Introducción

En entradas anteriores definimos la razón en la que un punto divide a un segmento e hicimos uso de este concepto, obviando el cambio de signo, nos podemos preguntar que es lo que pasa cuando dos puntos distintos dividen en la misma razón a un segmento, esto es lo que se conoce como división armónica.

Definición 1. Definimos la razón cruzada de dos pares de puntos colineales $(A,B)$ y $(C,D)$ como
$(A,B;C,D)={\displaystyle \frac{AC}{CB}}÷{\displaystyle \frac{AD}{DB}}$.

Si $C$ está en el segmento $AB$, $D$ en su extensión y la razón en la que $C$ y $D$ dividen al segmento $AB$ es la misma en valor absoluto, entonces $(A,B;C,D)=–1$.

En este caso, decimos que $C$ y $D$ dividen al segmento $AB$ armónicamente, o que $C$ y $D$ son conjugados armónicos respecto de $A$ y $B$.

Observación. Notemos que el conjugado armónico de un punto respecto de otros dos puntos dados es único, pues ya probamos que para todo número real $r$, existe un único punto que divide a un segmento dado en $r$.

Hilera armónica

Teorema 1. Si dos puntos $C$ y $D$ dividen armónicamente al segmento $AB$ en la razón $|{\displaystyle \frac{p}{q}}|$ entonces los puntos $A$ y $B$ dividen armónicamente a $CD$ en la razón $|{\displaystyle \frac{p–q}{p+q}}|$.

Demostración. Supongamos que ${\displaystyle \frac{AC}{CB}}={\displaystyle \frac{p}{q}}$ y ${\displaystyle \frac{AD}{DB}}={\displaystyle \frac{–p}{q}}$, entonces usando segmentos dirigidos,

${\displaystyle \frac{AC}{CB}}+{\displaystyle \frac{CB}{CB}}={\displaystyle \frac{p}{q}}+{\displaystyle \frac{q}{q}}\Rightarrow$

$\begin{array}{}\text{(1)}& {\displaystyle \frac{AB}{CB}}={\displaystyle \frac{p+q}{q}}.\end{array}$

${\displaystyle \frac{AD}{DB}}+{\displaystyle \frac{DB}{DB}}={\displaystyle \frac{–p}{q}}+{\displaystyle \frac{q}{q}}\Rightarrow$
$\begin{array}{}\text{(2)}& {\displaystyle \frac{AB}{DB}}={\displaystyle \frac{q–p}{q}}.\end{array}$

De manera análoga podemos encontrar
$\begin{array}{}\text{(3)}& {\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{CB+AC}{AC}}={\displaystyle \frac{q+p}{p}},\end{array}$
$\begin{array}{}\text{(4)}& {\displaystyle \frac{AB}{AD}}={\displaystyle \frac{DB+AD}{AD}}={\displaystyle \frac{p–q}{p}}.\end{array}$

Haciendo el cociente de $(2)$ entre $(1)$ obtenemos
${\displaystyle \frac{CB}{BD}}={\displaystyle \frac{p–q}{p+q}}$.

Análogamente de $(4)$ y $(3)$ obtenemos
${\displaystyle \frac{CA}{AD}}={\displaystyle \frac{q–p}{p+q}}$.

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Definición 2. Debido a esta propiedad reciproca en la que si $(A,B;C,D)=–1$ entonces $(C,D;A,B)=–1$, decimos que $ACBD$ es una hilera armónica de puntos o simplemente una hilera armónica.

Corolario 1. Si $(A,B;C,D)=–1$, entonces ${\displaystyle \frac{AB}{CD}}={\displaystyle \frac{p^2–q^2}{2pq}}$.

Demostración. $CD=AD–AC$
$=ABp({\displaystyle \frac{1}{p–q}}–{\displaystyle \frac{1}{p+q}})=ABp({\displaystyle \frac{p+q–(p–q)}{p^2–q^2}})$.

Donde la segunda igualdad se debe a $(3)$ y $(4)$.

Por lo tanto, ${\displaystyle \frac{AB}{CD}}={\displaystyle \frac{p^2–q^2}{2pq}}$.

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Construcción del conjugado armónico

Teorema 2. Sea $\mathrm{△}ABC$, considera $X\in BC$, $Y\in CA$, $Z\in AB$, cada uno en el interior del lado respectivo y sea $X^{\prime }=ZY\cap BC$, entonces $X$ y $X^{\prime }$ son conjugados armónicos respecto a $BC$ si y solo si $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes.

Demostración. Aplicando el teorema de Menelao a $\mathrm{△}ABC$ y la transversal $X^{\prime }YZ$ tenemos
${\displaystyle \frac{AZ}{ZB}}{\displaystyle \frac{B{X}^{\prime }}{X^{\prime }C}}{\displaystyle \frac{CY}{YA}}=–1$.

Por el teorema de Ceva $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes si y solo si,
${\displaystyle \frac{AZ}{ZB}}{\displaystyle \frac{BX}{XC}}{\displaystyle \frac{CY}{YA}}=1$.

Dividiendo ambas expresiones obtenemos
$(B,C;X,X^{\prime })={\displaystyle \frac{BX}{XC}}÷{\displaystyle \frac{B{X}^{\prime }}{X^{\prime }C}}=–1$.

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Proposición 1. Las proyecciones de los puntos de una hilera armónica en cualquier recta, forman otra hilera armónica.

Demostración. Sean $ACBD$ una hilera armónica y $l$ cualquier otra recta, consideremos $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$, las proyecciones de $A$, $B$, $C$, $D$ respectivamente en $l$.

Sea $P=ACBD\cap l$, como $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$, tenemos las siguientes semejanzas, $\mathrm{△}P{B}^{\prime }B\sim \mathrm{△}P{D}^{\prime }D\sim \mathrm{△}P{A}^{\prime }A$ (figura 3), es decir:

${\displaystyle \frac{P{A}^{\prime }}{P{D}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{PA}{PD}}\iff {\displaystyle \frac{–A^{\prime }P–P{D}^{\prime }}{P{D}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{–AP–PD}{PD}}$
$\iff {\displaystyle \frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{AD}}={\displaystyle \frac{P^{\prime }{D}^{\prime }}{PD}}$.

Igualmente podemos ver que ${\displaystyle \frac{D^{\prime }{B}^{\prime }}{DB}}={\displaystyle \frac{P^{\prime }{D}^{\prime }}{PD}}$.

Por lo tanto ${\displaystyle \frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{AD}{BD}}$.

De manera análoga podemos encontrar ${\displaystyle \frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{C^{\prime }{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{AC}{CB}}$.

Como $(A,B;C,D)=–1$, entonces,
${\displaystyle \frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{AD}{BD}}=–{\displaystyle \frac{AC}{CB}}=–{\displaystyle \frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{C^{\prime }{B}^{\prime }}}$.

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División armónica y bisectrices

Teorema 3. Sean $A$, $C$, $B$, $D$, cuatro puntos colineales, en ese orden, sea $P$ un punto fuera de la recta $ACBD$, entonces, si dos de las siguientes tres propiedades son ciertas, la tercera también es cierta:
$i)$ $(A,B;C,D)=–1$,
$ii)$ $PC$ es la bisectriz interna de $\mathrm{\angle }APB$,
$iii)$ $PC\perp PD$.

Demostración.
$i)$ y $ii)$ se cumplen, como $PC$ es la bisectriz interna de $\mathrm{\angle }APB$, por el teorema de la bisectriz, la bisectriz externa de $\mathrm{\angle }APB$ interseca a $AB$ en el conjugado armónico de $C$, el cual es único por la observación hecha en la introducción.

Por lo tanto, $PD$ es la bisectriz externa de $\mathrm{\angle }APB$ y así $PC\perp PD$.

$ii)$ y $iii)$ se cumplen, ya que $PC$ es la bisectriz interna de $\mathrm{\angle }APB$ y $PC\perp PD$, entonces $PD$ es la bisectriz externa de $\mathrm{\angle }APB$.

Por el teorema de la bisectriz, $C$ y $D$ son conjugados armónicos.

$i)$ y $iii)$ se cumplen, si $C$ y $D$ son conjugados armónicos respecto de $AB$ entonces se encuentran en la circunferencia de Apolonio determinada por la razón ${\displaystyle \frac{AC}{CB}}=|{\displaystyle \frac{AD}{DB}}|$.

Recordemos que $CD$ es diámetro de esta circunferencia, como $PC\perp PD$, entonces $P$ pertenece a este lugar geométrico.

Por lo tanto, ${\displaystyle \frac{AP}{PB}}={\displaystyle \frac{AC}{CB}}=|{\displaystyle \frac{AD}{DB}}|$, por el reciproco del teorema de la bisectriz, $PC$ y $PD$ son las bisectrices interna y externa de $\mathrm{\angle }APB$ respectivamente.

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Corolario 2. Considera un triángulo $\mathrm{△}ABC$, $I$ el incentro, $I_c$ el excentro relativo al vértice $C$ y $C_1=CI\cap AB$, entonces $(C,C_1;I,I_c)=-1$.

Demostración. En $\mathrm{△}A{C}_{1}C$, $AI$ y $A{I}_c$ son las bisectrices interna y externa respectivamente de $\mathrm{\angle }{C}_{1}AC$.

Como se cumplen los puntos $ii)$ y $iii)$ del teorema anterior entonces $(C,C_1;I,I_c)=-1$.

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Punto medio de conjugados armónicos

Teorema 4. Si $A$, $C$, $B$, $D$, son cuatro puntos colineales, en ese orden, y $O$ el punto medio del segmento $AB$ entonces $(A,B;C,D)=–1$ si y solo si $OC\times OD=O{A}^2$.

Demostración. Empleando segmentos dirigidos tenemos lo siguiente:
$AC–CB=(AO+OC)–(CO+OB)=2OC$,
$AD–DB=(AO+OD)–(DO+OB)=2OD$,
$AC+CB=AB=AD+DB=2AO$.

Por lo tanto, $OC\times OD=O{A}^2$
$\iff 2OC\times 2OD=(2AO{)}^2$
$\iff (AC–CB)(AD–DB)=(AC+CB)(AD+DB)$
$\iff (AC\times AD)–(AC\times DB)–(AD\times CB)+(CB\times DB)$
$=(AC\times AD)+(AC\times DB)+(AD\times CB)+(CB\times DB)$
$\iff –2AC\times DB=2AD\times CB$
$\iff (A,B;C,D)=–1$.

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Proposición 2.Sean $A$, $C$, $B$, $D$, cuatro puntos colineales, entonces $(A,B;C,D)=–1$, si y solo si al medir todos los segmentos de un punto de la hilera armónica, $B$ por ejemplo, tenemos ${\displaystyle \frac{2}{BA}}={\displaystyle \frac{1}{BC}}+{\displaystyle \frac{1}{BD}}$.

Demostración. ${\displaystyle \frac{AC}{CB}}=–{\displaystyle \frac{AD}{DB}}$
$\iff {\displaystyle \frac{AB+BC}{CB}}=–{\displaystyle \frac{AB+BD}{DB}}$
$\iff {\displaystyle \frac{BA}{BC}}–1={\displaystyle \frac{BA}{DB}}+1$
$\iff {\displaystyle \frac{1}{BC}}+{\displaystyle \frac{1}{BD}}={\displaystyle \frac{2}{BA}}$.

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Teorema de Feuerbach

Teorema 5, de Feuerbach. La circunferencia de los nueve puntos y el incírculo de un triángulo son tangentes.

Demostración. Paso 1. Sean $\mathrm{△}ABC$, $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ su triangulo medial, $\mathrm{\Gamma }(N)$ la circunferencia de los nueve puntos (el circuncírculo de $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$) y considera la tangente $C^{\prime }T$ a $\mathrm{\Gamma }(N)$ en $C^{\prime }$.

Notemos que $\mathrm{\angle }T{C}^{\prime }A$ y $\mathrm{\angle }{C}^{\prime }{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ son ángulos semiinscrito e inscrito respectivamente de $\mathrm{\Gamma }(N)$ y abarcan el mismo arco, por lo tanto, son iguales.

Recordemos que los lados de $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ son paralelos a los de $\mathrm{△}ABC$ y por lo tanto, $\mathrm{△}ABC$ y $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ son semejantes.

En consecuencia,
$\mathrm{\angle }B{C}^{\prime }T=\mathrm{\angle }B{C}^{\prime }{A}^{\prime }–\mathrm{\angle }T{C}^{\prime }A$
$=\mathrm{\angle }BAC–\mathrm{\angle }{C}^{\prime }{B}^{\prime }{A}^{\prime }=\mathrm{\angle }A–\mathrm{\angle }B$.

Paso 2. Sean $\mathrm{\Gamma }(I)$ el incírculo de $\mathrm{△}ABC$, $C_1=CI\cap AB$ y $C_{1}P$ tangente a $\mathrm{\Gamma }(I)$ en $P$.

Como $C_{1}A$ y $C_{1}P$ son tangentes a $\mathrm{\Gamma }(I)$ desde $C_1$ entonces $\mathrm{\angle }P{C}_{1}I=\mathrm{\angle }I{C}_{1}A$.

Por lo tanto,
$\mathrm{\angle }B{C}_{1}P=\pi –\mathrm{\angle }P{C}_{1}A$
$=\pi –(2\mathrm{\angle }I{C}_{1}A)=\pi –2(\pi –\mathrm{\angle }A–{\displaystyle \frac{\mathrm{\angle }C}{2}})$
$=\mathrm{\angle }A+(\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C–\pi )=\mathrm{\angle }A–\mathrm{\angle }B$.

Así, $C^{\prime }T\parallel C_{1}P$.

Paso 3. Sean $\mathrm{\Gamma }(I_c)$ el excírculo opuesto al vértice $C$, $Z_c$ el punto de tangencia entre $\mathrm{\Gamma }(I_c)$ y $AB$, $Z$ el punto de tangencia entre $\mathrm{\Gamma }(I)$ y $AB$, $H_c$ el pie de la altura por $C$ en $\mathrm{△}ABC$.

Por el corolario 2, $(C,C_1;I,I_c)=-1$ y por la proposición 1, $(H_c,C_1;Z,Z_c)=-1$.

Recordemos que el punto medio de $Z$ y $Z_c$ coincide con el punto medio $C^{\prime }$, de $AB$.

Por el teorema 4, $C^{\prime }{C}_1\times C^{\prime }{H}_c=C^{\prime }{Z}^2$.

Sea $F=C^{\prime }P\cap \mathrm{\Gamma }(I)$, $F\ne P$, por la potencia de $C^{\prime }$ respecto de $\mathrm{\Gamma }(I)$ tenemos
$C^{\prime }P\times C^{\prime }F=C^{\prime }{Z}^2=C^{\prime }{C}_1\times C^{\prime }{H}_c$.

Por la ecuación anterior, el teorema de las cuerdas nos dice que $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}{H}_c{C}_{1}PF$ es cíclico.

Por lo tanto, $\mathrm{\angle }{H}_{c}FP$ y $\mathrm{\angle }P{C}_1{H}_c$ son suplementarios.

En consecuencia, $\mathrm{\angle }{H}_{c}F{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }B{C}_{1}P=\mathrm{\angle }B{C}^{\prime }T$.

Por otra parte, notemos que $C^{\prime }{H}_c$ es una cuerda de la circunferencia de los nueve puntos $\mathrm{\Gamma }(N)$, sea $F^{\prime }$ en el arco $\stackrel{⌢}{C^{\prime }{H}_c}$ (recorrido en ese sentido).

Entonces, $\mathrm{\angle }B{C}^{\prime }T+\mathrm{\angle }T{C}^{\prime }{F}^{\prime }+\mathrm{\angle }{F}^{\prime }{C}^{\prime }{H}_c=\pi =\mathrm{\angle }{H}_c{F}^{\prime }{C}^{\prime }+\mathrm{\angle }{C}^{\prime }{H}_c{F}^{\prime }+\mathrm{\angle }{F}^{\prime }{C}^{\prime }{H}_c$, además $\mathrm{\angle }T{C}^{\prime }{F}^{\prime }=\mathrm{\angle }{C}^{\prime }{H}_c{F}^{\prime }$, pues abarcan el mismo arco.

Por lo tanto, los puntos $F^{\prime }$ en el arco $\stackrel{⌢}{C^{\prime }{H}_c}$, cumplen que  $\mathrm{\angle }{H}_c{F}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }B{C}^{\prime }T$, además son los únicos, siempre y cuando estén del mismo lado que $C$ respecto de $C^{\prime }{H}_c$.

Como $F$ cumple estas características, entonces $F\in \mathrm{\Gamma }(N)$.

Paso 4. Sean $U$ la intersección de la tangente a $\mathrm{\Gamma }(N)$ en $F$ con $C^{\prime }T$ y $V$ la intersección de la tangente a $\mathrm{\Gamma }(I)$ en $F$ con $C_{1}P$.

Como $U{C}^{\prime }=UF$, por ser tangentes a $\mathrm{\Gamma }(N)$ desde $U$, entonces $\mathrm{\angle }U{C}^{\prime }F=\mathrm{\angle }{C}^{\prime }FU$, igualmente vemos que $\mathrm{\angle }VPF=\mathrm{\angle }PFV$.

Pero $\mathrm{\angle }U{C}^{\prime }F=\mathrm{\angle }VPF$ pues $C^{\prime }U\parallel PV$ y $C^{\prime }PF$ es transversal a ambas.

Por lo tanto, $\mathrm{\angle }{C}^{\prime }FU=\mathrm{\angle }PFV=\mathrm{\angle }{C}^{\prime }FV$, es decir $UF$ y $VF$ son la misma recta.

Como resultado tenemos que $\mathrm{\Gamma }(N)$ y $\mathrm{\Gamma }(I)$ son tangentes en $F$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Definición 3. Al punto de tangencia entre el incírculo y la circunferencia de los nueve puntos $F$, se le conoce como punto de Feuerbach.

Más adelante…

Continuando con el tema de división armónica, en la siguiente entrada estudiaremos haces armónicos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. $i)$ Divide un segmento dado en una razón dada ${\displaystyle \frac{p}{q}}$,
   $ii)$ Muestra que $HNGO$ es una hilera armónica, donde $H$ es el ortocentro, $N$ el centro de los nueve puntos, $G$ el centroide y $O$ el circuncentro de un triángulo.
2.  Si los puntos $C$ y $D$ dividen internamente y externamente de manera armónica en la razón ${\displaystyle \frac{p}{q}}$ al segmento $AB$, muestra que el punto medio de $CD$ divide al segmento $AB$ en la razón ${\displaystyle \frac{p^2}{q^2}}$.
3. Prueba que la suma de los cuadrados de dos segmentos armónicos es igual a cuatro veces el cuadrado de la distancia entre los puntos medios de estos segmentos.
4. Considera el segmento determinado por el vértice de un triángulo y la intersección de la bisectriz interna o externa con el lado opuesto, muestra que los pies de las perpendiculares a dicha recta desde los otros dos vértices del triángulo dividen al segmento de manera armónica.
5. Si los puntos $C$ y $D$ dividen armónicamente al segmento $AB$ y $O$ es el punto medio de $AB$, muestra que $O{C}^2+O{D}^2=C{D}^2+2O{A}^2$.
6. Si $(A,B;C,D)=–1$ y $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ son los conjugados armónicos de $D$ respecto a los pares de puntos $(A,C)$ y $(B,C)$ respectivamente, muestra que $(A^{\prime },B^{\prime };C,D)=–1$.
7. Sean $\mathrm{△}ABC$, $D$, $E$, $F$, los puntos de tangencia del incírculo de $\mathrm{△}ABC$ con $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, sea $X$ en el interior de $\mathrm{△}ABC$ tal que el incírculo de $\mathrm{△}XBC$ es tangente a $BC$, $CX$, $XB$ en $D$, $Y$, $Z$, respectivamente, demuestra que $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}EFZY$ es cíclico.
8. Demuestra que la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es tangente a cada uno de sus excírculos.

Entradas relacionadas

• Ir a Geometría Moderna I.
• Entrada anterior del curso: Punto de Nagel.
• Siguiente entrada del curso: Haz armónico.
• Otros cursos.

Fuentes

• Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 53-56, 166-171.
• Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 149-161.
• Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 156-158.
• Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 200-203.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»