Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad de la función inversa

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Esta entrada será la última referente a las funciones continuas y se hará el estudio de las condiciones necesarias para que, dada una función continua, su inversa también sea continua. Para lograr nuestro objetivo, haremos uso de los conceptos revisados en la entrada anterior e iniciaremos retomando la definición de intervalo y probaremos un teorema que nos permite caracterizarlos.

Intervalos

Anteriormente, se había dado la siguiente definición de intervalos.

Definición: Sean $a,b \in \r$. Definimos los siguientes intervalos en $\RR$ como sigue:

  • Intervalo cerrado
    \[
    [a,b]=\left\{x : a \leq x \leq b\right\}
    \]
  • Intervalo abierto
    \[
    (a,b)=\left\{x : a < x < b\right\}
    \]
  • Abierto por la izquierda / Cerrado por la derecha
    \[
    (a,b]=\left\{x : a < x \leq b\right\}
    \]
  • Abierto por la derecha / Cerrado por la izquierda
    \[
    [a,b)=\left\{x : a \leq x < b\right\}
    \]

Sea $a\in \r$. Para los intervalos que involucran al infinito tenemos las siguientes definiciones:

  • \[
    (-\infty ,a)=\left\{x : x < a \right\}
    \]
  • \[
    (-\infty ,a]=\left\{x : x \leq a \right\}
    \]
  • \[
    (a, \infty) =\left\{x : a < x\right\}
    \]
  • \[
    [a, \infty) =\left\{x : a \leq x\right\}
    \]
  • \[
    (- \infty, \infty)=\r
    \]

Ahora revisaremos un teorema que nos permite caracterizar a los intervalos y éste nos dice que si se toman cualesquiera dos puntos de un intervalo $A$, entonces el intervalo generado por tales puntos está contenido dentro de $A$.

Teorema. Si $A$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$ que contiene al menos dos puntos y tiene la propiedad

$$\text{si } x, y \in A \quad \Rightarrow \quad [x,y] \subset A. \tag{1}$$

Entonces $A$ es un intervalo.

Demostración.

La demostración se divide en cuatro casos de acuerdo a si está o no acotado.

  • Caso 1: $A$ está acotado.
    Dado que $A$ está acotado y $A \neq \varnothing$, podemos definir el supremo y el ínfimo. Sean $a = infA$ y $b = supA.$ Entonces $A \subset [a,b]$. Nos enfocaremos en demostrar que $(a,b) \subset A$.

    Si $z \in (a,b)$, es decir, $a<z<b$, entonces $z$ no es cota inferior de $A$, por lo que existe $x \in A$ tal que $x<z$. De la misma forma, $z$ no es una cota superior de $A$, por lo que existe $y \in A$ tal que $z<y.$ Por lo tanto, $z \in [x,y]$ y por $(1)$ se tiene que $z \in A$. Puesto que $z$ es un elemento arbitrario de $(a,b)$, podemos concluir que $(a,b) \subset A$.

    Notemos que si $a \in A$ y $b \in A$, se tiene que $A= [a,b]$ pues $a$ y $b$ son el ínfimo y supremo respectivamente. Si $a \notin A$ y $b \notin A$, entonces $A = (a,b)$. Si $a \notin A$ y $b \in A$, entonces $A = (a,b]$. Finalmente, si $a \in A$ y $b \notin A$, entonces $A = [a,b)$.

  • Caso 2: $A$ está acotado superiormente pero no inferiormente.
    Definimos $b = supA$. Entonces $A \subset (- \infty, b]$. Veremos que $(- \infty, b) \subset A$.

    Si $z \in (- \infty, b)$, es decir $z<b$, entonces no es cota superior, por lo que existe $y \in A$ tal que $z < y$, además dado que $A$ no está acotado inferiormente, existe $x \in A$ tal que $x < z$. De esta forma, gracias a $(1)$ se tiene que $z \in [x,y] \subset A$. Dado que $z$ es un elemento arbitrario de $(- \infty, b)$, entonces $(-\infty, b) \subset A$.

    Notemos que si $b \in A$, entonces $A = (- \infty, b]$ y si $b \notin A$, entonces $A = (- \infty, b)$.

  • Caso 3: $A$ está acotado inferiormente pero no superiormente.
    La prueba es análoga al caso 2.

  • Caso 4: $A$ no está acotado inferiormente ni superiormente.
    La prueba es muy similar a la de los casos anteriores por lo cual se dejará como tarea moral.

$\square$

Notemos que el regreso también es cierto, es decir, si $A$ es un intervalo, entonces cumple $(1)$ y la demostración también quedará como tarea moral.

Continuidad de la función inversa

El siguiente teorema nos indica que una función continua mapea intervalos en intervalos.

Teorema (Preservación de intervalos). Sea $I$ un intervalo y sea $f: I \to \mathbb{R}$ continua en $I$. Entonces el conjunto $f(I)$ es un intervalo.

Demostración.

Sean $y_1$, $y_2 \in f(I)$ tal que $y_1 < y_2$, entonces existen los puntos $x_1$, $x_2$ tal que $y_1 = f(x_1)$ y $y_2 = f(x_2)$. Por el teorema del valor intermedio, se tiene que si $y \in [y_1,y_2]$, entonces existe $x \in I$ tal que $y = f(x) \in f(I)$. Por lo tanto, se tiene que $[y_1,y_2] \subset f(I)$ y por el teorema de caracterización de intervalos, se concluye que $f(I)$ es un intervalo.

$\square$

Ahora veremos que la monotonía también se preserva bajo la función inversa.

Proposición. Si $f: A \to \mathbb{R}$ es una función estrictamente creciente, entonces $f^{-1}: f(A) \to \mathbb{R}$ también es estrictamente creciente. Si $f$ es estrictamente decreciente, $f^{-1}$ también lo es.

Demostración.

Sea $f$ una función estrictamente creciente y sean $y_1$, $y_2 \in f(A)$ tal que $y_1<y_2$ y sean $x_1 = f^{-1}(y_1)$, $x_2 = f^{-1}(y_2)$.

Supongamos que $x_2 < x_1$, pero $f$ es creciente lo que implica que $y_2 = f(x_2) < f(x_1) = y_1$ lo cual es una contradicción pues $y_1<y_2$. Por lo tanto, $f^{-1}(y_1)=x_1 < x_2 = f^{-1}(y_2)$. Por lo tanto $f^{-1}$ es estrictamente creciente.

La prueba es análoga para el caso donde $f$ es estrictamente decreciente.

$\square$

Los últimos dos teoremas de la entrada hacen referencia a las condiciones que deben estar presentes para que la inversa de una función continua también sea continua.

Teorema. Si $I$ es un intervalo y $f: I \to \mathbb{R}$ es estrictamente monótona, entonces $f^{-1}$ es continua.

Demostración.

Por la proposición, anterior tenemos que $f^{-1}: f(I) \to \mathbb{R}$ también es estrictamente monótona y sabemos que $f(I)$ es un intervalo. Por el teorema revisado en la entrada anterior, concluimos que $f^{-1}$ también es continua.

$\square$

Teorema. Si $I$ es un intervalo y $f: I \to \mathbb{R}$ es continua e inyectiva, entonces $f^{-1}$ es continua.

Demostración.

Por lo revisado en la entrada anterior, sabemos que si $f$ es continua e inyectiva, entonces es estrictamente monótona y se sigue por el teorema anterior que $f^{-1}$ es continua.

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos inicio a una nueva unidad y entraremos a uno de los temas más famosos del cálculo: la derivada. Dentro de esta nueva unidad, veremos a profundidad la definición de derivada, así como su interpretación geométrica y sus propiedades. Una vez se conozcan los fundamentos teóricos, se verán aplicaciones que existen en diversos campos tales como la economía, la física, etc.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba el caso 4 para el teorema de preservación de intervalos.
  • Prueba que si $A$ es un intervalo con al menos dos puntos, entonces se cumple que
    $$\text{si } x, y \in A \quad \Rightarrow \quad [x,y] \subset A.$$
  • Sea $I$ un intervalo y sea $f: I \to \mathbb{R}$ una función inyectiva. Menciona qué relación existe entre las siguientes condiciones:
    • $f$ es continua.
    • $f(I)$ es un intervalo.
    • $f$ es estrictamente monótona.
    • $f^{-1}$ es continua.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: El orden en los enteros

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

En las entradas anteriores introdujimos al conjunto de los números enteros, así como sus operaciones de suma y producto. Lo que haremos ahora es ver cómo ordenar a los elementos en $\mathbb{Z}$. Lo haremos de una forma similar a la que hicimos lo de las operaciones: usando las nociones que ya teníamos definidas en $\mathbb{N}$.

Como recordatorio, en $\mathbb{N}$ dijimos que $a<b$ cuando $a\in b$. De esta noción de «menor que» dimos la noción de «menor o igual que», diciendo que $a\leq b$ cuando ya sea que $a<b$ o bien $a=b$. Vimos que esta relación $\leq$ define un orden parcial en $\mathbb{N}$ que además es tricotómico. Quizás los resultados más importantes para trabajar con esta noción de desigualdad fue ponerla en términos de suma de elementos en $\mathbb{N}$:

  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a<b$ si y sólo si existe un natural $k>0$ tal que $a+k=b$.
  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a\leq b$ si y sólo si existe un natural $k$ tal que $a+k=b$.

Con esto en mente, veamos ahora cómo construir un orden en $\mathbb{Z}$. Antes de hacer eso, conviene primero pensar en números positivos, negativos y el cero.

Los positivos, los negativos y el cero en $\mathbb{Z}$

Ya sabemos que la identidad aditiva en $\mathbb{Z}$ es la clase $\overline{(0,0)}$, que también se puede pensar como la clase $\overline{(a,a)}$ para cualquier $a$ en $\mathbb{N}$. Si tenemos cualquier otra clase $\overline{(a,b)}$, por tricotomía del orden en $\mathbb{N}$ nos quedan sólo otras dos opciones: o bien $a<b$, o bien $b<a$. Esto nos ayudará a definir la noción de positividad y negatividad.

Definición. Sea $\overline{(a,b)}$ un entero. Diremos que ${(a,b)}$ es:

  • Cero si $a=b$,
  • Positivo si $a>b$ y
  • Negativo si $a<b$.

Una vez más, por la tricotomía del orden en $\mathbb{N}$, siempre sucede exactamente una de las posibilidades anteriores. Es importante ver que esta definición está bien hecha, es decir, que no depende de la clase de equivalencia que se eligió. Por ejemplo, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, sucede que $a>b$. Si tomamos $(c,d)$ tal que $(a,b)\sim (c,d)$, nos gustaría ver que también sucede $c>d$. Esto se debe a que $a+d=b+c$. Si tuviéramos $c\leq d$, entonces nos pasaría que $a+d>b+c$ y tendríamos una contradicción. Así, por tricotomía debe pasar $c>d$. El caso de la negatividad se verifica de manera análoga.

Recuerda que el inverso aditivo de un entero $\overline{(a,b)}$ es el entero $-\overline{(a,b)}=\overline{(b,a)}$. Así, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, entonces su inverso aditivo es negativo y viceversa.

Definición. Usaremos la letra $P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros positivos. Usaremos $-P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros negativos.

¿Cómo se comportan estas definiciones con las operaciones que ya tenemos en $\mathbb{Z}$? Ahora tenemos todo lo necesario para poder formalizar oraciones como «negativo por negativo es positivo», o «positivo más positivo es positivo.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple todo lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $P$, entonces su suma está en $P$ y su producto también.
  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $-P$, entonces su suma está en $-P$ y su producto está en $P$.

Demostración. Todas estas afirmaciones se traducen a proposiciones que debemos demostrar en $\mathbb{N}$. En el caso de la primera, debemos ver que si $a>b$ y $c>d$, entonces $a+c>b+d$ y que $ac+bd>ad+bc$. Lo primero es sencillo, pues sale de la compatibilidad de $>$ con la suma de $\mathbb{N}$. Demostremos entonces que $ac+bd>ad+bc$.

Como $a>b$, existe un natural $k>0$ tal que $a=b+k$. Como $c>d$, existe un natural $l>0$ tal que $c=d+l$. Haciendo estas substituciones de $a$ y $c$ en $ac+bd>ad+bc$, obtenemos la siguiente cadena de desigualdades que son equivalentes a lo que debemos demostrar:

\begin{align*}
ac+bd&>ad+bc\\
(b+k)(d+l)+bd&>(b+k)d+b(d+l)\\
bd+bl+kd+kl+bd&>bd+kd+bd+bl.
\end{align*}

La última de estas desigualdades se cumple pues a la izquierda tenemos todos los sumandos que del lado derecho, y además el sumando $kl$ que como $k>0$ y $l>0$, entonces cumple $kl>0$.

Las demostraciones para cuando los elementos son negativos quedan como tarea moral.

$\square$

Al conjunto de enteros positivos también se le conoce en ocasiones como $\mathbb{Z}^+$, y al de enteros positivos también se le conoce como $\mathbb{Z}^-$.

El orden en $\mathbb{Z}$

Estamos listos para definir el orden en $\mathbb{Z}$. Aprovecharemos que ya podemos restar para poner la definición de orden en términos de esta operación.

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$ si $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo.

En realidad la expresión $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es simplemente $\overline{(a+c,b+d)}$, así que otra forma de escribir la condición de la definición es simplemente pedir que $a+c>b+d$. Como siempre sucede que o bien $a+c>b+d$, o que $a+c<b+d$, o que $a+c=b+d$ (y sólo una de ellas), entonces de manera inmediata obtenemos la tricotomía en $\mathbb{Z}$.

Proposición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ siempre sucede exactamente alguna de las siguientes:

  • $\overline{(a,b)}<\overline{(c,d)}$
  • $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$

Como en el caso de los naturales, a partir de la definición de «menor estricto» es sencillo obtener la noción de «menor o igual».

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ si o bien $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo, o bien $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Lo anterior es equivalente a pedir que $a+c\geq b+d$.

Proposición. La relación $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{Z}$.

Demostración. Es inmediato que esta relación $\leq$ es reflexiva, pues $\overline{(a,b)}\leq \overline{(a,b)}$ se obtiene de manera inmediata de la segunda parte de la definición.

Para ver que es antisimétrica, si tuviéramos $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ y $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$, entonces tendríamos las desigualdades $a+c\geq b+d$ y $b+d\geq a+c$, que por la antisimetría en $\mathbb{N}$ implican que $a+c=b+d$, que justo es $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Finalmente, para ver que $\leq$ es una relación transitiva, comenzamos con enteros $\overline{(a,b)}, \overline{(c,d)}, \overline{(e,f)}$ tales que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$.

De la primer desigualdad obtenemos $c+f\geq e+d$ y de la segunda obtenemos que $a+d\geq b+c$. Sumando ambas desigualdades, obtenemos que $c+f+a+d\geq b+c+e+d$. De aquí podemos deducir que $a+f\geq b+e$. Esto precisamente nos dice que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}$, como queríamos.

$\square$

Las dos proposiciones anteriores se pueden resumir en el siguiente enunciado.

Teorema. La relación $\leq$ es un orden total en $\mathbb{Z}$.

Compatibilidad del orden con las operaciones en $\mathbb{Z}$

Lo último que nos queda por mencionar es cómo se comporta la relación $\leq$ en $\mathbb{Z}$ con sus operaciones de suma y producto. A continuación mencionamos algunas de las propiedades que se cumplen, aunque hay varias cosas más que se pueden demostrar.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}+\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}+\overline{(g,h)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es positivo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$$

Demostración.

  • Las hipótesis se pueden escribir como $a+d\leq b+c$ y $e+h\leq f+g$. Sumando ambas y asociando de un modo que nos convenga, obtenemos que $(a+e)+(d+h)\leq (b+f)+(c+g)$. Esto lo que nos dice es que $\overline{(a+e,b+f)}\leq $\overline{(c+g,d+h)}$, que es precisamente lo que queríamos demostrar.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ también. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}-\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$. Así, $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)},$ como queríamos.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ es negativo. Entonces $\overline{(f,e)}=-\overline{(e,f)}$ es positivo. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(f,e)}-\overline{(a,b)}\overline{(f,e)}$. Esta expresión se puede escribir de manera alternativa como $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}-\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}$. Como es positiva, obtenemos justo lo que queríamos.

$\square$

En los ejercicios de la tarea moral explorarás más propiedades de la relación $\leq$ y cómo interactúa con las operaciones en $\mathbb{Z}$.

Más adelante…

Ya tenemos todo lo que necesitamos en los enteros: su definición, sus operaciones y su noción de orden. Sin embargo, aún tenemos una gran dificultad: es muy difícil escribirlos. Cada que queremos referirnos a un entero, debemos usar la clase de equivalencia de una pareja de naturales. Nos gustaría que los enteros fueran algo mucho más intuitivo: los naturales y sus negativos. Lo que haremos en la siguiente entrada es ver cómo formalizar esta idea para que podamos, finalmente, abandonar la notación de parejas de naturales y relaciones de equivalencia. Esto será bastante útil para después entrar en muchas otras propiedades que nos interesan de los enteros como la noción de divisibilidad y otras propiedades aritméticas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Completa las demostraciones de las nociones de positivo, negativo y orden en $\mathbb{Z}$ están bien definidas.
  2. Demuestra que la suma de dos enteros negativos es un entero negativo y que su producto es un entero positivo. Haz una demostración que funcione en general, pero luego verifícalo «a mano» para los enteros $\overline{(3,7)}$ y $\overline{(9,11)}$.
  3. En la entrada dimos la definición formal de $<$ y de $\leq$ en $\mathbb{Z}$, pero aún no hemos definido ni usado los símbolos $>$ y $\geq$ en $\mathbb{Z}$. Formaliza una definición para ellos. Demuestra que $\geq$ también es un orden total en $\mathbb{Z}$.
  4. Demuestra que en $\mathbb{Z}$, si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\geq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  5. Determina si la siguiente propiedad del producto y el orden en $\mathbb{Z}$ siempre es verdadera, o bien si hay ocasiones en las que falla: «Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(g,h)}.»

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad y monotonía

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada estableceremos la relación existente entre la monotonía y la continuidad. Para lo cual haremos un repaso rápido de algunos conceptos revisados previamente.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \to \mathbb{R}$.

  • Se dice que $f$ es creciente si para cada $x_1$, $x_2 \in A$ tales que $x_1 < x_2$, entonces se tiene que $f(x_1) \leq f(x_2)$. Decimos que es estrictamente creciente si se da la desigualdad estricta, es decir, $f(x_1) < f(x_2)$.
  • Análogamente, decimos que $f$ es decreciente si para cada $x_1$, $x_2 \in A$ tales que $x_1 < x_2$, entonces se tiene que $f(x_1) \geq f(x_2)$. Decimos que es estrictamente decreciente si se da la desigualdad estricta, es decir, $f(x_1) > f(x_2)$.
  • Si una función es creciente o decreciente decimos que es monótona. Si la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, decimos que es estrictamente monótona.

Tras haber retomado las definiciones anteriores, vale la pena mencionar que el hecho de que una función sea monótona en un intervalo no implica que sea continua. Podemos considerar como ejemplo:
$$f(x) = \begin{cases}
-1 & \text{ si } x < 0 \\
1 & \text{ si } x \geq 0.
\end{cases}$$

Se tiene que $f$ es monótona en $\mathbb{R}$, pero no es continua en $x=1$.

Funciones continuas que son monótonas

Estamos listos para ver la relación que existe entre la monotonía y la continuidad. Iniciaremos de viendo un resultado que va de continuidad a monotonía.

Teorema. Sea $A = [a, b]$ un intervalo y $f : A \to \mathbb{R}$ una función continua e inyectiva. Entonces $f$ es estrictamente monótona.

Demostración.

Dado que la función es inyectiva, se tiene que $f(a) \neq f(b)$. Así, tenemos dos casos.

  • Caso 1: $f(a) < f(b)$.
    Primero veamos que si $x \in [a,b]$, entonces se tiene que
    $$f(a) \leq f(x) \leq f(b) \tag{1}.$$
    Sea $x \in [a,b]$ y supongamos que $f(x) < f(a)$. Por el teorema del valor intermedio, sabemos que existe $y \in [x, b]$ tal que $f(y) = f(a)$, pero esto contradice la inyectividad. Por tanto, se concluye que $f(a) \leq f(x)$.

    Análogamente, si $x \in [a,b]$ y supongamos que $f(b) < f(x)$. Por el teorema del valor intermedio, existe $y \in [a,x]$ tal que $f(y) = f(b)$, pero esto contradice la inyectividad. Por tanto, se concluye que $f(x) \leq f(b)$.

    Ahora probaremos que $f$ es estrictamente creciente. Sean $x$, $y \in [a,b]$ tal que $x<y$. Por $(1)$, se tiene que $f(x) \leq f(b)$, más aún, se tiene la desigualdad estricta $f(x) < f(b)$ dado que la función es inyectiva y $x< y \leq b$. Tomemos el intervalo $[x,b]$ donde $f$ sigue siendo continua e inyectiva y se cumple que $f(x) < f(b)$, aplicando nuevamente $(1)$, se tiene que $f(x) \leq f(y)$ y por ser $f$ inyectiva se tiene la desigualdad estricta, es decir, $f(x) < f(y)$ y por tanto $f$ es estrictamente creciente.

  • Caso 2: $f(b) > f(a)$.
    Definimos $g: [a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = -f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. De esta forma $g$ también es continua e inyectiva en $[a,b]$. Notemos que $g(a) = -f(a) < -f(b) = g(b)$, es decir, $g(a) < g(b)$; y por el Caso 1, se tiene que si $x$, $y \in [a,b]$ tales que $x <y$, entonces $g(x) < g(y)$, esto implica que $-f(x) < -f(y)$ por lo que se concluye que $f(y) > f(x)$. Es decir, se tiene que $f$ es estrictamente decreciente.

De ambos casos, se concluye que si $f$ es continua e inyectiva en el intervalo $[a,b]$ entonces $f$ es estrictamente monótona.

$\square$

En el teorema anterior, nos limitamos a intervalos de la forma $[a, b]$. Sin embargo, podemos extender aún más este resultado para cualquier tipo de intervalo.

Teorema. Sea $A \subset \mathbb{R}$ un intervalo y $f : A \to \mathbb{R}$ una función continua e inyectiva. Entonces $f$ es estrictamente monótona.

Demostración.

Procederemos a realizar esta demostración por contradicción.

Supongamos que $f : A \to \mathbb{R}$ es una función continua e inyectiva, pero no es monótona. Es decir, existen $x_1,$ $x_2,$ $y_1,$ $y_2 \in A$ tales que

$$ x_1 < y_1, \quad x_2 < y_2 \quad \text{ y } \quad f(x_1) > f(y_1), \quad f(x_2) < f(y_2) \tag{1}.$$

Sea $a = min\{x_1, x_2 \}$ y $b = max \{y_1, y_2\}$.

Haremos uso de un resultado que se probará en la siguiente entrada: Si $A$ es un intervalo, entonces para cualesquiera $x$, $y \in A$, $x < y$, se tiene que $[x,y] \subset A$.

Aplicando lo anterior, tenemos que $[a,b] \subset A$ y así $f$ es continua e inyectiva en el intervalo $[a,b]$. Dado que $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2 \in [a,b]$ y por $(1)$ se sigue que $f$ no es monótona en el intervalo lo cual es una contradicción al teorema anterior. Por tanto, $f$ sí es monótona en $A$.

$\square$

Funciones monótonas que son continuas

Para finalizar, veremos un teorema que relaciona funciones monótonas con la continuidad.

Teorema. Si $f : A \to \mathbb{R}$ es una función creciente y $f(A)$ es un intervalo, entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración.

Supongamos que $f$ es creciente. Sea $x \in A$. Para probar que $f$ es continua en $x$ haremos uso de la relación existente entre el límite de una función y el de una sucesión. Tomaremos una sucesión monótona arbitraria $\{a_n\}$ tal que $a_n \to x$ y probaremos que $\{f(a_n)\} \to f(x)$.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión creciente que converge a $x$. Entonces para todo $n \in \mathbb{N}$ se cumple que $a_n \leq a_{n+1} \leq x$ y debido a que $f$ es creciente se tiene que $f(a_n) \leq f(a_{n+1}) \leq f(x)$. Por lo anterior, se tiene que $\{f(a_n)\}$ es una sucesión creciente y acotada superiormente por lo que también es convergente.

Sea $L = \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n)$, se cumple que $L \leq f(x)$.

Supongamos que $L < f(x)$ y consideremos $y \in \mathbb{R}$ tal que $L < y < f(x)$. Como $\{f(a_n)\}$ es creciente, se sigue que $f(a_1) < y < f(x)$. Dado que $f(A)$ es un intervalo, entonces existe $z \in A$ tal que $f(z) = y$. Se tienen dos casos.

  • Caso 1: $z \geq x$.
    Esto genera una contradicción al hecho de que $f$ es creciente, pues $y = f(z) < f(x)$.

  • Caso 2: $z < x$.
    Como $\{a_n\} \to x$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $z < a_{n_0} < x$ lo que implica que $y = f(z) \leq f(a_{n_0}) \leq f(x)$, lo cual es una contradicción pues estamos suponiendo que $L < y < f(x)$.

De ambos casos, se concluye que $L = f(x)$. Es decir, $\{f(a_n)\} \to f(x)$ y dado que $x$ es un punto arbitrario se $A$, se concluye que $f$ es continua en $A$.

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos qué sucede con la inversa de una función continua para lo cual será fundamental tener presentes los conceptos y teoremas revisados en esta entrada respecto a funciones monótonas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista

  • Da un ejemplo de una función que sea creciente y continua y un ejemplo de una función que sea decreciente y discontinua.
  • Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones crecientes y positivas en un intervalo $A$, entonces su producto es creciente en $A$.
  • Prueba que si $f : A \to \mathbb{R}$ es una función decreciente y $f(A)$ es un intervalo, entonces $f$ es continua en $A$.
  • Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función continua. Prueba que si $f|_{\mathbb{Q}}$ es monótona, entonces $f$ es monótona.
  • Sea $A=[a,b]$ un intervalo y $f: A \to \mathbb{R}$ una función creciente. Entonces el punto $a$ se tiene un mínimo de $f$ y en $b$ un máximo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Axioma del supremo y sus aplicaciones

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Durante toda esta unidad hemos visto una serie de propiedades que cumple el conjunto de los reales $\r$, sin embargo, debemos añadir a la lista una relacionada con la completitud de $\r$: el Axioma del Supremo. Para ello comenzaremos hablando de la completitud de $\r$, lo enunciaremos y veremos algunas de sus consecuencias.

Una idea de completitud en $\r$

La completitud de los reales afirma que el conjunto $\r$ rellena a toda la recta numérica sin dejar agujeros. Por lo que cada número real tiene asignado un punto de la recta real:
$$punto \quad en \quad la \quad recta = número \quad real$$
Previamente hemos hecho uso de esta idea al representar gráficamente al conjunto $\r$ utilizando una recta. En el curso veremos dos enunciados que enunciarán esta propiedad: el Axioma del Supremo y Completitud por Cortaduras de Dedekind.

Consideramos como parte de nuestro conjunto de propiedades al Axioma del Supremo, por lo que el enunciado de Cortaduras de Dedekind será un tema adicional para esta unidad.

Axioma del Supremo

En la entrada anterior ya empezamos a platicar de algunas de las impliciciones del siguiente axioma.

Axioma del Supremo: Si $A \subseteq \r$ es no vacío y $A$ es acotado superiormente entonces existe $\alpha \in \r$ tal que:
$$\alpha = sup(A)$$

Pese a lo simple que pueda parecer, más adelante veremos su importancia, ya que muchos resultados y propiedades de $\r$ son consecuencia de este.

Hablemos del ínfimo

Veremos que el enunciado anterior tiene como una de sus consecuencias a su análogo, hablando ahora del ínfimo de un conjunto.

Teorema del ínfimo: Si $A \subseteq \r$ no vacío y $A$ es acotado inferiormente entonces existe $\beta \in \r$ tal que:
$$\beta= inf(A)$$

Demostración:
Sea $A \neq \emptyset$ acotado inferiormente. Ahora consideremos el siguiente conjunto:
$$ B = \left\{ -x \in \r | x \in A \right\}$$

Como $A$ es acotado inferiormente entonces existe $m \in \r$ que es cota inferior de $A$. Así se cumple la siguiente desigualdad para todos los $x \in A$:

$m \leq x \Leftrightarrow -m \geq -x$ para toda $-x \in B$.
Por tanto, $-m$ es cota superior de $B$. Concluimos así que $B$ es no vacío y acotado superiormente. Aplicando el Axioma del Supremo tenemos que existe $\alpha = sup(B)$.

Recordemos que por definición $\alpha$ cumple:

  1. $\alpha$ es cota superior de $B$ para cualquier $-x \in B$.
  2. Es la menor de las cotas superiores de $B$, por lo que si $\alpha_0$ es cota superior de $B$
    $\Rightarrow \alpha < \alpha_0$
  3. Además $-x \leq \alpha$.

Del punto $3$ observamos que:
$$x \geq -\alpha \quad \forall x \in A.$$
$\Rightarrow -\alpha$ cota inferior de $A$.


Nos falta ver qué $- \alpha$ es la mayor de las cotas inferiores de $A$. Notemos que del punto $2$ tenemos que:
$$ -\alpha>-\alpha_0.$$
donde $-\alpha_0$ es cota inferior de $A$.
$$\therefore -\alpha=inf(A).$$

$\square$

$\mathbb{N}$ y $\r$ no acotados superiormente

Teorema: El conjunto $\mathbb{N}$ no es acotado superiormente.

Demostración: Procederemos por contradicción. Supongamos que $\mathbb{N}$ es acotado superiormente por lo que existe $M \in \r$ tal que $M$ es cota superior de $\mathbb{N}$. Aplicando el Axioma del Supremo existe:
$$\alpha = sup(\mathbb{N})$$

entonces:

  • $\alpha$ es cota superior de $\mathbb{N}$
  • $\alpha$ es la menor de las cotas superiores de $\mathbb{N}$

Como para toda $n \in \mathbb{N}$:
$$n \leq \alpha$$
Y $n+1 \in \mathbb{N}$ entonces:
$$n+1 \leq \alpha \Leftrightarrow n \leq \alpha -1$$

Ya que para toda $n \in \mathbb{N}$ se cumple:
$$n \leq \alpha -1$$

donde vemos que $\alpha -1$ es cota superior de $\mathbb{N}$ y además:
$$\alpha -1 < \alpha \quad \contradiccion$$
lo que contradice la definición de $\alpha$.

$\square$

Corolario: El conjunto $\r$ no es acotado superiormente.

Demostración: Procederemos por contradicción, por lo que supongamos que $\r$ es un conjunto acotado superiormente. Ya que sabemos $\mathbb{N} \subseteq \r$ y $\r$ es acotado tendríamos que:
$\mathbb{N}$ es acotado $\contradiccion$ lo cual es una contradicción al teorema anterior.

$\square$

Propiedad de Arquímedes

Teorema (Propiedad de Arquímedes): Si $x >0$ y $y \in \r$ entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $$y < Nx$$

Demostración (Por contradicción): Suponemos que no se cumple, es decir,
$\exists x >0$ y $y \in \r$ tal que $\forall n \in \mathbb{N}$ ocurre que $y > nx$
Ya que $x>0$ entonces para cualquier $n \in \mathbb{N}$:
$$\frac{y}{x} > n$$
por lo que $\frac{y}{x}$ es cota superior de $\mathbb{N}$.

Concluimos que $\mathbb{N}$ es acotado superiormente lo que sabemos es una contradicción.

$\square$

Corolario: Para todo $x >0$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que
$$ \frac{1}{n} < x$$

Demostración: Ejercicio como Tarea moral.

Ejercicio

Sean $A \subseteq \r$ y $\lambda >0$ con $\alpha = sup(A)$. Para el conjunto
$$\lambda A := \left\{ x:x=\lambda a \quad\text{con}\quad a \in A \right\}$$
Es decir, el conjunto $\lambda A$ consiste en los reales $x$ que son de la forma $x= \lambda a$ para algún $a$ en $A$.
Prueba que existe $sup(\lambda A)$ y que $sup(\lambda A)= \lambda \alpha$.
Demostración:

Sea $a \in A$ entonces se sigue que $a \leq \alpha$ así al multiplicar por $\lambda >0$:
$$\Rightarrow \lambda a \leq \lambda \alpha$$

Ya que $\lambda a =x \in \lambda A \Rightarrow \lambda A$ es acotado superiormente y $\lambda \alpha$ es cota superior.

Aplicando el Axioma del Supremo afirmamos que existe $\beta := sup(\lambda A)$ y además:
$$\beta \leq \lambda \alpha.$$

Falta probar que $\beta \geq \lambda \alpha$
Si tomamos $x \in \lambda A$ entonces $x = \lambda a$ y $\lambda a \leq \beta$:
$$\Rightarrow a \leq \frac{\beta}{\lambda}$$

Y por la definición de supremo se sigue:
$$\alpha \leq \frac{\beta}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda \alpha \leq \beta$$
Así concluimos:
$$\therefore \beta = \lambda \alpha$$
$$\therefore \lambda sup(A) = sup(\lambda A)$$

$\square$

Otras aplicaciones

A continuación sólo enunciaremos un teorema en el cual el Axioma del Supremo es aplicado. Dado que en este punto no hemos revisado los conceptos de sucesión ni de límite, más adelante se verá su demostración.

Teorema: Si $\{ a_n \}$ es una sucesión en $\mathbb{R}$ no decreciente y acotada superiormente entonces es una sucesión convergente.

Más adelante

En la próxima entrada veremos un poco sobre las Cortaduras de Dedekind y la completitud de $\r$, éste será considerado como un tema adicional para esta unidad.

Tarea moral

  • Demuestra que para todo $x >0$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que
    $$ \frac{1}{n} < x$$
  • Prueba que si $a<b$ e $I=(a,b)$ es un intervalo en $\r$ entonces $sup(I)=b$ y $inf(I)=a$.
    Sugerencia: Utiliza el resultado anterior y procede haciendo uso de las respectivas definiciones.
  • Sean $A,B \subseteq \r$ con $\alpha = sup(A)$ y $\beta=sup(B)$. Definimos el siguiente conjunto
    $$ A+B := \left\{ x:x=a+b; a \in A, b \in B \right\}$$
    Demuestra que existe $sup(A+B)$ y que $sup(A+B)= \alpha + \beta$.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad uniforme

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En las entradas anteriores nos enfocamos en estudiar la definición de continuidad y sus propiedades. Especialmente, los teoremas revisados empleaban fuertemente el concepto de continuidad en un intervalo. En esta entrada haremos la revisión de un tipo de continuidad aún más exigente: la continuidad uniforme.

Primero recordemos que una función es continua en un intervalo $A$ si lo es para cada uno de sus elementos. Es decir,

$$\lim_{x \to y} f(x) = f(y) \quad \forall y \in A.$$

En términos de la definición del límite, lo podemos ver de la siguiente forma: Dado $\varepsilon > 0$ y $y \in [a,b]$, existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ tal que $0 < |x – y| < \delta$ se satisface que $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$. Es importante enfatizar que, en general, el valor de $\delta$ dependerá tanto de $\varepsilon$ como de $y$.

Analicemos con mayor detalle los siguientes ejemplos:

$$f(x) = x, \quad g(x) = x^2.$$

Ambas funciones son continuas en todo $\mathbb{R}$. Consideremos $y \in \mathbb{R}$ y calculemos el valor de $\delta$ en términos de un valor dado $\varepsilon > 0$ para probar la continuidad en $y$.

Para la función $f$, consideremos $\delta = \varepsilon$. Si $0<|x-y| < \delta$, entonces

$$|f(x) -f(y)| = |x-y| < \delta = \varepsilon.$$

Para $g$, el valor de delta anteriormente dado no funciona. En este caso, como se probó en una entrada anterior, podemos considerar $\delta’ = min \{ 1, \frac{\varepsilon}{1+2|y|} \}$. Si $0 < |x-y| < \delta’$, entonces

\begin{align*}
|x^2-y^2| & = |x-y||x+y| \\ \\
& < |x-y|(1+2|y|) \\ \\
& < \delta’ (1+2|y|) \\ \\
& \leq \frac{\varepsilon}{1+2|y|} \cdot (1+2|y|) \\ \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

Podemos observar que el valor de $\delta$ para $f$ depende únicamente de $\varepsilon$, mientras que para la función $g$, depende tanto de $\varepsilon$ como de $y$. Esto debido a que $g$ tiene cambios más «drásticos» que $f$.

Continuidad uniforme

Motivado directamente de lo anterior, si $\delta$ funciona para cualesquiera $x$, $y$, es decir, no depende de $y$, entonces tenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Se dice que $f$ es uniformemente continua en $A$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cualesquiera $x$, $y \in A$ que satisfacen $|x-y| < \delta$, entonces $|f(x) – f(y)| < \varepsilon$.

De la definición se sigue que toda función uniformemente continua es continua. Sin embargo, el recíproco no es cierto y como contraejemplo tenemos la función $g(x) = x^2$ que es continua, pero por lo revisado al inicio podemos decir intuitivamente que no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$. Considerando esto, vale la pena mencionar algunos criterios que permiten identificar cuando una función $f$ no es uniformemente continua.

Criterios de no continuidad uniforme. Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $f$ no es uniformemente continua en $A$.
  2. Existe $\varepsilon_0 > 0$ tal que para todo $\delta > 0$ existen los puntos $x_\delta$, $y_\delta$ en $A$ tales que $|x_\delta – y_\delta| < \delta,$ pero $|f(x_\delta) – f(y_\delta)| \geq \varepsilon_0$.
  3. Existe $\varepsilon_0 > 0$ y dos sucesiones $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ tales que $\lim\limits_{n \to \infty} (x_n-y_n) = 0$ y $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Ahora revisaremos un teorema que nos servirá para saber en qué momento se tiene continuidad uniforme en un intervalo de la forma $[a,b]$.

Teorema de continuidad uniforme. Si $f$ es continua en un intervalo acotado y cerrado $[a,b]$, entonces $f$ es uniformemente continua.

Demostración.

Supongamos que $f$ no es uniformemente continua en $[a, b]$. Entonces existe $\varepsilon_0 > 0$ y dos sucesiones $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ en $[a,b]$ tales que $|x_n-y_n| < \frac{1}{n}$, pero $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Dado que $[a, b]$ está acotado, la sucesión $\{x_n\}$ también está acotada. De esta forma, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión $\{ x_{n_k} \}$ de $\{x_n\}$ que converge a un real $z$. Además, como $[a, b]$ es un intervalo cerrado, el límite $z$ pertenece al intervalo (por el corolario revisado en esta entrada). Notemos que para la subsucesión $\{y_{n_k}\}$, se tiene que

$$|y_{n_k} – z| \leq |y_{n_k} – x_{n_k}| + |x_{n_k} – z|.$$

Por lo que se sigue que $\{y_{n_k} \}$ también converge a $z$.

Además, si $f$ es continua en el punto $z$, entonces las subsucesiones $\{f(x_{n_k}) \}$ y $\{f(y_{n_k}) \}$ convergen a $f(z)$. Pero esto es una contradicción, pues $|f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Así, la hipótesis de que $f$ no es uniformemente continua en el intervalo acotado y cerrado $[a, b]$ implica que $f$ no es continua en algún punto $z \in [a,b]$. Por tanto, concluimos que si $f$ es continua en todo punto del intervalo $[a, b]$, entonces $f$ es uniformemente continua.

$\square$

Retomando el ejemplo $g(x) = x^2$, $g$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$, sin embargo, sí es uniformemente continua en cualquier intervalo $[a,b]$. En particular, podemos modificar ligeramente el valor de delta que se propuso anteriormente $\delta’ = min \{ 1, \frac{\varepsilon}{1+2|y|} \}$, y usar en su lugar $\delta = min \{ 1, \frac{\varepsilon}{1+2 max\{|a|, |b| \}} \}$. Notemos que este último valor no depende de $y$.

Funciones Lipschitz

Probar mediante la definición que una función es uniformemente continua puede ser una tarea difícil. Por ello, revisaremos una condición que, de cumplirse, nos facilitará este problema.

Definición. Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Si existe una constante $K > 0$ tal que
$$|f(x) – f(y)| \leq K|x-y|$$

para todos $x$, $y \in A$, entonces se dice que $f$ es una función de Lipschitz en $A$.

La definición anterior nos permite clasificar a las funciones que cumplen que

$$\frac{|f(x) – f(y)|}{|x-y|} \leq K, \quad x \neq y.$$

Observemos que el miembro izquierdo de la desigualdad es el valor absoluto de la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(x, f(x))$ y $(y, f(y))$. Así, podemos interpretar que una función es de Lipschitz si la pendiente de la recta formada por cualesquiera dos puntos en la gráfica de $f$ está acotada por algún valor $K$.

Teorema. Si $f: A \to \mathbb{R}$ es una función de Lipschitz, entonces $f$ es uniformemente continua.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Como $f$ es una función de Lipschitz, existe $K > 0$ tal que para cualesquiera $x, y \in A$, $|f(x) – f(y)| \leq K|x-y|.$

Consideremos $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$. Si $|x-y| < \delta$, entonces se tiene que

\begin{align*}
|f(x)-f(y)| & < K|x-y| \\
& < K \frac{\varepsilon}{K} \\ 
& = \varepsilon.
\end{align*}

Por tanto, $f$ es uniformemente continua.

$\square$

Revisemos un ejemplo donde se prueba continuidad uniforme a través del teorema anterior.

Ejemplo 1. La función $f(x) = x^2$ es uniformemente continua en $A = [0, b]$, con $b > 0$.

Demostración.

Notemos que

\begin{align*}
|f(x)-f(y)| & = |x^2 – y^2| \\
& = |x+y||x-y| \\
& \leq 2b |x-y|.
\end{align*}

$$\therefore |f(x)-f(y)| \leq 2b |x-y|.$$

Consideremos $K = 2b$. Como $f$ es de Lipschitz, entonces es uniformemente continua.

$\square$

Cabe resaltar que no toda función uniformemente continua es de Lipschitz, para probarlo veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. La función $f(x) = \sqrt{x}$ es uniformemente continua en $A = [0,2]$, pero no es de Lipschitz.

Demostración.

Como $f$ es continua en el intervalo cerrado y acotado $[0,2]$, entonces $f$ es uniformemente continua.

Consideremos $x$, $y \in A$ con $y = 0$, $x \neq 0$ y supongamos que existe $K > 0$ tal que $|f(x)-f(0)| \leq K|x – 0|$, es decir $|g(x)| < K|x|$. Entonces

\begin{gather*}
& |\sqrt{x}| < K |x|.
\end{gather*}

Como $x \in A$, se sigue que
\begin{gather*}
& \sqrt{x} < K x. \\ \\
\Leftrightarrow & \frac{\sqrt{x}}{x} < K. \\ \\
\Leftrightarrow & \frac{1}{\sqrt{x}} < K \tag{1}.
\end{gather*}

Además, notemos que $1<K+1$, esto implica que $1<(K+1)^2$. Es decir, $ \frac{1}{(K+1)^2} < 1$. Por tanto, $\frac{1}{(K+1)^2} \in (0,1) \subset A$.

De está forma, podríamos considerar particularmente a $x \neq 0$ como $x = \frac{1}{(K+1)^2}$. Sin embargo, también debe cumplir $(1)$, esto implica que $K +1 < K$. Lo cual es una contradicción. Por tanto, $f$ no es de Lipschitz.

$\square$

Finalmente, veremos un ejemplo donde usamos los dos teoremas vistos en esta entrada con la finalidad de probar continuidad uniforme.

Ejemplo 3. Prueba que la función $f(x) = \sqrt{x}$ es uniformemente continua en $A = [0, \infty)$.

Demostración.

Del ejemplo anterior, sabemos que $f$ es uniformemente continua en el intervalo $[0,2]$. Ahora probaremos que también lo es en el intervalo $[1,\infty).$

Sean $x$, $y \in [1, \infty)$, entonces se tiene que

\begin{align*}
|f(x)-f(y)| & = | \sqrt{x}-\sqrt{y}| \\
& = | \sqrt{x}-\sqrt{y}| \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \\
& = \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \\
& \leq \frac{1}{2} |x-y|.
\end{align*}

Por lo tanto, $f$ es una función de Lipschitz en el intervalo $[1, \infty)$. Por lo que se sigue que es uniformemente continua en tal intervalo. Como $f$ es uniformemente continua en $[0,2]$ y $[1, \infty)$, entonces también lo es en $A = [0,2] \cup [1, \infty).$

$\square$

Más adelante…

En las siguientes entradas complementaremos el estudio de las funciones continuas revisando propiedades específicas relacionas con las funciones monótonas. Adicionalmente, responderemos una pregunta que surge de forma muy natural: si $f$ es una función continua, ¿qué sucede con su inversa?

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Da un ejemplo de función que sea uniformemente continua.
  • Demostrar que la función $f(x) = \frac{1}{x}$ es uniformemente continua en $[a, \infty)$ siendo $a$ una constante positiva.
  • Prueba que la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ no es uniformemente continua en $(0, \infty)$. Sugerencia: Usa el criterio 3 de no continuidad uniforme y considera las sucesiones $\{ \frac{1}{n} \}$ y $\{ \frac{1}{n+1} \}.$
  • Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones uniformemente continuas en $A \subset \mathbb{R}$, entonces $f+g$ también es uniformemente continua en $A.$
  • Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones uniformemente continuas en $A \subset \mathbb{R}$ y ambas están acotadas en $A$, entonces $f \cdot g$ es uniformemente continua en $A.$

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