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Álgebra Moderna I: Grupo Cociente 

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La definición de subgrupos normales fue motivada porque queremos extraer las propiedades de los enteros a grupos más generales. Recordemos que en los enteros se define una relación de equivalencia (módulo $n$) de donde obtenemos clases de equivalencia. Estas clases no sólo inducen una partición, si no que conforman un subgrupo de $\z$. En esta entrada queremos generalizar esta idea y buscamos dar una operación en ciertas clases de equivalencia de modo que éstas formen también un grupo.

Grupo cociente $G$ módulo $N$

Teorema. Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$.

El conjunto
$$G/N = \{aN | a\in G\}.$$
con la operación $$(aN)(bN) = ab N \qquad \forall a,b \in G$$
es un grupo de orden $[G : N ].$

Definición. Al conjunto $G/N$ de arriba se le conoce como el grupo cociente $G$ módulo $N$.

Demostración del teorema.

Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$.

En $\{aN|a\in G\}$ consideremos la operación $$(aN)(bN) = ab N \qquad \forall a,b \in G.$$

Primero veamos que está bien definida.
Sean $a,a’,b,b’\in G$ con $aN = a’N$, $bN = b’N$.
P.D. $abN = a’b’N.$

Como $aN = a’N$, $a’ \in aN$ entonces $a’ = an$ con $n\in \n$.

Como $bN = b’N$, $b’ \in bN$ entonces $b’=b\tilde{n}$ con $\tilde{n} \in N$.

Sustituyendo $a’$ y $b’$ en $a’b’$ tenemos que $a’b’ = (an)(b\tilde{n}) = a(nb)\tilde{n}$.

Como $N \unlhd G$, por la conmutatividad parcial, $nb = b\hat{n}$ con $\hat{n}\in N$.
Entonces $a’b’ = a(b\hat{n})\tilde{n} = ab(\hat{n}\tilde{n}) \in abN$.

Por lo tanto $a’b’N = abN.$

Veamos ahora que con esta operación, $G/N$ es un grupo.

P.D. La operación es asociativa.
Sean $aN, bN, cN \in G/N$ con $a,b,c \in G$.

\begin{align*}
aN\,(bN \,cN) &= aN(bcN) = a(bc)N & \text{Definición del producto de clases}\\
&=(ab)c N &\text{Asociatividad en } G \\
&= (abN)cN = (aNbN)cN.
\end{align*}

Por lo tanto la operación en $G/N$ es asociativa.

P.D. El neutro de la operación existe y está en $G/N$.
Sea $aN\in G/N$,
\begin{align*}
&N(aN) = (eN)(aN) = eaN = aN &\text{Neutro en } G\\
&(aN)N = (aN)(eN) = aeN = aN&\text{Neutro en } G
\end{align*}

Por lo tanto $N$ es neutro en $G/N$.

P.D. Para cada elemento en $G/N$ existe un inverso bajo la operación y este inverso está en $G/N$.
Dado $aN\in G/N$, como $a\in G$ consideremos $a^{-1} \in G$ su inverso en $G$.

\begin{align*}
(aN)(a^{-1} N) = a a^{-1} N = eN = N\\
(a^{-1}N)(aN) = a^{-1} a N = eN = N.
\end{align*}

Así $a^{-1}N$ es inverso de $aN$. Por lo tanto $G/N$ es un grupo.

Finalmente,
$$|G/N| = \#\{aN | a\in G\} = [G : N ].$$

$\blacksquare$

Notemos que en la demostración de que $G/N$ con el producto es un grupo, usamos solamente las propiedades de que $G$ es grupo.

Primer y segundo ejemplo

Ahora veremos algunos ejemplos de grupo cociente.

El primer ejemplo es justo el que motivó la idea de grupo cociente.
Tomemos $(\z, +)$ y $H = \{m | 4 \text{ divide a } m\} = 4\z \unlhd \z$. $4\z$ es normal porque $\z$ es abeliano.
Entonces, vamos describiendo el grupo cociente paso por paso:
\begin{align*}
\z/4\z &= \z/H = \{H, 1+ H, 2 + H, 3 + H\}\\
& = \{\{4k\,|k\in\z\}, \{4k + 1|k\in\z\}, \{4k+2|k\in\z\},\{4k+3|k\in\z\}\}\\
& = \{\bar{0},\bar{1},\bar{2}, \bar{3}\} = \z_4.
\end{align*} La suma se realiza a partir de la suma de los representantes del siguiente modo: $$(a+H)+(b+H)=(a+b)+H,$$ es decir $$\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b},$$ para cualesquiera $a,b\in\z$.

Ahora, para el segundo ejemplo, consideremos $n\geq2$ y tomamos $A_n \unlhd S_n$. En la entrada anterior vimos por qué $A_n$ es un subgrupo normal de $S_n$.
De nuevo, vamos describiendo el grupo cociente.
\begin{align*}
S_n/A_n &= \{A_n, (1\;2) A_n\}\\ &= \{\{\alpha\,|\alpha \text{ es par}\},\{(1\;2)\alpha\,|\alpha \text{ es par}\}\}\\
&= \{\{\alpha\,|\alpha \text{ es par}\},\{\beta\,|\beta \text{ es impar}\}\}.
\end{align*}

En la tabla se muestra el resultado del producto de los elementos de $S_n/A_n$. Podemos observar que $A_n$ funge como neutro.

Representación gráfica de la partición de $S_n$ en permutaciones pares e impares.
Tabla que muestra el producto de los conjuntos de $S_n/A_n$.

Así, estamos partiendo a $S_n$ en permutaciones pares (representadas por $(1)$) e impares (representadas por $(1\, 2)$). De esta manera, podemos decir que multiplicar dos permutaciones pares o dos impares resulta en una permutación par, pero multiplicar una par con una impar resulta en una permutación impar.

Tercer y cuarto ejemplo

A continuación, para nuestro tercer ejemplo, tomamos $ N = \{\pm 1\} \unlhd Q$.
Para obtener una nueva clase lateral, escogemos un elemento de los cuaternios que no esté en $N$. El cociente se vería de la siguiente manera:
\begin{align*}
Q/N&=\{N, iN, jN, kN\}\\
&= \{\{\pm 1\},\{\pm i\},\{\pm j\},\{\pm k\}\}.
\end{align*}
De nuevo, en las imágenes podemos ver una tabla que expresa el resultado de multiplicar distintas clases y una representación gráfica de las clases que obtenemos en el cociente.
Podemos verificar algunas de las operaciones de la tabla, hacemos el producto de $Q/N$ usando el producto en $Q$. Recordemos que $-kN = kN$ y $-iN = i N$, pues $k$ y $-k$ viven en una misma clase, y $-i$ e $i$ también son parte de una misma clase.

\begin{align*}
jN iN = jiN = -kN = kN \\
jN kN = kjN = -iN = iN.
\end{align*}

Partición de $Q$ inducida por $N$.
Tabla que muestra los resultados de las operaciones de los elementos de $Q/N$.

Si ahora consideramos $\left< k\right> \leq Q$, $\left< k\right> = \{\pm 1, \pm k\}$.
Entonces $\displaystyle [Q: \left< k\right> ]= \frac{|Q|}{|\left< k\right>|} = \frac{8}{4} = 2$, y así, $\left< k\right> \unlhd Q$.
Así $$Q/\left< k\right> = \{\left< k\right>, i \left< k\right>\}.$$

Tabla de las operaciones de los elementos de $Q/\left< k\right>$.
Partición de $Q$ inducida por $\left< k\right>$.

Para nuestro último ejemplo, consideremos $\z\times\z = \{(a,b) | a,b\in \z\}$, con la operación $(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d)$.
Sea $H = \{(a,a) | a \in \z\}$.
\begin{align*}
(a,b) + H = (c,d) + H &\Leftrightarrow -(a,b) +(c,d) \in H \\
&\Leftrightarrow (c-a,d-b)\in H \Leftrightarrow c-a = d-b\\
&\Leftrightarrow c = d+ (a-b).
\end{align*}
Recordemos que $-(a,b)$ es el inverso de $(a,b)$.
Así,
\begin{align*}
(a,b) + H &= \{(d + (a-b), d) | d\in \z\}\\
&= \{(a-b, 0) + (d,d)| d \in \z\}.
\end{align*}
En particular $(a, b) + H = (a-b, 0) + H$. Las clases laterales se muestran mejor gráficamente en la imagen.
Tomemos los puntos enteros del eje $x$ como representantes de las clases laterales:
\begin{align*}
\z\times\z/H &= \{(a,0) + H | a\in \z\}.\\
((a,0) + H) + ((c,0) + H) &= (a + c, 0) + H.
\end{align*}

En esta imagen representamos a cada clase lateral $(a,b) + H$ de un color distinto. Claramente son las diagonales discretas en el plano. También se muestra que los representantes de la clase son puntos en la misma diagonal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ tal que el producto de dos clases laterales izquierdas de $H$ en $G$ es de nuevo una clase lateral izquierda de $H$ en $G$ ¿es entonces $H$ normal en $G$?
  2. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo normal de $G$ de índice finito con $m = [G:H]$. Dada $a\in G$ ¿qué podemos decir del elemento $a^m$? ¿Y si $H$ no es normal en $G$?
  3. Sea $G$ un grupo finito, $N$ un subgrupo normal de $G$. Dada $a\in G$. Analiza cómo es el orden de $a$ en relación al orden de $aN$.
  4. Considera el grupo aditivo $\r^2$ y el subgrupo $N = \{(x,0)|x\in \r\}.$
    1. Determina qué deben cumplir $(a,b), (c,d) \in \r^2$ para que $(a,b)N = (c,d)N$.
    2. Describe al grupo $\r^2/N$.
  5. Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$ de índice finito con $p = [G:N]$ primo. Dada $a\in G$ ¿qué podemos decir de $\left< aN \right>$ y de $G/N$?
  6. Si quieres profundizar un poco más sobre Grupos cocientes, puedes revisar el video de Mathemaniac sobre el tema. El video está en inglés.

Más adelante…

En pocas palabras, un subgrupo normal induce una partición del grupo y ésta es el grupo cociente. Esta idea surge de lo que ocurre en los enteros. En la siguiente entrada usaremos el grupo cociente para crear, a partir de un grupo no abeliano, otro que sea abeliano.

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Álgebra Moderna I: Palabras.

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

En la entrada anterior tomamos un grupo $G$ y un subconjunto $X \subseteq G$ y, logramos encontrar al menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Este conjunto resultó ser la intersección de todos los subgrupos contenidos en $G$ que, a su vez, contienen a $X$. Recordemos que se llama el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota

\begin{align*}
\left< X\right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H.
\end{align*}

Sin embargo, esto no nos dice mucho sobre los elementos de $X$. Ilustremos un poco lo que tenemos. Tomemos un grupo $G$, un subconjunto $X \subseteq G$ y al generado $ \left<X\right> \subset G$. Entonces, si tomamos $x_1,x_2,x_3 \in X$, sabemos que todas las potencias de esos elementos están en el generado de $X$. Es decir, para todas $q,r,s \in \z$, $x_1^q, x_2^r, x_3^s \in \left<X\right>$. Más aún, las diferentes multiplicaciones de esos elementos también están en $\left<X\right>$, por ejemplo, si consideramos $x_1^1, x_3^{-2}, x_2^{3}$ y $x_1^{-4}$, el elemento

\begin{align}\label{palabra}
x_1^{-4} x_3^{-2} x_1^1 x_2^{3}
\end{align}

está en $\left<X\right>$, por ser una multiplicación de elementos del subgrupo. Entonces, en el generado de $X$ estarán todos los elementos de $X$, las potencias de esos elementos y todas las multiplicaciones entre dichas potencias.

Al elemento \eqref{palabra} la llamamos una palabra en $X$ y es lo que estudiaremos en esta entrada. Además, las palabras nos permiten dar descripción del subgrupo generado. Esta idea es análoga a la que se estudia en álgebra lineal cuando se describe al subespacio generado por un conjunto como una colección de combinaciones lineales de vectores. Sin embargo, en el caso de subgrupos, esta descripción no es igual a la de álgebra lineal porque hay que recordar que un grupo en general no es abeliano. Esto influye en qué tanto se pueda simplificar una palabra.

Nuestra primera aproximación a las palabras

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Una palabra en $X$ es, o bien el neutro $e$, o bien un elemento de la forma

$x_1^{\alpha_1}, \dots, x_n^{\alpha_n}$

con $n \in \n^+$, $x_1,\dots, x_n\in X, \alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$.

Notación. Denotamos por $W_X$ al conjunto de todas las palabras en $X$.

Ejemplos

Ejemplo 1. Sea $G = D_{2(4)}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un cuadrado centrado en el origen. Sea $a$ la rotación de $\pi/2$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
$ba^3 b a^{-1} b^{-4} a$ es una palabra en $\{a, b\}$.

En este caso, la palabra sí se puede simplificar como:
\begin{align*}
b a^3 b a^{-1}b^{-4} a &= ba^3ba^{-1} e a \\
& = b a^3 b a^{-1} a \\
& = ba^3 b
\end{align*}

Para la primera igualdad, recordemos que $b$ es la rotación por $\pi/2$, entonces al aplicar esa rotación $4$ veces, el cuadrado recupera su estado inicial, así por eso $ b^{4} = e$ y de forma análoga como $b^{-1}$ es la rotación por $-\pi/2$ se tiene que $b^{4} = e$.

Notación. Usaremos la notación $D_{2(4)}$ para denotar las simetrías del cuadrado (que tiene 4 vértices), este grupo diédrico tiene 8 elementos. Otros autores pueden escribir simplemente $D_8$, pero esto se puede confundir con el grupo de las simetrías de un octágono. De forma más general el grupo diédrico de un polígono de $n$ lados es el grupo de simetrías de un polígono regular de $n$ lados centrado en el origen, con la operación de composición. Lo denotatemos por $D_{2n}$ y tendrá $2n$ elementos.

Ejemplo 2. Consideremos el conjunto $ \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$. Este conjunto es llamado el grupo de los cuaterniones o cuaternios y se suele denotar por $Q$ o $Q_8$ porque tiene 8 elementos.

Las operaciones en el conjunto se definen como:
\begin{align*}
1 a &= a 1 = a &\forall a \in Q \\
(-1) a &= a (-1) = -a & \forall a \in Q
\end{align*}

Además, las multiplicaciones no son conmutativas y están definidas así:
$\begin{align*}
ij &= k, \quad &jk = i, \quad &ki =j, \\
ji &= -k, \quad &kj = -i, \quad &ik=-j, \\
i^2 &= j^2 = k^2 = -1.
\end{align*}$

Una palabra en $\{j\}$ es $j^5j^{-2} j^{3} j^{-4}$, resolviendo las potencias podemos concluir que esta palabra es igual a $-1$ (verificarlo quedará como ejercicio). Podemos ahora considerar el conjunto de todas las palabras formadas con el elemento $j$, es decir el conjunto de palabras en $\{j\}$. Se puede ver que:
\begin{align*}
W_{\{j\}} = \{j,-1,-j, +1\}.
\end{align*}

También podemos considerar el conjunto de palabras formadas con los elementos $j$ y $k$, es decir el conjunto de palabras en $\{j,k\}$. En este caso se tiene que:
\begin{align*}
W_{\{j,k\}} = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}=Q.
\end{align*}

Palabras y el subgrupo generado por $X$

Lema. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. $W_X$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$.

Demostración.
Caso 1, cuando $X = \emptyset$.
En este caso, $W_X = \{e\} \leq G$ y $X = \emptyset \subset \{e\} = W_X$.

Caso 2, cuando $X \neq \emptyset$.
P.D. $W_X \leq G$.
Por definición $e \in W_X$.
Sean $a, b \in W_X$, entonces

\begin{align*}
a &= x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} & \alpha_1, \dots, \alpha_n, \beta_1, \dots, \beta_m \in \z \\
b &= y_1^{\beta_1} \dots y_m^{\beta_m} & x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m \in X\\
&& n,m \in \n^+
\end{align*}

Entonces, podemos tomar $ab^{-1}$ y verificar quién es

\begin{align*}
a b^{-1} &= (a_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n})(y_1 \dots y_m^{\beta_m})^{-1} \\
& = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n}y_m^{-\beta} \dots y_1^{-\beta_1} \in W_X.
\end{align*}

Por lo tanto $W_X \leq G$.

P.D. $X \subseteq W_X$.
Sea $x \in X$,
\begin{align*}
x = x^1 \in W_X.
\end{align*}

Por lo tanto $X \subseteq W_X$.

En ambos casos $W_X$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$.

$\blacksquare$

Teorema. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Entonces

$\left< X \right> = W_X$.

Demostración.
$\subseteq)$ Por el lema anterior, $W_X \in \{H \leq G : X \subseteq H\}$. Entonces, por nuestra definición del subgrupo generado,
\begin{align*}
\left< X \right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq W_X.
\end{align*}

$\supseteq)$ Sea $a \in W_X$, entonces $a = x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}$ con, $n \in \n^+$, $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$ y $x_1, \dots, x_n \in X$.

Como cada $x_i \in X$, con $i \in \{1,..,n\}$, y $X \subseteq \left< X \right>$, entonces $x_i\in\left< X \right>$ para toda $i \in \{1, \dots ,n\}$.
Como el generado es un subgrupo de $G$, obtenemos que $x_i^{\alpha_i} \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$. Usando nuevamente que el generado es un subgrupo de $G$ tenemos que $a = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} \in \left<X\right>$.

Por lo tanto, $\left< X \right> = W_X$.

$\blacksquare$

¿Quién es el orden de un producto?

Ya hemos hablado del orden de un elemento. Si tenemos un grupo $G$ y $a, b \in G$ y sabemos quién es $o(a)$ y $o(b)$, ¿podemos saber cómo es $o(ab)$? En algunos casos podemos respuesta a esta pregunta dando una explicación más precisa de cómo es el orden de un producto en términos del orden de sus factores. El siguiente resultado aparece en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto mencionado en la bibliografía, Teorema 3.3.12:

Teorema. Sea $G$ un grupo y $a, b \in G$.
Si $a$ y $b$ son de orden finito, sus ordenes son primos relativos y $ab = ba$, entonces

\begin{align*}
o(ab) &= o(a) o(b) \\
\text{y } \left< a,b \right> &= \left<ab\right>.
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$ de orden finito con $n = o(a)$, $m = o(b)$. Supongamos que $(n,m) = 1$ y $ab = ba$.

P.D. $o(ab) = nm$.
Entonces

\begin{align*}
(ab)^{nm} & = a^{nm} b^{nm} & \text{ porque } ab = ba \\
& = (a^n)^m(b^m)^n & \text{ propiedades de los exponentes}\\
& = e^m e^n \\
& = e
\end{align*}

Ya teniendo que $(ab)^{nm} = e$, tenemos que ver que $nm$ es el menor exponente positivo tal que al elevar $ab$ a ese exponente nos da el neutro, o bien ver que divide a cualquier otro $k$ tal que $(ab)^k = e$. Procedamos de acuerdo a la segunda opción.

Sea $k\in\z$ tal que $(ab)^k = e$, y como $ab=ba$ esto implica que $a^k b^k = e$. Despejando, obtenemos $a^k = b^{-k}$.

Así $(a^k)^m = (b^{-k})^m = (b^m)^{-k} = e^{-k} = e$ (porque $o(b) = m$), es decir $a^{km} = e$. Dado que $o(a) = n$, entonces $n|km$ y como $(n,m) = 1$ entonces $n|k$.

Si consideramos ahora $(a^k)^n = (b^{-k})^n$ y seguimos un argumento análogo obtenemos que $m|k$.

Como $n|k$ y $m|k$ y $(n,m) = 1$, entonces $nm|k$.
Por lo tanto $o(ab) = nm$.

P.D. $\left< a,b \right> = \left< ab \right>$.
Como toda palabra en $\{ab\}$ es una palabra en $\{a, b\}$ entonces
\begin{align*}
\left< ab \right> \subseteq \left< a, b \right>.
\end{align*}

Por otro lado, como $ab = ba$, toda palabra en $\{a,b\}$ se reduce a una de la forma $a^{i}b^{j}$ con $i, j \in \z$, y como $o(a) = n$, $o(b) = m$, la expresión $a^{i}b^{j}$ se puede reducir aún más a una expresión de la forma $a^{i}b^{i}$ con $0 \leq i < n$ y $0 \leq j < m$.

Entonces $\left< a, b \right> = \{a^{i}b^{j}: 0 \leq i < n, 0 \leq j < m\}$. Luego, $|\left<a, b\right>| \leq nm$.
Pero $\left< ab \right> \subseteq \left<a,b\right>$, entonces $|\left< ab \right>| \leq |\left< a,b \right>|$.
Así,

\begin{align*}
nm = o(ab) = |\left< ab \right>| &\leq |\left< a,b \right>| \leq nm. \\
\end{align*}

Por lo tanto $\left<ab\right> = \left< a, b \right>$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. En el grupo de los cuaternios definido anteriormente, verifica que $j^5j^{-2}j^3j^{-4} = -1$.
  2. Considera $Q$, el grupo de cuaternios. Reduce la siguiente palabra a uno de los elementos $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$,
    $$\begin{align*}
    j^7k(-i)jki^2jk^{-6}
    \end{align*}$$
  3. Sea $D_{2n} = \{\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b\}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un polígono regular de $n$ lados, con $a$ la rotación de $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    1. Identifica geométricamente quiénes son $\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b$.
    2. Determina quién es el elemento $bab$ y, de modo más general, quién es el elemento $ba^{i}b$ para toda $i\in\z$.
    3. Determina quién es el elemento $ba^i$ para toda $i\in\z$.
  4. Considera el grupo simétrico $S_5$, $\alpha$ la permutación que manda $1$ en $2$, $2$ en $3$ y $3$ en $1$, fija a $4$ y a $5$, y $\beta$ la permutación que intercambia $4$ y $5$.
    1. Encuentra $\beta \alpha$ y $\alpha \beta$.
    2. Encuentra el orden de $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ y $\beta\alpha$.
  5. Por último, te invitamos a que veas este video que habla sobre las aplicaciones tecnológicas del grupo de los cuaternios. El video está en inglés, pero tiene subtítulos en español.

Más adelante…

¡Felicidades por acabar la Unidad 1! Ya entiendes las bases de este curso, trata de recordarlas porque las estaremos usando implícitamente.
En la siguiente unidad estaremos viendo Permutaciones y Grupo Cociente, para no adelantar mucho, sólo diremos que ambas estructuras son grupos muy importantes en el álgebra y nuestros objetos de estudio en la siguiente unidad.

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