Archivo de la categoría: Matemáticas

Posts de matemáticas, la ciencia más cercana a las artes.

Álgebra Superior I: Propiedades del producto cartesiano

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Deja un comentario

Introducción

La vez pasada dimos la definición de parejas ordenadas y el producto cartesiano. Estas ideas tenían que ver con «relacionar» dos conjuntos mediante las parejas ordenadas, ahora exploraremos más sobre el producto cartesiano. En esta entrada revisaremos algunas propiedades interesantes e importantes sobre el producto cartesiano entre dos conjuntos, viendo cómo se comporta con el conjunto vacío y algunos operadores de conjuntos.

Propiedades del producto cartesiano

Algunas de las preguntas que nos pueden surgir al momento de trabajar con los productos cartesianos es cómo estos se comportan con algunos operadores. Por ejemplo la unión y la intersección o la relación de contención. En esta entrada revisaremos algunos resultados útiles a la hora de trabajar con el producto cartesiano.

Trabajando con el vacío

Considera a un conjunto $X$. ¿Cómo será su producto cartesiano con el conjunto vacío?. Pues recuerda que:

$$ X \times \emptyset = \{(x,y): x\in X \land y \in \emptyset\}$$

Pareciera ser que este conjunto no tendría ningún elemento, ¿no? Pues al observar alguna pareja ordenada $(x,y)$ de este conjunto, resultaría que $y \in \emptyset$. Lo cuál es una contradicción, pues recordemos que el conjunto vacío no tiene elementos.

Proposición. Sea $X$ un conjunto, entonces $X \times \emptyset = \emptyset$.

Demostración. Para demostrar la igualdad de conjuntos, deberíamos demostrar que el conjunto de la izquierda está contenido en la derecha, pero notemos que el conjunto de la derecha es el conjunto vacío, y como recordarás, el conjunto vacío, siempre será subconjunto de cualquier conjunto. Esto nos ahorra una contención, y solo habrá que demostrar la contención que falta.

$\subset$. Para demostrar que cada elemento $(x,y) \in X \times \emptyset$ está contenido en el conjunto vacío, será suficiente demostrar que no podemos tomar ningún elemento de dicho conjunto, pues no tiene elementos, ya que ningún elemento cumplirá la definición del conjunto: $x\in X \land y \in \emptyset$. Cuando queremos demostrar que un conjunto es vacío, lo que haremos es hacerlo por reducción al absurdo, suponiendo que sí tiene elementos para llegar a una contradicción.

Para ello, supón $(x,y) \in X \times \emptyset$ (existe algún elemento en el conjunto). Entonces $x \in X$ y $y \in \emptyset$, pero esto es una contradicción, pues el conjunto vacío no tiene elementos por definición. Así, concluímos que $X \times \emptyset \subset \emptyset$.

Más aún, hemos demostrado la igualdad entre conjuntos, pues como dijimos al principio, todo conjunto tiene como subconjunto al vacío. De esta manera $X \times \emptyset = \emptyset$.

$\square$

El mismo argumento puede ser usado para demostrar que $\emptyset \times X = \emptyset$, pues no existen elementos que cumplan la definición de pertenencia del lado derecho.

Contención entre productos cartesianos

Para la siguiente propiedad, veremos cómo es que se comporta el producto cartesiano con la contención de conjuntos. Consideraremos ahora dos conjuntos $X,Y$. Notemos que un elemento del producto cartesiano de $X \times Y$ es de la forma $(x,y)$ donde $x \in X \land y \in Y$. Ahora nota que si $X \subset W \land Y \subset Z$, entonces $(x,y)$ también serán parte del producto cartesiano entre $W$ y $Z$, pues $x \in W \land y \in Z$. Esto es lo que nos dice la siguiente proposición:

Proposición. Sean $W,Z$ dos conjuntos y $X \subset W$, $Y \subset Z$. Entonces: $$X \times Y \subset W \times Z$$

Demostración. Para la demostración, consideremos $(x,y) \in X \times Y$. Lo que habrá que demostrar es que $(x,y) \in W \times Z$. Para ello, nota que si $(x,y) \in X \times Y$ entonces $x \in X$ y al tener la hipótesis $X \subset W$, concluímos que $x \in W$. De manera análoga, $y \in Z$. de esta manera $(x,y) \in W \times Z$

$\square$

Corolario. Sean $X,Y$ dos conjuntos, entonces $X \times X = Y \times Y$ si y solo si $X=Y$.

Esta última demostración no se va a resolver aquí, pero es sencillo notar que la igualdad entre productos cartesianos implica que $X \times X$ es subconjunto de $Y \times Y$ y viceversa, lo cual se puede utilizar para demostrar la contención entre conjuntos.

Propiedades con la unión e intersección

Las siguientes propiedades que vamos a probar serán las referentes a la unión y a la intersección. Para la primera idea de la unión, consideremos al conjunto $$X = \{1,2\}$$ y a los conjuntos $$Y_1 = \{a\}, Y_2 = \{b\}. $$

Entonces el conjunto $$X \times Y_1 = \{(1,a),(2,a)\}.$$ Y el conjunto $$X \times Y_2 = \{(1,b),(2,b)\}. $$De tal manera que si juntamos estos productos cartesianos, nos queda el siguiente conjunto:

$$X \times Y_1 \cup X \times Y_2 = \{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)\}.$$

Nota ahora que si hacemos el producto cartesiano de $X$ con $Y_1 \cup Y_2$, resulta que:

$$X \times (Y_1 \cup Y_2) = \{1,2\} \times \{a,b\}= \{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)\}.$$

De esta manera, $$X \times (Y_1 \cup Y_2)= X \times Y_1 \cup X \times Y_2 .$$

Esto es lo que nos dice la siguiente proposición:

Proposción. Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos, entonces $$X \times (Y \cup Z) = X \times Y \cup X \times Z.$$

Demostración.

$\subset.$ Considera $(x,y) \in X \times (Y \cup Z)$. Entonces $x \in X$ y $y \in Y \cup Z$. Nota entonces que tenemos dos casos para $y$.

Caso 1. $y \in Y$

En este caso, $(x,y) \in X \times Y \subset X \times Y \cup X \times Z$, al tener esta última contención, concluimos que se cumple que $X \times (Y \cup Z) \subset X \times Y \cup X \times Z.$

Caso 2. $y \in Z$

Esta demostración es análoga al caso anterior, esto quiere decir que seguimos un razonamiento muy similar que no requiere de pasos muy distintos a los que hicimos. Podemos dejarlo así, pero pondremos el razonamiento análogo para que veas por qué decimos que es análogo.
En este caso, $(x,y) \in X \times Z \subset X \times Y \cup X \times Z$, al tener esta última contención, concluimos que se cumple que $X \times (Y \cup Z) \subset X \times Y \cup X \times Z.$

En cualquiera de los casos, es cierto que $X \times (Y \cup Z) \subset X \times Y \cup X \times Z.$

$\supset.$ Para demostrar la otra contención, simplemente notemos que tanto $X \times Y$ como $X \times Z$ están contenidos en $X \times (Y \cup Z)$. (Recuerda que si dos conjuntos están contenidos en otro conjunto, entonces su unión queda contenida en el conjunto). Para ello, nota que:

$$\begin{align*}
X \times Y &= \{(x,y):x \in X \land y \in Y\}\\
&\subset\{(x,y):x \in X \land y \in (Y \cup Z)\}\\
&= X \times (Y \cup Z)
\end{align*} $$

De igual manera:

$$\begin{align*}
X \times Z &= \{(x,y):x \in X \land y \in Z\}\\
&\subset\{(x,y):x \in X \land y \in (Z \cup Y)\}\\
&=\{(x,y):x \in X \land y \in (Y \cup Z)\}\\
&= X \times (Y \cup Z)
\end{align*} $$

De esta manera $X \times Y \subset X \times (Y \cup Z)$ y $X \times Z \subset X \times (Y \cup Z)$ de manera que $X \times Y \cup X \times Z\subset X \times (Y \cup Z)$

Por lo tanto $X \times Y \cup X \times Z = X \times (Y \cup Z)$

$\square$

Otra propiedad interesante es con la intersección, pues de manera similar si $$X = \{1,2\}$$ y los conjuntos $$Y_1 = \{a,b,c,d,e,1,f\}, Y_2 = \{1,2,3,4,5,a,6\} $$ entonces se cumple que $$X \times Y_1 \cap X \times Y_2 = \{(1,a),(2,a),(1,1),(2,1)\}.$$
Y $$X \times (Y_1 \cap Y_2) = \{(1,a),(2,a),(1,1),(2,1)\}.$$ De esta manera, $X \times Y_1 \cap X \times Y_2 = X \times (Y_1 \cap Y_2)$. Esto es otra proposición:

Proposición. Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos, entonces $$X \times Y \cap X \times Z = X \times (Y \cap Z)$$

Demostración. Podemos hacer la demostración como en la proposición anterior, pero vamos a demostrarlo ahora por la definición de los conjuntos. Para esto, nota que:

$$\begin{align*}
X \times (Y \cap Z) &= \{(x,y):x \in X \land y \in (Y \cap Z)\} \\
&= \{(x,y):(x \in X \land y \in Y) \land (x \in X \land y \in Z)\}\\
&= \{(x,y):x \in X \land y \in Y\} \cap \{(x,y):x \in X \land y \in Z\}\\
&= X \times Y \cap X \times Z
\end{align*}$$

$\square$

Es con esto que tenemos algunas de las propiedades del producto cartesiano. Más aún, también hemos continuado con algunas distintas formas de demostrar conjuntos. Ambas formas de demostración de las proposiciones son válidas y son diferentes formas de demostrar.

Como pudiste observar, en general el producto cartesiano se comporta bien con los operadores entre conjuntos, siendo el producto cartesiano de la intersección, la intersección de los productos cartesianos y lo mismo sucede con la unión.

Más adelante…

Ahora que hemos visto algunas propiedades del producto cartesiano, procederemos a definir el siguiente concepto: las relaciones binarias entre conjuntos. Como pudiste observar con el producto cartesiano, este nos permite «unir» elementos de un conjunto con otro. Pues las relaciones serán un subconjunto del producto cartesiano y estudiaremos las distintas formas de relaciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que si $X$ es un conjunto, entonces $\emptyset \times X = \emptyset$.
  2. Demuestra que si $X,Y$ son dos conjuntos, entonces $X \times X = Y \times Y$ si y solo si $X=Y.$
  3. Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos. Demuestra que:
    • $(X \cup Y) \times Z = X \times Z \cup Y \times Z$
    • $(X \cap Y) \times Z = X \times Z \cap Y \times Z$
  4. Demuestra que si $X,Y,Z$ son tres conjuntos, entonces:
    • $X \times (Y \triangle Z) = X \times Y \triangle X \times Z$
    • $(X \triangle Y) \times Z = X \times Z \triangle Y \times Z$

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Geometría Moderna I: Congruencia de triángulos

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

2 respuestas

Introducción

En esta entrada estudiaremos los criterios de congruencia para triángulos, los cuales estaremos usando a lo largo del curso, nos apoyaremos en las transformaciones rígidas las cuales presentamos a continuación.

Definición 1. Decimos que dos triángulos distintos $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ son congruentes y lo denotamos como $\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’$, si los lados y los ángulos correspondientes son iguales, esto es,

  • $\angle A = \angle A’$, $\angle B = \angle B’$, $\angle C = \angle C’$ y
  • $AB = A’B’$, $BC = B’C’$, $AC = A’C’$.

Definición 2. Una transformación rígida es una función del plano en sí mismo, o un subconjunto de él, donde la preimagen y la imagen son congruentes.

Una reflexión en una recta es una transformación rígida que manda a todo punto en la preimagen con su punto simétrico respecto a la recta.

triangulo

Una traslación es una transformación rígida que mueve a todos los puntos en la preimagen una distancia constante en una dirección especifica.

Figura 2

Una rotación es una transformación rígida donde todos los puntos en la preimagen giran alrededor de un punto fijo en un ángulo constante.

Figura 3

Criterio lado, ángulo, lado (LAL)

Teorema 1, de congruencia lado, ángulo, lado. Si en un triángulo dos de sus lados y el ángulo interior que estos forman, son iguales a dos lados y el ángulo interior comprendido entre ellos de un segundo triángulo entonces los triángulos son congruentes.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ tales que $AB = A’B’$, $AC = A’C’$ y $\angle A = \angle A’$, debemos mostrar que $BC = B’C’$, $\angle B = \angle B’$ y $\angle C = \angle C’$.

Figura 4

La idea es superponer los ángulos $\angle BAC$ y $\angle B’A’C’$ de la siguiente manera, hacemos una composición de transformaciones rígidas para que $A$ y $A’$ coincidan y los segmentos $AB$ y $A’B’$  se superpongan.

Entonces como $AB = A’B’$ los puntos $B$ y $B’$ coincidirán, ahora como $\angle BAC = \angle B’A’C’$ los segmentos $AC$ y $A’C’$ quedaran sobrepuestos, si no es así entonces hacemos una reflexión a través de $AB$ para que esto suceda.

Como $AC$ y $A’C’$  tienen la misma longitud sucederá que $C$ y $C’$ coincidirán, de esta manera los segmentos $BC$ y $B’C’$ coincidirán pero también los pares de ángulos ($\angle CBA$, $\angle C’B’A’$) y ($\angle ACB$, $\angle A’C’B’$) coincidirán.

Por lo tanto, por la noción común numero 4 (cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí), tendrán la misma magnitud,
$BC = B’C’$, $\angle CBA = \angle C’B’A’$, $\angle ACB = \angle A’C’B’$.

Como resultado, $\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’$.

$\blacksquare$

Notemos que el procedimiento de “superponer” las figuras no se menciona en los axiomas de Euclides ni en las nociones comunes, así que este es un ejemplo de que los postulados de Euclides son incompletos como lo mencionábamos en la entrada anterior.

En el siguiente interactivo se ilustra un caso particular de como con una traslación y una rotación podemos superponer dos triángulos.

Criterio lado, lado, lado (LLL)

Definición 3. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio, es decir, lo biseca.

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. Notemos que en un triángulo hay tres bisectrices internas y tres bisectrices externas.

Decimos que un vértice y un lado de un triángulo son opuestos si el lado no contiene al vértice. La altura de un triángulo, es el segmento que une uno de sus vértices con el pie de la perpendicular al lado opuesto.

La mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Proposición. Los ángulos internos de un triángulo isósceles, que no son aquel comprendido entre los lados iguales, son iguales entre sí, además, la bisectriz del ángulo interior formado por los lados iguales, la altura trazada por ese vértice, la mediana y mediatriz del lado opuesto coinciden.

Demostración.  Sea $\triangle ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ y tracemos la bisectriz de $\angle A$, sea $M$ el punto en donde la bisectriz corta al lado opuesto.

Figura 5

Los triángulos $\triangle AMB$ y $\triangle AMC$ tienen dos lados iguales, $AB = AC$ por hipótesis y $AM$ es un lado en común, además $\angle BAM = \angle MAC$ por ser $AM$ bisectriz, por criterio LAL los triángulos son congruentes.

Por lo tanto, $BM = CM$, $\angle AMB = \angle CMA$ y $\angle B = \angle C$
esta última igualdad es la primera de las afirmaciones que se quería mostrar.

Por otro lado, como $BM = CM$, entonces $M$ es punto medio de $BC$ por lo que $AM$ es mediana.

Ahora, como $\angle AMB + \angle CMA = \pi$ y $\angle AMB = \angle CMA$, entonces $AM$ es perpendicular a $BC$ y así $AM$ es mediatriz y altura.

$\blacksquare$

Lema. Dado un segmento $AB$ y un punto $P$ no colineal con $A$ y $B$, no existe otro punto $P’$ diferente de $P$ y en el mismo semiplano que $P$ respecto de $AB$, tal que $AP = AP’$ y $BP = BP’$.

Demostración. Por reducción al absurdo, supongamos que existe $P’ \neq P$ talque $AP = AP’$ y $BP = BP’$, entonces consideremos los triángulos isósceles, $\triangle PAP$´ y $\triangle PBP’$.

Por la proposición anterior $\angle APP’ = \angle PP’A$ y $\angle BPP’ = \angle PP’B$.

Figura 6

Pero $\angle APP’ = \angle APB + \angle BPP’ = \angle APB + \angle PP’B$,
$\Rightarrow APP’ > PP’B$.

Por otro lado, $\angle PP’B = \angle PP’A + \angle AP’B$,
$\Rightarrow PP’B > PP’A$.

De las últimas dos desigualdades concluimos que $APP’ > PP’A$, lo cual es una contradicción al axioma de tricotomía pues vimos que $APP’ = PP’A$.

Por lo tanto, no existe $P’$ distinto de $P$ tal que $AP = AP’$ y $BP = BP’$.

$\blacksquare$

Teorema 2, de congruencia lado, lado, lado. Si los lados de un triángulo son iguales a los lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ tales que $AB = A’B’$, $BC = B’C’$ y $AC = A’C’$, veamos que los ángulos respectivos tienen la misma magnitud.

Figura 7

Hagamos la composición de transformaciones rígidas necesaria para para hacer coincidir los puntos $B$ y $B’$ de manera que los segmentos $BC$ y $B´C’$ se sobrepongan.

Como $BC = B’C’$ entonces $C$ y $C’$ coincidirán.

Ahora realizamos otra composición de transformaciones rígidas para que $A$ y $A’$ se encuentren en el mismo semiplano respecto de $BC$ y $B’C’$, que ahora son el mismo segmento.

Por el lema anterior, como $AB = A’B’$ y $AC = A’C’$, no es posible que $A \neq A’$, por lo tanto, coinciden, como $\triangle ABC$ y $\triangle A´B´C´$ coinciden, por la noción común número 4, todas sus magnitudes son iguales, por lo que $\angle A = \angle A’$, $\angle B = \angle B’$ y $\angle C = \angle C’$.

$\blacksquare$

Problema. Dado un ángulo construir su bisectriz.

Solución. Sea $\angle ABC$ el ángulo dado, trazamos una circunferencia de radio arbitrario pero positivo que corta a $AB$ en $D$ y a $BC$ en $E$.

Figura 8

Ahora construimos un triángulo equilátero sobre $DE$, como lo hicimos en la primera entrada, cuyo tercer vértice será $F$.

Veamos que $BF$ es la bisectriz de $\angle ABC$. Tenemos que $BD = BE$, pues son radios de una misma circunferencia, $DF = EF$, ya que $\triangle DEF$ es equilátero por construcción, por LLL $\triangle BDF \cong \triangle BEF$, en consecuencia $\angle DBF = \angle FBE$, por lo tanto, $BF$ es bisectriz de $\angle ABC$.

$\blacksquare$

Criterio ángulo, lado, ángulo (ALA)

Teorema 3, de congruencia ángulo, lado, ángulo. Si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado comprendido entre ellos de otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ tales que $\angle B = \angle B’$, $\angle C = \angle C’$ y $BC = B’C’$.

Como la suma de los ángulos internos de todo triangulo es $\pi$ entonces
$\angle A + \angle B + \angle C = \pi = \angle A’ + \angle B’ + \angle C’$
$\Rightarrow A = A’$.

Si cualquier otro par de lados correspondientes fuese igual entonces por LAL, los triángulos serian congruentes. Supongamos lo contrario para llegar a una contradicción, es decir, que $AC \neq A’C’$ y $AB \neq A’B’$.

Figura 9

Sin pérdida de generalidad supongamos que $AC > A’C’$.

Construimos sobre $AC$ un punto $A’’$ tal que $A’’B = A’B’$, entonces $\triangle A’’BC \cong \triangle A’B’C’$ por LAL, por lo que $\angle A’’CB = \angle A’C’B’$.

Por hipótesis, $\angle ACB = \angle A’C’B’$ así que $\angle ACB = \angle A’’CB$, pero $\angle ACB > \angle A’’CB$, lo que es una contradicción.

Por lo tanto, $AC = A’C’$ y por LAL, $\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’$.

$\blacksquare$

Criterio hipotenusa, cateto

Definición 4. En un triángulo rectángulo a los lados que forman el ángulo recto le llamamos catetos y al lado opuesto al ángulo recto le llamamos hipotenusa.

Teorema 4. De congruencia hipotenusa, cateto. Si la hipotenusa y un cateo de un triángulo rectángulo son iguales a la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ tales que $\angle B = \angle B’ = \dfrac{\pi}{2}$, $AB = A’B’$ y $AC = A’C’$.

Sobre la recta determinada por $B$ y $C$ construimos un punto $C’’$ del lado opuesto a $C$ respecto a $B$, tal que $BC’’ = B’C’$.

Figura 10

Entonces por LAL, $\triangle ABC’’ \cong \triangle A’B’C’$, por lo tanto, $AC’’ = A’C’$, por hipótesis $AC = A’C’$, así que $AC = AC’’$.

Como $\triangle C’’AC$ es isósceles y por construcción $AB$ es la altura trazada desde $A$, por la proposición, $AB$ coincide con la mediatriz de $C’’C$, por lo que $BC’’ = BC$, pero $BC’’ = B’C’$ por construcción, por lo tanto, $BC = B’C’$, finalmente por LLL, $\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’$.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos la desigualdad del triangulo y su reciproco, presentaremos el concepto de lugar geométrico y mostraremos un par de ejemplos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que si se hacen dos reflexiones sucesivas con respecto a dos rectas paralelas, el resultado es una traslación.
  2. Muestra que si se hacen dos reflexiones sucesivas con respecto a dos rectas concurrentes, se obtiene una rotación con respecto al punto de intersección entre las rectas.
  3. $i)$ Muestra que si un triangulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados opuestos a estos ángulos también son iguales.
    $ii)$ Muestra que los ángulos internos de un triángulo equilátero son iguales.
  4. Si dos rectas distintas se intersecan forman 4 ángulos, prueba que las bisectrices de ángulos opuestos por el vértice son la misma y que las bisectrices de ángulos adyacentes son perpendiculares.
  5. Dado un segmento, construye su mediatriz.
  6. Demuestra sin usar el quinto postulado (lo que implica que los ángulos interiores de todo triangulo suman dos ángulos rectos), que todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores no adyacentes a el.
  7. Muestra con un ejemplo que el criterio LLA en general no se cumple, es decir, cuando dos triángulos diferentes tienen dos lados y un ángulo correspondientes iguales, pero el ángulo no es el que forman los lados correspondientes iguales.

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones crecientes y decrecientes. Funciones acotadas

Por Karen González Cárdenas

Deja un comentario

Introducción

Continuando ahora con las funciones crecientes y decrecientes, veremos qué condiciones se deben cumplir para determinar si una función crece o decrece en un intervalo. De igual manera, veremos cuándo una función es no creciente o no decreciente para finalizar con la definición de función acotada.

Definición de función creciente y decreciente

Definición: Sea $f: A \rightarrow B$ una función con $A , B \subseteq \RR$.

  • Decimos que $f$ es una función creciente si y sólo si para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ tales que
    $$x_{1}< x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})\quad\text{.}$$
  • Decimos que $f$ es una función decreciente si y sólo si para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ tales que
    $$x_{1}< x_{2} \Rightarrow f(x_{2})<f(x_{1})\quad\text{.}$$

Definición de función no creciente y no decreciente

Definición: Consideremos a la función $f: A \rightarrow B$.

  • Llamamos a $f$ una función no creciente (que decrece o permanece igual) si y sólo si para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ que cumplen
    $$x_{1}< x_{2} \Rightarrow f(x_{2})\leq f(x_{1})\quad\text{.}$$
  • Llamamos a $f$ una función no decreciente (que crece o permanece igual) si y sólo si para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ que cumplen
    $$x_{1}< x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})\quad\text{.}$$

Ejemplo 1

Veamos que para la función definida como:
$$f(x)=x^{2}$$

Tenemos las siguientes observaciones:

  1. Es creciente en el intervalo $[0, \infty)$.
  2. Es decreciente en el intervalo $(- \infty,0)$.

Demostración:

  1. Sea $0 \leq x_{1} < x_{2}$ así se sigue que:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow x_{1}^{2} < x_{2}^{2}\\
    &\Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})
    \end{align*}
    $\therefore f$ es creciente en $[0, \infty)$.
  2. Ahora tomemos $x_{1} < x_{2} < 0$
    \begin{align*}
    &\Rightarrow 0< -x_{2} <-x_{1}\tag{ Multiplicando por $-1$}\\
    &\Rightarrow f(-x_{2})<f(-x_{1})\tag{por 1.}\\
    &\Rightarrow (-x_{2})^{2} <(-x_{1})^{2}\\
    &\Rightarrow x_{2}^{2} < x_{1}^{2}\\
    &\Rightarrow f(x_{2})<f(x_{1})
    \end{align*}
    $\therefore f$ es decreciente en $(- \infty,0)$.

$\square$

Ejemplo 2

Para la función $g(x)= x^{2}-5x+2$ probaremos que es creciente en el intervalo $[0,\infty)$.

Tomemos $x_{1}, x_{2} \in [0,\infty)$ tales que $x_{1} < x_{2}$. Queremos demostrar que $g(x_{1})<g(x_{2})$ por lo que desarrollamos lo siguiente:
\begin{align*}
x_{1} < x_{2} &\Rightarrow x_{1} – 5 < x_{2}-5 \tag{restando $-5$}\\
&\Rightarrow x_{1}(x_{1} – 5) <x_{2}( x_{2}-5) \tag{multiplicando por $x_{1}$ y $x_{2}$}\\
&\Rightarrow x_{1}^{2} – 5x_{1} < x_{2}^{2}-5x_{2}\\
&\Rightarrow x_{1}^{2} – 5x_{1}+2 < x_{2}^{2}-5x_{2}+2 \tag{sumado $2$}\\
&\Rightarrow g(x_{1})<g(x_{2})
\end{align*}
Así concluimos que $g$ es creciente en el intervalo $[0,\infty)$.

$\square$

Algunos teoremas

Teorema: Sean $f,g: D \subseteq \r \rightarrow \r$ si $f$ y $g$ son crecientes en $D$ tales que
$f(x)>0$ y $g(x) >0$ para todo $x \in D \Rightarrow fg$ es creciente en D.
Demostración:
Tomemos $x_{1}, x_{2} \in D$ tales que $x_{1}<x_{2}$. Queremos probar que:
$$(fg)(x_{1})< (fg)(x_{2})\quad\text{.}$$
Es decir, queremos ver que se cumple la siguiente desigualdad:
$$f(x_{1})g(x_{1})< f(x_{2})g(x_{2})\quad\text{.}$$
Observemos que por hipótesis tenemos que se cumplen para todo $x \in D$ las siguientes desigualdades:

  1. $f(x)>0 \quad$ y $\quad g(x)>0$.
  2. $f(x_{1}) < f(x_{2})$ ya que $f$ es creciente.
  3. $g(x_{1}) < g(x_{2})$ ya que $g$ es creciente.

De los puntos 2 y 3 al realizar el producto obtenemos:
$$f(x_{1})g(x_{1})< f(x_{2})g(x_{2})\quad\text{.}$$

$\square$

Teorema: Si tenemos una función $f$ tal que:

  1. $f$ par y creciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es decreciente en $(-\infty, 0)$.
  2. $f$ par y decreciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es creciente en $(-\infty, 0)$.
  3. $f$ impar y creciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es creciente en $(-\infty, 0)$.
  4. $f$ impar y decreciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es decreciente en $(-\infty, 0)$.

La demostración de los puntos 1,2 y 3 se dejarán como ejercicios para el lector en la Tarea moral de esta entrada.

Demostración del punto 4:

Queremos probar que $f$ es decreciente en $(-\infty, 0)$.
Tenemos por hipótesis que $f$ es una función impar, así por definición:
$$f(-x)=-f(x)\quad\text{.}$$
Ahora si tomamos $0< x_{1}<x_{2}$ ocurre que:
\begin{align*}
f(-x_{1})&= -f(x_{1}) & f(-x_{2})&= -f(x_{2})\\
\end{align*}
Vemos que si multiplicamos por $-1$ las igualdades anteriores tenemos la siguiente equivalencia:
\begin{align}
-f(-x_{1})&= f(x_{1}) & -f(-x_{2})&= f(x_{2})\\
\end{align}

Como $f$ es una función decreciente en $[0, \infty)$ para $x_{1}$ y $x_{2}$ se sigue:
$$f(x_{2})< f(x_{1})\quad\text{.}$$
Aplicando $(1)$ tendríamos la siguiente desigualdad:
$$-f(-x_{2})< -f(-x_{1})\quad\text{.}$$
donde $-x_{1},-x_{2} \in (-\infty,0)$.

$\square$

Definición de función acotada

Definición: Sea $f: A \rightarrow B$. Decimos que:

  • $f$ está acotada superiormente $\Leftrightarrow$ existe $M \in \r$ tal que $f(x) \leq M$ para todo $x \in A$.
La gráfica de $f$ queda por debajo del valor $M$.
  • $f$ está acotada inferiormente $\Leftrightarrow$ existe $m \in \r$ tal que $m \leq f(x)$ para todo $x \in A$.
La gráfica de $f$ queda por arriba del valor $m$.
  • $f$ está acotada $\Leftrightarrow$ existe $m, M \in \r$ tal que $m \leq f(x) \leq M$ para todo $x \in A$.
La gráfica de $f$ queda entre los valores de $M$ y $m$.
  • Una equivalencia para la última definición sería:
    $f$ está acotada $\Leftrightarrow$ existe $N \in \r$ tal que $|f(x)| \leq N$ para todo $x \in A$.
La gráfica de $f$ queda entre los valores de $N$ y $-N$.
  • $f$ no está acotada $\Leftrightarrow$ para toda $M >0$ existe $x_{M} \in A$ tal que $|f(x_{M})|>M$.

Ejemplo 1

Si tenemos la función $f: \r^{+} \rightarrow \r$ definida como:
$$f(x)=\sqrt{x}\quad\text{.}$$

Probaremos que $f$ no es acotada en su dominio.
Demostración: Consideremos a $M>0$ y a $x_{M}=(M+1)^{2}$ donde $x_{M} \in D_{f}$. Así al evaluar la función en $x_{M}$ tenemos:
\begin{align*}
f(x_{M})&=f((M+1)^{2})\\
&=\sqrt{(M+1)^{2}}\\
&= M+1
\end{align*}
aquí observamos siempre ocurre que: $M+1>M$
$\therefore f$ es no acotada en su dominio.

$\square$

Ejemplo 2

Ahora si consideramos la función $g: (0, \infty) \rightarrow \r^{+}$ definida como:
\begin{equation*}
g(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \quad\text{.}
\end{equation*}

Veremos ahora que $g$ no es acotada en su dominio.
Demostración: Sea $N>0$ y a $x_{N} \in D_{g}$ definida como:
\begin{equation*}
x_{N}= \frac{1}{(N+1)^{\frac{3}{2}}}\quad\text{.}
\end{equation*}
Al tomar $g(x_{N})$ tenemos:
\begin{align*}
g(x_{N})&=g\left(\frac{1}{(N+1)^{\frac{3}{2}}}\right)\\
&=\frac{1}{\left(\frac{1}{(N+1)^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}}\\
&=\frac{1}{\frac{1}{N+1}}\\
&=N+1
\end{align*}
donde $N+1>N$ por lo que conluimos que $g$ es no acotada en su dominio.

$\square$

Más adelante

En la siguiente entrada, veremos un conjunto de funciones muy particular: las funciones polinomiales. Adicionalmente, revisaremos las funciones racionales. Para ambos tipos de funciones, examinaremos su definición y algunos ejemplos.

Tarea moral

  • Dada la función $f(x)=x^{3}$. Demuestra que:
    • $f$ es creciente en $[0, \infty)$.
    • $f$ es creciente en $(-\infty,0)$.
  • Demuestra los puntos 1, 2 y 3 del Teorema:
    • $f$ par y creciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es decreciente en $(-\infty, 0)$.
    • $f$ par y decreciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es creciente en $(-\infty, 0)$.
    • $f$ impar y creciente en el intervalo $[0, \infty) \Rightarrow f$ es creciente en $(-\infty, 0)$.
  • Demuestra que la función $h: (0,1) \rightarrow \r$ definida como:
    $$h(x)=\frac{1}{x^{3}}$$
    no es acotada en su dominio.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Moderna I: Palabras

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Deja un comentario

Introducción

En la entrada anterior tomamos un grupo $G$ y un subconjunto $X \subseteq G$ y, logramos encontrar al menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Este conjunto resultó ser la intersección de todos los subgrupos contenidos en $G$ que, a su vez, contienen a $X$. Recordemos que se llama el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota

\begin{align*}
\left< X\right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H.
\end{align*}

Sin embargo, esto no nos dice mucho sobre los elementos de $X$. Ilustremos un poco lo que tenemos. Tomemos un grupo $G$, un subconjunto $X \subseteq G$ y al generado $ \left<X\right> \subset G$. Entonces, si tomamos $x_1,x_2,x_3 \in X$, sabemos que todas las potencias de esos elementos están en el generado de $X$. Es decir, para todas $q,r,s \in \z$, $x_1^q, x_2^r, x_3^s \in \left<X\right>$. Más aún, las diferentes multiplicaciones de esos elementos también están en $\left<X\right>$, por ejemplo, si consideramos $x_1^1, x_3^{-2}, x_2^{3}$ y $x_1^{-4}$, el elemento

\begin{align}\label{palabra}
x_1^{-4} x_3^{-2} x_1^1 x_2^{3}
\end{align}

está en $\left<X\right>$, por ser una multiplicación de elementos del subgrupo. Entonces, en el generado de $X$ estarán todos los elementos de $X$, las potencias de esos elementos y todas las multiplicaciones entre dichas potencias.

Al elemento \eqref{palabra} la llamamos una palabra en $X$ y es lo que estudiaremos en esta entrada. Además, las palabras nos permiten dar descripción del subgrupo generado. Esta idea es análoga a la que se estudia en álgebra lineal cuando se describe al subespacio generado por un conjunto como una colección de combinaciones lineales de vectores. Sin embargo, en el caso de subgrupos, esta descripción no es igual a la de álgebra lineal porque hay que recordar que un grupo en general no es abeliano. Esto influye en qué tanto se pueda simplificar una palabra.

Nuestra primera aproximación a las palabras

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Una palabra en $X$ es, o bien el neutro $e$, o bien un elemento de la forma

$x_1^{\alpha_1}, \dots, x_n^{\alpha_n}$

con $n \in \n^+$, $x_1,\dots, x_n\in X, \alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$.

Notación. Denotamos por $W_X$ al conjunto de todas las palabras en $X$.

Ejemplos

Ejemplo 1. Sea $G = D_{2(4)}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un cuadrado centrado en el origen. Sea $a$ la rotación de $\pi/2$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
$ba^3 b a^{-1} b^{-4} a$ es una palabra en $\{a, b\}$.

En este caso, la palabra sí se puede simplificar como:
\begin{align*}
b a^3 b a^{-1}b^{-4} a &= ba^3ba^{-1} e a \\
& = b a^3 b a^{-1} a \\
& = ba^3 b
\end{align*}

Para la primera igualdad, recordemos que $b$ es la rotación por $\pi/2$, entonces al aplicar esa rotación $4$ veces, el cuadrado recupera su estado inicial, así por eso $ b^{4} = e$ y de forma análoga como $b^{-1}$ es la rotación por $-\pi/2$ se tiene que $b^{4} = e$.

Notación. Usaremos la notación $D_{2(4)}$ para denotar las simetrías del cuadrado (que tiene 4 vértices), este grupo diédrico tiene 8 elementos. Otros autores pueden escribir simplemente $D_8$, pero esto se puede confundir con el grupo de las simetrías de un octágono. De forma más general el grupo diédrico de un polígono de $n$ lados es el grupo de simetrías de un polígono regular de $n$ lados centrado en el origen, con la operación de composición. Lo denotatemos por $D_{2n}$ y tendrá $2n$ elementos.

Ejemplo 2. Consideremos el conjunto $ \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$. Este conjunto es llamado el grupo de los cuaterniones o cuaternios y se suele denotar por $Q$ o $Q_8$ porque tiene 8 elementos.

Las operaciones en el conjunto se definen como:
\begin{align*}
1 a &= a 1 = a &\forall a \in Q \\
(-1) a &= a (-1) = -a & \forall a \in Q
\end{align*}

Además, las multiplicaciones no son conmutativas y están definidas así:
$\begin{align*}
ij &= k, \quad &jk = i, \quad &ki =j, \\
ji &= -k, \quad &kj = -i, \quad &ik=-j, \\
i^2 &= j^2 = k^2 = -1.
\end{align*}$

Una palabra en $\{j\}$ es $j^5j^{-2} j^{3} j^{-4}$, resolviendo las potencias podemos concluir que esta palabra es igual a $-1$ (verificarlo quedará como ejercicio). Podemos ahora considerar el conjunto de todas las palabras formadas con el elemento $j$, es decir el conjunto de palabras en $\{j\}$. Se puede ver que:
\begin{align*}
W_{\{j\}} = \{j,-1,-j, +1\}.
\end{align*}

También podemos considerar el conjunto de palabras formadas con los elementos $j$ y $k$, es decir el conjunto de palabras en $\{j,k\}$. En este caso se tiene que:
\begin{align*}
W_{\{j,k\}} = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}=Q.
\end{align*}

Palabras y el subgrupo generado por $X$

Lema. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. $W_X$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$.

Demostración.
Caso 1, cuando $X = \emptyset$.
En este caso, $W_X = \{e\} \leq G$ y $X = \emptyset \subset \{e\} = W_X$.

Caso 2, cuando $X \neq \emptyset$.
P.D. $W_X \leq G$.
Por definición $e \in W_X$.
Sean $a, b \in W_X$, entonces

\begin{align*}
a &= x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} & \alpha_1, \dots, \alpha_n, \beta_1, \dots, \beta_m \in \z \\
b &= y_1^{\beta_1} \dots y_m^{\beta_m} & x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m \in X\\
&& n,m \in \n^+
\end{align*}

Entonces, podemos tomar $ab^{-1}$ y verificar quién es

\begin{align*}
a b^{-1} &= (a_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n})(y_1 \dots y_m^{\beta_m})^{-1} \\
& = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n}y_m^{-\beta} \dots y_1^{-\beta_1} \in W_X.
\end{align*}

Por lo tanto $W_X \leq G$.

P.D. $X \subseteq W_X$.
Sea $x \in X$,
\begin{align*}
x = x^1 \in W_X.
\end{align*}

Por lo tanto $X \subseteq W_X$.

En ambos casos $W_X$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$.

$\blacksquare$

Teorema. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Entonces

$\left< X \right> = W_X$.

Demostración.
$\subseteq)$ Por el lema anterior, $W_X \in \{H \leq G : X \subseteq H\}$. Entonces, por nuestra definición del subgrupo generado,
\begin{align*}
\left< X \right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq W_X.
\end{align*}

$\supseteq)$ Sea $a \in W_X$, entonces $a = x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}$ con, $n \in \n^+$, $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$ y $x_1, \dots, x_n \in X$.

Como cada $x_i \in X$, con $i \in \{1,..,n\}$, y $X \subseteq \left< X \right>$, entonces $x_i\in\left< X \right>$ para toda $i \in \{1, \dots ,n\}$.
Como el generado es un subgrupo de $G$, obtenemos que $x_i^{\alpha_i} \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$. Usando nuevamente que el generado es un subgrupo de $G$ tenemos que $a = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} \in \left<X\right>$.

Por lo tanto, $\left< X \right> = W_X$.

$\blacksquare$

¿Quién es el orden de un producto?

Ya hemos hablado del orden de un elemento. Si tenemos un grupo $G$ y $a, b \in G$ y sabemos quién es $o(a)$ y $o(b)$, ¿podemos saber cómo es $o(ab)$? En algunos casos podemos respuesta a esta pregunta dando una explicación más precisa de cómo es el orden de un producto en términos del orden de sus factores. El siguiente resultado aparece en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto mencionado en la bibliografía, Teorema 3.3.12:

Teorema. Sea $G$ un grupo y $a, b \in G$.
Si $a$ y $b$ son de orden finito, sus ordenes son primos relativos y $ab = ba$, entonces

\begin{align*}
o(ab) &= o(a) o(b) \\
\text{y } \left< a,b \right> &= \left<ab\right>.
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$ de orden finito con $n = o(a)$, $m = o(b)$. Supongamos que $(n;m) = 1$ y $ab = ba$.

P.D. $o(ab) = nm$.
Entonces

\begin{align*}
(ab)^{nm} & = a^{nm} b^{nm} & \text{ porque } ab = ba \\
& = (a^n)^m(b^m)^n & \text{ propiedades de los exponentes}\\
& = e^m e^n \\
& = e
\end{align*}

Ya teniendo que $(ab)^{nm} = e$, tenemos que ver que $nm$ es el menor exponente positivo tal que al elevar $ab$ a ese exponente nos da el neutro, o bien ver que divide a cualquier otro $k$ tal que $(ab)^k = e$. Procedamos de acuerdo a la segunda opción.

Sea $k\in\z$ tal que $(ab)^k = e$, y como $ab=ba$ esto implica que $a^k b^k = e$. Despejando, obtenemos $a^k = b^{-k}$.

Así $(a^k)^m = (b^{-k})^m = (b^m)^{-k} = e^{-k} = e$ (porque $o(b) = m$), es decir $a^{km} = e$. Dado que $o(a) = n$, entonces $n|km$ y como $(n;m) = 1$ entonces $n|k$.

Si consideramos ahora $(a^k)^n = (b^{-k})^n$ y seguimos un argumento análogo obtenemos que $m|k$.

Como $n|k$ y $m|k$ y $(n;m) = 1$, entonces $nm|k$.
Por lo tanto $o(ab) = nm$.

P.D. $\left< a,b \right> = \left< ab \right>$.
Como toda palabra en $\{ab\}$ es una palabra en $\{a, b\}$ entonces
\begin{align*}
\left< ab \right> \subseteq \left< a, b \right>.
\end{align*}

Por otro lado, como $ab = ba$, toda palabra en $\{a,b\}$ se reduce a una de la forma $a^{i}b^{j}$ con $i, j \in \z$, y como $o(a) = n$, $o(b) = m$, la expresión $a^{i}b^{j}$ se puede reducir aún más a una expresión de la forma $a^{i}b^{i}$ con $0 \leq i < n$ y $0 \leq j < m$.

Entonces $\left< a, b \right> = \{a^{i}b^{j}: 0 \leq i < n, 0 \leq j < m\}$. Luego, $|\left<a, b\right>| \leq nm$.
Pero $\left< ab \right> \subseteq \left<a,b\right>$, entonces $|\left< ab \right>| \leq |\left< a,b \right>|$.
Así,

\begin{align*}
nm = o(ab) = |\left< ab \right>| &\leq |\left< a,b \right>| \leq nm. \\
\end{align*}

Por lo tanto $\left<ab\right> = \left< a, b \right>$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. En el grupo de los cuaternios definido anteriormente, verifica que $j^5j^{-2}j^3j^{-4} = -1$.
  2. Considera $Q$, el grupo de cuaternios. Reduce la siguiente palabra a uno de los elementos $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$,
    $$\begin{align*}
    j^7k(-i)jki^2jk^{-6}
    \end{align*}$$
  3. Sea $D_{2n} = \{\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b\}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un polígono regular de $n$ lados, con $a$ la rotación de $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    1. Identifica geométricamente quiénes son $\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b$.
    2. Determina quién es el elemento $bab$ y, de modo más general, quién es el elemento $ba^{i}b$ para toda $i\in\z$.
    3. Determina quién es el elemento $ba^i$ para toda $i\in\z$.
  4. Considera el grupo simétrico $S_5$, $\alpha$ la permutación que manda $1$ en $2$, $2$ en $3$ y $3$ en $1$, fija a $4$ y a $5$, y $\beta$ la permutación que intercambia $4$ y $5$.
    1. Encuentra $\beta \alpha$ y $\alpha \beta$.
    2. Encuentra el orden de $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ y $\beta\alpha$.
  5. Por último, te invitamos a que veas este video que habla sobre las aplicaciones tecnológicas del grupo de los cuaternios. El video está en inglés, pero tiene subtítulos en español.

Más adelante…

¡Felicidades por acabar la Unidad 1! Ya entiendes las bases de este curso, trata de recordarlas porque las estaremos usando implícitamente.
En la siguiente unidad estaremos viendo Permutaciones y Grupo Cociente, para no adelantar mucho, sólo diremos que ambas estructuras son grupos muy importantes en el álgebra y nuestros objetos de estudio en la siguiente unidad.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones pares e impares

Por Karen González Cárdenas

2 respuestas

Introducción

Ahora veremos cuales son las características que debe cumplir una función para ser par o impar. Veremos geométricamente qué ocurre con estas funciones. De igual manera, veremos qué ocurre al realizar operaciones entre ellas.

Definición de función par

Definición: Decimos que $f: A \rightarrow B$ una función es par si y sólo si para todo $x \in A$ ocurre que:
$$f(x)=f(-x)\quad\text{.}$$

Ejemplo

La función $f(x)=x^{2}$ cumple ser par ya que:
$$f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$$
para todo $x \in \r$.
De su gráfica observamos que $f$ se refleja respecto al eje $y$:

Definición de función impar

Definición: Decimos que $f: A \rightarrow B$ una función es impar si y sólo si para todo $x \in A$ ocurre que:
$$f(-x)= – f(x)\quad\text{.}$$

Ejemplo

La función $g(x)=x$ cumple ser impar ya que:
$$g(-x)=(-x) = – (x) = -g(x)$$
para todo $x \in \r$.
De su gráfica observamos que $f$ se refleja respecto al origen:

Un teorema importante

Teorema: Cualquier función $f: \r \rightarrow \r$ puede expresarse como la suma de una función par e impar, es decir,
$$f(x)= P(x)+ I(x)$$
para toda $x \in \r$, donde $P(x)$ e $I(x)$ son únicas.
Demostración: Consideremos las funciones $P(x)$ par e $I(x)$ impar como sigue:
\begin{align*}
P(x)&=\frac{f(x)+f(-x)}{2} & I(x)&=\frac{f(x)-f(-x)}{2}
\end{align*}

Vemos que al realizar la suma obtenemos:
\begin{align*}
P(x)+I(x) &= \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}\\
&= \frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2}\\
&= \frac{2f(x)}{2}\\
&= f(x)
\end{align*}

Ahora nos falta ver qué $P(x)$ e $I(x)$ son únicas. Como ya sabemos que $f(x)= P(x)+ I(x)$ tenemos lo siguiente:
\begin{align}
f(x)&=P(x)+I(x)\\
f(-x)&=P(x)-I(x)\\
\end{align}
Así sumando $(1)$ y $(2)$ obtenemos:
\begin{align*}
f(x)+f(-x) &= 2 P(x)\\
P(x) &= \frac{f(x)+f(-x)}{2}
\end{align*}
Ahora restando $(1)$ y $(2)$ obtenemos:
\begin{align*}
f(x)-f(-x) &= 2 I(x)\\
I(x) &= \frac{f(x)-f(-x)}{2}
\end{align*}
Dado que tenemos la igualdad $f(x)= P(x)+ I(x)$ concluimos que $P(x)$ e $I(x)$ son únicas.

$\square$

Ejercicio

Consideremos las funciones $f,g: \r \rightarrow \r$. ¿Cómo es $f+g$, $fg$ y $f \circ g$ si:

  1. $f$ y $g$ son pares
  2. $f$ y $g$ son impares
  3. $f$ es par y $g$ es impar
  4. $f$ es impar y $g$ es par

es par, impar o no necesariamente alguna de las anteriores?

En la suma de funciones


1. Si $f$ y $g$ son pares $\Rightarrow f+g$ es par.
Demostración:
Vemos que al desarrollar:
\begin{align*}
(f+g)(-x)&= f(-x)+g(-x)\tag{ definición de $f+g$}\\
&= f(x)+g(x)\tag{ por $f$ y $g$ pares}\\
&= (f+g)(x)\tag{ definición de $f+g$}\\
\end{align*}
3. Si $f$ es par y $g$ es impar $\Rightarrow f+g$ no necesariamente es par o impar.
Consideremos $f(x)= x^{2}$ y $g(x)=x$. Luego si $x=1$ entonces:
\begin{align*}
(f+g)(-1)&= f(-1)+g(-1) & (f+g)(1)&= f(1)+g(1)\\
&= 1-1 & &= 1+1\\
&= 0 & &=2
\end{align*}
$\therefore (f+g)(-1) \neq (f+g)(1)$
$\therefore f+g$ no es par.

Además veamos que $-(f+g)(1)=-2$ por lo que:
$$-(f+g)(1) \neq (f+g)(-1)$$
$\therefore f+g$ tampoco es impar.

En el producto de funciones


1. Si $f$ y $g$ son pares $\Rightarrow fg$ es par.
Demostración:
Si tomamos $fg(-x)$ observamos lo siguiente:
\begin{align*}
(fg)(-x)&= f(-x)g(-x) \tag{definción de $fg$}\\
&= f(x)g(x) \tag{por$f$ y $g$ pares}\\
&= (fg)(x)
\end{align*}
$\therefore fg$ es par.

2. Si $f$ y $g$ son impares $\Rightarrow fg$ es par.
Demostración:
Comenzando con $fg(-x)$ y desarrollando tenemos:
\begin{align*}
(fg)(-x)&= f(-x)g(-x) \tag{definción de $fg$}\\
&= (-f(x))(-g(x)) \tag{por$f$ y $g$ impares}\\
&=f(x)g(x)\\
&= (fg)(x)
\end{align*}
$\therefore fg$ es par.

En la composición de funciones


3. Si $f$ es par y $g$ es impar $\Rightarrow f \circ g$ es par.
Demostración:
Realizando la composición $(f \circ g)(-x)$:
\begin{align*}
(f \circ g)(-x)&=f(g(-x)) \tag{definción de $f \circ g$}\\
&= f(-g(x)) \tag{ por $g$ impar}\\
&= f(g(x)) \tag{por $f$ par}\\
&=(f \circ g)(x)
\end{align*}
$\therefore f \circ g$ es par.

4.Si $f$ es impar y $g$ es par $\Rightarrow f \circ g$ es par.
Demostración:
Procediendo análogamente al punto anterior:
\begin{align*}
(f \circ g)(-x)&=f(g(-x)) \tag{definción de $f \circ g$}\\
&= f(g(x)) \tag{ por $g$ par}\\
&=(f \circ g)(x)
\end{align*}
$\therefore f \circ g$ es par.

Los puntos faltantes se dejarán como ejercicios de Tarea moral, para resolverlos se debe proceder como en los incisos anteriores según sea el caso.

Más adelante

En la siguiente entrada, continuaremos con las funciones crecientes y decrecientes. Veremos qué características debe cumplir una función para poder determinar si crece o decrece en un intervalo. También exploraremos qué significa ser una función acotada y algunas pruebas relacionadas con este concepto.

Tarea moral

  • Prueba que las funciones $P(x)$ e $I(x)$ cumplen con ser par e impar respectivamente:
    \begin{align*}
    P(x)&=\frac{f(x)+f(-x)}{2} & I(x)&=\frac{f(x)-f(-x)}{2}
    \end{align*}
  • Demuestra que la función constante cero es la única que cumple ser par e impar.
  • Exprese a las siguientes funciones como suma de una función par y una impar:
    • $f(x)= x^{2}-4x+2$
    • \begin{multline*}h(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\end{multline*}
  • Termina los puntos faltantes del ejercicio anterior:
    • Para $f+g$ cuando $f$ y $g$ son impares

    • Para $f+g$ cuando $f$ es impar y $g$ es par.

    • Para $fg$ cuando $f$ es par y $g$ es impar

    • Para $fg$ cuando $f$ es impar y $g$ es par

    • Para $f \circ g$ cuando $f$ y $g$ son pares

    • Para $f \circ g$ cuando $f$ y $g$ son impares

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»