Definición y ejemplos de SUBESPACIO GENERADO por un conjunto

Introducción

Queremos saber:
¿Podemos describir el conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto dado?
Dado un elemento de un conjunto $A$, ¿cómo saber si podemos obtenerlo como combinación lineal de otro conjunto $B$?
¿Qué características cumple el conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto cualquiera?

SUBESPACIO GENERADO

Definición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $S$ un subconjunto de $V$. El subespacio de $V$ generado por $S$ es:
el conjunto de combinaciones lineales de $S$, si $S\not=\emptyset$,
o bien, $\{\theta_V\}$, si $S=\emptyset$.
Se denota por $\langle S\rangle$.

Se dice que $S$ genera a $V$, o que $S$ es un conjunto generador de $V$, si $\langle S\rangle =V$.

Observación: La proposición de la entrada anterior nos menciona tres importantes propiedades del conjunto de todas las combinaciones de un subconjunto dado, en particular, que forma un subespacio.

Nota: Es común que en algunos libros se denote como $span(S)$ en lugar de $\langle S\rangle$. Además, se suele escribir $\langle v_1,…,v_n\rangle$ cuando $S=\{v_1,…,v_n\}$.

Ejemplos:

  • Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\mathbb{R}^3$ y $S=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}=\{e_1,e_2,e_3\}$.
    $\langle S\rangle =V$.

Justificación: Para cualesquiera $a,b,c\in\mathbb{R}$, tenemos que $a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(a,b,c)\in V$, así que $\langle S\rangle\subseteq V$.
Para cualquier $(x,y,z)\in V$, tenemos que $(x,y,z)=x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\in S$, por lo que $V\subseteq\langle S\rangle$.

  • Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ y $S=\{1,1-x,1-x-x^2\}$.
    $\langle S\rangle =V$.

Justificación: Para cualesquiera $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$, tenemos que $\lambda_1(1)+\lambda_2(1-x)+\lambda_3(1-x-x^2)$
$=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+(-\lambda_2-\lambda_3)x+(-\lambda_3)x^2\in V$, así que $\langle S\rangle\subseteq V$.
Para cualquier $a+bx+cx^2\in V$, tenemos que $a+bx+cx^2=(a+b)(1)+(c-b)(1-x)+(-c)(1-x-x^2)\in S$, por lo que $V\subseteq\langle S\rangle$.

  • Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\mathbb{R}^3$ y $S=\{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)\}$.
    $\langle S\rangle =V$.

Justificación: Para cualesquiera $a,b,c\in\mathbb{R}$, tenemos que $a(1,0,0)+b(1,-1,0)+c(1,1,-1)=(a+b+c,-b+c,-c)\in V$, así que $\langle S\rangle\subseteq V$.
Para cualquier $(x,y,z)\in V$, tenemos que $(x,y,z)=(x+y+2z)(1,0,0)+(-y-z)(1,-1,0)+(-z)(1,1,-1)\in S$, por lo que $V\subseteq\langle S\rangle.$

  • Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ y $S=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$.
    $\langle S\rangle =\left\{ \begin{pmatrix} a & a \\ b & a \end{pmatrix} \bigg\vert a,b\in\mathbb{R}\right\}$.

Justificación: \begin{align*}
\langle S\rangle &= \bigg\{ \lambda \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \bigg\vert \,\lambda,\mu\in\mathbb{R}\bigg\}\\
&= \bigg\{ \begin{pmatrix} \lambda & \lambda \\ \lambda & \lambda \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mu & \mu \\ 0 & \mu \end{pmatrix} \bigg\vert \lambda ,\mu\in\mathbb{R} \bigg\} \\
&= \bigg\{ \begin{pmatrix} \lambda +\mu & \lambda + \mu \\ \lambda & \lambda +\mu \end{pmatrix} \bigg\vert\, \lambda ,\mu\in\mathbb{R} \bigg\} \\
&= \bigg\{ (\lambda +\mu)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \bigg\vert\, \lambda ,\mu\in\mathbb{R} \bigg\} \\
&= \bigg\{ a\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \bigg\vert\, a,b\in\mathbb{R} \bigg\} \\
&= \bigg\{ \begin{pmatrix} a & a \\ b & a \end{pmatrix} \bigg\vert \,a,b\in\mathbb{R}\bigg\}
\end{align*}

Nota: Puede ocurrir que $W\subseteq\langle S\rangle$ y $W\not=\langle S\rangle$. En ese caso, $S$ no genera a $W$.
Por ejemplo, si $W=\{(a,a)|a\in\mathbb{R}\}$ y $S=\{e_1,e_2\}$, es claro que $\langle S\rangle =\mathbb{R}^2$, por lo cual, $W\subseteq\langle S\rangle$, pero no son iguales.

Observación: Si $S\subseteq W$, entonces $\langle S\rangle\subseteq W$.
Si además todo vector en $W$ es combinación lineal de vectores de $S$, entonces $W\subseteq\langle S\rangle$ y en ese caso tendremos que $\langle S\rangle= W.$

Como el subespacio generado por un conjunto es un conjunto, nos interesa analizar algunas operaciones y ver qué relaciones encontramos.

Sea $V=\mathbb{R}^2$ con $K=\mathbb{R}$.
Sean $S_1=\{(1,0)\}$, $S_2=\{(0,1)\}$ y $S_3={(1,1)}$.

  • $S_1\cup S_2=\{(1,0),(0,1)\}$
  • $S_1\cap S_2=\emptyset$
  • $S_1\cup S_3=\{(1,0),(1,1)\}$
  • $S_1\cap S_3=\emptyset$
  • $\langle S_1\rangle =\{(x,0)|x\in\mathbb{R}\}$
  • $\langle S_2\rangle =\{(0,y)|y\in\mathbb{R}\}$
  • $\langle S_3\rangle =\{(x,x)|x\in\mathbb{R}\}$
  • $\langle S_1\cup S_2\rangle$$=\langle\{(1,0),(0,1)\}\rangle$
    Sean $a\in\mathbb{R}$, $b\in\mathbb{R}$
    Como $a(1,0)+b(0,1)=(a,0)+(0,b)=(a,b)$ y $a$ y $b$ son números reales cualesquiera, entonces para cualquier $(x,y)\in\mathbb{R}$ podremos encontrar una combinación lineal de $S_1\cup S_2$ cuyo resultado sea $(x,y)$
    Por lo tanto, $\langle S_1\cup S_2\rangle=\mathbb{R}^2$.
  • $\langle S_1\rangle\cup\langle S_2\rangle$$=\{(x,0)|x\in\mathbb{R}\}\cup\{(0,y)|y\in\mathbb{R}\}$
    Es decir, únicamente podemos obtener valores en los ejes de nuestro plano cartesiano.
  • $\langle S_1\cap S_3\rangle$$=\emptyset$$=(0,0)$
  • $\langle S_1\rangle\cap\langle S_3\rangle$$=\langle\{(x,0)|x\in\mathbb{R}\}\rangle\cap\langle\{(x,x)|x\in\mathbb{R}\}\rangle$
    Una combinación lineal pertenece a este conjunto si el resultado puede expresarse con únicamente elementos de $S_1$ y con únicamente elementos de $S_2$.
    ¿Qué elementos de $\mathbb{R}^2$ tienen en la segunda entrada al cero y en ambas entradas al mismo número? Solo en $(0,0)$
    Por lo tanto, $\langle S_1\rangle\cap\langle S_3\rangle =(0,0)$.

Tarea Moral

  1. Encuentra un $K_1$ campo y un $K_1$ – espacio vectorial donde puedas definir un subconjunto infinito $S_1$ tal que $\langle S_1\rangle$ sea finito.
  2. Encuentra un $K_2$ campo y un $K_2$ – espacio vectorial donde puedas definir un subconjunto $S_2$ de un solo elemento tal que $\langle S_2\rangle$ sea infinito.
  3. Toma en cuenta los subconjuntos definidos al final de esta entrada donde $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathbb{R}^2$. Describe la relación que existe entre:
    • $\langle S_1\cup S_3\rangle$ y $\langle S_1\rangle\cup\langle S_3\rangle$
    • $\langle S_1\cap S_2\rangle$ y $\langle S_1\rangle\cap\langle S_2\rangle$

Más adelante…

Muchas veces en matemáticas buscamos el mayor / menor conjunto con el cual obtengamos ciertas propiedes. Siguiendo esta idea, veremos un nuevo concepto: conjunto linealmente independiente.

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