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Álgebra Superior I: Introducción a números naturales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

Hasta ahora hemos hablado de conceptos introductorios de conjuntos, lógica, funciones y relaciones. Ahora empezaremos a ver más aplicaciones de estos fundamentos matemáticos, y en esta unidad empezaremos a hablar de un concepto que muchos de nosotros usamos todos los días y uno de los conceptos clave que históricamente es la base del estudio matemático en muchas culturas: los números naturales.

Empezando a contar

Vamos a pensar en los números que nosotros usamos para contar, cuando estamos pagando algún objeto, pensamos en unidades de dinero, un objeto $x$ puede costar $10$ monedas, en una tienda, puede haber $5$ camisas, $2$ pantalones y como se agotaron los zapatos, podemos decir que hay $0$ zapatos.

A estos números que usamos para contar, les llamaremos «números naturales», el término de natural viene del hecho que es un concepto que se viene de forma intuitiva, o a que surgen naturalmente a raíz de las necesidades de las distintas culturas que han existido a lo largo de la historia. Esta idea de pensar a los números naturales es buena para tener una intuición de cómo funcionan, sin embargo vamos a abstraer un poco la idea de lo que significa un número en esta y las siguientes entradas, desde su definición hasta la forma en que se suman y se multiplican, por ejemplo.

Los axiomas de Peano

Giuseppe Peano fue un matemático del siglo XIX que llegó a formalizar el término de «número natural», explicando algunas reglas que cumplían los números naturales, antes de ver cómo se construyen estos, veamos cuáles son estas reglas o axiomas que estableció Peano.

Para Peano, los números naturales son un conjunto al que denominaremos por $\mathbb{N}$ junto con una relación $\sigma \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} $, es decir considera a una pareja de términos $( \mathbb{N} , \sigma)$ que cumplirán los siguientes axiomas:

Axioma 1. Existe un elemento especial en $ \mathbb{N} $ que denominaremos por $0$.

Axioma 2. Para cada elemento $m \in \mathbb{N} $ existirá un único elemento $n \in \mathbb{N} $ tal que $(m,n) \in \sigma$, es decir $\sigma$ es una función.

Axioma 3. Para todo número natural $n$, sucede que $\sigma(n) \neq 0$.

Axioma 4. $\sigma$ es una función inyectiva.

Axioma 5 (Primer principio de inducción). Si $S$ es un subconjunto de $ \mathbb{N} $ tal que:

  1. $0 \in \mathbb{N}$
  2. Para cada número $n \in S$, sucede que $\sigma(n) \in S$

Entonces $S=\mathbb{N}$

Normalmente a la función $\sigma$ se le conoce como la función sucesora. Pensemos en esto con la intuición que tenemos sobre el sucesor de un número. Primero notemos que podemos resumir los primeros cuatro axiomas diciendo que $\sigma$ es una función biyectiva $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Para ver eso, consideremos la siguiente proposición:

Proposición. $Im(\sigma)=\mathbb{N}\setminus \{0\}$.

Demostración. Para esta demostración, solo basta probar que $Im(\sigma) \supset \mathbb{N}\setminus \{0\}$. Ahora supongamos que $n \in Im(\sigma)$, entonces como $n \in \mathbb{N}$ sucede que $\sigma(n) \in Im(\sigma)$. Como $\mathbb{N}$ satisface los axiomas de Peano y el conjunto $Im(\sigma) \cup \{0\}$ satisface las condiciones del axioma 5, entonces $Im(\sigma) = \mathbb{N}$. De tal manera que $(Im(\sigma) \cup \{0\}) \setminus \{0\} = \mathbb{N} \setminus \{0\}$, esto debido a que $0$ no es sucesor de ningún número.

$\square$

Construcción de los números naturales

Normalmente llamamos a este conjunto de los números naturales al conjunto $\{0,1,2,3,\dots\}$ y la función sucesora es la función: $$\begin{align*}1&\xrightarrow{\sigma}2\\ 2&\xrightarrow{\sigma}3\\ 3&\xrightarrow{\sigma}4 \\&\vdots\end{align*}$$ Es decir, es la función que a cada número lo manda a su sucesor. Esta forma de pensar a los números es la habitual, y de hecho cualquier sistema numérico que satisfaga los axiomas, será equivalente a los números naturales, es decir que existe un único sistema numérico que cumpla los axiomas de Peano salvo isomorfismos. No te preocupes si no entiendes este término aún, solo es otra forma de decir que podemos pensar a los números naturales como cualquier conjunto que cumpla los axiomas.

A continuación vamos a presentar una forma conjuntista de construir a los números naturales. Para ello, nos olvidaremos un rato de los axiomas de Peano y daremos algunas definiciones.

Definición. Sea $S$ un conjunto, entonces el sucesor $\sigma(S)$ de $S$ es el conjunto $$\sigma(S)= S \cup \{S\} $$.

Por ejemplo:

  1. $\sigma(\emptyset) = \{\emptyset\}$
  2. $\sigma(\{\emptyset\}) = \sigma(\sigma(\emptyset))=\{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\}$.

Definición. Un conjunto $X$ es inductivo si:

  1. $\emptyset \in X$
  2. $x \in X \Rightarrow \sigma(x) \in X.$

Ahora definamos al conjunto $\mathbb{N}$ como el conjunto formado por $\emptyset$ y los elementos resultantes de la aplicación iterativa de la función sucesora, es decir: $$ \mathbb{N} = \{\emptyset, \sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),\sigma(\sigma(\sigma(\emptyset))),\dots \}$$ Por construcción, este es un conjunto inductivo.

Con esto en mente, podemos entonces pensar a estos números naturales como a los conjuntos $$\begin{align*}&\emptyset\\
&\{\emptyset\} \\
&\{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\
&\{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} \cup \{ \{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} \}= \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ &\dots \end{align*}$$

Uniendo con los axiomas de Peano

Ahora veremos que de hecho estos conjuntos cumplen los axiomas de Peano.

Teorema. $\mathbb{N}$ cumple los axiomas de Peano.

Demostración. Recordemos que primero deberíamos demostrar que $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \emptyset$ es una función biyectiva. Para ello, notemos que es inyectiva, para probar esto, supongamos que $n,m \in \mathbb{N}$ tales que $\sigma(n)=\sigma(m)$. Como $n \in \sigma(n)$ entonces $n \in \sigma(m)$. Esto significa que $n \in m \lor n=m$. De la misma manera $m \in m \lor n=m$. De manera que al cumplirse las dos condiciones al mismo tiempo sucede que $(n \in m \land m \in n) \lor m=n$. La primera condición resulta en una contradicción de la teoría de conjuntos que no revisaremos en este curso1.
Además. $\sigma$ también es suprayectiva, pues recordemos que por construcción, cada elemento de $\mathbb{N}\setminus(\emptyset)$ es de la forma $\sigma(n)$. Así que si consideramos cualquier elemento $m \in \mathbb{N}\setminus(\emptyset) $ existirá $n \in \mathbb{N}$ tal que $\sigma(n)=m$. De esta forma, la función es biyectiva.

Ahora, para ver que se cumple el quinto axioma, recordemos que $ \mathbb{N}$ es un conjunto inductivo. Ahora, veamos que si $\emptyset$ es nuestro elemento como en el axioma 1, se cumple del primer al cuarto axioma. Además, se cumplirá el quinto axioma, pues el $0$ de este conjunto es $\emptyset$. Así, el conjunto satisface los axiomas de Peano.

$\square$

Para usar la notación normal de los números naturales, vamos a escribir la numeración normal que conocemos:
$$\begin{align*}
&0 \rightarrow\emptyset\\
&1 \rightarrow \{\emptyset\} \\
&2 \rightarrow \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\
&3 \rightarrow \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ &\dots \end{align*}$$

Notas

  1. En particular la contradicción de la demostración es con un axioma que se llama el axioma de regularidad, este axioma se revisa en cursos específicos de Teoría de Conjuntos o en cursos de Lógica y Conjuntos

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. ¿Cuál es el sucesor del conjunto $\{1,\{2,3\}\}$?
  2. Demuestra que para cada conjunto $S$, $\sigma(S)$ tiene al menos un elemento.
  3. Demuestra que para cualquier conjunto $X$, $|X|=n$ si y solo si existe una biyección entre $X$ y $n$.

Más adelante…

El quinto axioma de Peano que también se le conoce como primer principio de inducción como está definido es muy útil para pensar algunas cosas de las matemáticas que tienen que ver con números naturales. Es incluso tan importante este axioma que existe un tipo de demostración matemática que no hemos revisado y será el uso de este axioma para las «demostraciones por inducción»

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Álgebra Superior II: La construcción de los naturales

Por Roberto Manríquez Castillo

Introducción

En la entrada pasada presentamos los axiomas de Peano como una formalización de por qué los naturales se comportan como nuestra intuición nos indica. Sin embargo, también vimos que, por si mismos, los axiomas de Peano no nos dicen cómo hacer una construcción de los naturales a partir de conceptos previos. Para intentar lograr esto, introdujimos la definición del sucesor de un conjunto arbitrario y empezamos a iterarla en el conjunto vacío para generar una lista de conjuntos, que relacionamos con los números naturales que conocemos.

Por último, notamos que ocupar esta idea, al menos de forma directa, tiene el problema de dar «pasitos muy chicos», que no nos permitirían acabar nunca de definir a todos los números naturales y, en consecuencia, que no nos dejaría definir en sí el conjunto de los naturales.  Es por eso que en esta entrada acabaremos, de una vez por todas, con el problema de definir con precisión el conjunto de números naturales. Veremos que, en efecto, esta construcción que haremos se apega no sólo a nuestra intuición, sino también a los axiomas de Peano.

Conjuntos inductivos

Antes de empezar con la tarea de definir a los números naturales, recordamos la definición del sucesor de un conjunto.

Definición. Si $A$ es un conjunto, definimos el sucesor de $A$, como $\sigma(A):=A\cup \{A\}$.

El conjunto que queremos definir es el conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales. Como mencionamos en las entrada pasada, buscamos de manera formal lograr que \[\mathbb{N}=\{\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…\},\] por lo que $\mathbb{N}$ satisfaría dos propiedades que englobamos en la siguiente definición.

Definición. Diremos que un conjunto $S$ es inductivo si cumple que:

  1. $\emptyset\in S$ y
  2. si $X\in S$, entonces $\sigma(X)\in S$.

Notemos que estas dos propiedades son muy similares a los dos primeros axiomas de Peano.

Hay que remarcar que aunque no sabemos que exista un conjunto tal que sus elementos son $\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…$, en caso de que sí existiera, sería un hecho que tal conjunto sería inductivo.

Otro posible ejemplo de un conjunto inductivo podría verse como \[\{…\sigma(\sigma(\{\{\emptyset\}\})), \sigma(\{\{\emptyset\}\}), \{\{\emptyset\}\},\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…\}.\]

Intuitivamente podemos notar que si $S$ es un conjunto inductivo, entonces, $\mathbb{N}\subset S$, por lo que uno podría aventurarse y definir a los naturales como $$\{x:  x \text{ está en todo conjunto inductivo}\}.$$

Sin embargo, los axiomas que de teoría de conjuntos que tenemos hasta ahora no nos permiten saber si se puede construir un conjunto así.

¿Qué es lo que sí nos permiten hacer los axiomas de teoría de conjuntos? Si tenemos una colección de conjuntos, podemos hacer la intersección de todos ellos. Esto motiva la siguiente proposición acerca de la intersección de conjuntos inductivos.

Proposición. Si $B\neq\emptyset$ es un conjunto tal que todos sus elementos son conjuntos inductivos, entonces $\bigcap {B}$ es también un conjunto inductivo.

Demostración. Como $B\neq\emptyset$, sabemos que la intersección sí es un conjunto. Veamos que este conjunto es inductivo. Antes de hacer esto recordemos que, por definición, los elementos de $\bigcap{B}$ son precisamente, todos los $x$ tales que $x\in Y$ para todo $Y\in B$.

Para ver que $\bigcap B$ es inductivo, necesitamos verificar que cumpla las dos características de la definición:

  1. Veamos primero que $\emptyset\in\bigcap B$.
    Sea $Y\in B$ arbitrario. Como los elementos de $B$ son inductivos, $\emptyset\in Y$, y como $Y$ es arbitrario, podemos concluir que $\emptyset$ está en todos los elementos de $B$. Esta es justo la definición de que $\emptyset\in \bigcap B$.
  2. Veamos ahora que $x\in \bigcap B \Rightarrow \sigma(x)\in \bigcap B$.
    Sea $x\in \bigcap B$ y sea $Y\in B$. Como $x\in\bigcap B$, entonces $x\in Y$ y como $Y$ es inductivo, $\sigma(x)\in Y$. De nuevo, como $Y$ fue arbitrario, se sigue que $\sigma(x)$ está en todos los elementos de B, por lo que $\sigma(x)\in\bigcap B$.

Con esto demostramos que $\bigcap B$ es inductivo.

$\square$

En otras palabras, «la intersección arbitraria de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo».

El axioma del infinito y la construcción de los naturales

Por todo lo escrito anteriormente, y meditando el hecho de que si partimos de los primeros axiomas de la teoría de conjuntos, sólo podemos crear conjuntos con una cantidad finita de elementos, parece ser que la existencia de un conjunto como los naturales no puede ser deducida con las herramientas que tenemos. Esto en efecto es así. Por ello, debemos introducir un nuevo axioma de la teoría de conjuntos.

Axioma (del infinito). Existe un conjunto inductivo.

El axioma del infinito no nos garantiza inmediatamente la existencia de $\mathbb{N}$, ya que como se vio en un ejemplo más arriba, $\mathbb{N}$ no es el único conjunto inductivo. Sin embargo, esta es la última pieza que necesitamos para poder dar la construcción de los naturales. Hacemos esto a continuación.

Sea $A$ algún conjunto inductivo (que nos garantiza el axioma del infinito), y consideremos $B=\{X\subset A \mid X \text{ es inductivo}\}$ (¿por qué $B$ es un conjunto?). Notemos que $A\in B$ por lo que $B$ es no vacío, por lo tanto, podemos pensar en su intersección, $\bigcap B$. Como los elementos de $B$ son conjuntos inductivos, por la proposición anterior concluimos que $\bigcap B$ es inductivo. A esta intersección la denotaremos como $\mathbb{N}_{A}$. ¡Ya apareció por primera vez el símbolo de números naturales! Pero tiene algo adicional: usamos un subíndice $A$ ya que, a primera vista, su construcción depende del conjunto inductivo $A$ con el que empezamos. Sin embargo, justamente, el paso siguiente será ver que $\mathbb{N}_{A}$ no depende de $A$.

Para ello, primero hacemos la observación de que si $Y\subset A$ es inductivo, entonces $\mathbb{N}_{A}\subset Y$, la cual te dejamos corroborar usando las propiedades de la intersección. Dicho esto, probamos lo siguiente.

Proposición. Si $C$ es otro conjunto inductivo, entonces $\mathbb{N}_{A}= \mathbb{N}_{C} $.

Demostración. Consideremos $\mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} $, el cual sabemos que es un conjunto inductivo. Como $\mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} \subset A$, por la observación anterior, concluimos que $\mathbb{N}_{A} \subset \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} $. Como la intersección está contenida en cada intersecando, $\mathbb{N}_{A} \subset \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}\subset\mathbb{N}_{A} $, por lo que $\mathbb{N}_{A} = \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} $. Haciendo las mismas observaciones para $\mathbb{N}_{C}$, concluimos que $\mathbb{N}_{A} = \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}= \mathbb{N}_{C} $, con lo que concluimos la prueba.

$\square$

Como sabemos ahora que el conjunto $\mathbb{N}_{A}$ no depende del conjunto $A$ inductivo con el que empecemos, finalmente podemos definir al conjunto de números naturales.

Definición. Si $A$ es algún conjunto inductivo, definimos al conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ como $\mathbb{N}:=\mathbb{N}_{A}$. Definimos al cero como $0:=\emptyset$ y la función sucesor para los naturales como $\sigma:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $\sigma(n)=n\cup \{n\}$.

Nuestra construcción de los naturales cumple los axiomas de Peano

Para concluir esta entrada veremos que la construcción de los naturales que dimos en efecto da un modelo para los axiomas de Peano. En realidad, la construcción de la función sucesor, la noción de conjunto inductivo y la forma en la que creamos $\mathbb{N}$ fueron todas ellas siempre motivadas por estas ideas, por lo que no deberá ser difícil probar que en verdad todo funciona como queremos.

Teorema. El conjunto $\mathbb{N}$ junto con el $0$ y la función $\sigma$ que definimos satisfacen los cinco axiomas de Peano.

Demostración. Veamos que se verifican los cinco axiomas de Peano.

Axioma 1. $0\in\mathbb{N}$.

Como $\mathbb{N}$ es inductivo, $0=\emptyset\in\mathbb{N}$.

Axioma 2. Si $n\in \mathbb{N}$, entonces $\sigma(n)\in\mathbb{N}$.

Si $n\in\mathbb{N}$, como $\mathbb{N}$ es inductivo, se sigue que $\sigma(n)\in\mathbb{N}$.

Axioma 3. Para toda $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $\sigma(n)\neq 0$.

Como $\sigma(n)=n\cup\{n\}$, tenemos que $n\in\sigma(n)$ por lo que $\sigma(n)\neq\emptyset=0$.

Axioma 4. Si $\sigma(n)=\sigma(m)$, entonces $n=m$.

Como $\sigma(n)=\sigma(m)$ y $n\in\sigma(n)$, entonces $n\in\sigma(m)= m\cup\{m\}$. Como $n$ está en una unión, hay dos opciones: $n\in\{m\}$ o $n\in m$. Si $n\in \{m\}$, entonces $n=m$ y concluimos.

En otro caso, $n\in m$. Veamos que podemos decir de $m$. Procediendo análogamente, podemos notar que $m=n$ o $m\in n$. En el primer caso, llegamos a lo que queremos. El segundo caso es imposible, pues tendríamos $n\in m\in n$ lo cual contradice el axioma de regularidad de teoría de conjuntos.

Axioma 5. Si $S\subset\mathbb{N}$ tal que $0\in S$ y $n\in S \Rightarrow \sigma(n)\in S$, entonces $S=\mathbb{N}$.

Notemos que las hipótesis de $S$ implican que éste es un conjunto inductivo. Por ello, $\mathbb{N}=\mathbb{N}_{S}\subset S\subset \mathbb{N}$. Esta cadena de contenciones implica la igualdad $\mathbb{N}=S$.

$\square$

Notemos que todos los axiomas salieron de forma casi inmediata de la definición de $\mathbb{N}$ o de la definición de $\sigma$, justo como esperábamos.

Más adelante…

Ya dimos la construcción de los naturales. También vimos que en verdad funcionan como esperábamos. nuestro siguiente objetivo será definir una suma, un producto y un orden en $\mathbb{N}$. Así como lo hicimos con los axiomas de Peano, veremos que nuestras definiciones coincidirán con las propiedades que conocemos.

Para hacer esto seguiremos pensando simultáneamente tanto en la definición conjuntista que hemos dado de los naturales, como en los axiomas de Peano. Especialemente usaremos el quinto axioma de manera repetida. Veremos cómo este axioma es básicamente el principio de inducción que conocimos en Álgebra Superior I. También veremos cómo nos ayuda a demostrar el teorema de recursión, el cual a su vez la herramienta que necesitaremos para definir con toda formalidad la suma y producto en los naturales.

Tarea moral

  1. Completa los detalles faltantes de la construcción de los naturales. En particular, sobre por qué el conjunto $B$, de los conjuntos inductivos de $A$, sí existe. Necesitarás usar un axioma muy específico de la teoría de conjuntos.
  2. Demuestra que si $x\subset y\subset\sigma(x) $, entonces $y=x$ o $y=\sigma(x)$.
  3. Si aún no estás tan acostumbrado a las intersecciones arbitrarias, considera un conjunto inductivo $A$ y la siguiente definición: $$\mathbb{N}’:=\{x\in A:  x \text{ está en todo conjunto inductivo}\}.$$ ¿Cómo se relaciona el axioma del infinito, con el hecho de que esto sí sea un conjunto?
  4. Esboza una demostración de que $\mathbb{N}’=\mathbb{N}$.
  5. Usa el quinto axioma de Peano para demostrar que para cualquier natural $n$ se cumple que $$\sigma(n)=\{0, 1, 2, …, n\}.$$
    Sugerencia. Considera el conjunto $S\subseteq \mathbb{N}$ de enteros $n$ para los cuales la afirmación anterior es cierta. Demuestra que $S$ es inductivo y usa el quinto axioma para concluir que $S=\mathbb{N}$.

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Álgebra Superior II: Introducción al curso y a los números naturales

Por Roberto Manríquez Castillo

Introducción

El curso de Álgebra Superior I tuvo como principal objetivo darte las herramientas necesarias para poder entender, a grandes rasgos, la teoría que sustenta las primeras asignaturas con las que te encuentras a nivel universitario en tu trayectoria matemática. Por esta razón, en el temario se incluyeron los temas de lógica, demostraciones, teoría de conjuntos, números naturales, inducción matemática, conteo y espacios vectoriales.

Sin embargo, quedaron abiertas algunas preguntas. Por ejemplo: ¿cómo sabemos que los conjuntos con los que trabajamos existen?, ¿qué es en el fondo el conjunto de números reales que usamos en los espacios vectoriales? o ¿por qué funciona el principio de inducción?

En este sentido, el curso de Álgebra Superior II es la continuación de Álgebra Superior I. El objetivo de este curso será responder estas preguntas que en el curso anterior quedaron sin responder. Con esto en mente, usaremos las herramientas de la teoría de conjuntos que desarrollamos con anterioridad para estudiar qué son los números naturales, los enteros y hasta los complejos. Haremos una escala en cada tema para poder entender a profundidad las propiedades con las que hemos estado familiarizados desde educación básicas y para conocer otras propiedades que te servirán a lo largo de tu formación matemática.

En la parte final del curso, introduciremos otra estructura con la que seguramente ya estarás familiarizado gracias al curso de Cálculo Diferencial e Integral I: el anillo de polinomios con coeficientes reales (o complejos). Como en el caso de los temas anteriores, nos detendremos a estudiar las propiedades que caracterizan a este conjunto y las similitudes que podemos encontrar con algunos de los sistemas numéricos, como los números enteros.

La intuición detrás de formalizar a los números naturales

Desde la educación básica se aprende a contar. Con el pasar del tiempo, la idea de los números naturales y las características que se necesitan para contar “de uno en uno” seguramente se han hecho muy familiares en tu mente. A grandes rasgos, cuando contamos tenemos mente a los números $$0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots.$$ De hecho, las propiedades de estos números probablemente son tan familiares que ya no reparas en ello a la hora de contar. Al cero le sigue el uno. Al uno le sigue el dos. Y así sucesivamente. Esto resulta práctico a la hora de contar, pero algo impráctico a la hora de establecer los fundamentos matemáticos de los números naturales. Por esta razón, tomémonos un momento para pensar en las propiedades que satisface este sistema numérico.

La primera característica en la que podemos pensar es que los números naturales cuentan con un elemento especial de entre todos los demás números, el primero de todos ellos. Dependiendo del contexto, el $0$ (y no el $1$) es considerado como el primer número natural y coincide con la intuición de que podemos «tener cero cosas», es decir, ninguna. Es importante que sepas que en cierto contextos (por ejemplo, otros cursos o áreas de las matemáticas) podría no serlo. La recomendación es que siempre uses la convención del área o comunidad con la que estés trabajando. En este curso el número $0$ siempre será un número natural.

Otra característica con la que seguramente estamos muy familiarizados es que si bien los números naturales tienen un comienzo (en nuestro caso, el $0$), por otra parte nunca terminan. No importa hasta qué número podamos haber contado, siempre podemos dar un paso más y avanzar al siguiente número. Cuando tenemos un natural, decimos entonces que siempre tiene un sucesor. Sabemos que sólo hay un sucesor para cada número.

Otra característica clave de los números naturales es que, a la hora de contar, nunca regresamos a un número por el cual ya pasamos; es decir, bajo ninguna circunstancia contamos $107, 108, 109, 37, ‘ldots$. Para enunciar esto formalmente, lo diremos en dos partes. Primero, el $0$ no es el sucesor de ningún número y segundo, en ninguna circunstancia, un mismo número es el sucesor de dos números diferentes.

Existe una quinta propiedad, tal vez más sutil que las anteriores, y es que si empezamos a contar desde el cero y vamos contando de uno en uno, entonces podremos alcanzar cualquier número natural, siempre que el tiempo lo permita.

Resulta que estas propiedades intuitivas son suficientes para definir muchas otras operaciones en los números naturales y para obtener una gran cantidad de propiedades. Es por esta razón que conviene incluirlas en nuestra formalización de los naturales, como discutimos a continuación.

Los axiomas de Peano para los números naturales

A finales del siglo XIX, los matemáticos empezaron a notar que a partir de algunas propiedades tan elementales como las que discutimos arriba, se podían probar las leyes de la aritmética que conocemos. En 1889, Giuseppe Peano, basado en las propiedades que acabamos de enunciar, dio un conjunto de axiomas que usó para estudiar sistemáticamente a los números naturales. Estos axiomas son:

  1. $0$ es un número natural.
  2. Si $n$ es un número natural, entonces existe un único natural, denotado $\sigma(n)$ al que llamamos su sucesor.
  3. Para todo número natural, $\sigma(n)\neq0$.
  4. Si $n,m$ son números naturales, tales que $\sigma(n)=\sigma(m)$, entonces $n=m$.
  5. Si $S$ es un subconjunto de números naturales tal que: $0$ está en $S$, y para todo $n$ en $S$, se cumple que $\sigma(n)$ está también en $S$, entonces $S$ es el conjunto de todos los naturales.

Nota que cada una de las cinco propiedades coinciden con una de las propiedades intuitivas que mencionamos antes.

Encontrando los primeros números naturales

El logro de Peano fue muy importante, ya que permitió reducir la teoría de los números naturales a solo cinco axiomas; sin embargo, aún quedan abiertas las preguntas ¿qué son los números naturales? y ¿cómo sabemos que existen? Aunque se hayan mencionado las propiedades de un objeto, no necesariamente tiene que existir tal objeto. Este fue el gran problema al que se enfrentaron los matemáticos cuando intentaron definir a un conjunto al que pertenecen todos los conjuntos.

Es por esta razón que debemos fundamentar la construcción de los números naturales en teoría que ya tengamos desarrollada. Por esta razón, a partir de este punto se aparece la teoría de los conjuntos, la cual nos permitirá definir formalmente lo que significan los símbolos que diariamente ocupamos (como el $0$), para después ver que en efecto estos conjuntos satisfacen los axiomas de Peano.

Definición: Definimos al cero como $0:=\emptyset$.

Cuando ponemos $:=$, quiere decir que estamos definiendo algo, típicamente un símbolo. Cuando veas algo así aparecer, puedes pensar que significa «esta es la primera vez que usamos el símbolo $0$, y lo que querrá decir es el conjunto vacío». Podemos pensar en esta definición como una simple ocurrencia de notación; sin embargo, es curioso notar que, pensando intuitivamente, $\emptyset$ tiene en efecto cero elementos. Más adelante veremos que los demás números naturales también satisfacen esta intuitiva coincidencia.

Definición: Dado un conjunto $A$ arbitrario, definimos el sucesor de $A$ como $\sigma(A):=A\cup\{A\}$.

Notemos que en realidad $\sigma$ no es en el sentido estricto una función ¿por qué? Más bien, lo que estamos haciendo es explicar a qué nos referimos con el símbolo $\sigma(A)$.

Considerando que hemos construido el primer número natural (el $0$) y hemos dado una forma de construir sucesores, parece una buena idea considerar \[\sigma(0)=\sigma(\emptyset)=\emptyset\cup\{\emptyset\}=\{\emptyset\}.\]

Y definir $1:= \{\emptyset\}$. Análogamente podemos pensar que \[2:=\sigma(1)=\sigma(\{\emptyset\})=\{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}.\]

Podríamos continuar así sucesivamente. Observa que, efectivamente, los conjuntos $1$ y $2$ coinciden con la intuición de tener respectivamente $1$ y $2$ elementos.

Los «disfraces» de los números naturales

Actualmente usamos el sistema de numeración arábigo y sabemos exactamente qué quieren decir los «dibujos» $1$, $2$, $3$, $4$, etc. Si fueramos romanos, estaríamos usando los «dibujos» $I$, $II$, $III$, $IV$, etc. De manera estricta, los «dibujos» no son lo mismo que «el concepto que representan». Es decir, en el fondo, $2$ y $II$ son «disfraces distintos para el mismo concepto». Pero ninguno de esos «dibujos» es el concepto mismo, ni vive de manera formal en la teoría que estamos construyendo.

Lo que sí vive en la teoría que construimos es el $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$, pues a partir de los axiomas se puede garantizar su existencia. Por supuesto, en el curso usaremos los «disfraces» habituales de estos conceptos, de modo que casi siempre escribiremos $2$, $7$, $51$, etc. Sin embargo, es crucial que en todo momento tengas en cuenta que cuando escribimos esos «dibujos», en el fondo están las construcciones formales que realizaremos.

Más adelante

Hemos empezado a definir a los números naturales a partir del $0$ (el conjunto vacío) y la función sucesor $\sigma$; sin embargo, la realidad es que el proceso que hemos descrito debe ser refinado, ya que si continuamos así, jamás acabaremos de definir la infinidad de números naturales que queremos que existan.

Incluso asumiendo que los podemos definir a todos, un segundo problema que se origina es el intentar unirlos en un solo «conjunto de los números naturales». Uno podría intentar ocupar el principio de inducción para resolver el problema. Sin embargo, recordemos que por el momento sólo contamos con los axiomas de la teoría de conjuntos, y aún no sabemos que el principio de inducción (visto como en el curso de Álgebra Superior I, o a partir de los axiomas de Peano) sea válido. Entonces, necesitaremos pensar cómo resolver el problema desde otra perspectiva.

Además, queda el problema de ver que los números naturales que definamos sí satisfagan los axiomas de Peano. También haremos esto pronto, para que a partir de ello podamos comenzar a introducir otras propiedades aritméticas y de orden.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Prueba a partir de sólo los axiomas de Peano, que $n\neq \sigma (n) $ para todo $n\in\mathbb{N}$.
  2. ¿Qué axiomas de Peano satisface el conjunto $\sigma(\mathbb{N})$, es decir, el conjunto de los números a partir del $1$?
  3. ¿Cómo será un conjunto y una función que satisfagan los axiomas 1), 2), 4) y 5) de Peano, pero que no satisfaga el 3)? ¿Puedes construir formalmente un conjunto y una función así?
  4. A partir de la definición de $\sigma(n)$ que dimos, demuestra que para todo número natural $n$ se satisface que $n\in\sigma(n)$ y que $n\subset\sigma(n)$.
  5. Demuestra que si $A$ es un conjunto, entonces $\sigma(A)$ es un conjunto. Para ello, tendrás que recordar los axiomas de teoría de conjuntos.

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