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Variable Compleja I: Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

Hasta ahora hemos visto que a diferencia de $\mathbb{R}^2$, el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ es un campo dotado con las operaciones definidas en la entrada 2 de la primera unidad. Sin embargo no es difícil convencerse de que como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales estos son isomorfos.

Al estudiar matemáticas uno de los conceptos más importantes es el de función. De manera intuitiva podemos pensar a una función como una regla que asocia elementos entre dos conjuntos. A lo largo de nuestros cursos de Cálculo hemos estudiado a detalle funciones de una y varias variables reales, por lo que pensar en funciones de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ no debe parecernos algo ajeno, de hecho en nuestros cursos de Geometría dedicamos un tiempo al estudio de algunas funciones de estas llamadas transformaciones lineales. Entonces, considerando que $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{C}$ son isomorfos como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales podríamos pensar que al definir una función sobre $\mathbb{C}$ de variable compleja debería ser algo indistinguible de una función de dos variables reales. Sin embargo, es claro que si pensamos en una función $f(z)$, donde la variable $z$ es un número complejo, entonces estamos trabajando con una función de una única variable como en el caso real, por lo que de algún modo podemos pensar que las funciones complejas de variable compleja parecen estar entre las funciones reales de variable real y las funciones vectoriales de dos variables reales.

Funciones complejas

Definición 12.1. (Función compleja de variable compleja.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Una función compleja de variable compleja $f(z)$, o simplemente una función compleja, definida en $S$ es una regla que para cada $z=x+iy\in S$ asigna un único número complejo $w=u+iv\in\mathbb{C}$ y se escribe como $f:S\to\mathbb{C}$. El número $w$ es llamado el valor de $f$ en $z$, lo cual denotamos como $f(z)$, es decir $w=f(z)$. Al conjunto $S$ se le llama el dominio de $f(z)$ y el conjunto $f(S) = \{f(z) \, : \, z\in S\} \subset \mathbb{C}$ es llamado el rango o la imagen de $f(z)$.

Observación 12.1.
De acuerdo con la definición podemos pensar que una función compleja transforma los valores de un plano $z$ en valores de un plano $w$. Esto lo analizaremos a detalle en la entrada 24, ya que nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja puesto que ésta tiene lugar en $\mathbb{R}^4$.

Observación 12.2.
Cuando una función está dada sólo por su regla de correspondencia sin especificar el dominio $S$, entonces se toma como dominio al mayor conjunto $S$ donde dicha función está definida, en dicho caso al conjunto $S$ se le suele llamar el dominio natural de la función.

Observación 12.3.
El término dominio se usa aquí en un sentido conjuntista y no topólogico, es decir el conjunto $S$ no tendría porque ser en principio un conjunto abierto y conexo (región), aunque a lo largo del curso estaremos trabajando comúnmente en dominios $S$ que son una región (definición 10.3).

Observación 12.4.
A lo largo de esta unidad estaremos trabajando con funciones complejas de variable compleja. Sin embargo, dado que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ es posible considerar al dominio $S$ de una función $f$ tal que $S\subset\mathbb{R}$, en cuyo caso tendríamos una función compleja de variable real. Más aún, podríamos tener que $f(S)\subset\mathbb{R}$, en dicho caso reduciríamos nuestro estudio al de funciones reales de variable real. Por lo que, nuestro objetivo en esta entrada será generalizar los resultados y propiedades ya conocidos de las funciones reales de variable real para las funciones complejas de variable compleja.

Funciones elementales

Definición 12.2. (Polinomios complejos.)
Sean $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n\in\mathbb{C}$ constantes. Un polinomio complejo es una función de la forma: \begin{equation*} f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots + a_{n-1} z^{n-1} + a_n z^n. \end{equation*} El mayor índice $n$ tal que $a_n \neq 0$ es el grado del polinomio.

Toda función polinómica tiene como dominio a todo $\mathbb{C}$.

Definición 12.3. (Funciones racionales.)
Sean $P(z)$ y $Q(z)$ dos polinomios complejos. Se denomina función racional a una función de la forma: \begin{equation*} f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}. \end{equation*} Toda función racional tiene como dominio natural a los números complejos sin el conjunto donde el polinomio $Q(z)$ se anule, es decir, sin el conjunto de raíces de $Q(z)$.

Ejemplo 12.1.
Las siguientes son funciones complejas cuyo dominio $S$ es todo $\mathbb{C}$:
a) $w_1 = f_1(z) = |z|^2$.
b) $w_2 = f_2(z) = 3z^2 + 7z$.
c) $w_3 = f_3(z) = \overline{z}$.

Mientras que:
d) $w_4 = f_4(z) = \dfrac{1}{z}$,
e) $w_5 = f_5(z) = \dfrac{1}{z^2-1}$,
son también funciones complejas, pero sus dominios naturales son $S_4 = \mathbb{C}\setminus\{0\}$ y $S_5 = \mathbb{C}\setminus\{-1,1\}$, respectivamente.

Ejemplo 12.2.
Sean $z_1, z_2\in\mathbb{C}$ tales que $z_1 \neq z_2$, entonces la función $L:[0,1]\to \mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} w = L(t) = (1-t)z_1 + tz_2, \end{equation*}

es una función compleja de variable real que nos determina al segmento de recta que va de $z_1$ a $z_2$, es decir al conjunto $[z_1, z_2]$.

Definición 12.4. (Operaciones de funciones.)
Denotemos al conjunto de todas las funciones definidas de $S\subset\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$ como $\mathcal{F}(S)$. Considerando la definición 12.1 tenemos que de manera natural las operaciones de suma y producto definidas en $\mathbb{C}$ se trasladan al conjunto $\mathcal{F}(S)$, es decir para $f,g\in\mathcal{F}(S)$ podemos definir su suma $f+g$ y su producto $f\cdot g$ como: \begin{equation*} (f+g)(z) = f(z)+g(z), \quad \forall z\in S. \end{equation*} \begin{equation*} (f\cdot g)(z) = f(z) \cdot g(z), \quad \forall z\in S. \end{equation*} Utilizaremos el símbolo «$\cdot$» para denotar el producto entre funciones solo cuando sea necesario, en general lo omitiremos.

Como caso particular del producto de funciones, si una de ellas es constante, entonces definimos el producto por escalares complejos como:
\begin{equation*} (c \, f)(z) = c \, f(z), \quad \forall z\in S, \end{equation*} donde $c\in\mathbb{C}$ es una constante.

Más aún, si $g(z)\neq0$ para toda $z\in S$, entonces definimos a la función cociente $\dfrac{f}{g}$ como: \begin{equation*} \left(\frac{f}{g}\right)(z) = \frac{f(z)}{g(z)}, \quad \forall z\in S. \end{equation*}

Definición 12.5. (Partes real e imaginaria, conjugado y módulo de una función compleja.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Entonces para todo $z\in S$ definimos las funciones:

  1. parte real de $f$: \begin{equation*} \left(\operatorname{Re} f\right)(z) = \operatorname{Re} f(z), \end{equation*}
  2. parte imaginaria de $f$: \begin{equation*} \left(\operatorname{Im} f\right)(z) = \operatorname{Im} f(z), \end{equation*}
  3. el conjugado de $f$: \begin{equation*} \overline{f}(z) = \overline{f(z)}, \end{equation*}
  4. el módulo de $f$: \begin{equation*} |\,f\,| (z) = |\,f(z)\,|. \end{equation*}

Al igual que cada número complejo $z$ es caracterizado por un par de números reales, digamos $x$ e $y$, una función compleja $f$ de variable $z$ puede ser especificada por dos funciones reales de las variables reales $x$ e $y$, digamos $u=u(x,y)$ y $v=v(x,y)$. Para justificar esto consideremos la siguiente:

Proposición 12.1.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f:S\to\mathbb{C}$ una función compleja.

  1. Si $z=x+iy\in S$, entonces $w=f(z)$ puede expresarse como: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde $u (x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales de las variables $x$ e $y$.
  2. Sean $u(x,y)$ y $v(x,y)$ dos funciones reales de las variables $x$ e $y$, definidas en $S$. Si $z = x+iy \in S$, entonces: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} es una función compleja en $S$.

Demostración. Dadas las hipótesis, consideremos a $z=x+iy \in S$. Sabemos que: \begin{equation*} x = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad y = \frac{z-\overline{z}}{2i}. \tag{12.1} \end{equation*}

  1. Considerando (12.1) es claro que existe una relación estrecha entre los números reales $x$ e $y$ y el número complejo $z$, por lo que especificar los valores de $x$ e $y$ en $S$ equivale a especificar a un número complejo $z=x+iy\in S$. Entonces $f$ es una función compleja de las variables $x$ e $y$, por lo que definiendo: \begin{align*} u(x,y) = \frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2},\\ v(x,y) = \frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}, \end{align*} tenemos que: \begin{align*} u(x,y) + iv(x,y) & = \frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2} + i \frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}\\ & = f(x+iy)\\ & = f(z)\\ & = w. \end{align*} Notemos que: \begin{align*} \overline{u}(x,y) & = \overline{\frac{f(x+iy) + \overline{f}(x+iy)}{2}}\\ & = \frac{\overline{f}(x+iy) + f(x+iy)}{2}\\ & = u(x,y), \end{align*} \begin{align*} \overline{v}(x,y) & = \overline{\frac{f(x+iy) – \overline{f}(x+iy)}{2i}}\\ & = \frac{\overline{f}(x+iy) – f(x+iy)}{-2i}\\ & = v(x,y), \end{align*} por lo que, considerando la proposición 2.2(5), tenemos que $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales de las variables $x$ e $y$ para todo $z = x+iy \in S$.
  2. Sea $z=x+iy\in S$. Es claro que $g(z) = \overline{z}$ es una función compleja de $z$ definida en $S$. Entonces, de acuerdo con (12.1), tenemos que las funciones: \begin{align*} u(x,y) = u \left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i} \right),\\ v(x,y) = v \left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i} \right), \end{align*} son ambas funciones de $z$ para todo $z\in S$, por lo que su suma también es una función de $z$ para toda $z\in S$. Entonces para todo $z=x+iy \in S$: \begin{equation*} w = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} es una función compleja definida en $S$.

$\blacksquare$

De acuerdo con el resultado anterior, tenemos que una función compleja $f:S\to\mathbb{C}$, tal que para cada $z=x+iy\in S$ cumple que $f(z)=w\in\mathbb{C}$, puede escribirse de la forma: \begin{equation*} w = f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde las funciones $u$ y $v$ son llamadas la parte real e imaginaria respectivamente de la función $f$, es decir $\operatorname{Re} f = u$ e $\operatorname{Im} f=v$. Además dichas funciones $u$ y $v$ tienen como común dominio al dominio de la función $f$.

Observación 12.5.
Como hemos visto en la entrada 4 de la primera unidad, en ocasiones resulta más conveniente trabajar con un número complejo $z\in\mathbb{C}$, con $z = x+iy \neq 0$, en su forma polar, es decir: \begin{equation*} z = r\left[\operatorname{cos}(\theta) + i \operatorname{sen}(\theta)\right], \end{equation*} donde $r = |\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{arg} z$. Tenemos entonces que $x = r \operatorname{cos}(\theta)$ e $y= r \operatorname{sen}(\theta)$, por lo que, considerando la proposición 12.1, es claro que una función compleja $f$, al trabajar con la variable $z$ en su forma polar, se puede escribir como: \begin{equation*} w = f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta). \end{equation*}

Ejemplo 12.3.
Consideremos las primeras tres funciones del ejemplo 12.1 y sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$, entonces:

a) \begin{align*} f_1(x+iy) & = |\,x+iy\,|^2\\
& = x^2 + y^2, \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_1(z) = u_1(x,y)=x^2 + y^2$ e $\operatorname{Im}f_1(z) = v_1(x,y)=0$.

b) \begin{align*} f_2(x+iy) & = 3(x+iy)^2 + 7(x+iy)\\
& = (3x^2-3y^2+7x) + i(6xy+7y), \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_2(z) = u_2(x,y)=3x^2-3y^2+7x$ e $\operatorname{Im} f_2(z)=v_2(x,y)=6xy+7y$.

c) \begin{align*} f_3(x+iy) & = \overline{x+iy}\\
& = x – iy, \end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_3(z) = u_3(x,y)=x$ e $\operatorname{Im}f_3(z)=v_3(x,y)=-y$.

Para el inciso d) del ejemplo 12.1 consideremos a $z=x+iy\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, de acuerdo con la observación 3.2 tenemos que: \begin{equation*} f_4(z) = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|\,z\,|^2} = \frac{f_3(z)}{f_1(z)},\end{equation*} entonces:
d)\begin{align*} f_4(x+iy) & = \frac{x-iy}{x^2+y^2}\\
& = \frac{x}{x^2+y^2} – i\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right),
\end{align*} de donde se sigue que $\operatorname{Re}f_4(z)=u_4(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}$ e $\operatorname{Im}f_4(z)=v_4(x,y)=\dfrac{-y}{x^2+y^2}$.

Ejemplo 12.4.
Considerando a $z$ en su forma polar expresemos a las funciones complejas $f(z) = z^5 + 4z^3$ y $g(z) = z^2$ en términos de las funciones reales $u(r,\theta)$ y $v(r,\theta)$.

Solución. Sea $z = r\operatorname{cis}(\theta) \neq 0$, con $r=|z|$ y $\theta=\operatorname{arg} z$. De acuerdo con la fórmula de De Moivre, proposición 4.1 de la primera unidad, tenemos que:

a) \begin{align*} f(z) & = z^5 + 4z^3\\ & = \left(r\operatorname{cis}(\theta) \right)^5 + 4\left(r\operatorname{cis}(\theta) \right)^3\\ & = r^5\operatorname{cis}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{cis}(3\theta)\\ & = \left( r^5\operatorname{cos}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{cos}(3\theta)\right) + i \left( r^5\operatorname{sen}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{sen}(3\theta)\right), \end{align*} de donde $u(r,\theta) = r^5\operatorname{cos}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{cos}(3\theta)$ y $v(r,\theta)=r^5\operatorname{sen}(5\theta) + 4 r^3 \operatorname{sen}(3\theta)$.

b) \begin{align*} g(z) = z^2 & = \left(r\operatorname{cis}(\theta) \right)^2\\
& = r^2 \operatorname{cos}(2\theta) + i \, r^2 \operatorname{sen}(2\theta), \end{align*} de donde $u(r,\theta) = r^2 \operatorname{cos}(2\theta)$ y $v(r,\theta)=r^2 \operatorname{sen}(2\theta)$.

Ejemplo 12.5.
Si $u(x,y) = -x$, $v(x,y) = -(1+5y)$ y $w = u(x,y) + iv(x,y)$, escribe a $w$ como función de la variable compleja $z=x+iy$.

Solución. Considerando las coordenadas complejas conjugadas (12.1) tenemos que: \begin{align*} w & = u(x,y) + iv(x,y)\\ & = -x -i(1+5y)\\ & = – \frac{z+\overline{z}}{2} – i\left[ 5\left(\frac{z – \overline{z}}{2i}\right) + 1 \right]\\ & = \frac{-z-\overline{z}}{2} – i\left[ \frac{5z – 5\overline{z} + 2i}{2i}\right]\\ & = \frac{-z-\overline{z} – 5z + 5\overline{z} – 2i}{2}\\ & = \frac{-z6 + 4\overline{z} – 2i}{2}\\ & = -3z + 2\overline{z} – i. \end{align*} Por lo que $w = f(z) = -3z + 2\overline{z} – i$.

Es claro que esta última expresión representa una función compleja, sin embargo podemos preguntarnos si esta función representa un polinomio complejo de acuerdo con la definición 12.2. Para responder esto consideremos la siguiente:

Observación 12.5.
Mediante la definición 12.2, se establece que un polinomio complejo en la variable $z$ es una función compleja que considera potencias de $z$ y coeficientes complejos, por ejemplo: \begin{equation*} i + (2+i)z + 3z^2. \end{equation*}

De acuerdo con la proposición 12.1, es claro que el polinomio anterior puede expresarse como un polinimio en dos variables reales, las cuales están dadas por su parte real e imaginaria, es decir, considerando a $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tenemos que:
\begin{align*} i + (2+i)z + 3z^2 & = i + (2+i)(x+iy) + 3(x+iy)^2\\ & = i + 2x + ix + 2iy – y + 3x^2 + 6ixy – 3y^2\\ & = 3(x^2-y^2) + 2x – y + i(x + 2y + 6xy + 1). \end{align*}

Debe ser claro que esta última expresión sigue siendo una función compleja. Sin embargo, abordar el concepto de polinomio desde el sentido complejo requiere cierto cuidado. Podemos hablar de un polinomio en las variables $x$ e $y$, donde $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, considerando coeficientes complejos, por ejemplo: \begin{equation*} (3+i)xy + 3ix^2 + 5y^2. \end{equation*}

Entonces dicho polinomio en las variables $x$ e $y$ nos determina una función de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{C}$, la cual podemos pensar como una función compleja estableciendo $z=x+iy\in\mathbb{C}$.

Considerando lo anterior, debe ser claro que el ejemplo 12.5 no representa un polinomio complejo. En general, tenemos que existen polinomios en las variables $x$ e $y$, que son funciones complejas, pero que no son polinomios complejos, puesto que son funciones que no pueden ser escritas en términos de la variable $z=x+iy\in\mathbb{C}$, desde que aparecen expresiones en términos de $\overline{z}$.

Lo anterior es de suma importancia, ya que identificar a las funciones complejas, no solo polinomios, que dependan únicamente de la variable $z$ y no de $\overline{z}$ será la llave al análisis complejo. Como veremos en las siguientes entradas, este detalle tan sutil resultará de suma importancia pues nos permitirá caracterizar propiedades como la diferenciabilidad en el sentido complejo a través de este hecho.

Definición 12.6. (Composición de funciones.)
Sea $g\in\mathcal{F}(H)$. Sabemos que $g(H) = \{g(z) \,: \, z\in H\}$ es la imagen de $g$. Sea $f\in\mathcal{F}(S)$ y $g(H)\subset S$, entonces se define a la composición de $f$ con $g$ como la función $f\circ g: H \rightarrow \mathbb{C}$ tal que: \begin{equation*} (f\circ g)(z) = f(g(z)), \quad \forall z\in H. \end{equation*}

Definición 12.7. (Función inyectiva, suprayectiva, biyectiva e inversa.)
Sean $S,H\subset\mathbb{C}$ y sea $f:S \to H$ una función. Diremos que $f$ es inyectiva si para toda imagen $w\in H$ existe un único $z\in S$ tal que $f(z) = w$. Diremos que $f$ es suprayectiva si para todo $w\in H$ existe una preimagen $z\in S$, es decir si existe $z\in S$ tal que $f(z) = w$. Diremos que $f$ es una biyección si $f$ es una función inyectiva y suprayectiva.

Si $f:S \to H$ es una función biyectiva, entonces diremos que una función $g:H \to S$ es la inversa de $f$ si para todo $w\in H$ se cumple que $f(g(w)) = z$ y para todo $z\in S$ se cumple que $g(f(z)) = w$, es decir si las composiciones $f\circ g$ y $g\circ f$ son las funciones identidad en $H$ y en $S$ respectivamente.

Ejemplo 12.6.
a) La función $f(z) = z^2$ no es inyectiva.
Solución. Claramente $f(z)$ es una función de variable compleja con valores en $\mathbb{C}$. Desde que: \begin{equation*} f(i) = i^2 = -1 = (-i)^2 = f(-i), \end{equation*} entonces $f(z)$ no es inyectiva en $\mathbb{C}$.
b) La función $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $f(z) = 2z – 6i$ es biyectiva. Determina su función inversa.
Solución. Primero probemos que $f(z)$ es inyectiva. Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ tales que $f(z_1) = f(z_2)$. Veamos que $z_1 = z_2$.
Notemos que: \begin{align*} f(z_1) = f(z_2) &\Longleftrightarrow 2z_1 – 6i = 2z_2 – 6i\\ &\Longleftrightarrow 2z_1 = 2z_2\\ &\Longleftrightarrow z_1 = z_2, \end{align*} por lo que $f(z)$ es inyectiva.

Procedemos ahora a verificar que $f(z)$ es suprayectiva. Sea $w \in \mathbb{C}$, entonces existe: \begin{equation*} z := \frac{w+6i}{2}\in\mathbb{C}, \end{equation*} tal que: \begin{align*} f(z) & = 2\left(\frac{w+6i}{2}\right) – 6i\\ & = w, \end{align*} por lo que $f(z)$ es suprayectiva. Por lo tanto $f(z)$ es una función biyectiva y su función inversa está dada por: \begin{equation*} f^{-1}(z) = \frac{z+6i}{2}, \end{equation*} desde que: \begin{align*} f\left(f^{-1}(z)\right) & = f\left(\frac{z+6i}{2}\right)\\ & = 2\left(\frac{z+6i}{2}\right) – 6i\\ & = z, \end{align*} \begin{align*} f^{-1}\left(f(z)\right) & = f^{-1}\left(2z-6i\right)\\ & = \frac{2z-6i+6i}{2}\\ & = z, \end{align*} para todo $z\in\mathbb{C}$.

Definición 12.8. (Función acotada.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Diremos que una función $f:S\to\mathbb{C}$ es acotada si existe un número $M>0$ tal que para todo $z\in S$ se cumple que: \begin{equation*} |\,f(z)\,| \leq M. \end{equation*}

Ejemplo 12.7.
Si $|\,z\,|\leq 1$, entonces la función $f(z) = \operatorname{Re}(2+\overline{z} + z^3)$ es acotada.

Solución.
Tenemos que: \begin{align*} |\,f(z)\,| & = |\, \operatorname{Re}(2+\overline{z} + z^3) \,|\\ & \leq |\,2+\overline{z} + z^3\,|\\ & \leq |\,2 \,| + |\,\overline{z}\,| + |\,z^3\,|\\ & = 2 + |\,z\,| + |\,z\,|^3. \end{align*} Dado que $|\,z\,|\leq 1$, entonces: \begin{equation*} |f(z)| \leq 2 + |\,z\,| + |\,z\,|^3 = 4. \end{equation*}

Tarea moral

  1. Considera las siguientes funciones complejas. Escribelas en la forma $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ identificando claramente a las funciones $u$ y $v$ y los dominios de definición de cada función.
    a) $\dfrac{2}{z-1+i}$.
    b) $2z^2 + z\overline{z}+3z$.
    c) $\overline{z} + \dfrac{2}{z}$.
  2. Escribe las siguientes funciones complejas en la forma $f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta)$ expresando a $z$ en su forma polar e identifica a las funciones $u$ y $v$.
    a) $f(z)=z^6-\overline{z}^2$.
    b) $f(z)= z + \dfrac{1}{z}$.
    c) $f(z)=\dfrac{z+1}{z}$.
  3. Considera la siguiente forma de construir a los números complejos. Sea: \begin{equation*} K = \left\{ \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix} \,:\, a,b\in\mathbb{R} \right\} \end{equation*} un subconjunto del anillo de matrices reales de $2\times2$ ($M_{2\times2}(\mathbb{R})$). Verifica que $K$ es cerrado bajo la suma y multiplicación de matrices, es decir es un subanillo de $M_{2\times2}(\mathbb{R})$. Además, muestra que: \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = – \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
    Por último prueba que la función $f:K \to \mathbb{C}$ tal que: \begin{equation*} f\left(\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}\right) = a + ib, \end{equation*} define un isomorfismo entre $K$ y el campo de los números complejos $\mathbb{C}$, es decir:
    i) $f$ es biyectiva,
    ii) $f(A+B) = f(A) + f(B)$, para todo $A,B\in K$,
    iii) $f(AB) = f(A)f(B)$, para todo $A,B\in K$.
    Observa que si se aplica dicha función $f$ sobre el subconjunto de matrices escalares de $K$, es decir el subconjunto de $K$ tal que $b=0$, entonces $f$ es un isomorfismo sobre el campo de los números reales $\mathbb{R}$.
  4. Considerando la parte real y la parte imaginaria, funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ respectivamente, determina a la función compleja $w=u(x,y)+iv(x,y)$ como función de la variable compleja $z=x+iy$.
    a) $u(x,y)=\dfrac{x^2 + x – y^2 }{(x+1)^2 + y^2}$ y $v(x,y)=\dfrac{y(1-2x)}{(x+1)^2 + y^2}$.
    Hint: Recuerda que para todo $z\in\mathbb{C}$ se tiene que $z \overline{z} = |\,z\,|^2$.
    b) $u(x,y) = 6x – 5$ y $v(x,y) = 6y+9$.
    c) $u(x,y)=2(x^2 – y^2)$ y $v(x,y)=0$.
    Hint: Observa que $v(x,y)=2ixy – 2ixy$.
  5. Determina la función inversa de las siguientes funciones.
    a) $f(z) = \dfrac{1}{z}$, para $z\neq 0$.
    b) $f(z) = \dfrac{z-1}{z+1}$, para $z\neq -1$.
    c) $f(z) = -z$.
  6. Considera las siguientes funciones y prueba que son acotadas en su dominio.
    a) $f(z) = \dfrac{1}{z^4 – 4z^2 + 3}$, entonces $|\,f(z)\,|\leq \dfrac{1}{3}$ si $|\,z\,| = 2$.
    b) $f(z) = \dfrac{1}{z^2 + z + 1}$, entonces $|\,f(z)\,|\leq 4$ si $|\,z\,| \leq \dfrac{1}{2}$.
    c) $f(z) = z^5 -4$, entonces $|\,f(z)\,|\leq 5$ si $|\,z\,| \leq 1$.
  7. Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Determina cuáles de las siguientes funciones complejas son polinomios complejos y cuáles no. Justifica tu respuesta.
    a) $f(z) = 4x^2 – iy$.
    b) $f(z) = xy + i(x+y)$.
    c) $f(z) = x^2 + y^2$.
    d) $f(z) = x^2 – y^2 + 2ixy$.
    e) $f(z) = 5x^2 – 5y^2 + i + (3+i)x + (3i-1)y + 10ixy$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal la definición de una función compleja de variable compleja, además de dar las definiciones elementales de operaciones de funciones desde el enfoque de la variable compleja.

Como vimos en esta entrada, toda función de variable compleja puede describirse considerando a su parte real e imaginaria, las cuales resultaron ser funciones reales de dos variables. En las siguientes entrada veremos que a través de estas funciones podremos abordar diversos conceptos como el de límite, continuidad, diferenciabilidad, entre otros, utilizando los resultados que ya conocemos para funciones reales de dos variables, lo cual resultará de gran utilidad para el estudio de las funciones complejas.

La siguiente entrada hablaremos del concepto de función multivaluada, el cual resultará fundamental en el estudio de las funciones complejas, pues como veremos a lo largo de esta unidad muchas de las funciones complejas elementales, que extienden a las funciones reales, resultan ser funciones multivaluadas.

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Geometría Analítica I: Recordatorio de funciones

Por Paola Berenice García Ramírez

Introducción

En la entrada anterior [Enlace entrada anterior] se introdujo la esencia del concepto de transformaciones y que estaremos viendo diversos tipos de transformaciones, pero para que no trabajemos en un espacio desconocido, en ésta entrada hablaremos de nociones básicas de funciones que debemos tener presentes para luego definir formalmente el concepto de qué es una transformación.

Funciones

Sean $E$ y $F$ dos conjuntos no vacíos, denominaremos función de un conjunto $E$ en un conjunto $F$ (o función definida en $E$ con valores en $F$) a una regla o ley $f$ que a todo elemento $x \in E$ le pone en correspondencia un determinado elemento $f(x) \in F$.

Al conjunto de los elementos $x \in E$ les llamamos dominio o argumento de la función $f$ y normalmente su notación es $Dom(f)$. Al conjunto de los elementos $f(x) \in F$ le llamamos rango o imagen y se denota por $Im(f)$. Además se encuentra el conjunto $F$ del contradominio, el cual contiene al rango.

A una función la designamos por lo general con la letra $f$ o con el símbolo $f: E \longrightarrow F$, que nos señala que $f$ aplica el conjunto $E$ en $F$. También podemos emplear la notación $x \mapsto f(x)$ para indicarnos que al elemento $x$ le corresponde el elemento $f(x)$. Cabe mencionar que en la mayoría de los casos las funciones se definen mediante igualdades, las cuales describen la ley de correspondencia.

Ejemplo 1. Podemos decir que la función $f$ está definida mediante la igualdad $f(x) = \sqrt{ x^2 + 1}$, $x \in [a,b]$. Si $y$ es la notación general de los elementos del conjunto $F$, o sea $F = \{y\}$, la aplicación $f: E \longrightarrow F$ se escribe en forma de la igualdad $y = f(x)$, y decimos entonces que la función se encuentra dada en su forma explícita.

Ejemplo 2. Mediante la siguiente imagen vamos a obtener $Domf$, $Imf$ y el $Codf$.

Podemos ver que $Domf$ es el conjunto formado por $\{1, -2, 2, -3, 3, 4\} $. La $Imf$ es $\{2, -4, 4, -6, 6, 8\}$ y el $Codf$ es $\{-2,2,-4,4,-6,6,8,-8\}$. Podemos darnos cuenta que no necesariamente la $Imf$ debe coincidir siempre con el $Codf$.

Ejemplo 3. Sea la función definida por la ecuación $y = \sqrt{3 – 9x}$. Debido a que la función es una raíz cuadrada, $y$ es función de $x$ sólo para $3-9x \geq 0$; pues para cualquier $x$ que satisfaga esta desigualdad, se determina un valor único de $y$. Procedemos a resolver la desigualdad:

\begin{align*}
3-9x & \geq 0,\\
3 & \geq 9x,\\
\dfrac{3}{9} & \geq x,\\
\dfrac{1}{3} & \geq x.
\end{align*}

Sin embargo si $x > \dfrac{1}{3}$, obtenemos la raíz cuadrada de un número negativo y en consecuencia no existe un número real $y$. Por tanto $x$ debe estar restringida a $\dfrac{1}{3} \geq x $. Concluimos que el $Domf$ es el intervalo $\left(- \infty, \dfrac{1}{3}\right]$ y la $Imf$ es $[0, + \infty).$

Gráfica de $f(x) = \sqrt{3-9x}$

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Definición. Una función $f: E \longrightarrow F$ se denomina:

  • Inyectiva si $f(x) = f(x’)$ implica que $x = x’$. Otra forma de expresarlo es que no existen dos elementos de $E$ con una misma imagen ($x \neq x $ implica que $f(x) \neq f(x’)$).
  • Suprayectiva o sobreyectiva si $\forall y \in F$ existe $x \in E$ tal que $f(x)=y$. Es decir que todos los elementos del conjunto $F$ son imagen de algún elemento de $E$.
  • Biyectiva si la función cumple ser inyectiva y suprayectiva.

Problema 1. Consideren la función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ definida por $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+3}$ y determinen su dominio y si es biyectiva.

Solución. Veamos el dominio de la función, para que la función racional $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+3}$ no se indetermine debe cumplirse que:

\begin{align*}
x+3 & \neq 0,\\
x & \neq -3,\\
\therefore Domf & = \mathbb{R} – \{-3 \}.\\
\end{align*}

Ahora veamos si $f$ es biyectiva. Sean $a,b \in \mathbb{R} – \{ -3 \}$, para que $f$ sea inyectiva debe cumplir que $f(x) = f(x’)$ implica que $x = x’$, por ello:

\begin{equation*}
f(a) = f(b) \hspace{0.5cm} \Longrightarrow \hspace{0.5cm} \dfrac{3a-1}{a+3} = \dfrac{3b-1}{b+3}.\\
\end{equation*}

Resolviendo:

\begin{align*}
(3a-1)(b+3) &= (3b-1)(a+3),\\
3ab + 9a – b -3 &= 3ab +9b -a -3,\\
10a &= 10b,\\
a &= b.
\end{align*}

Por tanto $f$ es inyectiva. Ahora veamos si $f$ es suprayectiva, sean $x, y \in E$ entonces:

\begin{align*}
f(x) = f(y) \hspace{0.5cm} &\Longrightarrow \hspace{0.5cm} y = \dfrac{3x-1}{x+3},\\
\end{align*}

Resolviendo

\begin{align*}
y(x+3) &= 3x-1,\\
yx +3y &= 3x-1,\\
yx-3x &= -3y-1,\\
x(y-3) &= -3y-1,
\end{align*}

y despejando a $x$

\begin{align*}
x &= \dfrac{-3y-1}{y-3},\\
x &= \dfrac{3y+1}{3-y},
\end{align*}

y como $3-y \neq 0$, entonces $y \neq 3$. En consecuencia $y \in \mathbb{R} – \{3 \}$. Pero al estar definida $f$ por $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, tenemos que $f$ no es suprayectiva.

\begin{align*}
\therefore f \text{ no es biyectiva}.
\end{align*}

Composición de funciones y funciones inversas.

Definición. Dadas las funciones $f: A \longrightarrow B$ y $g: B \longrightarrow C$ , donde la imagen de $f$ está contenida en el dominio de $g$, se define la función composición $(g \circ f): A \longrightarrow C$ como $(g \circ f)(x) = g(f(x)),$ para todos los elementos $x$ de $A$.

La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en $(g \circ f)(x)$ primero actúa la función $f$ y luego la $g$ sobre $f(x)$.

Ejemplo 4. Sean las funciones $f$ y $g$ tales que $f(x)=x+1$ y $g(x) = x^2 +2$, calcularemos las funciones composición $(g \circ f)(x)$ y $(f \circ g)(x)$. Tenemos para $(g \circ f)(x)$

\begin{align*}
(g \circ f)(x) = g[f(x)] &= g(x+1),\\
&= (x+1)^2 + 2,\\
&= x^2 +2x +1 +2,\\
&= x^2 + 2x +3.
\end{align*}

Y para $(f \circ g)(x)$

\begin{align*}
(f \circ g)(x) = f[g(x)] &= f(x^2+2),\\
&= (x^2 + 2) + 1,\\
&= x^2 + 3.\\
\end{align*}

Observemos que la composición no es conmutativa pues las funciones $(f \circ g)$ y $(g \circ f)$ no son iguales.

Definición. Llamaremos función inversa de $f$ a otra función $f^{-1}$ que cumple que si $f(x)=y$, entonces $f^{-1}(y)=x$.

Sólo es posible determinar la función inversa $f^{-1}: B \longrightarrow A$ si y sólo si $f: A \longrightarrow B$ es biyectiva.

Notemos que la función inversa $f^{-1}: B \longrightarrow A$ también es biyectiva y cumple:

\begin{align*}
f^{-1}(f(x)) &= x, \hspace{0.2cm} \forall x \in A,\\
f(f^{-1}(y)) &= y, \hspace{0.2cm} \forall y \in B.
\end{align*}

Dicho de otro modo,

\begin{align*}
f^{-1} \circ f &= id_{A},\\
f \circ f^{-1} &= id_{B},
\end{align*}

donde $id_{A}$ e $id_{B}$ son las funciones identidad de $A$ y $B$ respectivamente. Es decir, son las funciones $id_{A}: A \longrightarrow A$ definida por $id_{A}(x) = x$ e $id_{B}: B \longrightarrow B$ definida por $id_{B}(y) = y$.

Concepto formal de transformación

Ahora hemos llegado a la definición de nuestro interés.

Definición. Una transformación en un plano A es una función biyectiva $f: A \longrightarrow A$ del plano en sí mismo.

Llamaremos transformación en el plano, a toda función que hace corresponder a cada punto del plano, otro punto del mismo.

Tarea moral

Vamos a realizar unos par de ejercicios para repasar y practicar los conceptos que vimos en esta entrada.

Ejercicio 1. Consideren la siguiente función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+3}$ y determinen su dominio, si ella es inyectiva, suprayectiva y la inversa de $f$.

Ejercicio 2. Sean $f: X \longrightarrow Y$ y $g: Y \longrightarrow Z$ funciones, demuestren que

(1) Si $f$ y $g$ son inyectivas, entonces $g \circ f$ es inyectiva.

(2) Si $g \circ f$ es suprayectiva, entonces $g$ es suprayectiva.

Más adelante

En esta entrada vimos las nociones básicas de funciones que nos llevaron a definir formalmente el concepto de una transformación. Dicho concepto nos permitirá comenzar a trabajar en la siguiente entrada con unos primeros conjuntos cuyas propiedades hacen que tengan un nombre especial: los grupos de transformaciones.

Enlaces

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Probabilidad I-Videos: Definición de variable aleatoria

Por Aurora Martínez Rivas

Introducción

En muchos experimentos estaremos interesados más que en el experimento en sí mismo, en alguna consecuencia de su resultado aleatorio. Tales consecuencias pueden valorarse en términos numéricos, es decir podemos asociar a los resultados aleatorios un número real y esto puede considerarse como una función que mapea al espacio muestral en la recta real.

Estas funciones se denominan «variables aleatorias».

Variables aleatorias

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  • Sea $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ una función y sean $x\le\ y$ dos números reales. Demuestre que $(X\le\ x)\subseteq(X\le\ y)$.
  • Sea $\mathcal{F}$ la familia de todos los subconjuntos de $\Omega$, Demuestra cualquier función $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ es una variable aleatoria.
  • Sea $\Omega=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$ con $\mathcal{F}=\left \{ \emptyset,\left \{ a.c.e \right \} ,\left \{ b,d,f \right \} ,\Omega \right \}$ y sea $X(\omega)=\omega$. Determina si $X$ es una variable aleatoria y justifica por qué.
  • Sea $A$ un evento, es decir, $A\in\mathcal{F}$ y sea $X$ una función tal que $$\\ X(\omega)= \left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si }\omega\in A \\ 0 & \mbox{si }\omega\notin A \end{matrix} \right.$$ demuestra que $X$ es una variable aleatoria..
  • Sean $X$ y $Y$ variables aleatorias, demuestra que:
    • $X+Y$ es una variable aleatoria.
    • $XY$ es una variable aleatoria.
    • Si $Y\neq0$ entonces $X/Y$ es variable aleatoria.

Más adelante…

Para especificar las probabilidades de los valores de las variables aleatorias tan diversificadas y poder especificarlas de la misma manera, introducimos a continuación en la teoría de la probabilidad el concepto de función de distribución de una variable aleatoria.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad de la función inversa

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Introducción

Esta entrada será la última referente a la funciones continuas y se hará el estudio de las condiciones necesarias para que, dada una función continua, su inversa también sea continua. Para lograr nuestro objetivo, haremos uso de los conceptos revisados en la entrada anterior e iniciaremos retomando la definición de intervalo y probaremos un teorema que nos permite caracterizarlos.

Intervalos

Anteriormente, se había dado la siguiente definición de intervalos.

Definición: Sean $a,b \in \r$. Definimos los siguientes intervalos en $\RR$ como sigue:

  • Intervalo cerrado:
    \[
    [a,b]=\left\{x : a \leq x \leq b\right\}
    \]
  • Intervalo abierto
    \[
    (a,b)=\left\{x : a < x < b\right\}
    \]
  • Semiabierto por la izquierda/ Semicerrado por la derecha
    \[
    (a,b]=\left\{x : a < x \leq b\right\}
    \]
  • Semiabierto por la derecha/ Semicerrado por la izquierda
    \[
    [a,b)=\left\{x : a \leq x < b\right\}
    \]

Ahora revisaremos un teorema que nos permite caracterizar a los intervalos y éste nos dice que si se toman cualesquiera dos puntos de un intervalo $A$, entonces el intervalo generado por tales puntos está contenido dentro de $A$.

Teorema. Si $A$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$ que contiene al menos dos puntos y tiene la propiedad

$$\text{si } x, y \in A \quad \Rightarrow \quad [x,y] \subseteq A \tag{1}$$

Entonces $A$ es un intervalo.

Demostración.

La demostración se divide en cuatro casos de acuerdo a si está o no acotado.

  • Caso 1. $A$ está acotado
    Dado que $A$ está acotado y $A \neq \varnothing$, podemos definir el supremo y el ínfimo. Sean $a = infA$ y $b = supA$. Entonces $A \subseteq [a,b]$. Nos enfocaremos en demostrar que $(a,b) \subseteq A$.

    Si $z \in (a,b)$, es decir, $a<z<b$, entonces $z$ no es cota inferior de $A$, por lo que existe $x \in A$ tal que $x<z$. De la misma forma, $z$ no es una cota superior de $A$, por lo que existe $y \in A$ tal que $z<y.$ Por lo tanto, $z \in [x,y]$ y por $(1)$ se tiene que $z \in A$. Puesto que $z$ es un elemento arbitrario de $(a,b)$ podemos concluir que $(a,b) \subseteq A$.

    Notemos que si $a \in A$ y $b \in A$, se tiene que $A= [a,b]$ pues $a$ y $b$ son el ínfimo y supremo respectivamente. Si $a \notin A$ y $b \notin A$, entonces $A = (a,b)$. Si $a \notin A$ y $b \in A$, entonces $A = (a,b]$. Finalmente, si $a \in A$ y $b \notin A$, entonces $A = [a,b)$.

  • Caso 2. $A$ está acotado superiormente pero no inferiormente.
    Definimos $b = supA$. Entonces $A \subseteq (- \infty, b]$. Veremos que $(- \infty, b) \subseteq A$.

    Si $z \in (- \infty, b)$, es decir $z<b$, entonces no es cota superior, por lo que existe $y \in A$ tal que $z < y$, además dado que $A$ no está acotado inferiormente, existe $x \in A$ tal que $x < z$. De esta forma, gracias a $(1)$ se tiene que $z \in [x,y] \subseteq A$. Dado que $z$ es un elemento arbitrario de $(- \infty, b)$, entonces $(-\infty, b) \subseteq A$.

    Notemos que si $b \in A$, entonces $A = (- \infty, b]$ y si $b \notin A$, entonces $A = (- \infty, b)$.

  • Caso 3. $A$ está acotado inferiormente pero no superiormente
    La prueba es análoga al caso 2.

  • Caso 4. $A$ no está acotado inferiormente ni superiormente.
    La prueba es muy similar a la de los casos anteriores por lo cual se dejará como tarea moral.

$\square$

Notemos que el regreso también es cierto, es decir, si $A$ es un intervalo, entonces cumple $(1)$ y la demostración también quedará como tarea moral.

Continuidad de la función inversa

El siguiente teorema nos indica que una función continua mapea intervalos en intervalos, es decir, los preserva.

Teorema (Preservación de intervalos). Sea $I$ un intervalo y sea $f: I \to \mathbb{R}$ continua en $I$. Entonces el conjunto $f(I)$ es un intervalo.

Demostración.

Sean $y_1$, $y_2 \in f(I)$ tal que $y_1 < y_2$, entonces existen los puntos $x_1$, $x_2$ tal que $y_1 = f(x_1)$ y $y_2 = f(x_2)$. Por el teorema del valor intermedio, se tiene que si $y \in [y_1,y_2]$, entonces existe $x \in I$ tal que $y = f(x) \in f(I)$. Por lo tanto, se tiene que $[y_1,y_2] \subseteq f(I)$ y por el teorema de caracterización de intervalos, se concluye que $f(I)$ es un intervalo.

$\square$

Ahora veremos que la monotonía también se preserva bajo la función inversa.

Proposición. Si $f: A \to \mathbb{R}$ es una función estrictamente creciente, entonces $f^{-1}: f(A) \to \mathbb{R}$ también es estrictamente creciente. Si $f$ es estrictamente decreciente, $f^{-1}$ también lo es.

Demostración.

Sea $f$ un función estrictamente creciente y sean $y_1$, $y_2 \in f(A)$ tal que $y_1<y_2$ y sean $x_1 = f^{-1}(y_1)$, $x_2 = f^{-1}(y_2)$.

Supongamos que $x_2 < x_1$, pero $f$ es creciente lo que implica que $y_2 = f(x_2) < f(x_1) = y_1$ lo cual es una contradicción pues $y_1<y_2$. Por lo tanto, $f^{-1}(y_1)=x_1 < x_2 = f^{-1}(y_2)$. Por lo tanto $f^{-1}$ es estrictamente creciente.

La prueba es análoga para el caso donde $f$ es estrictamente decreciente.

$\square$

Los últimos dos teoremas de la entrada hacen referencia a las condiciones que deben estar presentes para que la inversa de una función continua también sea continua.

Teorema. Si $I$ es un intervalo y $f: I \to \mathbb{R}$ es estrictamente monótona, entonces $f^{-1}$ es continua.

Demostración.

Por la proposición anterior tenemos que $f^{-1}: f(I) \to \mathbb{R}$ también es estrictamente monótona y sabemos que $f(I)$ es un intervalo. Por el teorema revisado en la entrada anterior, concluimos que $f^{-1}$ también es continua.

$\square$

Teorema. Si $I$ es un intervalo y $f: I \to \mathbb{R}$ es continua e inyectiva, entonces $f^{-1}$ es continua.

Demostración.

Por lo revisado en la entrada anterior, sabemos que si $f$ es continua e inyectiva, entonces es estrictamente monótona y se sigue por el teorema anterior que $f^{-1}$ es continua.

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Prueba el caso 4 para el teorema de preservación de intervalos.
  • Prueba que si $A$ es un intervalo con al menos dos puntos, entonces se cumple que
    $$\text{si } x, y \in A \quad \Rightarrow \quad [x,y] \subseteq A, \tag{1}$$
  • Sea $I$ un intervalo y sea $f: I \to \mathbb{R}$ una función inyectiva. Menciona qué relación existe entre las siguiente condiciones:
    • $f$ es continua
    • $f(I)$ es un intervalo
    • $f$ es estrictamente monótona
    • $f^{-1}$ es continua

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos inicio a una nueva unidad y entraremos a uno de los temas más famosos del cálculo: la derivada. Dentro de esta nueva unidad, veremos a profundidad la definición de derivada así como su interpretación geométrica y sus propiedades. Una vez se conozcan los fundamentos teóricos, se verán aplicaciones que existen en diversos campos tales como la economía, la física, etc.

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