Geometría Moderna I: Postulados de Euclides

Introducción

En la primera entrada del curso definimos algunos objetos importantes que nos permitirán desarrollar la teoría y al final mostramos un ejemplo en donde varios de ellos entran en juego, sin embargo, dimos un par de cosa por ciertas, a saber, que es posible trazar los segmentos $AB$ y $ BC$ y que podemos extender dichos segmentos tanto como lo necesitemos.

Es importante mencionar que, para poder empezar a construir una teoría, se tienen que suponer algunas propiedades como ciertas. A este tipo de propiedades que se aceptan a priori les llamamos axiomas.

En Lógica Matemática requerimos que los axiomas de una teoría tengas las siguientes características: ser completos, esto es, que a partir de ellos todas las proposiciones referentes a objetos de la teoría puedan ser demostradas; que sean independientes o que ninguno de ellos pueda ser demostrado a partir de los demás, y que sean consistentes, es decir, que no se contradigan.

Postulados de Euclides

Euclides fue u matemático griego que vivió alrededor del año 300 AC. En su obra reunió los conocimientos fundamentales que los matemáticos griegos habían desarrollado hasta ese momento y los expuso de manera ordenada. Sus demostraciones geométricas se guiaban por el método deductivo, lo que garantizaba la validez de sus afirmaciones. El método deductivo sigue siendo útil no solo en la Geometría sino en las Matemáticas en general.

Euclides comenzó su obra definiendo los objetos con los que iba a trabajar, después establecido las reglas generales con que esos objetos se relacionaban es decir los postulados y después enuncio propiedades generales sobre la igualdad de magnitudes llamadas nociones comunes. Cabe destacar que los axiomas de Euclides no cumplen con la condición de ser completos, sin embargo, a partir de ellos se puede construir gran parte de la teoría geométrica que hoy se estudia.

Estos son los cinco axiomas a los que Euclides llamo postulados:

  1. Por dos puntos siempre es posible trazar una recta. Lo que nos permite trazar $AC$ y $BC$ en el ejemplo del final de la entrada pasada.
  2. Es posible prolongar una recta tanto como se quiera en cualquiera de sus dos direcciones. Así podemos extender $AC$ y $BC$ hasta los puntos $A’$ Y $B’$ respectivamente.

Definición 1. Al lugar geométrico de los puntos $P$ que equidistan a un punto fijo $O$ le llamamos circunferencia o circulo. Si la distancia entre $P$ y $O$ es $r$ denotamos como $C(O,r)$ a la circunferencia con centro en $O$ y radio $r$.

  1. Cualquier punto del plano y segmento pueden ser usados como centro y radio respectivamente de un círculo. Esta propiedad nos permite comparar tamaños de segmentos, pues en Geometría Moderna no se utilizan unidades preestablecidas. En nuestro problema pudimos hacer $AC$ = $CA’$ porque implícitamente trazamos una circunferencia con centro en $C$ y radio $AC$ de manera que al intersecar la recta que contiene al segmento $AC$ con el circulo $C(C, AC)$ pudimos encontrar $A’$.
  2. Todos los ángulos rectos son iguales. Con esta propiedad es posible definir una unidad angular, el ángulo recto.
  3. Si por dos rectas pasa una transversal tal que, de alguno de los lados de la transversal, la suma de los ángulos interiores es menor a dos ángulos rectos, entonces, si las dos rectas se prolongan lo suficientemente del lado en que dicha suma es menor a 2 ángulos rectos, las rectas se intersecaran.

El quinto postulado y sus consecuencias

Como podemos apreciar, los primeros cuatro postulados son aseveraciones intuitivas mientras que el quinto está enunciado de una forma que parece establecer condiciones a partir de las cuales ocurre algo, esto causo mucha controversia por más de dos mil años, pues aparenta ser una proposición que debe ser demostrada.

Hubo numerosos intentos por demostrar el que fuera conocido en aquel entonces como axioma de las paralelas. Como resultado se encontraron equivalencias, se llegó a la conclusión de que no era posible demostrar el quinto postulado a partir de los cuatro primeros y que además era posible aceptar otros axiomas como ciertos en lugar del quinto, lo que dio origen a las geometrías no euclidianas.

Estas son algunas de las equivalencias más sencillas del quinto postulado:

  1. 1. Dada una recta y un punto fuera de ella existe una única paralela a la recta dada que pasa por el punto.
  1. 2. Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Definición 2. El ángulo exterior de un polígono es el ángulo entre cualquiera de sus lados y la extensión de otro de los lados con el que comparte un vértice.

  1. 3. Un ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
  1. 4. Para todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a dos ángulos rectos.

Debido a esta ultima propiedad denotaremos a la suma de los ángulos internos de un triangulo como $\pi$.

Nociones comunes

Las nociones comunes que enunció Euclides también son axiomas que se refieren al manejo de magnitudes del mismo tipo.

  1. Cosas que sean iguales a una tercera son iguales entre sí.
    Si $a = c$ y $c = b$ entonces $a = b$
  2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales las resultantes son iguales.
    Si $a = b$ entonces $a + c = b + c$
  3. Si de cosas iguales se substraen cosas iguales las resultantes son iguales.
    Si $a = b$ entonces $a – c = b – c$
  4. Cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
    Esto se refiere más que nada a la superposición de objetos, es decir si al superponer dos objetos estos coinciden entonces tendrán las mismas magnitudes.
  5. El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
    Si $c = a + b$ entonces $c > a$ y $c > b$, siempre que $a$ y $b$ representen magnitudes positivas.

Hay otras nociones que también usamos frecuentemente, por ejemplo, las primeras tres nociones se preservan si sustituimos igualdad por desigualdad.

Tricotomía. Para $a$ y $b$ magnitudes de la misma clase ocurre uno y solo uno de los siguientes:
$a = b$, $a < b$ o $b < a$.

Demostración por reducción al absurdo

Este tipo de demostración es comúnmente usada en Matemáticas y particularmente en este curso será muy útil cuando no es posible demostrar algo de manera directa. La idea general es suponer que dada una hipótesis no se cumple la tesis de la proposición y a partir de ahí tenemos que encontrar algún tipo de contradicción a algo que sabemos que si es cierto.

Para ejemplificar este de método de demostración, mostraremos una equivalencia del quinto postulado.

Proposición: El axioma de las paralelas y la afirmación 5.2 son equivalentes.

Demostración: Seguiremos el método de reducción al absurdo, primero veamos que 5 implica 5.2. Asumimos que se cumple el axioma de las paralelas y queremos demostrar que dadas dos rectas paralelas y una transversal a ella los ángulos alternos internos son iguales.

Sean $l_{1}$ y $l_{2}$ las rectas paralelas y $l_{3}$ la transversal a ellas y supongamos que los ángulos alternos internos $\alpha$ y $\beta$ no son iguales, por tricotomía uno es mayor que el otro.

Sin pérdida de generalidad supongamos que $\alpha > \beta$,

podemos sumar a ambos lados de la desigualdad $\gamma$, entonces $\alpha + \gamma > \beta + \gamma$,

dado que $\alpha + \gamma = \pi$ esto implica que $\pi > \beta + \gamma$.

Por el quinto axioma de Euclides sabemos que las rectas se cortan. Lo cual es una contradicción al hecho de que las rectas son paralelas. Así, nuestra suposición de que los ángulos alternos internos eran diferentes es errónea y, por lo tanto, los ángulos alternos internos son iguales.

$\blacksquare$

Ahora veamos que 5.2 implica 5. Nuestra hipótesis es que los ángulos alternas internos entre paralelas son iguales, queremos demostrar que si de un lado de una transversal que corta a dos rectas la suma de los ángulos internos es menor que dos ángulos rectos entonces dichas rectas se cortan en algún punto.

Supongamos lo contrario es decir, que las rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ son paralelas por la afirmación 5.2 sabemos que los ángulos alternos internos son iguales, $\beta = \gamma$.

Y sabemos que los ángulos $\alpha$ y $\gamma$ son suplementarios, esto es, que su suma es igual a dos ángulos rectos.

Por lo tanto $\pi = \alpha + \gamma = \alpha + \beta$.

Lo que es una contradicción pues nuestra hipótesis era que la suma de los ángulos era menor que dos ángulos rectos. Por lo tanto, las rectas se cortarán en algún punto.

$\blacksquare$

De aquí en adelante usaremos cualquiera de las equivalencias del quinto postulado según nos convenga.

Volviendo a nuestro ejemplo del la entrada anterior recordemos que habíamos construido dos triángulos que tenían dos lados iguales y el ángulo entre dichos lados también igual.

Una manera de demostrar la igualdad del tercer lado seria suponer que podemos girar el triángulo $\triangle A’CB’$ en torno al punto $C$ de tal manera que el lado $CA’$ se encimara sobre el lado $CA$, dado que los ángulos $\angle ACB$ y $\angle A’CB’$ son iguales entonces el lado $CB’$ se encimaría con el lado $CB$ y ya que los lados superpuestos tienen la misma longitud los pares de puntos $A$, $A’$ y $B$, $B’$ coincidirían, de esta manera los segmentos $AB$ y $A’B’$ coincidirían, pero también los pares de ángulos $\angle CAB$, $\angle CA’B’$ y $\angle CBA$, $\angle CB’A’$ coincidirían, por la noción común numero 4 son iguales entre ellos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Demuestra el reciproco de la afirmación 5.2; es decir, si por dos rectas distintas pasa una transversal y los ángulos alternos internos son iguales entonces las rectas son paralelas.
  2. Muestra que dos rectas paralelas a una tercer recta son paralelas entre si.
  3. Demuestra que la perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella es única.
  4. Demuestra que la perpendicular a una recta desde un punto en ella es única.
  5. Demuestra las equivalencias que no se demostraron del quinto postulado de Euclides

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos de manera más formal sobre la rotación que usamos al final de esta entrada y sobre otras transformaciones que nos permitirán demostrar que cuando dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo entre ellos también igual entonces podemos decir que los triángulos son iguales, abordaremos también otros criterios.

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