Álgebra lineal II: Isometrías complejas.

Introducción

En esta ocasión, como es de esperarse, haremos un estudio análogo al que hicimos en la entrada de isometrías reales, ahora centrándonos en espacios vectoriales definidos sobre el campo de los números complejos. Continuamos con la analogía entre los números complejos y los operadores lineales recordando que el adjunto de una transformación lineal se comporta de forma parecida al conjugado de un númeroo complejo.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ de dimensión finita y equipado con un producto interior hermitiano $\langle \cdot,\cdot \rangle$ y norma asociada $||\cdot||$. Diremos que una transformación lineal $T:V\to V$ es unitaria o una isometría si
$$\langle T(x),T(y) \rangle=\langle x,y \rangle$$ para cualesquiera $x,y\in V$.
Una matriz $A\in M_n(\mathbb{C})$ se dice unitaria si la transformación lineal asociada
\begin{align*}
\mathbb{C}^n&\to \mathbb{C}^n\\
X &\mapsto AX
\end{align*}
es unitaria (donde $\mathbb{C}^n$ tiene el producto hermitiano usual).

Teorema. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. $T$ es unitaria.
  2. Para cualquier $x\in V$ se tiene que $||T(x)||=||x||$.
  3. $T$ manda vectores unitarios (es decir, vectores de norma $1$) en vectores unitarios.

Demostración.

Supongamos que 1. se satisface. Para probar 2. tomamos un $x\in V$ y observamos lo siguiente
$$||T(x)||^2=\langle T(x),T(x) \rangle=\langle x,x \rangle = ||x||^2,$$ y así se satisface 2.

Supongamos que 2. se satisface. Como $T$ preserva la norma, en particular preservará la norma de los vectores unitarios.

Supongamos que 3. se satisface. Como $V$ es de dimensión finita, digamos $\dim V=n$, entonces existe $B=\{e_1,\dots,e_n\}$ base ortonormal de $V$. Consideremos dos vectores $x,y\in V$ y sus descomposiciones con respecto a la base $B$, $x=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_ie_i$ y $y=\displaystyle\sum_{i=1}^ny_ie_i$. Entonces
\begin{align*}\langle x,y \rangle&=\left\langle \displaystyle\sum_{i=1}^nx_ie_i, \displaystyle\sum_{i=1}^ny_ie_i \right\rangle\\
= \displaystyle\sum_{i=1}^n \langle x_ie_i,y_ie_i \rangle&=\displaystyle\sum _{i=1}^n x_i\overline{y_i}||e_i||^2=\displaystyle\sum _{i=1}^n x_i\overline{y_i}.\end{align*}

Similarmente se tiene que
\begin{align*}\langle T(x),T(y) \rangle&=\left\langle \displaystyle\sum_{i=1}^nx_iT(e_i), \displaystyle\sum_{i=1}^ny_iT(e_i) \right\rangle\\
= \displaystyle\sum_{i=1}^n \langle x_iT(e_i),y_iT(e_i) \rangle&=\displaystyle\sum _{i=1}^n x_i\overline{y_i}||T(e_i)||^2=\displaystyle\sum _{i=1}^n x_i\overline{y_i}.\end{align*}

Por lo tanto $T$ es unitaria y con ello concluimos la prueba de este teorema.

$\square$

Definición. Diremos que $A\in M_n(\mathbb{C})$ es una matriz unitaria si $A A^*=I_n$, donde $A^*=\overline{A}^t$.

Observación. La condición $AA^*=I_n$ es equivalente a que las filas de $A$ formen una base ortonormal para $\mathbb{C}^n$ porque
$$\delta_{ij}=I_{ij}=(AA^*)_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^nA_{ik}\overline{A_{jk}},$$
y el último término representa el producto interior del $i$-ésimo y $j$-ésimo renglón de $A$. Una observación similar se puede hacer sobre las columnas y la condición $A^*A=I_n$.

Así, gracias a la observación hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema. Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. $A$ es unitaria.
  2. Existe una base ortonormal $B=\{X_1,\dots,X_n\}$ de $\mathbb{C}^n$ tal que $AB:=\{AX_1,\dots,AX_n\}$ es una base ortonormal de $\mathbb{C}^n$.
  3. Para cualquier base ortonormal $B=\{X_1,\dots,X_n\}$ de $\mathbb{C}^n$ se tiene que $AB:=\{AX_1,\dots,AX_n\}$ es una base ortonormal de $\mathbb{C}^n$.

Tarea moral

  • Demuestra que si $A$ es una matriz unitaria, entonces $|\det A|=1$.
  • Describe las matrices $A\in M_n(\mathbb{C})$ que son simultaneamente diagonales y unitarias.
  • Demuestra que el producto de dos matrices unitarias es una matriz unitaria y que la inversa de una matriz unitaria es unitaria.
  • Demuestra que si $V$ es un espacio euclidiano de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ y $T:V\to V$ una transformación lineal, $T$ es unitaria si y sólo si la matriz asociada a $T$ con respecto a cualquier base ortonormal de $V$ es unitaria.

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