Álgebra Moderna I: Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y $p$-Grupo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Esta entrada es una caja de herramientas. Continuamos sobre la línea de estudiar las propiedades de una órbita y de su orden. Primero, nos vamos a enfocar en grupos actuando sobre sí mismos, a partir de esto definiremos un nuevo conjunto al que llamamos el centro de $G$ y daremos algunas observaciones al respecto.

El segundo bloque importante de la entrada es probar la llamada ecuación de clase, una ecuación que nos permite calcular el orden de un $G$-conjunto usando otros conjuntos relacionados. Uno de estos conjuntos lo definiremos como $X_G$, el conjunto de todos los elementos de $X$ que quedan fijos sin importar el elemento de $G$ que actúa sobre ellos. Volveremos a encontrar a la órbita de los elementos en la demostración de esta ecuación.

Por último, comenzaremos a trabajar con $p$-grupos, es decir grupos de orden una potencia de un número primo y usaremos la ecuación de clase para demostrar una propiedad de los $p$-grupos.

Decimos que esta entrada es una caja de herramientas, porque no estamos introduciendo temas que vayamos a estudiar a profundidad, más bien son conceptos que nos ayudarán a llegar al tema principal de esta unidad: los Teoremas de Sylow.

Clases de conjugación, centralizadores y centro de $G$

La acción de un grupo actuando en sí mismo por conjugación es muy importante y debido a ello daremos nombres y notaciones específicas para las órbitas y estabilizadores correspondientes (que fueron estudiados de manera general en la entrada Órbita de $x$ y tipos de acciones).

Definición. Sea $G$ es un grupo actuando en sí mismo por conjugación, es decir $g\cdot x = g x g^{-1}$ para todos $g,x\in G$. Dado $x\in G$ la órbita del elemento $x$ bajo esta acción se llama la clase de conjugación de $x$ y se denota por $x^G$, esto es:
\begin{align*}
x^G=\mathcal{O}(x) &= \{g\cdot x | g\in G \} = \{gxg^{-1} | g\in G\}.
\end{align*}

Por otro lado el estabilizador de $x$ se llama el centralizador de $x$ en $G$ y se denota por $C_G(x)$, es decir:

\begin{align*}
C_G(x)=G_x &= \{g\in G|g\cdot x = x\} = \{g\in G | gxg^{-1} = x\}\\
&= \{g\in G | gx = xg\} ,
\end{align*}

siendo entonces el conjunto de todos los elementos del grupo que conmutan con $x$.

Otra colección que resultará clave en el material que desarrollaremos más adelante es el llamado centro de un grupo:

Definición. Sea $G$ un grupo, el centro de $G$, denotado por $Z(G)$, es
\begin{align*}
Z(G) = \{x\in G | xg = gx \quad \forall g\in G\}.
\end{align*}

Es decir, el centro es la colección de todos los elementos de $G$ que conmutan con todos los demás.

Observación 1. $Z(G)$ es subgrupo normal de $G$.

Demostración.
Primero, tomemos el neutro $e\in G$ y veamos que está en $Z(G)$. Como estamos hablando del neutro, se cumple que $eg = g = ge$ para toda $g\in G$, entonces $e\in Z(G)$.

Ahora, tomamos $x\in Z(G)$ entonces $xg = gx$ para toda $g\in G$. Así $g=x^{-1}gx$ para toda $g\in G$, lo que implica que $gx^{-1} = x^{-1}g$ para toda $g\in G$ por lo que $x^{-1} \in Z(G)$.

Luego, si tomamos $x,y\in Z(G)$, se tienen las siguientes igualdades por la definición del centro $(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy)$ para todo $g\in G$. Así, $xy \in Z(G)$.

Concluimos que el centro es un subgrupo.

Por último, probemos que es un subgrupo normal. Sean $x\in Z(G)$, $g\in G$, al conjugar $x$ con $g$ podemos usar la asociatividad y la definición de centro para concluir que $$gxg^{-1} = (gx)g^{-1} = (xg)g^{-1} = x(gg^{-1}) = xe = x \in Z(G).$$

Por lo tanto $Z(G)\unlhd G$.

$\blacksquare$

Observación 2. Sean $G$ un grupo y $x\in G$. Entonces $x\in Z(G)$ si y sólo si $x^G = \{x\}$.

Demostración. Sean $G$ un grupo y $x\in G$. Tenemos que
\begin{align*}
x^G = \{x\} &\Leftrightarrow gxg^{-1} = x \quad \forall g\in G &\\
&\Leftrightarrow gx = xg &\text{Multiplicamos por $g$ a la derecha}\\
&\Leftrightarrow x\in Z(G).
\end{align*}

$\blacksquare$

La observación anterior nos dice entonces que los elementos del centro son precisamente aquellos cuya clase de conjugación es trivial.

Ecuación de Clase

Para poder enunciar la ecuación de clase, que describe la carnalidad de un $G$-conjunto $X$ en términos de los índices de ciertos estabilizadores, definamos primero un cierto subconjunto de $X$:

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto finito,
\begin{align*}
X_G = \{x\in X | g\cdot x = x \; \forall g\in G\}.
\end{align*}

Es decir, $X_G$ es el conjunto de elementos de $X$ que quedan fijos sin importar qué elemento de $G$ actúe sobre ellos.

Notemos que dado $x\in X$ se tiene que $x\in X_G$ si y sólo si $g\cdot x = x$ para toda $g\in G$ y esto sucede si y sólo si $\mathcal{O}(x) = \{x\}.$ Entonces se cumple lo siguiente:

Observación 3. $x\in X_G$ si y sólo si $\mathcal{O}(x) = \{x\}.$

Así, el conjunto $X_G$ consiste de los elementos cuya órbita es trivial.

Proposición. (Ecuación de Clase)
Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto finito. Tenemos que
\begin{align*}
\#X = \#X_G + \sum_{j=1}^k [ G : G_{x_j}]
\end{align*}
con $x_1, \cdots x_k$ representantes de las distintas órbitas con más de un elemento.

En particular, si $G$ es finito y actúa en $G$ por conjugación
\begin{align*}
|G| = |Z(G)| + \sum_{j= i}^{k} [ G: C_G(x_j) ]
\end{align*}
con $x_1,\cdots x_k$ representantes de las distintas clases de conjugación con más de un elemento.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto finito.

Sabemos que las órbitas son una partición de $X$. Sean $x_1,\cdots,x_k, x_{k+1},\cdots, x_t$ representantes de las distintas órbitas, donde $\#\mathcal(x_j) > 1$ si $j\in \{1,\cdots, k \}$ y $\#\mathcal{O}(x_j) = 1$ si $j\in \{k+1,\cdots , t\}.$ Entonces por un lado tenemos a las órbitas que tienen un sólo elemento y, por otro lado, las demás.

Por la observación 3, $X_G = \{x\in X| \# \mathcal{O}(x) = 1\} = \{x_{k+1},\cdots, x_t\}$.

Así,
\begin{align*}
\# X &= \sum_{j=1}^t \#\mathcal{O}(x_j) \\
&= \sum_{j= 1}^k \#\mathcal{O}(x_j) + \sum_{j= k+1}^t \#\mathcal{O}(x_j) &\text{Separamos la suma}\\
&= \sum_{j= 1}^k \#\mathcal{O}(x_j) + \sum_{j = k+1}^t 1 & \#\mathcal{O}(x_j) = 1 \text{ para } j \geq k+1\\
&= \sum_{j= 1}^k [ G : G_{x_j} ] + \# X_G & \text{Por la observación 3.}
\end{align*}

Si $G$ es finito y actúa en $G$ por conjugación, $X_G = Z(G)$, $\mathcal{O}(x_j) = x_j^G$ son las clases de conjugación y $G_{x_j} = C_G(x_j)$. Así
\begin{align*}
|G| = \sum_{j= 1}^k \lceil G: C_G(x_j) \rceil + |Z(G)|.
\end{align*}

$\blacksquare$

$p$-grupo

Hemos tratado con grupos finitos de orden primo, de ellos sabemos propiedades importantes como el hecho de que son cíclicos. El siguiente paso en nuestro estudio, es enfocarnos en los grupos cuyo orden es una potencia de algún primo. No todos los grupos finitos cumplen esta característica, pero los que sí, nos permiten entender a los demás.

Definición. Sea $G$ un grupo, $p\in\z^+$ un primo. Decimos que $G$ es un $p$-grupo si $|G| = p^t$ para alguna $t\in \n$.

Teorema. Sean $p\in \z^+$ un primo, $G$ un $p$-grupo, $X$ un $G$-conjunto finito. Entonces $$\#X \equiv \# X_G ( \text{mód } p).$$

Demostración.
Sean $p\in \z^+$ un primo, $G$ un $p$-grupo, $X$ un $G$-conjunto finito. Por la ecuación de clase,
\begin{align*}
\#X = \#X_G + \sum_{j=1}^k [G: G_{x_j} ]
\end{align*}
con $x_1,\cdots, x_k$ representantes de las distintas órbitas con más de un elemento. Como $G$ es un $p$-grupo, $|G| = p^t$ con $t\in \n$. Dado que el orden de los estabilizadores divide al orden de $G$ tenemos que $|G_{x_j}| \mid p^t$ y por lo tanto $|G_{x_j}| = p^{m_j}$ con $m_j\in \n, m_j \leq t.$

Entonces

\begin{align*}
1< \# \mathcal{O}(x_j) &= [G: G_{x_j} ] & \text{Por lo visto anteriormente}\\
&= \frac{|G|}{|G_{x_j}|} & \text{Propiedad del índice}\\
&= \frac{p^t}{p^{m_j}} & \text{Consecuencia de la hipótesis}\\
&= p^{t-m_j}.
\end{align*}

Así, $p$ divide a $[G: G_{x_j}]$ para toda $j\in \{1,\cdots, k\}.$ Por lo que

\begin{align*}
p \text{ divide a } \sum_{j=1}^k [G:G_{x_j}].
\end{align*}

Pero por la ecuación de clase $ \displaystyle \sum_{j=1}^k [G:G_{x_j}]= \# X – \# X_G.$

Entonces
\begin{align*}
p \text{ divide a } \# X – \# X_G.
\end{align*}

En consecuencia $\# X \equiv \#X_G( \text{mód } p).$

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Considera el grupo $S_4$ actuando sobre sí mismo por conjugación.
    • Determina las clases de conjugación de $S_4$.
    • Escribe la ecuación de clase de $S_4$.
    • Deduce el orden de cada uno de los estabilizadores $G_x$, donde $x\in S_4$.
  2. Encuentra todos los $p$-subgrupos de $S_4$.
  3. Sean $X = \{H \,|\, H \leq D_{2(4)}\}$, $G = \left< a \right>$ con $a$ la rotación de $\displaystyle \frac{\pi}{2}$. Considera la acción de $G$ en $X$ dada por $g \cdot H = gHg^{-1}$ para todo $g\in G$, $H \in X$. Encuentra $X_G$ y verifica que $\#X \equiv \# X_G (\text{mód }2)$.

Más adelante…

Ahora nuestro interés está puesto en los números primos o más bien, en la relación de los números primos con el orden de los grupos. Esta entrada te da lo que tienes que saber de $p$-grupos y más adelante veremos cómo mediante ellos se pueden estudiar otros grupos. Además, eventualmente veremos un caso especial de los $p$-grupos, llamados $p$-subgrupos de Sylow, que nos llevará (para sorpresa de nadie) a los Teoremas de Sylow.

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada repasaremos lo que vimos en la entrada anterior. Primero, veremos unos ejemplos que ilustran las definiciones de órbita y estabilizadores. A partir de estos ejemplos podremos observar ciertos patrones que se repiten y los analizaremos formalmente en una proposición. Por último, daremos un último ejemplo para ilustrar dicha proposición.

Ejemplos de Acciones

Repasemos lo que hemos visto con los siguientes ejemplos. En cada ejemplo describimos el grupo $G$, la órbita y los estabilizadores de los elementos.

Ejemplo 1. Consideremos la permutación $\alpha = (1\,2\,3\,4) \in S_6$. Sean $G = \left<\alpha\right>$ y $X = \{1,2,3,4,5,6\}$ con la acción dada por $\alpha^k \cdot i = \alpha^k(i)$ para toda $k\in \z, i\in X.$

Este diagrama nos ayuda a entender cómo funciona $\alpha$ y qué sucede cuando aplicamos $\alpha^2$, $\alpha^3$, $\dots$. Los elementos del círculo van cambiando en el orden indicado por las flechas.
Además, $\alpha$ deja fijos al 5 y al 6.

Comencemos describiendo a las órbitas de los elementos:
\begin{align*}
\mathcal{O}(1) &= \{1,2,3,4\}\\
&= \mathcal{O}(2) = \mathcal{O}(3) = \mathcal{O}(4)\\
\mathcal{O}(5) &= \{5\}\\
\mathcal{O}(6) &= \{6\}.
\end{align*}

Observemos que las órbitas de $1, 2, 3$ y $4$ son iguales porque $\alpha$ es una permutación cíclica que mueve esos elementos, pero como $\alpha$ deja fijos a $5$ y a $6,$ sus órbitas son distintas y consisten solamente de sí mismos.

Ahora, podemos describir mejor a $G = \left< \alpha \right>$. Como $\alpha$ tiene orden 4, $G$ quedaría:

$$G = \{(1), \alpha, \alpha^2,\alpha^3\}.$$

Por último, describamos los estabilizadores. De acuerdo a la definición de la entrada previa el estabilizador de un objeto son los elementos del grupo que fijan al objeto, en este caso las potencias de $\alpha$ que dejan fijo al objeto. En el caso del $1$ la única potencia de $\alpha$ que lo fija es la identidad y análogamente para $2,3$ y $4$. Por otro lado en el caso de $5$ y $6$, como $\alpha$ no los mueve en absoluto, cualquier potencia de $\alpha$ forma parte de sus respectivos estabilizadores. Esto quedaría escrito de la siguiente manera:
\begin{align*}
G_1 &= \{\alpha^k \in G | \alpha^k \cdot 1 = 1\} = \{(1)\}\\
&= G_2 = G_3 = G_4. \\\\
G_5 &= \{\alpha^k \in G | \alpha^k \cdot 5 = 5\} = G = \{(1), \alpha, \alpha^2,\alpha^3\} \\&= \{\alpha^k \in G | \alpha^k \cdot 6 = 6\}= G_6.
\end{align*}

Ejemplo 2. Consideremos ahora la permutación $\beta = (1\,2\,3)(4\,5)\in S_5$. Sean $G = \left< \beta \right>$ y $X= \{1,2,3,4,5\}$ con la acción dada por $\beta^k \cdot i = \beta^k(i)$ para todas $k\in\z$ y $i\in X.$

Este diagrama ilustra el efecto de $\beta$ en los elementos de $X$. Podemos ver como $1, 2$ y $3$ forman un ciclo y, $4$ y $5$ forman otro.

Primero, describamos las órbitas de los elementos:

\begin{align*}
\mathcal{O}(1) &= \{1,2,3\} = \mathcal{O}(2) = \mathcal{O}(3).\\
\mathcal{O}(4) &= \{4,5\} = \mathcal{O}(5).
\end{align*}

Ahora, describamos mejor a $G$. Observemos que $\beta$ está compuesta por dos ciclos disjuntos: $(1\, 2\, 3)$ con orden $3$ y $(4\,5)$ con orden $2$, es decir es el producto de dos ciclos que conmutan y que tienen órdenes primos relativos entre sí. Por el último teorema de la entrada Palabras, el orden de $\beta$ es entonces $6$. Así, $G$ quedaría descrito como:
$$G = \{(1), \beta, \beta^2, \beta^3, \beta^4,\beta^5\}.$$

Por último, describamos los estabilizadores de cada elemento.

\begin{align*}
G_1 &= \{\beta^k \in G | \beta^k(1) = 1\} = \{(1),\beta^3\}\\
&= G_2 = G_3. \\\\
G_4 &= \{\beta^k\in G | \beta^k(4) = 4\} = \{(1), \beta^2, \beta^4\}\\
&= \{\beta^k\in G | \beta^k(5) = 5\} = G_5.
\end{align*}

Antes de avanzar a la siguiente sección, considera los ejemplos estudiados e intenta determinar si existe alguna relación entre $\#\mathcal{O}(x)$, $|G_x|$ y $|G|$.

¿Qué relación existe entre el tamaño de la órbita y el tamaño del estabilizador de un elemento?

Los ejemplos que trabajamos al inicio de esta entrada nos pueden dar la idea de que existe algún tipo de relación entre los tamaños de la órbita y del estabilizador para cada elemento.

Proposición. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto, $x\in X$.
\begin{align*}
\#\mathcal{O}(x) = [ G:G_x].
\end{align*}

Demostración.

Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto, $x\in X$. Dado que $[ G:G_x]=\# \{gG_x| g\in G\}$ bastaría con encontrar una biyección entre $\mathcal{O}(x)$ y $\{gG_x| g\in G\}.$
Proponemos $\varphi : \mathcal{O}(x) \to \{gG_x| g\in G\}$ tal que $g\cdot x \mapsto gG_x$ para todo $g\in G.$

Debemos probar que $\varphi$ es una biyección.

Primero, veamos que está bien definida. Tomemos $g,h\in G$, y supongamos que $g\cdot x = h\cdot x$.

Entonces

Esto implica,
\begin{align}\label{ec1}
h^{-1}\cdot (g\cdot x) &= h^{-1}\cdot (h\cdot x)
\end{align}

Por las propiedades de acción, al desarrollar la parte derecha de la igualdad \ref{ec1} obtenemos
\begin{align*}
h^{-1}\cdot (h\cdot x) &= (h^{-1}h)\cdot x\\
&= e\cdot x = x.
\end{align*}

Por otro lado al desarrollar la parte izquierda de la igualdad \ref{ec1} obtenemos que,
\begin{align*}
h^{-1}\cdot(g\cdot x) = (h^{-1}g)\cdot x,
\end{align*}

así, $ (h^{-1}g)\cdot x=x$ y esto por definición quiere decir que $h^{-1}g\in G_x$.
Por lo que estudiamos en clases laterales, esto implica que $gG_x = hG_x$, es decir que $\varphi(g\cdot x)=\varphi(h\cdot x)$.
Así, concluimos que $\varphi$ está bien definida.

Ahora, probaremos que $\varphi$ es unyectiva.
Sean $g, h \in G$, tales que $\varphi(g\cdot x) = \varphi(h\cdot x)$, es decir tales que $g G_x = hG_x.$ Pero
\begin{align*}
g G_x &= hG_x\\
\Rightarrow &h^{-1} g\in G_x &\text{Por lo que sabemos de clases laterales}\\
\Rightarrow &(h^{-1}g)\cdot x = x & \text{Por estar en el estabilizador}\\
\Rightarrow &h\cdot ((h^{-1}g)\cdot x) = h\cdot x. &\text{Haciendo actuar $h$}\\ \Rightarrow &g\cdot x=((hh^{-1})g)\cdot x =(h(h^{-1}g))\cdot x =h\cdot ((h^{-1}g)\cdot x) = h\cdot x. &\text{Por las propiedades de acción.}\\
\end{align*}

Así $\varphi$ es inyectiva.

Por construcción podemos observar que $\varphi$ es suprayectiva.

Por lo tanto $\#\mathcal{O} = [ G:G_x]$.

$\blacksquare$

Como consecuencia de lo anterior obtenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $G$ un grupo finito, $X$ un $G$-conjunto, $x\in X.$ Entonces, $\# \mathcal{O}(x)$ divide a $|G|.$

Ejemplo del Dodecaedro

Veamos un ejemplo en el que apliquemos lo que acabamos de ver.

Consideremos el dodecaedro $D$.

Si pensamos en todas las simetrías en $\r^3$ que mandan el dodecaedro en sí mismo, podemos tomar las rotaciones y así definir $G = \{\varphi \text{ rotación en }\r^3 | \varphi[D]= D\}$.

¿Cuál es el orden de $G$?

Sea $X$ el conjunto de caras de $D$, $G$ actúa en $X$ ya que manda caras de $D$ en caras de $D$. La acción es transitiva ya que cada cara se puede llevar a cualquier cara contigua mediante una rotación de $\displaystyle\frac{2\pi}{3}.$

Si el eje de rotación va del origen a un vértice, las caras rotarán tomando el lugar de otras caras. En cambio, si el eje de rotación cruza del origen al centro de una cara, esa cara rotará sobre sí misma y cada que rote $\displaystyle r = \frac{2\pi}{5}$ seguirá en su lugar.

Rotación de $\frac{2\pi}{5}$ del dodecaedro cuando el eje pasa por el centro de una cara. Las caras superiores e inferiores rotan sobre sí mismo.
Rotación de $\frac{2\pi}{3}$ del dodecaedro cuando el eje pasa por un vértice.

Así, dado $x\in X$, habrá exactamente cinco rotaciones que mandan la cara $x$ en sí misma (aquellas rotaciones de ángulo $ \frac{2\pi}{5}$ cuyo eje de rotación cruza del origen al centro de una cara), por lo cual $|G_x| = 5$. Además, como la acción es transitiva $\# X = \#\mathcal{O}(x)$. Luego, $\#X = 12$ y $\#\mathcal{O}(x) = [G:G_x ]$. Pero $\displaystyle [G:G_x ] = \frac{|G|}{5}$. Si juntamos todo eso, obtenemos:
$$12 = \# X = \#\mathcal{O}(x) = [G:G_x ]= \frac{|G|}{5}.$$

Despejando, $|G| = 12\cdot 5 = 60.$ Es decir, tenemos 60 rotaciones en $\r^3$ que son simetrías del dodecaedro.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo finito actuando sobre sí mismo:
    • Determina si el hecho de que exista $x\in G$ y tal que $G_x =\{e\}$ implica que la acción es transitiva.
    • Determina si el hecho de que la acción sea transitiva implica que exista $x\in G$ tal que $G_x =\{e\}$.
  2. Encuentra el orden del grupo de simetrías de cada sólido platónico (recuerda que hay algunos que son duales y por lo tanto tienen el mismo grupo de simetrías).

Más adelante…

Ya casi acabamos de estudiar la órbita, todavía nos queda analizar con ás detalle el caso cuando $X=G$, es decir cuando $G$ actúa sobre sí mismo. También podemos preguntarnos qué sucede con el conjunto de elementos de $X$ que se quedan fijos ante cualquier elemento de $G$ que actúe sobre ellos. Esto nos servirá para llegar a una importante ecuación llamada la ecuación de clase.

Además, en la siguiente entrada definiremos un nuevo tipo de grupo conocido como $p$-grupo y esto nos perfilará para llegar a los Teoremas de Sylow.

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Introducción

Tomemos un grupo $G$ y $X$ un $G$-conjunto. A lo largo de esta entrada consideraremos la relación de equivalencia en $X$ inducida por esta acción y que fue definida en la entrada anterior de la siguiente manera:

$x\sim y$ si y sólo si $g\cdot x = y$ para algún $g\in G$.

Continuemos entonces con esta idea, comenzando por definir las clases de equivalencia inducidas por esa relación.

Después, definiremos nuevos tipos de acciones, por ejemplo, ¿qué pasa si la relación sólo induce una clase de equivalencia? o ¿qué sucede con el conjunto de objetos que dejan fijo a los elementos de $G$?

Órbita de un elemento de $X$

Dada la importancia de esta manera de relacionar a los elementos de un grupo de acuerdo a una acción, daremos un nombre a sus clases de equivalencia.

Definición. Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Para cada $x\in X$, la órbita de $x$ es
\begin{align*}
\mathcal{O}(x) = \{g\cdot x | g \in G\},
\end{align*}

es decir, todos los objetos que podemos obtener haciendo actuar a $G$ sobre $x$.

Observación. Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Tenemos que $\mathcal{O}(x)$ es la clase de equivalencia de $x$ con respecto a la relación inducida por la acción de $G$ en $X$.

Demostración.

Sea $x\in G$. Sabemos que la clase de equivalencia de $x$, denotada por $[x]$, se define como:
\begin{align*}
[ x ] &= \{y\in X |x\sim y\} &\text{Definición de clase de equivalencia} \\
&= \{y\in X|\exists g\in G \text{ con }g\cdot x = y\} &\text{Definición de la relación }\sim\\
&= \{g\cdot x| g\in G\} = \mathcal{O}(x) &\text{Definición de órbita.}
\end{align*}

$\blacksquare$

De cursos anteriores sabemos que la colección de clases de equivalencia inducidas por una relación es una partición del conjunto. El siguiente teorema se da como consecuencia de las propiedades de una partición.

Teorema. Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Entonces

  1. $\mathcal{O}(x) \neq \emptyset $ para toda $x\in X$.
  2. Sean $x,y\in X$. Si $\mathcal{O}(x)\cap \mathcal{O}(y)\neq \emptyset$, entonces $\mathcal{O}(x) = \mathcal{O}(y)$.
  3. $\displaystyle X = \bigcup_{x\in X}\mathcal{O}(x)$.

Este teorema sólo enlista las propiedades de una partición en el caso particular en el que estamos trabajando, por lo que no hay nada nuevo que demostrar.

Una acción transitiva

Las órbitas están determinadas por varios factores: el conjunto $X$, el grupo $G$ y la acción de $G$ en $X$. En algunos casos existe una única órbita.

Definición. Sean $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Si $\mathcal{O}(x) = X$ para alguna $x\in X$, decimos que la acción es transitiva.

Esta definición nos dice que podemos obtener cualesquier elemento de $X$ haciendo actuar algún elemento del grupo en el objeto $x$.

Ejemplos de acciones transitivas

Ejemplo 1. Dado $G$ un grupo, $X=G$ definimos la acción de $G$ en sí mismo mediante la operación de $G$, es decir $a\cdot x = a x$ para todas $a\in G$, $x\in X.$

Consideremos cualquier $x\in X$. Sea $y\in X$. Siempre tenemos una manera de obtener $y$ a través de $x$:
\begin{align*}
y = y(x^{-1}x) = (yx^{-1})x = (yx^{-1})\cdot &x \in \mathcal{O}(x). \\
\text{Entonces } &y \in \mathcal{O}(x).
\end{align*}

Por lo tanto $\mathcal{O}(x) = X$ y así la acción es transitiva.

Ejemplo 2. Sean $G$ un grupo, $H\leq G$, $X = \{gH | g\in G\}$. Definimos $a\cdot (gH) = agH$ para todas $a,g\in G.$

Consideremos cualquier $gH \in X.$ Sea $tH \in X$ con $t\in G.$ Podemos reescribir al representante como:
\begin{align*}
t H &= t(g^{-1}g) H = (tg^{-1})gH \\
&= (tg^{-1})\cdot gH \in \mathcal{O}(gH).
\end{align*}

Por lo tanto $\mathcal{O}(gH) = X$. Así, la acción es transitiva.

Ejemplo 3. Sea $G = D_{2(n)}$ el grupo diédrico, $X = \{1,2,\cdots, n\}$ los distintos vértices del polígono regular de $n$ lados.

La acción que ya habíamos trabajado: dados $g\in G$, $i\in X$ definimos $g\cdot i = g(i)$.

Dada $a\in G$ la rotación $\displaystyle\frac{2\pi}{n}$ y $1\in X$, tenemos que
\begin{align*}
\text{id}\cdot 1 &= 1, \\
a\cdot 1 = a(1) &= 2,\\
a^2 \cdot 1 = a^2(1) &= 3, \\
&\vdots \\
a^{n-1} \cdot 1 = a^{n-1} (1) &= n.
\end{align*}

Entonces $X = \{1,2,\cdots,n\}\subseteq \mathcal{O}(1) \subseteq X$. Así, $\mathcal{O}(1) = X$. Por lo tanto la acción es transitiva.

Ejemplo 4. Ahora veamos un ejemplo nuevo.

Sea $G$ un grupo, $X= G$. Dados $a\in G$, $x\in X$ definimos
\begin{align*}
a\cdot x &= a x a^{-1}.
\end{align*}

Demostremos que es una acción:
\begin{align*}
e\cdot x &= exe^{-1} = x &\forall x\in X.\\
a\cdot(b\cdot x) &= a(b\cdot x)a^{-1} = a(bxb^{-1})a^{-1} = (ab)x(ab)^{-1}& \text{Asociando diferente}\\
&= (ab)\cdot x &\forall a,b\in G, \forall x\in X.
\end{align*}

Así, $G$ actúa en sí mismo por conjugación.

Dado $x\in X$,
\begin{align*}
\mathcal{O}(x) = \{g\cdot x | g\in G\} = \{gxg^{-1}| g\in G\}
\end{align*}
que son todos los conjugados de $x$.

En este caso, la acción no siempre es transitiva: Si $ G\neq \{e\}$ consideremos $x\in G\setminus\{e\}.$ Si $e\in \mathcal{O}(x)$ entonces $e = g\cdot x = gxg^{-1}$ para algún $g\in G$ y entonces $e = x$, esto es una contradicción porque $x\in G\setminus\{e\}$. Así, $\mathcal{O}(x)\neq X$ y la acción no es transitiva.

Más definiciones de acciones

En toda acción el neutro del grupo actúa de forma trivial en todos los elementos del conjunto pero puede ser que existan otros elementos del grupo con esa propiedad. Si no es el caso decimos que la acción es fiel:

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto. Decimos que la acción es fiel si $g\cdot x = x$, con $g\in G$, para todo $x\in X$, implica que $g=e.$

Consideremos ahora los elementos del grupo que fijan a algún elemento específico del conjunto:

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto, $x\in X$. El estabilizador de $x$ es
\begin{align*}
G_x = \{g\in G | g\cdot x = x\}.
\end{align*}

Es decir, la colección de todos los elementos de $G$ que dejan fijo a $x$.

Ejemplos de acción fiel y estabilizador

Ejemplo 1. Sea $G$ un grupo, $X = G$ y $g\cdot x = gx$ para todo $g,x \in G.$

Si $g\in G$ es tal que $g\cdot x = x$ para toda $x\in X$, entonces $gx = x$ para toda $x\in X$, en particular $g = ge = e.$

Así $g=e$ y la acción es fiel.

Dado $x\in X$,
\begin{align*}
G_x = \{g\in G | g\cdot x = x\} = \{g\in X| gx = x\}.
\end{align*}

Pero si $gx = x$,por cancelación $g=e$. Así $G_x = \{e\}$ para toda $x\in X,$ de modo que los estabilizadores son triviales.

Ejemplo 2. Sean $G$ grupo, $H$ subgrupo de $G$, $X = \{xH | x\in G\}$ con $g\cdot(xH) = gx H$ para toda $g,x\in G.$

Si $g\in G$ es tal que $g\cdot (xH) = xH$ para toda $x\in G$, entonces
\begin{align*}
gxH &= xH &\forall x\in G\\
\Rightarrow \, x^{-1} g x &\in H & \forall x\in G\\
\Rightarrow \, g&\in xHx^{-1} & \forall x\in G.
\end{align*}

Si $H\unlhd G$ esto se cumple para toda $g\in H$. Por lo tanto la acción no necesariamente es fiel.

Ahora, dada una clase lateral $xH \in X$.
\begin{align*}
G_{xH} &= \{g\in G | g\cdot (xH) = xH\}\\
&= \{g\in G| gxH = xH\}\\
&= \{g\in G | x^{-1}gx\in H\} \\
&= \{g\in G | g\in xHx^{-1}\}\\
&= xHx^{-1}.
\end{align*}

Así $G_{xH} = xHx^{-1}$ para toda $x\in G.$

Ejemplo 3. Sean $G = D_{2(n)}$ el grupo diédrico, $X = \{1,2,\cdots, n\}$ los distintos vértices del polígono regular de $n$ lados.

Dados $g\in G, i \in X$ definimos $g\cdot i = g(i)$.

Si $g\in G$ es tal que $g\cdot i = i$ para toda $i \in X$, entonces $g(i) = i$ para toda $i\in X$. Así, $g$ sería una transformación lineal en el plano, que fija a los vértices $1$ y $2,$ los cuales forman una base del plano. Por lo tanto $g = \text{id}$ y la acción es fiel.

Dado $i\in X$,
\begin{align*}
G_i &= \{g \in G | g\cdot i = i\}\\
&= \{g\in G | g(i) = i\}\\
&= \{\text{id},r_i\}
\end{align*}
con $r_i$ la reflexión con respecto a la recta que pasa por $(0,0)$ y $i.$

Por último, veremos una observación.

Ilustración de lo que sucede con $r_i$ de $D_{2(n)}.$ Usamos $D_{2(4)}$ representado con un cuadrado y $D_{2(8)}$ representado con un octágono. En el dibujo, $r_1$ mantiene fijo a 1 y 3, y $r_3$ mantiene fijo a 3 y 7.

Observación. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto, $x\in X$. $G_x$ es un subgrupo de $G$.

Demostración.
Sean $G$ grupo, $X$ un $G$-conjunto, $x\in X.$

El neutro de $G$ siempre está en el estabilizador porque:
\begin{align*}
e\cdot x = x \quad \forall x\in X,
\end{align*}

entonces $e\in G_x.$

Si $a,b\in G_x$, entonces $(ab)\cdot x = a\cdot (b\cdot x) = a\cdot x = x = x$. Así, $ab\in G_x$. Es decir, el estabilizador es cerrado bajo producto.

Finalmente si $a\in G_x$, $a\cdot x = x$, entonces $a^{-1}\cdot x = a^{-1}\cdot (a\cdot x) = (a^{-1}a)\cdot x = e\cdot x = x$, así $a^{-1} \in G_x$.

Por lo tanto $G_x \leq G$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. En cada uno de los incisos del ejercicio 1 de la entrada de acciones, en donde haya una acción, describe cómo son las órbitas y determina si se trata de una acción transitiva.
  2. Considera el conjunto $X = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y el grupo $G = \left< a \right>$ con $a\in S_8$. Define $a^{i}\cdot j = a^{i}(j)$ para cada $a^{i} \in G$ y cada $j\in X$.
    • Verifica que es una acción de $G$ en $X$.
    • Si $a = (2 \; 4 \; 1 \; 7 \; 8)$ describe las órbitas y determina si se trata de una acción transitiva.
    • Si $a = (6 \; 1 \; 5 \; 8)(3 \; 4)$ describe órbitas y determina si se trata de una acción transitiva.
  3. Sea $G$ un grupo y $X$ un $G$-conjunto. Si la acción de transitiva prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
    • $\mathcal{O}(x) = X$ para todo $x\in X$.
    • Para cada $x,y \in X$ existe $g\in G$ tal que $g\cdot x = y$.
  4. Considera el grupo diédrico $D_{2(n)}$ actuando sobre sí mismo con conjugación.
    • Determina si la acción es fiel.
    • Encuentra el estabilizador de $a$, con $a$ la rotación de $\displaystyle\frac{2\pi}{n}$, y el de $b$ con $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
  5. Sea $G$ un grupo y $X$ un $G$-conjunto.
    • Determina si el hecho de que exista $x\in G$ tal que $G_x = \{e\}$ implica que la acción es fiel.
    • Determina si el hecho de que la acción sea fiel implica que exista $x\in G$ tal que $G_x=\{e\}$.

Más adelante…

Continuaremos estudiando las propiedades de las órbitas, en particular, el orden de las órbitas, ¿cómo se relaciona éste con el orden del grupo $G$? Daremos respuesta a ello en la siguiente entrada.

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Matemáticas Financieras: Anualidades crecientes

Por Erick de la Rosa

2 respuestas

Introducción

Este tipo de anualidades se utiliza en los casos en lo que alguien solicita un crédito, y de alguna forma sabe que en el futuro sus ingresos mejorarán, condición que les permitirá poder cada vez dar mayores cantidades, para pagar dicho crédito. Un ejemplo de lo anterior, es cuando una empresa moderniza su maquinaria, y al hacerlo esto le da la condición de poder tener una mayor producción, lo cual genera mayores ingresos, mayor venta y por consecuencia mayores utilidades, las cuales pueden irse incrementando y a través de ellas, logrando con esto, aportar una mayor cantidad para liquidar su deuda.

Descripción y valor presente

Se define como anualidad creciente, al tipo de anualidad que se caracteriza por ir incrementando los pagos en cada periodo, es decir; cada pago se realiza con una cantidad mayor, de manera que los pagos crecerán de forma aritmética. Dichos incrementos son acordados entre las partes involucradas, de acuerdo con la capacidad de pago que tenga el deudor, los cuales estarán basados a partir de los cálculos de sus ingresos futuros.

Comportamiento de una anualidad creciente (progresión aritmética). Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 157.

La imagen anterior, muestra gráficamente el comportamiento de una anualidad creciente, así como la forma, en que se convierte en una progresión aritmética.

Si se quiere calcular el valor presente, $V$, en una anualidad creciente, es necesario traer a valor presente cada uno de los pagos, considerando una tasa de interés efectiva por periodo. Esto se puede observar en la siguiente expresión:

$$V=Pv+(P+Q)v^2+(P+2Q)v^3+(P+3Q)v^4+…+[P+(n-2)Q]^{n-1}+[P+(n-1)Q]v^n.$$

Para obtener una expresión más sencilla, se resolverán los productos indicados, es decir:

$$V=Pv+Pv^2+Qv^2+Pv^3+2Qv^3+..+Pv^{n-1}+(n-2)Qv^{n-1}+Pv^n+(n-1)Q^{n}.$$

Ahora, se multiplicará la ecuación, por un uno, de la siguiente forma:

$$1=\left(\frac{1+i}{1+i}\right)$$

aplicándolo a la expresión que teníamos, da como resultado:

$$\left(\frac{v^1}{v^1}\right)V=Pv+Pv^2+Qv^2+Pv^3+2Qv^3+..+Pv^{n-1}+(n-2)Qv^{n-1}+Pv^n+(n-1)Q^{n}$$

$$\left(\frac{(1+i)^1}{(1+i)^1}\right)V=Pv+Pv^2+Qv^2+Pv^3+2Qv^3+..+Pv^{n-1}+(n-2)Qv^{n-1}+Pv^n+(n-1)Q^{n}$$

$$(1+i)V=[Pv+Pv^2+Qv^2+Pv^3+2Qv^3+..+Pv^{n-1}+(n-2)Qv^{n-1}+Pv^n+(n-1)Q^{n}](1+i)^{-1}$$

$$V+iV=Pvv^{-1}+(P+Q)v^2v^{-1}+(P+2Q)v^3v^{-1}+…+[P+(n-2)Q]v^{n-1}v^{-1}+[P+(n-1)Q]v^nv^{-1}$$

$$V+iV=P+(P+Q)v^1+(P+2Q)v^2+…+[P+(n-2)Q]v^{n-2}+[P+(n-1)Q]v^{n-1}$$

$$V+iV=P+Pv+Qv+P^2+2Qv^2+…+Pv^{n-2}+(n-2)Qv^{n-2}+Pn^{n-1}+(n-1)Qv^{n-1}.$$

Restando ésta última expresión, con la segunda que obtuvimos se tiene:

$$V+iV=P+Pv+Qv+P^2+2Qv^2+…+Pv^{n-2}+(n-2)Qv^{n-2}+Pn^{n-1}+(n-1)Qv^{n-1}$$

$$-V=-Pv-Pv^2-Qv^2-Pv^3-2Qv^3-…-Pv^{n-1}-(n-2)Qv^{n-1}-Pv^n-(n-1)Q^{n}.$$

Nos da como resultado:

$$iV=P+Qv+Qv^2+Qv^3+…+Qv^{n-1}-Pv^n-(n-1)Qv^n.$$

Haciendo las multiplicaciones indicadas, se obtiene:

$$iV=P+Qv+Qv^2+Qv^3+…+Qv^{n-1}+Qv^n+Pv^n-nQv^n.$$

Factorizando $Q$ se tiene:

$$iV=P+Q(v+v^2+v^3+…+v^{n-1}+v^{n})-Pv^n-nQv^n.$$

Factorizando ahora a $P$:

$$iV=P(1-v^n)+Q\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i-nQv^n$$

lo anterior, ocurre porque $\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i= v+v^2+v^3+…+v^{n-1}+v^{n}$

de donde, se despeja a $V$ para obtener:

$$V=P\left(\frac{1-v^n}{i}\right)+Q\left(\frac{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i-nv^n}{i}\right).$$

Tomando en cuenta que $\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i=\frac{(1-v^n)}{i}$, y sustituyendo dicho valor en la ecuación anterior, se tiene por fin la expresión más sencilla para el cálculo del valor presente de una anualidad creciente con $n$ pagos:

$$V=P\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i+Q\left(\frac{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i-nv^n}{i}\right).$$

Comportamiento de anualidad creciente ordinaria. Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T., Ed. Trillas, pag. 158

En la imagen, se muestra el comportamiento de una anualidad creciente ordinaria, en la que el capital (P), que se está manejando, así como el incremento (Q), se tomaron por igual a un peso. De dicho supuesto, la ecuación nos queda como sigue:

$P=Q=1$

$$\prescript{}{n}{\mathbf{IA}}_i=(1)\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i+(1)\left(\frac{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i-nv^n}{i}\right)$$

de donde, sacando a $i$ como común denominador se tiene:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{IA}}_i=\frac{i\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i+\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i-nv^n}{i}.$$

Reagrupando términos:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{IA}}_i=\frac{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i+\frac{i(1-v^n)}{i}-nv^n}{i}.$$

Reduciendo y reordenando términos:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{IA}}_i=\frac{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i-v^n+1-nv^n}{i}.$$

Por último, se hace el recordatorio que:

$$\prescript{}{n-1}{\mathbf{A}}_i=\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i-v^n$$

sustituyendo el recordatorio en la ecuación que se venía desarrollando, se tiene por fin la expresión más sencilla para calcular el valor presente de una anualidad creciente ordinaria:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{IA}}_i=\frac{\prescript{}{n-1}{\mathbf{A}}_i+1-nv^n}{i}.$$

De la misma forma que, con los modelos obtenidos anteriormente, haciendo despejes, se puede obtener cualquier variable que se utilice en ésa ecuación para conocer su valor numérico. Dentro del modelo que se acaba de obtener, es importante señalar que:

$P$ es el primer pago, no se le llamo $X$ para poder diferenciarlo de que los pagos dentro de las anualidades crecientes, van a ser diferentes cada uno de ellos.

Monto

Los montos en una anualidad creciente son denotados por:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{SV}}_i.$$

Comportamiento del monto en una anualidad creciente. Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 160.

En la gráfica, se muestra el comportamiento del monto en una anualidad creciente, en la que se exhibe que el primer pago es denotado como $P$ y los pagos siguientes son representados por la letra $Q$, luego $2Q$, $3Q$, sucesivamente hasta llegar al valor $(n-1)Q$.

El monto, se calcula al tomar el valor presente de dicha anualidad, y se acumula durante $n$ periodos a la misma tasa de interés, esto se traduce en la siguiente expresión:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{(SV)}}_i=\left(P\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i+Q\left(\frac{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i-nv^n}{i}\right)\right)(1+i)^n.$$

Efectuando los productos indicados se tiene:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{(SV)}}_i=P\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i(1+i)^n+Q\left(\frac{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i(1+i)^n-nv^n(1+i)^n}{i}\right).$$

Por otra parte, como:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{(SV)}}_i=\prescript{}{n}{\mathbf{(A)}}_i(1+i)^n$$

además de que, $v^n=(1+i)^n$, y sustituyendo dicho valor en la ecuación anterior resulta:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{(SV)}}_i=P\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i+Q\left(\frac{\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i-n}{i}\right).$$

Ésta, es la expresión más simplificada para obtener el monto de una anualidad creciente, con primer pago $P$ y pago siguiente $Q$ el cual se incrementa en cada periodo a una tasa de interés efectiva por periodo.

De forma semejante a como se ha venido haciendo, suponemos que $P=Q=1$, entonces se obtiene de forma sencilla la siguiente expresión:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{(SV)}}_i=\frac{\prescript{}{n-1}{\mathbf{A}}_i+1-nv^n}{i}(1+i)^n$$

que corresponde a una anualidad creciente ordinaria, lo que es también equivalente a la siguiente expresión:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{(SV)}}_i=\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i+\left(\frac{\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i-n}{i}\right).$$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una empresa quiere modernizar su maquinaria, para ello se propone adquirir un crédito. El costo de la maquinaria asciende a un valor de \$1,500,000. Una vez adquirida e instalada, se estima que su producción se incrementará de la siguiente forma: \$30,000 fijos mensuales, con un crecimiento de \$10,000 para las siguientes mensualidades. Tomando en cuenta que la institución financiera que otorgó el préstamo, le da un plazo de un año para liquidar dicha deuda a una tasa de interés de 1.7% mensual, se desea saber ¿de cuánto será el crédito para solventar proyecto?

Solución

Como se debe encontrar el valor presente de una anualidad creciente, el cual es el camino que va a tomar la empresa para liquidar dicha deuda. Gráficamente se representa éste modelo en la siguiente imagen:

Imagen y ejercicio basado en Matemáticas financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T., Ed. Trillas, pag. 161.

El señor Abel, quiere constituir una reserva para hacer frente a posibles emergencias que puedan presentarse, con la finalidad de no verse afectado en su economía cuando lleguen a ocurrir. Por tal motivo, quiere ahorrar su aguinaldo que recibió este año junto con sus prestaciones, las cuales en total ascienden a una cantidad de \$15 mil pesos, y planea hacer aportaciones por mil pesos, cantidad que quiere incrementar en \$100 pesos cada mes. Desea saber ¿cuánto dinero puede ahorrar?, si mantiene ésta forma de ahorro durante 1 año, y el banco en que mantiene sus ahorros le ofrece una tasa de interés del 2.9% mensual.

Solución

Más adelante…

Se continuará abordando el concepto de anualidad, ahora en su forma decreciente, en la que se analizará las situaciones en las que se utilizan, su comportamiento, la forma en que se calcula el monto, el valor presente, así como su construcción,

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Continuidad uniforme

Por Lizbeth Fernández Villegas

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Introducción

Hasta este punto, ya hemos visto varias propiedades que las funciones continuas tienen entre espacios métricos. De acuerdo a la definición, la continuidad en un punto se da cuando los puntos cercanos a él, son enviados a puntos cercanos en el otro espacio métrico.

Dado $\varepsilon >0$, incluso cuando la función $\phi :X \to Y$ es continua en todos los puntos $x_0$ de $X$, el valor de una $\delta_{x_0}$ que cumple que $\phi (B_X(x_0,\delta_{x_0})) \subset B_Y(\phi(x_0), \varepsilon)$ podría ser diferente para cada punto.

Por ejemplo, sabemos que la función identidad $I:[0,1] \to [0,1]$ es continua en $[0,1]$. Si suponemos $\varepsilon = \frac{1}{3}$ podemos hablar más explícitamente de la continuidad en los puntos $\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{3}$ asignando $\delta_1 = \frac{1}{3}$ y $\delta_2 = \frac{1}{6}$, respectivamente.

Podemos comprobar que ambas deltas satisfacen la definición de continuidad y sin embargo son diferentes. No obstante, eligiendo $\delta$ como la mínima entre las dos, podemos argumentar también la continuidad en ambos puntos con la misma $\delta.$

En general, en una cantidad finita de puntos donde la función es continua, también es posible elegir el valor de $\delta$ mínimo y este funciona para demostrar la continuidad en cada punto, pero si la continuidad es en un conjunto infinito no siempre existe una delta general .

En los ejemplos de continuidad que hemos visto, fijamos un punto en el espacio del dominio $X$ y observamos un conjunto en torno a él (la bola de radio $\delta$).

¿Qué pasa si nos fijamos en bolas de radio $\delta$ de manera arbitraria en el dominio? ¿Serán enviados a puntos cercanos en el espacio métrico $Y$?

Esta discusión incentiva la siguiente:

Definición. Función uniformemente continua: Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Decimos que una función $\phi :X \to Y$ es uniformemente continua en $X$ si dada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para cualesquiera $x_1, x_2 \, \in \, X$, si satisfacen que $d_X(x_1,x_2)< \delta$, entonces $d_Y(\phi(x_1), \phi(x_2)) < \varepsilon$.

Al final de esta sección se propone demostrar que toda función uniformemente continua es continua. No obstante, hay funciones continuas que no son uniformemente continuas.

Ejemplo: La función $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x)= \frac{1}{x}$ es continua en $(0,\infty)$ pero no es uniformemente continua, pues si consideramos $\varepsilon=1$ y cualquier $\delta>0$ todos los pares de puntos en el intervalo $(0,\delta)$ tienen distancia menor que $\delta.$ Sea $x_1 \in (0,\delta).$ Como $f$ es decreciente y tiende a $\infty$ en cero por la derecha entonces existe $x_2 < x_1$ tal que $f(x_2)>1+f(x_1)$ por lo tanto, aunque $|x_2-x_1|< \delta$ se tiene que $|f(x_2)-f(x_1)|>1= \varepsilon$ y en consecuencia, la función no es uniformemente continua.

$f$ no es uniformemente continua

Pero hay una propiedad que hace equivalentes ambos tipos de funciones:

Proposición: Sea $A$ un espacio métrico compacto. Si $\phi : A \to Y$ es una función continua, entonces $\phi$ es uniformemente continua.
Demostración:
Supón por el contrario que $\phi:A \to Y$ no es uniformemente continua. Entonces existe $\varepsilon >0$ tal que $\forall \, \delta>0$ existen $a_1,a_2$ con distancia menor que $\delta$ pero cuya distancia correspondiente en $Y$ para $\phi(a_1)$ y $\phi(a_2)$ es mayor igual que \varepsilon.

Particularmente, para cada $n \in \mathbb{N}$ existen $x_n,x’_n \in A$ tales que $d_A(x_n,x’_n)<\frac{1}{n}$ y $d_Y(\phi(x_n),\phi(x’_n)) \geq \varepsilon.$

Entonces la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que está en $A$ compacto, tiene una subsuseción $(x_{k_j})$ que converge en algún $x \in A.$ La sucesión correspondiente $(x’_{k_j})$ también converge en $x,$ pues:

$$d_A(x,x’_{k_j}) \leq d_A(x,x_{k_j})+d_A(x_{k_j},x’_{k_j}) \to 0$$

Entonces, como $\phi$ es continua se cumple que $\phi(x_{k_j}) \to \phi(x)$ y $\phi(x’_{k_j}) \to \phi(x)$ de modo que existe $J \in \mathbb{N}$ tal que.

$d_Y(\phi(x_{k_j}),\phi(x’_{k_j})) \leq d_Y(\phi(x_{k_j}),\phi(x))+d_Y(\phi(x),\phi(x’_{k_j})) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$

Pero esto es una contradicción, pues al principio se seleccionaron términos que satisfacen que $d_Y(\phi(x_{k_j}),\phi(x’_{k_j})) \geq \varepsilon.$ Por lo tanto la función sí es uniformemente continua.

Más adelante…

Ya que conocemos algunos resultados de la compacidad en los conjuntos, mostraremos una herramienta para identificarla en espacios de funciones: el teorema de Arzelá-Azcoli. En la siguiente sección veremos las definiciones que nos llevarán a ella.

Tarea moral

  1. Demuestra que toda función uniformemente continua es continua.
  2. ¿Es cierto que toda función Lipschitz continua es uniformemente continua?
  3. ¿Es cierto que toda función uniformemente continua es Lipschitz continua?
  4. ¿Es la función $f:[a,\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x)= \frac{1}{x}, \, a>0,$ uniformemente continua?

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