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Variable Compleja I: Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En las entradas anteriores hemos determinado condiciones necesarias y suficientes para garantizar la analicidad de una función compleja. En particular hemos deducido las ecuaciones de C-R y hemos visto que dichas condiciones nos permiten caracterizar por completo la diferenciabilidad en el sentido complejo. Además, a través de dichas ecuaciones hemos probado que la diferenciabilidad en el sentido real de una función vectorial de dos variables no es equivalente a la diferenciabilidad de una función compleja, por lo que debe ser claro que no toda función vectorial de dos variables resultará ser una función analítica.

En esta entrada abordaremos algunos resultados que son consecuencia directa de las ecuaciones de C-R y veremos que es posible extender algunas resultados vistos en nuestros cursos de Cálculo para las funciones complejas a través de las funciones reales correspondientes con las partes real e imaginaria de una función compleja.

Observación 19.1.
De nuestros cursos de Cálculo sabemos que para una función $u:U \to \mathbb{R}$ de clase $C^1$, con $U\subset\mathbb{R}^2$ una región, se cumple que $u$ no depende de la variable $x$ si y solo si $\partial u/ \partial x = 0$ para todo punto en $U$. Análogamente para la variable $y$. Más aún, tenemos que: \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} x = 1, \quad \frac{\partial}{\partial y} x = 0,\\ \frac{\partial}{\partial x} y = 0, \quad \frac{\partial}{\partial y} y = 1. \end{align*}

Para motivar los siguientes planteamientos consideremos el siguiente:

Ejemplo 19.1.
Determinemos si la función compleja $f(z) = 2xy + i(y^2-x^2)$ es analítica o no.

Solución. Es claro que podemos estudiar la analicidad de esta función a través de los resultados de la entrada anterior, sin embargo notemos que operando un poco a la función, para $z=x+iy\in \mathbb{C}$, tenemos que: \begin{align*} f(z) & = 2xy + i(y^2-x^2)\\ & = -i(i2xy) + i(y^2-x^2)\\ & = -i \left[-(y^2-x^2) + i2xy \right]\\ & = -i \left(x^2 -y^2 + i2xy \right)\\ & = – i\left(x+iy\right)^2\\ & = -i z^2, \end{align*} es decir que para todo $z\in \mathbb{C}$ se tiene que $f(z) = -iz^2$, la cual es una función polinómica y por tanto analítica en todo $\mathbb{C}$. Es importante notar que en la función anterior no aparecen términos que dependan del conjugado de $z$.

Debe ser claro que el conjugado de un número complejo $z$, es decir $\overline{z}$, resulta ser una función compleja de la variable $z$. En el ejemplo 17.2, de la entrada 17, hemos visto que la función $f(z)=\overline{z}$ no es analítica en $\mathbb{C}$ desde que no se cumplen las ecuaciones de C-R en ningún punto. Sin embargo, esta función en particular cumple que $u_x = – v_y$ y $u_y = v_x$ para todo $z=x+iy\in \mathbb{C}$.

De acuerdo con la observación 12.5 de la entrada 12, estamos interesados en caracterizar a las funciones complejas que solo dependen de la variable $z$, es decir que no tienen términos que dependan de su conjugado.

Lo anterior nos motiva a considerar a $\overline{z} = x-iy$ como una variable «independiente» de $z=x+iy$. Entonces, nuestro objetivo es determinar un criterio similar al de la observación 19.1 para garantizar la analicidad de una función compleja $f$ cuando esta dependa únicamente de la variable $z$. Tenemos que si $z$ y $\overline{z}$ son variables independientes, entonces: \begin{align*} \frac{\partial}{\partial z} z = 1, \quad \frac{\partial}{\partial \overline{z}} z = 0,\\ \frac{\partial}{\partial z} \overline{z} = 0, \quad \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \overline{z} = 1. \end{align*}

Como para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se cumple que: \begin{equation*} x = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad y = \frac{z-\overline{z}}{2i}, \tag{19.1} \end{equation*} entonces, dada una función compleja $f(z)=u(x,y) + iv(x,y)$ definida en un conjunto abierto $U\subset \mathbb{C}$ de clase $C^1$, podemos pensarla como una función de las variables independientes $x$ e $y$ o bien de las variables «independientes» $z$ y $\overline{z}$, y así definir: \begin{equation*} g(z,\overline{z}) = \hat{f}(x,y):= f(z) = u\left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right) + i v\left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right). \end{equation*}

Lo anterior resulta de gran utilidad al considerar a $z$ y $\overline{z}$ como variables independientes, ya que bajo este supuesto podemos obtener a las derivadas parciales complejas $g_z$ y $g_{\overline{z}}$ mediante la regla de la cadena como sigue: \begin{align*} g_{z} = \frac{\partial g}{\partial z} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial z} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g}{\partial x} – i \frac{\partial g}{\partial y} \right),\\ g_{\overline{z}} = \frac{\partial g}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \overline{z}} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g}{\partial x} + i \frac{\partial g}{\partial y} \right). \end{align*}

De lo anterior obtenemos la siguiente:

Definición 19.1. (Operadores diferenciales complejos de Wirtinger.)
Sea $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ una función compleja definida en $U$ de clase $C^1$. Definimos los operadores direrenciales complejos de Wirtinger como: \begin{align*} f_z := \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x} – i \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x} – \frac{\partial u}{\partial y} \right),\\ f_{\overline{z}} := \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f }{\partial y} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x} – \frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right). \end{align*}

Observación 19.2.
Notemos que la condición $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} =0$, intuitivamente nos dice que la función $f$ no depende de la variable $\overline{z}$ como lo planteamos inicialmente. Más aún, considerando la definición anterior se tiene el siguiente:

Lema 19.1.
Sean $U \subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ una función definida en $U$ de clase $C^1$. Entonces $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R en $U$ si y solo si $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} =0$ para todo $z=x+iy\in U$.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

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Ejemplo 19.2.
Sea $z\in\mathbb{C}$. Consideremos a la función $f(z) = |\,z\,|$. Determinemos a la función $g(z,\overline{z})$ y a las derivadas parciales $f_z$ y $f_{\overline{z}}$.

Solución. Tenemos que $f(z) = |\,z\,| = \left(z \overline{z}\right)^{1/2}$, por lo que $g(z,\overline{z}) = \left(z \overline{z}\right)^{1/2}$.

Por otra parte, si $z\neq 0$, entonces: \begin{align*} f_z(z) = \frac{\partial g}{\partial z}(z,\overline{z}) = \frac{1}{2}\left(z \overline{z}\right)^{-1/2} \overline{z} = \frac{\overline{z}}{2|\,z\,|},\\ f_{\overline{z}}(z) = \frac{\partial g}{\partial \overline{z}}(z,\overline{z}) = \frac{1}{2}\left(z \overline{z}\right)^{-1/2} z = \frac{z}{2|\,z\,|}. \end{align*}

Observación 19.2.
De acuerdo con el ejercicio 7 de la entrada 16, sabemos que la función $f(z)=|\,z\,|$ no es analítica en ningún punto de $\mathbb{C}$. Podemos analizar esto mediante el lema anterior.

Para $z = 0$ es claro que $f$ no es diferenciable en dicho punto desde que no existe: \begin{equation*} \lim_{h \to 0 } \frac{f(0+h) – f(0)}{h} = \lim_{h \to 0 } \frac{|h|}{h}. \end{equation*}

Por otra parte, para $z\neq 0$ se tiene que: \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{z}{2|\,z\,|} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z = 0, \end{equation*} lo cual claramente no es posible, por lo que no se satisfacen las ecuaciones de C-R para ningún $z\neq 0$, es decir que $f$ no es analítica en ningún punto de $\mathbb{C}$.

El ejemplo anterior motiva la siguiente:

Proposición 19.1.
Sean $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ una función definida en $U$ de clase $C^1$. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $f$ es analítica en $U$.
  2. $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$ para todo $z_0\in U$. En tal caso: \begin{equation*} f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z} (z_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (z_0) = -i\frac{\partial f}{\partial y} (z_0), \quad z_0 \in U. \end{equation*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

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Observación 19.3.
La trascendencia de este resultado radica en que podemos pensar a las funciones analíticas como «auténticas funciones complejas» en el sentido de que si $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es una función analítica, entonces al sustituir a las variables $x$ e $y$ por $\dfrac{z+\overline{z}}{2}$ y $\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$ respectivamente, dicha función no depende de la variable $\overline{z}$ como mencionamos en la observación 19.2.

Ejemplo 19.3.
Consideremos a la función compleja $f(z) = |\,z\,|^2 + \dfrac{z}{\overline{z}}$. Veamos que $f$ no es analítica en ningún punto en $\mathbb{C}$, determinemos dónde $f$ es al menos diferenciable y obtengamos a las derivadas parciales $f_z$ y $f_{\overline{z}}$.

Solución. La función $f$ está definida en el dominio $U = \mathbb{C}\setminus\{0\}$. Para $z=x+iy \in U$ tenemos que: \begin{align*} f(z) & = |\,z\,|^2 + \frac{z}{\overline{z}}\\ & = |\,z\,|^2 + \frac{z^2}{|\,z\,|^2}\\ & = x^2 + y^2 + \frac{x^2+2ixy -y^2}{x^2 + y^2}\\ & = \left(x^2 + y^2 + \frac{x^2 -y^2}{x^2 + y^2}\right) + i \left(\frac{2xy}{x^2 + y^2}\right)\\ & := u(x,y) + i v(x,y). \end{align*}

Para mostrar la utilidad de obtener las derivadas parciales complejas pensando a $f$ como una función $g$ de las variables $z$ y $\overline{z}$, primeramente procedemos a obtener las derivadas parciales $f_z$ y $f_{\overline{z}}$ mediante la definición 19.1.

Derivamos parcialmente a las funciones $u$ y $v$. Sea $z = x+iy \neq 0$, entonces:
\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x^5 + 4x^3y^2 + 2xy^4 + 4xy^2}{(x^2+y^2)^2},\\ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y^5 + 4y^3x^2 + 2yx^4 – 4yx^2}{(x^2+y^2)^2}, \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{2y^3-2yx^2}{(x^2+y^2)^2},\\ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{2x^3 – 2xy^2}{(x^2+y^2)^2}. \end{align*}

Por tanto, para $z\neq 0$ tenemos que: \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial z} & = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x} – \frac{\partial u}{\partial y} \right),\\ & = \left(x + \frac{x}{x^2+y^2}\right) – i \left(y – \frac{y}{x^2+y^2} \right), \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} &= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x} – \frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right)\\ & = \left(x + \frac{3xy^2 – x^3}{(x^2+y^2)^2}\right) + i \left(y – \frac{3x^2y – y^3}{(x^2+y^2)^2} \right). \end{align*}

Considerando las igualdades dadas en (19.1), tenemos que: \begin{equation*} f_z = \overline{z} + \frac{1}{\overline{z}}, \quad \text{y} \quad f_{\overline{z}} = z – \frac{z}{\overline{z}^2}. \end{equation*}

Notemos que podemos evitar todo el desarrollo anterior si consideramos que: \begin{align*} f(z) & = |\,z\,|^2 + \dfrac{z}{\overline{z}}\\ & = z \overline{z} + \dfrac{z}{\overline{z}}\\ & := g(z,\overline{z}), \quad \forall z \neq 0, \end{align*}

entonces para todo $z\neq 0$ existen las derivadas parciales complejas: \begin{align*} f_z = \frac{\partial g}{\partial z} = \overline{z} + \frac{1}{\overline{z}},\\ f_{\overline{z}} = \frac{\partial g}{\partial \overline{z}} = z – \frac{z}{\overline{z}^2}. \end{align*}

De estas últimas expresiones es claro que las funciones $f_z$ y $f_{\overline{z}}$ son continuas en $U = \mathbb{C}\setminus\{0\}$, por lo que lo son también las derivadas parciales $u_x$, $u_y$, $v_x$ y $v_y$ , es decir que $f$ es de clase $C^1(U)$.

Por otra parte, dado que: \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z – \frac{z}{\overline{z}^2} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overline{z}^2 = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad z = \pm 1, \end{equation*} entonces $f$ solo es diferenciable en los puntos $z=1$ y $z=-1$. Puesto que no existe disco abierto alrededor de dichos puntos donde $f$ sea diferenciable, concluimos que $f$ no es analítica en ningún punto en $\mathbb{C}$.

Observación 19.4.
Debe ser claro que si tenemos una función compleja $f$ diferenciable en un punto $z_0$, entonces se cumple que $f_{\overline{z}}(z_0) = 0$. Sin embargo, debemos enfatizar en que la existencia de $f_{\overline{z}}(z_0)$ no garantiza la existencia de $f'(z_0)$, desde que las ecuaciones de C-R no son una condición suficiente para la diferenciabilidad en el sentido complejo.

Ejemplo 19.4.
Consideremos el ejercicio 6 de la entrada 17. Tenemos que la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{\begin{array}{lcc} \dfrac{z^5}{|\,z\,|^4}& \text{si} & z\neq 0, \\ 0 & \text{si} & z = 0, \end{array} \right. \end{equation*} satisface las ecuaciones de C-R en $z=0$, pero $f'(0)$ no existe.

Notemos que para $z=x+iy \neq 0$ tenemos que: \begin{equation*} f(z) = \frac{x^5-10x^3y^2 + 5xy^4}{(x^2+y^2)^2} + i \left(\frac{x^4-10x^2y^3 + y^5}{(x^2+y^2)^2}\right), \end{equation*} por lo que: \begin{align*} \frac{\partial u }{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(h,0) – u(0,0)}{h} = 0\\ \frac{\partial u }{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{u(0,k) – u(0,0)}{k} = 0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{v(h,0) – v(0,0)}{h} = 0\\ \frac{\partial v}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{v(0,k) – u(0,0)}{k} = 0, \end{align*}

entonces, considerando la definición 19.1, tenemos que: \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial z}(0,0) = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x}(0,0) + \frac{\partial v}{\partial y}(0,0) \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x}(0,0) – \frac{\partial u}{\partial y}(0,0) \right) = 0,\\ \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} (0,0)= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x}(0,0) – \frac{\partial v}{\partial y}(0,0) \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x}(0,0) + \frac{\partial u}{\partial y}(0,0) \right) = 0, \end{align*}

es decir que $f_z(0,0) = f_{\overline{z}}(0,0) = 0$. Sin embargo, notemos que para $z\neq 0$ se tiene que: \begin{align*} \lim_{z\to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z-0} & = \lim_{z\to 0} \frac{z^4}{|\,z\,|^4}\\ & = \lim_{z\to 0} \frac{z^2}{\overline{z}^2}, \end{align*} pero dicho límite no existe pues si nos aproximamos a $0$ a través de la recta $y=x$ tenemos que: \begin{align*} \lim_{z\to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z-0} & = \lim_{x\to 0} \frac{x^2 \left(1+i\right)^2}{x^2 \left(1-i\right)^2}\ & = \left(\frac{ 1+i}{1-i}\right)^2 = -1, \end{align*}

mientras que si nos aproximamos a $0$ a través del eje $x$ tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z\to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z-0} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(x + i0\right)^2}{\left(x-i0\right)^2} = 1, \end{equation*} por lo que $f'(0)$ no existe.

El resultado obtenido en este ejemplo no contradice el teorema 18.1 de la entrada anterior ni a la proposición 19.1 de esta entrada, sino que en ambos casos no se cumple la hipótesis de continuidad de las derivadas parciales de las funciones $u$ y $v$ que determinan a $f$.

Lema 19.2.
Sea $D\subset\mathbb{R}^2$ un conjunto abierto y conexo. Si $u:D\to\mathbb{R}$ es una función real tal que $u_x(z) = u_y(z) = 0$ para todo $z=(x,y)\in D$, entonces $u$ es una función constante en $D$.

Demostración. Dadas las hipótesis, tomemos a $z_0=(x_0,y_0)\in D$ fijo, entonces existe algún $r>0$ tal que $B(z_0,r)\subset D$. Sea $z=(x,y)\in B(z_0,r)$, procediendo como en la prueba del teorema 18.1 de la entrada anterior, concluimos, por el teorema del valor intermedio para funciones reales, que existen $\alpha, \beta\in(0,1)$, tales que:
\begin{align*} u(z)-u(z_0) & = u(x,y)-u(x_0,y_0)\\ & = (x-x_0) u_x(x_0+\alpha(x-x_0),y) + (y-y_0) u_y(x_0, y_0+\beta(y-y_0)).\tag{19.2} \end{align*}

Sean $\zeta_1 = (x_0+\alpha(x-x_0),y)$ y $\zeta_2 = (x_0,y_0+\beta(y-y_0))$, para algunos $\alpha, \beta\in(0,1)$. Es claro que, figura 75: \begin{equation*} \left| \zeta_1 – z_0 \right| \leq \left| z – z_0 \right|<r, \quad \left| \zeta_2 – z_0\right| \leq \left| z – z_0 \right|<r, \end{equation*} por lo que, la igualdad en (19.2) es equivalente a decir que existen $\zeta_1, \zeta_2 \in B(z_0,r)$ tales que: \begin{equation*} u(z)-u(z_0) = (x-x_0) u_x(\zeta_1) + (y-y_0) u_y(\zeta_2). \tag{19.3} \end{equation*}

Figura 75: $\zeta_1, \zeta_2 \in B(z_0,r)$ dados por el segmento de recta $[z_0, z]$ contenido en el disco abierto con centro en $z_0$ y radio $r>0$.

De acuerdo con la igualdad (19.3), como $\zeta_1, \zeta_2 \in D$, entonces por hipótesis se cumple que: \begin{equation*} u(z)-u(z_0) = (x-x_0) \cdot 0 + (y-y_0) \cdot 0 = 0, \end{equation*} por lo que para todo $z\in B(z_0, r)$ se cumple que $u(z) = u(z_0)$, es decir que $u$ es una función constante en todo disco abierto completamente contenido en $D$.

Para $z_0\in D$ un punto fijo, definimos los siguientes conjuntos: \begin{equation*} U=\{ z\in D : u(z) = u(z_0)\} \quad \text{y} \quad V=\{ z\in D : u(z) \neq u(z_0)\}. \end{equation*}

Probemos que $U$ y $V$ son conjuntos abiertos en $D$.

Sea $z\in U$, entonces $u(z) = u(z_0)$. Por otra parte, como $D$ es abierto entonces existe $r>0$ tal que $B(z,r) \subset D$. Veamos que $B(z,r) \subset U$.

De acuerdo con lo que probamos antes, es claro que para todo $z^* \in B(z,r)$ la función $u$ es constante en dicho disco, por lo que $u(z) = u(z^*)$, entonces para todo $z^* \in B(z,r)$ se cumple que $u(z^*) = u(z_0)$, es decir, $z^* \in U$, entonces: \begin{equation*} B(z,r) \subset U, \end{equation*} por lo que concluimos que $U$ es un conjunto abierto. De manera análoga se verifica que $V$ es un conjunto abierto, por lo que se deja como ejercicio al lector.

Tenemos entonces que $D = U \cup V$ y $U \cap V = \emptyset$, pero como $D$ es un conjunto conexo, entonces uno de los dos conjuntos $U$ o $V$ debe ser vacío. Por construcción es claro que $z_0\in U$, por lo que $V = \emptyset$, por lo tanto $D = U$, entonces para todo $z\in D$ se cumple que $u(z) = u(z_0)$, es decir que $u$ es una función constante en $D$.

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Proposición 19.2.
Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio y $f:D\to\mathbb{C}$ una función analítica en $D$. Si $f'(z) = 0$ para todo $z\in D$, entonces $f$ es una función constante en $D$.

Demostración. Dadas las hipótesis, tomemos a $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ definida en $D$. Como $f$ es una función analítica en $D$, entonces las funciones $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R en $D$ y se cumple que: \begin{equation*} f'(z) = u_x(z) + iv_x(z), \quad \forall z = x+iy \in D. \end{equation*}

Por hipótesis tenemos que: \begin{equation*} 0 = f'(z) = u_x(z) + iv_x(z) = v_y(z) – i u_y(z), \end{equation*} para todo $z \in D$, es decir que para todo punto en $D$ se cumple que: \begin{equation*} u_x(x,y) = u_y(x,y) = v_x(x,y) = v_y(x,y) = 0. \end{equation*}

Considerando el lema 19.2 concluimos que las funciones $u$ y $v$ son constantes en $D$ y por tanto que $f$ es una función constante en $D$.

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Corolario 19.1.
Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio y $f,g\in \mathcal{F}(D)$ dos funciones analíticas en $D$. Si $f$ y $g$ coinciden en un punto y tienen la misma derivada en $D$, entonces $f$ y $g$ son idénticas.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

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Observación 19.5.
La propiedad de conexidad del dominio $D$ es necesaria. Notemos que en la prueba de la proposición 19.2, de manera implícita, usamos fuertemente el hecho de que $D$ era un conjunto conexo, pero si $D$ solo es un conjunto abierto el resultado no es válido.

Ejemplo 19.5.
Consideremos al conjunto $U = \{ z=x+iy\in\mathbb{C} : x \neq 0\}$, el cual es abierto en $\mathbb{C}$. Definimos a la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & \text{si} & \operatorname{Re}(z)>0, \\ 2 & \text{si} & \operatorname{Re}(z)<0. \end{array} \right. \end{equation*} Claramente la función $f(z)$ es analítica en $U$ y $f'(z) = 0$ para todo $z\in U$, sin embargo $f$ no es una función constante.

Procedemos ahora a probar un resultado en el cual podemos ver que la analicidad de una función compleja es una propiedad más restrictiva que la diferenciabilidad en el sentido real.

Proposición 19.3.
Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio y $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ una función analítica en $D$.

  1. Si $u$ ó $v$ son constantes en $D$, entonces $f$ también es una función constante en $D$.
  2. Si $|\,f\,|$ es constante en $D$, entonces $f$ también es una función constante en $D$.

Dadas las hipótesis, como $f$ es una función analítica en $D$, entonces las funciones $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R en $D$ y se tiene que: \begin{equation*} f'(z) = u_x(z) + iv_x(z) = v_y(z) – iu_y(z), \quad \forall z\in D\tag{19.4} \end{equation*}

  1. Probaremos el resultado considerando a la función $u$ como constante, el caso en el que la función $v$ es constante es completamente análogo.

Si suponemos que $u$ es una función constante en $D$, entonces se cumple que: \begin{equation*} u_x(z) = u_y(z) = 0, \quad \forall z=x+iy\in D. \end{equation*}

De acuerdo con (19.4) tenemos que: \begin{equation*} f'(z) = u_x(z) – iu_y(z) = 0, \end{equation*} para todo $z=x+iy\in D$, por lo que se sigue de la proposición 19.2 que $f$ es constante en $D$.

  1. Supongamos ahora que $|\,f\,|$ es una función constante en $D$, entonces tenemos que: \begin{equation*} |\,f(z)\,|^2 = u^2(x,y) + v^2(x,y) = c, \tag{19.5} \end{equation*} para todo $z=x+iy\in D$ y para alguna constante real $c\geq 0$.

Si $c = 0 $, entonces es claro que $f(z) = 0$ para todo $z=x+iy\in D$, por lo que en tal caso $f$ es constante.

Supongamos que $c > 0 $, entonces tomando derivadas parciales en (19.5), con respecto a $x$ e $y$, para todo $z=x+iy\in D$ tenemos que: \begin{align*} 2u(x,y) u_x(x,y) + 2 v(x,y) v_x(x,y) = 0,\\ 2u(x,y) u_y(x,y) + 2 v(x,y) v_y(x,y) = 0, \end{align*}

Por hipótesis sabemos que se cumplen las ecuaciones de C-R en $D$, por lo que para todo $z=x+iy \in D$ se tiene que: \begin{align*} u(x,y) u_x(x,y) – v(x,y) u_y(x,y) = 0,\\ u(x,y) u_y(x,y) + v(x,y) u_x(x,y) = 0. \end{align*}

Multiplicando por las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$, respectivamente, en las igualdades anteriores, procedemos a sumarlas y restarlas, entonces para todo $z=x+iy\in D$ tenemos que: \begin{align*} u_x(x,y)\left(u^2(x,y) + v^2(x,y) \right) = 0,\\ u_y(x,y)\left(u^2(x,y) + v^2(x,y) \right) = 0, \end{align*} de donde $u_x(x,y) = u_y(x,y) = 0$ para todo $z=x+iy\in D$. De manera análoga podemos obtener que $v_x(x,y) = v_y(x,y) = 0$ en $D$. Considerando el lema 19.2 concluimos que $u$ es una función constante en $D$, por lo que, de acuerdo con la primera parte de la prueba, $f$ es una función constante en $D$.

Tarea moral

  1. Demuestra el lema 19.1 y la proposición 19.1.
  2. Sea $D\subset\mathbb{C}$ un dominio. Supón que $f$ y $|\,f\,|$ son funciones analíticas en $D$. Prueba que $f$ es una función constante en $D$.
  3. Obtén las derivadas parciales $f_z$ y $f_{\overline{z}}$ para las siguientes funciones complejas:
    a) $f(z) = 2x^3y^2 + i(x^2-y)$.
    b) $f(z) = \dfrac{x-1-iy}{(x-1)^2 + y^2}$.
    c) $f(z) = x^2+y^2+3x+1+i3y$.
    d) $f(z) = x^2-y^2+i3xy$.
    e) $f(z) = (x+iy)(x^2+y^2)$.
    ¿Son analíticas? ¿Son diferenciables?
  4. Sea $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U\to\mathbb{C}$ una función de clase $C^1$. Muestra que para todo $z\in U$ se cumple que:
    a) $(\overline{f})_z = \overline{f_{\overline{z}}}$.
    b) $(\overline{f})_{\overline{z}} = \overline{f_z}$.
  5. Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio y $f \in \mathcal{F}(D)$ una función analítica. Supón que existen $a,b,c\in\mathbb{R}$, constantes reales con $a^2 + b^2 > 0$, tales que: \begin{equation*} a \operatorname{Re} f(z) + b \operatorname{Im} f(z) = c, \quad \forall z \in D. \end{equation*} Prueba que la función $f$ es constante en $D$.
  6. Sea $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ un polinomio. Supón que: \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial z} = 0 = \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}, \quad \forall z\in \mathbb{C}. \end{equation*} Prueba que la función $f$ es constante.
  7. Demuestra el corolario 19.1.
  8. Sea $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y sean $f,g:U \to \mathbb{C}$ dos funciones de clase $C^1$. Muestra que para cualesquiera constantes $a,b\in\mathbb{C}$ se cumple que:
    a) $\dfrac{\partial}{\partial z}\left( a f + b g\right) = a \dfrac{\partial f}{\partial z} + b \dfrac{\partial g}{\partial z}$.
    b) $\dfrac{\partial}{\partial \overline{z}}\left( a f + b g\right) = a \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} + b \dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}}$.
    c) $\dfrac{\partial}{\partial z}\left( fg\right) = g \dfrac{\partial f}{\partial z} + f \dfrac{\partial g}{\partial z}$.
    d) $\dfrac{\partial}{\partial \overline{z}}\left( fg\right) = g \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} + f \dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}}$.
  9. Sean $U, V\subset \mathbb{C}$ dos conjuntos abiertos. Supón que $f:U \to \mathbb{C}$ y $g:V \to \mathbb{C}$ son dos funciones de clase $C^1$ y que $f(U) \subset V$. Muestra que: \begin{align*} \left(g\circ f\right)_z = \left(g_z \circ f\right)f_z + \left(g_{\overline{z}} \circ f\right)\left(\overline{f}\right)_z,\\ \left(g \circ f\right)_{\overline{z}} = \left(g_z\circ f\right)f_{\overline{z}} + \left(g_{\overline{z}} \circ f\right)\left(\overline{f}\right)_{\overline{z}}. \end{align*} Concluye que:
    a) Si $f$ es analítica en $U$, entonces: \begin{equation*} \left(g\circ f\right)_z = \left(g_z \circ f\right)f’, \quad \left(g \circ f\right)_{\overline{z}} = \left(g_{\overline{z}} \circ f\right)\overline{f’}. \end{equation*}
    b) Si $g$ es analítica en $V$, entonces: \begin{equation*} \left(g\circ f\right)_z = \left(g’ \circ f\right)f_z, \quad \left(g\circ f\right)_{\overline{z}} = \left(g’ \circ f\right)f_{\overline{z}}.\end{equation*}

Más adelante…

En esta entrada hemos deducido una serie de resultados que son consecuencia directa de las ecuaciones de C-R, además de caracterizar aún más a la diferenciabilidad compleja a través del concepto de analicidad de una función, que como vimos resulta ser un concepto más restrictivo que el de diferenciabilidad real. Mediante los resultados de esta entrada hemos concluido que las «genuinas» funciones complejas que resultan ser analíticas son aquellas que solo están dadas en términos de la variable compleja $z$, es decir que no dependen de $\overline{z}$.

La siguientes entradas definiremos algunas de las funciones complejas elementales para la teoría. Mediante estas funciones haremos una extensión de las funciones reales como la exponencial, el logaritmo y las funciones trigonométricas. Veremos que para el caso complejo muchas de las propiedades que satisfacen dichas funciones reales se seguirán cumpliendo, aunque como es de esperarse veremos que en el caso complejo estas funciones cumplen otras propiedades como la periodicidad y retomaremos nuevamente el concepto de funciones multivaludas.

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Variable Compleja I: Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

Hasta ahora hemos visto que a diferencia de $\mathbb{R}^2$, el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ es un campo dotado con las operaciones definidas en la entrada 2 de la primera unidad. Sin embargo, no es difícil convencerse de que como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales estos son isomorfos.

Al estudiar matemáticas uno de los conceptos más importantes es el de función. De manera intuitiva podemos pensar a una función como una regla que asocia elementos entre dos conjuntos. A lo largo de nuestros cursos de Cálculo hemos estudiado a detalle funciones de una y varias variables reales, por lo que pensar en funciones de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ no debe parecernos algo ajeno, de hecho en nuestros cursos de Geometría dedicamos un tiempo al estudio de algunas funciones de estas llamadas transformaciones lineales. Entonces, considerando que $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{C}$ son isomorfos como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales podríamos pensar que al definir una función sobre $\mathbb{C}$ de variable compleja debería ser algo indistinguible de una función de dos variables reales. Sin embargo, es claro que si pensamos en una función $f(z)$, donde la variable $z$ es un número complejo, entonces estamos trabajando con una función de una única variable como en el caso real, por lo que de algún modo podemos pensar que las funciones complejas de variable compleja parecen estar entre las funciones reales de variable real y las funciones vectoriales de dos variables reales.

Funciones complejas

Definición 12.1. (Función compleja de variable compleja.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Una función compleja de variable compleja $f(z)$, o simplemente una función compleja, definida en $S$ es una regla que para cada $z=x+iy\in S$ asigna un único número complejo $w=u+iv\in\mathbb{C}$ y se escribe como $f:S\to\mathbb{C}$. El número $w$ es llamado el valor de $f$ en $z$, lo cual denotamos como $f(z)$, es decir $w=f(z)$. Al conjunto $S$ se le llama el dominio de $f(z)$ y el conjunto $f(S) = \{f(z) \, : \, z\in S\} \subset \mathbb{C}$ es llamado el rango o la imagen de $f(z)$.

Observación 12.1.
De acuerdo con la definición podemos pensar que una función compleja transforma los valores de un plano $z$ en valores de un plano $w$. Esto lo analizaremos a detalle en la entrada 24, ya que nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja puesto que ésta tiene lugar en $\mathbb{R}^4$.

Observación 12.2.
Cuando una función está dada sólo por su regla de correspondencia sin especificar el dominio $S$, entonces se toma como dominio al mayor conjunto $S$ donde dicha función está definida, en dicho caso al conjunto $S$ se le suele llamar el dominio natural de la función.

Observación 12.3.
El término dominio se usa aquí en un sentido conjuntista y no topólogico, es decir el conjunto $S$ no tendría porque ser en principio un conjunto abierto y conexo (región), aunque a lo largo del curso estaremos trabajando comúnmente en dominios $S$ que son una región (definición 10.3).

Observación 12.4.
A lo largo de esta unidad estaremos trabajando con funciones complejas de variable compleja. Sin embargo, dado que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ es posible considerar al dominio $S$ de una función $f$ tal que $S\subset\mathbb{R}$, en cuyo caso tendríamos una función compleja de variable real. Más aún, podríamos tener que $f(S)\subset\mathbb{R}$, en dicho caso reduciríamos nuestro estudio al de funciones reales de variable real. Por lo que, nuestro objetivo en esta entrada será generalizar los resultados y propiedades ya conocidos de las funciones reales de variable real para las funciones complejas de variable compleja.

Funciones elementales

Definición 12.2. (Polinomios complejos.)
Sean $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n\in\mathbb{C}$ constantes. Un polinomio complejo es una función de la forma: \begin{equation*} f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots + a_{n-1} z^{n-1} + a_n z^n. \end{equation*} El mayor índice $n$ tal que $a_n \neq 0$ es el grado del polinomio.

Toda función polinómica tiene como dominio a todo $\mathbb{C}$.

Definición 12.3. (Funciones racionales.)
Sean $P(z)$ y $Q(z)$ dos polinomios complejos. Se denomina función racional a una función de la forma: \begin{equation*} f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}. \end{equation*} Toda función racional tiene como dominio natural a los números complejos sin el conjunto donde el polinomio $Q(z)$ se anule, es decir, sin el conjunto de raíces de $Q(z)$.

Ejemplo 12.1.
Las siguientes son funciones complejas cuyo dominio $S$ es todo $\mathbb{C}$:
a) $w_1 = f_1(z) = |z|^2$.
b) $w_2 = f_2(z) = 3z^2 + 7z$.
c) $w_3 = f_3(z) = \overline{z}$.

Mientras que:
d) $w_4 = f_4(z) = \dfrac{1}{z}$,
e) $w_5 = f_5(z) = \dfrac{1}{z^2-1}$,
son también funciones complejas, pero sus dominios naturales son $S_4 = \mathbb{C}\setminus\{0\}$ y $S_5 = \mathbb{C}\setminus\{-1,1\}$, respectivamente.

Ejemplo 12.2.
Sean $z_1, z_2\in\mathbb{C}$ tales que $z_1 \neq z_2$, entonces la función $L:[0,1]\to \mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} w = L(t) = (1-t)z_1 + tz_2, \end{equation*}

es una función compleja de variable real que nos determina al segmento de recta que va de $z_1$ a $z_2$, es decir al conjunto $[z_1, z_2]$.

Definición 12.4. (Operaciones de funciones.)
Denotemos al conjunto de todas las funciones definidas de $S\subset\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$ como $\mathcal{F}(S)$. Considerando la definición 12.1 tenemos que de manera natural las operaciones de suma y producto definidas en $\mathbb{C}$ se trasladan al conjunto $\mathcal{F}(S)$, es decir para $f,g\in\mathcal{F}(S)$ podemos definir su suma $f+g$ y su producto $f\cdot g$ como: \begin{equation*} (f+g)(z) = f(z)+g(z), \quad \forall z\in S. \end{equation*} \begin{equation*} (f\cdot g)(z) = f(z) \cdot g(z), \quad \forall z\in S. \end{equation*} Utilizaremos el símbolo «$\cdot$» para denotar el producto entre funciones solo cuando sea necesario, en general lo omitiremos.

Como caso particular del producto de funciones, si una de ellas es constante, entonces definimos el producto por escalares complejos como:
\begin{equation*} (c \, f)(z) = c \, f(z), \quad \forall z\in S, \end{equation*} donde $c\in\mathbb{C}$ es una constante.

Más aún, si $g(z)\neq0$ para toda $z\in S$, entonces definimos a la función cociente $\dfrac{f}{g}$ como: \begin{equation*} \left(\frac{f}{g}\right)(z) = \frac{f(z)}{g(z)}, \quad \forall z\in S. \end{equation*}

Definición 12.5. (Partes real e imaginaria, conjugado y módulo de una función compleja.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Entonces para todo $z\in S$ definimos las funciones:

  1. parte real de $f$: \begin{equation*} \left(\operatorname{Re} f\right)(z) = \operatorname{Re} f(z), \end{equation*}
  2. parte imaginaria de $f$: \begin{equation*} \left(\operatorname{Im} f\right)(z) = \operatorname{Im} f(z), \end{equation*}
  3. el conjugado de $f$: \begin{equation*} \overline{f}(z) = \overline{f(z)}, \end{equation*}
  4. el módulo de $f$: \begin{equation*} |\,f\,| (z) = |\,f(z)\,|. \end{equation*}

Al igual que cada número complejo $z$ es caracterizado por un par de números reales, digamos $x$ e $y$, una función compleja $f$ de variable $z$ puede ser especificada por dos funciones reales de las variables reales $x$ e $y$, digamos $u=u(x,y)$ y $v=v(x,y)$. Para justificar esto consideremos la siguiente:

Proposición 12.1.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f:S\to\mathbb{C}$ una función compleja.

  1. Si $z=x+iy\in S$, entonces $w=f(z)$ puede expresarse como: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde $u (x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales de las variables $x$ e $y$.
  2. Sean $u(x,y)$ y $v(x,y)$ dos funciones reales de las variables $x$ e $y$, definidas en $S$. Si $z = x+iy \in S$, entonces: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} es una función compleja en $S$.

Demostración. Dadas las hipótesis, consideremos a $z=x+iy \in S$. Sabemos que: \begin{equation*} x = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad y = \frac{z-\overline{z}}{2i}. \tag{12.1} \end{equation*}

  1. Considerando (12.1) es claro que existe una relación estrecha entre los números reales $x$ e $y$ y el número complejo $z$, por lo que especificar los valores de $x$ e $y$ en $S$ equivale a especificar a un número complejo $z=x+iy\in S$. Entonces $f$ es una función compleja de las variables $x$ e $y$, por lo que definiendo: \begin{align*} u(x,y) = \frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2},\\ v(x,y) = \frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}, \end{align*} tenemos que: \begin{align*} u(x,y) + iv(x,y) & = \frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2} + i \frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}\\ & = f(x+iy)\\ & = f(z)\\ & = w. \end{align*} Notemos que: \begin{align*} \overline{u}(x,y) & = \overline{\frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2}}\\ & = \frac{\overline{f}(x+iy) + f(x+iy)}{2}\\ & = u(x,y), \end{align*} \begin{align*} \overline{v}(x,y) & = \overline{\frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}}\\ & = \frac{\overline{f}(x+iy) – f(x+iy)}{-2i}\\ & = v(x,y), \end{align*} por lo que, considerando la proposición 2.2(5), tenemos que $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales de las variables $x$ e $y$ para todo $z = x+iy \in S$.
  2. Sea $z=x+iy\in S$. Es claro que $g(z) = \overline{z}$ es una función compleja de $z$ definida en $S$. Entonces, de acuerdo con (12.1), tenemos que las funciones: \begin{align*} u(x,y) = u \left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i} \right),\\ v(x,y) = v \left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i} \right), \end{align*} son ambas funciones de $z$ para todo $z\in S$, por lo que su suma también es una función de $z$ para toda $z\in S$. Entonces para todo $z=x+iy \in S$: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} es una función compleja definida en $S$.

$\blacksquare$

De acuerdo con el resultado anterior, tenemos que una función compleja $f:S\to\mathbb{C}$, tal que para cada $z=x+iy\in S$ cumple que $f(z)=w\in\mathbb{C}$, puede escribirse de la forma: \begin{equation*} w = f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde las funciones $u$ y $v$ son llamadas la parte real e imaginaria respectivamente de la función $f$, es decir $\operatorname{Re} f = u$ e $\operatorname{Im} f=v$. Además dichas funciones $u$ y $v$ tienen como común dominio al dominio de la función $f$.

Observación 12.5.
Como hemos visto en la entrada 4 de la primera unidad, en ocasiones resulta más conveniente trabajar con un número complejo $z\in\mathbb{C}$, con $z = x+iy \neq 0$, en su forma polar, es decir: \begin{equation*} z = r\left[\operatorname{cos}(\theta) + i \operatorname{sen}(\theta)\right], \end{equation*} donde $r = |\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{arg} z$. Tenemos entonces que $x = r \operatorname{cos}(\theta)$ e $y= r \operatorname{sen}(\theta)$, por lo que, considerando la proposición 12.1, es claro que una función compleja $f$, al trabajar con la variable $z$ en su forma polar, se puede escribir como: \begin{equation*} w = f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta). \end{equation*}

Ejemplo 12.3.
Consideremos las primeras tres funciones del ejemplo 12.1 y sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$, entonces:

a) \begin{align*} f_1(x+iy) & = |\,x+iy\,|^2\\
& = x^2 + y^2, \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_1(z) = u_1(x,y)=x^2 + y^2$ e $\operatorname{Im}f_1(z) = v_1(x,y)=0$.

b) \begin{align*} f_2(x+iy) & = 3(x+iy)^2 + 7(x+iy)\\
& = (3x^2-3y^2+7x) + i(6xy+7y), \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_2(z) = u_2(x,y)=3x^2-3y^2+7x$ e $\operatorname{Im} f_2(z)=v_2(x,y)=6xy+7y$.

c) \begin{align*} f_3(x+iy) & = \overline{x+iy}\\
& = x – iy, \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_3(z) = u_3(x,y)=x$ e $\operatorname{Im}f_3(z)=v_3(x,y)=-y$.

Para el inciso d) del ejemplo 12.1 consideremos a $z=x+iy\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, de acuerdo con la observación 3.2 tenemos que: \begin{equation*} f_4(z) = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|\,z\,|^2} = \frac{f_3(z)}{f_1(z)},\end{equation*} entonces:
d)\begin{align*} f_4(x+iy) & = \frac{x-iy}{x^2+y^2}\\
& = \frac{x}{x^2+y^2} – i\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right),
\end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_4(z)=u_4(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}$ e $\operatorname{Im}f_4(z)=v_4(x,y)=\dfrac{-y}{x^2+y^2}$.

Ejemplo 12.4.
Considerando a $z$ en su forma polar expresemos a las funciones complejas $f(z) = z^5 + 4z^3$ y $g(z) = z^2$ en términos de las funciones reales $u(r,\theta)$ y $v(r,\theta)$.

Solución. Sea $z = r\operatorname{cis}(\theta) \neq 0$, con $r=|z|$ y $\theta=\operatorname{arg} z$. De acuerdo con la fórmula de De Moivre, proposición 4.1 de la primera unidad, tenemos que:

a) \begin{align*} f(z) & = z^5 + 4z^3\\ & = \left(r\operatorname{cis}(\theta) \right)^5 + 4\left(r\operatorname{cis}(\theta) \right)^3\\ & = r^5\operatorname{cis}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{cis}(3\theta)\\ & = \left( r^5\operatorname{cos}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{cos}(3\theta)\right) + i \left( r^5\operatorname{sen}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{sen}(3\theta)\right), \end{align*} de donde $u(r,\theta) = r^5\operatorname{cos}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{cos}(3\theta)$ y $v(r,\theta)=r^5\operatorname{sen}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{sen}(3\theta)$.

b) \begin{align*} g(z) = z^2 & = \left(r\operatorname{cis}(\theta) \right)^2\\
& = r^2 \operatorname{cos}(2\theta) + i \, r^2 \operatorname{sen}(2\theta), \end{align*} de donde $u(r,\theta) = r^2 \operatorname{cos}(2\theta)$ y $v(r,\theta)=r^2 \operatorname{sen}(2\theta)$.

Ejemplo 12.5.
Si $u(x,y) = -x$, $v(x,y) = -(1+5y)$ y $w = u(x,y) + iv(x,y)$, escribe a $w$ como función de la variable compleja $z=x+iy$.

Solución. Considerando las coordenadas complejas conjugadas (12.1) tenemos que: \begin{align*} w & = u(x,y) + iv(x,y)\\ & = -x -i(1+5y)\\ & = – \frac{z+\overline{z}}{2} – i\left[ 5\left(\frac{z – \overline{z}}{2i}\right) + 1 \right]\\ & = \frac{-z-\overline{z}}{2} – i\left[ \frac{5z – 5\overline{z} + 2i}{2i}\right]\\ & = \frac{-z-\overline{z} – 5z + 5\overline{z} – 2i}{2}\\ & = \frac{-z6 + 4\overline{z} – 2i}{2}\\ & = -3z + 2\overline{z} – i. \end{align*} Por lo que $w = f(z) = -3z + 2\overline{z} – i$.

Es claro que esta última expresión representa una función compleja, sin embargo podemos preguntarnos si esta función representa un polinomio complejo de acuerdo con la definición 12.2. Para responder esto consideremos la siguiente:

Observación 12.5.
Mediante la definición 12.2, se establece que un polinomio complejo en la variable $z$ es una función compleja que considera potencias de $z$ y coeficientes complejos, por ejemplo: \begin{equation*} i + (2+i)z + 3z^2. \end{equation*}

De acuerdo con la proposición 12.1, es claro que el polinomio anterior puede expresarse como un polinimio en dos variables reales, las cuales están dadas por su parte real e imaginaria, es decir, considerando a $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tenemos que:
\begin{align*} i + (2+i)z + 3z^2 & = i + (2+i)(x+iy) + 3(x+iy)^2\\ & = i + 2x + ix + 2iy – y + 3x^2 + 6ixy – 3y^2\\ & = 3(x^2-y^2) + 2x – y + i(x + 2y + 6xy + 1). \end{align*}

Debe ser claro que esta última expresión sigue siendo una función compleja. Sin embargo, abordar el concepto de polinomio desde el sentido complejo requiere cierto cuidado. Podemos hablar de un polinomio en las variables $x$ e $y$, donde $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, considerando coeficientes complejos, por ejemplo: \begin{equation*} (3+i)xy + 3ix^2 + 5y^2. \end{equation*}

Entonces dicho polinomio en las variables $x$ e $y$ nos determina una función de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{C}$, la cual podemos pensar como una función compleja estableciendo $z=x+iy\in\mathbb{C}$.

Considerando lo anterior, debe ser claro que el ejemplo 12.5 no representa un polinomio complejo. En general, tenemos que existen polinomios en las variables $x$ e $y$, que son funciones complejas, pero que no son polinomios complejos, puesto que son funciones que no pueden ser escritas en términos de la variable $z=x+iy\in\mathbb{C}$, desde que aparecen expresiones en términos de $\overline{z}$.

Lo anterior es de suma importancia, ya que identificar a las funciones complejas, no solo polinomios, que dependan únicamente de la variable $z$ y no de $\overline{z}$ será la llave al análisis complejo. Como veremos en las siguientes entradas, este detalle tan sutil resultará de suma importancia pues nos permitirá caracterizar propiedades como la diferenciabilidad en el sentido complejo a través de este hecho.

Definición 12.6. (Composición de funciones.)
Sea $g\in\mathcal{F}(H)$. Sabemos que $g(H) = \{g(z) \,: \, z\in H\}$ es la imagen de $g$. Sea $f\in\mathcal{F}(S)$ y $g(H)\subset S$, entonces se define a la composición de $f$ con $g$ como la función $f\circ g: H \rightarrow \mathbb{C}$ tal que: \begin{equation*} (f\circ g)(z) = f(g(z)), \quad \forall z\in H. \end{equation*}

Definición 12.7. (Función inyectiva, suprayectiva, biyectiva e inversa.)
Sean $S,H\subset\mathbb{C}$ y sea $f:S \to H$ una función. Diremos que $f$ es inyectiva si para toda imagen $w\in H$ existe un único $z\in S$ tal que $f(z) = w$. Diremos que $f$ es suprayectiva si para todo $w\in H$ existe una preimagen $z\in S$, es decir si existe $z\in S$ tal que $f(z) = w$. Diremos que $f$ es una biyección si $f$ es una función inyectiva y suprayectiva.

Si $f:S \to H$ es una función biyectiva, entonces diremos que una función $g:H \to S$ es la inversa de $f$ si para todo $w\in H$ se cumple que $f(g(w)) = z$ y para todo $z\in S$ se cumple que $g(f(z)) = w$, es decir si las composiciones $f\circ g$ y $g\circ f$ son las funciones identidad en $H$ y en $S$ respectivamente.

Ejemplo 12.6.
a) La función $f(z) = z^2$ no es inyectiva.
Solución. Claramente $f(z)$ es una función de variable compleja con valores en $\mathbb{C}$. Desde que: \begin{equation*} f(i) = i^2 = -1 = (-i)^2 = f(-i), \end{equation*} entonces $f(z)$ no es inyectiva en $\mathbb{C}$.
b) La función $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $f(z) = 2z – 6i$ es biyectiva. Determina su función inversa.
Solución. Primero probemos que $f(z)$ es inyectiva. Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ tales que $f(z_1) = f(z_2)$. Veamos que $z_1 = z_2$.
Notemos que: \begin{align*} f(z_1) = f(z_2) &\Longleftrightarrow 2z_1 – 6i = 2z_2 – 6i\\ &\Longleftrightarrow 2z_1 = 2z_2\\ &\Longleftrightarrow z_1 = z_2, \end{align*} por lo que $f(z)$ es inyectiva.

Procedemos ahora a verificar que $f(z)$ es suprayectiva. Sea $w \in \mathbb{C}$, entonces existe: \begin{equation*} z := \frac{w+6i}{2}\in\mathbb{C}, \end{equation*} tal que: \begin{align*} f(z) & = 2\left(\frac{w+6i}{2}\right) – 6i\\ & = w, \end{align*} por lo que $f(z)$ es suprayectiva. Por lo tanto $f(z)$ es una función biyectiva y su función inversa está dada por: \begin{equation*} f^{-1}(z) = \frac{z+6i}{2}, \end{equation*} desde que: \begin{align*} f\left(f^{-1}(z)\right) & = f\left(\frac{z+6i}{2}\right)\\ & = 2\left(\frac{z+6i}{2}\right) – 6i\\ & = z, \end{align*} \begin{align*} f^{-1}\left(f(z)\right) & = f^{-1}\left(2z-6i\right)\\ & = \frac{2z-6i+6i}{2}\\ & = z, \end{align*} para todo $z\in\mathbb{C}$.

Definición 12.8. (Función acotada.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Diremos que una función $f:S\to\mathbb{C}$ es acotada si existe un número $M>0$ tal que para todo $z\in S$ se cumple que: \begin{equation*} |\,f(z)\,| \leq M. \end{equation*}

Ejemplo 12.7.
Si $|\,z\,|\leq 1$, entonces la función $f(z) = \operatorname{Re}(2+\overline{z} + z^3)$ es acotada.

Solución.
Tenemos que: \begin{align*} |\,f(z)\,| & = |\, \operatorname{Re}(2+\overline{z} + z^3) \,|\\ & \leq |\,2+\overline{z} + z^3\,|\\ & \leq |\,2 \,| + |\,\overline{z}\,| + |\,z^3\,|\\ & = 2 + |\,z\,| + |\,z\,|^3. \end{align*} Dado que $|\,z\,|\leq 1$, entonces: \begin{equation*} |f(z)| \leq 2 + |\,z\,| + |\,z\,|^3 = 4. \end{equation*}

Tarea moral

  1. Considera las siguientes funciones complejas. Escribelas en la forma $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ identificando claramente a las funciones $u$ y $v$ y los dominios de definición de cada función.
    a) $\dfrac{2}{z-1+i}$.
    b) $2z^2 + z\overline{z}+3z$.
    c) $\overline{z} + \dfrac{2}{z}$.
  2. Escribe las siguientes funciones complejas en la forma $f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta)$ expresando a $z$ en su forma polar e identifica a las funciones $u$ y $v$.
    a) $f(z)=z^6-\overline{z}^2$.
    b) $f(z)= z + \dfrac{1}{z}$.
    c) $f(z)=\dfrac{z+1}{z}$.
  3. Considera la siguiente forma de construir a los números complejos. Sea: \begin{equation*} K = \left\{ \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix} \,:\, a,b\in\mathbb{R} \right\} \end{equation*} un subconjunto del anillo de matrices reales de $2\times2$ ($M_{2\times2}(\mathbb{R})$). Verifica que $K$ es cerrado bajo la suma y multiplicación de matrices, es decir es un subanillo de $M_{2\times2}(\mathbb{R})$. Además, muestra que: \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = – \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
    Por último prueba que la función $f:K \to \mathbb{C}$ tal que: \begin{equation*} f\left(\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}\right) = a + ib, \end{equation*} define un isomorfismo entre $K$ y el campo de los números complejos $\mathbb{C}$, es decir:
    i) $f$ es biyectiva,
    ii) $f(A+B) = f(A) + f(B)$, para todo $A,B\in K$,
    iii) $f(AB) = f(A)f(B)$, para todo $A,B\in K$.
    Observa que si se aplica dicha función $f$ sobre el subconjunto de matrices escalares de $K$, es decir el subconjunto de $K$ tal que $b=0$, entonces $f$ es un isomorfismo sobre el campo de los números reales $\mathbb{R}$.
  4. Considerando la parte real y la parte imaginaria, funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ respectivamente, determina a la función compleja $w=u(x,y)+iv(x,y)$ como función de la variable compleja $z=x+iy$.
    a) $u(x,y)=\dfrac{x^2 + x – y^2 }{(x+1)^2 + y^2}$ y $v(x,y)=\dfrac{y(1-2x)}{(x+1)^2 + y^2}$.
    Hint: Recuerda que para todo $z\in\mathbb{C}$ se tiene que $z \overline{z} = |\,z\,|^2$.
    b) $u(x,y) = 6x – 5$ y $v(x,y) = 6y+9$.
    c) $u(x,y)=2(x^2 – y^2)$ y $v(x,y)=0$.
    Hint: Observa que $v(x,y)=2ixy – 2ixy$.
  5. Determina la función inversa de las siguientes funciones.
    a) $f(z) = \dfrac{1}{z}$, para $z\neq 0$.
    b) $f(z) = \dfrac{z-1}{z+1}$, para $z\neq -1$.
    c) $f(z) = -z$.
  6. Considera las siguientes funciones y prueba que son acotadas en su dominio.
    a) $f(z) = \dfrac{1}{z^4 – 4z^2 + 3}$, entonces $|\,f(z)\,|\leq \dfrac{1}{3}$ si $|\,z\,| = 2$.
    b) $f(z) = \dfrac{1}{z^2 + z + 1}$, entonces $|\,f(z)\,|\leq 4$ si $|\,z\,| \leq \dfrac{1}{2}$.
    c) $f(z) = z^5 -4$, entonces $|\,f(z)\,|\leq 5$ si $|\,z\,| \leq 1$.
  7. Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Determina cuáles de las siguientes funciones complejas son polinomios complejos y cuáles no. Justifica tu respuesta.
    a) $f(z) = 4x^2 – iy$.
    b) $f(z) = xy + i(x+y)$.
    c) $f(z) = x^2 + y^2$.
    d) $f(z) = x^2 – y^2 + 2ixy$.
    e) $f(z) = 5x^2 – 5y^2 + i + (3+i)x + (3i-1)y + 10ixy$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal la definición de una función compleja de variable compleja, además de dar las definiciones elementales de operaciones de funciones desde el enfoque de la variable compleja.

Como vimos en esta entrada, toda función de variable compleja puede describirse considerando a su parte real e imaginaria, las cuales resultaron ser funciones reales de dos variables. En las siguientes entrada veremos que a través de estas funciones podremos abordar diversos conceptos como el de límite, continuidad, diferenciabilidad, entre otros, utilizando los resultados que ya conocemos para funciones reales de dos variables, lo cual resultará de gran utilidad para el estudio de las funciones complejas.

La siguiente entrada hablaremos del concepto de función multivaluada, el cual resultará fundamental en el estudio de las funciones complejas, pues como veremos a lo largo de esta unidad muchas de las funciones complejas elementales, que extienden a las funciones reales, resultan ser funciones multivaluadas.

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