Álgebra Lineal II: Otros aspectos teóricos del polinomio característico

Introducción

En esta entrada exploramos otros aspectos del polinomio característico. Principalmente nos encargamos de comparar los polinomios característicos de matrices similares, así como los de dos productos (recordamos que el producto de matrices no es conmutativo).

Matrices similares

Recuerda que dos matrices $A,B\in M_n(F)$ se dicen similares si representan a la misma transformación lineal en $F^n$ en bases posiblemente diferentes de este espacio. Equivalentemente, $A$ y $B$ son similares si existe $P\in GL_n(F)$ tal que $B=PAP^{-1}$: o sea, si son conjugadas por una matriz invertible.

Una propiedad importante que veremos enseguida es que el polinomio característico es invariante bajo similitud de matrices. Más precisamente tenemos el siguiente:

Teorema. Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico.

Demostración. Supón que $A$ y $B$ son dos matrices similares, entonces existe $P$ invertible tal que $B=PAP^{-1}$. Nota que

\begin{align*}
X I_n-B=XPP^{-1}-PAP^{-1}= P(X I_n-A)P^{-1}.
\end{align*}

Ahora vamos a dar por hecho que el determinante está definido y es multiplicativo para matrices con entradas en $F[X]$. Definirlo no es complicado: Si $A$ es una matriz de la forma $[a_{ij}]$ con $a_{ij}\in F[X]$ ponemos

\begin{align*}
\det A=\sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sign}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}.
\end{align*}

Es decir, la definición es la misma que la usual. Sin embargo, resulta un poco más difícil el argumentar que con esta definición el determinante sigue siendo multiplicativo (especialmente si $F$ es finito). Por esto solo asumiremos que lo es.

Tenemos tres matrices de este estilo en juego: $P, XI_n-A$ y $XI_n-B$. Vista como una matriz con entradas en $F[X]$, $P$ sigue siendo invertible y su inversa es $P^{-1}$ (lo puedes pensar como que solo estamos ‘expandiendo los posibles coeficientes’). Entonces

\begin{align*}
\chi_B(X)&=\det(X I_n -B)\\
&= \det(P)\cdot \det(X I_n-A)\cdot \det(P)^{-1}\\
&= \det(XI_n-A)\\
&=\chi_A(X).
\end{align*}

Esto concluye la demostración.

$\square$

Ejemplos y consecuencias del teorema

Aquí vienen unos problemas y definiciones a partir del teorema anterior.

Problema. Demuestra que si $A,B\in M_n(F)$ son dos matrices entonces $AB$ y $BA$ tienen el mismo polinomio característico. Puedes asumir que $F=\mathbb{R}$ o $F=\mathbb{C}$ por simplicidad.

Solución. Si $A$ es invertible, entonces $AB$ y $BA$ son similares, puesto que

\begin{align*}
AB= ABAA^{-1}= A(BA)A^{-1}.
\end{align*}

Usando el teorema anterior queda demostrado este caso.

Por otro lado, si $A$ no es invertible al menos sabemos que tiene una cantidad finita de eigenvalores. Como estamos asumiendo que $F=\mathbb{R}$ o $F=\mathbb{C}$, en cualquier caso tenemos que $F$ es infinito. Así existen infinitos $\lambda\in F$ tales que $A_{\lambda}:= A-\lambda \cdot I_n$ es una matriz invertible.

Ahora, tomemos cualquier escalar fijo $X$ que queramos. Por el primer párrafo, para cualquier $\lambda$ que hace a $A_\lambda$ invertible se cumple que

\begin{align*}
\det (XI_n-A_{\lambda} B)= \det(XI_n-BA_{\lambda}).
\end{align*}

Otra manera de escribir esto es

\begin{align*}
\det (XI_n-AB+\lambda B)-\det(XI_n- BA + \lambda B)=0.
\end{align*}

Pero observa que el lado izquierdo es una expresión polinomial en $\lambda$ que se está anulando en una infinidad de valores de $\lambda$, de modo que la expresión izquierda debe ser el polinomio cero y en particular, evaluando en $\lambda=0$ obtenemos que

\begin{align*}
\det (XI_n-AB)-\det(XI_n-BA)=0.
\end{align*}

En otras palabras, para todo valor de $X$ hemos demostrado que $$\det (XI_n-AB)=\det (XI_n-BA),$$ es decir, que $AB$ y $BA$ tienen el mismo polinomio característico.

$\square$

Más adelante

En la siguiente entrada daremos una introducción al teorema de Cayley-Hamilton, y después nos lanzaremos a ver aplicaciones así como a dar dos demostraciones completas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación y sirven para revisar los conceptos de esta entrada.

  1. Encuentra dos matrices $A$ y $B$ que no sean similares pero tengan el mismo polinomio característico y el mismo polinomio mínimo.
  2. ¿Existen dos matrices $A$ y $B$ en $M_2(\mathbb{R})$ que tengan el mismo polinomio mínimo, el mismo polinomio característico pero no sean similares?
  3. Considera las siguientes matrices con coeficientes reales
    \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 &0\\ 0 &0 &0 &1 &0\\0 & 0 &0 &0 &0\\ 0 & 0 &0 &0 &0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 1 & 0 &0\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0\\ 0 & 0 &0 & 0 &0\\ 0& 0 & 0 &0 &0\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 &0\\ 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0&0 &0 &0 &0 \\ 0 & 0 &0 &0 & 1\\ 0 &0 &0 &0 &0\end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Calcula el polinomio característico de cada una. Sugerencia. Usa la entrada anterior.
  4. Calcula el polinomio mínimo de cada una. Concluye que $A$ no es similar a $B$ o a $C$.
  5. Computa la dimensión de los kernels de cada una. Concluye que $B$ no es similar a $C$.

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