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Álgebra Moderna I: Teorema de Cayley

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

¡Hoy es el día en el que comenzamos la Unidad 4!

A partir de esta unidad veremos cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Para fines introductorios, ilustremos qué pasa en el caso de un grupo finito. Sea $G = \{e,g_2,\dots, g_n\}$, podemos escribir su tabla de producto ($*$):

$*$$e$$g_2$$g_3$$\cdots$$g_n$
$e$
$g_2$
$g_3$
$\vdots$
$a = g_i$$ae$$ag_2$$ag_3$$\cdots$$ag_n$
$\vdots$
$g_n$

¿Qué pasa si elegimos un elemento fijo? Fijemos $g_i$, para distinguirlo, denotémoslo como $a = g_i.$ Así, en la tabla del producto ese renglón quedaría $ae \;\; ag_2 \;\; ag_3 \;\; \cdots \;\; ag_n$. Como tanto $a = g_i$ como $e,g_2,\dots g_n$ están en $G$, ese renglón está conformado por elementos de $G$.

Podría darse el caso en que $ag_k = ag_t$ para algún $k,t\in \{1,\dots,n\}$, pero como $G$ es un grupo, podemos cancelar la $a$. Entonces $ag_k = ag_t \Leftrightarrow g_k = g_t$. Así, si suponemos que $g_k \neq g_t$ para todas $k \neq t$ con $k,t\in \{1,\dots,n\}$, en el renglón de $a$ aparecen $n$ elementos distintos. Es decir, aparecen todos los $n$ elementos de $G$ pero quizás en otro orden.

De esta manera, el efecto que tiene $a$ sobre los elementos de $G$ es de moverlos. Esto sucederá en cualquier renglón de la tabla, es decir, cualquier elemento de $G$ funciona como una permutación. Esto es importante porque nos permitirá visualizar a cualquier grupo como un grupo de permutaciones.

Ésta es la razón por la cual las permutaciones son tan importantes y por eso tenemos que estudiarlas bien.

La función tau $\tau$

Bajo la idea propuesta en la introducción de esta entrada, todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. Para formalizar esta idea comenzaremos con un lema.

Lema.
Sea $G$ un grupo, $a\in G$. La función $\tau_a:G \to G$ dada por $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$, es una biyección.

Demostración.

Sea $G$ un grupo, $a\in G$. Consideremos la función $\tau_a:G\to G$ con $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$.

P.D. $\tau_a$ es biyectiva.
Consideremos la función $\tau_{a^{-1}}:G\to G$ con $\tau_{a^{-1}} = a^{-1} g$, para toda $g\in G.$ Dado $g\in G$.
\begin{align*}
\tau_{a^{-1}}\circ\tau_a(g) & = \tau_{a^{-1}}(\tau_a(g)) = \tau_{a^{-1}}(ag) = a^{-1}(ag) = g\\
\tau_a\circ\tau_{a^{-1}}(g) &= \tau_a(\tau_{a^{-1}}(g)) = \tau_a(a^{-1}g) = a(a^{-1}g) = g.
\end{align*}

Donde todas las igualdades son por definición de $\tau_a$ y $\tau_{a^{-1}}$ ó por propiedades de grupo.

Así, $\tau_{a^{-1}}$ es la inversa de $\tau_a$ y entonces $\tau_a$ es biyectiva.

$\blacksquare$

Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
La demostración queda como ejercicio. Sucederá que si $a\neq e$, entonces $\tau_a$ seguirá siendo una función biyectiva, pero no un homomorfismo.

El título de la entrada

El Teorema de Cayley es quien nos dirá exactamente lo que queremos formalizar esta entrada.

Teorema. Teorema de Cayley.
Todo grupo de $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$. En particular, todo grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo. De acuerdo al lema anterior, para cada $a\in G$ se tiene que $\tau_a$ es una función biyectiva de $G$ en $G$, es decir $\tau_a\in S_G$ Definimos entonces
\begin{align*}
\phi: G \to S_G \text{ con } \phi(a) = \tau_a \; \forall a\in G.
\end{align*}

Veamos que $\phi$ es un homomorfismo.
Tomemos $a,b\in G$.
P.D. $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$.

Dado que en todas las funciones involucradas tanto el dominio como el condominio es $G$, basta probar que $\phi(ab) $ y $\phi(a)\circ\phi(b)$ tienen la misma regla de correspondencia. Sea entonces $g\in G,$ apliquemos la función $\phi(ab)$ a $g$.
\begin{align*}
\phi(ab)(g) &= \tau_{ab}(g)\\
&= (ab)g \\
&= a(bg) \\
&= \tau_a(\tau_b(g)) \\
& = \tau_a\circ\tau_b(g) = \phi(a)\circ\phi(b)(g).
\end{align*}

Por lo tanto $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$, probando así que $\phi$ es un homomorfismo.

Veamos ahora que $\phi$ es un monomorfismo. Sea $a\in \text{Núc }\varphi$,
\begin{align*}
a\in \text{Núc }\varphi \Rightarrow\; & \phi(a) = \text{id}_G & \text{Definición de Núc}\\
\Rightarrow\; & \phi(a) (g) = \text{id}_G(g) &\forall g\in G \\
\Rightarrow\; & \tau_a(g) = g & \forall g\in G\\
\Rightarrow\; &ag = g & \forall g\in G \\
\Rightarrow\; &a = e
\end{align*}

donde la última implicación se puede justificar considerando el caso particular $g = e$. De esta manera $\phi$ es un monomorfismo.

Así, al restringir el codominio de $\phi $ a la imagen $\text{Im }\phi$ obtenemos un isomorfismo.
Por lo tanto $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G$. Con esto tenemos la primero parte del teorema demostrada.

En particular, si $|G| = n $ tenemos que $S_G \cong S_n$ y como $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G\cong S_n$, entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

$\blacksquare$

Ejemplo:

Tomemos $V = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$ el grupo de Klein, con la suma entrada a entrada módulo 2.
Sean $a_1 = (0,0), a_2 = (1,0), a_3 = (0,1), a_4 = (1,1)$. Tenemos la tabla de suma de la siguiente manera:

$+$$a_1$$a_2$$a_3$$a_4$
$a_1$$a_1$$a_2$$a_3$$a_4$
$a_2$$a_2$$a_1$$a_4$$a_3$
$a_3$$a_3$$a_4$$a_1$$a_2$
$a_4$$a_4$$a_3$$a_2$$a_1$

Entonces $\tau_{a_2}$ intercambia $a_1$ y $a_2$ e intercambia $a_3$ y $a_4$ de lugar. Viendo a $a_2$ como una permutación, correspodería a $\sigma \in S_4$ con $\sigma = (1\;2)(3\;4).$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demostrar la observación:
    Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
  2. Para los siguientes grupos $G$ y $g\in G$ determina cómo es la función $\tau_g:$
    • $G$ es cíclico de orden 6, $g$ un generador de $G$.
    • $G = D_{2(4)}$, $g = b$ la reflexión sobre el eje $x$.
    • $G = Q$, $g = -j$.
  3. En los diferentes inicios del ejercicio anterior, describe cómo se puede visualizar al elemento $g\in G$ como una permutación en $S_n$ con $n = |G|.$

Más adelante…

Esta entrada es la primera de la unidad 4 porque a partir de aquí vamos a abstraer aún más lo que se trabajó en el Teorema de Cayley. Aquí vimos que un grupo se puede ver como un subgrupo de permutaciones porque podemos multiplicar $g\in G$ con todos los elementos de $G$. Pero a lo largo de este curso vimos varias operaciones que están definidas a partir del producto de $G$, por ejemplo, si tenemos $aN \in G/N$ con $N$ normal en $G$, es perfectamente válido operar $gaN$. Siguiendo la lógica del Teorema de Cayley, ¿qué pasa si definimos una nueva función multiplicando las clases laterales por los elementos del grupo? ¿Será posible definir algún tipo de operación entre los elementos de un grupo y un conjunto ya no necesariamente de clases laterales? Éstas y más preguntas serán respondidas en las siguientes entradas.

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Cálculo Diferencial e Integral III: Determinantes

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

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Introducción

El determinante de una matriz cuadrada es un número asociado a esta. Como veremos, los determinantes nos proporcionarán información de interés para varios problemas que se pueden poner en términos de matrices.

Recuerda que los temas de esta unidad son tratados a manera de repaso, por lo cual no nos detenemos en detallar las demostraciones, ni en extender las exposiciones de las definiciones. Para mayor detalle, te remitimos al curso de Álgebra Lineal I, específicamente comenzando con la entrada Transformaciones multilineales. Aún así, es recomendable que revises estas notas en el curso de Cálculo Diferencial e Integral III, pues sintetizamos los temas de tal manera que recuperamos los conceptos relevantes para el cálculo de varias variables. Así mismo, en ocasiones, abordamos las definiciones y resultados de manera un poco distinta, y es muy instructivo seguir los mismos conceptos abordados con un sabor ligeramente distinto.

Permutaciones

Recordemos que en la entrada anterior definimos para cada $n\in \mathbb{N}$ el conjunto $[n]=\{1, 2,\ldots, n\}$.

Definición. Una permutación del conjunto $[n]$ es una función biyectiva $\sigma :[n]\rightarrow [n]$. Una forma de escribir a $\sigma$ de manera más explícita es la siguiente:
\[ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma(n) \end{pmatrix} \]

Podemos pensar también a una permutación como un reacomodo de los números $1, 2, …, n$. Pensado de esta manera, escribimos $\sigma =\sigma(1) \sigma(2)\dots \sigma(n)$.

El conjunto de todas las permutaciones del conjunto $[n]$ se denota como $S_n$. Una observación interesante es que $S_{n}$ tiene $n!$ elementos.

Definición. Para $\sigma \in S_{n}$, una inversión en $\sigma$ consiste en un par $(i,k)\in [n]\times [n]$ tal que $i>k$ pero $i$ precede a $k$ en $\sigma$ cuando se considera $\sigma$ como una lista. Diremos que $\sigma$ es permutación par o impar según tenga un número par o impar de inversiones.

Ejemplo. Consideremos $\sigma=12354$ permutación en $[5]$. Tenemos que $(5,4)$ es una inversión en $\sigma$ pues $5>4$ pero en la permutación $5$ precede a $4$. Al tener $\sigma$ una sola inversión, es una permutación impar.

$\triangle$

Definición. El signo de $\sigma$, denotado $\text{sign}(\sigma)$ se define como:
\[
\text{sign}(\sigma )= \begin{cases} 1 & \text{si $\sigma$ es par} \\
-1 & \text{si $\sigma$ es impar.}\end{cases}
\]

Sea $A\in M_{n}(\mathbb{R})$. Pensemos en un producto de $n$ entradas de $A$ tomadas de tal manera que se eligió una y sólo una de cada fila y columna. Podemos reordenar los números para poner en orden la fila de la que tomamos cada uno, y escribir el producto como
\begin{equation}
a_{1j_{1}} a_{2j_{2}}\dots a_{nj_{n}}.
\label{eq:producto}
\end{equation}

Así, $a_{kj_{k}}$ nos dice que en la fila $k$ tomamos la entrada de la columna $j$. Como se eligió una y sólo una entrada por columna, tenemos que $j_1,\ldots,j_n$ es una permutación de $[n]$. Y viceversa, cada permutación $\sigma =j_{1}\dots j_{n} \in S_{n}$ determina un producto como en \eqref{eq:producto}. Por ello la matriz $A$ nos entrega $n!$ productos con esta característica.

Determinantes en términos de permutaciones

A partir de las permutaciones podemos definir a los determinantes.

Definición. El determinante de la matriz $A$, denotado por $\det(A)$, se define como:
\[
\det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}} \left(\text{sign}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma (i)}\right)
\]
donde
\[
\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\
\sigma (1) & \sigma (2) & \dots & \sigma (n)
\end{pmatrix}
\]

Ejemplo. Para la matriz \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] tomemos en cuenta las permutaciones del conjunto $[3]$ las cuales son: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

De acuerdo con la definición de determinante, tenemos:

\begin{align*}
\det(A)=&(1)a_{11}a_{22}a_{33}+(-1)a_{11}a_{23}a_{32}+(-1)a_{12}a_{21}a_{33}+\\
&(1)a_{12}a_{23}a_{31}+(1)a_{13}a_{22}a_{31}+(-1)a_{13}a_{21}a_{32}\\
=&0\cdot 2\cdot 1+(-1)0\cdot 0\cdot 0+(-1)2\cdot 1\cdot 1+\\
&(1)2\cdot 0\cdot 3+(1)1\cdot 2\cdot 3+(-1)1\cdot 1\cdot 0\\
=&4.
\end{align*}

$\triangle$

Propiedades de los determinantes

Veamos algunas de las propiedades que tienen los determinantes. Aprovecharemos para introducir algunas matrices especiales.

Definición. La matriz identidad $I\in M_{n}(\mathbb{R})$ es aquella que cumple que en las entradas de la forma $(i,i)$ son iguales a 1 y el resto de las entradas son iguales a 0.

Definición. Diremos que una matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ es una matriz triangular superior si cumple $a_{ij}=0$ para $i>j$. La llamaremos triangular inferior si cumple $a_{ij}=0$ para $i<j$. Finalmente, diremos que es diagonal si cumple $a_{ij}=0$ para $i\neq j$ (en otras palabras, si simultáneamente es triangular superior e inferior).

Definición. Sea $A\in M_{m,n}(\mathbb{R})$. La transpuesta de la matriz $A$, denotada por $A^t$, es la matriz en $M_{n,m}(\mathbb{R})$ cuyas entradas están definidas como $(a^{t})_{ij} =a_{ji}$.

El siguiente resultado enuncia algunas propiedades que cumplen los determinantes de la matriz identidad, de matrices transpuestas, y de matrices triangulares superiores, triangulares inferiores y diagonales.

Proposición. Sea $A\in M_{n}(\mathbb{R})$. Se cumple todo lo siguiente.

  1. $\det(A)=\det(A^{t})$.
  2. Si $A$ tiene dos filas iguales $\det(A)=0$.
  3. Si $A$ tiene dos columnas iguales $\det(A)=0$.
  4. Si $A$ es triangular superior, triangular inferior, o diagonal, $\det(A)=\prod_{i=1}^{n} a_{ii}$.
  5. $\det(I_n)=1$.

Demostración.

  1. Notemos que (tarea moral) $\text{sign}( \sigma )= \text{sign}( \sigma ^{-1})$, así tenemos que
    \begin{align*}
    \det(A^{t})&=\sum_{\sigma \in S_{n}} \text{sign}(\sigma)a_{\sigma (1) 1}\dots a_{\sigma (n) n}\\
    &=\sum_{\sigma \in S_{n}} \text{sign}(\sigma ^{-1})a_{1\sigma (1)}\dots a_{n\sigma (n)}\\
    &= \sum_{\sigma \in S_{n}} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma (1)}\dots a_{n\sigma (n)}\\&= \det(A).
    \end{align*}
  2. Si tenemos dos filas iguales, en cada producto $a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}$ tenemos dos factores de la misma fila, por tanto para cada producto tenemos otro igual en la suma solo que con signo contrario (signo de la permutación correspondiente); al hacer la suma estos sumandos se anularán por pares resultando en cero.
  3. Mismo argumento que en el inciso anterior.
  4. Si tenemos una matriz triangular, ya sea superior, o inferior $\prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma (i)}\neq 0$ sólo cuando $\sigma(i)=i$ ya que en otro caso este producto siempre tendrá algún factor cero.
  5. Es un corolario de la propiedad anterior, pues la matriz identidad es una matriz diagonal con unos en la diagonal.

$\square$

Otra propiedad muy importante del determinante es que es multiplicativo. A continuación enunciamos el resultado, y referimos al lector a la entrada Propiedades de determinantes para una demostración.

Teorema. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_n(\mathbb{R})$. Se tiene que $$\det(AB)=\det(A)\det(B).$$

Mas adelante…

En la siguiente entrada revisaremos la teoría de sistemas de ecuaciones lineales. Comenzaremos definiéndolos, y entendiéndolos a partir de las operaciones elementales que definimos en la entrada anterior. Hablaremos un poco de cómo saber cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones. Así mismo veremos que en ciertos sistemas de ecuaciones lineales, podemos asociar una matriz cuyo determinante proporciona información relevante para su solución.

Un poco más adelante también hablaremos de diagonalizar matrices. A grandes rasgos, esto consiste en encontrar representaciones más sencillas para una matriz, pero que sigan compartiendo muchas propiedades con la matriz original. El determinante jugará de nuevo un papel muy importante en esta tarea.

Tarea moral

  1. Sea $\sigma \in S_{n}$. Muestra que su inversa, $\sigma ^{ -1}$ también es una permutación. Después, muestra que
    \[\text{sign}(\sigma)= \text{sign}(\sigma ^{-1}).\]
    Sugerencia: no es difícil hacerlo por inducción sobre el número de inversiones.
  2. Encuentra explícitamente cuántas inversiones tiene la permutación $\sigma$ en $S_n$ dada por $S(j)=n-j+1$.
  3. Escribe con más detalle la demostración de que una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante. Puedes pensarlo como sigue. Toma \[ \det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot \dots \cdot a_{n\sigma (n)}.\] Supón que las filas $s$ y $t$ son iguales; para cada factor argumenta por qué \[ a_{1\sigma (1)}\cdots a_{s\sigma (s)} \cdots a_{t\sigma (t)}\cdots a_{n\sigma (n)} \] el factor \[ a_{1\sigma (1)}\cdots a_{t\sigma (t)}\cdots a_{s\sigma (s)} \cdots a_{n\sigma (n)} \] donde permutamos el $t$-ésimo factor con el $s$-ésimo también está en la suma, y por qué ambos son de signos contrarios.
  4. Demuestra que el producto de una matriz triangular superior con otra matriz triangular superior también es una matriz triangular superior. Enuncia y demuestra lo análogo para matrices triangulares inferiores, y para matrices diagonales.
  5. Argumenta con más detalle por qué el determinante de una matriz triangular superior es el produto de las entradas en su diagonal. Específicamente, detalla el argumento de las notas que dice que «en otro caso, este producto siempre tendrá algún factor cero».

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Probabilidad I: Principios de Conteo 2 – Permutaciones

Por Octavio Daniel Ríos García

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Introducción

En la entrada pasada vimos dos principios básicos de conteo: el de la suma y el del producto. En particular, el principio del producto tiene aplicaciones más especializadas. Tal es el caso de las permutaciones y las combinaciones. Dada una colección de objetos, es posible extraer una cantidad fija $k$ de ellos y formar arreglos de tamaño $k$. De estos arreglos puede o no importarnos el orden de los objetos que los forman. Esto da lugar al concepto que veremos en esta entrada: las permutaciones.

Motivación

Comenzaremos con el concepto de permutación. Dada una colección de $n$ objetos, es posible extraer $k$ (con $k \leq n$) de ellos para formar un arreglo lineal. Es decir, se acomodan los elementos en una línea. Lo que nos interesa es ver la cantidad de arreglos lineales de tamaño $k$ que pueden obtenerse de una colección de $n$ objetos. Sin embargo, en un arreglo nos importa el orden en el que se acomodan los objetos. Así, dos arreglos lineales con los mismos elementos pero ordenados de diferente manera se consideran como distintos. Por ello, si queremos la cantidad de arreglos lineales ordenados posibles, estas diferencias se toman en cuenta. Comencemos con un ejemplo.

Ejemplo. En un grupo de $10$ estudiantes, se escoge a $5$ de ellos y se sientan en una fila para una fotografía. ¿Cuántos arreglos lineales pueden formarse?

Como mencionamos anteriormente, la palabra arreglo designa una importancia al orden de los elementos. Si $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, …, $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$ denotan a los $10$ estudiantes, entonces $\mathrm{BCEFI}$, $\mathrm{CEFIB}$ y $\mathrm{ABCFG}$ son tres arreglos lineales distintos. Además, observa que los dos primeros arreglos constan de los mismos $5$ estudiantes, lo que los hace distintos es el orden en el que están acomodados sus elementos.

Ahora, para responder a la pregunta que hicimos, vamos a valernos del principio del producto. Tenemos que considerar las $5$ posiciones (porque estamos tomando $5$ de los $10$ estudiantes que tiene el grupo) y debemos de considerar además cuántos estudiantes hay disponibles para ocupar cada posición.

\[ \underset{\substack{ \phantom{x} \\ \text{1a} \\ \text{Posicion}}}{10} \cdot \underset{\substack{ \phantom{x} \\ \text{2a} \\ \text{Posicion}}}{9} \cdot \underset{\substack{ \phantom{x} \\ \text{3a} \\ \text{Posicion}}}{8} \cdot \underset{\substack{ \phantom{x} \\ \text{4a} \\ \text{Posicion}}}{7} \cdot \underset{\substack{ \phantom{x} \\ \text{5a} \\ \text{Posicion}}}{6} \]

En la 1ᵃ posición puede ir cualquiera de los $10$ estudiantes. No es posible duplicar a los estudiantes, por lo que las repeticiones no son posibles aquí. Por ello, podemos seleccionar únicamente a alguno de los $9$ estudiantes restantes para ocupar la 2ᵃ posición. Similarmente, ahora nos quedan $8$ estudiantes para ocupar la 3ᵃ posición. Continuamos así hasta llegar a que sólo $6$ estudiantes pueden ocupar la 5ᵃ posición. Así, tenemos un total de $30{,}240$ arreglos posibles de $5$ estudiantes tomados del grupo de $10$.

Permutaciones de objetos distintos

Seguramente ya notaste que en este tipo de problemas surgen productos de enteros consecutivos (observa el ejemplo que acabamos de ver, y el ejemplo de las placas de la entrada anterior). En Álgebra Superior I puede que hayas visto el concepto de factorial. Este concepto permite una escritura más sencilla de las operaciones que aparecen en los problemas de conteo. Por ello, lo incluimos como recordatorio:

Recordatorio. Sea $n \in \mathbb{N}$. Se define el número $n$ factorial (denotado por $n!$) como sigue:

\begin{align*} 0! &= 1, \\ n! &= (n)(n − 1)(n − 2) \cdots (3)(2)(1), & \text{para $n \geq 1$}. \end{align*}

Así, se puede observar que

\begin{align*} 1! &= 1, \\ 2! &= 2 \cdot 1 = 2, \\ 3! &= 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6, \\ 4! &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24, \\ 5! &= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. \\ \end{align*}

Además, para cualquier $n \in \mathbb{N}$ se cumple que $(n + 1)! = (n+1)(n!)$.

Utilizando la notación del factorial podemos simplificar el resultado obtenido en el último ejemplo.

\begin{align*} 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1} = \frac{10!}{5!}. \end{align*}

Esto es, al dividir $10!$ entre $5!$ se cancelan los últimos términos de $10!$. Efectivamente, la expresión resultante coincide con lo que obtuvimos en el ejemplo.

Definición 1.18. Dada una colección de $n$ objetos distintos, cualquer arreglo lineal formado con estos objetos es llamado una permutación de la colección.

Por ejemplo, si tenemos las letras $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ y $\mathrm{c}$, hay $6$ maneras de acomodar (o permutar) estas letras: $\mathrm{abc}$, $\mathrm{acb}$, $\mathrm{bac}$, $\mathrm{bca}$, $\mathrm{cab}$ y $\mathrm{cba}$. Por otro lado, si nos interesa tomar arreglos de $2$ letras, entonces hay $6$ permutaciones de tamaño $2$ de la colección: $\mathrm{ab}$, $\mathrm{ac}$, $\mathrm{ba}$, $\mathrm{bc}$, $\mathrm{ca}$ y $\mathrm{cb}$.

Principio de las permutaciones. Sean $n, r \in \mathbb{N}$ tales que $1 \leq r \leq n$. Si tenemos $n$ objetos distintos, entonces por la regla del producto, el número de permutaciones de tamaño $r$ de los $n$ objetos es

\begin{align*} P(n,r) &= \underset{\substack{ \phantom{x} \\ \text{1a} \\ \text{Posicion}}}{(n)} \cdot \underset{\substack{ \phantom{x} \\ \text{2a} \\ \text{Posicion}}}{(n − 1)} \cdot \underset{\substack{ \phantom{x} \\ \text{3a} \\ \text{Posicion}}}{(n − 2)} \cdots \underset{\substack{ \phantom{x} \\ \text{$r$-esima} \\ \text{Posicion}}}{(n − r + 1)} \\ &= (n)(n−1)(n−2) \cdots (n−r+1) \cdot \frac{(n−r)(n−r−1) \cdots (3)(2)(1)}{(n−r)(n−r−1) \cdots (3)(2)(1)} \\ &= \frac{n!}{(n−r)!}. \end{align*}

Como mencionamos previamente, aplicamos el principio del producto para determinar el número de permutaciones que pueden hacerse a partir de una colección dada.

Algunas propiedades importantes que observar.

  1. Cuando $r = 0$, $P(n, 0) = 1 = \frac{n!}{(n−0)!}$, por lo que $P(n, r)$ está bien definido incluso para $r = 0$.
  2. Al permutar todos los $n$ objetos de la colección, se tiene $r = n$. Por ello, $P(n,n) = \frac{n!}{0!} = n!$ es el número de permutaciones posibles de todos los objetos de la colección.
  3. Es importante notar que el número de permutaciones de tamaño $r$ de una colección de $n$ objetos es un resultado del principio del producto cuando no permitimos repetición. En consecuencia, $P(n,r)$ es el número de arreglos lineales de tamaño $r$ en los que no se permiten repeticiones. Sin embargo, cuando sí permitimos las repeticiones, por el principio del producto hay $n^{r}$ arreglos lineales posibles.

Ejemplo. El número de permutaciones de las letras en la palabra $\mathrm{CARMESI}$ es $7!$, pues todas las letras son distintas entre sí. Si queremos formar permutaciones de tamaño $4$, entonces el número de permutaciones de tamaño $4$ es $P(7,4) = \frac{7!}{(7 − 4)!} = \frac{7!}{3!} = 840$. Por otro lado, si permitimos repeticiones de letras, entonces el número de cadenas de $11$ letras que podemos formar es $7^{11} = 1{,}977{,}326{,}743$.

Permutaciones con objetos repetidos

Ejemplo. ¿Qué pasa cuando nuestra colección tiene objetos repetidos o indistinguibles? Por ejemplo, ¿cuál es el número de permutaciones de las $4$ letras en la palabra $\mathrm{PALA}$? En este caso, la letra $\mathrm{A}$ se repite. Veamos cómo se ven todas las permutaciones de estas letras.

Tabla de Arreglos
$\mathrm{A \, A \, L \, P}$$\mathrm{A_{1} \, A_{2} \, L \, P}$$\mathrm{A_{2} \, A_{1} \, L \, P}$
$\mathrm{A \, A \, P \, L}$$\mathrm{A_{1} \, A_{2} \, P \, L}$$\mathrm{A_{2} \, A_{1} \, P \, L}$
$\mathrm{A \, L \, A \, P}$$\mathrm{A_{1} \, L \, A_{2} \, P}$$\mathrm{A_{2} \, L \, A_{1} \, P}$
$\mathrm{A L \, P \, A}$$\mathrm{A_{1} \, L \, P \, A_{2}}$$\mathrm{A_{2} \, L \, P \, A_{1}}$
$\mathrm{A \, P \, A \, L}$$\mathrm{A_{1} \, P \, A_{2} \, L}$$\mathrm{A_{2} \, P \, A_{1} \, L}$
$\mathrm{A \, P \, L \, A}$$\mathrm{A_{1} \, P \, L \, A_{2}}$$\mathrm{A_{2} \, P \, L \, A_{1}}$
$\mathrm{L \, A \, A \, P}$$\mathrm{L \, A_{1} \, A_{2} \, P}$$\mathrm{L \, A_{2} \, A_{1} \, P}$
$\mathrm{L \, A \, P \, A}$$\mathrm{L \, A_{1} \, P \, A_{2}}$$\mathrm{L \, A_{2} \, P \, A_{1}}$
$\mathrm{L \, P \, A \, A}$$\mathrm{L \, P \, A_{1} \, A_{2}}$$\mathrm{L \, P \, A_{2} \, A_{1}}$
$\mathrm{P \, A \, A \, L}$$\mathrm{P \, A_{1} \, A _{2}\, L}$$\mathrm{P \, A_{2} \, A _{1}\, L}$
$\mathrm{P \, A \, L \, A}$$\mathrm{P \, A_{1} \, L \, A_{2}}$$\mathrm{P \, A_{2} \, L \, A_{1}}$
$\mathrm{P \, L \, A \, A}$$\mathrm{P \, L \, A_{1} \, A_{2}}$$\mathrm{P \, L \, A_{2} \, A_{1}}$
(a)(b)

En la tabla de la izquierda (a) pusimos todos los arreglos distintos que se pueden formar con las letras que tenemos. Por otro lado, si distinguimos a las dos letras $\mathrm{A}$ como $\mathrm{A_{1}}$ y $\mathrm{A_{2}}$, nuestra colección se vuelve una colección de objetos distintos. Así, en la tabla de la derecha (b) pusimos todos los arreglos con las letras de la palabra $\mathrm{PA_{1}LA_{2}}$. En este caso sí sabemos calcular el número de permutaciones posibles, es $P(4,4) = 4! = 24$. La tabla revela que para cada arreglo en el que las $\mathrm{A}$’s son indistinguibles le corresponden dos permutaciones con $\mathrm{A}$’s distintas. En consecuencia,

\begin{align*} 2 \cdot (\text{Arreglos distintos con las letras $\mathrm{P}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{L}$, $\mathrm{A}$}) = (\text{Permutaciones de los simbolos $\mathrm{P}$, $\mathrm{A_{1}}$, $\mathrm{L}$, $\mathrm{A_{2}}$}), \end{align*}

por lo que la respuesta a nuestra pregunta original de encontrar todas las permutaciones de las $4$ letras en la palabra $\mathrm{PALA}$ es $\frac{4!}{2} = 12$.

Ejemplo. Usando la misma idea que desarrollamos en el ejemplo anterior, considera ahora las permutaciones de las $9$ letras de la palabra $\mathrm{COCODRILO}$.

Primero, observa que hay $3! = 6$ maneras de acomodar a las $\mathrm{O}$’s distinguidas por cada arreglo en el que las $\mathrm{O}$’s no están distinguidas. Por ejemplo, observa la siguiente tabla:

Tabla de arreglos
$\mathrm{C \, O \, C \, O \, D \, R \, I \, L \, O}$$\mathrm{C \, O_{1} \, C \, O_{2} \, D \, R \, I \, L \, O_{3}}$
$\mathrm{C \, O_{1} \, C \, O_{3} \, D \, R \, I \, L \, O_{2}}$
$\mathrm{C \, O_{2} \, C \, O_{1} \, D \, R \, I \, L \, O_{3}}$
$\mathrm{C \, O_{2} \, C \, O_{3} \, D \, R \, I \, L \, O_{1}}$
$\mathrm{C \, O_{3} \, C \, O_{1} \, D \, R \, I \, L \, O_{2}}$
$\mathrm{C \, O_{3} \, C \, O_{2} \, D \, R \, I \, L \, O_{1}}$
(a) Arreglo sin distinguir las $\mathrm{O}$’s.(b) Arreglos distinguendo a las tres letras $\mathrm{O}$.

Por cada permutación de las letras en la palabra $\mathrm{COCODRILO}$ sin distinguir a las $\mathrm{O}$’s, hay $3$ espacios ocupados por letras $\mathrm{O}$. Por ello, al distinguir a cada una, estamos permutando esas $3$ $\mathrm{O}$’s, que pueden acomodarse de $P(3,3) = 3! = 6$ maneras. Por otro lado, lo mismo pasa con las $\mathrm{C}$’s. En este caso, hay $2!$ maneras de acomodar las $\mathrm{C}$’s distinguidas por cada arreglo sin distinguir las $\mathrm{C}$’s. Por lo tanto, se tiene que

\begin{align*} (3!)(2!)(\text{Arreglos distintos con las letras en $\mathrm{COCODRILO}$}) = (\text{Permutaciones de los simbolos $\mathrm{C}_{2}$, $\mathrm{O_{1}}$, $\mathrm{C}_{2}$, $\mathrm{O_{2}}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{I}$, $\mathrm{L}$, $\mathrm{O_{3}}$}), \end{align*}

así que el número de arreglos distintos de las $9$ letras en $\mathrm{COCODRILO}$ es $\frac{9!}{(3!)(2!)} = 30{,}240$.

Podemos enunciar un principio general para arreglos con objetos que se repiten siguiendo la idea desarrollada en los últimos ejemplos.

Permutaciones con objetos repetidos. Si tenemos una colección de $n$ objetos y dentro de esta colección tenemos $n_{1}$ objetos indistinguibles de un $1$er tipo, $n_{2}$ objetos indistinguibles de un $2$do tipo, …, y $n_{r}$ objetos indistinguibles de un $r$-ésimo tipo, de tal manera que

\[ n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{r} = n, \]

entonces la cantidad de permutaciones de los $n$ objetos dados es

\[\frac{n!}{(n_{1}!)(n_{2}!) \cdots (n_{r}!)}. \]

Este valor es conocido como el coeficiente multinomial de $n_{1}$, $n_{2}$, …, $n_{r}$.

Ejemplo. La ciudad de $\mathrm{CONSTANTINOPLA}$ fue la ciudad capital del imperio bizantino entre los años 395 y 1204. Podemos aplicar el último principio de conteo que desarrollamos para encontrar la cantidad de permutaciones de las letras en la palabra $\mathrm{CONSTANTINOPLA}$.

Para ello, primero hay que encontrar cuántas letras distintas tiene. Observa que en total tiene $9$ letras distintas. En consecuencia, podemos pensar de cada letra distinta como un tipo de objeto. Así, tenemos $9$ tipos de objetos en la colección, y hay que contar cuántos objetos de cada tipo hay. Esto lo podemos ver en la siguiente tabla.

TipoLetraNúmero de letras de ese tipo
$1$$\mathrm{A}$$n_{1} = 2$
$2$$\mathrm{C}$$n_{2} = 1$
$3$$\mathrm{I}$$n_{3} = 1$
$4$$\mathrm{L}$$n_{4} = 1$
$5$$\mathrm{N}$$n_{5} = 3$
$6$$\mathrm{O}$$n_{6} = 2$
$7$$\mathrm{P}$$n_{7} = 1$
$8$$\mathrm{S}$$n_{8} = 1$
$9$$\mathrm{T}$$n_{9} = 2$

Además, el número de letras en $\mathrm{CONSTANTINOPLA}$ es $14$, precisamente el resultado de sumar todos los $n_{i}$. Así, obtenemos que la cantidad de premutaciones posibles de las letras en $\mathrm{CONSTANTINOPLA}$ es

\[ \frac{14!}{(2!)(1!)(1!)(1!)(3!)(2!)(1!)(1!)(2!)} = \frac{14!}{(2!)(3!)(2!)(2!)} = 1{,}816{,}214{,}400. \]

Otra pregunta que podemos resolver es, ¿cuántas permutaciones tienen a las $3$ $\mathrm{N}$’s juntas? Para verlo, podemos pensar en que la cadena de letras $\mathrm{NNN}$ es un solo símbolo, y partir de la colección de símbolos $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{I}$, $\mathrm{L}$, $\mathrm{NNN}$ (como un solo símbolo), $\mathrm{O}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{S}$, $\mathrm{T}$, $\mathrm{T}$, y hacer lo mismo. Así, el número de permutaciones que tiene a las $3$ $\mathrm{N}$’s juntas es

\[ \frac{12!}{(2!)(1!)(1!)(1!)(1!)(2!)(1!)(1!)(2!)} = \frac{12!}{(2!)(2!)(2!)} = 59{,}875{,}200. \]

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

  1. ¿Cuántas permutaciones de los dígitos $0$, $1$, $2$, …, $9$ hay cuyo primer dígito es $3$ o cuyo último dígito es $7$?
  2. Encuentra el número de permutaciones de la palabra $\mathrm{MISSISSIPPI}$.
  3. ¿Cuántas cadenas de $13$ símbolos pueden hacerse con $6$ estrellas $*$ y $7$ barras $|$? Por ejemplo:\[ |*|*|***|*|||, \qquad ******|||||||, \qquad |*|*|*|*|*|*|. \]

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con nuestro estudio de los principios de conteo. El siguiente concepto será el de combinación, que se deriva del concepto de permutación, siendo la combinación un concepto un poco más especializado.

Por otro lado, el concepto de permutación con objetos repetidos te será de utilidad en el curso de Probabilidad II para algo que se conoce como la distribución multinomial. Cuando veamos lo que son las variables aleatorias y las funciones de distribución te quedará claro a qué nos referimos por «distribución multinomial».

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Álgebra Moderna I: Factorización Completa

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Consideremos $\alpha \in S_7$ como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)$, esta permutación fija a $5$ y a $7$. Entonces también podemos escribirla como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)(5)(7)$. Notamos que una de las cosas en las que difieren es que en la segunda descomposición estamos agregando uno ciclos, pero también $\alpha = (1 \, 3 \, 2) (7) (6 \, 4)(5)$ es otra forma diferente de expresar a la permutación escribiendo a los uno ciclos. En esta entrada nos planteamos la posibilidad de escribir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos incluyendo a todos los uno ciclos y analizamos en qué difieren todas las distintas maneras de hacerlo.

Antes de empezar, podrías intentar escribir todas las maneras posibles de describir a $\alpha$ escribiendo a los uno ciclos. ¿Notas algo en común entre todas? Al final de esta entrada, tendremos la respuesta más clara.

Definición de una factorización completa

Para empezar, necesitamos definir un nuevo concepto.

Definición. Sea $\alpha \in S_n$. Una factorización completa de $\alpha$ es una descomposición de $\alpha$ en ciclos disjuntos con un $1-$ciclo por cada elemento fijado por $\alpha$.

Ejemplos.

  1. Sea $\alpha \in S_8$ como
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
    3 & 2 & 1 & 5 & 7 & 6 & 4 & 8
    \end{pmatrix}
    \end{align*}

    Entonces $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)$ es una factorización de $\alpha$ en ciclos distintos pero no es una factorización completa de $\alpha$. Por otro lado $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)\,(2) \,(6) \,(8)$ sí es una factorización completa de $\alpha$.
  2. Sea $\beta$ dada por \begin{align*}
    \beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7).
    \end{align*}

    Esa es una factorización completa de $\beta \in S_8$, pero no en $S_{10}$, en $S_{10}$ una factorización completa de de $\beta$ sería
    \begin{align*}
    \beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7)\, (9) \, (10).
    \end{align*}

No es UNA factorización completa, es LA factorización completa

Recortemos la pregunta de la introducción ¿qué tienen en común todas las formas de describir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos en el que se incluyen todos los uno ciclos? He aquí la respuesta.

Teorema. Una factorización completa es única salvo por el orden de los factores.

Demostración.

Supongamos por reducción al absurdo que existe $\alpha\in S_n$ con dos factorizaciones completas distintas, no sólo por el orden de sus factores. Dado que en una factorización completa los $1-$ciclos corresponden a los elementos que quedan fijos, éstos coinciden en ambas factorizaciones. Igualando ambas factorizaciones y cancelando los $1-$ciclos y el resto de los factores comunes de ambas factorizaciones obtenemos $$\beta_1 \cdots \beta_r = \delta_1 \cdots \delta_s,$$ con $r,s \in \n^+.$ Notemos que $\alpha=\beta_1 \cdots \beta_r= \delta_1 \cdots \delta_s$.

Por la hipótesis de reducción al absurdo, alguno de los factores de la primera expresión de $\alpha$ no aparece como factor en la segunda expresión de $\alpha$ o viceversa. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\beta_1\notin \{ \gamma_1, \dots , \gamma_s\}.$

Sea $i\in\{1,\dots , n\}$ un elemento movido por $\beta_1$, entonces, de acuerdo a lo que hemos estudiado, $\beta_1$ es de la forma $$\beta_1= (i \; \beta_1(i) \; \cdots \;\beta_1 ^{t-1}( i)),$$ con $t$ el menor natural positivo tal que $\beta_1 ^{t}( i)=i$. Dado que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, $\alpha$ mueve a $i$, y como $\delta_1, \dots , \delta_s$ también son disjuntos, exactamente un factor $\delta_1, \dots , \delta_s$ mueve a $i$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\delta_1$ mueve a $i$, entonces $\delta_1$ es de la forma $$\delta_1= (i \;\delta_1(i) \; \cdots \;\delta_1 ^{k-1}( i)),$$ con $k$ el menor natural positivo tal que $\delta_1 ^{k}( i)=i$.

Pero, debido a que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, conmutan, y entonces $$\alpha ^j (i)=(\beta_1 \cdots \beta_t)^j(i)=\beta_1^j \cdots \beta_t^j(i)=\beta_1^j (i)$$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Análogamente $\alpha ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Concluimos con ello que $\beta_1 ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$ y en consecuencia $t=k$ y $\beta_1=\delta_1$, contradiciendo la elección de $\beta_1$.

Así, toda factorización completa es única salvo por el orden de los factores.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Considera el siguiente elemento de $S_9$
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
    9 & 8 & 1 & 4 & 3 & 7 & 6 & 2 & 5
    \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Encuentra la factorización completa de $\alpha$.
  2. Sea $\alpha \in S_n$ y $\alpha = \beta_1 \dots \beta_t$ una factorización completa de $\alpha$. Analiza qué ocurre con $\displaystyle \sum_{i= 1}^t \text{long } \beta_i$.
  3. Considera el ejercicio 3 de la entrada de permutaciones:
    Sean $\alpha, \beta \in S_{10}$,
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 4 & 3 & 2 & 9 & 7 & 5 & 1 & 6 & 8
    \end{pmatrix} \\ \\
    \beta = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
    \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Encuentra las factorizaciones completas de $\alpha, \beta, \alpha\beta, \beta\alpha$ y $\beta^{-1}$.

Más adelante…

Entonces ya sabemos que existe una factorización única para cada permutación. La usaremos para definir el concepto de estructura cíclica en la siguiente entrada.

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Álgebra Moderna I: Permutaciones y Grupo Simétrico

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La Unidad 2 empieza con algunas definiciones nuevas. Veremos un ejemplo específico de grupo, primero definiremos qué es una permutación y luego, el conjunto de todas las permutaciones, al que llamaremos grupo simétrico junto con la composición. Este grupo es importante porque más adelante descubriremos que los grupos se pueden visualizar como subgrupos de grupos de permutaciones.

Primeras definiciones

Definición. Una permutación de un conjunto $X$ es una función biyectiva de $X$ en $X$.

Notación. Denotaremos por $S_X$ al conjunto

\begin{align*}
S_X = \{\sigma: X \to X | \sigma \text{ es biyectiva}\}.
\end{align*}

Si $X = \{1,…,n\}$, $S_X$ se denota por $S_n$. Si tomamos $\alpha, \beta \in S_X$ la composición de $\alpha$ seguida de $\beta$ se denota por $\beta\alpha$.

Observación 1. $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.

Observación 2. $|S_n| = n!$

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $i \in \{1,2,…,n\}$.

Decimos que $\alpha$ mueve a $i$ si $\alpha(i) \neq i$, y que $\alpha$ fija a $i$ si $\alpha(i) = i$. El soporte de $\alpha$ es

\begin{align*}
\text{sop }\alpha = \{i \in \{1,\dots, n\}: \alpha(i) \neq i\}.
\end{align*}

Ejemplo

Sea $\alpha \in S_{10}$, definida como

\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
8 & 3 & 1 & 7 & 2 & 6 & 4 & 5 & 9 & 10 \end{pmatrix}.
\end{align*}

La matriz es una manera de representar una permutación, la fila de arriba son todos los elementos de $X= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y la fila de abajo está formada por las imágenes bajo $\alpha$ de cada elemento de la fila de arriba. Es decir, la matriz de $\alpha$ se puede leer como: «$\alpha$ manda al $1$ al $8$», «el $ 2 $ lo manda al $3$», etc. Entonces tenemos que, $\alpha$ mueve a $1,2,3,4,5,7,8$ y fija al $6,9,10$. Así

\begin{align*}
\text{sop } \alpha = \{1,2, 3, 4, 5, 7, 8\}.
\end{align*}

Definición de ciclo

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $r\in\z$, $r>1$. Decimos que $\alpha$ es un ciclo de longitud $r$ o un $r$-ciclo si existen $i_1, \dots, i_r \in \{1, \dots, n\}$ distintos tales que $\text{sop }\alpha = \{i_1, \dots, i_r\}$ y

\begin{align*}
\alpha(i_t) = \begin{cases}
i_{t+1} & \text{si } t \in \{1, \dots, r-1\} \\
i_1 & \text{si } t = r
\end{cases}
\end{align*}

Figura para ilustrar la definición de un ciclo.

Diremos que la permutación $\text{id}\in S_n$ es un ciclo de longitud $1$ o un $1$-ciclo. Los ciclos de longitud dos se llaman transposiciones.

Las transposiciones son muy importantes porque, como veremos más adelante, nos permitirán describir a las demás permutaciones.

Notación.

  • Un $r$-ciclo $\alpha$, tal que cada $i_j$ va a $i_{j+1}$ para cada $j \in \{1,…,r-1\}$ y $i_r$ regresa a $i_1$ se denota como $\alpha = (i_1\; i_2 \; \dots \; i_r)$.
  • Además, denotamos como $r = \text{long } \alpha$ a la longitud de $\alpha$.

Ejemplos

  1. $\alpha \in S_8$ con $\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 4 & 3 & 5 & 8 & 2 & 7 & 6 \end{pmatrix}$.

\begin{align*}
\alpha &= (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (4 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2) \\
& = (5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4) = (8 \; 6 \; 2 \; 4 \; 5) \\
& = (6 \; 2 \; 4 \; 5 \; 8).
\end{align*}

Representación de $\alpha$.

En este caso, $\alpha$ es un $5-$ciclo y $\text{long }\alpha = 5$.
Observemos que el ciclo se puede comenzar a escribir con cualquier elemento de su soporte, siempre y cuando se cumpla la regla de correspondencia establecida.

2. Ahora, consideremos $\beta \in S_8$ como

Representación de $\beta$.

\begin{align*}
\beta =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 & 4 & 3 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix},
\end{align*}
entonces podemos decir que $\beta = (3 \; 5)$, porque a los otros elementos los deja fijos.

Si componemos $\beta$ con el $\alpha$ del ejemplo anterior obtenemos:

\begin{align*}
\alpha\beta &= (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) (3 \; 5) = (2 \; 4 \; 5 \; 3 \; 8 \; 6).
\end{align*}

Para verificar qué ésta es efectivamente la composición de $\beta$ seguida de $\alpha$, tenemos que observar a dónde manda a cada elemento:

  • Comenzamos con el $2$ (esto es arbitrario, se puede comenzar con el número que sea), observamos que $\beta$ lo deja fijo, entonces nos fijamos a dónde lo manda $\alpha$, en este caso, el $2$ es mandado al $4$. Así, $\alpha\beta$ manda al $2$ en el $4$.
  • Repetimos el proceso con el $4$, $\beta$ lo deja fijo y $\alpha$ lo manda al $5$. Así, $\alpha\beta$ manda al $4$ en el $5$.
  • Ahora con el $5$, $\beta$ manda al $5$ en $3$, entonces ahora vemos a dónde manda $\alpha$ al $3$, en este caso lo deja fijo. Así, $\alpha\beta$ manda al $5$ en el $3$.
  • Entonces ahora tenemos que observar a dónde es mandado el $3$ después de la composición. Primero, $\beta$ manda el $3$ al $5$ y $\alpha$ manda el $5$ al $8$, por lo tanto $\alpha\beta$ manda el $3$ al $8$.
  • Así continuamos con todos los elementos que aparezcan en la composición hasta terminar.

    Ahora, veamos qué sucede con $\beta\alpha$. El proceso es análogo:
    \begin{align*}
    \beta\alpha &= (3 \; 5) (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (3 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4).
    \end{align*}
    Por lo tanto $\alpha\beta \neq \beta\alpha$.

3. En $S_5$. Podemos considerar la siguiente permutación: $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5)$. A esta permutación la podemos simplificar usando el mismo procedimiento que en el ejemplo 2.

Observamos a dónde lleva cada uno de sus elementos:

  • Comencemos con el 2, la primera parte de la permutación, lleva el 2 al 4 y, la segunda parte lleva el 4 al 1.
  • Ahora veamos a dónde va el 1. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo lleva al 2. Entonces obtenemos una permutación $(1\;2)$. Pero todavía falta ver el resto de elementos.
  • Ahora, veamos qué sucede con el 3. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo manda al 4.
  • La primera parte de nuestra permutación manda el 4 al 5 y, el 5 se queda fijo.
  • Por último, el 5 es mandado al 2 por la primera parte de la permutación y, la segunda parte manda al 2 en el 3. Por lo tanto, el 5 regresa al 3. Esto se puede escribir como:

\begin{align*}
(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5) = (1 \; 2) (3 \; 4 \; 5).
\end{align*}

Es decir:

Representación de $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5) = (1 \; 2) (3 \; 4 \; 5)$.

Este ejemplo nos permite intuir que en ocasiones las permutaciones se pueden simplificar.

Observación. Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.

Tarea moral

  1. Demostrar la observación 1: $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
  2. Sea $X$ un conjunto infinito, $H$ la colección de permutaciones de $S_X$ que mueven sólo un número finito de elementos y $K$ la colección de permutaciones que mueven a lo más $50$ elementos. ¿Son $H$ y $K$ subgrupos de $S_X$?
  3. Considera los siguientes elementos de $S_{10}$
    \begin{align*} \alpha &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 4 & 3 & 2 & 9 & 7 & 5 & 1 & 6 & 8 \end{pmatrix} \\\\
    \beta &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}. \end{align*}
    Encuentra $\alpha \beta, \beta \alpha, \alpha^{-1}$ y $\beta^{-1}$.
  4. Sea $a \in S_n, $ con $n > 2$. Si $\alpha$ conmuta con toda permutación de $S_n$ ¿puedes decir quién debe ser $\alpha$?

Más adelante…

Por el momento continuaremos hablando de las permutaciones. El último ejemplo visto nos da la noción de permutaciones disjuntas, este tema es el que profundizaremos en la siguiente entrada, pero por el momento ¿puedes imaginarte de qué se trata?

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