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Álgebra Moderna I: Producto directo interno

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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Introducción

Continuamos con el estudio del producto de grupos. En la entrada anterior definimos el producto directo externo de grupos, luego vimos unas funciones naturales y definimos los subgrupos $G^*_i$. Demostramos que para un grupo $G = G_1 \times \dots \times G_n$ se cumple que:

  1. $G_i^* \unlhd G \quad \forall i\in\{1,\dots,n\}$.
  2. $\displaystyle G_i^* \cap \left( \prod_{j\neq i} G_j^*\right) = \{e_G\} \text{ para toda }i\in\{1,\dots,n\}$.
  3. $\displaystyle G = \prod_{i = 1}^n G_i^*$.

Al final, esta proposición nos dice que si $G$ es el producto directo externo de varios grupos, también lo podemos ver como producto de otros subgrupos normales que cumplen el inciso 2.

En esta entrada queremos generalizar esta idea: ahora $G$ será un grupo cualquiera, tomaremos subgrupos normales $H_i$, con $i\in \{1,\dots,n\}$ de $G$ que cumplan estas propiedades y probaremos que $G$ se puede ver como el producto de estos subgrupos.

En el producto directo externo, encontrábamos $G$ a partir de otros grupos. Ahora podremos describir a $G$ como producto de algunos de sus subgrupos normales, por eso se llama producto directo interno.

Producto de subgrupos

Comencemos definiendo nuestro nuevo producto entre subgrupos normales de $G$.

Definición. Sean $G$ un grupo, $H_1,\dots, H_n$ subgrupos de $G$. Decimos que $G$ es el producto directo interno de $H_1,\dots, H_n$ si

  1. $H_i \unlhd G$ para toda $i\in\{1,\dots, n\}$.
  2. $\displaystyle H_i\cap \left(\prod_{j\neq i} H_j\right) = \{e\}$ para toda $i\in\{1,\dots, n\}$.
  3. $\displaystyle G = \prod_{i=1}^n H_i$.

Observación 5. $G_1\times\cdots\times G_n$ es el producto directo interno de los $G_i^*$.

Observación 6. Si $G$ es el producto directo interno de $H_1,\cdots,H_n$, entonces $xy=yx$ para toda $x\in H_i, y\in H_j$ con $i\neq j$.

Demostración.
Sea $G$ producto directo de $H_1,\dots, H_n$, sean $x\in H_i, y\in H_j$, con $j\neq i$, entonces
\begin{align*}
xyx^{-1}y^{-1} = x(yx^{-1}y^{-1}) \in H_i,
\end{align*}
porque $x \in H_i$ y $yx^{-1}y^{-1}\in H_i$ pues $H_i \unlhd G$.

Por otro lado,
\begin{align*}
xyx^{-1}y^{-1} = (xyx^{-1})y^{-1} \in H_j,
\end{align*}
pues, análogamente, $xyx^{-1} \in H_j$ pues $H_j\unlhd G$ y $y^{-1} \in H_j.$

Así $\displaystyle xyx^{-1}y^{-1} \in (H_i \cap H_j) \subseteq \left( H_i\cap \prod_{k\neq i} H_k\right) = \{e\}$. Entonces $xyx^{-1}y^{-1} = e$.

Por lo tanto $xy = yx$.

$\blacksquare$

Ejemplo. Sea $G = \left< a \right>$ con $o(a) = 12$. Busquemos $H_1, \dots, H_n$ para alguna $n\in \n$ tales que $G$ sea el producto directo interno de estos $H$s.

Sean $H_1 = \left< a^3\right>, H_2 = \left< a^4\right>$. Como $G$ es abeliano, $H_1\unlhd G, H_2 \unlhd G$. Además
\begin{align*}
H_1\cap H_2 = \{e,a^3,a^6, a^9\} \cap \{e, a^4, a^8\} = \{e\}.
\end{align*}

Como
\begin{align*}
a = ae = a a^{12} = a^{13} = a^9a^4 \in H_1H_2
\end{align*}
y así $G = \left< a \right> \subseteq H_1H_2 \subseteq G$. Como claramente $H_1H_2\subseteq G$, entonces $G=H_1H_2$.

Por lo tanto $G$ es el producto directo interno de $H_1$ y $H_2$.

Observación 7. Sean $G$ un grupo, $H_1,\dots, H_n$ subgrupos de $G$. Si $G$ es el producto directo interno de $H_1,\dots, H_n$, entonces
\begin{align*}
\varphi : H_1\times \cdots \times H_n \to G
\end{align*}
con $\varphi(h_1,\dots,h_n) = h_1\cdots h_n$ para toda $(h_1,\dots,h_n) \in H_1\times\cdots\times H_n$ es un isomorfismo.

Es consecuencia, si $G$ es finito tenemos que $|G| = |H_1|\cdots|H_n|$.

Descomposición de $G$ en $p$-subgrupos

Algunos subgrupos importantes que vimos son los $p$-subgrupos de Sylow, para $p$ primo. Ahora los usaremos junto con el Producto directo interno para describir a $G$ como el producto de sus $p$-subgrupos de Sylow, esto nos recuerda mucho al Teorema Fundamental de la Aritmética.

Teorema. Sea $G$ un grupo finito con $p_1,\dots, p_t$ los distintos factores primos del orden de $G$ y $P_1, \dots, P_t$ subgrupos de Sylow de $G$ asociados a $p_1,\dots,p_t$ respectivamente. Si $P_i\unlhd G$ para toda $i\in\{1,\dots, t\}$, entonces $G$ es el producto directo interno de $P_1,\dots, P_t$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito de orden $n$. Sean $p_1,\dots, p_t$ los distintos factores primos de $n$ y $P_1,\dots, P_t$ subgrupos de $G$ con $P_i$ un $p_i$-subgrupo de Sylow de $G$ con $P_i \unlhd G$ para toda $i\in \{1,\dots, t\}$.

Veamos que para todo $S\subseteq \{1,\dots, t\}$, $\displaystyle \prod_{j\in S} P_j$ es un producto directo interno por inducción sobre $\# S$.

Caso Base. Supongamos que $\# S = 1$,
$S = \{i\} \subseteq \{1,\dots, t\}$ y $P_i$ es el producto directo interno de $P_i$.

H.I. Supongamos que si $T\subseteq \{1,\dots, t\}$ con $\# T < \# S$, entonces $\displaystyle \prod_{j\in T} P_j$ es un producto directo interno.

Sea $\displaystyle H = \prod_{j\in S}P_j$. Veamos que $H$ es el producto directo interno de los $P_j$ con $j\in S$.

Por hipótesis se cumplen las condiciones $1$ y $3$ de la definición de producto directo interno. Veamos que se cumple $2$.

Sean $i\in S$, $\displaystyle x\in P_i\cap \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j$.

Como $x\in P_i$, entonces $o(x) \Big| |P_i|$.

Como $\displaystyle x\in \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j$, entonces el orden de $x$ divide al orden del producto: $\displaystyle o(x) \Big| \left|\prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j\right| = \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} |P_j|$ donde la última igualdad se debe a que $\displaystyle \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j$ es un producto directo interno por H.I. y por la observación 7.

Pero $|P_i| = p_i^{\alpha_i}$, $\displaystyle \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} |P_j| = \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j^{\alpha_j}$ con $\alpha_j\in \n^+$ para toda $j\in S$, entonces son primos relativos. Así $o(x) = 1$. Por lo que $\displaystyle x\in P_i \cap \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j = \{e\}$.

Hemos probado entonces que $\displaystyle \prod_{\substack{j\in S}} P_j$ es un producto directo interno para toda $S\subseteq \{1,\dots,t\}$. En particular para $S = \{1,\dots, t\}$ tenemos que $\displaystyle \prod_{j = 1}^t P_j$ es un producto directo interno. Por la observación 7,
\begin{align*}
\left| \prod_{j = 1}^t P_j \right| = \prod_{j=1}^t |P_j| = n = |G|
\end{align*}
ya que $P_1,\dots,P_t$ son subgrupos de Sylow asociados a los distintos factores primos de $G$.

Como $\displaystyle \prod_{j=1}^t P_j$ es un subgrupo de $G$ de orden $|G|$ tenemos que $\displaystyle G = \prod_{j=1}^t P_j$.

Por lo tanto $G$ es el producto directo interno de $P_1,\dots, P_t$.

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra las observaciones 5 y 7.
    • $G_1\times\cdots\times G_n$ es el producto directo interno de los $G_i^*$.
    • Sean $G$ un grupo, $H_1,\dots, H_n$ subgrupos de $G$. Si $G$ es el producto directo interno de $H_1,\dots, H_n$, entonces
      \begin{align*}
      \varphi : H_1\times \cdots \times H_n \to G
      \end{align*}
      con $\varphi(h_1,\dots,h_n) = h_1\cdots h_n$ para toda $(h_1,\dots,h_n) \in H_1\times\cdots\times H_n$ es un isomorfismo.
  2. Regresa a la entrada de Ejemplo de Sylow y considera $S_4$.
    • De existir, busca $H_1, \dots, H_n$ tal que $S_4$ sea producto directo de $H_1,\dots , H_n.$
    • Usando los $p$-subgrupos de Sylow que encontramos, describe a $S_4$ como producto directo interno de ellos. Aplica el último teorema visto.
  3. Aplica el último teorema visto con $\z_6$ y $T = S_3 \times \z_4$, encuentra los primos $p_1, \dots , p_n$ que conforman al orden del grupo y los $P_1, \dots , P_n$ subgrupos de Sylow que corresponden a estos primos. Al final, representa a los grupos como producto directo interno de estos $p$-subgrupos de Sylow.

Más adelante…

La descomposición de un grupo en $p$-subgrupos que vimos es una probada de lo que veremos en el Teorema fundamental de grupos abelianos finitos, la relación de los primos que componen al orden del grupo con los $p$-subgrupos del mismo grupo. Pero antes de poder enunciarlo, necesitamos enunciar algunos teoremas que nos ayudarán y que se sirven de los Productos directos interno y externo que hemos estado viendo.

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Introducción

Esta entrada es el inicio de la última unidad del curso de Álgebra Moderna I, uno de los temas centrales que estudiaremos en esta unidad es el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos. Como es costumbre, para poder sumergirnos en el teorema, primero tenemos que construir algunos cimientos.

Seguramente a lo largo de tu estudio de las matemáticas te has encontrado con la notación $\r^2 = \r \times \r$ y otras similares. $\r^2$ se usa para denotar al plano cartesiano y rápidamente entendemos que sus elementos tienen la forma de pares ordenados $(x, y)$ donde $x,y\in \r$. Esto mismo sucede con potencias mayores, como por ejemplo $(x,y,z)\in \r^3 = \r \times \r \times \r$ y $(x_1,\dots,x_n)\in \r^n = \r\times\cdots\times\r$ ($n$ veces).

De la misma manera, podríamos hacer $\z \times \r$ y obtener objetos de la forma $(z, r)$ donde $z$ es un entero y $r$ un real. Es decir, podemos usar a la operación $\times$ entre dos grupos completamente distintos. Pero más allá de poder, ¿esto es algo que podamos estudiar? En pocas palabras, sí, resulta que la operación $\times$ es una manera práctica de construir grupos más grandes a partir de otros grupos.

Hablemos del producto de grupos

Comencemos definiendo formalmente al producto de grupos.

Definición. Sean $(G_1, *_1), \cdots, (G_n, *_n)$ grupos. El producto directo externo de $G_1, \dots, G_n$ es
\begin{align*}
G_1\times\cdots\times G_n = \{(g_1,\dots,g_n)\;|\; g_i\in G \; \forall i \in \{1,\dots,n\}\}
\end{align*}
con la operación
\begin{align*}
(g_1,\dots,g_n) * (h_1,\dots,h_n) = (g_1*_1h_1, \dots, g_n*_nh_n).
\end{align*}

Observación. $G_1\times\cdots\times G_n$ es un grupo con neutro $(e_{G_1},\dots, e_{G_n})$ y $(g_1^{-1},\dots, g^{-1}_n)$ es el inverso de cada $(g_1,\dots,g_n)\in G_1\times\cdots\times G_n$.

Ejemplo 1. Consideremos $G = S_3\times\z_2 \times D_{2(4)}.$
Un elemento es $((1\;2\;3), \,\bar{1}, \,a^2b)$.
Dados $(\alpha, \bar{a}, f), (\beta,\bar{b}, g)\in G$ se tiene que
\begin{align*}
(\alpha, \,\bar{a}, \,f)*(\beta,\,\bar{b}, \,g) = (\alpha\circ\beta, \,\bar{a}+\bar{b}, \,f\circ g).
\end{align*}

Ejemplo 2. Tomemos el producto $\z_2\times\z_2 = \{(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{0},\bar{1}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1})\}$.
Observemos que $o(\bar{0}, \bar{0}) = 1$, $o(\bar{0}, \bar{1}) = o(\bar{1}, \bar{0}) = o(\bar{1}, \bar{1}) = 2.$
La suma de dos elementos en $\{(\bar{0}, \bar{1}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1})\}$ nos da el tercero. Entonces, $\z_2\times\z_2$ es isomorfo al grupo de Klein.

Ejemplo 3. Por último, tomemos $\z_2\times\z_3 = \{(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{0}, \bar{1}), (\bar{0}, \bar{2}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1}), (\bar{1}, \bar{2})\}$.
Observemos que $o(\bar{1}, \bar{1}) = 6.$
Tenemos que $\z_2\times\z_3 = \left< (\bar{1}, \bar{1}) \right>$ y así $\z_2\times\z_3 \cong \z_6$.

Dos funciones naturales

Definición. Sean $G_1,\dots, G_n $ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n$. Para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ definimos la inclusión natural
\begin{align*}
\text{inc}_i : G_i\to G \text{ como } \text{inc}_i(g_i) = (e_{G_1},\dots,g_i, \dots, e_{G_n}),
\end{align*}
donde $g_i$ está en la $i$-ésima posición.

Definición. Sean $G_1,\dots, G_n $ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n$. Para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ definimos la proyección natural
\begin{align*}
\pi_i : G\to G_i \text{ con } \pi_i(g_1,\dots,g_n) = g_i.
\end{align*}

Observación 1 . $\text{inc}_i$ es un monomorfismo.

Observación 2 . $\pi_i$ es un epimorfismo.

Notación. $G_i^* = \text{inc}_i\lceil G_i\rceil = \{e_{G_1}\}\times \cdots \times G_i \times\cdots\{e_{G_n}\}.$

Observación 3. Para $G = G_1\times\cdots\times G_n$, los siguientes incisos son ciertos:

  1. $G_i\cong G_i^*$,
  2. $G_i^* \unlhd G$ y
  3. $G/G_i^* \cong G_1\times \cdots \times G_{i-1}\times G_{i+1} \times\cdots G_n.$

Demostración.
$\text{inc}_i$ es un monomorfismo y si restringimos a su imagen $G_i^*$ obtenemos un epimorfismo, dando un isomorfismo de $G_i$ a $G_i^*$.

Ahora $\varphi: G \to G_1\times \cdots \times G_{i-1}\times G_{i+1} \times \cdots \times G_n$ con $\varphi(g_1,\dots, g_n) = (g_1, \dots, g_{i-1}, g_{i+1},\dots, g_n)$ es un epimorfismo y $\text{Núc }\varphi = G_i^*$, probando con ello que $G_i^* \unlhd G$. Además, por el 1er teorema de isomorfía
\begin{align*}
G/G_i^* \cong G_1 \times \cdots \times G_{i-1} \times G_{i+1} \times\cdots G_n.
\end{align*}

$\blacksquare$

Observación 4. Sean $i\neq j$, $x\in G_i^*$, $y\in G_j^*$. Entonces $x*_ny = y*_nx$.

¿Y si ahora recuperamos $G$ a partir de los $G_i^*$?

En la entrada Producto de subgrupos y clases laterales, definimos el producto de dos subgrupos. Generalicemos esta idea para una cantidad finita de subgrupos:

Definición. Sea $G$ un grupo. Dados $H_1,\dots,H_n$ subgrupos de $G$, el producto de $H_1,\dots, H_n$ es
\begin{align*}
\prod_{i = i}^n H_i = H_1\cdots H_n = \{h_1h_2\cdots h_n\;|\; h_i \in H_i ;\forall i\in \{1,\dots,n\} \}.
\end{align*}

Observemos que para realizar el producto de $h_1h_2\cdots h_n$ sólo usamos la operación del grupo $G$ porque todas las $H_i$ son subgrupos de $G$. Sin embargo, como estudiamos en la entrada Producto de subgrupos y clases laterales, el conjunto $ H_1\cdots H_n$ no necesariamente es un subgrupo ya que la operación no siempre es cerrada. En la siguiente entrada agregaremos condiciones a los subgrupos $H_i$ para que $ H_1\cdots H_n$ sí sea un subgrupo de $G$.

Relacionemos ahora el producto directo externo con el producto de los subgrupos $G_i^*$ antes definidos:

Proposición. Sean $G_1,\dots, G_n$ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n.$

  1. $G_i^* \unlhd G \quad \forall i\in\{1,\dots,n\}$.
  2. $\displaystyle G_i^* \cap \left( \prod_{j\neq i} G_j^*\right) = \{e_G\} \text{ para toda }i\in\{1,\dots,n\}$.
  3. $\displaystyle G = \prod_{i = 1}^n G_i^*$.

Demostración.
Sean $G_1,\dots, G_n$ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n$.

  1. Por la observación 3: $G_i^* \unlhd G$, para toda $i\in\{1,\dots, n\}$.
  2. La contención $\displaystyle \{e_G\} \subseteq G_i^* \cap \left( \prod_{j\neq i} G_j^*\right) $, donde $e_G = (e_{G_1},\dots, e_{G_n})$, es clara. Así que probaremos la otra.
    Sea $\displaystyle g = (g_{1}, \dots, g_n) \in G_i^* \cap \left(\prod_{j\neq i}G_j^*\right)$.
    Como $g\in G_i^* = \{e_{G_1}\}\times\cdots\times G_i\times \cdots \times \{e_{G_n}\}$, entonces la $j$-ésima entrada de $g $ es $g_j = e_{G_j}$ para toda $j\neq i$.
    Como $\displaystyle g \in \prod_{j\neq i} G_j^*$, $g = h_1 \cdots h_{i-1}\,h_{i+1} \cdots h_n$ con $h_j \in G_j^*$ para toda $j\neq i$.
    Dado que cada $h_j \in G_j^*$ y $j\neq i$, la entrada $i$ de cada $h_j$ es $e_{G_i}$, por lo tanto la entrada $i$ de $g$ es $e_{G_i}$.
    Por lo tanto $g = (e_{G_1},\dots, e_{G_n}) = e_G$.
  3. Como $G_i^*\subseteq G$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$, entonces $\displaystyle \prod_{i = 1}^n G_i \subseteq G.$
    Ahora, si $g\in G$,
    \begin{align*}
    g = (g_1,\dots, g_n) = (g_1,e_{G_2},\dots, e_{G_n})(e_{G_1}, g_2,e_{G_3},\dots,e_{G_n}) \cdots (e_{G1},\dots, e_{G_{n-1}}, g_n).
    \end{align*}
    Entonces $\displaystyle g\in \prod_{i = 1}^n G_i^*.$
    Por lo tanto $\displaystyle G = \prod_{i= 1}^n G_i^*$.

$\blacksquare$

Lo anterior muestra que un producto directo externo es un producto de subgrupos normales que cumple el inciso 2 de la proposición.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra las observaciones 1, 2 y 4:
    • $\text{inc}_i$ es un monomorfismo.
    • $\pi_i$ es un epimorfismo.
    • Sean $i\neq j$, $x\in G_i^*$, $y\in G_j^*$. Entonces $x*_ny = y*_nx$.
  2. Sean $G_1, \dots, G_n$ grupos finitos, demuestra que el orden de su producto directo externo es $|G_1||G_2|\dots |G_n|.$
  3. Prueba que el centro de un producto externo es el producto externo de los centros, esto es: $$Z(G_1\times G_2 \times \dots \times G_n) = Z(G_1) \times Z(G_2) \times \dots \times Z(G_n).$$ Deduce que el producto directo externo de grupos abelianos es abeliano.
  4. Sea $G = A_1 \times A_2 \dots \times A_n$ y para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ sea $B_i \unlhd A_i$. Prueba que $B_1 \times B_2 \times \dots \times B_n \unlhd G$ y que $$(A_1 \times A_2 \dots \times A_n) / (B_1 \times B_2 \times \dots \times B_n) \cong (A_1/B_1) \times (A_2/B_2) \times \dots \times (A_n/B_n).$$
  5. Sean $A$ y $B$ dos grupos finitos y sea $p$ un primo.
    • Prueba que cualquier $p$-subgrupo de Sylow de $A\times B$ es de la forma $P\times Q$, donde $P$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $A$ y $Q$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $B$.
    • Prueba que además, la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow de $A\times B$ es igual a la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow de $A$ por la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow de $B$, es decir: $$r_p(A\times B) = r_p(A)r_p(B).$$
    • Generaliza este resultado para el producto directo externo de una cantidad finita de grupos, es decir, para $A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$ determina que sus $p$-subgrupos de Sylow son el producto directo externo de $p$-subgrupos de Sylow de sus factores.

Más adelante…

La última proposición es prácticamente la conclusión de esta entrada, porque iniciamos definiendo a $G$ como el producto de grupos externos a él y terminamos describiendo a $G$ como producto de subgrupos específicos de él mismo. ¿Habrá alguna manera de generalizar esto, es decir, cuándo un grupo $G$ se podrá expresar como un producto de subgrupos específicos de él mismo? Esta pregunta nos lleva a la definición del producto directo interno que se dará en la siguiente entrada.

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Álgebra Moderna I: Cuarto Teorema de Isomorfía

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía, para entenderlo mejor es necesario ilustrarlo con diagramas de retícula.

Sean $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$. Recordemos que podemos escribir todos los subgrupos de $G$ en una retícula. Como estamos considerando a todos los subgruposde $G$, el subgrupo más pequeño es el conjunto que contiene sólo al neutro $\{e_G\}$. Así, $G$ va hasta arriba del diagrama y $\{e_G\}$ al final.

Por otro lado, como $H\unlhd G$, tiene sentido considerar otro diagrama, el del grupo $G/N$. De la misma manera que en el anterior, hasta abajo colocaríamos $\{e_{G/N}\}$ que es el conjunto unitario de $\{N\}$.

Diagramas de retícula de $G$ y de $G/N$.

Luego, como $N \unlhd G$. Podemos tomar un subgrupo $H$ de $G$ que contenga $N$ y colocarlos en el diagrama. Además, esto nos daría la existencia de $H/N \leq G/N$, entonces podríamos dar una correspondencia de $H \mapsto H/N$. Esto nos da una relación entre ambas retículas (la de $G$ y la de $G/N$):

\begin{align*}
G &\longmapsto G/N\\
H &\longmapsto H/N\\
N &\longmapsto \{e_G\} = \{N\}.
\end{align*}

La relación que existe entre la retícula desde $N$ a $G$ y la retícula de $G/N$ además de ser biyectica tiene otras propiedades, por ejemplo, si existe $N\leq K \unlhd H$, entonces $K/N \unlhd H/N$. Estas propiedades son las que veremos en el teorema que nos compete.

Diagramas de retícula de $G$ y de $G/N$ con correspondencia.

Enunciado y demostración del Teorema

A continuación veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía (CTI), también conocido como Teorema de la Correspondencia.

Teorema. (Cuarto Teorema de Isomorfía)
Sea $G$ un grupo, $N$ subgrupo normal de $G$, $\pi: G \to G/N$ con $\pi(a) = aN$ (la proyección canónica) para toda $a\in G$. Consideremos

\begin{align*}
\text{Sub}_N^G &= \{H| N\leq H \leq G \}, \\
\text{Sub}_{ G/N} &= \{\mathcal{H} | \mathcal{H} \leq G/N\}.
\end{align*}

Entonces $\pi$ define una correspondencia biyectiva
\begin{align*}
F: \text{Sub}_N^G \to \text{Sub}_{ G/N}
\end{align*}
con $F(H) = \pi [H] = H/N$ para todo $H \in \text{Sub}_H^G$.

Además, si $H,K\in \text{Sub}_N^G$:

  1. $K\leq H$ si y sólo si $K/N \leq H/N$ y en este caso $[ H:K] = [H/N : K/N]$.
  2. $K \unlhd H$ si y sólo si $K/N \unlhd H/N$.
  3. $\left< H\cup K \right> / N = \left< H/N \cup K/N \right>$.
  4. $(H\cap K) / N = (H/ N) \cap (K/N)$.

Demostración.

Sean $G$ un grupo, $N\unlhd G$, $\pi:G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para toda $a\in G$.
Sean
\begin{align*}
\text{Sub}_N^G &= \{H\,|\, N\leq H \leq G \}, \quad
\text{Sub}_{ G/N} = \{\mathcal{H} | \mathcal{H} \leq G/N\}.
\end{align*}

Definimos
\begin{align*}
F: \text{Sub}_N^G \to \text{Sub}_{ G/N}
\end{align*}
con $F(H) = \pi[ H] = H/N$ para todo $H \in \text{Sub}_H^G$. Donde $\pi[H]$ es la imagen directa de $H$ bajo $\pi$.

Como $\pi$ es un homomorfismo y $H\leq G$ entonces $\pi[H]\leq \pi[G ]$, es decir $H/N\leq G/N$, entonces $F$ está bien definida.

Veamos que $G$ es inyectiva, para ello probemos la primera parte del inciso 1.
Sean $H, K \in \text{Sub}_N^G$.
P.D. $K \leq H \Leftrightarrow K/N \leq H/N$.

$|\Rightarrow]$ Supongamos que $K \leq H$. Sea $x \in K/N, x = kN$ con $k\in K.$

Como $K\subseteq H$, $k\in H$ y así $x = kN \in H/N$. Por lo tanto $K/N \leq H/N$.

$[\Leftarrow|$ Supongamos que $K/N \leq H/N.$ Sea $k\in K$, tenemos las siguientes implicaciones:
\begin{align*}
k N \in K/N &\Rightarrow kN \in H/N &\text{pues } K/N \leq H/N \\
&\Rightarrow kN = hN \;\text{con } h\in H \\
& \Rightarrow k = hn\; \text{con } h\in H, n\in N &\text{por } k \in kN = hN\\
& \Rightarrow k \in H & \text{ya que } N \subseteq H.
\end{align*}

Por lo tanto $K \leq H$.

De este modo, si $H,K \in \text{Sub}_N^G $ son tales que $F(H) = F(K)$, entonces $H/N = K/N$, así
\begin{align*}
H/N \leq K/N &\Rightarrow H \leq K \\
K/N \leq H/N &\Rightarrow K \leq H,
\end{align*}

ambas implicaciones son consecuencia de lo que acabamos de probar del inciso 1 de CTI. Así, $H=K$.

Veamos que $F$ es suprayectiva. Se $\mathcal{H} \in \text{Sub}_{G/N}$, es decir $\mathcal{H} \leq G/N$. Como $\pi: G \to G/N$ es un homomorfismo y $\{N\}\leq \mathcal{H} \leq G/N$, entonces $N \leq \pi^{-1}[\mathcal{H}] \leq G$.

Diagrama de la imagen inversa de $\mathcal{H} = \pi^{-1}[\mathcal{H}]$.

Nos vamos a fijar en el subgrupo $\pi^{-1} [\mathcal{H}]$, porque nos va a servir para probar la suprayectividad que buscamos.
Entonces apliquemos $F$: $$F(\pi^{-1} [\mathcal{H} ]) = \pi [\pi^{-1}[\mathcal{H}]]= \mathcal{H}$$ pues $\pi$ es suprayectiva. Así, $F$ es suprayectiva.

Probaremos ahora la segunda parte del inciso 1).
Sean $H,K\in \text{Sub}_N^G$, con $K\leq H$.
P.D. $[H: K ] = [H/N: K/N]$.

Recordemos que $[H/N : K/N]$ es la cardinalidad de $\{(hN)K/N \,|\, hN \in H/N\}$.

Para simplificar, denotaremos a $K/N$ por $K^*$ y como $\pi (h) = hN$, entonces $[H/N : K/N ]$ es la cardinalidad de $\{\pi(h)K^* | h\in H\}.$

P.D. $\{hK | h \in H \}$ y $\{\pi(h)K^*|h\in H\}$ tienen la misma cardinalidad.

Sea $f: \{hK | h \in H\} \to \{\pi(h)K^*| h\in H\}$ definida por $f(hK) = \pi(h)K^*$ para toda $h\in H$. Demostraremos que es una función biyectiva.
Primero, veamos que $f$ está bien definida. Tomemos $h, \tilde{h} \in H$. Tenemos las siguientes implicaciones:

\begin{align*}
hK = \tilde{h}K &\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} \in K \\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} N \in K/N = K^*\\
&\Rightarrow \pi(h^{–1}\tilde{h}) \in K^* & \text{definición de }\pi\\
&\Rightarrow \pi(h)^{-1} \pi(\tilde{h}) \in K^* & \pi\text{ es homomorfismo}\\
&\Rightarrow \pi(h)K^* = \pi(\tilde{h})K^*.
\end{align*}
Por lo tanto, $f$ está bien definida.

Ahora veamos que $f$ es inyectiva. Sean $hK,\tilde{h}K$ con $h,\tilde{h}\in H$, tales que $f(hK) = f(\tilde{h}K)$. Seguiremos las siguientes implicaciones,

\begin{align*}
f(hk) = f(\tilde{h}K) & \Rightarrow \pi(h)K^* = \pi(\tilde{h})K^* &\text{definición de }f \\
&\Rightarrow \pi(h)^{-1}\pi(\tilde{h}) \in K^* \\
&\Rightarrow \pi(h^{–1}\tilde{h}) \in K^* &\pi\text{ es homomorfismo}\\
&\Rightarrow h^{–1}\tilde{h}N\in K^*&\text{definición de }\pi\\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h}N = kN \text{ con } k \in K & \text{porque }K^* = K/N\\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} = kn, k\in K, n\in N &\text{porque } h^{-1}\tilde{h}\in h^{-1}\tilde{h}N \\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h}\in K &\text{pues } N\subseteq K \\
&\Rightarrow hK = \tilde{h}K.
\end{align*}
Por lo tanto $f$ es inyectiva.

Además, si tenemos $\pi(h)K^*$ con $h\in H$, entonces $\pi(h)K^* = f(hK) \in \text{Im}f$. Por lo tanto $f$ es suprayectiva.

Así,
\begin{align*}
[H:K] &= \# \{hK | h \in H\} \\
&= \#\{\pi(h)K^* | h \in H\} = [H/N:K/N].
\end{align*}

Ahora, demostraremos el inciso 2.

Sean $H,K\in \text{Sub}_N^G$.
P.D. $K \unlhd H \Leftrightarrow K/N \unlhd H/N.$

El inciso 1 (que acabamos de probar) ya nos da que $K \leq H \Leftrightarrow K/N \leq H/N.$ Entonces lo que nos resta probar es que son subgrupos normales.

$|\Rightarrow]$ Supongamos que $K\unlhd H$. Sean $x\in H/N, y \in K/N$, entonces $x = hN, y = kN$ con $h\in H, k\in K$.

Lo que queremos es considerar el conjugado $xyx^{-1}$, es decir, ver que si tomamos un elemento de $K$ módulo $N$ (al que llamamos $y$) y lo conjugamos con cualquier elemento de $H$ módulo $N$ (en este caso $x$), vuelvo a tener un elemento en $K$ módulo $N$. Esto se ve de la siguiente manera:
\begin{align*}
x y x^{-1} = (hN)(kN)(hN)^{-1} = (hN)(kN)(h^{-1}N) = hkh^{-1}N.
\end{align*}

Como $k \in K, h \in H$ y $K\unlhd H$, se tiene que $hkh^{-1} \in K$.

Así, $xyx^{-1} = hkh^{-1} N \in K/N$. Por lo que $K/N \unlhd H/N$.

$[\Leftarrow|$ Supongamos que $K/N \unlhd H/N$. Sean $k\in K, h\in H$.

Veamos qué sucede con la clase $hkh^{-1}N$:
\begin{align*}
hkh^{-1} N = (hN)(kN)(h^{-1}N) = (hN)(kN)(hN)^{-1}
\end{align*}

Es otras palabras, estamos conjugando un elemento de $kN\in K/N$ con un elemento de $kN\in K/N$. Luego, como sabemos que $K/N \unlhd H/N$ obtenemos que esta conjugación sigue estando en $K/N$. Es decir, $hkn^{-1}N\in K/N$.

Podríamos reescribir $hkh^{-1}N = \tilde{k}N$ con $\tilde{k} \in K$. Así,

\begin{align*}
hkh^{-1}N &= \tilde{k}N & \text{con }\tilde{k} \in K\\
\Rightarrow hkh^{-1} &= \tilde{k}n, \tilde{k}\in K, n\in N & \text{por } hkh^{-1} \in hkh^{-1}N = \tilde{k}N \\
\Rightarrow hkh^{-1}&\in K &\text{pues } N\subseteq K.
\end{align*}

Por lo tanto $K\unlhd H$.

$\blacksquare$

Ejemplo de CTI

Ejemplo. Tomemos el grupo diédrico (todas las simetrías de un cuadrado) $D_{2(4)} = \left<a,b \right>$, donde $a$ la rotación de $\frac{\pi}{2}$ y $b$ es la reflexión respecto al eje $x$.

Construyamos la retícula de $D_{2(4)}$: comenzamos con $D_{2(4)}$ hasta arriba, este tiene orden de 8. En el siguiente nivel colocamos los subgrupos:
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> &= \{\text{id}, a^2, b, a^2b\}\\
\left<a\right> &= \{\text{id}, a, a^2, a^3\} \\
\left<a^2,ab\right> &= \{\text{id}, a^2, ab, a^3b\}.
\end{align*}

Cada uno de esos subgrupos tiene orden 4, en realidad esos son los únicos subgrupos de $D_{2(4)}$ que tienen orden 4. Siéntete libre de confirmar las cuentas.

Luego podemos colocar en el tercer nivel los subgrupos de orden 2:
\begin{align*}
\left< b\right> &= \{\text{id}, b\}\\
\left< a^2b\right> &= \{\text{id}, a^2b\}\\
\left< a^2\right> &= \{\text{id}, a^2\}\\
\left< ab\right> &= \{\text{id}, ab\}\\
\left< a^3b\right> &= \{\text{id}, a^3b\}.
\end{align*}

Por último, hasta abajo tenemos al unitario de la identidad $\{\text{id}\}$. Si verificamos las operaciones, nos daremos cuenta que hemos construido todo el diagrama de retícula de $D_{2(4)}$.

Para poder usar el CTI, consideremos $\left<a^2\right> \unlhd D_{2(4)}$ y concentremos nuestra atención en la parte de la retícula que se encuentra entre esos dos (marcada con rojo en la imagen).

Ahora, dibujaremos el diagrama de retícula de $D_{2(4)}/\left<a^2\right>$, éste va hasta arriba. Colocamos los cocientes respectivos en el siguiente nivel, siguiendo esta correspondencia:

\begin{align*}
\left<a^2,b\right> &\longmapsto \left<a^2,b\right> / \left<a^2\right>\\
\left<a\right> &\longmapsto \left<a\right>/ \left<a^2\right>\\
\left<a^2,ab\right> &\longmapsto \left<a^2,ab\right>/ \left<a^2\right>.
\end{align*}

Haciendo las cuentas veremos que:
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> / \left<a^2\right> = \left<b \left<a^2\right>\right>\\
\left<a\right>/ \left<a^2\right> = \left<a \left<a^2\right>\right>\\
\left<a^2,ab\right>/ \left<a^2\right> = \left<ab \left<a^2\right>\right>.
\end{align*}

Construcción de los diagramas de retícula

Por último, haremos una observación. Si tomamos el subgrupos $\left< a^3b\right>$ de orden 2 igual podríamos aplicarle la regla de correspondencia de $F$ y seguirían cayendo en elementos de la retícula de $D_{2(4)}/\left<a^2\right>$ es decir:
\begin{align*}
F(\left< a^3b\right>)=\pi[\left< a^3b\right>] = \{\text{id}\left<a^2\right>, a^3b\left<a^2\right>\} = \left<ab\left<a^2\right>\right>.
\end{align*}

En ese contexto la función con la regla de correspondencia de $F$ no sería biyectiva ya que $F(\left< a^3b\right>)=F(\left< ab\right>)$, pero esto no contradice el Teorema de la Correspondencia porque en realidad $\left< a^3b\right>$ ni siquiera está contemplado en el dominio de $F$ porque no forma parte de la retícula entre $D_{2(4)}$ y $\left<a^2\right>$.

Diagrama de retícula completo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Prueba los incisos 3 y 4 del Teorema de la correspondencia (Cuarto Teorema de Isomorfía).
  2. Encuentra la retícula de sugrupos de $\z$ que contienen a $24\z$.
    • Encuentra la retícula de subgrupos de $\z/24\z$.
    • Compara ambas retículas.
  3. Usando el diagrama reticular de subgrupos de $\z_{36}$ encuentra el de $\z_{36}/N$ donde $N = \{\bar{0}, \overline{12}, \overline{24}\}$.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos la Unidad 3. En la siguiente unidad comenzaremos a ver cómo es posible ver a cualquier grupo como un subgrupo de permutaciones. ¿Puedes imaginártelo?

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