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Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares

Introducción

Hasta ahora hemos visto que a diferencia de $\mathbb{R}^2$, el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ es un campo dotado con las operaciones definidas en la sección 2 de la primera unidad. Sin embargo no es difícil convencerse de que como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales estos son isomorfos.

Al estudiar matemáticas uno de los conceptos más importantes es el de función. De manera intuitiva podemos pensar a una función como una regla que asocia elementos entre dos conjuntos. A lo largo de nuestros cursos de Cálculo hemos estudiado a detalle funciones de una y varias variables reales, por lo que pensar en funciones de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ no debe parecernos algo ajeno, de hecho en nuestros cursos de Geometría dedicamos un tiempo al estudio de algunas funciones de estas llamadas transformaciones lineales. Entonces, considerando que $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{C}$ son isomorfos como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales podríamos pensar que al definir una función sobre $\mathbb{C}$ de variable compleja debería ser algo indistinguible de una función de dos variables reales. Sin embargo, de manera intuitiva es fácil notar que si pensamos en una función $f(z)$, donde la variable $z$ es un número complejo, entonces estamos trabajando con una función de una única variable como en el caso real, por lo que de algún modo podemos pensar que las funciones complejas de variable compleja parecen estar entre las funciones reales de variable real y las funciones vectoriales de dos variables reales.

Funciones complejas

Definición 12.1. (Función compleja de variable compleja.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Una función compleja de variable compleja $f$, o simplemente una función compleja, definida en $S$ es una regla que para cada $z=x+iy\in S$ asigna un único número complejo $w=u+iv\in\mathbb{C}$ y se escribe como $f:S\to\mathbb{C}$. El número $w$ es llamado el valor de $f$ en $z$, lo cual denotamos como $f(z)$, es decir $w=f(z)$. Al conjunto $S$ se le llama el dominio de $f$ y el conjunto $f(S) = {f(z) \, : \, z\in S} \subset \mathbb{C}$ es llamado el rango o la imagen de $f$.

Observación 12.1.
De acuerdo con la definición podemos pensar que una función compleja transforma los valores de un plano $z$ en valores de un plano $w$. Esto lo analizaremos a detalle en la siguiente entrada, ya que nos será imposible ver la gráfica de una función compleja pues ésta tiene lugar en $\mathbb{R}^4$.

Observación 12.2.
Cuando una función está dada sólo por una fórmula sin especificar el dominio $S$, entonces se toma como dominio al mayor conjunto $S$ donde dicha función está definida.

Observación 12.3.
El término dominio se usa aquí en un sentido conjuntista y no topólogico, es decir el conjunto $S$ no tendría porque ser en principio un conjunto abierto y conexo (región), aunque a lo largo del curso estaremos trabajando comúnmente en dominios $S$ que son una región (definición 10.3).

Observación 12.4.
A lo largo de esta unidad estaremos trabajando con funciones complejas de variable compleja. Sin embargo, dado que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ es posible considerar al dominio $S$ de una función $f$ tal que $S\subset\mathbb{R}$, en cuyo caso tendríamos una función compleja de variable real. Más aún, podríamos tener que $f(S)\subset\mathbb{R}$, en dicho caso reduciríamos nuestro estudio al de funciones reales de variable real. Por lo que, nuestro objetivo en esta entrada será generalizar los resultados y propiedades ya conocidos de las funciones reales de variable real para las funciones complejas de variable compleja.

Ejemplo 12.1.
Las siguientes son funciones complejas cuyo dominio $S$ es todo $\mathbb{C}$:
a) $w_1 = f_1(z) = |z|^2$.
b) $w_2 = f_2(z) = 3z^2 + 7z$.
c) $w_3 = f_3(z) = \overline{z}$.

Mientras que:
d) $w_4 = f_4(z) = \dfrac{1}{z}$,
e) $w_5 = f_5(z) = \dfrac{1}{z^2-1}$,
son también funciones complejas, pero sus dominios son $S_4 = \mathbb{C}\setminus\{0\}$ y $S_5 = \mathbb{C}\setminus\{-1,1\}$, respectivamente.

Observación 12.5.
Algunas veces consideraremos funciones multivaluadas, es decir, funciones que asignan un número finito o infinito de subconjuntos no vacíos de $\mathbb{C}$ para cada elemento de su dominio $S$. Es importante tener cuidado con este concepto, pues una función multivaluada no es una función en el sentido estricto de la palabra, ya que rompe con la definición conjuntista con la que hemos trabajado durante nuestros cursos anteriores, ya que a un mismo número complejo se le asigna más de un valor.

Ejemplo 12.2.
De acuerdo con la observación 4.8, de la entrada 4 primera unidad, sabemos que la expresión $z^{1/n}$ es $n$-valuada, entonces la función $w= f(z) = z^{1/3}$ es 3-valuada, es decir que para cada valor de $z$ existen tres valores de $w$ que satisfacen la ecuación. Para ejemplificar esto consideremos la ecuación $w^3 = 1$. Considerando el argumento principal de $z=1$ tenemos que: \begin{align*} w_0 = 1,\\ w_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2},\\ w_2 = \frac{-1 – i\sqrt{3}}{2}, \end{align*} son las 3 raíces cúbicas de la unidad, es decir las soluciones de la ecuación. Entonces, es claro que para $z=1$ la función $f(z) = z^{1/3}$, asigna los valores $w_0, w_1$ y $w_2$ dados.

Ejemplo 12.3.
En la definición 4.1, de la entrada 4, se especifico que la notación usada para referirse al argumento de un número complejo, es decir $\operatorname{arg} z$ no es una función de $z$, esto porque como vimos dicha notación representa a todo un conjunto de números reales $\theta$ que satisfacen las ecuaciones: \begin{align*} \text{sen}(\theta) = \frac{\text{Re}(z)}{|\, z \,|},\\ \text{cos}(\theta) = \frac{\text{Im}(z)}{|\, z \,|}. \tag{12.1} \end{align*}

Sin embargo, considerando el concepto de funciones multivaluadas podemos hablar de la función $\operatorname{arg}(z)$, la cual asignará a cada número complejo $z$ una infinidad de valores que satisfagan las ecuaciones (12.1), ya que para cada $n\in\mathbb{Z}$, si $\theta\in\mathbb{R}$ satisface las ecuaciones (12.1), entonces $\theta + 2\pi n$ también lo hará.

Por lo que, si nos restringimos al argumento principal de un número complejo, es decir $\operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]$, podemos definir a la función $f: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to (-\pi, \pi]$, dada por $f(z) = \operatorname{Arg}(z)$ como: \begin{equation*} \text{Arg}(z) = \left\{ \begin{array}{lcc} \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) & \text{si} & x>0,\\ \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y>0,\\ \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) – \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y<0,\\ \frac{\pi}{2} & \text{si} & x=0 \quad \text{y} \quad y>0,\\ -\frac{\pi}{2} & \text{si} & x=0 \quad \text{y} \quad y<0,\\ 0 & \text{si} & x>0 \quad \text{y} \quad y=0,\\ \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y=0.\ \end{array} \right. \end{equation*}

Además, considerando el producto de dos números complejos en su forma polar es fácil verificar que esta función satisface las siguientes propiedades. Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, entonces:

  1. $\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2)$.
  2. $\operatorname{Arg}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \operatorname{Arg}(z_1) – \operatorname{Arg}(z_2)$.
  3. $\operatorname{Arg}\left(z_1^{-1}\right) = – \operatorname{Arg}(z_1)$.
  4. $\operatorname{Arg}(z_1^n) = n \operatorname{Arg}(z_1)$, para todo $n\in\mathbb{Z}$.

Ejemplo 12.4.
Sean $z_1 = 2+2i$ y $z_2 = \sqrt{3} + i$. Calcular:
a) $\operatorname{Arg}(z_1 z_2)$.

Solución. Tenemos que: \begin{align*} z_1 z_2 &= (2+2i)(\sqrt{3}+i)\\ & = 2(\sqrt{3}-1) + i2(\sqrt{3}+1), \end{align*} por lo que: \begin{align*} \operatorname{Arg}\left(z_1 z_2\right) & = \operatorname{arc\, tan}\left(\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2(\sqrt{3}-1)}\right)\\ & = \frac{5}{12}\pi. \end{align*} Usando la propiedad 1 tenemos: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1) = \frac{\pi}{4} \quad \text{y} \quad \operatorname{Arg}(z_2) = \frac{\pi}{6}, \end{equation*} entonces: \begin{align*} \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) & = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\\ & = \frac{5}{12}\pi. \end{align*} b) $\operatorname{Arg}\left(z_2^{-1}\right)$.

Solución. Por la propiedad 3 tenemos que: \begin{align*} \operatorname{Arg}\left(z_2^{-1}\right) & = – \operatorname{Arg}(z_2)\\ & = – \frac{\pi}{6}. \end{align*} c) $\operatorname{Arg}(z_1^2)$.

Solución. De acuerdo con la propiedad 4 tenemos:
\begin{align*} \operatorname{Arg}\left(z_1^2\right) & = 2 \operatorname{Arg}(z_1)\\ & = 2 \left(\frac{\pi}{4}\right)\\ & = \frac{\pi}{2}. \end{align*}

Al igual que cada número complejo $z$ es caracterizado por un par de números reales, digamos $x$ y $y$, una función compleja $f$ de variable $z$ puede ser especificada por dos funciones reales de las variables reales $x$ e $y$, digamos $u=u(x,y)$ y $v=v(x,y)$. Para justificar esto consideremos la siguiente:

Proposición 12.1.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f:S\to\mathbb{C}$ una función compleja.

  1. Si $z=x+iy\in S$, entonces $w=f(z)$ puede expresarse como: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde $u (x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales de las variables $x$ e $y$.
  2. Sean $u(x,y)$ y $v(x,y)$ dos funciones reales de las variables $x$ e $y$, definidas en $S$. Si $z = x+iy \in S$, entonces: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} es una función compleja en $S$.

Demostración. Dadas las hipótesis, consideremos a $z=x+iy$. Sabemos que: \begin{equation*} x = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad y = \frac{z-\overline{z}}{2i}. \tag{12.1} \end{equation*}

  1. Considerando (12.1) es claro que existe una relación estrecha entre los números reales $x$ e $y$ y el número complejo $z$, por lo que especificar los valores de $x$ e $y$ en $S$ equivale a especificar a un número complejo $z=x+iy\in S$. Entonces $f$ es una función compleja de las variables $x$ e $y$, por lo que definiendo: \begin{align*} u(x,y) = \frac{f(x,y) + \overline{f}(x,y)}{2},\\ v(x,y) = \frac{f(x,y) – \overline{f}(x,y)}{2i}, \end{align*} tenemos que: \begin{align*} u(x,y) + iv(x,y) & = \frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2} + i \frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}\\ & = f(x+iy)\\ & = f(z) = w. \end{align*} Notemos que: \begin{align*} \overline{u}(x,y) & = \overline{\frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2}}\\ & = \frac{\overline{f}(x+iy) + f(x+iy)}{2}\\ & = u(x,y), \end{align*} \begin{align*} \overline{v}(x,y) & = \overline{\frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}}\\ & = \frac{\overline{f}(x+iy) – f(x+iy)}{-2i}\\ & = v(x,y), \end{align*} por lo que, considerando la proposición 2.2(5), tenemos que $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales de las variables $x$ e $y$ para todo $z = x+iy \in S$.
  2. Sea $z=x+iy\in S$. Es claro que $f(z) = \overline{z}$ es una función compleja de $z$ definida en $S$. Entonces, de acuerdo con (12.1), tenemos que las funciones: \begin{align*} u(x,y) = u \left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i} \right),\\ v(x,y) = v \left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i} \right), \end{align*} son ambas funciones de $z$ para todo $z\in S$, por lo que su suma también es una función de $z$ para toda $z\in S$ (hecho que definiremos a continuación). Entonces para todo $z=x+iy \in S$: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} es una función compleja definida en $S$.

$\blacksquare$

De acuerdo con el resultado anterior, tenemos que una función compleja $f:S\to\mathbb{C}$, tal que para cada $z=x+iy\in S$ cumple que $f(z)=w\in\mathbb{C}$, puede escribirse de la forma: \begin{equation*} w = f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde las funciones $u$ y $v$ son llamadas la parte real e imaginaria respectivamente de la función $f$, es decir $\operatorname{Re}(f)=u$ y $\operatorname{Im}(f)=v$. Además dichas funciones $u$ y $v$ tienen como común dominio al dominio de la función $f$.

Ejemplo 12.5.
Consideremos las primeras tres funciones del ejemplo 12.1 y sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$, entonces:

a) \begin{align*} f_1(x+iy) & = |\,x+iy\,|^2\\
& = x^2 + y^2, \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}(f_1) = u_1(x,y)=x^2 + y^2$ e $\operatorname{Im}(f_1) = v_1(x,y)=0$.

b) \begin{align*} f_2(x+iy) & = 3(x+iy)^2 + 7(x+iy)\\
& = (3x^2-3y^2+7x) + i(6xy+7y), \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}(f_2) = u_2(x,y)=3x^2-3y^2+7x$ e $\operatorname{Im}(f_2)=v_2(x,y)=6xy+7y$.

c) \begin{align*} f_3(x+iy) & = \overline{x+iy}\\
& = x – iy, \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}(f_3) = u_3(x,y)=x$ e $\operatorname{Im}(f_3)=v_3(x,y)=-y$.

Para el inciso d) consideremos a $z=x+iy\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, de acuerdo con la observación 3.2 tenemos que:
\begin{equation*} f_4(z) = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|\,z\,|^2} = \frac{f_3(z)}{f_1(z)},\end{equation*} entonces:
d)\begin{align*} f_4(x+iy) & = \frac{x-iy}{x^2+y^2}\\
& = \frac{x}{x^2+y^2} – i\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right),
\end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}(f_4)=u_4(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}$ e $\operatorname{Im}(f_4)=v_4(x,y)=\dfrac{-y}{x^2+y^2}$.

Ejemplo 12.6.
Si $u(x,y) = -x$, $v(x,y) = -(1+5y)$ y $w = u(x,y) + iv(x,y)$, escribe a $w$ como función de la variable compleja $z=x+iy$.

Solución. Considerando las coordenadas complejas conjugadas (12.1) tenemos que: \begin{align*} w & = u(x,y) + iv(x,y)\\ & = -x -i(1+5y)\\ & = – \frac{z+\overline{z}}{2} – i\left[ 5\left(\frac{z – \overline{z}}{2i}\right) + 1 \right]\\ & = \frac{-z-\overline{z}}{2} – i\left[ \frac{5z – 5\overline{z} + 2i}{2i}\right]\\ & = \frac{-z-\overline{z} – 5z + 5\overline{z} – 2i}{2}\\ & = \frac{-z6 + 4\overline{z} – 2i}{2}\\ & = -3z + 2\overline{z} – i. \end{align*} Por lo que $w = f(z) = -3z + 2\overline{z} – i$.

Definición 12.2. (Operaciones de funciones.)
Denotemos al conjunto de todas las funciones definidas de $S\subset\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$ como $\mathcal{F}(S)$. Considerando la definición 12.1 tenemos que de manera natural las operaciones de suma y producto definidas en $\mathbb{C}$ se trasladan al conjunto $\mathcal{F}(S)$, es decir para $f,g\in\mathcal{F}(S)$ podemos definir su suma $f+g$ y su producto $f\cdot g$ como: \begin{equation*} (f+g)(z) = f(z)+g(z), \quad \forall z\in S. \end{equation*} \begin{equation*} (f\cdot g)(z) = f(z) \cdot g(z), \quad \forall z\in S. \end{equation*}
Utilizaremos el símbolo «$\cdot$» para denotar el producto entre funciones solo cuando sea necesario, en general lo omitiremos.

Como caso particular del producto de funciones, si una de ellas es constante, entonces definimos el producto por escalares complejos como:
\begin{equation*} (c \, f)(z) = c \, f(z), \quad \forall z\in S, \end{equation*} donde $c\in\mathbb{C}$ es una constante.

Más aún, si $g(z)\neq0$ para toda $z\in S$, entonces definimos a la función cociente $\dfrac{f}{g}$ como: \begin{equation*} \left(\frac{f}{g}\right)(z) = \frac{f(z)}{g(z)}, \quad \forall z\in S. \end{equation*}

Definición 12.3. (Composición de funciones.)
Sea $g\in\mathcal{F}(H)$. Sabemos que $g(H) = {g(z) \,: \, z\in H}$ es la imagen de $g$. Sea $f\in\mathcal{F}(S)$ y $g(H)\subset S$, entonces se define a la composición de $f$ con $g$ como la función $f\circ g: H \rightarrow \mathbb{C}$ tal que: \begin{equation*} (f\circ g)(z) = f(g(z)), \quad \forall z\in H. \end{equation*}

Definición 12.4. (Función inyectiva, suprayectiva, biyectiva e inversa.)
Sean $S,H\subset\mathbb{C}$ y sea $f:S \to H$ una función. Diremos que $f$ es inyectiva si para toda imagen $w\in H$ existe un único $z\in S$ tal que $f(z) = w$. Diremos que $f$ es suprayectiva si para todo $w\in H$ existe una preimagen $z\in S$, es decir si existe $z\in S$ tal que $f(z) = w$. Diremos que $f$ es una biyección si $f$ es una función inyectiva y suprayectiva.
Si $f:S \to H$ es una función biyectiva, entonces diremos que una función $g:H \to S$ es la inversa de $f$ si para todo $z\in H$ se cumple que $f(g(z)) = z$, es decir si la composición $f\circ g$ es la función identidad en $H$.

Recordemos que para $S\subset\mathbb{C}$, el conjunto $S’$ denota al conjunto de los puntos de acumulación de $S$.

Ejemplo 12.7.
a) La función $f(z) = z^2$ no es inyectiva.
Solución. Claramente $f$ es una función de variable compleja con valores en $\mathbb{C}$. Desde que: \begin{equation*} f(i) = i^2 = -1 = (-i)^2 = f(-i), \end{equation*} entonces $f$ no es inyectiva en $\mathbb{C}$.
b) La función $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $f(z) = 2z – 6i$ es biyectiva. Determina su función inversa.
Solución. Primero probemos que $f$ es inyectiva. Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ tales que $f(z_1) = f(z_2)$. Veamos que $z_1 = z_2$.
Notemos que: \begin{align*} f(z_1) = f(z_2) &\Longleftrightarrow 2z_1 – 6i = 2z_2 – 6i\\ &\Longleftrightarrow 2z_1 = 2z_2\\ &\Longleftrightarrow z_1 = z_2, \end{align*} por lo que $f$ es inyectiva.
Procedemos ahora a verificar que $f$ es suprayectiva. Sea $w \in \mathbb{C}$, entonces existe: \begin{equation*} z := \frac{w+6i}{2}\in\mathbb{C}, \end{equation*} tal que: \begin{align} f(z) & = 2\left(\frac{w+6i}{2}\right) – 6i\\ & = w, \end{align*} por lo que $f$ es sobreyectiva. Por lo tanto $f$ es una función biyectiva y su función inversa está dada por: \begin{equation*} f^{-1}(z) = \frac{z+6i}{2}, \end{equation*} desde que: \begin{align*} f\left(f^{-1}(z)\right) & = f\left(\frac{z+6i}{2}\right)\\ & = 2\left(\frac{z+6i}{2}\right) – 6i\\ & = z, \end{align*} para todo $z\in\mathbb{C}$.

Definición 12.5. (Función acotada.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Diremos que una función $f:S\to\mathbb{C}$ es acotada si existe un número $M>0$ tal que para todo $z\in S$ se cumple que: \begin{equation*} |\,f(z)\,| \leq M. \end{equation*}

Tarea moral

  1. Considera las siguientes funciones complejas. Escribelas en la forma $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ identificando claramente a las funciones $u$ y $v$ y los dominios de definición de cada función.
    a) $\dfrac{2}{z-1+i}$.
    b) $2z^2 + z\overline{z}+3z$.
    c) $\overline{z} + \dfrac{2}{z}$.
  2. Considera la siguiente forma de construir a los números complejos. Sea: \begin{equation*} K = \left\{ \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} \,:\, a,b\in\mathbb{R} \right\} \end{equation*} un subconjunto del anillo de matrices reales de $2\times2$ ($M_{2\times2}(\mathbb{R})$). Verifica que $K$ es cerrado bajo la suma y multiplicación de matrices, es decir es un subanillo de $M_{2\times2}(\mathbb{R})$. Además, muestra que: \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}^2 = – \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
    Por último prueba que la función $f:K \to \mathbb{C}$ tal que: \begin{equation*} f\left(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\right) = a + ib, \end{equation*} define un isomorfismo entre $K$ y el campo de los números complejos $\mathbb{C}$, es decir:
    i) $f$ es biyectiva,
    ii) $f(A+B) = f(A) + f(B)$, para todo $A,B\in K$,
    iii) $f(AB) = f(A)f(B)$, para todo $A,B\in K$.
    Observa que si se aplica dicha función $f$ sobre el subconjunto de matrices escalares de $K$, es decir el subconjunto de $K$ tal que $b=0$, entonces $f$ es un isomorfismo sobre el campo de los números reales $\mathbb{R}$.
  3. Considerando la parte real y la parte imaginaria, funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ respectivamente, determina a la función compleja $w=u(x,y)+iv(x,y)$ como función de la variable compleja $z=x+iy$.
    a) $u(x,y)=\dfrac{x^2 + x – y^2 }{(x+1)^2 + y^2}$ y $v(x,y)=\dfrac{y(1-2x)}{(x+1)^2 + y^2}$.
    Hint: Recuerda que para todo $z\in\mathbb{C}$ se tiene que $z \overline{z} = |\,z\,|^2$.
    b) $u(x,y) = 6x – 5$ y $v(x,y) = 6y+9$.
    c) $u(x,y)=2(x^2 – y^2)$ y $v(x,y)=0$.
    Hint: Observa que $v(x,y)=2ixy – 2ixy$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal la definición de una función compleja de variable compleja, además de dar las definiciones elementales de operaciones de funciones desde el enfoque de la variable compleja.

La siguiente entrada veremos dos conceptos fundamentales en la teoría de las funciones, límites y continuidad. Como vimos en nuestros cursos de Cálculo, hablar del límite de una función y la continuidad de la misma en un punto resulta de gran importancia pues nos permite caracterizar a las funciones reales. Nuestra labor en la siguiente entrada consistirá en trabajar dichos conceptos pero desde la perspectiva de la variable compleja.

Como vimos, toda función de variable compleja puede describirse considerando a su parte real e imaginaria, las cuales resultaron ser funciones reales de dos variables.En la siguiente entrada veremos que a través de estas funciones podremos abordar los conceptos de límite y continuidad utilizando los resultados que ya conocemos para funciones reales de dos variables, lo cual resultará de gran utilidad para el estudio de estas propiedades elementales de las funciones complejas.

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