Archivo de la categoría: Matemáticas

Posts de matemáticas, la ciencia más cercana a las artes.

Álgebra Lineal I: Determinantes en sistemas de ecuaciones lineales y regla de Cramer

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

5 respuestas

Introducción

Con la teoría que hemos desarrollado acerca de espacios vectoriales, de determinantes y con las herramientas que hemos adquirido para calcularlos, podemos volver a visitar el tema de sistemas de ecuaciones lineales y verlo desde una perspectiva más completa. Los determinantes en sistemas de ecuaciones lineales nos sirven para varias cosas.

Por un lado, sirven para encontrar el rango de una matriz. El rango está relacionado con la dimensión del espacio de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones. Esto es parte del contenido del importante teorema de Rouché-Capelli que enunciaremos y demostraremos.

Por otro lado, cuando tenemos sistemas lineales con matriz asociada cuadrada e invertible, podemos usar determinantes para encontrar las soluciones. A esto se le conoce como las fórmulas de Cramer o la regla de Cramer. También enunciaremos y demostraremos esto. La regla de Cramer es parcialmente útil en términos prácticos, pues para sistemas concretos conviene más usar reducción gaussiana. Sin embargo, es muy importante en términos teóricos, cuando se quieren probar propiedades de las soluciones a un sistema de ecuaciones.

Rango de una matriz y determinantes

Recuerda que el rango de una matriz $A$ en $M_{m,n}(F)$ es, por definición, la dimensión del espacio vectorial que es la imagen de la transformación $X\mapsto AX$ de $F^n\to F^m$. Anteriormente, mostramos que esto coincide con la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores columna de $A$. Como el rango de una matriz coincide con su transpuesta, entonces también es la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores fila de $A$.

Lo que veremos ahora es que podemos determinar el rango de una matriz $A$ calculando algunos determinantes de matrices pequeñas asociadas a $A$. Una submatriz de $A$ es una matriz que se obtiene de eliminar algunas filas o columnas de $A$.

Teorema. Sea $A$ una matriz en $M_{m,n}(F)$. El rango de $A$ es igual al tamaño de la submatriz cuadrada más grande de $A$ que sea invertible.

Demostración. Llamemos $C_1,\ldots,C_n$ a las columnas de $A$. Sabemos que $$r=\dim \text{span}(C_1,\ldots,C_n).$$

Mostraremos primero que hay una submatriz cuadrada de tamaño $r$. Por el lema de Steinitz, podemos escoger $r$ enteros $1\leq i_1<\ldots<i_r\leq n$ tal que las columnas $C_{i_1},\ldots,C_{i_r}$ de $A$ cumplen $$\text{span}(C_1,\ldots,C_n)=\text{span}(C_{i_1},\ldots,C_{i_r}).$$ Así, la matriz $B$ hecha por columnas $C_{i_1},\ldots,C_{i_r}$ está en $M_{m,r}(F)$ y es de rango $r$.

Ahora podemos calcular el rango de $B$ por filas. Si $F_1,\ldots,F_m$ son las filas de $B$, tenemos que $$r=\dim \text{span}(F_1,\ldots,F_m).$$ De nuevo, por el lema de Steinitz, existen enteros $1\leq j_1<\ldots<j_r\leq m$ tales que $$\text{span}(F_1,\ldots,F_m)=\text{span}(F_{i_1},\ldots,F_{i_r}).$$ De esta forma, la matriz $C$ hecha por las filas $F_{j_1},\ldots,F_{j_r}$ está en $M_r(F)$ y es de rango $r$. Por lo tanto, $C$ es una matriz cuadrada de tamaño $r$ y es invertible.

Esta matriz $C$ es una submatriz de $A$ pues se obtiene al eliminar de $A$ todas las columnas en posiciones distintas a $i_1,\ldots,i_r$ y todas las filas en posiciones distintas a $j_1,\ldots,j_r$. Esto muestra una parte de lo que queremos.

Ahora mostraremos que si $B$ es una submatriz de $A$ cuadrada e invertible de tamaño $d$, entonces $d\leq r$. En efecto, tomemos una $B$ así. Sus columnas son linealmente independientes. Si $i_1<\ldots<i_n$ corresponden a los índices de las columnas de $A$ que se preservan al pasar a $B$, entonces las columnas $C_{i_1},\ldots,C_{i_d}$ de $A$ son linealmente independientes, ya que si hubiera una combinación no trivial de ellas igual a cero, entonces la habría de las columnas de $B$, lo cual sería una contradicción a que son linealmente independientes.

De esta forma,
\begin{align*}
d&=\dim \text{span}(C_{i_1},\ldots,C_{i_d})\\
&\leq \dim \text{span} (C_1,\ldots,C_d)\\
&=r,
\end{align*}

que es la desigualdad que nos faltaba para terminar la prueba.

$\square$

Ejemplo. Supongamos que queremos encontrar el rango de la siguiente matriz en $M_{3,5}(\mathbb{R})$: $$A=\begin{pmatrix}4 & 5 & -4 & 7 & 2\\ 0 & -3 & -1 & 0 & 9\\ 0 & -5 & 0 & 9 & -3 \end{pmatrix}.$$

Por propiedades de rango que vimos anteriormente, ya sabemos que su rango es a lo más el mínimo de sus dimensiones, así que su rango es como mucho $\min(3,5)=3$.

Por otro lado, notemos que si eliminamos la segunda y cuarta columnas, entonces obtenemos la submatriz cuadrada $$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 2\\ 0 & -1 & 9\\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}.$$ Esta es una matriz triangular superior, así que su determinante es el producto de las diagonales, que es $4\cdot (-1)\cdot (-3)=12$.

Como el determinante no es cero, es una matriz invertible de tamaño $3$. Por la proposición anterior, el rango de $A$ debe ser entonces mayor o igual a $3$. Juntando las dos desigualdades que encontramos, el rango de $A$ debe ser igual a $3$.

$\triangle$

Estas ideas nos servirán al aplicar determinantes en sistemas de ecuaciones.

Teorema de Rouché-Capelli

Recordemos que un sistema lineal de ecuaciones con $m$ ecuaciones y $n$ incógnitas es de la forma

\begin{align*}
a_{11}x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &= b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &= b_2\\
\vdots&\\
a_{m1}x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn}x_n &= b_m,
\end{align*}

lo cual se puede reescribir en términos matriciales tomando una matriz, un vector de escalares y un vector de incógnitas así:
\begin{align*}
A&=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},\\
b&=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m\end{pmatrix} \text{ y }\; X=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix},
\end{align*} y reescribiendo el sistema como $$AX=b.$$

Si $C_1,\ldots, C_n$ son las columnas de la matriz $A$, también sabemos que $$AX=x_1C_1+\ldots + x_nC_n,$$ de modo que el sistema de ecuaciones puede ser escrito como $$x_1C_1+\ldots + x_nC_n=b.$$

Esto nos da una intuición fuerte de lo que es un sistema lineal de ecuaciones: se trata de determinar si $b$ está en el espacio generado por las columnas de $A$, y si es así, ver todas las formas en las que podemos obtenerlo.

El teorema de la sección anterior nos permite aplicar determinantes en sistemas de ecuaciones lineales mediante el siguiente resultado.

Teorema (Rouché-Capelli). Sean $A\in M_n(F)$ y $b\in F^m$. Sea $(A|b)$ la matriz en $M_{n,n+1}(F)$ obtenida de agregar a $b$ como columna hasta la derecha de la matriz $A$. Entonces:

  • El sistema lineal de ecuaciones $AX=b$ tiene al menos una solución si y sólo si $\rank(A)=\rank((A|b))$.
  • El conjunto de soluciones $\mathcal{S}_h$ al sistema homogéneo es un subespacio de $F^n$ de dimensión $n-\rank(A)$.

Demostración. Por la discusión previa, el sistema tiene una solución si y sólo si $b$ es una combinación lineal de las columnas de $A$. De esta forma, si existe una solución, entonces $\rank(A)=\rank((A|b))$, pues el espacio generado por las columnas de $A$ sería el mismo que el de las columnas de $(A|b)$.

Por otro lado, si $\rank(A)=\rank((A|b))$ es porque las columnas de $A$ y las de $(A|b)$ generan el mismo espacio, de modo que $b$ está en el espacio vectorial generado por las columnas. Esto prueba la primer parte.

Para la segunda parte, el sistema homogéneo es $AX=0$, de modo que el conjunto solución es precisamente el kernel de la transformación $T:F^n\to F^m$ tal que $X\mapsto AX$. Por el teorema de rango-nulidad, tenemos que $$\dim \mathcal{S}_h = n-\dim \text{Im}(T)=n-\text{rank}(A).$$ Esto termina la demostración.

$\square$

Como discutimos con anterioridad, ya que tenemos una solución $x_0$ para el sistema de ecuaciones $AX=b$, entonces todas las soluciones son el conjunto $$x_0+\mathcal S_h:=\{x_0 + x: x\in \mathcal S_h\}.$$ En otras palabras, cualquier solución al sistema se puede obtener sumando a $x_0$ una solución al sistema lineal homogéneo asociado.

Ejemplo. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones en $\mathbb{R}$ en tres variables:
\begin{align*}
2x+3y-z=1\\
3x-y+2z=0\\
3x+10y-5z=0
\end{align*}

Afirmamos que el sistema no tiene solución. La matriz asociada es $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\ 3 & -1 & 2 \\ 3 & 10 & -5\end{pmatrix}$. Por lo que sabemos de determinantes de $3\times 3$, podemos calcular su determinante como
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
2 & 3 & -1\\ 3 & -1 & 2 \\ 3 & 10 & -5
\end{vmatrix} &= (2)(-1)(-5)+(3)(10)(-1)+(3)(3)(2)\\
&-(-1)(-1)(3)-(2)(10)(2)-(3)(3)(-5)\\
&=10-30+18-3-40+45\\
&=0.
\end{align*}

Esto muestra que $A$ no es invertible, y que por lo tanto tiene rango a lo más $2$. Como $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1)-(3)(3)=-11$$ es un subdeterminante no cero de tamaño 2, entonces $A$ tiene rango $2$.

Ahora consideremos la matriz $$(A|b)=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & 10 & -5 & 0\end{pmatrix}.$$ Eliminemos la tercer columna. Podemos calcular al siguiente subdeterminante de $3\times 3$ por expansión de Laplace en la última columna:

\begin{align*}
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 1\\ 3 & -1 & 0 \\ 3 & 10 & 0
\end{vmatrix} &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 10 \end{vmatrix} – 0 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}\\
&= 1 \cdot (3\cdot 10 + 1\cdot 3)\\
&=33.
\end{align*}

De esta forma, $(A|b)$ tiene una submatriz de $3\times 3$ invertible, y por lo tanto tiene rango al menos $3$. Como tiene $3$ filas, su rango es a lo más $3$. Con esto concluimos que su rango es exactamente $3$. Conluimos que $$\text{rank} A = 2 \neq 3 = \text{rank} (A|b),$$ de modo que por el teorema de Rouché-Capelli, el sistema de ecuaciones no tiene solución.

$\triangle$

Antes de ver un ejemplo en el que el sistema sí tiene solución, pensemos qué sucede en este caso. Si la matriz $A$ es de rango $r$, por el teorema de la sección pasada podemos encontrar una submatriz cuadrada $B$ de tamaño $r$ que es invertible. Tras una permutación de las variables o de las ecuaciones, podemos suponer sin perder generalidad que corresponde a las variables $x_1,\ldots,x_r$ y a las primeras $r$ ecuaciones. De esta forma, el sistema $AX=b$ se resume en el siguiente sistema de ecuaciones equivalente:

\begin{align*}
a_{11}x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1r}x_r &= b_1-a_{1,r+1}x_{r+1}-\ldots -a_{1,n} x_n\\
a_{21}x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2r}x_r &= b_2-a_{2,r+1}x_{r+1}-\ldots -a_{2,n} x_n\\
\vdots\\
a_{r1}x_1 + a_{r2} x_2 + \ldots + a_{rr}x_r &= b_m-a_{r,r+1}x_{r+1}-\ldots -a_{r,n} x_n,
\end{align*}

Aquí $x_{r+1},\ldots,x_n$ son lo que antes llamábamos las variables libres y $x_1,\ldots,x_r$ son lo que llamábamos variables pivote. Como la submatriz $B$ correspondiente al lado izquierdo es invertible, para cualquier elección de las variables libres podemos encontrar una única solución para las variables pivote. Ya habíamos probado la existencia y unicidad de cierta solución. Pero de hecho, hay una forma explícita de resolver sistemas de ecuaciones correspondientes a matrices cuadradas. Esto es el contenido de la siguiente sección.

Fórmulas de Cramer para sistemas cuadrados

El siguiente teorema es otra aplicación de determinantes en sistemas de ecuaciones lineales. Nos habla de las soluciones de un sistema lineal $AX=b$ en donde $A$ es una matriz cuadrada e invertible.

Teorema (fórmulas de Cramer). Sea $A$ una matriz invertible en $M_n(F)$ y $b=(b_1,\ldots,b_n)$ un vector en $F^n$. Entonces el sistema lineal de ecuaciones $AX=b$ tiene una única solución $X=(x_1,\ldots,x_n)$ dada por $$x_i=\frac{\det A_i}{\det A},$$ en donde $A_i$ es la matriz obtenida al reemplazar la $i$-ésima columna de $A$ por el vector columna $b$.

Demostración. La existencia y unicidad de la solución ya las habíamos mostrado anteriormente, cuando vimos que la única solución está dada por $$X=(x_1,\ldots,x_n)=A^{-1}b.$$

Si $C_1,\ldots,C_n$ son las columnas de $A$, que $(x_1,\ldots,x_n)$ sea solución al sistema quiere decir que $$x_1C_1+\ldots+x_nC_n=b.$$

El determinante pensado como una función en $n$ vectores columna es $n$-lineal, de modo que usando la linealidad en la $i$-ésima entrada y que el determinantes es alternante, tenemos que:
\begin{align*}
\det A_i &= \det(C_1,\ldots,C_{i-1},b,C_{i+1},\ldots,C_n)\\
&= \det(C_1,\ldots,C_{i-1},\sum_{j=1}^n x_j C_j,C_{i+1},\ldots,C_n)\\
&=\sum_{j=1}^n x_j \det(C_1,\ldots,C_{i-1},C_j,C_{i+1},\ldots,C_n)\\
&=x_i \det(C_1,\ldots,C_{i-1},C_i,C_{i+1},\ldots,C_n)\\
&=x_i \det A
\end{align*}

Como $A$ es invertible, su determinante no es $0$, de modo que $$x_i=\frac{\det A_i}{\det A},$$ como queríamos.

$\square$

Veamos un ejemplo concreto de la aplicación de las fórmulas de Cramer.

Ejemplo. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones en $\mathbb{R}$ en tres variables:
\begin{align*}
2x+3y-z=1\\
3x-y+2z=0\\
3x+10y-5z=3
\end{align*}

En un ejemplo anterior vimos que la matriz asociada $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\ 3 & -1 & 2 \\ 3 & 10 & -5\end{pmatrix}$ tiene rango $2$. Se puede verificar que la matriz aumentada $$(A|b)=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & 10 & -5 & 3 \end{pmatrix}$$ también tiene rango $2$. Por el teorema de Rouché-Capelli, debe existir una solución al sistema de ecuaciones $AX=b$, y el sistema homogéneo tiene espacio de soluciones de dimensión $3-2=1$.

Como la submatriz de las primeras dos filas y columnas es invertible por tener determinante $2(-1)-(3)(3)=-11\neq 0$, entonces el sistema de ecuaciones original es equivalente al subsistema

\begin{align*}
2x+3y=1+z\\
3x-y=-2z.
\end{align*}

Para encontrar su solución, fijamos una $z$ arbitraria. Usando la regla de Cramer, la solución al sistema

está dada por
\begin{align*}
x&=\frac{\begin{vmatrix} 1+z & 3 \\ -2z & -1 \end{vmatrix}}{-11}=\frac{1-5z}{11}\\
y&=\frac{\begin{vmatrix} 2 & 1+z \\ 3 & -2z \end{vmatrix}}{-11}=\frac{3+7z}{11}.
\end{align*}

De esta forma, las soluciones al sistema original están dadas por $$\left(\frac{1-5z}{11}, \frac{3+7z}{11},z\right)=\left(\frac{1}{11},\frac{3}{11},0\right) + z \left(-\frac{5}{11},\frac{7}{11},1\right).$$

Observa que en efecto el espacio de soluciones del sistema homogéneo es de dimensión $1$, pues está generado por el vector $$\left(-\frac{5}{11},\frac{7}{11},1\right),$$ y que todas las soluciones al sistema original son una de estas soluciones, más la solución particular $$\left(\frac{1}{11},\frac{3}{11},0\right).$$

$\square$

Para terminar, veamos un ejemplo muy sencillo de cómo usar las fórmulas de Cramer en un sistema de ecuaciones de $2\times 2$ con un parámetro $\theta$. La intepretación geométrica del siguiente sistema de ecuaciones es «encuentra el punto $(x,y)$ del plano tal que al rotarse en $\theta$ alrededor del origen, llega al punto $(a,b)$ » .

Problema. Sea $a,b,\theta$ números reales. Encuentra las soluciones $x,y$ al sistema de ecuaciones
\begin{align*}
x \cos \theta – y \sin \theta = a\\
x \sin \theta + y \cos \theta = b.
\end{align*}

Solución. La matriz asociada al sistema es $$A=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}$$ que tiene determinante $$\det A = \cos ^2 \theta + \sin^2 \theta = 1.$$

De acuerdo al teorema de Cramer, las soluciones al sistema están dadas por:

\begin{align*}
x&=\frac{\begin{vmatrix}a & -\sin \theta\\ b & \cos \theta \end{vmatrix}}{\det A} = a\cos \theta + b\sin \theta\\
y&=\frac{\begin{vmatrix}\cos \theta & a \\ \sin \theta & b \end{vmatrix}}{\det A} = b\cos \theta – a\sin \theta.
\end{align*}

$\triangle$

Hay herramientas en línea que te permiten ver de manera interactiva cómo usar las fórmulas de Cramer para sistemas de ecuaciones en los reales. Una de ellas es el Cramer’s Rule Calculator de matrix RESHISH, en donde puedes ver la solución por pasos para ejemplos que tú fijes.

Más adelante…

En esta entrada volvimos a hablar de sistemas de ecuaciones lineales, pero ahora que ya sabemos determinantes, pudimos verlo con un enfoque diferente al que habíamos utilizado para abordar el tema en la primera unidad. También hablamos de la regla de Cramer, una herramienta muy poderosa cuando estamos intentando resolver sistemas de ecuaciones.

Ahora, vamos a ver cómo se usa lo que vimos en esta entrada resolviendo varios ejemplos. Después, empezaremos a abordar el tema de eigenvalores y eigenvectores.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Determina el rango de la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \\ 5 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}.$$
  • Para la matriz $A$ del inciso anterior, resuelve los sistemas de ecuaciones lineales $AX=\begin{pmatrix}5\\8\\3\\2\end{pmatrix}$ y $AX=\begin{pmatrix}5\\8\\13\\-3\end{pmatrix}$.
  • Verifica que la matriz aumentada en el último ejemplo en efecto tiene rango $2$.
  • Muestra que si $A$ es una matriz en $M_n(\mathbb{R})$ con entradas enteras y de determinante $1$, y $b$ es un vector en $R^n$ con entradas enteras, entonces la solución $X$ del sistema de ecuaciones $AX=b$ tiene entradas enteras.
  • ¿Cómo puedes usar la regla de Cramer para encontrar la inversa de una matriz invertible $A$?
  • Considera un sistema de ecuaciones con coeficientes en un campo $F_1$ y una extensión de campo $F_2$. Muestra que si el sistema tiene una solución en $F_2$, entonces también tiene una solución en $F_1$.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Seminario de Resolución de Problemas: Series telescópicas

Por Fabian Ferrari

2 respuestas

Introducción

En la entrada anterior vimos las series geométricas y su uso para la resolución de problemas específicos. En esta sección trataremos otro tipo de series que resultan de utilidad al momento de resolver problemas, este tipo de series son muy utilizadas en problemas de cálculo.

Series Telescópicas

Dada una sucesión $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ decimos que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})$ es telescópica por la forma de sus sumas parciales.

\begin{align*}
\sum_{n=1}^N(a_n-a_{n+1})&=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+…+(a_{N-1}-a_N)+(a_N-a_{N+1})\\
&=a_1-a_{N+1}
\end{align*}

Notemos que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})$ converge solo si la sucesión es convergente.

Ejemplos de series telescópicas convergentes y no convergentes.

Determina el resultado de la serie $\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n(n+1)} \right)$.

A simple vista, la serie que se nos presenta no parece ser telescópica. Sin embargo, si cambiamos un poco la estructura de $\frac{1}{n(n+1)}$ podemos notar que

\begin{equation*}
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
\end{equation*}

Con esto tenemos que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n(n+1)}\right)=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
\end{equation*}

Con esta última expresión, podemos observar que la serie es telescópica dado que su suma parcial queda de la siguiente manera

\begin{align*}
\sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\\
&=1-\frac{1}{N+1}
\end{align*}

Pero como queremos la serie con límite superior infinito, basta con que calculemos el límite cuando $N\to\infty$ de la suma parcial.

\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n(n+1)}\right)&=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\
&=\lim_{N\to\infty} \left( 1-\frac{1}{N+1}\right)=1
\end{align*}

En este ejemplo la serie resulta ser convergente dado que la sucesión $\{ \frac{1}{n(n+1)} \}$ es convergente.

$\square$

Un segundo ejemplo es si queremos calcular la $\sum_{n=1}^\infty (3n^2+3n+1)$.

La serie diverge ya que la sucesión$\{3n^2+3n+1\}$ diverge. Sin embargo, eso no nos impide poder calcular la suma parcial $\sum_{n=1}^N (3n^2+3n+1)$

En principio, $\sum_{n=1}^N (3n^2+3n+1)$ no parece ser telescópica, pero podemos modificar el problema, para verla como una serie telescópica.

Tenemos que
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^N (3n^2+3n+1)=\sum_{n=1}^N (n^3-n^3+3n^2+3n+1)
\end{equation*}

Como estamos sumando un cero a la expresión, no alteramos el problema.

Así que

\begin{align*}
\sum_{n=1}^N (n^3-n^3+3n^2+3n+1)&=\sum_{n=1}^N (n^3+3n^2+3n+1-n^3)\\
&=\sum_{n=1}^N [(n+1)^3-n^3]
\end{align*}

La serie $\sum_{n=1}^N [(n+1)^3-n^3]$ tiene forma telescópica, así que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^N [(n+1)^3-n^3]=(N+1)^3-1=N^3+3N^2+3N
\end{equation*}

$\square$

La suma de los primeros $n$ números naturales impares.

Sabemos que un número impar es de la forma $2n+1$ o $2n-1$. y podemos conjeturar observando el patrón de las sumas parciales de $\sum_{n=1}^N(2n-1)$, lo siguiente.

\begin{align*}
&1=1\\
&1+3=4\\
&1+3+5=9\\
&1+3+5+7=16\\
&\vdots\\
&1+3+5+…+(2N-1)=N^2
\end{align*}

Ahora, la idea es probar que esto es cierto aplicando el concepto de series telescópicas.

Tenemos que $\sum_{n=1}^N(2n-1)=1+\sum_{n=1}^{N-1}(2n+1)$

Fijémonos en $\sum_{n=1}^{N-1}(2n+1)$, la cual podemos expresar de la siguiente manera

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N-1}(2n+1)&=\sum_{n=1}^{N-1}(n^2+2n+1-n^2)
&=\sum_{n=1}^{N-1}[(n+1)^2-n^2]
\end{align*}

Observemos que $\sum_{n=1}^{N-1}[(n+1)^2-n^2]$ es telescópica y tenemos que

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N-1}[(n+1)^2-n^2]&=(N-1)+1)^2-1\\
&=N^2-1
\end{align*}

Así,

$\sum_{n=1}^N(2n-1)=1+N^2-1=N^2$

Por lo tanto nuestra conjetura queda probada y resulta ser verdadera.

$\square$

Un problema en el que intervienen las fracciones parciales

Problema: Determina la serie $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4n^2-1}\right)$

Solución: Notemos que

\begin{align*}
\frac{1}{4n^2-1}&=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\\
&=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}
\end{align*}

Resolviendo un sistema de ecuaciones, tenemos que $A=1/2$ y $B=-1/2$, por lo que

\begin{align*}
\frac{1}{4n^2-1}&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)
\end{align*}

Así, tenemos que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4n^2-1}\right)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)
\end{equation*}

Tenemos que $\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$ es telescópica, por lo que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=1-\frac{1}{2N+1}
\end{equation*}

Y tenemos que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)=\lim_{N\to\infty} \left(1-\frac{1}{2N+1}\right)=1
\end{equation*}

Por lo tanto

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4n^2-1} \right)=\frac{1}{2}(1)=\frac{1}{2}
\end{equation*}

$\square$



Más problemas

Puedes encontrar más problemas de series telescópicas en la sección 5.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

MCD y factorización de polinomios

Por Claudia Silva

Deja un comentario

Introducción

En esta entrada practicaremos como calcular el Máximo Común Divisor de un número haciendo uso del algoritmo de Euclides, además usaremos nuestros procedimientos para poder expresar el MCD como una combinación lineal de nuestros polinomios originales.

Ya conociendo el MCD de dos polinomios y el algoritmo de Euclides, pasaremos a hacer unos ejercicios que impliquen encontrar el MCD mediante ese método, así como factorización de polinomios en que usaremos herramientas como el Teorema del factor.

Problemas de Máximo Común Divisor

Problemas de factorización

Más adelante…

Entre otras cosas, en esta entrada practicamos cómo factorizar polinomios, este concepto será sumamente importante para poder estudiar el concepto de irreductibilidad, y más adelante el de primalidad, por lo que, aunque en general no es sencillo, sí es importante que tengamos herramientas para factorizar polinomios.

Tarea moral

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal I: Problemas de definición y propiedades de determinantes

Por Blanca Radillo

3 respuestas

Introducción

En esta entrada haremos una serie de problemas que nos ayudarán como repaso de los temas vistos durante las últimas dos semanas. Mostraremos algunas propiedades bastante interesantes acerca de las transformaciones alternantes y antisimétricas, así como de la transformación estrella de esta semana: el determinante.

Problemas de transformaciones antisimétricas

En la entrada del miércoles 6 de mayo, hablábamos sobre la equivalencia entre transformaciones alternantes y antisimétricas, justo resaltamos que ésto no es cierto si el campo $F$ es $\mathbb{Z}_2$, y el siguiente ejemplo lo expone:

Ejemplo. Sea $f:\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \rightarrow \mathbb{Z}_2$ definido como $f(x,y)=xy$. Claramente $f$ es bilineal, pero no es alternate ya que $f(1,1)=1\neq 0$. Por otro lado, $f$ es antisimétrica, porque $f(x,y)+f(y,x)=xy+yx=2xy=0$.

$\triangle$

De manera natural surge la pregunta: ¿cómo podemos construir una transformación $d$-lineal antisimétrica o alternante? El siguiente problema muestra un camino para obtener una transformación antisimétrica dada un mapeo $d$-lineal $f$.

Problema. Sea $f:V^d \rightarrow W$ una transformación $d$-lineal. Demuestra que

$A(f):=\sum_{\sigma \in S_d} \text{sign}(\sigma) \sigma (f)$

es un mapeo $d$-lineal antisimétrico.

Solución. Es fácil ver que $A(f)$ es una transformación $d$-lineal, dado que $A(f)$ es una combinación lineal de mapeos $d$-lineales. Queremos probar que, para $\tau \in S_d$, $\tau (A(f))=\text{sign}(\tau) A(f)$. Notemos que

\begin{align*}
\tau(A(f)) &= \sum_{\sigma \in S_d} \text{sign}(\sigma) \tau(\sigma(f)) \\
&= \sum_{\sigma \in S_d} \text{sign}(\sigma) (\tau\sigma)(f).
\end{align*}

Usando el hecho que $\text{sign}(\tau)\text{sign}(\sigma)=\text{sign}(\tau\sigma)$ y que $\{ \tau \sigma : \sigma \in S_d \}=S_d$, obtenemos que

\begin{align*}
\text{sign}(\tau)\tau(A(f)) &= \sum_{\sigma \in S_d} \text{sign}(\tau\sigma) (\tau\sigma)(f) \\
&= \sum_{\eta \in S_d} \text{sign}(\eta) (\eta)(f) =A(f).
\end{align*}

Por lo tanto, $\tau(A(f))=\text{sign}(\tau)A(f)$.

$\square$

Problemas de determinantes

Ahora continuando con la discusiones del determinante, sabemos que éste es una forma $n$-lineal alternante, y además que cualquier otra forma $n$-lineal alternante varía de $\det(b_1,\ldots,b_n)$ únicamente por un factor multiplicativo. Otro resultado interesante ese teorema es el siguiente:

Problema 1. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $F$ de dimensión finita. Sea $e_1,\ldots,e_n$ una base de $V$ y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal. Demuestra que para todo $v_1,\ldots,v_n\in V$ tenemos que

$\sum_{i=1}^n \det(v_1,\ldots,v_{i-1},T(v_i),v_{i+1},\ldots, v_n) =\text{Tr}(T)\cdot \det(v_1,\ldots,v_n),$

donde todos los determinantes están calculados en la base canónica y $\text{Tr}(T)$ es la traza de la matriz de $T$ (con respecto a la base canónica).

Solución. Definimos el mapeo $\phi:V^n\rightarrow F$ como

$\phi(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{i=1}^n \det(v_1,\ldots,v_{i-1},T(v_i),v_{i+1},\ldots,v_n).$

Esta transformación es la suma de transformaciones $n$-lineales, por lo tanto $\phi$ es $n$-lineal. Más aún, es alternante, ya que si asumimos, por ejemplo, que $v_1=v_2$, entonces

\begin{align*}
\phi(v_1,v_1,v_3,\ldots,v_n) &=\det(T(v_1),v_1,v_3,\ldots,v_n)+ \det(v_1,T(v_1),v_3,\ldots,v_n) \\
&+ \sum_{i=3}^n \det(v_1,v_1,\ldots,v_{i-1},T(v_i),v_{i+1},\ldots,v_n) \\
&= \det(T(v_1),v_1,v_3,\ldots,v_n)+ \det(v_1,T(v_1),v_3,\ldots,v_n) \\
&= \det(T(v_1),v_1,v_3,\ldots,v_n)- \det(T(v_1),v_1,v_3,\ldots,v_n) \\
&=0,
\end{align*}

debido a que el determinante es antisimétrico.

Por el último teorema visto en la clase del viernes pasado, existe escalar $\alpha$ tal que

$\phi(v_1,\ldots,v_n)=\alpha \det(v_1,\ldots,v_n)$

para todo $v_1,\ldots,v_n$. Sea $A=[a_{ij}]$ la matriz de $T$ con respecto a la base canónica. Si tomamos $v_1=e_1,\ldots,v_n=e_n$, por el mismo teorema tenemos que

\begin{align*}
\alpha &= \phi(e_1,\ldots,e_n) \\
&=\sum_{i=1}^n \det(e_1,\ldots,e_{i-1},\sum_{j=1}^n a_{ji}e_j, e_{i+1},\ldots,e_n)\\
&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}\det(e_1,\ldots,e_{i-1},e_j,e_{i+1},\ldots,e_n) \\
&= \sum_{i=1}^n a_{ii} = \text{Tr}(T).
\end{align*}

Por lo tanto, obtenemos lo que queremos.

$\square$

Por último, los siguientes dos problemas nos ilustran como podemos obtener información de las matrices de manera fácil y «bonita», usando algunas propiedades de los determinantes vistas en la sesión del martes pasado.

Problema 2. Sea $n$ un número impar y sean $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ matrices tal que $A^2+B^2=0_n$. Prueba que la matriz $AB-BA$ no es invertible.

Solución. Notemos que

$(A+iB)(A-iB)=A^2+B^2+i(BA-AB)=i(BA-AB).$

Por la propiedad del determinante de un producto, tenemos que

$\det(A+iB)\det(A-iB)=i^n \det(BA-AB).$

Suponemos que $AB-BA$ es invertible, entonces $\det(BA-AB)\neq 0$. Además sabemos que

$\det(A-iB)=\det(\overline{A+iB})=\overline{\det(A+iB)},$

esto implica que $|\det(A+iB)|^2=i^n\det(BA-AB).$ Como consecuencia, $i^n$ es un número real, contradiciendo al hecho que $n$ es impar. Por lo tanto $\det(BA-AB)=0$.

$\square$

Problema 3. Para $1\leq i,j\leq n$, definimos $a_{ij}$ como el número de divisores positivos en común de $i$ y $j$ y definimos $b_{ij}$ igual a 1 si $j$ divide $i$ e igual a 0 si no.

  1. Probar que $A=B\cdot ^t B$, donde $A=[a_{ij}]$ y $B=[b_{ij}]$.
  2. ¿Qué podemos decir de la forma de $B$?
  3. Calcula $\det(A)$.

Solución. 1) Fijando $i,j$ tenemos que

$\det(B\cdot ^t B)_{ij}=\sum{k=1}^n b_{ik}b_{jk}.$

Notemos que $b_{ik}b_{jk}$ no es cero ($b_{ij},b_{jk}=1$) si y sólo si $k$ divide a $i$ y a $j$, esto implica que la cantidad de términos de la suma no ceros corresponde exactamente con la cantidad de los divisores en común que tengan $i$ y $j$. Por lo tanto $\det(B\cdot ^tB)_{ij}=a_{ij}$.

2) Si $i<j$, no es posible que $j$ divida a $i$. Entonces $b_{ij}=0$ para todo $i<j$, esto significa que $B$ es, al menos, triangular inferior. Un dato más que podemos asegurar es que $b_{ii}=1$ para toda $i$, por lo tanto, al menos, todos los términos de la diagonal de $B$ son iguales a 1.

3) Dada la propiedad multiplicativa del determinante, dado que $\det(B)=\det(^tB)$ y usando el inciso (1), tenemos que $\det(A)=\det(B\cdot ^tB)=(\det B)^2.$ Pero por el inciso (2), $\det B=1$, concluimos que $\det A=1$.

$\triangle$

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Seminario de Resolución de Problemas: Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

5 respuestas

Introducción

Seguimos con las entradas de temas de desigualdades. Con anterioridad ya hablamos de desigualdades básicas y de desigualdades con medias. En esta ocasión estudiaremos una desigualdad muy versátil: la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

En su versión más simple, lo que dice la desigualdad de Cauchy-Schwarz es lo siguiente.

Desigualdad (de Cauchy-Schwarz). Para cualesquiera números reales $a_1,\ldots,a_n$ y $b_1,\ldots,b_n$ se tiene que $$|a_1b_1+\ldots+a_nb_n| \leq \sqrt{a_1^2+\ldots+a_n^2} \sqrt{b_1^2+\ldots+b_n^2}.$$

Primero, veremos cómo se demuestra esta desigualdad. Luego, veremos varios problemas en los que se puede aplicar. Finalmente, hablaremos un poco de sus extensiones a espacios vectoriales.

La demostración polinomial de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Una forma de demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz es usando inducción sobre $n$. Hay otra demostración usando polinomios. Veamos esa demostración, pues tiene la idea útil de usar argumentos polinomiales para demostrar igualdades.

Consideremos la expresión $$p(t)=\sum_{i=1}^n (a_i+b_i t)^2.$$ Como es una suma de cuadrados, esta expresión es no negativa. Haciendo los cuadrados, y desarrollando la suma, podemos escribirla de la siguiente forma, que nos dice que es un polinomio cuadrático en $t$:

\begin{align*}
\sum_{i=1}^n (a_i+b_i t)^2&=\sum_{i=1}^n \left(a_i^2 + 2a_ib_i t + b_i^2 t^2\right)\\
&=\sum_{i=1}^n a_i^2 + \left(2\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)t + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)t^2.
\end{align*}

De esta forma $p(t)$ es un polinomio cuadrático y siempre toma valores no negativos. Así, a lo más puede tener una raíz $t$, por lo que su discriminante es menor o igual a $0$:

$$ \left(2\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)^2-4\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)\leq 0$$

Al pasar el segundo término sumando al otro lado y dividir entre $4$ queda

$$\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).$$

Al sacar raíz cuadrada de ambos lados hay que tener cuidado de poner un valor absoluto al lado izquierdo. Al hacer esto, se obtiene el resultado deseado: $$\left|\sum_{i=1}^n a_ib_i \right|\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}.$$

Observa que la igualdad se da si y sólo si el discriminante es $0$, lo cual sucede si y sólo si el polinomio tiene una raíz $t$. Cuando esto pasa, cada uno de los sumandos al cuadrado de $p(t)$ debe ser $0$. Así, existe un real $t$ tal que $a_i=-tb_i$ para todo $i=1,\ldots,n$. Esto lo podemos decir en términos vectoriales como que «la igualdad se da si y sólo si el vector $(a_1,\ldots,a_n)$ es un múltiplo escalar del vector $(b_1,\ldots,b_n)$ » .

Un problema sobre acotar el valor de una variable

Problema. Sean $a,b,c,d$ números reales tales que
\begin{align*}
a+b+c+d&=6\\
a^2+b^2+c^2+d^2&=12.
\end{align*}
¿Cuál es el máximo valor que puede tener $d$?

Sugerencia. Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las ternas $(a,b,c)$ y $(1,1,1)$.

Solución. Aplicando la desigualdad a las ternas $(a,b,c)$ y $(1,1,1)$ obtenemos que $$|a+b+c|\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot{\sqrt{3}}.$$ Usando las hipótesis sobre $a,b,c,d$, tenemos que esta desigualdad es equivalente a $|6-d|\leq \sqrt{3}\cdot {\sqrt{12-d^2}$. Elevando al cuadrado de ambos lados, obtenemos las desigualdades equivalentes
\begin{align*}
36-12d+d^2&\leq 3(12-d^2)\\
36-12d+d^2&\leq 36-3d^2\\
4d^2-12d&\leq 0\\
4d(d-3)&\leq 0.
\end{align*}

Para que se satisfaga esta desigualdad, tiene que pasar o bien que simultáneamente $d\leq 0$ y $d\geq 3$ (lo cual es imposible), o bien que simultáneamente $d\geq 0$ y $d\leq 3$. En conclusión, esto acota el máximo valor posible de $d$ con $3$.

En efecto, existe una solución con $d=3$. De acuerdo al caso de igualdad de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, debe pasar cuando $(a,b,c)$ es un múltiplo escalar de $(1,1,1)$, es decir, cuando $a=b=c$. Como $a+b+c+d=6$ y queremos $d=3$, esto forza a que $a=b=c=1$. Y en efecto, tenemos que con esta elección $$a^2+b^2+c^2+d^2=1+1+1+9=12.$$

$\square$

Aplicando Cauchy-Schwarz en un problema con el circunradio

A veces podemos aprovechar información implícita en un problema geométrico y combinarla con la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Veamos un problema en el que sucede esto.

Problema. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ y $p,q,r$ las distancias de $P$ a los lados $BC, CA, AB$ respectivamente, que tienen longitudes $a,b,c$, respectivamente. Sea $R$ el circunradio de $ABC$. Muestra que $$\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}.$$

Sugerencia pre-solución. Necesitarás aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz más de una vez. Haz una figura para entender la expresión $ap+bq+cr$. Necesitarás también la fórmula que dice que se puede calcular el área $T$ de un triángulo mediante la fórmula $$T=\frac{abc}{R}.$$

Solución. Lo primero que haremos es aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en las ternas $(\sqrt{ap},\sqrt{bq},\sqrt{cr})$ y $(1/\sqrt{a},1/\sqrt{b},1/\sqrt{c})$ para obtener $$\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}\leq \sqrt{ap+bq+cr}\cdot\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.$$

Observa que $ap$ es dos veces el área de $\triangle BCP$. De manera similar, tenemos que $bq$ y $cr$ son las áreas de $\triangle CAP$ y $\triangle ABP$ respectivamente. Así, si llamamos $T$ al área de $\triangle ABC$ tenemos que $ap+bq+cr=2T$. Otra expresión para el área de $\triangle ABC$ en términos de su circunradio $R$ es $$T=\frac{abc}{4R}.$$ En otras palabras, $ap+bq+cr=\frac{abc}{2R}$.

Esto nos permite continuar con la desigualdad como sigue:
\begin{align*}
\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r} &\leq \sqrt{\frac{abc}{2R}}\cdot\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\
&=\sqrt{\frac{abc}{2R}}\cdot\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{abc}}\\
&=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{2R}}.
\end{align*}

Esto es casi la desigualdad que queremos. Para terminar, basta mostrar que $$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2.$$ Esto se puede hacer de varias formas (intenta hacerlo usando la desigualdad MA-MG). Pero para continuar viendo la versatilidad de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, observa que se puede deducir de ella aplicándola a las ternas $(a,b,c)$ y $(b,c,a)$.

$\square$

En el problema anterior, ¿para qué puntos $P$ se alcanza la igualdad?

Cauchy-Schwarz más allá de los números reales

Lo que está detrás de la desiguadad de Cauchy-Schwarz es en realidad la noción de producto interior en álgebra lineal. En cualquier espacio vectorial sobre los reales que tenga un producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ se satisface una desigualdad del tipo de la de Cauchy-Schwarz. No entraremos en los detalles de la teoría que se necesita desarrollar, pues eso se estudia en un curso de álgebra lineal. Sin embargo, enunciaremos el teorema y veremos una forma de aplicarlo.

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si $V$ es un espacio vectorial con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ entonces para cualesquiera dos vectores $u$ y $v$ se satisface que $$|\langle u , v\rangle|\leq \sqrt{\langle u , u\rangle}\cdot \sqrt{\langle v , v\rangle}.$$

Se puede mostrar que bajo las hipótesis del teorema la función $\norm{u}:=\langle u , u\rangle$ es una norma. Como platicamos con anterioridad, una norma satisface la desigualdad del triángulo, que en espacios vectoriales tiene un nombre especial.

Teorema (desigualdad de Minkowski). Si $V$ es un espacio vectorial con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ y $\norm{u}:=\langle u , u\rangle$, entonces para cualesquiera dos vectores $u$ y $v$ se satisface que $$\norm{u}+\norm{v}\geq \norm{u+v}.$$

Es relativamente sencillo ver que las desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski son «equivalentes», en el sentido de que se puede mostrar una fácilmente suponiendo la otra y viceversa.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz que usamos en las secciones anteriores es para el producto interior en $\mathbb{R}^n$ dado por $$\langle (a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n) \rangle = a_1b_1+\ldots + a_nb_n,$$ al cual le llamamos el producto punto.

Si tenemos a $V$ el espacio vectorial de las funciones continuas reales en el intervalo $[0,1]$, entonces $$\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \, dx$$ es un producto interior para $V$. Esto nos puede ayudar a resolver algunos problemas.

Problema. Sea $f:[0,1]\to \mathbb{R}^+$ una función continua. Muestra que $$\left ( \int_0^1 f(x)\, dx \right) \left (\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\, dt \right) \geq 1.$$

Sugerencia pre-solución. Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz con el producto interior que discutimos antes de esta entrada.

Solución. Tomemos el producto interior $$\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \, dx$$ en el espacio vectorial de funciones reales y continuas en $[0,1]$. Como la imagen de $f$ está en los reales positivos, podemos definir la función $h:[0,1]\to \mathbb{R}^+$ dada por $h(x)=\sqrt{f(x)}$.

Tenemos que
\begin{align*}
\left \langle h, \frac{1}{h}\right \rangle &= \int_0^1 h(x)\cdot \frac{1}{h(x)}\, dx\\
&=\int_0^1 1\, dx\\
&=1.
\end{align*}

Por otro lado,

\begin{align*}
\langle h, h \rangle &= \int_0^1 h(x)\cdot h(x)\, dx\\
&=\int_0^1 f(x)\, dx.
\end{align*}

y

\begin{align*}
\left\langle \frac{1}{h}, \frac{1}{h} \right\rangle&= \int_0^1 \frac{1}{h(x)}\cdot \frac{1}{h(x)}\, dx\\
&=\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\, dx
\end{align*}

La conclusión se sigue entonces de manera inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

$\square$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas que usan la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la sección 7.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. También puedes consultar más técnicas y problemas en el libro Desigualdades de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.