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Álgebra Moderna I: Grupo Cociente 

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La definición de subgrupos normales fue motivada porque queremos extraer las propiedades de los enteros a grupos más generales. Recordemos que en los enteros se define una relación de equivalencia (módulo $n$) de donde obtenemos clases de equivalencia. Estas clases no sólo inducen una partición, si no que conforman un subgrupo de $\z$. En esta entrada queremos generalizar esta idea y buscamos dar una operación en ciertas clases de equivalencia de modo que éstas formen también un grupo.

Grupo cociente $G$ módulo $N$

Teorema. Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$.

El conjunto
$$G/N = \{aN | a\in G\}.$$
con la operación $$(aN)(bN) = ab N \qquad \forall a,b \in G$$
es un grupo de orden $[G : N ].$

Definición. Al conjunto $G/N$ de arriba se le conoce como el grupo cociente $G$ módulo $N$.

Demostración del teorema.

Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$.

En $\{aN|a\in G\}$ consideremos la operación $$(aN)(bN) = ab N \qquad \forall a,b \in G.$$

Primero veamos que está bien definida.
Sean $a,a’,b,b’\in G$ con $aN = a’N$, $bN = b’N$.
P.D. $abN = a’b’N.$

Como $aN = a’N$, $a’ \in aN$ entonces $a’ = an$ con $n\in \n$.

Como $bN = b’N$, $b’ \in bN$ entonces $b’=b\tilde{n}$ con $\tilde{n} \in N$.

Sustituyendo $a’$ y $b’$ en $a’b’$ tenemos que $a’b’ = (an)(b\tilde{n}) = a(nb)\tilde{n}$.

Como $N \unlhd G$, por la conmutatividad parcial, $nb = b\hat{n}$ con $\hat{n}\in N$.
Entonces $a’b’ = a(b\hat{n})\tilde{n} = ab(\hat{n}\tilde{n}) \in abN$.

Por lo tanto $a’b’N = abN.$

Veamos ahora que con esta operación, $G/N$ es un grupo.

P.D. La operación es asociativa.
Sean $aN, bN, cN \in G/N$ con $a,b,c \in G$.

\begin{align*}
aN\,(bN \,cN) &= aN(bcN) = a(bc)N & \text{Definición del producto de clases}\\
&=(ab)c N &\text{Asociatividad en } G \\
&= (abN)cN = (aNbN)cN.
\end{align*}

Por lo tanto la operación en $G/N$ es asociativa.

P.D. El neutro de la operación existe y está en $G/N$.
Sea $aN\in G/N$,
\begin{align*}
&N(aN) = (eN)(aN) = eaN = aN &\text{Neutro en } G\\
&(aN)N = (aN)(eN) = aeN = aN&\text{Neutro en } G
\end{align*}

Por lo tanto $N$ es neutro en $G/N$.

P.D. Para cada elemento en $G/N$ existe un inverso bajo la operación y este inverso está en $G/N$.
Dado $aN\in G/N$, como $a\in G$ consideremos $a^{-1} \in G$ su inverso en $G$.

\begin{align*}
(aN)(a^{-1} N) = a a^{-1} N = eN = N\\
(a^{-1}N)(aN) = a^{-1} a N = eN = N.
\end{align*}

Así $a^{-1}N$ es inverso de $aN$. Por lo tanto $G/N$ es un grupo.

Finalmente,
$$|G/N| = \#\{aN | a\in G\} = [G : N ].$$

$\blacksquare$

Notemos que en la demostración de que $G/N$ con el producto es un grupo, usamos solamente las propiedades de que $G$ es grupo.

Primer y segundo ejemplo

Ahora veremos algunos ejemplos de grupo cociente.

El primer ejemplo es justo el que motivó la idea de grupo cociente.
Tomemos $(\z, +)$ y $H = \{m | 4 \text{ divide a } m\} = 4\z \unlhd \z$. $4\z$ es normal porque $\z$ es abeliano.
Entonces, vamos describiendo el grupo cociente paso por paso:
\begin{align*}
\z/4\z &= \z/H = \{H, 1+ H, 2 + H, 3 + H\}\\
& = \{\{4k\,|k\in\z\}, \{4k + 1|k\in\z\}, \{4k+2|k\in\z\},\{4k+3|k\in\z\}\}\\
& = \{\bar{0},\bar{1},\bar{2}, \bar{3}\} = \z_4.
\end{align*} La suma se realiza a partir de la suma de los representantes del siguiente modo: $$(a+H)+(b+H)=(a+b)+H,$$ es decir $$\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b},$$ para cualesquiera $a,b\in\z$.

Ahora, para el segundo ejemplo, consideremos $n\geq2$ y tomamos $A_n \unlhd S_n$. En la entrada anterior vimos por qué $A_n$ es un subgrupo normal de $S_n$.
De nuevo, vamos describiendo el grupo cociente.
\begin{align*}
S_n/A_n &= \{A_n, (1\;2) A_n\}\\ &= \{\{\alpha\,|\alpha \text{ es par}\},\{(1\;2)\alpha\,|\alpha \text{ es par}\}\}\\
&= \{\{\alpha\,|\alpha \text{ es par}\},\{\beta\,|\beta \text{ es impar}\}\}.
\end{align*}

En la tabla se muestra el resultado del producto de los elementos de $S_n/A_n$. Podemos observar que $A_n$ funge como neutro.

Representación gráfica de la partición de $S_n$ en permutaciones pares e impares.
Tabla que muestra el producto de los conjuntos de $S_n/A_n$.

Así, estamos partiendo a $S_n$ en permutaciones pares (representadas por $(1)$) e impares (representadas por $(1\, 2)$). De esta manera, podemos decir que multiplicar dos permutaciones pares o dos impares resulta en una permutación par, pero multiplicar una par con una impar resulta en una permutación impar.

Tercer y cuarto ejemplo

A continuación, para nuestro tercer ejemplo, tomamos $ N = \{\pm 1\} \unlhd Q$.
Para obtener una nueva clase lateral, escogemos un elemento de los cuaternios que no esté en $N$. El cociente se vería de la siguiente manera:
\begin{align*}
Q/N&=\{N, iN, jN, kN\}\\
&= \{\{\pm 1\},\{\pm i\},\{\pm j\},\{\pm k\}\}.
\end{align*}
De nuevo, en las imágenes podemos ver una tabla que expresa el resultado de multiplicar distintas clases y una representación gráfica de las clases que obtenemos en el cociente.
Podemos verificar algunas de las operaciones de la tabla, hacemos el producto de $Q/N$ usando el producto en $Q$. Recordemos que $-kN = kN$ y $-iN = i N$, pues $k$ y $-k$ viven en una misma clase, y $-i$ e $i$ también son parte de una misma clase.

\begin{align*}
jN iN = jiN = -kN = kN \\
jN kN = kjN = -iN = iN.
\end{align*}

Partición de $Q$ inducida por $N$.
Tabla que muestra los resultados de las operaciones de los elementos de $Q/N$.

Si ahora consideramos $\left< k\right> \leq Q$, $\left< k\right> = \{\pm 1, \pm k\}$.
Entonces $\displaystyle [Q: \left< k\right> ]= \frac{|Q|}{|\left< k\right>|} = \frac{8}{4} = 2$, y así, $\left< k\right> \unlhd Q$.
Así $$Q/\left< k\right> = \{\left< k\right>, i \left< k\right>\}.$$

Tabla de las operaciones de los elementos de $Q/\left< k\right>$.
Partición de $Q$ inducida por $\left< k\right>$.

Para nuestro último ejemplo, consideremos $\z\times\z = \{(a,b) | a,b\in \z\}$, con la operación $(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d)$.
Sea $H = \{(a,a) | a \in \z\}$.
\begin{align*}
(a,b) + H = (c,d) + H &\Leftrightarrow -(a,b) +(c,d) \in H \\
&\Leftrightarrow (c-a,d-b)\in H \Leftrightarrow c-a = d-b\\
&\Leftrightarrow c = d+ (a-b).
\end{align*}
Recordemos que $-(a,b)$ es el inverso de $(a,b)$.
Así,
\begin{align*}
(a,b) + H &= \{(d + (a-b), d) | d\in \z\}\\
&= \{(a-b, 0) + (d,d)| d \in \z\}.
\end{align*}
En particular $(a, b) + H = (a-b, 0) + H$. Las clases laterales se muestran mejor gráficamente en la imagen.
Tomemos los puntos enteros del eje $x$ como representantes de las clases laterales:
\begin{align*}
\z\times\z/H &= \{(a,0) + H | a\in \z\}.\\
((a,0) + H) + ((c,0) + H) &= (a + c, 0) + H.
\end{align*}

En esta imagen representamos a cada clase lateral $(a,b) + H$ de un color distinto. Claramente son las diagonales discretas en el plano. También se muestra que los representantes de la clase son puntos en la misma diagonal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ tal que el producto de dos clases laterales izquierdas de $H$ en $G$ es de nuevo una clase lateral izquierda de $H$ en $G$ ¿es entonces $H$ normal en $G$?
  2. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo normal de $G$ de índice finito con $m = [G:H]$. Dada $a\in G$ ¿qué podemos decir del elemento $a^m$? ¿Y si $H$ no es normal en $G$?
  3. Sea $G$ un grupo finito, $N$ un subgrupo normal de $G$. Dada $a\in G$. Analiza cómo es el orden de $a$ en relación al orden de $aN$.
  4. Considera el grupo aditivo $\r^2$ y el subgrupo $N = \{(x,0)|x\in \r\}.$
    1. Determina qué deben cumplir $(a,b), (c,d) \in \r^2$ para que $(a,b)N = (c,d)N$.
    2. Describe al grupo $\r^2/N$.
  5. Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$ de índice finito con $p = [G:N]$ primo. Dada $a\in G$ ¿qué podemos decir de $\left< aN \right>$ y de $G/N$?
  6. Si quieres profundizar un poco más sobre Grupos cocientes, puedes revisar el video de Mathemaniac sobre el tema. El video está en inglés.

Más adelante…

En pocas palabras, un subgrupo normal induce una partición del grupo y ésta es el grupo cociente. Esta idea surge de lo que ocurre en los enteros. En la siguiente entrada usaremos el grupo cociente para crear, a partir de un grupo no abeliano, otro que sea abeliano.

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Álgebra Moderna I: Subgrupo Conjugado, Subgrupo Normal y Conmutatividad Parcial

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Hace algunas entradas, comenzamos dando una motivación usando a los enteros. En ésta, nos encontramos de nuevo con la necesidad de retomarlos para darle introducción al tema principal de la entrada. Sabemos que $(\z, +)$ es un grupo, de ahí podemos considerar el subgrupo $n\z$ formado por los múltiplos de $n$, y trabajar con las clases módulo $n$. Supongamos que tenemos $a,b\in \z$ y las clases de equivalencia de $a$ y $b$ módulo $n$ . Éstas se definen de la siguiente manera:
\begin{align*}
\bar{a} = a + n\z, \quad \bar{b} = b + n\z.
\end{align*}

Si queremos sumar dos clases de equivalencia, usamos la suma usual en $\z$. Digamos
\begin{align*}
\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}.
\end{align*}

Aunque lo escribamos así, en realidad lo que estamos haciendo, es definir la suma $+_n$ en $\z_n$ usando $+_\z$ que es la suma del grupo $(\z,+)$. Entonces lo anterior quedaría:
\begin{align*}
\bar{a} +_n \bar{b} = \overline{a+_\z b}.
\end{align*}

Resulta que $+_n$ es una operación bien definida y $(\z_n,+_n)$ es un grupo.

Otra manera de escribirlo sería:
\begin{align*}
(a+\z) +_n (b+\z) = (a+_\z b) + \z.
\end{align*}
Donde, en este caso estamos usando la notación aditiva.

Entonces, ahora nos preguntamos, ¿cómo podemos generalizar esta propiedad?

Tomemos $G$ un grupo y $H$ un subgrupo y consideremos dos clases laterales izquierdas de $H$, digamos $aH$ y $bH$, lo que queremos es definir, en caso de ser posible, un producto entre clases del siguiente modo:
\begin{align*}
aH \cdot_H bH = ab H.
\end{align*}

donde $\cdot_H$ es el nuevo producto entre clases y $ab$ se hace con el producto en $G$.

Sin embargo, debemos verificar que este producto $\cdot_H$ esté bien definido. Para ello tenemos que ver que no depende de los representantes elegidos. Tomemos entonces otros representantes de las clases, para simplificarlo, cambiemos sólo el representante de una de las dos clases, digamos $\tilde{a}\in G$ tal que $\tilde{a}H = aH$.

Entonces, quisiéramos que $abH = \tilde{a}bH$, pero esto sucedería sólo de la siguiente manera,
\begin{align*}
abH = \tilde{a}b H \Leftrightarrow\;& (ab)^{-1} \tilde{a}b\in H\\
\Leftrightarrow\;& b^{-1}a^{-1}\tilde{a}b\in H.
\end{align*}

Entonces, ¿cómo sabemos que $b^{-1}a^{-1}\tilde{a}b\in H$? Lo que sí sabemos es que $a^{-1}\tilde{a} \in H$, pues $\tilde{a}H= aH$. Entonces, bastaría pedir que si $h\in H$, al multiplicar a $h$ a un lado por un elemento de $G$, y al otro por su inverso, sigamos obteniendo elementos en $H$.

En esta entrada usaremos la idea anterior para definir un producto entre dos clases izquierdas usando el producto en $G$.

Subgrupos normales

Primero necesitamos definir formalmente qué es un conjugado.

Definición. Sea $G$ un grupo, $b,c \in G$. Decimos que $b$ es conjugado de $c$ si $b = aca^{-1}$ para alguna $a\in G$.

Dado $a\in G$ y $H$ un subgrupo de $G$,el conjugado de $H$ por el elemento $a$ es
$$aHa^{-1} = \{aha^{-1}|h\in H\}.$$

Observación. $aHa^{-1}$ es un subgrupo de $G$, para toda $a \in G$.

La demostración de esta observación queda de tarea moral.

Definición. Sea $G$ un grupo, $N$ subgrupo de $G$. Decimos que $N$ es normal en $G$ si $ana^{-1} \in N$ para todas $a\in G$, $n\in N$.

Notación. $N\unlhd G$.

Ahora, veamos una proposición. Recordemos que en una entrada pasada vimos que las clases laterales izquierdas no siempre coinciden con las clases laterales derechas y dimos algunos ejemplos. La siguiente proposición nos dirá que con subgrupos normales, la igualdad de clases derechas e izquierdas siempre se da.

Proposición. Sea $G$ un grupo, $N$ subgrupo de $G$. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $N\unlhd G$.
  2. $a N a^{-1} = N$ para todo $a\in G$.
  3. Toda clase laterial izquierda de $N$ en $G$ es una clase lateral derecha de $N$ en G.

Demostración. Sea $G$ un grupo, $N \leq G$.

$|1) \Rightarrow 2)]$ Supongamos que $N \unlhd G$. Sea $a\in G$.

P.D. $aNa^{-1} = N$.
Probaremos esto por doble contención.

$\subseteq]$ Como $N\unlhd G$, $ana^{-1} \in N$ para toda $n\in N$. Entonces el conjunto $aNa^{-1} = \{ana^{-1}|n\in N\}$ está contenido en $N$.

$\supseteq]$ Sea $n\in N$, como $N\unlhd G$, $a^{-1}na = a^{-1}n(a^{-1})^{-1} \in N$. Entonces $n = a(a^{-1}n a)a^{-1} \in a N a^{-1}$.

Por lo tanto $aNa^{-1} = N$.

$|2) \Rightarrow 3)]$ Supongamos que para todo $a \in G$, entonces $aNa^{-1} = N$. Sea $a\in G$.

P.D. $aN = Na$.
De nuevo, probaremos esto por doble contención.

$\subseteq]$ Tomemos $an \in aN$ con $n\in N$, como $ana^{-1} \in aNa^{-1}$, y $ aNa^{-1}= N$ por hipótesis, entonces $an = (ana^{-1}) a \in Na$.

$\supseteq]$ Tomemos $na \in Na$ con $n\in N$, como $a^{-1}na \in a^{-1}Na$, y $a^{-1}Na = N$ por hipótesis, entonces $na = a(a^{-1}na) \in aN$.

Por lo tanto $aN = Na$.

$|3)\Rightarrow 1)]$ Supongamos que para todo $a\in G$, existe $b\in G$ tal que $aN = Nb$. Sean $a \in G$ y $n \in N$.

P.D. $ana^{-1} \in N$.

Por hipótesis $aN = Nb$ para alguna $b\in G$. Pero $a \in aN = Nb$, entonces $a\in Nb$, por lo que $a$ es otro representante de la clase lateral $Nb$, y en consecuencia $Na = Nb$. Tenemos entonces que $aN = Nb=Na$

Así, $an\in aN = Na$ y entonces $an = \tilde{n}a$ para alguna $\tilde{n}\in N$. Entonces

\begin{align*}
ana^{-1} = (an)a^{-1} = (\tilde{n}a)a^{-1} = \tilde{n} \in N.
\end{align*}
Por lo tanto $N \unlhd G$.

Así 1), 2) y 3) son equivalentes.

$\blacksquare$

Observación. (Conmutatividad parcial)
Si $N\unlhd G$, dados $n\in N$ y $a\in G$, tenemos que $an = \tilde{n}a$ para alguna $\tilde{n}\in N$, también $na = a \hat{n}$ para alguna $\hat{n} \in N$.

Ejemplos

  1. $A_n \unlhd S_n$ ya que si $\beta \in A_n$ y $\alpha\in S_n$.
    \begin{align*}
    sgn \,(\alpha\beta\alpha^{-1}) &= sgn \,\alpha \; sgn \,\beta \:sgn \,\alpha^{-1}\\
    & = sgn \,\alpha \;(+1) \;sgn \, \alpha \\
    & = +1
    \end{align*}
    Por lo tanto $\alpha\beta\alpha^{-1}\in A_n$.
  2. Consideremos
    \begin{align*}
    Q &= \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\\
    H &= \{\pm 1, \pm i\}
    \end{align*}
    Las clases laterales izquierdas de $H$ en $Q$ son: $H$ y $jH$.
    Las clases laterales derechas de $H$ en $Q$ son: $H$ y $Hj$.
    Además $jH = \{\pm j, \pm k\} = Hj$. Por lo tanto $H \unlhd Q$.
  3. Consideremos $D_{2(4)}$ las simetrías del cuadrado. Sea $a$ la rotación $\frac{\pi}{2}$, $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    Sea $H = \{e, b\}$.
    Si tomamos la transformación $aba^{-1}$ podemos desarrollarla algebraicamente y geométricamente. Primero lo haremos de manera algebraica y interpretación geométrica la podrás encontrar en una imagen más abajo.
    Así, como vimos cuando trabajamos con el grupo diédrico:
    $aba^{-1} = aab = a^2b \not\in H$
    con $a^2b$ la reflexión con respecto al eje $y$.
    Por lo tanto $H \not\unlhd D_{2(4)}$.
Representación gráfica de la transformación $aba^{-1}$.

Tarea moral

  1. Sean $W = \left< (1\;2)(3\;4)\right>$, $V = \{(1), (1\;2)(3\;4),(1\;3)(2\;4),(1\;4)(2\;3)\}\leq S_4$. Verifica si $W$ es normal en $V$, si $V$ es normal en $S_4$ y si $W$ es normal en $S_4$ ¿qué puedes concluir con ello?
  2. Sea $G$ un grupo, $H$ y $N$ subgrupos de $G$ con $N$ normal en $G$, prueba o da un contraejemplo:
    1. $N\cap H$ es normal en $H$.
    2. $N\cap H$ es normal en $G$.
  3. Demuestra o da un contraejemplo: Si $G$ es un grupo tal que cada subgrupo de él es normal, entonces $G$ es abeliano.
  4. Sea $G$ un grupo finito con un único subgrupo $H$ de orden $|H|$. ¿Podemos concluir que $H$ es normal en $G$?

Más adelante…

Como ya es costumbre, después de dar las definiciones y de practicarlas un poco con ejemplos, toca profundizar y hablar más sobre las proposiciones y teoremas que involucran a los subgrupos normales. En la siguiente entrada veremos esto.

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