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Geometría Moderna I: Simediana

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

La simediana es un tipo especial de ceviana relacionada con la mediana de un triángulo, veremos algunas caracterizaciones y propiedades.

Simediana, primera caracterización

Definición 1. Una simediana de un triángulo es la reflexión de una mediana respecto de la bisectriz interna que pasa por el mismo vértice. Un triángulo tiene tres simedianas.

Notación. Denotaremos a la intersección de una simediana con el lado opuesto como $S$.

Teorema 1. Una ceviana de un triángulo divide internamente al lado opuesto en la razón de los cuadrados de los lados adyacentes si y solo si es simediana.

Demostración. Sean $AA’$ la mediana y $AS$ la simediana en un triángulo $\triangle ABC$.

Sea $H$ el pie de la altura por $A$, calculamos las áreas de los triángulos $\triangle BAS$, $\triangle BAA’$, $\triangle SAC$ y $\triangle A’AC$.

Figura 1

$\begin{equation} (\triangle BAS) = \dfrac{BS \times AH}{2} = \dfrac{BA \times AS \sin \angle BAS}{2}, \end{equation}$
$\begin{equation} (\triangle BAA’) = \dfrac{BA’ \times AH}{2} = \dfrac{BA \times AA’ \sin \angle BAA’}{2}, \end{equation}$
$ \begin{equation} (\triangle SAC) = \dfrac{SC \times AH}{2} = \dfrac{SA \times AC \sin \angle SAC}{2}, \end{equation}$
$\begin{equation} (\triangle A’AC) = \dfrac{A’C \times AH}{2} = \dfrac{AA’ \times AC \sin \angle A’AC}{2}. \end{equation}$

Sea $L$ la intersección de la bisectriz de $A$ con $BC$, entonces
$\begin{equation} \angle BAS = \angle BAL – \angle SAL = \angle LAC – \angle LAA’ = \angle A’AC, \end{equation}$
$\angle BAA’ = \angle BAL + \angle LAA’ = \angle LAC + \angle SAL = \angle SAC.$

Haciendo el cociente de $(1)$ con $(4)$ y de $(2)$ con $(3)$ obtenemos
$\dfrac{BS}{A’C} = \dfrac{BA \times AS}{AA’ \times AC}$,
$\dfrac{BA’}{SC} = \dfrac{BA \times AA’}{SA \times AC}$.

Multiplicando estas dos ecuaciones obtenemos el resultado esperado
$\dfrac{BS}{SC} = \dfrac{BA^2}{AC^2}$.

El reciproco también es cierto, pues el punto $S$ que divide a $BC$ en la razón $\dfrac{BA^2}{AC^2}$, es único.

$\blacksquare$

Exsimediana

Definición 2. Las tangentes al circuncírculo de un triángulo por sus vértices se conocen como simedianas externas o exsimedianas.

Corolario. La simediana y la exsimediana que pasan por el mismo vértice de un triángulo son conjugadas armónicas respecto de los lados del triángulo que forman dicho vértice.

Demostración. En la entrada teorema de Menelao mostramos que la exsimediana de un triángulo divide externamente al lado opuesto en la razón de los cuadrados de los lados que pasan por el mismo vértice.

El resultado se sigue del hecho de que el conjugado armónico es único y el teorema 1.

$\blacksquare$

Teorema 2. Una simediana y las exsimedianas que pasan por vértices distintos son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto exsimediano.

Demostración. En $\triangle ABC$, $AP$ y $CP$ son tangentes al circuncírculo $\Gamma$ de $\triangle ABC$ en $A$ y en $C$ respectivamente y se cortan en $P$ (figura 2).

Figura 2

Sea $D = BP \cap \Gamma$, $D \neq B$, por la proposición 5 de la entrada anterior, $\square ABCD$ es un cuadrilátero armónico.

Entonces, por el teorema 2 de la entrada anterior, el Haz $B(BCDA)$ es armónico, es decir, la tangente a $\Gamma$ en $B$, y $BD$ son conjugadas armónicas respecto de $BA$ y $BC$.

Como el conjugado armónico es único, $BP$ es simediana de $\triangle ABC$, por el corolario anterior.

$\blacksquare$

Antiparalelas (1)

Teorema 3. La $B$-simediana de un triángulo $\triangle ABC$ es el lugar geométrico de los puntos que bisecan a las antiparalelas de $AC$ respecto a $AB$ y $BC$.

Demostración. Sean $D \in AB$ y $E \in BC$ tales que $AC$ y $DE$ son antiparalelas respecto a $AB$ y $BC$, entonces $\square ADEC$ es cíclico.

Figura 3

Por lo tanto, $\angle ACE$ y $\angle EDA$ son suplementarios, en consecuencia, $\angle ACB = \angle ACE = \angle BDE$.

Sea $TB$ tangente al circuncírculo de $\triangle ABC$ en $B$, entonces $\angle ABT = \angle ACB$ pues abarcan el mismo arco, por lo tanto, la $B$-exsimediana y $DE$ son paralelas.

Sea $BS$ una ceviana de $\triangle ABC$, entonces por la proposición 2 de la entrada anterior $BS$ biseca a $DE$ si y solo si el haz $B(TCSA)$ es armónico.

En consecuencia, como el conjugado armónico de $BT$ respecto de $BC$ y $BA$ es la $B$-simediana, $BS$ biseca a $DE$ si y solo si $BS$ es simediana de $\triangle ABC$.

$\blacksquare$

Antiparalelas (2)

Proposición. 1 Si dos antiparalelas a dos de los lados de un triángulo tienen la misma longitud, entonces estas se intersecan en la simediana relativa al tercer lado, el reciproco también es cierto.

Demostración. Sean $\triangle ABC$, $E$, $G \in BC$, $F \in AB$ y $H \in CA$, tales que $EF$, $AC$ son antiparalelas respecto a $AB$ y $BC$; $AB$, $GH$ son antiparalelas respecto a $BC$ y $CA$, y $EF = GH$.

Figura 4

Como $\square AFEC$ y $\square ABGH$ son cíclicos, entonces, $\angle FEB = \angle BAC = \angle CGH$, por lo tanto $PG = PE$.

Sea $P = EF \cap GH$, dado que $FE = GH$ entonces $FP = HP$.

Si $S = AP \cap BC$, considera $I \in AB$, $J \in CA$, tales que $IS \parallel FE$ y $JS \parallel GH$, entonces $\triangle ASI \sim \triangle APF$ y $\triangle ASJ \sim \triangle APH$.

Por lo tanto, $\dfrac{SI}{PF} = \dfrac{AS}{AP} = \dfrac{SJ}{PH}$, como $PF = PH$ entonces $SI = SJ$.

Por otro lado $\triangle SBI \sim \triangle ABC \sim \triangle SJC$, esto es
$\dfrac{SB}{SI} = \dfrac{AB}{AC}$ y $\dfrac{SJ}{SC} = \dfrac{AB}{AC}$.

Como resultado de multiplicar estas dos ecuaciones obtenemos
$\dfrac{BS}{SC} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$.

Por el teorema 1, esto implica que $AS$ es la $A$-simediana de $\triangle ABC$.

Notemos que el reciproco también es cierto, esto es, si dos antiparalelas a dos de los lados de un triángulo se intersecan en la simediana relativa al tercer lado, entonces estas tienen la misma longitud.

Esto lo podemos ver tomando la prueba anterior en sentido contrario.

$\blacksquare$

Otra caracterización importante

Teorema 4. Una simediana es el lugar geométrico de los puntos (dentro de los ángulos internos del triángulo o sus ángulos opuestos por el vértice) tales que la razón de sus distancias a los lados adyacentes a la simediana, es igual a la razón entre esos lados.

Demostración. Sean $\triangle ABC$, $A’$ el punto medio de $BC$ y $P \in AA’$, considera las proyecciones $P_c$, $P_b$ de $P$ en $AB$ y $AC$ respectivamente y $A’_c$, $A’_b$, las correspondientes de $A’$.

Figura 5

Como $\triangle APP_c \sim \triangle AA’A’_c$ y $\triangle APP_b \sim \triangle AA’A’_b$ entonces
$\dfrac{PP_c}{A’A’_c} = \dfrac{AP}{AA’} = \dfrac{PP_b}{A’A’_b}$.

Tomando en cuenta que los triángulos $\triangle ABA’$ y $\triangle AA’C$ tienen la misma altura desde $A$, tenemos lo siguiente:
$\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{PP_c}{PP_b} = \dfrac{A’A’_c}{A’A’_b}$
$\Leftrightarrow AC \times A’A’_b = AB \times A’A’_c$
$\Leftrightarrow (\triangle AA’C) = (\triangle AA’B)$
$ \Leftrightarrow A’C = BA’$.

Por lo tanto, la mediana de un triángulo es el lugar geométrico de los puntos tales que la razón de sus distancias a los lados adyacentes a la mediana es el inverso de la razón entre dichos lados.

Denotamos la distancia de un punto $P$ a una recta $l$ como $d(P, l)$.

Para $P \in AA’$ considera $P’ \in AS$ su reflexión respecto de la bisectriz de $\angle BAC$, entonces

$\dfrac{d(P’, AB)}{d(P’, AC)} = \dfrac{d(P, AC)}{d(P’, AB)} = \dfrac{AB}{AC}$.

$\blacksquare$

Proposición 2. La recta que une las proyecciones de un punto en la simediana (mediana) de un triángulo, sobre los lados adyacentes, es perpendicular a la mediana (simediana) que pasa por el mismo vértice.

Demostración. En un triángulo $\triangle ABC$ sean $AA’$ la mediana y $AS$ la simediana, considera $P \in AS$ y $D$, $E$, las proyecciones de $P$ en $CA$ y $AB$ respectivamente.

Figura 6

Como $\angle PEA + \angle ADP = \pi$ entonces $\square AEPD$ es cíclico, así que $\angle EAP = \angle EDP$, por la ecuación $(5)$, $\angle EAP = \angle A’AD$.

Sean $F = PD \cap AA’$ y $G = DE \cap AA’$, en los triángulos $\triangle ADF$ y $\triangle DGF$, $\angle FAD = \angle GDF$ y $\angle DFG$ es un ángulo común, por lo tanto son semejantes.

Como $PD \perp AC$ entonces $DE \perp AA’$.

El caso para la mediana es análogo.

$\blacksquare$

Más adelante…

Así como las medianas de un triángulo son concurrentes, las simedianas también son concurrentes, pero dicho punto tiene propiedades importantes por si mismo, y de eso hablaremos en la próxima entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que las segundas intersecciones de una mediana y su correspondiente simediana con el circuncírculo del triángulo, determinan una recta paralela al lado del triángulo relativo a la mediana considerada.
  2.  Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, $D$ y $A’$ las proyecciones de $A$ y $O$, el circuncírculo de $\triangle ABC$, en $BC$ respectivamente, sean $E = BO \cap AD$, $F = CO \cap AD$ y considera $P$ el segundo punto en común entre los circuncírculos de $\triangle ABE$ y $\triangle AFC$, demuestra que $AP$ es la $A$-simediana de $\triangle ABC$.
  3. Sea $P$ un punto dentro de un triángulo isósceles $\triangle ABC$ con $AB = AC$, tal que $\angle PBC = \angle ACP$, si $A’$ es el punto medio de $BC$, muestra que $\angle BPA’$ y $\angle CPA$ son suplementarios.
  4. Sean $\triangle ABC$, $D \in AB$ y $E \in CA$ tal que $DE \parallel BC$, considera $P = BE \cap CD$, los circuncírculos de $\triangle BDP$ y $\triangle CEP$ se intersecan en $P$ y $Q$, muestra que $\angle BAQ = \angle PAC$.
  5. La $A$-simediana $AS$ y la $A$-meidnana $AA’$ de un triángulo $\triangle ABC$ intersecan otra vez a su circuncírculo en $S’$ y $L$ respectivamente, prueba que la rectas de Simson de $S’$ y $L$ son perpendiculares a $AA’$ y a $AS$ respectivamente.
  6. Muestra que las exsimedianas de un triángulo tienen la misma propiedad que se señala en el teorema 4 respecto a las simedianas, pero esta vez para los puntos dentro de los ángulos externos del triángulo.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 247-252.
  • Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 86-92.
  • Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 129-145.
  • Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 66-70.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Plano fase para sistemas lineales con valores propios complejos

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos a estudiar el plano fase para sistemas de dos ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes de la forma $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$ En particular, revisamos el caso cuando los valores propios del sistema son reales distintos y no son cero. Vimos que el comportamiento de las curvas y la estabilidad del punto de equilibrio dependen del signo de los valores propios. Así, cuando los signos difieren tenemos un punto silla (inestable), cuando los dos valores propios son negativos tenemos un atractor (punto de equilibrio asintóticamente estable) y finalmente, cuando ambos valores propios son positivos el punto de equilibrio es un repulsor (inestable).

Es turno ahora de analizar el plano fase para sistemas cuyos valores propios son complejos. Sabemos que si $\lambda_{1}=\alpha + \beta i$ es un valor propio del sistema, entonces su conjugado $\lambda_{2}=\alpha – \beta i$ también es un valor propio. Además la solución general a dichos sistemas tiene la forma $$\textbf{X}(t)=c_{1}e^{\alpha t}\left(\cos{\beta t}\begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \end{pmatrix}-\sin{\beta t}\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}\right)+c_{2}e^{\alpha t}\left(\sin{\beta t} \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \end{pmatrix}+\cos{\beta t} \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}\right)$$ donde los vectores $(u_{1},u_{2})$ y $(v_{1},v_{2})$ son vectores tales que $$\textbf{w}=(u_{1},u_{2})+i(v_{1},v_{2})$$ es un vector propio para $\lambda_{1}$.

Estudiaremos las soluciones cuando $t \rightarrow \infty$. La forma del plano fase va a depender de la parte real $\alpha$ de los valores propios (nota que los dos valores propios tienen la misma parte real), por lo que distinguiremos tres casos, según $\alpha$ sea positivo, negativo o cero. Finalmente clasificaremos a los puntos de equilibrio según su estabilidad.

Plano fase para sistemas con valores propios complejos

En el primer video estudiamos de manera general el plano fase para sistemas de la forma $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ cuyos valores propios son complejos. Analizamos tres casos: cuando la parte real de los valores propios es positiva, negativa o cero.

En el segundo video resolvemos y dibujamos el plano fase para distintos sistemas con valores propios complejos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Los campos vectoriales de las imágenes fueron realizados en el siguiente enlace.

  • Prueba que la función $$\textbf{X}(t)=\begin{pmatrix} (c_{1}u_{1}+c_{2}v_{1})\cos{\beta t}+(c_{2}u_{1}-c_{1}v_{1})\sin{\beta t} \\ (c_{1}u_{2}+c_{2}v_{2})\cos{\beta t}+(c_{2}u_{2}-c_{1}v_{2})\sin{\beta t} \end{pmatrix}$$ es periódica, con período $\frac{2\pi}{\beta}$, donde $c_{1},c_{2},u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}$ son valores constantes.
  • De acuerdo al ejercicio anterior, concluye que si un sistema homogéneo con coeficientes constantes tiene un valor propio complejo $\lambda_{1}=\beta i$ con vector propio asociado $\textbf{w}=(u_{1},u_{2})+i(v_{1},v_{2})$, entonces las curvas en el plano fase son cerradas.
  • Considera ahora la función $$\textbf{X}(t)=e^{\alpha t}\begin{pmatrix} (c_{1}u_{1}+c_{2}v_{1})\cos{\beta t}+(c_{2}u_{1}-c_{1}v_{1})\sin{\beta t} \\ (c_{1}u_{2}+c_{2}v_{2})\cos{\beta t}+(c_{2}u_{2}-c_{1}v_{2})\sin{\beta t} \end{pmatrix}$$ con $\alpha \neq 0$. Prueba que los puntos en el plano que son imagen de valores periódicos bajo la función del primer ejercicio se quedan contenidos en una recta. Concluye el comportamiento espiral de las soluciones a sistemas de ecuaciones con valores complejos cuya parte real es distinta de cero.
  • Prueba que el punto de equilibrio del sistema $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ es un centro.
  • Resuelve y dibuja el plano fase del sistema $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general y dibuja el plano fase del sistema $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$
  • Dibuja el plano fase del sistema $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$

(Recuerda que puedes apoyarte del campo vectorial asociado para dibujar el plano fase).

Más adelante

Seguimos avanzando en el estudio del plano fase para sistemas homogéneos con coeficientes constantes. Ya sabemos la forma de las soluciones para sistemas cuyos valores propios son reales distintos y no nulos, o complejos. En la próxima entrada continuaremos revisando el plano fase, pero ahora para sistemas que tienen valores propios repetidos.

¡Hasta la próxima!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Haz armónico

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Esta es una continuación de la entrada anterior donde vimos algunas propiedades de hileras armónicas de puntos, esta vez nos enfocaremos en propiedades de un haz armónico de rectas, que nos permitirán definir al cuadrilátero armónico.

Haz de rectas

Definición 1. Si cuatro rectas $PA$, $PC$, $PB$, $PD$ concurren en $P$, decimos que forman un haz de rectas y que $P$ es el vértice del haz, denotamos al haz como $P(ACBD)$.

Teorema. 1 Sea $P(ACBD)$ un haz de rectas donde $A$, $C$, $B$, $D$, son colineales, considera $A’$, $B’$, $C’$, $D’$, las intersecciones de cualquier otra transversal al haz, entonces $(A, B; C, D) = (A’, B’; C’, D’)$. 

Demostración. Aplicamos la ley de los senos a $\triangle PAC$, $\triangle PCB$, $\triangle PBD$ y $\triangle PAD$.

Figura 1

$\dfrac{AC}{\sin \angle APC} =\dfrac{PC}{\sin \angle CAP}$,

$\dfrac{CB}{\sin \angle CPB} =\dfrac{PC}{\sin \angle PBC}$,

$\dfrac{DB}{\sin \angle BPD} =\dfrac{PD}{\sin \angle DBP}$,

$\dfrac{AD}{\sin \angle APD} =\dfrac{PD}{\sin \angle DAP}$.

De lo anterior calculamos,
$(A, B; C, D) = \dfrac{AC}{CB} \dfrac{DB}{AD}$

$=\dfrac{\dfrac{\sin \angle APC}{\sin \angle CAP} \dfrac{\sin \angle BPD}{\sin \angle DBP}}{\dfrac{\sin \angle CPB}{\sin \angle PBC} \dfrac{\sin \angle APD}{\sin \angle DAP}}$
$\begin{equation} = \dfrac{\sin \angle APC}{\sin \angle CPB} \dfrac{\sin \angle BPD}{\sin \angle APD}. \end{equation}$

La última igualdad se debe a que $\angle CAP = \angle DAP$ y $\sin \angle PBC = \sin \angle DBP$, por ser $\angle PBC$ y $\angle DBP$ suplementarios.

Si hacemos el mismo procedimiento, esta vez con los puntos $A’$, $C’$, $B’$, $D’$, obtendremos el mismo resultado ya que $\angle APC = \angle A’PC’$, $\angle CPB = \angle C’PB’$, $\angle BPD = \angle B’PD’$ y $\angle APD = \angle A’PD’$.

Por lo tanto $(A, B; C, D) = (A’, B’; C’, D’)$. 

$\blacksquare$

Definición 2. Dado un haz de rectas $P(ACBD)$, si $A$, $C$, $B$ y $D$ son colineales, definimos la razón cruzada $P(A, B; C, D)$ del haz como la razón cruzada $(A, B; C, D)$, de la hilera de puntos $ACBD$.

Equivalentemente, por la ecuación $(1)$, podemos definir, $P(A, B; C, D) = \dfrac{\sin \angle APC}{\sin \angle CPB} \dfrac{\sin \angle BPD}{\sin \angle APD}$.

Si $P(A, B; C, D) = – 1$, decimos que el haz es armónico y que $PA$, $PB$ son rectas conjugadas armónicas respecto de $PC$ y $PD$ o que $PC$, $PD$ son conjugadas armónicas respecto de $PA$ y $PD$.

Ejemplo

Proposición 1. Las rectas que unen los excentros de un triángulo con los puntos medios de los lados del triángulo relativos a esos excentros son concurrentes.

Demostración. Sean $I_a$, $I_b$, $I_C$, los excentros de un triángulo $\triangle ABC$, $A’$, $B’$, $C’$ los puntos medio de $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, consideremos $X = I_aA’ \cap I_bI_c$, $Y = I_bB’ \cap I_aI_c$, $Z = I_cC’ \cap I_aI_b$; $D = I_aA \cap BC$, $E = I_bB \cap CA$, $F = I_cC \cap AB$.

Figura 2

Consideremos los haces $I_a(CDA’B)$, $I_b(AB’EC)$, $I_c(BC’FA)$, por el teorema 1, tenemos lo siguiente:
$(A’, D; B, C) = (X, A; I_c, I_b)$,
$(B’, E; A, C) = (Y, B; I_c, I_a)$,
$(C’, F; B, A) = (Z, C; I_a, I_b)$.

Esto es,
$\begin{equation} \dfrac{A’B}{BD} \dfrac{CD}{A’C} = \dfrac{XI_c}{I_cA} \dfrac{I_bA}{XI_b}, \end{equation}$
$\begin{equation} \dfrac{B’A}{AE} \dfrac{CE}{B’C} = \dfrac{YI_c}{I_cB} \dfrac{I_aB}{YI_a}, \end{equation}$
$ \begin{equation} \dfrac{C’B}{BF} \dfrac{AF}{C’A} = \dfrac{ZI_a}{I_aC} \dfrac{I_bC}{ZI_b}. \end{equation}$

Como $AD$, $BE$, $CF$; $I_aA$, $I_bB$, $I_cC$, concurren en el incentro $I$ de $\triangle ABC$, aplicando el teorema de Ceva a los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle I_aI_bI_c$ tenemos:

$\dfrac{AF}{FB} \dfrac{BD}{DC} \dfrac{CE}{EA} = 1$,
$\dfrac{I_aC}{CI_b} \dfrac{I_bA}{AI_c} \dfrac{I_cB}{BI_a} = 1$.

Recordemos que $A’$, $B’$, $C’$ son los puntos medios de $BC$, $CA$ y $AB$, empleando segmentos dirigidos y tomando en cuenta lo anterior, si hacemos el producto del inverso de $(2)$ con $(3)$ y $(4)$, obtenemos:

$\dfrac{I_aZ}{ZI_b} \dfrac{I_cX}{XI_b} \dfrac{I_cY}{YI_a} = 1$.

Por el teorema de Ceva, $I_aX = I_aA’$, $I_bY = I_bB’$, $I_cZ = I_cC’$, son concurrentes.

$\blacksquare$

Haz armónico

Proposición 2. Una recta, paralela a alguna de las rectas de un haz, es dividida en dos segmentos iguales por las otras tres rectas del haz si y solo si el haz es armónico.

Demostración. Sean $P(ACBD)$ un haz de rectas con $A$, $C$, $B$, $D$, colineales en ese orden, $l$ paralela a $PA$, $C’ = l \cap PC$, $B’ = l \cap PB$, $D’ = l \cap PD$.

Figura 3

Aplicamos la ley de los senos a $\triangle C’PB’$ y $\triangle B’PD’$

$\dfrac{C’B’}{\sin \angle C’PB’} =\dfrac{PB’}{\sin \angle B’C’P}$,
$\dfrac{D’B’}{\sin \angle B’PD’} =\dfrac{PB’}{\sin \angle PD’B’}$.

Por lo tanto,
$\dfrac{D’B’}{C’B’} = \dfrac{\sin \angle B’C’P}{\sin \angle C’PB’} \dfrac{\sin \angle B’PD’}{\sin \angle PD’B’}$.

Por la ecuación $(1)$
$(A, B; C, D) = \dfrac{\sin \angle APC}{\sin \angle CPB} \dfrac{\sin \angle BPD}{\sin \angle APD}$.

Como $PA \parallel C’B’D’$, entonces $\angle APC = \angle B’C’P$ y $\angle APD$, $\angle PD’B’$ son suplementarios, además $\angle CPB = \angle C’PB’$ y $\angle BPD = \angle B’PD’$.

Por lo tanto $(A, B; C, D) = \dfrac{D’B’}{C’B’}$.

Como resultado, $(A, B; C, D) = -1 \Leftrightarrow |D’B’| = |C’B’|$.

$\blacksquare$

Proposición 3. Si dos rectas conjugadas de un haz armónico son perpendiculares entonces son las bisectrices del ángulo formado por las otras dos rectas del haz.

Demostración. Sea $P(ACBD)$ un haz armónico, supongamos que $PA \perp PB$ (figura 3), sean $l$ una recta paralela a $PA$ y $C’$, $B’$, $D’$, las intersecciones de $l$ con $PC$, $PB$, $PD$ respectivamente.

Por la proposición anterior $C’B’ = B’D’$, como $PA \perp PB$ entonces $PB \perp C’D’$.

Por lo tanto, $\triangle PC’D’$ es isósceles y así, $PA$ y $PB$ son las bisectrices externa e interna de $\angle C’PD’$.

$\blacksquare$

Proposición 4. Si tenemos dos hileras armónicas $ACBD$ y $A’C’B’D’$ tales que $AA’$, $BB’$, $CC’$ concurren en un punto $P$ entonces $DD’$ también pasa por $P$.

Demostración. Sea $X = PD \cap A’C’B’D’$, por el teorema 1, $X$ es el conjugado armónico de $C’$ respecto de $A’B’$, por lo tanto $X = D’$.

$\blacksquare$

Cuadrilátero armónico

Teorema 2. Sean $\square ACBD$ un cuadrilátero cíclico, en ese orden cíclico, y $P$ un punto en su circuncírculo, entonces la razón cruzada del haz $P(ACBD)$ no depende de la posición de $P$.

Demostración. Sea $R$ el circunradio de $\square ABCD$, aplicamos la ley extendida de los senos a $\triangle APC$, $\triangle CPB$, $\triangle BPD$ y $\triangle APD$.

Figura 4

$\dfrac{AC}{\sin \angle APC} = \dfrac{CB}{\sin \angle CPB} = \dfrac{DB}{\sin \angle BPD}$
$= \dfrac{AD}{\sin \angle APD} = \dfrac{1}{2R}$.

Por lo tanto,
$P(A, B; C, D) = \dfrac{\sin \angle APC}{\sin \angle CPB} \dfrac{\sin \angle BPD}{\sin \angle APD}$
$= \dfrac{AC}{CB} \dfrac{DB}{AD}$.

$\blacksquare$

Definición 3. Definimos la razón cruzada de cuatro puntos cíclicos $A$, $B$, $C$, $D$, como $(A, B; C, D) = P(A, B; C, D)$, para cualquier punto $P$ en la misma circunferencia.

De manera equivalente, por el teorema 2, podemos definir $(A, B; C, D) = \dfrac{AC}{CB} \div \dfrac{AD}{DB}$, la cual tomamos como positiva si $AB$ y $CD$ no se intersecan dentro de la circunferencia y como negativa en caso contrario.

Si $(A, B; C, D) = – 1$, decimos que $\square ACBD$ es un cuadrilátero armónico.

Construcción del conjugado armónico en una circunferencia.

Proposición 5. Sean $\Gamma$ el circuncírculo de un triángulo $\triangle ABC$, $P$ la intersección de las tangentes a $\Gamma$ por $A$ y $C$, $D = PB \cap \Gamma$, $D \neq B$, entonces $\square ABCD$ es un cuadrilátero armónico.

Demostración. Como $\angle DBA = \angle DAP$ y $\angle CBD = \angle PCD$, por criterio de semejanza AA, $\triangle PBA \sim \triangle PAD$ y $\triangle PBC \sim \triangle PCD$, recordemos que las tangentes $PA$ y $PC$ son iguales.

Figura 5

Por lo tanto,
$\dfrac{BA}{AD} = \dfrac{PB}{PA} = \dfrac{PB}{PC} = \dfrac{BC}{CD}$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC}$.

De acuerdo a la definición 3, $\square ABCD$ es un cuadrilátero armónico.

Proposición 6. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero armónico, entonces $BD$ y las tangentes a $\Gamma$ el circuncírculo de $\square ABCD$, en $A$ y $C$ son concurrentes.

Sean $l_1$ tangente a $\Gamma$ en $A$, $P = l \cap BD$ y $E = AC \cap BD$, por el teorema 2, el haz $A(ABCD)$ es armónico, donde $AA = l_1$, por el teorema 1, $(P, E; D, B) = – 1$.

Análogamente, sea $l_2$ la tangente a $\Gamma$ en $C$ y $Q = l_2 \cap BD$ entonces el haz $C(CBAD)$ es armónico, por lo tanto $(Q, E; D, B) = – 1$.

Por lo tanto, $P = Q$.

$\blacksquare$

Ejemplo

Proposición 7. Sea $\Gamma$ el incírculo de un triángulo $\triangle ABC$, $X$, el punto de contacto de $\Gamma$ con $BC$, $D$ el pie de la altura por $A$ y $M$ el punto medio de $AD$, $N = XM \cap \Gamma$, $N \neq X$ entonces $XN$ es la bisectriz de $\angle BNC$.

Demostración. Sea $L$ el punto al infinito de la recta $AD$, entonces, $M$ y $L$ son conjugados armónicos respecto de $A$ y $D$.

Figura 6

Sea $X’$ el punto diametralmente opuesto a $X$, como $XX’ \parallel AD$, entonces $XX’ \cap AD = L$.

Por el teorema 1, el haz $X(DMAX’)$ es armónico, sea $U = XA \cap \Gamma$, $U \neq X$, entonces $\square XNUX’$ es un cuadrilátero armónico.

Sean $Y$, $Z$ los puntos de tangencia de $\Gamma$ con $CA$ y $AB$ respectivamente, por la proposición 5, $\square XYUZ$ es armónico.

Sea $P = ZY \cap BC$, como $BC$ es tangente a $\Gamma$ en $X$ entonces por la proposición 6, $PU$ es tangente a $\Gamma$.

Como $\square XNUX’$ es armónico, por la proposición 6, $PX$, $PU$, $X’N$ son concurrentes, es decir $X’$, $N$ y $P$ son colineales.

Ya que $XX’$ es diámetro de $\Gamma$, entonces $\angle X’NX = \dfrac{\pi}{2}$, es decir, $NX \perp NP$.

Sabemos que $AX$, $BY$, $CZ$ concurren en el punto de Gergonne $G_e$, entonces por el teorema 2 de la entrada anterior, $P = ZY \cap BC$ es el conjugado armónico de $X$ respecto de $BC$.

Ya que $NX \perp NP$, por el teorema 3 de la entrada anterior, $NX$ es la bisectriz interna de $\angle BNC$.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre las simedianas, estas son las reflexiones de la medianas de un triángulo respecto de las bisectrices que pasan por el mismo vértice, con la ayuda de haces armónicos estableceremos algunas propiedades de estas rectas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. En un triángulo $\triangle ABC$, $D$, $E$, $F$, los pies de las alturas por $A$, $B$, $C$, respectivamente, $I_a$, $I_b$, $I_c$ los excentros opuestos a $A$, $B$, $C$ respectivamente, demuestra que $I_aD$, $I_bE$, $I_cF$ son concurrentes.
  2. $i)$ Dadas tres rectas concurrentes $OA$, $OC$, $OB$, construye el conjugado armónico de $OC$ respecto de $OA$ y $OB$,
    $ii)$ Si $(A, B; C, D) = – 1$, $(A, B’; C’, D’) = – 1$, y $AB \neq AB’$, muestra que $BB’$, $CC’$, $DD’$ son concurrentes.
  3. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo, $E = AD \cap BC$, $F = AB \cap CD$, $G = AC \cap BD$, sea $O$ la proyección de $G$ en $FE$, muestra que $\angle AOB = \angle COD$.
  4. Muestra que las rectas que unen un punto en una circunferencia con los extremos de un cuerda, dividen armónicamente al diámetro perpendicular a dicha cuerda.
  5. En un triángulo $\triangle ABC$, $A’$ es el punto medio de $BC$, sea $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $AA’$, considera $D = \Gamma \cap AB$, $E = \Gamma \cap CA$, $D \neq A \neq E$, y $P$ la intersección de las tangentes a $\Gamma$ en $D$ y $E$, muestra que $PB = PC$.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 159-166.
  • Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 149-161.
  • Aref, M. y Wernick, W., Problems and Solutions in Euclidean Geometry. New York: Dover, 2010, pp 178-186.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Plano fase para sistemas lineales con valores propios reales distintos no nulos

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En las dos entradas anteriores revisamos los conceptos esenciales para poder estudiar el plano fase del sistema de ecuaciones de primer orden homogéneas con coeficientes constantes $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$ Revisamos el campo vectorial asociado al sistema, que para los sistemas que estamos considerando se reduce al campo $\textbf{F}(x,y)=(ax+by, cx+dy)$. A cada $(x,y)$, el campo asocia un vector anclado en dicho punto, que además será tangente a las curvas solución. Si observamos el campo vectorial en el plano, entonces podemos darnos una idea aproximada de cómo se verían las curvas solución, y por tanto, el plano fase completo. Por otra parte estudiamos la estabilidad de los puntos de equilibrio, que son aquellos donde el campo vectorial se anula, es decir, cuando $\textbf{F}(x,y)=(0,0)$. De ellos depende el comportamiento del resto de las soluciones en el plano fase.

Con estos ingredientes, estamos listos para poder dibujar los planos fase de casi cualquier sistema de dos ecuaciones con coeficientes constantes. Como sabemos, la solución general a estos sistemas depende de los valores propios de la matriz asociada. Analizaremos el comportamiento de dichas soluciones, comenzando en esta entrada con el caso cuando los valores propios del sistema son reales distintos y no nulos. Después de cada análisis podremos hacer un dibujo esquemático de cómo se ven las soluciones en el plano fase.

¡Vamos a comenzar!

Plano fase para sistemas con valores propios reales distintos no nulos

En el primer video analizamos de manera general el comportamiento de las soluciones a sistemas de la forma $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ cuando estos tienen valores propios reales distintos y no nulos. Dependiendo del signo de los valores propios será la forma del plano fase.

En el segundo video resolvemos un ejemplo por cada caso analizado en el video anterior.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Los campos vectoriales de las imágenes fueron realizados en el siguiente enlace.

  • Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$ Prueba que si el determinante de la matriz asociada es cero, entonces el sistema tiene al menos un valor propio $\lambda=0$.
  • Dibuja el plano fase del sistema $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general al sistema y dibuja su plano fase: $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$ Posteriormente grafica la curva correspondiente a la condición inicial $$\textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$$
  • Dibuja el plano fase del sistema $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$
  • Relaciona cada sistema de ecuaciones con la imagen correspondiente a su plano fase:
  1. $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$
  2. $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$
  3. $$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$
Campo vectorial valores propios reales uno
Campo vectorial. Elaboración propia
Campo vectorial valores propios reales dos
Campo vectorial. Elaboración propia
Campo vectorial valores propios reales tres
Campo vectorial. Elaboración propia

Más adelante

En esta entrada logramos dibujar el plano fase para sistemas cuyos valores propios son reales distintos y no nulos. El siguiente paso será considerar aquellos sistemas que tienen valores propios complejos. Nuevamente dividiremos el análisis en tres casos, dependiendo del signo de la parte real de los valores propios. Eso lo haremos en la siguiente entrada.

¡No te la pierdas!

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Teoría de los Conjuntos I: Operaciones entre conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

A continuación definiremos algunas de las operaciones que hay entre conjuntos como lo son la unión, intersección y diferencia. Retomaremos algunos axiomas como el de unión y el esquema de comprensión, para ver que estas operaciones definen nuevos conjuntos.

Unión

Recordemos la definición de la unión de dos conjuntos.

Definición. Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces definimos la unión de $A$ y $B$ como:


$A\cup B=\bigcup\set{A,B}$

o bien,

$A\cup B= \set{x: x\in A\ o\ x\in B}$.

Ejemplos.

  1. Consideremos los conjuntos $A= \set{\emptyset}$ y $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. Luego, $A\cup B=\bigcup\set{A,B} = \bigcup\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}=B$.
  2. Ahora, consideremos $A=\set{\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\set{\set{\emptyset}}}$. Tendremos que $A\cup B=\set{\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades de la unión

Proposición. Para cualquier conjunto $A$ se tiene que $A\subseteq A\cup B$. Además, $A\cup B= B\cup A$.

Demostración.

Primero veamos que $A\subseteq A\cup B$. Supongamos que $x\in A$, entonces existe $A\in \set{A, B}$ tal que $x\in A$. Esto es, por definición de unión que $x\in \bigcup \set{A,B}=A\cup B$.

La unión es conmutativa

Para ver que $A\cup B=B\cup A$, notemos que $A\cup B=\bigcup\set{A,B}$ y $B\cup A=\bigcup \set{B, A}$. Sabemos que $\set{A, B}=\set{B, A}$ por axioma de extensión. Así, $A\cup B=B\cup A$.

$\square$

Intersección

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. La intersección de dos conjuntos estará definida como sigue:

$A\cap B=\set{x: x\in A\land x\in B}$.

La intersección de dos conjuntos nos permite obtener un conjunto cuyos elementos son aquellos que se encuentran en ambos conjuntos. En la imagen que proporcionamos arriba podemos ver que la intersección nos deja solamente a la manzana y la pera, pues están en ambos conjuntos y descarta al plátano y la naranja pues solo viven en el primer conjunto. Lo mismo hace con la fresa y la sandía que solo viven en el segundo conjunto.

Proposición. $A\cap B$ es un conjunto.

Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos.

Definamos la propiedad «$P(x): x\in B$». Por el esquema de comprensión se tiene que

$\set{x\in A:x\in B}$

es un conjunto.

Luego, $\set{x\in A:x\in B}=A\cap B$. En efecto, $z\in A\cap B$ si y sólo si $z\in A$ y $z\in B$ si y sólo si $z\in \set{x\in A:x\in B}$.

Por lo tanto, $A\cap B$ es conjunto.

$\square$

Ejemplos.

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\cap B=\emptyset$ esto último debido a que no existe ningún elemento $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in\set{\set{\emptyset}}$ al mismo tiempo. De ocurrir, tendriamos que $x=\emptyset$ y $x=\set{\emptyset}$ y por lo tanto, $\emptyset=\set{\emptyset}$ lo cual sabemos que no ocurre. Por lo tanto, $A\cap B=\emptyset$.
  2. Sean $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$ conjuntos. Notemos que en este ejemplo el único elemento que está tanto en el conjunto $A$ como en el conjunto $B$ es $x=\emptyset$. De este modo, $A\cap B=\set{\emptyset}$.

$\square$

También podemos definir intersecciones arbitrarias, no sólo de dos conjuntos.

Definición. Sea $A$ un conjunto no vacío, definimos a la intersección de $A$ como la colección:

$\set{x: \forall y\in A(x\in y)}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, tenemos que la intersección de $A$ es $\emptyset$. En efecto, esto pasa ya que no existe ningún elemento $x$ que pertenezca a todos los elementos de $A$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X=\set{A,B}$ con $A$ y $B$ conjuntos. Resulta que $\bigcap X= \bigcap \set{A, B}= A\cap B$. En efecto, $x\in \bigcap X$ si y sólo si para todo $y\in X$, $x\in y$ si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$.

$\square$

El hecho de que la unión arbitraria es conjunto es resultado del axioma de la unión. No hay un axioma de la intersección, por lo que demostraremos que la intersección de un conjunto $A$ es un conjunto, siempre que $A$ no sea vacío.

Proposición. Para todo $A\not=\emptyset$, la intersección de $A$ es un conjunto.1

Demostración:

Sea $A$ conjunto no vacío, entonces $A$ tiene al menos un elemento. Sea $z\in A$, tenemos que $\set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$ es conjunto por esquema de comprensión.

Resulta que $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$ si y sólo si $a\in y$ para todo $y\in A$. En efecto, si $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$, entonces $a\in z$ y $\forall y\in A$, $a\in y$. Entonces $a\in y$ para todo $y\in A$.

Ahora, si $a\in y$ para todo $y\in A$, en particular $a\in z$ pues $z\in A$. Por tanto, $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$.

$\square$

Si observamos, para realizar la demostración anterior usamos el hecho de que $A\not=\emptyset$, por lo que podríamos preguntarnos qué pasa si $A$ es vacío. Veremos esto con detalle en la siguiente entrada.

Ahora que hemos probado que la intersección de $A$ es un conjunto cuando $A$ es no vacío, le asignaremos una notación la cual estará dada por $\bigcap A$.

Propiedades de la intersección

Teorema. Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\cap B\subseteq A$,
  2. $A\cap A=A$,
  3. $A\cap B=B\cap A$.

Demostración.

  1. Sea $x\in A\cap B$. Veamos que $x\in A$.
    Como $x\in A\cap B$ tenemos por definición de intersección que $x\in A$ y $x\in B$. En particular, $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap B\subseteq A$.
  2. Tomemos $x\in A\cap A$. Veamos que $x\in A$.
    Que $x\in A\cap A$ es equivalente a decir que $x\in A$ y $x\in A$, lo cual pasa si y sólo si $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap A=A$.
  3. $A\cap B=B\cap A$ pues $x\in A\cap B$ arbitrario si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$, si y sólo si $x\in B$ y $x\in A$, si y sólo si $x\in B\cap A$.

$\square$

Diferencia

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. La diferencia de $A$ con $B$ estará definida como sigue:

$A\setminus B=\set{x\in A: x\notin B}$.

Por esquema de comprensión $A\setminus B$ es conjunto.

La diferencia entre dos conjuntos nos permite obtener un conjunto cuyos elementos se encuentra en el primero pero no el segundo conjunto. En la imagen anterior podemos ver que la diferencia nos deja solamente al plátano y la naranja, pues el plátano y la naranja se encuentran en el primer conjunto, pero no en el segundo. La manzana y la pera no forma parte del conjunto final pues vive en ambos conjuntos. La fresa no es elemento de la diferencia pues ni siquiera es elemento del primer conjunto.

Ejemplos.

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\setminus B=\set{\emptyset}$ pues el único elemento que cumple estar en $A$ y no pertenecer al conjunto $B$ es $\emptyset$.
  2. Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$. Luego,
    $A\setminus B=\set{x\in A:x\notin B}=\set{x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}: x\notin\set{\emptyset}}= \{\set{\emptyset}\}$.

Propiedades de la diferencia

Teorema. Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\setminus \emptyset= A$,
  2. $A\setminus A=\emptyset$,
  3. $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.

Demostración.

  1. Sea $x\in A\setminus \emptyset$. Entonces $x\in A$ y $x\notin \emptyset$. En particular $x\in A$, por lo tanto $A\setminus \emptyset\subseteq A$.
    Luego, supongamos que $x\in A$. Como $x\notin \emptyset$ es verdadero para cualquier conjunto $x$, tenemos que $x\in A$ y $x\notin \emptyset$ es verdadero. Por lo tanto, $x\in A\setminus \emptyset$ y así $A\subseteq A\setminus \emptyset$.
    De lo anterior tenemos que $A=A\setminus \emptyset$.
  2. Supongamos que $A\setminus A\not=\emptyset$, es decir, existe al menos un elemento $x\in A\setminus A$. Entonces $x\in A$ y $x\notin A$, lo cual no puede ocurrir. Dado que la contradicción provino de suponer que $A\setminus A\not=\emptyset$, concluimos que $A\setminus A=\emptyset$.
  3. Veamos que $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.
    $\subseteq$] Sea $x\in A\setminus B$, entonces $x\in A$ y $x\notin B$. Luego, como $x\notin B$ entonces $x\notin A$ o $x\notin B$ es verdadero. Lo que equivale a decir que $x\notin (A\cap B)$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin (A \cap B)$ y así, $A\setminus B\subseteq A\setminus(A\cap B)$.
    $\supseteq$] Sea $x\in A\setminus (A\cap B)$, entonces $x\in A$ y $x\notin (A\cap B)$. Lo que equivale a decir que $x\in A$ y ($x\notin A$ o $x\notin B$). Dado que $x\notin A$ no puede ocurrir pues $x\in A$, entonces $x\notin B$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin B$ y así, $A\setminus(A\cap B)\subseteq A\setminus B$.
    Por lo tanto, $A\setminus(A\cap B)= A\setminus B$.

$\square$

Proposición. $A\setminus B=\emptyset$ si y sólo si $A\subseteq B$.

Demostración.

Supongamos que $A\setminus B=\emptyset$ y supongamos que $A\nsubseteq B$ en busca de una contradicción. Como $A\nsubseteq B$, existe $x\in A$ tal que $x\notin B$, y por lo tanto, $x\in A\setminus B$, lo que contradice que $A\setminus B=\emptyset$.
Por lo tanto, $A\subseteq B$.

Ahora, si $A\subseteq B$, entonces para cualquier $x\in A$, $x\in B$, por lo que no es posible que $A\setminus B$ sea no vacío.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te servirán para poner en práctica los conocimientos que has adquirido en este sección, en la siguiente lista podrás probar las siguientes propiedades de la unión, intersección y diferencia de conjuntos:

  1. Prueba que $A\cap \emptyset=\emptyset$ para todo conjunto $A$.
  2. Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos:
    – $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$.
    – $A\cap (B\cap C)= (A\cap B)\cap C$.
  3. Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos:
    – $A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap(A\cup C)$,
    – $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup(A\cap C)$.
  4. Si $A\subseteq C$ y $B\subseteq D$ entonces $A\cap B\subseteq C\cap D$.
  5. Demuestra que $A\setminus B=A$ si y sólo si $A\cap B=\emptyset$.
  6. Demuestra a partir de los axiomas que en efecto si $A$ es un conjunto no vacío, entonces $\cap A$ es conjunto.

Más adelante…

En la siguiente entrada retomaremos la definición de intersección de conjuntos y mencionaremos el axioma de buena fundación. Además abordaremos el tema de la colección de todos los conjuntos apoyados de este último axioma. Finalmente, veremos que la intersección del conjunto vacío resulta ser la colección de todos los conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. También puedes consultar la demostración de este resultado en: Amor, J. A., Teoría de Conjuntos para Estudiantes de Ciencias, México: Serv. Editoriales Fac. Ciencias, UNAM, 1997, p. 17. ↩︎