En esta entrada introduciremos un nuevo concepto: el de circunferencias ortogonales. Veremos cómo se relaciona este concepto con el de eje radical, que estudiamos en la entrada anterior.
Circunferencias ortogonales
La definición que nos interesa estudiar ahora es la siguiente.
Definición. Dos circunferencias $\mathcal{C_1}$ y $\mathcal{C_2}$ que se intersecan en un punto $P$ son ortogonales si sus tangentes en $P$ forman un ángulo recto.
Hagamos algunas observaciones de esta definición. Primero, dos circunferencias tangentes no pueden ser ortogonales pues si el punto de tangencia es $P$, entonces tienen la misma tangente en $P$. Así, las circunferencias deben intersectarse en al menos dos puntos $P$ y $Q$. Por simetría, las tangentes en $P$ son ortogonales si y sólo si las tangentes en $Q$ lo son.
Además, si los centros son $O_1$ y $O_2$, respectivamente, entonces sabemos que $O_1P$ es ortogonal a la tangente a $\mathcal{C}_1$ por $P$ y análogamente $O_2P$ es ortogonal a la tangente a $\mathcal{C}_2$ por $P$. Así, las tangentes son ortogonales si y sólo si los radios $O_1P$ y $O_2P$ lo son.
Algunas conexiones entre circunferencias ortogonales y eje radical
Veamos un primer resultado que relaciona circunferencias ortogonales y el eje radical.
Teorema. Sean $\mathcal{C_1}$ y $\mathcal{C_2}$ circunferencias de centros distintos. Si $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a ambas circunferencias, entonces su centro $O_3$ se encuentra en el eje radical de ambas.
Demostración. Denotaremos por $T_1$ a uno de los puntos de intersección de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_3$, y por $T_2$ a uno de los puntos de intersección de $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ (ver la figura a continuación). Debemos mostrar que $O_3$ está en el eje radical de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, es decir, que $$\text{Pot}(O_3,\mathcal{C}_1)=\text{Pot}(O_3,\mathcal{C}_2).$$
Como $O_3T_2$ y $O_3T_1$ son radios de $\mathcal{C}_3$, entonces $$O_3T_1^2=O_3T_2^2.$$
En la entrada de potencia de un punto vimos que podemos calcular la potencia en términos de la longitud de una tangente como sigue: $$\text{Pot}(O_3,\mathcal{C}_1)=O_3T_1^2=O_3T_2^2=\text{Pot}(O_3,\mathcal{C}_2).$$
Así, concluimos lo que queríamos, que $O_3$ está en el eje radical de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$.
$\square$
El siguiente resultado es similar, y en cierto sentido es un «regreso» del anterior.
Teorema. Sean $\mathcal{C_1}$ y $\mathcal{C_2}$ circunferencias de centros distintos. Sea $\mathcal{C}_3$ una circunferencia cuyo centro $O_3$ está en el eje radical de las dos circunferencias dadas. Si $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_2$, entonces también es ortogonal a $\mathcal{C}_1$.
Demostración. Tomaremos como referencia la figura anterior. A partir de las hipótesis, queremos demostrar que $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_1$. Sea $r_1$ el radio de $\mathcal{C}_1$. Por el teorema de Pitágoras, lo que queremos sucede si y sólo si $$O_3O_1^2-r_1^2= O_3T_1^2.$$
Dado que $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_2$, el triángulo $\triangle O_3T_2O_2$ es rectángulo. Por el teorema de Pitágoras se cumple entonces que $O_3O_2^2-r_2^2= O_3T_2^2$. Como $O_3$ está en el eje radical de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, y por cómo se calcula la potencia en términos de la distancia al centro y del radio, tenemos que: $$O_3O_2^2 – r_2^2=\text{Pot}(O_2,\mathcal{C}_3)=\text{Pot}(O_2,\mathcal{C}_2)=O_3O_1^2-r_1^2.$$
De este modo, $$O_3T_1^2=O_3T_2^2=O_3O_2^2-r_2^2=O_3O_1^2-r_1^2.$$
Esto es justo lo que necesitábamos para concluir que $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_1$.
$\square$
Posición de una circunferencia ortogonal a dos dadas con respecto a su eje radical
Veamos un resultado más, que nos habla acerca de la posición de una circunferencia en relación a otras dos a las que es tangente.
Teorema. Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ circunferencias de centros distintos $O_1$ y $O_2$. Sea $\mathcal{C}_3$ una circunferencia ortogonal a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$. La circunferencia $\mathcal{C}_3$ está posicionada con respecto a la línea de los centros $O_1O_2$ de acuerdo a los siguientes tres casos:
Si $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ se intersectan en dos puntos, entonces $\mathcal{C}_3$ no intersecta a $O_1O_2$.
Si $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son tangentes, entonces $\mathcal{C}_3$ es tangente a $O_1O_2$.
Si $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ no se intersectan, entonces $\mathcal{C}_3$ intersecta a $O_1O_2$ en dos puntos.
Demostración. Sea $\mathcal{C}_3$ una circunferencia ortogonal a dos circunferencias dadas $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$. Sean $r_1$, $r_2$, $r_3$ los radios de $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$, respectivamente. Sea $X$ la intersección de $O_1O_2$ con el eje radical $l$ de las circunferencias $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$. Sea $T_1$ un punto de intersección de $O_3$ con $O_1$ y $T_1$ un punto de intersección de $O_3$ con $O_2$. La figura a continuación muestra el dibujo para el primer caso.
Dado que $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, se tienen dos triángulos rectángulos: $$\triangle O_3T_1O_1 \quad \text{y} \quad \triangle O_3XO_1.$$
Por el teorema de Pitágoras, tenemos que $$O_3T_1^2+r_1^2=O_3O_1^2=O_1X^2+O_3X^2,$$
de donde $r_1^2-O_1X^2=O_3X^2-r_3^2$. Tratemos ahora sí cada caso por separado.
Caso 1. Supongamos que $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ se intersectan en dos puntos. Mostraremos que $\mathcal{C}_3$ no intersecta a $O_1O_2$.
Como las circunferencias se intersectan en dos puntos, el eje radical es la recta que une las intersecciones. Por ello, $r_1>|O_1X|$. Usando las cuentas de arriba:
Esto último sucede si y sólo si $|O_3X|>r_3$. Esto nos dice que $X$ está fuera de la circunferencia $\mathcal{C}_3$ y entonces dicha circunferencia no intersecta a $O_1O_2$.
Caso 2. Supongamos ahora que $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son tangentes. Debemos demostrar que $\mathcal{C}_3$ es tangente a $O_1O_2$. En este caso, $r_1=|O_1X|$. Y entonces tenemos la siguiente cadena de implicaciones:
Esto, junto con el hecho de que $O_3X$ es perpendicular a $O_1O_2$, implica que $O_1O_2$ es tangente a $\mathcal{C}_3$.
Caso 3. Finalmente, supongamos que $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ no se intersectan. Debemos mostrar que $\mathcal{C}_3$ sí intersecta a $O_1O_2$ en dos puntos. Para ello basta mostrar que $|O_3X|<r_3$. La suposición de que las circunferencias no se intersectan implica que $r_1<|O_1X|$.
Una vez más procedemos con las siguientes implicaciones:
Hemos abordado algunos resultados de circunferencias ortogonales. Lo que haremos en la siguiente entrada es estudiar a las familiar coaxiales de circunferencias. Sabemos que cualesquiera dos circunferencias tienen un eje radical pero, ¿qué sucede tenemos más de dos circunferencias que comparten eje radical?
Durante esta unidad se empezaron a estudiar las integrales indefinidas, como una generalización o una ampliación de la definición al empezar a considerarse como funciones, a la vez que se mencionaron e ilustraron las propiedades que éstas tienen.
Pero para poder seguir avanzando en el curso, es necesario recordar el proceso de derivación.
Muy seguramente haz escuchado que existe una relación entre la integral y la derivada, puede ser que incluso te hayan contado que la integral es la función inversa a la derivación o que son procesos opuestos y demás posibilidades.
Por otro lado, si aun no lo haz escuchado te comento que sí existe una relación entre ambos procesos pero no es formalmente correcto mencionarlo como inversos. Esto lo detallaremos más adelante.
Y como vamos a ilustrar esta relación, es necesario recordar la derivada y las reglas de derivación que se encontraron en el primer curso de cálculo.
La derivada
A partir de lo desarrollado en Cálculo I, se define coloquialmente a la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto o como la razón o velocidad de cambio de la función ante cambios de su variable independiente.
Formalmente, se define a la derivada como el siguiente límite.
Al igual que en la entrada anterior, la derivada tiene propiedades con las cuales nos facilita su manejo al momento de operar la transformación con diferentes funciones, entre las cuales tenemos las siguientes propiedades.
Para las propiedades señaladas a continuación, es necesario considerar lo siguiente:
Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables en $x_0$, es decir, que existe $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$.
Derivada de suma de funciones y producto por una constante
Estas son las propiedades que se ilustraron en el curso de Cálculo I, si quieres recordar la entrada, sigue este enlace. En esta entrada se presentan unas demostraciones de las propiedades, así como unos ejemplos.
Pero en este caso, podemos utilizar la notación de la integral indefinida para mostrar las propiedades y las reglas de derivación, como se muestra adelante.
Reglas de derivación
Para todas las siguientes reglas de derivación, suponga que la función es derivable.
Una vez que recordamos la derivada, su definición y las reglas de derivación, podemos recordar las fórmulas de derivación para funciones particulares, lo que nos permite calcular la derivada de forma directa o inmediata.
Esto nos facilita el proceso, ya que una vez que vemos la función, sabemos de forma instantánea, cual es su diferencial.
Esta regla se utiliza cuando estamos haciendo composición de funciones o la función que estamos derivado es producto de otra transformación. Esta propiedad nos especifica la derivación en estos casos.
Tenemos dos funciones $\phi$ y $g$ continuas en sus intervalos de definición, no necesariamente están definidas en el mismo intervalo.
Entonces, la función compuesta $f(x)=g[\phi(x)]$ es también continua.
Entonces, si queremos obtener la derivada de la función $f(x)$, aplicamos el siguiente teorema llamado como «regla de la cadena».
$$f'(x) = g'(\phi) \phi'(x).$$
Si quieres recordar a detalle la regla de la cadena, así como su demostración, puedes consultarlo en el siguiente enlace.
Más adelante…
Este ha sido un repaso muy corto y muy general sobre la derivada, en caso de querer recordarlo con mayor detalle o si tienes algún tema que te gustaría retomar con mayor detenimiento, puedes consultar la página de curso en el siguiente enlace, donde se enfoca en el cálculo diferencial.
Este pequeño recordatorio nos permitió introducir la diferencial a partir de la notación correspondiente de la integral indefinida, lo que nos ayuda de forma indirecta a ver la relación que tiene la derivada con la integral.
En la siguiente entrada se verá la introducción a los dos teoremas que tienen una alta importancia dentro del curso y que se emplearán en muchos cursos ya que, como su nombre lo dice, son fundamentales.
Estos teoremas explican formalmente la relación que existe entre el cálculo integral y el cálculo diferencial, así que nos van a facilitar cuando se tenga un problema que involucre ambos procesos.
En esta entrada abordaremos el concepto de diferenciabilidad desde un enfoque complejo, es decir, definiremos lo que entenderemos por la derivada de una función compleja, lo cual nos será de gran utilidad para caracterizar a $\mathbb{C}$ y a las funciones complejas que posean derivadas en el sentido complejo, con lo cual quedará claro que la diferenciabilidad compleja es más estricta que la diferenciabilidad estudiada sobre $\mathbb{R}^2$.
Al hablar de funciones complejas y sus derivadas, algunos textos usan los términos «holomorfa» y «analítica» de forma indistinta, al referirse a la diferenciabilidad de dichas funciones, mientras que otros utilizan «diferenciable» o «complejo diferenciable» y «holomorfa» de forma indistinta. El uso del término «analítica» se debe al hecho de que una función «holomorfa» tiene una expansión en series de potencias locales en cada punto de su dominio. De hecho, esta propiedad de la expansión en series de potencias es una caracterización completa de las funciones holomorfas, la cual se discutirá a detalle más adelante. Por otra parte, el uso del término «complejo diferenciable» surge por las propiedades relacionadas con la derivada compleja. En otros textos más antiguos se suelen utilizar los términos «regular» y «monogénica».
Las funciones holomorfas son una generalización de los polinomios complejos, pero resultan ser objetos matemáticos mucho más flexibles que los polinomios. El conjunto de los polinomios complejos es cerrado bajo la suma y la multiplicación, mientras que el conjunto de las funciones holomorfas es cerrado no solo bajo la suma y la multiplicación, sino también bajo recíprocos, inversas, exponenciación, logarítmos, raíces cuadradas y muchas otras operaciones.
Otro término que suele usarse al hablar de funciones holomorfas es el de «conforme» o «trasformación conforme», el cual se debe a una propiedad geométrica muy importante de dichas funciones que estudiaremos a detalle en las siguientes entradas. La conformidad es una propiedad que permite modelar el flujo de los fluidos incompresibles y otros fenómenos físicos mediante las funciones holomorfas.
Definición 16.1. (Diferenciabilidad compleja.) Sea $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto, sea $z_0 \in U$ y sea $f:U\to\mathbb{C}$ una función. Diremos que $f$ es complejo diferenciable o $\mathbb{C}$-diferenciable en $z_0$ si existe el límite: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0}, \tag{16.1} \end{equation*} y en caso de existir, a dicho límite se le llama la derivada compleja, o simplemente la derivada, de $f$ en $z_0$, la cual se denota como $f'(z_0)$, $\frac{df}{dz}(z_0)$ o $\frac{d}{dz}f(z_0)$. Si $f$ posee derivada en todo punto de $U$, entonces diremos que $f$ es holomorfa en $U$ y denotamos al conjunto de funciones holomorfas en $U$ como: \begin{equation*} \mathcal{H}(U) = \{ f:U\to\mathbb{C} \,:\, f \,\, \text{es holomorfa en}\,\,U\}. \end{equation*}
Observación 16.1. Para definir el concepto de derivada compleja no es necesario pedir que $U$ sea un conjunto abierto, sino que basta con considerar a $z_0 \in U \cap U’$ para que la definición anterior sea válida. Sin embargo esta generalización carece de importancia para la teoría, por lo que en general siempre que se hable de funciones diferenciables en el sentido complejo se considerarán conjuntos abiertos en $\mathbb{C}$.
Observación 16.2. Tomando $z=z_0 + h$, podemos reescribir el límite (16.1) como: \begin{equation*} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(z_0 + h) – f(z_0)}{h}, \tag{16.2} \end{equation*} notemos que tanto en (16.1) como en (16.2) se observa una definición similar a la de la derivada de una función real, sin embargo debe ser claro que en el caso real utilizando (16.1) tenemos que $x$ solo puede aproximarse a $x_0$ en dos direcciones, por la izquierda o por la derecha, análogamente si consideramos (16.2) tenemos que $h$ solo puede aproximarse a $0$ en dichas direcciones, mientras que en el caso complejo esto no se cumple, ya que sin importar cual de los dos límites utilicemos, es claro que $z$ puede aproximarse a $z_0$ y/o $h$ puede aproximarse a $0$ en más de dos direcciones, por lo que la existencia de la derivada de una función compleja no dependerá de la dirección en que $z$ se aproxime a $z_0$ y/o $h$ se aproxime a $0$, figura 71.
Figura 71: Gráfica de tres posibles direcciones por las que $z$ se aproxima a $z_0$ y $h$ se aproxima a $0$.
Definición 16.2. (Analicidad.) Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f:S \to \mathbb{C}$ una función.
Si $z_0$ es un punto interior de $S$, entonces diremos que $f$ es analítica en $z_0 \in S$, si $f$ es holomorfa en $B(z_0, \rho)\subset S$ para algún $\rho>0$, es decir si en $S$ existe algún $\rho$-vecindario de $z_0$, donde $f$ es holomorfa. Diremos que $f$ es analítica en $S$ si existe algún conjunto abierto totalmente contenido en $S$ donde $f$ es analítica.
Si $S = \mathbb{C}$, entonces diremos que $f$ es entera si $f$ es analítica en $\mathbb{C}$.
Observación 16.3. A partir de las definiciones 16.1 y 16.2 es claro que para $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto, una función $f:U\to\mathbb{C}$ será analítica en $U$ si es analítica en cada punto $z\in U$, por lo que durante el curso utilizaremos de manera indistinta los términos analítica y holomorfa para referirnos a funciones $\mathbb{C}$-diferenciables en conjuntos abiertos en $\mathbb{C}$. Sin embargo, más adelante veremos que la definición 16.2 será de gran utilidad al trabajar con funciones dadas por series de potencias.
Observación 16.4. Notemos que si una función $f(z)$ es holomorfa en $U\subset\mathbb{C}$, entonces $f'(z)$ define una función $f’ : U \to \mathbb{C}$. Si $f'(z)$ es continua, entonces se dice que $f(z)$ es continuamente diferenciable. Si $f'(z)$ es holomorfa en $U$, entonces se dice que $f(z)$ es dos veces diferenciable en $U$. Continuando de esta manera, tenemos que una función $f$ tal que cada una de sus derivadas sucesivas es nuevamente diferenciable es llamada infinitamente diferenciable. Este concepto es de suma importancia pues de manera equivalente se puede definir a una función $f:U \to \mathbb{C}$ como analítica en $U$ si $f(z)$ es continuamente diferenciable en $U$. De hecho, más adelante veremos que a diferencia de las funciones reales, en el caso complejo la existencia de $f'(z)$ garantiza la existencia de todas las derivadas de $f(z)$, lo cual no sucede en el caso real, por ejemplo para la función $f(x) = |x|\,x$ es claro que $f'(x) = 2|x|$ existe para todo $x\in\mathbb{R}$, pero $f^{”}(x)$ no existe para $x=0$.
Ejemplo 16.1. a) Sea $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tal que $f(z)=c$, con $c\in\mathbb{C}$ constante, entonces $f$ es entera en $\mathbb{C}$.
Del inciso a) tenemos que para $f(z) = c$, con $c\in\mathbb{C}$ constante, se tiene que $f'(z) = 0$, para todo $z\in\mathbb{C}$.
Por otra parte, del inciso b) tenemos que en general para $c\in\mathbb{C}$ constante, se cumple que si $f(z) = cz$, entonces $f'(z) = c$, para todo $z\in\mathbb{C}$.
Veamos ahora que el concepto de diferenciabilidad y analicidad no son intercambiables, es decir puede pasar que una función sea diferenciable en $z_0$, pero que no sea analítica en dicho punto.
Ejemplo 16.2. Sea $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $f(z) = \overline{z}^2$. Veamos que dicha función es diferenciable en $z_0=0$ y que no es diferenciable en ningún $z_0\neq 0$, en particular veamos que $f$ no es analítica en $z_0=0$.
Solución. Si $z_0 = 0$, entonces: \begin{align*} f'(z_0) & = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0}\\ & = \lim_{z \to 0} \dfrac{\overline{z}^2 – 0}{z-0}\\ & = \lim_{z \to 0} \dfrac{\overline{z}^2}{z}\\ & = 0. \end{align*} Veamos que si $z_0\neq 0$, entonces el límite que define a la derivada no existe. Primeramente, si nos aproximamos a $z_0$ a través de la recta que pasa por $0$ y que tiene dirección $z_0$, figura 72, es decir: \begin{equation*} z = tz_0, \quad t\in\mathbb{R}, \end{equation*} entonces: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & = \lim_{t \to 1} \dfrac{\overline{tz_0}^2 – \overline{z_0}^2}{tz_0-z_0}\\ & = \lim_{t \to 1} \dfrac{\left(\overline{z_0}\right)^2\left(t^2 – 1\right)}{z_0\left(t-1\right)}\\ & = \dfrac{\overline{z_0}^2}{z_0} \lim_{t \to 1} (t+1)\\ & = 2 \dfrac{\overline{z_0}^2}{z_0}. \end{align*} Por otra parte tenemos que si nos aproximamos a $z_0$ a través de la recta paralela al eje real que pasa por $z_0$, figura 72, es decir: \begin{equation*} z = z_0 + t, \quad t\in\mathbb{R}, \end{equation*} entonces: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & = \lim_{t \to 0} \dfrac{\overline{(z_0+t)}^2 – \overline{z_0}^2}{t}\\ & =\lim_{t \to 0} \dfrac{(\overline{z_0}+t)^2 – \overline{z_0}^2}{t}\\ & =\lim_{t \to 0} \dfrac{2t\,\overline{z_0} +t^2}{t}\\ & = \lim_{t \to 0} \left(2\,\overline{z_0} + t\right)\\ & = 2\, \overline{z_0}. \end{align*} Desde que estos dos límites son distintos y $z_0\neq 0$ es arbitrario, concluimos que para $z_0 \neq 0$ la función no es diferenciable, por lo que en $z_0 = 0$ la función no es analítica ya que no existe vecindad de $z_0 = 0$ donde $f'(z_0)$ exista.
Figura 72: Gráfica de las dos direcciones por las que $z$ se aproxima a $z_0$ en el ejemplo 14.2.
Ejemplo 16.3. Veamos que las siguientes funciones no son analíticas en ningún punto de $\mathbb{C}$. a) $f(z) = \overline{z}$. b) $f(z) = \operatorname{Re}(z)$.
Solución. Sea $z_0\in\mathbb{C}$. Para verificar la afirmación basta con mostrar que el límite que define a la derivada no existe para todo $z_0\in\mathbb{C}$, para ello nos aproximaremos a $z_0$ a lo largo de las rectas utilizadas en el ejemplo 16.2, figura 72.
a) Si nos aproximamos a $z_0$ a través de la recta $z = tz_0$, con $t\in\mathbb{R}$, tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & = \lim_{t \to 1} \dfrac{\overline{tz_0} – \overline{z_0}}{tz_0-z_0}\\ & = \lim_{t \to 1} \dfrac{\overline{z_0}\left(t – 1\right)}{z_0\left(t-1\right)}\\ & = \dfrac{\overline{z_0}}{z_0}. \end{align*} Mientras que si nos aproximamos a $z_0$ a través de la recta $z = z_0 + t$, con $t\in\mathbb{R}$, tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & = \lim_{t \to 0} \dfrac{\overline{(z_0+t)} – \overline{z_0}}{t}\\ & =\lim_{t \to 0} \dfrac{\overline{z_0}+t – \overline{z_0}}{t}\\ & =1. \end{align*} Como estos límites son distintos y $z_0\in\mathbb{C}$ es arbitrario, entonces concluimos que no existe $f’$ para ningún punto de $\mathbb{C}$, por lo que $f(z) = \overline{z}$ no es analítica en $\mathbb{C}$.
b) Si nos aproximamos a $z_0$ a través de la recta $z = tz_0$, con $t\in\mathbb{R}$, tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & = \lim_{t \to 1} \dfrac{\operatorname{Re}(tz_0) – \operatorname{Re}(z_0)}{tz_0-z_0}\\ & = \lim_{t \to 1} \dfrac{\operatorname{Re}(z_0)\left( t -1\right)}{z_0\left(t-1\right)}\\ & = \dfrac{\operatorname{Re}(z_0)}{z_0}. \end{align*} Mientras que si nos aproximamos a $z_0$ a través de la recta $z = z_0 + t$, con $t\in\mathbb{R}$, tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} & = \lim_{t \to 0} \dfrac{\operatorname{Re}(z_0 + t) – \operatorname{Re}(z_0)}{t}\\ & =\lim_{t \to 0} \dfrac{\operatorname{Re}(z_0) + t – \operatorname{Re}(z_0)}{t}\\ & =1. \end{align*} Dado que estos límites son distintos y $z_0\in\mathbb{C}$ es arbitrario, entonces concluimos que no existe $f’$ para ningún punto de $\mathbb{C}$, por lo que $f(z) =\operatorname{Re}(z)$ no es analítica en $\mathbb{C}$.
Proposición 16.1. Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U \to \mathbb{C}$ una función analítica, entonces $f$ es continua en $U$.
Demostración. Dado que $f$ es analítica en $U$, sabemos que $f'(z)$ existe para todo $z\in U$, entonces de acuerdo con la proposición 14.3(2) se cumple que el límite de un producto es el producto de los límites, por lo que: \begin{align*} \lim_{z\to z_0} \left(f(z) – f(z_0)\right) & = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} \left(z-z_0 \right)\\ & = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} \lim_{z\to z_0} \left(z-z_0 \right)\\ & = f'(z_0) \cdot 0\\ & = 0, \end{align*} de donde se tiene que $f$ es continua en $z_0$.
$\blacksquare$
Proposición 16.2. (Reglas de diferenciación.) Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto, $g,f:U \to \mathbb{C}$ dos funciones analíticas y $c_1, c_2\in \mathbb{C}$ dos constantes, entonces:
La función $c_1f + c_2g$ es analítica en $U$ y para todo $z\in U$ se tiene que: \begin{equation*} (c_1f(z) \pm c_2g(z))’= c_1f'(z) \pm c_2g'(z). \end{equation*}
La función $fg$ es analítica en $U$ y para todo $z\in U$ se tiene que: \begin{equation*} (f(z)g(z))’ = f'(z)g(z) + f(z)g'(z). \end{equation*}
La función $\dfrac{f}{g}$ es analítica en $W = U \setminus \left\{ z\in U : g(z)=0\right\}$ y para todo $z\in W$ se tiene que: \begin{equation*} \left(\frac{f(z)}{g(z)}\right)’ = \frac{f'(z)g(z) – f(z)g'(z)}{(g(z))^2}. \end{equation*}
Dadas las hipótesis, procedemos a realizar la prueba considerando $f(z)=1$ para todo $z\in U$, el caso general {\bf se deja como ejercicio al lector.} Sea $z_0\in W$, entonces $g(z_0)\neq 0$. Por la proposición 16.1 sabemos que $g$ es continua en $W$, por lo que, para $\varepsilon =|\,g(z_0)\,|/2>0$ existe $\delta>0$ tal que si $|\,z – z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |g(z) – g(z_0)|<\frac{|\,g(z_0)\,|}{2}, \end{equation*} de donde: \begin{equation*} 0<\frac{|\,g(z_0)\,|}{2} < |g(z)|, \end{equation*} por lo que $g(z)\neq 0$.
Entonces, para todo $z\in B(z_0, \delta)$, por la proposición 14.3(2) y la proposición 16.1, tenemos que: \begin{align*} \left(\frac{1}{g(z_0)}\right)’ & = \lim_{z \to z_0} \frac{\frac{1}{g(z)} – \frac{1}{g(z_0)}}{z-z_0}\\ & = \lim_{z \to z_0} \frac{-1}{g(z)g(z_0)} \frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}\\ & = -\frac{g'(z_0)}{g(z_0)^2}. \end{align*}
$\blacksquare$
Ejemplo 16.4. Sea $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $f(z) = z^n$, con $n\in\mathbb{N}^+$, veamos que $f$ es una función entera y que: \begin{equation*} \frac{d}{dz} z^n = n z^{n-1}. \tag{16.3} \end{equation*}
Demostración. Realizamos la prueba por inducción sobre $n$. Sea $n=1$, entonces $f(z)=z$, por lo que para $z_0\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{align*} f'(z_0) & = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0}\\ & = \lim_{z\to z_0} \frac{z – z_0}{z – z_0} \\ & = 1, \end{align*} de donde (16.3) se cumple para $n=1$.
Supongamos que (16.3) se cumple para $n=k$ con $k\in\mathbb{N}$ fijo. Veamos que (16.3) se cumple para $n=k+1$. Notemos que para $n=k+1$ se tiene que $f(z) = z^{k+1} = z^k z$, entonces para todo $z\in\mathbb{C}$, por la proposición 16.2(2), tenemos que: \begin{align*} f'(z) & = \frac{d}{dz}\left( z^{k+1} \right)\\ & = z \frac{d}{dz} (z^k) + z^k \frac{d}{dz} z\\ & = kz^{k-1}z + z^k\\ & = (k+1) z^k. \end{align*} Por lo que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que $f(z) = z^n$ es entera y su derivada está dada por (16.3).
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De hecho se puede mostrar que si $f:\mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}$ está dada por $f(z)=z^n$ y $n\in\mathbb{Z}$, entonces $f$ es analítica y su derivada está dada por (16.3), lo cual se deja como ejercicio al lector.
Ejemplo 16.5. Sea $f_0(z)$ la rama principal de la función multivaluada $F(z) = \sqrt{z}$, es decir: \begin{equation*} f_0(z) = \sqrt{z} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta(z)}{2}\right), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$, $\theta(z) =\operatorname{Arg}(z)$ y $z \in \mathbb{C} \setminus(-\infty,0]$.
Veamos que $f_0$ es analítica en el dominio $D = \mathbb{C} \setminus(-\infty,0]$ y determinemos su derivada.
Solución. De acuerdo con el ejemplo 15.7, sabemos que $f_0$ no es continua en $(-\infty,0]$, por lo que se sigue de la proposición 16.1 que en dicho conjunto $f_0$ no puede ser analítica.
Más aún, por la continuidad de $f_0$ en $D$, para $z_0\in D$ fijo tenemos que: \begin{align*} f_0′(z_0) & = \lim_{z\to z_0} \frac{\sqrt{z} – \sqrt{z_0}}{z-z_0}\\ & = \lim_{z\to z_0} \frac{\sqrt{z} – \sqrt{z_0}}{\left(\sqrt{z} – \sqrt{z_0}\right)\left(\sqrt{z} + \sqrt{z_0}\right)}\\ & = \lim_{z\to z_0} \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{z_0}}\\ & = \frac{1}{2\sqrt{z_0}}. \end{align*}
Desde que $z_0 \in D$ era arbitrario y $D$ es un dominio, en particular un conjunto abierto, concluimos que $f_0$ es analítica en $D$.
Es interesante notar que la derivada de la rama principal $f_0$ corresponde con la derivada de la función real $f(x) = \sqrt{x}$ con la que estamos familiarizados.
Corolario 16.1. Sea $n\in\mathbb{N}$ y sean $c_i \in\mathbb{C}$, con $i\in\{0,1,\ldots,n\}$, constantes con $c_n\neq 0$. Entonces:
Todo polinomio de grado $n$, digamos $p(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots + c_n z^n$, es una función entera y su derivada es: \begin{equation*} p'(z) = c_1 + 2c_2 z + \cdots + (n-1)c_{n-1} z^{n-2} + nc_n z^{n-1}. \tag{16.4} \end{equation*}
Toda función racional $f(z) = \dfrac{p(z)}{g(z)}$, donde $p(z)$ y $g(z)$ son polinomios, es una función analítica para todos los puntos $z$ tales que $g(z)\neq 0$ y su derivada es: \begin{equation*} f'(z) = \frac{p'(z)g(z) + p(z)g'(z)}{g(z)^2}. \tag{16.5} \end{equation*}
Demostración.
Dadas las hipótesis, procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$. Si $n=0$ entonces $p(z)=c_0$ es una función constante y por tanto es una función entera tal que $p'(z) = 0$. Si $n = 1$, entonces tenemos que $p(z) = c_0 + c_1 z$. De acuerdo con el ejemplo 16.4 y la proposición 16.2, tenemos que $p(z)$ es una función entera y su derivada es: \begin{equation*} p'(z) = 0 + c_1(1)z^{1-1} = c_1, \end{equation*} por lo que para $n=1$ se cumple (16.4). Supongamos que el resultado es válido para $n=k$, con $k\in\mathbb{N}$ fijo. Para $n=k+1$ tenemos que: \begin{align*} p(z) & = c_0 + \sum_{n=1}^{k+1} c_n z^n\\ & = c_0 + \sum_{n=1}^k c_n z^n + c_{k+1} z^{k+1}, \end{align*} por hipótesis de inducción sabemos que $c_0 + \sum_{n=1}^k c_n z^n$ es una función entera cuya derivada está dada por (16.4) y por el ejemplo 16.4 y la proposición 16.2 tenemos que $c_{k+1} z^{k+1}$ es también una función entera cuya derivada es $(k+1)c_{k+1}z^k$, entonces: \begin{equation*} p'(z) = c_1 + 2c_2 z + \cdots + (k-1)c_{k-1} z^{k-2} + kc_k z^{k-1} + (k+1)c_{k+1}z^k, \end{equation*} por lo que el resultado es válido para todo $n\in\mathbb{N}$.
De acuerdo con la proposición 16.2(3) y considerando el inciso anterior, es claro que una función racional $f(z) = \dfrac{p(z)}{g(z)}$, con $p(z)$ y $g(z)$ polinomios, es una función analítica en su dominio de definición, es decir en $S = \{ z\in\mathbb{C} : g(z) \neq 0\}$, cuya derivada está dada por (16.5).
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Ejemplo 16.6. Determina la derivada de las siguientes funciones y en caso de ser necesario especifica en dónde es analítica la función.
a) $f(z) = 3z^4 – 5z^3 + 2z$.
Solución. De acuerdo con el corolario 16.1 tenemos que $f$ es una función entera y su derivada es: \begin{equation*} f'(z) = 2(1) -5(3z^2) + 3(4z^3) = 12z^3 -15z^2 + 2. \end{equation*} b) $f(z) = \dfrac{(z+1)(z+i)^2}{z+1-3i}$.
Solución. De acuerdo con la proposición 16.2 tenemos que: \begin{align*} f'(z) & = \frac{((z+i)^2 + 2(z+1)(z+i))(z+1-3i) – (z+1)(z+i)^2}{(z+1-3i)^2}\\ & = \frac{2z^3 + (4-7i)z^2 + (14-2i)z + 5i + 6}{(z+1-3i)^2}. \end{align*} Por el corolario 16.1 tenemos que esta función es analítica en $S = \mathbb{C}\setminus\{-1+3i\}$, ya que en $z=-1+3i$ el denomidador de $f$ se anula.
c) $f(z) = \dfrac{z^2}{4z+1}$.
Solución. Por la proposición 16.2 tenemos que: \begin{align*} f'(z) & = \frac{(4z+1)(2z – z^2(4))}{(4z+1)^2}\\ & = \frac{4z^2 + 2z}{(4z+1)^2}. \end{align*} De acuerdo con el corolario 16.1 tenemos que esta función es analítica en $S = \mathbb{C}\setminus\{-\frac{1}{4}\}$, ya que en $z=-\frac{1}{4}$ el denomidador de $f$ se anula.
Proposición 16.3. (Carathéodory.) Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto, $z_0\in U$ y $f:U\to\mathbb{C}$ una función. Entonces, $f$ es analítica en $z_0$ si y solo si existe una función $\varphi:U \to \mathbb{C}$ continua en $z_0$ tal que para todo $z\in U$: \begin{equation*} f(z) = f(z_0) + \varphi(z) (z-z_0). \end{equation*} En este caso $\varphi(z_0) = f'(z_0)$.
Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que:
$\Rightarrow)$ Si $f$ es analítica en $z_0$, entonces existe: \begin{equation*} f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0}. \end{equation*} Sea $\varphi:U\to\mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} \varphi(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} & \text{si} & z \neq z_0, \\ f'(z_0) & \text{si} & z = z_0. \end{array} \right. \end{equation*} Es claro que para todo $z\in U$, incluso para $z=z_0$, se tiene que: \begin{equation*} f(z) = f(z_0) + \varphi(z) (z-z_0). \end{equation*} Por otra parte notemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} \varphi(z) = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} = f'(z_0) = \varphi(z_0), \end{equation*} por lo que $\varphi$ es continua en $z_0$ y $f'(z_0) = \varphi(z_0)$.
$(\Leftarrow$ Sea $\varphi:U \to \mathbb{C}$ una función continua en $z_0$ tal que para todo $z\in U$: \begin{equation*} f(z) = f(z_0) + \varphi(z) (z-z_0). \end{equation*} Por la continuidad de $\varphi$ tenemos que: \begin{equation*} \varphi(z_0) = \lim_{z \to z_0} \varphi(z) = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0}, \end{equation*} por lo que el límite que define a $f'(z_0)$ existe y $f'(z_0) = \varphi(z_0)$, entonces $f$ es analítica en $z_0$.
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De nuestros cursos de Cálculo, sabemos que otra de las reglas de diferenciación importantes es la regla de la cadena, por lo que podemos preguntarnos si dicho resultado es válido para funciones complejas dado que hemos visto que la composición de funciones es una operación posible para las funciones complejas, por lo que nos disponemos a responder a esta pregunta mediante el siguiente resultado.
Proposición 16.4. (Regla de la cadena.) Sean $U_1, U_2 \subset \mathbb{C}$ dos conjuntos abiertos, $g:U_1 \to \mathbb{C}$ una función analítica en $U_1$ y $f:U_2 \to \mathbb{C}$ una función analítica en $U_2$, tales que $g(U_1) \subset U_2$. Entonces $f \circ g$ es una función analítica en $U_1$ y para $z_0 \in U_1$ se tiene que: \begin{equation*} (f\circ g)'(z_0) = f'(g(z_0)) g'(z_0). \tag{16.6} \end{equation*}
Demostración. Dadas las hipótesis, por la proposición 16.3 tenemos que si $g$ es analítica en $z_0\in U_1$ y $f$ es analítica en $w_0 = g(z_0)\in U_2$, entonces existen funciones $\varphi_1:U_1 \to \mathbb{C}$ y $\varphi_2:U_2 \to \mathbb{C}$ continuas en $z_0$ y $w_0$, respectivamente, tales que: \begin{align*} g(z) = g(z_0) + \varphi_1(z)(z-z_0),\quad \forall z\in U_1,\\ f(w) = f(w_0) + \varphi_2(w) (w-w_0),\quad \forall w\in U_2, \end{align*} con $\varphi_1(z_0) = g'(z_0)$ y $\varphi_2(w_0) = f'(w_0)$.
Notemos que para todo $z\in U_1$, $w=g(z)\in U_2$, se tiene que: \begin{align*} (f \circ g)(z) & = f(g(z))\\ & = f(g(z_0)) + \varphi_2(g(z))(g(z)-g(z_0))\\ & = (f\circ g)(z_0) + \varphi_2(g(z))\varphi_1(z)(z-z_0), \quad \forall z\in U_1, \end{align*} entonces, por la continuidad de $\varphi_1(z)$ y $\varphi_2(g(z))$ en $z_0$, tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \frac{(f\circ g)(z) – (f\circ g)(z_0)}{z-z_0} & = \lim_{z \to z_0} \frac{\varphi_2(g(z))\varphi_1(z)(z-z_0)}{z-z_0} \\ & = \lim_{z \to z_0} \varphi_2(g(z))\varphi_1(z)\\ & = \varphi_2(g(z_0))\varphi_1(z_0)\\ & = f'(g(z_0)) g'(z_0). \end{align*} Como $z_0 \in U_1$ era arbitrario, entonces es claro que $f\circ g$ es analítica en $U_1$ y su derivada está dada por (16.6).
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Ejemplo 16.7. Determina la derivada de las siguientes funciones y en caso de ser necesario especifica en dónde es analítica la función.
a) $f(z) = (iz^2+3z)^5$.
Solución. De acuerdo con la regla de la cadena tenemos que: \begin{equation*} f'(z) = 5(iz^2+3z)^4(2iz + 3). \end{equation*} b) $f(z) = \dfrac{(z^2+1)^4}{z^4}$.
Solución. Considerando la proposición 16.2(3) y la regla de la cadena tenemos que: \begin{align*} f'(z) & = \frac{4(z^2+1)^3(2z)(z^4) – (z^2+1)^4(4z^3)}{(z^4)^2}\\ & = \frac{4(z^2+1)^3(z^2 -1)}{z^5}. \end{align*} c) $f(z) = (z^3+1)^{10}$.
Solución. Por la regla de la cadena tenemos que: \begin{equation*} f'(z) = 10(z^3+1)^9(3z) = 30z(z^3+1)^9. \end{equation*}
Otro resultado importante, con el que estamos familiarizados por nuestros cursos de Cálculo, es el de la regla de L’Hôpital. Como consecuencia de la analicidad de funciones complejas, tenemos una versión de esta regla para calcular límites de cocientes que consideren indeterminaciones de la forma $0/0$.
Proposición 16.5. (Regla de L’Hôpital.) Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $z_0\in U$. Si $f$ y $g$ son dos funciones analíticas en $z_0$ tales que $f(z_0) = 0 = g(z_0)$ y $g'(z_0)\neq 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f'(z_0)}{g'(z_0)}. \end{equation*}
Demostración.Se deja como ejercicio al lector.
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Ejemplo 16.8. Considera las siguientes funciones y determina los siguientes límites:
a) $\lim_{z\to 2+i}\dfrac{f(z)}{g(z)}$, donde $f(z) = z^2 – 4z + 5$ y $g(z) = z^3-z-10i$.
Solución. Es fácil verificar que $f(2+i) = g(2+i) = 0$, por lo que evaluar el límite dado nos lleva a una indeterminación de la forma $0/0$. Dado que $f$ y $g$ son funciones polinómicas, es claro que son funciones enteras, cuyas derivadas son: \begin{align*} f'(z) = 2z-4,\\ g'(z) = 3z^{2}-1 \end{align*} y $g'(i) \neq 0$, por lo que de acuerdo con la regla de L’Hôpital tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to 2+i} \frac{f(z)}{g(z)} & = \lim_{z \to 2+i} \frac{z^{2}-4z+5}{z^3 -z -10i}\\ & = \frac{2(2+i) – 4}{3(2+i)^2-1}\\ & = \frac{2i}{12i + 8}\\ & = \frac{3}{26} + \frac{1}{26} i. \end{align*} b) $\lim_{z\to i}\dfrac{f(z)}{g(z)}$, donde $f(z) = z^{14} + 1$ y $g(z) = z^7 + i$.
Solución. Claramente $f(i) = g(i) = 0$, por lo que evaluar el límite dado nos lleva a una indeterminación de la forma $0/0$. Dado que $f$ y $g$ son funciones polinómicas, es claro que son funciones enteras con derivadas: \begin{align*} f'(z) = 14z^{13},\\ g'(z) = 7z^{6} \end{align*} y $g'(i) \neq 0$, por lo que de acuerdo con la proposición 14.5 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to i} \frac{f(z)}{g(z)} & = \lim_{z \to i} \frac{z^{14}+1}{z^7 + i}\\ & = \frac{14i^{13}}{7i^6}\\ & = 2i^7\\ & = -2i. \end{align*}
Proposición 16.6. (Teorema de la función inversa.) Sean $U,G\subset\mathbb{C}$ dos conjuntos abiertos, $f:U \to G$ una función biyectiva, $g:G \to U$ la inversa de $f$ y $z_0\in G$. Si $f$ es analítica en $g(z_0)$ con $f'(g(z_0))\neq 0$ y $g$ es continua en $z_0$, entonces $g$ es analítica en $z_0$ y su derivada es: \begin{equation*} g'(z_0) = \frac{1}{f'(g(z_0))}. \end{equation*}
Demostración. Dadas las hipótesis, como $f(g(z)) = z$ para todo $z\in G$, entonces tenemos que: \begin{align*} g'(z_0) & = \lim_{z\to z_0}\frac{g(z) – g(z_0)}{z – z_0}\\ & = \lim_{z\to z_0}\frac{g(z) – g(z_0)}{f(g(z)) – f(g(z_0))}\\ & = \lim_{z\to z_0}\dfrac{1}{\dfrac{f(g(z)) – f(g(z_0))}{g(z) – g(z_0)}}. \end{align*}
Dado que $f$ es analítica en $w_0 = g(z_0)$, entonces: \begin{align*} \varphi(w_0) = f'(w_0) & = \lim_{w \to w_0} \frac{f(w) – f(w_0)}{w-w_0}\\ & = \lim_{w \to w_0} \varphi(w), \end{align*} por lo que $\varphi$ es una función continua en $w_0$. Por otra parte, como $g$ es continua en $z_0$, entonces $\lim_{z\to z_0} g(z) = g(z_0) = w_0 \in U$. Así, por la proposición 15.4 de la entrada anterior, tenemos que: \begin{align*} g'(z_0) & = \lim_{z\to z_0}\frac{1}{\varphi(g(z))}\\ & = \frac{1}{\varphi\left(\lim_{z\to z_0}g(z)\right)}\\ & = \frac{1}{f'(w_0)}\\ & = \frac{1}{f'(g(z_0))}. \end{align*}
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Definición 16.3. (Singularidad o punto singular.) Si una función compleja $f$ no es analítica en un punto $z_0\in\mathbb{C}$, pero es analítica en algún punto de cada disco abierto $B(z_0,r)\subset\mathbb{C}$, $r>0$, entonces $z_0$ se llama un punto singular o singularidad de $f$.
Ejemplo 16.9. De acuerdo con el ejemplo 16.6(b) el punto $z_0 = -1+3i$ es un punto singular de la función $f(z) = \dfrac{(z+1)(z+i)^3}{z+1-3i}$.
Por otra parte, por el el ejemplo 16.3(a) sabemos que la función $f(z) = \overline{z}$ no es analítica en ningún punto de $\mathbb{C}$, por lo que $f$ no tiene puntos singulares.
Tarea moral
Mediante la definición 16.1 obtén la derivada de las siguientes funciones. a) $f(z) = z – \dfrac{1}{z}$. b) $f(z) = -z^{-2}$. c) $f(z) = \dfrac{1}{i2z}$.
Sean $a,b\in\mathbb{C}$ constantes y $n\in\mathbb{N}^+$. Determina dónde existen las derivadas de las siguientes funciones y utiliza las reglas de diferenciación para obtener sus derivadas. a) $f(z) = \dfrac{1}{(z-a)^n}$. b) $f(z) = \dfrac{iz^2-2z}{3z -i +1}$. c) $f(z) = \left(\dfrac{z-a}{z-b}\right)^n$. d) $f(z) = z + \dfrac{1}{z(z^2-b)}$.
Considera a la función $f:\mathbb{C}\setminus{0}\to\mathbb{C}$ dada por $f(z)=z^n$. Prueba que $f$ es analítica en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, para toda $n\in\mathbb{Z}$, y que su derivada está dada por (16.3).
Considera a la función $f(z) = |\,z\,|^2$, la cual es continua en el punto $z=0$. a) Prueba que $f(z)$ es diferenciable en el origen. b) Prueba que $f(z)$ no es diferenciable en nigún punto $z\neq 0$.
Calcula los siguientes límites. a) $\lim_{z \to \sqrt{2} i} \dfrac{z^3 + 5z^2 + 2z + 10}{z^5 + 2z^3}$. b) $\lim_{z \to 1 + i} \dfrac{z^5 + 4z}{z^2 -2z + 2}$. c) $\lim_{z \to \sqrt{2}(1+i)} \dfrac{z^4 + 16}{z^2 -2\sqrt{2} z + 4}$. Hint: Utiliza la regla de L’Hôpital.
Prueba que la función $f(z) = |\,z\,|$ no es diferenciable en ningún punto.
Más adelante…
Como hemos visto con los ejemplos anteriores, las reglas de diferenciación, en el sentido complejo, para la suma, el producto y el cociente de funciones, al igual que para las potencias enteras, parecen ser simplemente una extensión de las reglas de diferenciación para funciones reales, sin embargo como hemos mencionado antes, la derivada en el caso complejo es más restrictiva. A pesar de que parezca que simplemente estamos trabajando con la variable $z$, no debemos olvidar que dicha variable depende a su vez de dos variables, su parte real y su parte imaginaria, por lo que las reglas de diferenciación obtenidas hasta ahora puede que no nos permitan obtener la derivada de algunas funciones complejas, incluso aunque estas funciones sí posean derivadas, por ejemplo si consideramos a las funciones $f(z) = 4x^2 – iy$ y $g(z) = xy + i(x+y)$, es claro que no podemos utilizar la proposición 16.2 para intentar obtener sus derivadas, en caso de existir.
Es importante remarcar que a diferencia del caso real en el que dabamos distintas interpretaciones a la derivada de una función, en el caso complejo no nos centraremos en darle una interpretación a la derivada, sino que nos enfocaremos en saber si una función compleja tiene o no derivada, ya que la existencia de la misma nos dice mucho sobre la función compleja. Por ello en la siguiente entrada caracterizaremos la diferenciabilidad compleja mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann, las cuales resultan ser una condición necesaria para asegurar la diferenciabilidad de una función compleja y veremos que bajo ciertas condiciones podemos garantizar que también son una condición suficiente.
Hasta ahora hemos visto que a diferencia de $\mathbb{R}^2$, el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ es un campo dotado con las operaciones definidas en la entrada 2 de la primera unidad. Sin embargo, no es difícil convencerse de que como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales estos son isomorfos.
Al estudiar matemáticas uno de los conceptos más importantes es el de función. De manera intuitiva podemos pensar a una función como una regla que asocia elementos entre dos conjuntos. A lo largo de nuestros cursos de Cálculo hemos estudiado a detalle funciones de una y varias variables reales, por lo que pensar en funciones de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ no debe parecernos algo ajeno, de hecho en nuestros cursos de Geometría dedicamos un tiempo al estudio de algunas funciones de estas llamadas transformaciones lineales. Entonces, considerando que $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{C}$ son isomorfos como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales podríamos pensar que al definir una función sobre $\mathbb{C}$ de variable compleja debería ser algo indistinguible de una función de dos variables reales. Sin embargo, es claro que si pensamos en una función $f(z)$, donde la variable $z$ es un número complejo, entonces estamos trabajando con una función de una única variable como en el caso real, por lo que de algún modo podemos pensar que las funciones complejas de variable compleja parecen estar entre las funciones reales de variable real y las funciones vectoriales de dos variables reales.
Funciones complejas
Definición 12.1. (Función compleja de variable compleja.) Sea $S\subset\mathbb{C}$. Una función compleja de variable compleja $f(z)$, o simplemente una función compleja, definida en $S$ es una regla que para cada $z=x+iy\in S$ asigna un único número complejo $w=u+iv\in\mathbb{C}$ y se escribe como $f:S\to\mathbb{C}$. El número $w$ es llamado el valor de $f$ en $z$, lo cual denotamos como $f(z)$, es decir $w=f(z)$. Al conjunto $S$ se le llama el dominio de $f(z)$ y el conjunto $f(S) = \{f(z) \, : \, z\in S\} \subset \mathbb{C}$ es llamado el rango o la imagen de $f(z)$.
Observación 12.1. De acuerdo con la definición podemos pensar que una función compleja transforma los valores de un plano $z$ en valores de un plano $w$. Esto lo analizaremos a detalle en la entrada 24, ya que nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja puesto que ésta tiene lugar en $\mathbb{R}^4$.
Observación 12.2. Cuando una función está dada sólo por su regla de correspondencia sin especificar el dominio $S$, entonces se toma como dominio al mayor conjunto $S$ donde dicha función está definida, en dicho caso al conjunto $S$ se le suele llamar el dominio natural de la función.
Observación 12.3. El término dominio se usa aquí en un sentido conjuntista y no topólogico, es decir el conjunto $S$ no tendría porque ser en principio un conjunto abierto y conexo (región), aunque a lo largo del curso estaremos trabajando comúnmente en dominios $S$ que son una región (definición 10.3).
Observación 12.4. A lo largo de esta unidad estaremos trabajando con funciones complejas de variable compleja. Sin embargo, dado que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ es posible considerar al dominio $S$ de una función $f$ tal que $S\subset\mathbb{R}$, en cuyo caso tendríamos una función compleja de variable real. Más aún, podríamos tener que $f(S)\subset\mathbb{R}$, en dicho caso reduciríamos nuestro estudio al de funciones reales de variable real. Por lo que, nuestro objetivo en esta entrada será generalizar los resultados y propiedades ya conocidos de las funciones reales de variable real para las funciones complejas de variable compleja.
Funciones elementales
Definición 12.2. (Polinomios complejos.) Sean $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n\in\mathbb{C}$ constantes. Un polinomio complejo es una función de la forma: \begin{equation*} f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots + a_{n-1} z^{n-1} + a_n z^n. \end{equation*} El mayor índice $n$ tal que $a_n \neq 0$ es el grado del polinomio.
Toda función polinómica tiene como dominio a todo $\mathbb{C}$.
Definición 12.3. (Funciones racionales.) Sean $P(z)$ y $Q(z)$ dos polinomios complejos. Se denomina función racional a una función de la forma: \begin{equation*} f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}. \end{equation*} Toda función racional tiene como dominio natural a los números complejos sin el conjunto donde el polinomio $Q(z)$ se anule, es decir, sin el conjunto de raíces de $Q(z)$.
Ejemplo 12.1. Las siguientes son funciones complejas cuyo dominio $S$ es todo $\mathbb{C}$: a) $w_1 = f_1(z) = |z|^2$. b) $w_2 = f_2(z) = 3z^2 + 7z$. c) $w_3 = f_3(z) = \overline{z}$.
Mientras que: d) $w_4 = f_4(z) = \dfrac{1}{z}$, e) $w_5 = f_5(z) = \dfrac{1}{z^2-1}$, son también funciones complejas, pero sus dominios naturales son $S_4 = \mathbb{C}\setminus\{0\}$ y $S_5 = \mathbb{C}\setminus\{-1,1\}$, respectivamente.
Ejemplo 12.2. Sean $z_1, z_2\in\mathbb{C}$ tales que $z_1 \neq z_2$, entonces la función $L:[0,1]\to \mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} w = L(t) = (1-t)z_1 + tz_2, \end{equation*}
es una función compleja de variable real que nos determina al segmento de recta que va de $z_1$ a $z_2$, es decir al conjunto $[z_1, z_2]$.
Definición 12.4. (Operaciones de funciones.) Denotemos al conjunto de todas las funciones definidas de $S\subset\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$ como $\mathcal{F}(S)$. Considerando la definición 12.1 tenemos que de manera natural las operaciones de suma y producto definidas en $\mathbb{C}$ se trasladan al conjunto $\mathcal{F}(S)$, es decir para $f,g\in\mathcal{F}(S)$ podemos definir su suma $f+g$ y su producto $f\cdot g$ como: \begin{equation*} (f+g)(z) = f(z)+g(z), \quad \forall z\in S. \end{equation*} \begin{equation*} (f\cdot g)(z) = f(z) \cdot g(z), \quad \forall z\in S. \end{equation*} Utilizaremos el símbolo «$\cdot$» para denotar el producto entre funciones solo cuando sea necesario, en general lo omitiremos.
Como caso particular del producto de funciones, si una de ellas es constante, entonces definimos el producto por escalares complejos como: \begin{equation*} (c \, f)(z) = c \, f(z), \quad \forall z\in S, \end{equation*} donde $c\in\mathbb{C}$ es una constante.
Más aún, si $g(z)\neq0$ para toda $z\in S$, entonces definimos a la función cociente $\dfrac{f}{g}$ como: \begin{equation*} \left(\frac{f}{g}\right)(z) = \frac{f(z)}{g(z)}, \quad \forall z\in S. \end{equation*}
Definición 12.5. (Partes real e imaginaria, conjugado y módulo de una función compleja.) Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Entonces para todo $z\in S$ definimos las funciones:
parte real de $f$: \begin{equation*} \left(\operatorname{Re} f\right)(z) = \operatorname{Re} f(z), \end{equation*}
parte imaginaria de $f$: \begin{equation*} \left(\operatorname{Im} f\right)(z) = \operatorname{Im} f(z), \end{equation*}
el conjugado de $f$: \begin{equation*} \overline{f}(z) = \overline{f(z)}, \end{equation*}
el módulo de $f$: \begin{equation*} |\,f\,| (z) = |\,f(z)\,|. \end{equation*}
Al igual que cada número complejo $z$ es caracterizado por un par de números reales, digamos $x$ e $y$, una función compleja $f$ de variable $z$ puede ser especificada por dos funciones reales de las variables reales $x$ e $y$, digamos $u=u(x,y)$ y $v=v(x,y)$. Para justificar esto consideremos la siguiente:
Proposición 12.1. Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f:S\to\mathbb{C}$ una función compleja.
Si $z=x+iy\in S$, entonces $w=f(z)$ puede expresarse como: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde $u (x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales de las variables $x$ e $y$.
Sean $u(x,y)$ y $v(x,y)$ dos funciones reales de las variables $x$ e $y$, definidas en $S$. Si $z = x+iy \in S$, entonces: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} es una función compleja en $S$.
Demostración. Dadas las hipótesis, consideremos a $z=x+iy \in S$. Sabemos que: \begin{equation*} x = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad y = \frac{z-\overline{z}}{2i}. \tag{12.1} \end{equation*}
Considerando (12.1) es claro que existe una relación estrecha entre los números reales $x$ e $y$ y el número complejo $z$, por lo que especificar los valores de $x$ e $y$ en $S$ equivale a especificar a un número complejo $z=x+iy\in S$. Entonces $f$ es una función compleja de las variables $x$ e $y$, por lo que definiendo: \begin{align*} u(x,y) = \frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2},\\ v(x,y) = \frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}, \end{align*} tenemos que: \begin{align*} u(x,y) + iv(x,y) & = \frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2} + i \frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}\\ & = f(x+iy)\\ & = f(z)\\ & = w. \end{align*} Notemos que: \begin{align*} \overline{u}(x,y) & = \overline{\frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2}}\\ & = \frac{\overline{f}(x+iy) + f(x+iy)}{2}\\ & = u(x,y), \end{align*} \begin{align*} \overline{v}(x,y) & = \overline{\frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}}\\ & = \frac{\overline{f}(x+iy) – f(x+iy)}{-2i}\\ & = v(x,y), \end{align*} por lo que, considerando la proposición 2.2(5), tenemos que $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales de las variables $x$ e $y$ para todo $z = x+iy \in S$.
Sea $z=x+iy\in S$. Es claro que $g(z) = \overline{z}$ es una función compleja de $z$ definida en $S$. Entonces, de acuerdo con (12.1), tenemos que las funciones: \begin{align*} u(x,y) = u \left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i} \right),\\ v(x,y) = v \left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i} \right), \end{align*} son ambas funciones de $z$ para todo $z\in S$, por lo que su suma también es una función de $z$ para toda $z\in S$. Entonces para todo $z=x+iy \in S$: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} es una función compleja definida en $S$.
$\blacksquare$
De acuerdo con el resultado anterior, tenemos que una función compleja $f:S\to\mathbb{C}$, tal que para cada $z=x+iy\in S$ cumple que $f(z)=w\in\mathbb{C}$, puede escribirse de la forma: \begin{equation*} w = f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde las funciones $u$ y $v$ son llamadas la parte real e imaginaria respectivamente de la función $f$, es decir $\operatorname{Re} f = u$ e $\operatorname{Im} f=v$. Además dichas funciones $u$ y $v$ tienen como común dominio al dominio de la función $f$.
Observación 12.5. Como hemos visto en la entrada 4 de la primera unidad, en ocasiones resulta más conveniente trabajar con un número complejo $z\in\mathbb{C}$, con $z = x+iy \neq 0$, en su forma polar, es decir: \begin{equation*} z = r\left[\operatorname{cos}(\theta) + i \operatorname{sen}(\theta)\right], \end{equation*} donde $r = |\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{arg} z$. Tenemos entonces que $x = r \operatorname{cos}(\theta)$ e $y= r \operatorname{sen}(\theta)$, por lo que, considerando la proposición 12.1, es claro que una función compleja $f$, al trabajar con la variable $z$ en su forma polar, se puede escribir como: \begin{equation*} w = f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta). \end{equation*}
Ejemplo 12.3. Consideremos las primeras tres funciones del ejemplo 12.1 y sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$, entonces:
a) \begin{align*} f_1(x+iy) & = |\,x+iy\,|^2\\ & = x^2 + y^2, \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_1(z) = u_1(x,y)=x^2 + y^2$ e $\operatorname{Im}f_1(z) = v_1(x,y)=0$.
b) \begin{align*} f_2(x+iy) & = 3(x+iy)^2 + 7(x+iy)\\ & = (3x^2-3y^2+7x) + i(6xy+7y), \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_2(z) = u_2(x,y)=3x^2-3y^2+7x$ e $\operatorname{Im} f_2(z)=v_2(x,y)=6xy+7y$.
c) \begin{align*} f_3(x+iy) & = \overline{x+iy}\\ & = x – iy, \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_3(z) = u_3(x,y)=x$ e $\operatorname{Im}f_3(z)=v_3(x,y)=-y$.
Para el inciso d) del ejemplo 12.1 consideremos a $z=x+iy\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, de acuerdo con la observación 3.2 tenemos que: \begin{equation*} f_4(z) = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|\,z\,|^2} = \frac{f_3(z)}{f_1(z)},\end{equation*} entonces: d)\begin{align*} f_4(x+iy) & = \frac{x-iy}{x^2+y^2}\\ & = \frac{x}{x^2+y^2} – i\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right), \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_4(z)=u_4(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}$ e $\operatorname{Im}f_4(z)=v_4(x,y)=\dfrac{-y}{x^2+y^2}$.
Ejemplo 12.4. Considerando a $z$ en su forma polar expresemos a las funciones complejas $f(z) = z^5 + 4z^3$ y $g(z) = z^2$ en términos de las funciones reales $u(r,\theta)$ y $v(r,\theta)$.
Solución. Sea $z = r\operatorname{cis}(\theta) \neq 0$, con $r=|z|$ y $\theta=\operatorname{arg} z$. De acuerdo con la fórmula de De Moivre, proposición 4.1 de la primera unidad, tenemos que:
Es claro que esta última expresión representa una función compleja, sin embargo podemos preguntarnos si esta función representa un polinomio complejo de acuerdo con la definición 12.2. Para responder esto consideremos la siguiente:
Observación 12.5. Mediante la definición 12.2, se establece que un polinomio complejo en la variable $z$ es una función compleja que considera potencias de $z$ y coeficientes complejos, por ejemplo: \begin{equation*} i + (2+i)z + 3z^2. \end{equation*}
De acuerdo con la proposición 12.1, es claro que el polinomio anterior puede expresarse como un polinimio en dos variables reales, las cuales están dadas por su parte real e imaginaria, es decir, considerando a $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{align*} i + (2+i)z + 3z^2 & = i + (2+i)(x+iy) + 3(x+iy)^2\\ & = i + 2x + ix + 2iy – y + 3x^2 + 6ixy – 3y^2\\ & = 3(x^2-y^2) + 2x – y + i(x + 2y + 6xy + 1). \end{align*}
Debe ser claro que esta última expresión sigue siendo una función compleja. Sin embargo, abordar el concepto de polinomio desde el sentido complejo requiere cierto cuidado. Podemos hablar de un polinomio en las variables $x$ e $y$, donde $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, considerando coeficientes complejos, por ejemplo: \begin{equation*} (3+i)xy + 3ix^2 + 5y^2. \end{equation*}
Entonces dicho polinomio en las variables $x$ e $y$ nos determina una función de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{C}$, la cual podemos pensar como una función compleja estableciendo $z=x+iy\in\mathbb{C}$.
Considerando lo anterior, debe ser claro que el ejemplo 12.5 no representa un polinomio complejo. En general, tenemos que existen polinomios en las variables $x$ e $y$, que son funciones complejas, pero que no son polinomios complejos, puesto que son funciones que no pueden ser escritas en términos de la variable $z=x+iy\in\mathbb{C}$, desde que aparecen expresiones en términos de $\overline{z}$.
Lo anterior es de suma importancia, ya que identificar a las funciones complejas, no solo polinomios, que dependan únicamente de la variable $z$ y no de $\overline{z}$ será la llave al análisis complejo. Como veremos en las siguientes entradas, este detalle tan sutil resultará de suma importancia pues nos permitirá caracterizar propiedades como la diferenciabilidad en el sentido complejo a través de este hecho.
Definición 12.6. (Composición de funciones.) Sea $g\in\mathcal{F}(H)$. Sabemos que $g(H) = \{g(z) \,: \, z\in H\}$ es la imagen de $g$. Sea $f\in\mathcal{F}(S)$ y $g(H)\subset S$, entonces se define a la composición de $f$ con $g$ como la función $f\circ g: H \rightarrow \mathbb{C}$ tal que: \begin{equation*} (f\circ g)(z) = f(g(z)), \quad \forall z\in H. \end{equation*}
Definición 12.7. (Función inyectiva, suprayectiva, biyectiva e inversa.) Sean $S,H\subset\mathbb{C}$ y sea $f:S \to H$ una función. Diremos que $f$ es inyectiva si para toda imagen $w\in H$ existe un único $z\in S$ tal que $f(z) = w$. Diremos que $f$ es suprayectiva si para todo $w\in H$ existe una preimagen $z\in S$, es decir si existe $z\in S$ tal que $f(z) = w$. Diremos que $f$ es una biyección si $f$ es una función inyectiva y suprayectiva.
Si $f:S \to H$ es una función biyectiva, entonces diremos que una función $g:H \to S$ es la inversa de $f$ si para todo $w\in H$ se cumple que $f(g(w)) = z$ y para todo $z\in S$ se cumple que $g(f(z)) = w$, es decir si las composiciones $f\circ g$ y $g\circ f$ son las funciones identidad en $H$ y en $S$ respectivamente.
Ejemplo 12.6. a) La función $f(z) = z^2$ no es inyectiva. Solución. Claramente $f(z)$ es una función de variable compleja con valores en $\mathbb{C}$. Desde que: \begin{equation*} f(i) = i^2 = -1 = (-i)^2 = f(-i), \end{equation*} entonces $f(z)$ no es inyectiva en $\mathbb{C}$. b) La función $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $f(z) = 2z – 6i$ es biyectiva. Determina su función inversa. Solución. Primero probemos que $f(z)$ es inyectiva. Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ tales que $f(z_1) = f(z_2)$. Veamos que $z_1 = z_2$. Notemos que: \begin{align*} f(z_1) = f(z_2) &\Longleftrightarrow 2z_1 – 6i = 2z_2 – 6i\\ &\Longleftrightarrow 2z_1 = 2z_2\\ &\Longleftrightarrow z_1 = z_2, \end{align*} por lo que $f(z)$ es inyectiva.
Procedemos ahora a verificar que $f(z)$ es suprayectiva. Sea $w \in \mathbb{C}$, entonces existe: \begin{equation*} z := \frac{w+6i}{2}\in\mathbb{C}, \end{equation*} tal que: \begin{align*} f(z) & = 2\left(\frac{w+6i}{2}\right) – 6i\\ & = w, \end{align*} por lo que $f(z)$ es suprayectiva. Por lo tanto $f(z)$ es una función biyectiva y su función inversa está dada por: \begin{equation*} f^{-1}(z) = \frac{z+6i}{2}, \end{equation*} desde que: \begin{align*} f\left(f^{-1}(z)\right) & = f\left(\frac{z+6i}{2}\right)\\ & = 2\left(\frac{z+6i}{2}\right) – 6i\\ & = z, \end{align*} \begin{align*} f^{-1}\left(f(z)\right) & = f^{-1}\left(2z-6i\right)\\ & = \frac{2z-6i+6i}{2}\\ & = z, \end{align*} para todo $z\in\mathbb{C}$.
Definición 12.8. (Función acotada.) Sea $S\subset\mathbb{C}$. Diremos que una función $f:S\to\mathbb{C}$ es acotada si existe un número $M>0$ tal que para todo $z\in S$ se cumple que: \begin{equation*} |\,f(z)\,| \leq M. \end{equation*}
Ejemplo 12.7. Si $|\,z\,|\leq 1$, entonces la función $f(z) = \operatorname{Re}(2+\overline{z} + z^3)$ es acotada.
Considera las siguientes funciones complejas. Escribelas en la forma $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ identificando claramente a las funciones $u$ y $v$ y los dominios de definición de cada función. a) $\dfrac{2}{z-1+i}$. b) $2z^2 + z\overline{z}+3z$. c) $\overline{z} + \dfrac{2}{z}$.
Escribe las siguientes funciones complejas en la forma $f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta)$ expresando a $z$ en su forma polar e identifica a las funciones $u$ y $v$. a) $f(z)=z^6-\overline{z}^2$. b) $f(z)= z + \dfrac{1}{z}$. c) $f(z)=\dfrac{z+1}{z}$.
Considera la siguiente forma de construir a los números complejos. Sea: \begin{equation*} K = \left\{ \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix} \,:\, a,b\in\mathbb{R} \right\} \end{equation*} un subconjunto del anillo de matrices reales de $2\times2$ ($M_{2\times2}(\mathbb{R})$). Verifica que $K$ es cerrado bajo la suma y multiplicación de matrices, es decir es un subanillo de $M_{2\times2}(\mathbb{R})$. Además, muestra que: \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = – \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*} Por último prueba que la función $f:K \to \mathbb{C}$ tal que: \begin{equation*} f\left(\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}\right) = a + ib, \end{equation*} define un isomorfismo entre $K$ y el campo de los números complejos $\mathbb{C}$, es decir: i) $f$ es biyectiva, ii) $f(A+B) = f(A) + f(B)$, para todo $A,B\in K$, iii) $f(AB) = f(A)f(B)$, para todo $A,B\in K$. Observa que si se aplica dicha función $f$ sobre el subconjunto de matrices escalares de $K$, es decir el subconjunto de $K$ tal que $b=0$, entonces $f$ es un isomorfismo sobre el campo de los números reales $\mathbb{R}$.
Considerando la parte real y la parte imaginaria, funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ respectivamente, determina a la función compleja $w=u(x,y)+iv(x,y)$ como función de la variable compleja $z=x+iy$. a) $u(x,y)=\dfrac{x^2 + x – y^2 }{(x+1)^2 + y^2}$ y $v(x,y)=\dfrac{y(1-2x)}{(x+1)^2 + y^2}$. Hint: Recuerda que para todo $z\in\mathbb{C}$ se tiene que $z \overline{z} = |\,z\,|^2$. b) $u(x,y) = 6x – 5$ y $v(x,y) = 6y+9$. c) $u(x,y)=2(x^2 – y^2)$ y $v(x,y)=0$. Hint: Observa que $v(x,y)=2ixy – 2ixy$.
Determina la función inversa de las siguientes funciones. a) $f(z) = \dfrac{1}{z}$, para $z\neq 0$. b) $f(z) = \dfrac{z-1}{z+1}$, para $z\neq -1$. c) $f(z) = -z$.
Considera las siguientes funciones y prueba que son acotadas en su dominio. a) $f(z) = \dfrac{1}{z^4 – 4z^2 + 3}$, entonces $|\,f(z)\,|\leq \dfrac{1}{3}$ si $|\,z\,| = 2$. b) $f(z) = \dfrac{1}{z^2 + z + 1}$, entonces $|\,f(z)\,|\leq 4$ si $|\,z\,| \leq \dfrac{1}{2}$. c) $f(z) = z^5 -4$, entonces $|\,f(z)\,|\leq 5$ si $|\,z\,| \leq 1$.
Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Determina cuáles de las siguientes funciones complejas son polinomios complejos y cuáles no. Justifica tu respuesta. a) $f(z) = 4x^2 – iy$. b) $f(z) = xy + i(x+y)$. c) $f(z) = x^2 + y^2$. d) $f(z) = x^2 – y^2 + 2ixy$. e) $f(z) = 5x^2 – 5y^2 + i + (3+i)x + (3i-1)y + 10ixy$.
Más adelante…
En esta entrada hemos abordado de manera formal la definición de una función compleja de variable compleja, además de dar las definiciones elementales de operaciones de funciones desde el enfoque de la variable compleja.
Como vimos en esta entrada, toda función de variable compleja puede describirse considerando a su parte real e imaginaria, las cuales resultaron ser funciones reales de dos variables. En las siguientes entrada veremos que a través de estas funciones podremos abordar diversos conceptos como el de límite, continuidad, diferenciabilidad, entre otros, utilizando los resultados que ya conocemos para funciones reales de dos variables, lo cual resultará de gran utilidad para el estudio de las funciones complejas.
La siguiente entrada hablaremos del concepto de función multivaluada, el cual resultará fundamental en el estudio de las funciones complejas, pues como veremos a lo largo de esta unidad muchas de las funciones complejas elementales, que extienden a las funciones reales, resultan ser funciones multivaluadas.
En esta entrada hablaremos acerca del principio de inducción. Será de gran importancia pues una vez que lo demostremos, se podrá utilizar como método de demostración para proposiciones cuyo enunciado depende de un número natural. En otras palabras, el principio de inducción nos ayudará a demostrar que ciertas proposiciones o propiedades se cumplen para cualquier natural $n$.
Teorema. Sea $P(n)$ una proposición (como las que se vieron en la primera unidad) que depende de un número natural $n$. Supongamos que las siguientes dos cosas son ciertas.
$P(0)$ se cumple.
Para cualquier $n\in \mathbb{N}$, si $P(n)$ es verdadero, entonces $P(s(n))$ también es verdadero.
Entonces, $\set{n\in \mathbb{N}:P(n)}=\mathbb{N}$, es decir, la proposición es cierta para cualquier número natural $n$.
Demostración.
Tomemos $P(n)$ una propiedad. Si se cumplen 1) y 2), entonces
$A=\set{n\in \mathbb{N}: P(n)}$
es un conjunto inductivo.
En la entrada anterior probamos que cualquier conjunto inductivo contiene a los naturales. Así, $\mathbb{N}\subseteq A$.
Además, $A\subseteq \mathbb{N}$ pues para cualquier $n\in A$, $n\in \mathbb{N}$ y por lo tanto, $A=\mathbb{N}$.
$\square$
Para entender este teorema, podemos imaginar una fila con tantas fichas de dominó como números naturales, como en la imagen. Hay una primera ficha. Para cualquier ficha hay una siguiente. ¿Qué necesitamos para garantizar que se caigan todas las fichas mediante el «efecto dominó»?
Por Leonardo Martínez con Stable Difussion
Podemos interpretar al teorema como sigue. Tomemos informalmente la proposición $P(n):$»el dominó $n$ cae». Lo que nos diría el punto 1) del principio de inducción es que la ficha correspondiente a cero. Lo que nos diría el punto 2) del principio de inducción es que tenemos la garantía de que para cualquier natural $n$ «si el dominó $n$ se cae, entonces el dominó $n+1$ también», por ejemplo, porque el dominó $n$ y $n+1$ están suficientemente cerca como para que el dominó $n$ empuje al $n+1$ al caer. Lo que garantizaría el principio de inducción es que todas las fichas caerán.
Orden de los naturales
A continuación definiremos una relación en el conjunto de números naturales, la cual resultará ser una relación de orden, pero esto último lo probaremos en la próxima entrada.
Definición. Sean $n,m\in \mathbb{N}$. Decimos que $n\leq m$ si y sólo si $n\in m$ o $n=m$.
Ejemplos.
$0=\emptyset$ y $1=\set{\emptyset}$ son números naturales. Luego, $0\leq 1$ pues $\emptyset\in \set{\emptyset}$.
$0=\emptyset$ y $2=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ son números naturales. Luego, $0\leq 2$ pues $\emptyset\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
$1=\set{\emptyset}$ y $2=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ son números naturales. Luego, $1\leq 2$ pues $\set{\emptyset}\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
$\square$
A continuación veremos un ejercicio en el que usaremos la relación que definimos arriba y el principio de inducción.
Proposición. $0\leq m$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.
Demostración.
Debemos probar que $\set{m\in \mathbb{N}: 0\leq m}=\mathbb{N}$. Procederemos usando el principio de inducción.
$0\leq 0$ pues $0=0$.
Ahora, si $0\leq m$ para algún $m\in \mathbb{N}$, veamos que $0\leq s(m)$. Dado que $0\leq m$, $0=m$ ó $0\in m$. Consecuentemente, $0\in s(m)$, es decir, $0\leq s(m)$.
Por lo tanto, $\set{m\in\mathbb{N}:0\leq m}=\mathbb{N}$.
$\square$
Tarea moral
Demuestra que la relación $\leq$ que definimos en esta entrada es un orden parcial.
Demuestra que cualesquiera naturales $n$ y $m$ son $\leq$-comparables, aplicando inducción sobre $n$. ¿Puedes dar una demostración alternativa que use un resultado de la entrada?
Demuestra que para todo natural $n\not=0$, existe un natural $k$ tal que $n=s(k)$.
Demuestra que para cualquier $n\in \mathbb{N}\setminus \set{0,1}$, existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $n=s(s(k))$.
Muestra que $\mathbb{N}$ no tiene máximo con el orden $\leq$ que hemos definido.
Más adelante…
En la siguiente entrada probaremos que el conjunto de los naturales con el orden que hemos definido en esta entrada es un buen orden.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Puedes consultar más contenido acerca del principio de inducción en el siguiente libro: Hrbacek, Karel y Jech, Thomas, Introduction to Set Theory, Marcel Dekker Inc. 1984, pp. 42-44. ↩︎
