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Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada abordaremos a las operaciones entre conjuntos desde una perspectiva diferente: el álgebra. Veremos que existe otra forma de probar la igualdad entre conjuntos sin necesidad de usar la demostración por doble contención.

Algunos recordatorios

En el álgebra de conjuntos lo que se hace es primero probar algunas propiedades fundamentales de las operaciones de conjuntos, y usar estas propiedades repetidamente para demostrar otras, aprovechando que la igualdad de conjuntos es transitiva. Es por ello que nos conviene recopilar varias propiedades de las operaciones que tenemos hasta ahora.

Sean $A$, $B$, $C$ y $X$ conjuntos tales que $A, B,C\subseteq X$. Entonces:

  1. $A\cup \emptyset=A$,
  2. $A\cup A=A$,
  3. $A\cup B=B\cup A$,
  4. $(A\cup B)\cup C = A \cup (B\cup C)$,
  5. $A\cap \emptyset =\emptyset$,
  6. $A\cap A=A$,
  7. $A\cap B = B\cap A$,
  8. $(A\cap B)\cap C =A \cap (B\cap C)$,
  9. $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)$,
  10. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$,
  11. $A\setminus \emptyset=A$,
  12. $A\setminus A=\emptyset$,
  13. $A\setminus B= A\cap (X\setminus B)$,
  14. $A\cap (X\setminus A)=\emptyset$,
  15. $A\cup (X\setminus A)=X$,
  16. $X\setminus (A\cap B)= (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$,
  17. $X\setminus (A\cup B)= (X\setminus A)\cap (X\setminus B)$,
  18. $X\setminus (X\setminus A)= A$,
  19. Si $A\subseteq B$, entonces $A\cap B=A$.

Hay otras propiedades que ya hemos demostrado, pero no las pusimos aquí. Podríamos ponerlas para ir recopilando más cosas que sabemos que son válidas.

Demostraciones con álgebra de conjuntos

Ahora veremos algunos ejemplos de cómo se trabaja con álgebra de conjuntos. En varias de las siguientes proposiciones enunciamos resultados para cuando $A$ y $B$ son subconjuntos de un conjunto en común $X$. Toma en cuenta que para $A$ y $B$ arbitrarios, siempre podemos tomar $X=A\cup B$.

Proposición. Sean $A, B\subseteq X$ conjuntos. Prueba que $A\setminus B= A\setminus (A\cap B)$.

Demostración.

\begin{align*}
A\setminus (A\cap B)&= A\cap (X\setminus (A\cap B)) \tag{usando 13}\\
&=A\cap((X\setminus A)\cup(X\setminus B)) \tag{usando 16} \\
&=(A\cap (X\setminus A))\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 9} \\
&=\emptyset\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 14} \\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1 y 3} \\
&=A\setminus B \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. Sean $A$, $B\subseteq X$ son conjuntos, entonces $A\setminus B= (A\cup B)\setminus B$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus B &= (A\cup B)\cap (X\setminus B) \tag{usando 13}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus B)) \tag{usando 9}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup \emptyset \tag{usando 14}\\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1}\\
&=A\setminus B \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. Para $A$, $B$, $X$ conjuntos tales que $A, B\subseteq X$, $(A\cap B)\cup (A\setminus B)= A$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cap B)\cup (A\setminus B)&= (A\cap B)\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 13}\\
&=A\cap (B\cup (X\setminus B)) \tag{usando 9}\\
&=A\cap X \tag{usando 15}\\
&=A \tag{usando 14}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $A\cap (B\setminus C)=(A\cap B)\setminus C$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C &=(A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 13}\\
&=A\cap (B\cap X\setminus C) \tag{usando 8}\\
&= A\cap (B\setminus C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C&= (A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 13}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cap (B\cap X\setminus C) \tag{usando 6 ,7 y 8}\\
&= (A\setminus C)\cap (B\setminus C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus C&= (A\cup B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 13}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cup (B\cap X\setminus C) \tag{usando 9}\\
&= (A\setminus C)\cup (B\setminus C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)&= (A\setminus C)\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 13}\\
&=(A\setminus C)\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C)) \tag{usando 13}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus (X\setminus C))) \tag{usando 16}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 18}\\
&=(A\setminus C\cap (X\setminus B))\cup ((A\setminus C)\cap C) \tag{usando 9}\\
&=((A\cap(X\setminus C))\cap (X\setminus B))\cup ((A\cap(X\setminus C))\cap C) \tag{usando 13}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap((X\setminus C)\cap C)) \tag{usando 8}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap\emptyset) \tag{usando 14}\\
&=((A\setminus B)\setminus C)\cup \emptyset \tag{usando 13 y 5}\\
&=(A\setminus B)\setminus C \tag{usando 1}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. Sean $A$, $B$, $C$ subconjuntos de $X$. Tenemos que $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$.

Demostración.

\begin{align*}
A\setminus (B\setminus C)&= A\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 13}\\
&=A\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C))) \tag{usando 13}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup (X\setminus(X\setminus C))) \tag{usando 16}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 18}\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup (A\cap C) \tag{usando 9}\\
&=(A\setminus B)\cup (A\cap C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Tras realizar estas demostraciones es importante notar que muchas veces hacer el uso del álgebra nos ayuda a ahorrar tiempo. Sin embargo, para poder lograr esto es necesario utilizar muchas de las propiedades que sí hemos demostrado previamente por doble contención.

Tarea moral

Realiza las siguientes demostraciones haciendo uso del álgebra de conjuntos:

  • Prueba que para $A, B, C, X$ conjuntos tales que $A, B, C\subseteq X$ se cumple que: $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)= (A\cap C)\setminus B$.
  • Prueba que $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)=A\cap (C\setminus B)$.
  • Si $A, B\subseteq X$, entonces $(X\setminus A)\setminus (X\setminus B)=B\setminus A$.
  • Sean $A$ y $B$ conjuntos. Entonces $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Retomaremos los resultados que hemos visto hasta ahora y seguiremos haciendo uso del álgebra de conjuntos para demostrar algunas propiedades de esta nueva operación.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Operaciones entre conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

A continuación definiremos algunas de las operaciones que hay entre conjuntos como lo son la unión, intersección y diferencia. Retomaremos algunos axiomas como el de unión y el esquema de comprensión, para ver que estas operaciones definen nuevos conjuntos.

Unión

Recordemos la definición de la unión de dos conjuntos.

Definición. Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces definimos la unión de $A$ y $B$ como:


$A\cup B=\bigcup\set{A,B}$

o bien,

$A\cup B= \set{x: x\in A\ o\ x\in B}$.

Ejemplos.

  1. Consideremos los conjuntos $A= \set{\emptyset}$ y $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. Luego, $A\cup B=\bigcup\set{A,B} = \bigcup\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}=B$.
  2. Ahora, consideremos $A=\set{\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\set{\set{\emptyset}}}$. Tendremos que $A\cup B=\set{\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades de la unión

Proposición. Para cualquier conjunto $A$ se tiene que $A\subseteq A\cup B$. Además, $A\cup B= B\cup A$.

Demostración.
Primero veamos que $A\subseteq A\cup B$. Supongamos que $x\in A$, entonces existe $A\in \set{A, B}$ tal que $x\in A$. Esto es, por definición de unión que $x\in \bigcup \set{A,B}=A\cup B$.

La unión es conmutativa

Para ver que $A\cup B=B\cup A$, notemos que $A\cup B=\bigcup\set{A,B}$ y $B\cup A=\bigcup \set{B, A}$. Sabemos que $\set{A, B}=\set{B, A}$ por axioma de extensión. Así, $A\cup B=B\cup A$.

$\square$

Intersección

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. La intersección de dos conjuntos estará definida como sigue:

$A\cap B=\set{x: x\in A\land x\in B}$.

La intersección de dos conjuntos nos permite obtener un conjunto cuyos elementos son aquellos que se encuentran en ambos conjuntos. En la imagen que proporcionamos arriba podemos ver que la intersección nos deja solamente a la manzana y la pera, pues están en ambos conjuntos y descarta al plátano y la naranja pues solo viven en el primer conjunto. Lo mismo hace con la fresa y la sandía que solo viven en el segundo conjunto.

Proposición. Se tiene que $A\cap B$ es un conjunto.

Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos.

Definamos la propiedad «$P(x): x\in B$». Por el esquema de comprensión se tiene que

$\set{x\in A:x\in B}$

es un conjunto.

Luego, $\set{x\in A:x\in B}=A\cap B$. En efecto, $z\in A\cap B$ si y sólo si $z\in A$ y $z\in B$ si y sólo si $z\in \set{x\in A:x\in B}$.

Por lo tanto, $A\cap B$ es conjunto.

$\square$

Ejemplos.

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\cap B=\emptyset$ esto último debido a que no existe ningún elemento $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in\set{\set{\emptyset}}$ al mismo tiempo. De ocurrir, tendriamos que $x=\emptyset$ y $x=\set{\emptyset}$ y por lo tanto, $\emptyset=\set{\emptyset}$ lo cual sabemos que no ocurre. Por lo tanto, $A\cap B=\emptyset$.
  2. Sean $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$ conjuntos. Notemos que en este ejemplo el único elemento que está tanto en el conjunto $A$ como en el conjunto $B$ es $x=\emptyset$. De este modo, $A\cap B=\set{\emptyset}$.

$\square$

También podemos definir intersecciones arbitrarias, no sólo de dos conjuntos.

Definición. Sea $A$ un conjunto no vacío, definimos a la intersección de $A$ como la colección:

$\set{x: \forall y\in A(x\in y)}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, tenemos que la intersección de $A$ es $\emptyset$. En efecto, esto pasa ya que no existe ningún elemento $x$ que pertenezca a todos los elementos de $A$.

$\square$

El hecho de que la unión arbitraria es conjunto es resultado del axioma de la unión. No hay un axioma de la intersección, por lo que demostraremos que la intersección de un conjunto $A$ es un conjunto, siempre que $A$ no sea vacío.

Proposición. Para todo $A\not=\emptyset$, la intersección de $A$ es un conjunto.1

Demostración:

Sea $A$ conjunto no vacío, entonces $A$ tiene al menos un elemento. Sea $z\in A$, tenemos que $\set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$ es conjunto por esquema de comprensión.

Resulta que $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$ si y sólo si $a\in y$ para todo $y\in A$. En efecto, si $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$, entonces $a\in z$ y $\forall y\in A$, $a\in y$. Entonces $a\in y$ para todo $y\in A$.

Ahora, si $a\in y$ para todo $y\in A$, en particular $a\in z$ pues $z\in A$. Por tanto, $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$.

$\square$

Si observamos, para realizar la demostración anterior usamos el hecho de que $A\not=\emptyset$, por lo que podríamos preguntarnos qué pasa si $A$ es vacío. Veremos esto con detalle en la siguiente entrada.

Ahora que hemos probado que la intersección de $A$ es un conjunto cuando $A$ es no vacío, le asignaremos una notación la cual estará dada por $\bigcap A$.

Propiedades de la intersección

Teorema. Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\cap B\subseteq A$,
  2. $A\cap A=A$,
  3. $A\cap B=B\cap A$.

Demostración.

  1. Sea $x\in A\cap B$. Veamos que $x\in A$.
    Como $x\in A\cap B$ tenemos por definición de intersección que $x\in A$ y $x\in B$. En particular, $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap B\subseteq A$.
  2. Tomemos $x\in A\cap A$. Veamos que $x\in A$.
    Que $x\in A\cap A$ es equivalente a decir que $x\in A$ y $x\in A$, lo cual pasa si y sólo si $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap A=A$.
  3. $A\cap B=B\cap A$ pues $x\in A\cap B$ arbitrario si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$, si y sólo si $x\in B$ y $x\in A$, si y sólo si $x\in B\cap A$.

$\square$

Diferencia

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. La diferencia de $A$ con $B$ estará definida como sigue:

$A\setminus B=\set{x\in A: x\notin B}$.

Por esquema de comprensión $A\setminus B$ es conjunto.

La diferencia entre dos conjuntos nos permite obtener un conjunto cuyos elementos se encuentra en el primero pero no el segundo conjunto. En la imagen anterior podemos ver que la diferencia nos deja solamente al plátano y la naranja, pues el plátano y la naranja se encuentran en el primer conjunto, pero no en el segundo. La manzana y la pera no forma parte del conjunto final pues vive en ambos conjuntos. La fresa no es elemento de la diferencia pues ni siquiera es elemento del primer conjunto.

Ejemplos.

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\setminus B=\set{\emptyset}$ pues el único elemento que cumple estar en $A$ y no pertenecer al conjunto $B$ es $\emptyset$.
  2. Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$. Luego,
    $A\setminus B=\set{x\in A:x\notin B}=\set{x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}: x\notin\set{\emptyset}}= \{\set{\emptyset}\}$.

Propiedades de la diferencia

Teorema. Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\setminus \emptyset= A$,
  2. $A\setminus A=\emptyset$,
  3. $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.

Demostración.

  1. Sea $x\in A\setminus \emptyset$. Entonces $x\in A$ y $x\notin \emptyset$. En particular $x\in A$, por lo tanto $A\setminus \emptyset\subseteq A$.
    Luego, supongamos que $x\in A$. Como $x\notin \emptyset$ es verdadero para cualquier conjunto $x$, tenemos que $x\in A$ y $x\notin \emptyset$ es verdadero. Por lo tanto, $x\in A\setminus \emptyset$ y así $A\subseteq A\setminus \emptyset$.
    De lo anterior tenemos que $A=A\setminus \emptyset$.
  2. Supongamos que $A\setminus A\not=\emptyset$, es decir, existe al menos un elemento $x\in A\setminus A$. Entonces $x\in A$ y $x\notin A$, lo cual no puede ocurrir. Dado que la contradicción provino de suponer que $A\setminus A\not=\emptyset$, concluimos que $A\setminus A=\emptyset$.
  3. Veamos que $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.
    $\subseteq$] Sea $x\in A\setminus B$, entonces $x\in A$ y $x\notin B$. Luego, como $x\notin B$ entonces $x\notin A$ o $x\notin B$ es verdadero. Lo que equivale a decir que $x\notin (A\cap B)$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin (A \cap B)$ y así, $A\setminus B\subseteq A\setminus(A\cap B)$.
    $\supseteq$] Sea $x\in A\setminus (A\cap B)$, entonces $x\in A$ y $x\notin (A\cap B)$. Lo que equivale a decir que $x\in A$ y ($x\notin A$ o $x\notin B$). Dado que $x\notin A$ no puede ocurrir pues $x\in A$, entonces $x\notin B$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin B$ y así, $A\setminus(A\cap B)\subseteq A\setminus B$.
    Por lo tanto, $A\setminus(A\cap B)= A\setminus B$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te servirán para poner en práctica los conocimientos que has adquirido en este sección, en la siguiente lista podrás probar las siguientes propiedades de la unión, intersección y diferencia de conjuntos:

Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos, $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$.

$A\cap (B\cap C)= (A\cap B)\cap C$.

Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos:
– $A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap(A\cup C)$,
– $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup(A\cap C)$.

Si $A\subseteq C$ y $B\subseteq C$ entonces $A\cap B\subseteq C\cap D$.

Demuestra que $A\setminus B=A$ si y sólo si $A\cap B=\emptyset$.

Demuestra a partir de los axiomas que en efecto si $A$ es un conjunto no vacío, entonces $\cap A$ es conjunto.

Más adelante…

En la siguiente entrada retomaremos la definición de intersección de conjuntos y mencionaremos el axioma de buena fundación. Además abordaremos el tema de la colección de todos los conjuntos apoyados de este último axioma. Finalmente, veremos que la intersección del conjunto vacío resulta ser la colección de todos los conjuntos.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. También puedes consultar la demostración de este resultado en: Amor, J. A., Teoría de Conjuntos para Estudiantes de Ciencias, México: Serv. Editoriales Fac. Ciencias, UNAM, 1997, p. 17. ↩︎

Álgebra Superior I: Propiedades del producto cartesiano

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

La vez pasada dimos la definición de parejas ordenadas y el producto cartesiano. Estas ideas tenían que ver con «relacionar» dos conjuntos mediante las parejas ordenadas, ahora exploraremos más sobre el producto cartesiano. En esta entrada revisaremos algunas propiedades interesantes e importantes sobre el producto cartesiano entre dos conjuntos, viendo cómo se comporta con el conjunto vacío y algunos operadores de conjuntos.

Propiedades del producto cartesiano

Algunas de las preguntas que nos pueden surgir al momento de trabajar con los productos cartesianos es cómo estos se comportan con algunos operadores. Por ejemplo la unión y la intersección o la relación de contención. En esta entrada revisaremos algunos resultados útiles a la hora de trabajar con el producto cartesiano.

Trabajando con el vacío

Considera a un conjunto $X$. ¿Cómo será su producto cartesiano con el conjunto vacío?. Pues recuerda que:

$$ X \times \emptyset = \{(x,y): x\in X \land y \in \emptyset\}$$

Pareciera ser que este conjunto no tendría ningún elemento, ¿no? Pues al observar alguna pareja ordenada $(x,y)$ de este conjunto, resultaría que $y \in \emptyset$. Lo cuál es una contradicción, pues recordemos que el conjunto vacío no tiene elementos.

Proposición. Sea $X$ un conjunto, entonces $X \times \emptyset = \emptyset$.

Demostración. Para demostrar la igualdad de conjuntos, deberíamos demostrar que el conjunto de la izquierda está contenido en la derecha, pero notemos que el conjunto de la derecha es el conjunto vacío, y como recordarás, el conjunto vacío, siempre será subconjunto de cualquier conjunto. Esto nos ahorra una contención, y solo habrá que demostrar la contención que falta.

$\subset$. Para demostrar que cada elemento $(x,y) \in X \times \emptyset$ está contenido en el conjunto vacío, será suficiente demostrar que no podemos tomar ningún elemento de dicho conjunto, pues no tiene elementos, ya que ningún elemento cumplirá la definición del conjunto: $x\in X \land y \in \emptyset$. Cuando queremos demostrar que un conjunto es vacío, lo que haremos es hacerlo por reducción al absurdo, suponiendo que sí tiene elementos para llegar a una contradicción.

Para ello, supón $(x,y) \in X \times \emptyset$ (existe algún elemento en el conjunto). Entonces $x \in X$ y $y \in \emptyset$, pero esto es una contradicción, pues el conjunto vacío no tiene elementos por definición. Así, concluímos que $X \times \emptyset \subset \emptyset$.

Más aún, hemos demostrado la igualdad entre conjuntos, pues como dijimos al principio, todo conjunto tiene como subconjunto al vacío. De esta manera $X \times \emptyset = \emptyset$.

$\square$

El mismo argumento puede ser usado para demostrar que $\emptyset \times X = \emptyset$, pues no existen elementos que cumplan la definición de pertenencia del lado derecho.

Contención entre productos cartesianos

Para la siguiente propiedad, veremos cómo es que se comporta el producto cartesiano con la contención de conjuntos. Consideraremos ahora dos conjuntos $X,Y$. Notemos que un elemento del producto cartesiano de $X \times Y$ es de la forma $(x,y)$ donde $x \in X \land y \in Y$. Ahora nota que si $X \subset W \land Y \subset Z$, entonces $(x,y)$ también serán parte del producto cartesiano entre $W$ y $Z$, pues $x \in W \land y \in Z$. Esto es lo que nos dice la siguiente proposición:

Proposición. Sean $W,Z$ dos conjuntos y $X \subset W$, $Y \subset Z$. Entonces: $$X \times Y \subset W \times Z$$

Demostración. Para la demostración, consideremos $(x,y) \in X \times Y$. Lo que habrá que demostrar es que $(x,y) \in W \times Z$. Para ello, nota que si $(x,y) \in X \times Y$ entonces $x \in X$ y al tener la hipótesis $X \subset W$, concluímos que $x \in W$. De manera análoga, $y \in Z$. de esta manera $(x,y) \in W \times Z$

$\square$

Corolario. Sean $X,Y$ dos conjuntos, entonces $X \times X = Y \times Y$ si y solo si $X=Y$.

Esta última demostración no se va a resolver aquí, pero es sencillo notar que la igualdad entre productos cartesianos implica que $X \times X$ es subconjunto de $Y \times Y$ y viceversa, lo cual se puede utilizar para demostrar la contención entre conjuntos.

Propiedades con la unión e intersección

Las siguientes propiedades que vamos a probar serán las referentes a la unión y a la intersección. Para la primera idea de la unión, consideremos al conjunto $$X = \{1,2\}$$ y a los conjuntos $$Y_1 = \{a\}, Y_2 = \{b\}. $$

Entonces el conjunto $$X \times Y_1 = \{(1,a),(2,a)\}.$$ Y el conjunto $$X \times Y_2 = \{(1,b),(2,b)\}. $$De tal manera que si juntamos estos productos cartesianos, nos queda el siguiente conjunto:

$$X \times Y_1 \cup X \times Y_2 = \{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)\}.$$

Nota ahora que si hacemos el producto cartesiano de $X$ con $Y_1 \cup Y_2$, resulta que:

$$X \times (Y_1 \cup Y_2) = \{1,2\} \times \{a,b\}= \{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)\}.$$

De esta manera, $$X \times (Y_1 \cup Y_2)= X \times Y_1 \cup X \times Y_2 .$$

Esto es lo que nos dice la siguiente proposición:

Proposción. Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos, entonces $$X \times (Y \cup Z) = X \times Y \cup X \times Z.$$

Demostración.

$\subset.$ Considera $(x,y) \in X \times (Y \cup Z)$. Entonces $x \in X$ y $y \in Y \cup Z$. Nota entonces que tenemos dos casos para $y$.

Caso 1. $y \in Y$

En este caso, $(x,y) \in X \times Y \subset X \times Y \cup X \times Z$, al tener esta última contención, concluimos que se cumple que $X \times (Y \cup Z) \subset X \times Y \cup X \times Z.$

Caso 2. $y \in Z$

Esta demostración es análoga al caso anterior, esto quiere decir que seguimos un razonamiento muy similar que no requiere de pasos muy distintos a los que hicimos. Podemos dejarlo así, pero pondremos el razonamiento análogo para que veas por qué decimos que es análogo.
En este caso, $(x,y) \in X \times Z \subset X \times Y \cup X \times Z$, al tener esta última contención, concluimos que se cumple que $X \times (Y \cup Z) \subset X \times Y \cup X \times Z.$

En cualquiera de los casos, es cierto que $X \times (Y \cup Z) \subset X \times Y \cup X \times Z.$

$\supset.$ Para demostrar la otra contención, simplemente notemos que tanto $X \times Y$ como $X \times Z$ están contenidos en $X \times (Y \cup Z)$. (Recuerda que si dos conjuntos están contenidos en otro conjunto, entonces su unión queda contenida en el conjunto). Para ello, nota que:

$$\begin{align*}
X \times Y &= \{(x,y):x \in X \land y \in Y\}\\
&\subset\{(x,y):x \in X \land y \in (Y \cup Z)\}\\
&= X \times (Y \cup Z)
\end{align*} $$

De igual manera:

$$\begin{align*}
X \times Z &= \{(x,y):x \in X \land y \in Z\}\\
&\subset\{(x,y):x \in X \land y \in (Z \cup Y)\}\\
&=\{(x,y):x \in X \land y \in (Y \cup Z)\}\\
&= X \times (Y \cup Z)
\end{align*} $$

De esta manera $X \times Y \subset X \times (Y \cup Z)$ y $X \times Z \subset X \times (Y \cup Z)$ de manera que $X \times Y \cup X \times Z\subset X \times (Y \cup Z)$

Por lo tanto $X \times Y \cup X \times Z = X \times (Y \cup Z)$

$\square$

Otra propiedad interesante es con la intersección, pues de manera similar si $$X = \{1,2\}$$ y los conjuntos $$Y_1 = \{a,b,c,d,e,1,f\}, Y_2 = \{1,2,3,4,5,a,6\} $$ entonces se cumple que $$X \times Y_1 \cap X \times Y_2 = \{(1,a),(2,a),(1,1),(2,1)\}.$$
Y $$X \times (Y_1 \cap Y_2) = \{(1,a),(2,a),(1,1),(2,1)\}.$$ De esta manera, $X \times Y_1 \cap X \times Y_2 = X \times (Y_1 \cap Y_2)$. Esto es otra proposición:

Proposición. Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos, entonces $$X \times Y \cap X \times Z = X \times (Y \cap Z)$$

Demostración. Podemos hacer la demostración como en la proposición anterior, pero vamos a demostrarlo ahora por la definición de los conjuntos. Para esto, nota que:

$$\begin{align*}
X \times (Y \cap Z) &= \{(x,y):x \in X \land y \in (Y \cap Z)\} \\
&= \{(x,y):(x \in X \land y \in Y) \land (x \in X \land y \in Z)\}\\
&= \{(x,y):x \in X \land y \in Y\} \cap \{(x,y):x \in X \land y \in Z\}\\
&= X \times Y \cap X \times Z
\end{align*}$$

$\square$

Es con esto que tenemos algunas de las propiedades del producto cartesiano. Más aún, también hemos continuado con algunas distintas formas de demostrar conjuntos. Ambas formas de demostración de las proposiciones son válidas y son diferentes formas de demostrar.

Como pudiste observar, en general el producto cartesiano se comporta bien con los operadores entre conjuntos, siendo el producto cartesiano de la intersección, la intersección de los productos cartesianos y lo mismo sucede con la unión.

Más adelante…

Ahora que hemos visto algunas propiedades del producto cartesiano, procederemos a definir el siguiente concepto: las relaciones binarias entre conjuntos. Como pudiste observar con el producto cartesiano, este nos permite «unir» elementos de un conjunto con otro. Pues las relaciones serán un subconjunto del producto cartesiano y estudiaremos las distintas formas de relaciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que si $X$ es un conjunto, entonces $\emptyset \times X = \emptyset$.
  2. Demuestra que si $X,Y$ son dos conjuntos, entonces $X \times X = Y \times Y$ si y solo si $X=Y.$
  3. Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos. Demuestra que:
    • $(X \cup Y) \times Z = X \times Z \cup Y \times Z$
    • $(X \cap Y) \times Z = X \times Z \cap Y \times Z$
  4. Demuestra que si $X,Y,Z$ son tres conjuntos, entonces:
    • $X \times (Y \triangle Z) = X \times Y \triangle X \times Z$
    • $(X \triangle Y) \times Z = X \times Z \triangle Y \times Z$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Intersecciones, uniones y complementos de conjuntos

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

2 respuestas

Introducción

Habiendo establecido los axiomas de la teoría de conjuntos, ahora vamos a empezar a trabajar con ellos. En particular en esta entrada nos intereseran tres operaciones: La intersección, la unión y el complemento de conjuntos.

Pensando en conjuntos

Para empezar a hablar de las operaciones que usaremos, pues primero debemos de ponernos de acuerdo a qué nos referiremos y qué queremos construir cuando hablamos de operaciones. Para estos fines, nos interesa qué podemos hacer con los conjuntos y cómo se relacionan los unos a los otros. Por ejemplo: ¿Habrá algunos elementos que pertenezcan a dos conjuntos a la vez? o ¿Qué pasa con el con elementos que sí están en unos conjuntos y en otros no? Pues veremos algunas operaciones, sin embargo hay que ver la idea intuitiva detrás de algunos de ellos.

Será bueno que de igual manera tengas los axiomas a la mano, pues serán útiles para la definición de algunas de estas operaciones:

Axioma 1Existe un conjunto.
Axioma 2Podemos hacer conjuntos a partir de proposiciones que cumplen o no cumplen elementos de algún conjunto.
Axioma 3Si $X$ y $Y$ son conjuntos, entonces $\{X,Y\}$ es un conjunto.
Axioma 4Dos conjuntos son iguales si todos sus elementos son iguales.
Axioma 5Existe un conjunto que tiene como elementos a todos los elementos que pertenecen a algún elemento de $X$.
Axioma 6Para cada conjunto $X$, existe su conjunto potencia $\mathcal P (X)$ cuyos elementos son los subconjuntos de $X$.

Intersección

Supongamos que tenemos dos conjuntos $X,Y$ de números enteros positivos del 1 al 20. $X$ es el conjunto de los números pares y $Y$ es el conjunto de los números primos. Entonces $X$ lo podemos ver como:

Mientras que $Y$ se podría ver como:

Nota que hay un elemento en común con ambos conjuntos, pues $2$ es el único par primo, es decir hay un punto de intersección que es el $2$:

En este caso diremos que $2$ se encuentra en la intersección de $X$ con $Y$, pues está en ambos conjuntos. Con esto en mente definiremos la intersección:

Definición. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos, entonces el conjunto intersección de $X$ y $Y$, $X \cap Y$ es: $$X\cap Y = \{x \in X : x \in Y\} $$

En nuestro ejemplo anterior, $X=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}, Y=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$, y $X \cap Y = \{2\}$ pues es el único par primo.

Como puedes ver, gráficamente el área que representa la intersección entre dos conjuntos es:

Ahora vamos a ver algunas propiedades como: la conmutatividad y la asociatividad .

Proposición. La intersección es conmutativa, es decir: $$X \cap Y = Y \cap X .$$

Demostración. Recuerda que por el axioma 4, tenemos que demostrar dos cosas: primero que $X \cap Y \subset Y \cap X$ y después que $Y \cap X \subset X \cap Y$. Vas a ver una similitud en demostrar este tipo de proposiciones de igualdad de conjuntos a las demostraciones que usan el «si y solo si», pues primero tendremos que demostrar la contención de «ida» y después la del «regreso». Y esto tiene sentido, pues demostrar la igualdad entre conjuntos es demostrar la doble implicación de que un elemento pertenezca a alguno de los dos conjuntos, pues habría que demostrar:

$$\forall x \big( x \in X \cap Y \Leftrightarrow x \in Y \cap X) .$$

Así que empezamos nuestra demostración probando una contención.

$\subset)$ Consideremos $x \in X\cap Y$. Para demostrar que $X \cap Y \subset Y \cap X$, habría que demostrar que cada elemento del primer conjunto se encuentra en el segundo, así que hay que demostrar que $ x \in Y \cap X$. Para ello, nota que $$X \cap Y = \{x \in X: x \in Y\} = \{x \in X: P(x)\}$$ son los elementos de $X$ que cumplen la proposición $P(x):x \in Y$. Entonces sabemos que $x \in Y$. Por otro lado, sabemos que la proposición $Q(x): x \in X$ se cumple, entonces $x$ pertenece al conjunto

$$x \in \{y \in Y: Q(y)\} = \{y \in Y: y \in X\} = Y \cap X$$

puesto que $x$ pertenece a $Y$ y cumple $Q(x)$. De esta forma $X \cap Y \subset Y \cap X$.

$\supset )$ Nota que para demostrar la otra contención, únicamente deberíamos copiar la demostración anterior cambiando de lugar $X$ con $Y$, es decir que nuestra demostración sería muy parecida a la primera contención que hicimos. Lo podríamos poner tal cual haciendo los cambios mencionados, sin embargo puede ser redundante. En este caso diremos que «La demostración de este caso es análoga a la anterior», que significa: para hacer esta demostración tendríamos un razonamiento muy parecido a la anterior sin ningún modificación interesante, pues seguiríamos los mismos pasos. Muchas veces verás este tipo de oraciones en demostraciones, siendo una herramienta para ahorrar palabras y no ser redundante, pues el razonamiento para hacer alguna demostración (en este caso la segunda contención), sigue un razonamiento casi idéntico a algo ya hecho (en este caso la primera contención).

De esta manera, al ser esta contención análoga a la anterior, $Y \cap X \subset X \cap Y$

$\square$

Proposición. La intersección es asociativa, es decir $$X \cap (Y \cap Z) = (X \cap Y) \cap Z$$.

Demostración. Podríamos hacer esta demostración como la anterior donde hicimos la conmutatividad, sin embargo emplearemos otro razonamiento en donde cada uno de los pasos es válido. Para ello nota que queremos demostrar que $$X \cap (Y \cap Z) = (X \cap Y) \cap Z$$ y que $$(X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z)$$. Y para esto debemos de demostrar que $$\big( x \in X \cap (Y \cap Z) \big) \Leftrightarrow \big(x \in (X \cap Y) \cap Z\big).$$

Ahora nota que

\begin{align*}
x \in X \cap (Y \cap Z)& \Leftrightarrow (x \in X) \land \big((x \in Y)\land(x \in Z) \big)\\
& \Leftrightarrow \big((x \in X) \land (x \in Y)\big) \land (x \in Z) \ \ \ (\text{Por la asociatividad de la disyunción}) \\
& \Leftrightarrow x \in (X \cap Y) \cap Z \\
\end{align*}

De esta manera hicimos una cadena de equivalencias lógicas válidas, empezamos con un elemento en el conjunto $X \cap (Y \cap Z)$ y demostramos que ese elemento estaba en $(X \cap Y) \cap Z$ y viceversa. Esto lo hicimos con el conocimiento que ya sabíamos, y como antes ya habíamos demostrado que la disyunción es asociativa, entonces cada paso lógico es válido y con esto demostramos la igualdad entre conjuntos.

$\square$

Unión

Ahora en vez de fijarnos en donde dos conjuntos se intersectan, pensemos en cuando dos conjuntos se unen. Para esto, considera el siguiente ejemplo. Digamos que $X = \{ 1,2,3,4,5\}$ y $Y = \{4, 5,6,7 \}$ son conjuntos de números enteros.

Los conjuntos $X,Y$ son los siguientes:

El siguiente paso es construir el conjunto que tiene como elementos a los elementos de ambos conjuntos ¿Recuerdas el axioma 4? Este nos hablaba de un conjunto que contiene a todos los elementos que son elementos del mismo conjunto. Suena confuso pero este axioma junto al axioma 3 justifican la existencia de este conjunto. Veamos como lo podemos construir:

Por el axioma 3, existe el conjunto $\{X,Y\}$, es decir que existe el conjunto $A = \{\{1,2,3,4,5\}\{4,5,6,7\}\}$.

Después, como existe este conjunto $A$, por el axioma 4, existe un conjunto cuyos elementos son elementos que pertenecen a elementos de $\{X,Y\}$, entonces para dicho conjunto que llamaremos $X \cup Y$, sus elementos son $$X \cup Y = \{x: x \in X \lor x \in Y\}$$.

Entonces el conjunto unión de $X$ y $Y$ $X \cup Y = \{1,2,3,4,5,6,7\}$, pues es el conjunto que contiene a todos los elementos de ambos conjuntos.

Definición. El conjunto unión de dos conjuntos $X,Y$ es el conjunto: $$X \cup Y = \{x: x \in X \lor x \in Y\} $$

De manera gráfica, podemos ver la unión como:

Ahora enunciaremos las proposiciones que demostramos para la intersección, pero ahora usando la unión:

Proposición. La unión es conmutativa.

Demostración. Considera a $X$ y $Y$ dos conjuntos, entonces

\begin{align*}
x \in X \cup Y & \Leftrightarrow (x \in X) \lor (x \in Y)\\
& \Leftrightarrow (x \in Y) \lor (x \in X) \ \ \ (\text{Por la conmutatividad de la conjunción}) \\
& \Leftrightarrow x \in Y \cup X
\end{align*}

$\square$

Proposición. La unión es asociativa.

Para esta última no daremos demostración, sin embargo es una demotración parecida a su contraparte de la intersección.

Una vez que hemos establecido estas dos operaciones, solo falta una más por revisar ahora. Si la intersección es la disyunción y la unión es la conjunción, la siguiente que definiremos es la negación.

Complemento de conjuntos

Cuando estemos hablando de conjuntos, muchas veces estaremos dentro de un contexto de conjuntos, o un Conjunto universal, dentro del cual siempre estaremos trabajando. Por ejemplo, si estamos en cálculo de una variable, todos los conjuntos o casi todos sobre los que estemos trabajando serán conjuntos de números reales. Nota ahora que cuando estuvimos dando los ejemplos de conjuntos paraexplicar la unión y la intersección, decíamos que $X,Y$ eran conjuntos de números enteros. Es decir, estábamos acordando que nuestro conjunto universal eran los números enteros $\mathbb{Z}$.

Muchas veces el contexto sobre el conjunto universal sobre el que estamos trabajando no será especificado y se puede inferir, pues si estamos trabajando por ejemplo con números reales, no es posible que un conjunto tenga números complejos, por ejemplo.

Ahora con esto acordado, vamos a ver que cualquier conjunto $X$ en un conjunto universal $U$ se puede escribir de la siguiente manera: $$ X = \{x \in U: x \in X\}.$$

Es decir, podemos escribir al conjunto $X$ como los elementos del conjunto universal que están en $X$. Así, definiremos el complemento de $X$ o $X^c$ como: $$X^c = \{x \in U:x \not \in X\}. $$

Definición. Sea $X$ un conjunto sobre el conjunto universal $U$, entonces definimos el complemento de $X$ como $$X^c = \{x \in U: x\not \in X\}^* $$

Por ejemplo, considera $X = \{2,4,6,8,10\}$ al conjunto de los números pares dentro del conjunto de los números enteros del 1 al 10. Entonces en este caso $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y su complemento es $X^c = \{1,3,5,7,9\}$.

Gráficamente, podemos ver al complemento como:

Algunas de las cosas que podemos decir del complemento son:

Proposición. Sea $X$ un conjuntos dentro del conjunto universal $U$. Entonces:

  1. $X \cup X^c = U$
  2. $U^c = \emptyset$

Demostración.

  1. Esta proposición nos quiere decir que un conjunto junto al complemento «llenan» todo el espacio. Para esto, nota que
    \begin{align*}
    x \in X^c \cup X & \Leftrightarrow x \in X^c \lor x \in X \\
    & \Leftrightarrow x \in \{x \in U : x \in X \lor x \not \in X\}
    \end{align*}
    Ahora nota que $P(x): x \in X \lor x \not \in X$ es una tautología, es decir, cualquier elemento de $U$ cumple dicha definición, así,
    \begin{align*}
    x \in X^c \cup X & \Leftrightarrow x \in X^c \lor x \in X \\
    & \Leftrightarrow x \in \{x \in U : x \in X \lor x \not \in X\}\\
    & \Leftrightarrow x \in U
    \end{align*}
  2. Nota primero que ya hemos dicho que $\emptyset$ es subconjunto de cualquier conjunto, así se tiene la contención $\emptyset \subset U$. Para la otra contención, supón que no sucede que $U \subset \emptyset$. Entonces se tiene que existe un elemento $x\in U$ que cumple:$$ x\in \{x \in U: x \not \in U\}. $$ Donde se tendría que $x \in U \land x \not \in U$, lo cual es imposible. Entonces $U \subset \emptyset$. De esta manera se tiene la igualdad entre conjuntos.

$\square$

Nota

*: En la literatura, también puedes encontrar escrito el complemento de un conjunto $A$ escrito como $\bar A$ en lugar de $A^c$

Más adelante…

Ahora ya hemos visto tres operaciones básicas en la teoría de conjuntos, junto a la definición del conjunto universal, que recuerda: no siempre verás implícitamente y puede ser un conjunto que dependa del contexto. En la siguiente entrada veremos dos operaciones más que se pueden definir en términos de las que vimos ahora, así como otras propiedades de las operaciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $N = \{1,2,3,4,6,9,10,15,20,30\}$ y $X = \{x \in \mathbb{Z}: x= 2n, n \in N \}$, encuentra:
    • $X \cap N$
    • $X \cup N$
  2. Demuestra que la unión es asociativa.
  3. Demuestra que la unión de subconjuntos de un conjunto $X$ siempre está contenida en $X$.
  4. Demuestra que si $Y \subset X $ y $Z \subset X$ entonces $Y \cup Z \subset X$
  5. Demuestra que si $X \subset Y$ son dos conjuntos, entonces:
    • $X \cap Y = X$
    • $X \cup Y = Y$
  6. Demuestra que:
    • $X^c \cap X^c = \emptyset$
    • $\emptyset^c = U$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»