\begin{pmatrix}a& b\\c & d\end{pmatrix}=a+b+c+d$. Otro ejemplo es la transformación $S$ que a cada matriz la manda a su traza, es decir, $S\begin{pmatrix}a& b\\c & d\end{pmatrix}=a+d$.

Consideremos ahora a la matriz $A=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}$.

A esta matriz le podemos asociar la transformación $\text{ev}_A:M_{2}(\mathbb{R})^\ast\to F$ tal que a cualquier transformación lineal $L$ de $ M_{2}(\mathbb{R})$ a $\mathbb{R}$ la manda a $L(A)$. Por ejemplo, a las $T$ y $S$ de arriba les hace lo siguiente $$\text{ev}_A(T)=T(A)=5+2+1+1=9$$ y $$\text{ev}_A(S)=S(A)=5+1=6.$$

$\square$

La discusión anterior nos permite dar una transformación lineal $\iota: V \to V {\ast \ast}$ tal que a cada $v$ la manda a $\text{ev}_v$, a la cual le llamamos la bidualidad canónica entre $V$ y $V^ {\ast \ast} $. Nota que $$\langle \iota(v), l\rangle=\langle l, v\rangle.$$ Un teorema importante que no probaremos en general, sino sólo para espacios vectoriales de dimensión finita, es el siguiente.

Teorema. Para cualquier espacio vectorial $V$, la bidualidad canónica es inyectiva.

De hecho, para espacios vectoriales de dimensión finita veremos que es inyectiva y suprayectiva, es decir, que es un isomorfismo entre $V$ y $V^{\ast \ast}$.

Formas coordenadas

En esta sección hablaremos de cómo encontrar una base para el espacio dual de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita.

Supongamos que $V$ es de dimensión finita $n$ y sea $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base de $V$. A partir de la base $B$ podemos obtener $n$ formas lineales $e_i^\ast:V\to F$ como sigue. Para obtener el valor de $e_i^\ast$ en un vector $v$, expresamos a $v$ en términos de la base $$v=x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_n e_n$$ y definimos $e_i^\ast(v)=x_i$. A $e_i^\ast$ le llamamos la $i$-ésima forma coordenada para la base $B$ de $V$.

Directamente de las definiciones que hemos dado, tenemos que $$v=\sum_{i=1}^n e_i^\ast(v) e_i = \sum_{i=1}^n \langle e_i^\ast, v\rangle e_i.$$

Otra relación importante es que $e_i^\ast(e_j)=0$ si $i\neq j$ y $e_i^\ast(e_j)=1$ si $i=j$. De hecho, muchas veces tomaremos esta como la definición de la base dual.

Ejemplo. Si estamos trabajando en $F^n$ y tomamos la base canónica $e_i$, entonces la forma canónica $e_i^\ast$ manda al vector $(x_1,\ldots,x_n)$ a $x_i$, que es precisamente la $i$-ésima coordenada. De aquí el nombre de formas coordenadas. En efecto, tenemos que $$v=x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_ne_n.$$

$\square$

Estamos listos para enunciar el teorema principal de esta entrada introductoria a dualidad lineal.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base de $V$. Entonces el conjunto de formas coordenadas $B^\ast=\{e_1^\ast, \ldots,e_n^\ast\}$ es una base de $V^\ast$. En particular, $V^\ast$ es de dimensión finita $n$. Además, la bidualidad canónica $\iota:V\to V^{\ast \ast}$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Tarea moral

  • Revisa por definición que si $V$ y $W$ son espacios vectoriales sobre $F$, entonces $\text{Hom}(V,W)$ es un espacio vectorial sobre $F$.
  • Encuentra más formas lineales en el espacio de funciones continuas del intervalo $[0,1]$ a $\mathbb{R}$.
  • Justifica por qué $\iota:V\to V^{\ast \ast}$ es una transformación lineal y argumenta por qué $\langle \iota (v),l\rangle = \langle l,v\rangle$.
  • En el espacio de polinomios $\mathbb{R}_n[x]$ con coeficientes reales y grado a lo más $n$, ¿quienes son las formas coordenadas para la base ordenada $(1,x,x^2,\ldots,x^{n-1},x^n)$?, ¿quiénes son las formas coordenadas para la base ordenada $(1,1+x,\ldots,1+\ldots+x^{n-1},1+\ldots+x^n)$?
  • Aplica el último teorema a la base canónica $E_{ij}$ de $M_2(\mathbb{R})$ para encontrar una base de $M_2(\mathbb{R})^\ast$
  • Considera el espacio vectorial $V$ de matrices en $M_2(\mathbb{R})$. ¿Quién es el kernel de la forma lineal en $V$ que a cada matriz la manda a su traza? ¿Quién es el kernel de la forma lineal $\text{ev}_A$ en $V^\ast$, donde $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$?

Más adelante…

Esta primera entrada introduce los conceptos de espacio dual. Estos conceptos son bastante útiles más adelante. Veremos que gracias a ellos, podemos dar una interpretación en términos de transformaciones lineales de la matriz transpuesta. En esta primer entrada también hablamos de formas lineales. Más adelante, veremos como éstas nos llevan de manera natural al concepto de «hiperplanos» en cualquier espacio vectorial. Uno de los resultados clave que demostraremos con la teoría de dualidad es que cualquier subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita se puede pensar como intersección de hiperplanos. Gracias a esto encontraremos una fuerte relación entre subespacios y sistemas de ecuaciones lineales.

Antes de poder hacer estas cosas bien, necesitamos desarrollar bases sólidas. Por ello, en la siguiente entrada demostraremos el último teorema enunciado. También, veremos algunas recetas para resolver problemas de bases duales.

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