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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas: solución por variación de parámetros

Introducción

En las últimas entradas del curso analizamos a detalle el método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Revisamos los distintos casos que se pueden presentar, según las raíces del polinomio característico asociado a la matriz $\textbf{A}$. También resolvimos ejemplos para cada caso.

Es turno de enfocarnos en resolver sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}(t)$, donde $\textbf{Q}(t)$ es un vector de funciones que dependen de $t$. Para esto, utilizaremos el método de variación de parámetros para sistemas lineales, que es una generalización del método que lleva el mismo nombre, y que estudiamos para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de orden uno y dos.

Sabemos que la solución general a tales sistemas es de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{X}_{H}(t)+\textbf{X}_{P}(t)$$ donde $\textbf{X}_{H}(t)$ es la solución general al sistema homogéneo asociado, y $\textbf{X}_{P}(t)$ es una solución particular al sistema no homogéneo. Con ayuda de la función solución $\textbf{X}_{H}(t)$, el método de variación de parámetros nos ayudará a encontrar a $\textbf{X}_{P}(t)$. En efecto, si $$\textbf{X}_{H}(t)=c_{1}\textbf{X}_{1}(t)+c_{2}\textbf{X}_{2}(t)+…+c_{n}\textbf{X}_{n}(t)$$ donde las funciones $\textbf{X}_{i}(t)$ forman un conjunto fundamental de soluciones al sistema homogéneo, entonces supondremos que $$\textbf{X}_{P}(t)= u_{1}(t)\textbf{X}_{1}(t)+u_{2}(t)\textbf{X}_{2}(t)+…+u_{n}(t)\textbf{X}_{n}(t).$$ Si sustituimos $\textbf{X}_{P}(t)$ y su derivada en el sistema no homogéneo, después de realizar el álgebra correspondiente obtendremos un sistema de ecuaciones que tiene a las derivadas de las funciones $u_{i}(t)$ como incógnitas. Si resolvemos tal sistema, podremos encontrar a las funciones $u_{i}(t)$, y por tanto a la solución particular $\textbf{X}_{P}(t)$.

¡Vamos a comenzar!

Método de variación de parámetros para sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas

En el primer video desarrollamos el método de variación de parámetros para sistemas lineales con coeficientes constantes. En el segundo video resolvemos un par de sistemas no homogéneos por variación de parámetros.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} \sin{t}\\ \cos{t}\end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} e^{3t}\\ e^{3t}\end{pmatrix}.$$
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 1\end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} \sin{t}\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general a la ecuación de segundo orden $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=3e^{-x}.$$ (Recuerda que podemos transformar una ecuación de orden $n$ en un sistema de $n$ ecuaciones de primer orden).
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -3 & 5 \end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} 0\\ S_{0}(1-\cos{t})\end{pmatrix}.$$ donde $S_{0}$ es una constante.

Más adelante

Con esta entrada terminamos de revisar los métodos más importantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Estamos a punto de finalizar la tercera unidad, pero aún nos falta demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes continuos. Aunque no hemos vamos a resolver tales sistemas es importante dicho teorema, y es lo que haremos en la siguiente entrada del curso.

¡Hasta la próxima!

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para calcular la exponencial de una matriz diagonalizable

Introducción

En entradas anteriores definimos la exponencial de una matriz cuadrada con coeficientes constantes $\textbf{A}$, que denotamos por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, y demostramos sus principales propiedades. Entre ellas, vimos que la exponencial $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es una matriz fundamental de soluciones para el sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Ahora, calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ mediante la pura definición puede resultar bastante difícil si tomamos en cuenta que esta matriz esta conformada por $n\times n$ series convergentes. Es por eso que buscamos alguna alternativa para calcular esta exponencial que no resulte tan complicada.

Afortunadamente, para algunos casos particulares en la forma de la matriz $\textbf{A}$, calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ puede resultar relativamente sencillo. El caso más simple resulta cuando $\textbf{A}$ es una matriz diagonal, en cuyo caso $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es también diagonal, cuyas entradas son de la forma $e^{ta_{ii}}$ donde $a_{ii}$ es el $i$-ésimo elemento de la diagonal en la matriz $\textbf{A}$.

El siguiente caso más sencillo es cuando la matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable, es decir, cuando existe una matriz $\textbf{M}$ invertible, tal que $\textbf{D}=\textbf{M}^{-1}\textbf{A}\textbf{M}$ es una matriz diagonal. Probaremos que $$\textbf{e}^{t\textbf{A}}= \textbf{M}\textbf{e}^{t\textbf{D}} \textbf{M}^{-1}.$$ El problema se reduce al de encontrar precisamente las matrices $\textbf{M}$, $\textbf{M}^{-1}$ y $\textbf{D}$. Es decir, debemos diagonalizar a la matriz $\textbf{A}$.

Para esto, utilizaremos el método de valores y vectores propios para diagonalizar una matriz. Definiremos los conceptos necesarios, y desarrollaremos el método de manera muy breve. Toda la teoría que estudiaremos es propia de un curso de Álgebra Lineal, pero vale la pena darle un vistazo en este curso. Además, no nos desviaremos del camino y conectaremos los conceptos con nuestro propósito principal: encontrar soluciones al sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Si quieres profundizar más en la teoría de valores y vectores propios y diagonalización, te dejo el enlace correspondiente a dichos temas al final de la entrada.

La exponencial de una matriz diagonalizable. Valores y vectores propios y el polinomio característico de una matriz

Definimos los conceptos necesarios para desarrollar el método de vectores y valores propios, y los relacionamos con el problema de calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$.

Método de valores y vectores propios para diagonalizar una matriz con valores propios distintos

En el primer video desarrollamos el método de valores y vectores propios considerando una matriz $\textbf{A}$ diagonalizable, cuyo polinomio característico asociado tiene $n$ raíces distintas.

En el segundo video, ponemos en práctica el método, diagonalizando una matriz en particular.

Método de valores y vectores propios para diagonalizar una matriz con valores propios repetidos

Desarrollamos nuevamente el método de valores y vectores propios, pero ahora considerando una matriz $\textbf{A}$ diagonalizable en particular con raíces repetidas. Además, mencionamos brevemente el problema de calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ cuando $\textbf{A}$ no es diagonalizable.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que si $\textbf{v}$ es un vector propio para una matriz $\textbf{A}$, entonces cualquier múltiplo de $\textbf{v}$ es también vector propio de $\textbf{A}$. ¿Cuál es el valor propio asociado a este nuevo vector propio?
  • Verifica que efectivamente $$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}=\textbf{D}$$ donde $\textbf{D}$ es la matriz diagonal conformada por los valores propios de $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.$$ Recuerda que revisamos este ejemplo en el tercer video de la entrada.
  • Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ y la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X}$$ (La matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable).
  • Calcula $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ y encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & -2 & -3\\ 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\textbf{X}.$$ Recuerda que diagonalizamos la matriz asociada en el último video de esta entrada.
  • Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 1 & 5\end{pmatrix}\textbf{X}.$$ (La matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable).

Más adelante

Ahora que conocemos un poco del proceso acerca de diagonalizar una matriz, vamos a utilizar el mismo método para encontrar la solución general a un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes suponiendo que la matriz asociada al sistema sea diagonalizable. En particular, en la siguiente entrada revisaremos el caso cuando las raíces del polinomio característico asociado al sistema son todas reales y distintas.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes

Introducción

En la entrada anterior definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de coeficientes constantes, denotada por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, demostramos sus principales propiedades, y estudiamos la relación que guarda con el sistema lineal de ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ y su matriz fundamental de soluciones. Con esta herramienta a nuestra disposición, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes.

Como mencionamos en la entrada anterior, nuestra meta es tratar de generalizar la fórmula para soluciones a ecuaciones lineales de primer orden con condición inicial, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$, y encontrar una solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\textbf{C}$$ que se vea de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right].$$

El teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden nos garantiza la existencia de tal solución. Además, una vez que definimos la exponencial de una matriz, ya no nos sorprenderá la notación de la fórmula anterior. Dividiremos el teorema y su demostración en dos casos: para sistemas homogéneos y para sistemas no homogéneos.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el primer video demostramos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el segundo video demostramos el mismo teorema pero ahora para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(1)=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

Más adelante

Una vez que hemos encontrado formas explícitas para las soluciones a sistemas lineales con coeficientes constantes $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$, debemos encontrar algún método para calcular eficientemente $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, sin pasar por el complicado camino de calcular cada serie que conforma a la exponencial de $t\textbf{A}$. El método que desarrollaremos es una aplicación de los eigenvalores y eigenvectores (o valores y vectores propios) que quizá hayas visto en cursos de álgebra lineal.

Es por eso que, aunque no estamos en un curso de álgebra lineal, haremos un alto en el camino y revisaremos de manera muy breve estos conceptos y demás herramientas que utilizaremos muy pronto. Iremos relacionando los conceptos con los temas que nos interesan, que son los de hallar una matriz fundamental de soluciones, la exponencial de una matriz, y por supuesto resolver sistemas lineales de primer orden.

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