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Álgebra Lineal II: Aplicar polinomios a transformaciones lineales y matrices

Por Julio Sampietro

5 respuestas

Introducción

Varios de los resultados fundamentales de Álgebra Lineal se obtienen al combinar las idea de transformaciones lineales con la de polinomios. El objetivo de esta entrada es introducir el concepto de «aplicar polinomios a matrices» o equivalentemente «aplicar polinomios a transformaciones lineales». La idea fundamental es simple: las potencias en los polinomios se convierten en repetidas aplicaciones de la transformación y las constantes en múltiplos de la identidad. Si bien esta idea es simple, más adelante veremos aplicaciones importantes y con un gran alcance. Uno de los resultados cruciales que surge de esta idea es el conocido teorema de Cayley-Hamilton.

Primeras construcciones

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$, y sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Definimos a la transformación $T^n:V\to V$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$ inductivamente a través de

\begin{align*}
T^0=\operatorname{Id}, \hspace{5mm} T^{i+1}= T\circ T^{i},
\end{align*}

donde, recordamos, $\operatorname{Id}$ es la transformación identidad. Intuitivamente, $T^n$ es la «$n$-ésima composición» de $T$. Por ejemplo, $T^3(v)$ no es más que $T(T(T(v)))$ y $T^0(v)$ es simplemente «no usar $T$ para nada», es decir, $\operatorname{Id}(v)=v$. Al componer iteradamente $T$, sigue siendo una transformación lineal de $V$ a $V$, así que $T^n$ es transformación lineal de $V$ a $V$ para todo entero $n\geq 0$.

Ya que hablamos de «potencias» de una transformación lineal, podemos rápidamente hacer sentido de un «polinomio evaluado en una transformación lineal». Si $$P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dots + a_n X^n\in F[X]$$ es un polinomio, definimos $P(T):V\to V$ como

\begin{align*}
P(T):= a_0 T^{0}+ a_1 T^1+ a_2 T^2+\dots +a_n T^n.
\end{align*}

Como las transformaciones lineales de $V$ a $V$ son cerradas bajo combinaciones lineales, entonces $P(T)$ también es una transformación lineal de $V$ a $V$.

Ejemplo. Tomemos a la transformación $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ dada por $T(x,y)=(2x-2y,x+y)$. Tomemos al polinomio $P(x)=x^3-2x+4$. ¿Quién es la transformación $P(T)$? Calculemos primero las «potencias» de $T$:

\begin{align*}
T^0(x,y)&=(x,y)\\
T^1(x,y)&=T(x,y)\\
&=(2x-2y,x+y)\\
T^2(x,y)&=T(T(x,y))\\
&=T(2x-2y,x+y)\\
&=(2(2x-2y)-2(x+y),(2x-2y)+(x+y))\\
&=(2x-6y,3x-y)\\
T^3(x,y)&=T(2x-6y,3x-y)\\
&=(-2x-10y,5x-7y).
\end{align*}

Ahora sí, ya podemos saber qué hace $P(T)$. Tenemos:

\begin{align*}
P(T)(x,y)&=(T^3-2T+4\text{Id})(x,y)\\
&=(-2x-10y,5x-7y)-2(2x-2y,x+y)+4(x,y)\\
&=(-2x-6y,3x-5y).
\end{align*}

$\triangle$

Sumas y productos de polinomios

Las operaciones suma y producto de polinomios se traducen, respectivamente, a suma y composición de las evaluaciones en transformaciones lineales. Esta es una linda propiedad que podemos hacer precisa gracias a la siguiente proposición.

Proposición. Si $P_1, P_2\in F[X]$ son dos polinomios y $T:V\to V$ es una transformación lineal, entonces

  1. $ (P_1+P_2)(T)=P_1(T)+P_2(T)$,
  2. $(P_1P_2)(T)=P_1(T)\circ P_2(T)$.

Te invitamos a demostrar esta proposición. Advertimos que, sin embargo, no se cumplen identidades como $$P(T_1+T_2)=P(T_1)+P(T_2)$$ o bien $$P(T_1\circ T_2)=P(T_1)\circ P(T_2).$$ Un contraejemplo para la primera identidad podría ser tomar$P(X)=X^2$ y $T_1=T_2=\operatorname{Id}$. En este caso

\begin{align*}
P(T_1+T_2)&=(T_1+T_2)^2\\&= 4\operatorname{Id}\\&\neq 2\operatorname{Id}\\&=P(T_1)+P(T_2).
\end{align*}

Dejamos como ejercicio el verificar que la segunda identidad tampoco es cierta en general. Fijando $T$, podemos juntar a todas las transformaciones de la forma $P(T)$ para algún $P$ en la siguiente estructura.

Definición. La $F$-álgebra generada por la transformación $T$ es el conjunto

\begin{align*}
F[T]=\lbrace P(T)\mid P\in F[X]\rbrace.
\end{align*}

Una consecuencia de la proposición anterior (es más, ¡una mera traducción!) es la siguiente.

Proposición. Para cualesquiera $x,y\in F[T]$ y $c\in F$ se cumple que $x+cy\in F[T]$ y $x\circ y\in F[T].$ Es decir, $F[T]$ es un subespacio del espacio de todas las transformaciones lineales de $V$ en $V$ que además es estable bajo composición.

También puedes verificar que $F[T]$ es el subespacio más chico (en el sentido de contención) del espacio de transformaciones lineales en $V$ que contiene a $T$, a $\operatorname{Id}$ y que es cerrado bajo composiciones.

Lo mismo pero con matrices

Desde Álgebra Lineal I sabemos que una transformación lineal se corresponde de manera biunívoca (fijando una base) con una matriz. Nuestra discusión previa se puede adaptar a este vocabulario, y eso es lo que haremos ahora.

Si $A\in M_n(F)$ es una matriz cuadrada de orden $n$ con coeficientes en $F$, podemos entender a $A^n$ simplemente como el $n$-ésimo producto de $A$ consigo misma. Luego si $$P(X)=a_0+a_1X+a_2 X^2+\dots +a_n X^n\in F[X]$$ es un polinomio, definimos

\begin{align*}
P(A):= a_0 I_n +a_1 A+ a_2 A^2+\dots+ a_n A^n.
\end{align*}

Se cumple que $(PQ)(A)=P(A)\cdot Q(A)$ para cualesquiera polinomios $P,Q$ y cualquier matriz $A$. Similarmente el álgebra generada por $A$ se define como

\begin{align*}
F[A]=\lbrace P(A)\mid P\in F[X]\rbrace,
\end{align*}

y es un subespacio de $M_n(F)$ que es cerrado bajo producto de matrices.

Ejemplo. Consideremos la matriz $A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}$. Consideremos el polinomio $P(x)=x^3-2x+4$. ¿Quién es la matriz $P(A)$? Usando la definición, primero nos enfocaremos en encontrar las potencias de $A$. Puedes verificar por tu cuenta que:

\begin{align*}
A^0&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\
A^1&=\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}\\
A^2&=\begin{pmatrix}2&-6\\3&-1\end{pmatrix}\\
A^3&=\begin{pmatrix}-2&-10\\5&-7\end{pmatrix}
\end{align*}

De esta manera,

\begin{align*}
P(A)&=A^3-2A+4I_2\\
&=\begin{pmatrix}-2&-10\\5&-7\end{pmatrix} – 2 \begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}-2&-6 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}.
\end{align*}

$\triangle$

Este ejemplo se parece mucho al ejemplo que hicimos cuando evaluamos un polinomio en una transformación $T$. Esto no es casualidad, y se puede resumir en la siguiente observación.

Observación. Si $A$ es la matriz asociada a $T$ en alguna base, entonces $P(A)$ es la matriz asociada a $P(T)$ en dicha base.

Unos problemas para calentar

A continuación veremos algunos unos cuantos problemas resueltos para que te familiarices con los conceptos que acabamos de ver de manera un poco más teórica.

Problema 1.

  1. Si $A,B\in M_n(F)$ son matrices con $B$ invertible, demuestra que para cualquier $P\in F[X]$ se cumple
    \begin{align*}
    P(BAB^{-1})=BP(A)B^{-1}.
    \end{align*}
  2. Demuestra que si $A,B\in M_n(F)$ son similares, entonces $P(A)$ y $P(B)$ son similares para cualquier $P\in F[X]$.

Solución.

  1. Primero supongamos que $P(X)=X^k$ para alguna $k\geq 1$. Necesitamos demostrar que $\left(BAB^{-1}\right)^{k}= BA^{k}B^{-1}$, y esto lo podemos verificar sencillamente pues
    \begin{align*}
    (BAB^{-1})\cdot (BAB^{-1})\cdots (BAB^{-1})&= BA(B^{-1} B) A \cdots (B^{-1}B)AB^{-1}\\
    &= BA^{k}B^{-1},
    \end{align*}
    donde usamos que $BB^{-1}=I_n$. Más generalmente, si $P(X)=a_0+a_1 X+a_2X^2+\dots +a_n X^n$ entonces
    \begin{align*}
    P(BAB^{-1})&= \sum_{i=0}^{n} a_i (BAB^{-1})^{i}\\
    &= \sum_{i=0}^{n}a_i BA^{i}B^{-1}\\
    &= B\left(\sum_{i=0}^{n} a_i A^{i}\right)B^{-1}\\
    &= BP(A)B^{-1}
    \end{align*}
    que es lo que queríamos demostrar.
  2. Como $A$ y $B$ son similares, existe $C$ invertible tal que $A=CBC^{-1}$. Por el inciso anterior tenemos
    \begin{align*}
    P(A)=P(CBC^{-1})=CP(B)C^{-1}.
    \end{align*}
    Así, $P(A)$ y $P(B)$ son similares.

$\square$

Problema 2. Considera la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
-2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\end{align*}

así como el polinomio $P(X)=X^2+2X-1$. Calcula $P(A)$.

Solución. Es cuestión de hacer los cálculos. Vemos que

\begin{align*}
A^2= \begin{pmatrix}
-2 & 0 & -1\\
0 & -2 & 14\\
0 & 0 & 16
\end{pmatrix}
\end{align*}

y así

\begin{align*}
P(A)&=A^2+2A-I_3\\&=\begin{pmatrix}
-2 & 0 & -1\\
0 & -2 & 14\\
0 & 0 & 16
\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
-2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
-3 & 2 & -3\\
-4 & -3 & 20\\
0 & 0 & 23
\end{pmatrix}.
\end{align*}

$\triangle$

Problema 3. Si $A$ es simétrica, demuestra que $P(A)$ es simétrica para cualquier polinomio $P$.

Solución. La demostración se basa en los siguientes hechos:

  1. Si $A=(a_{ij})$ y $B=(b_{ij})$ son matrices simétricas y $c\in F$ es un escalar, entonces $A+cB$ es simétrica, puesto que
    \begin{align*}
    (A+cB)_{ij}= a_{ij}+cb_{ij}= a_{ji}+cb_{ji}= (A+cB)_{ji}.
    \end{align*}
  2. Si $A,B$ son simétricas, su producto es una matriz simétrica. De nuevo, basta con hacer el cálculo
    \begin{align*}
    (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^{n} b_{jk}a_{ki}= (AB)_{ji} .
    \end{align*}
  3. Usando el inciso anterior, se sigue que si $A$ es simétrica, entonces $A^{k}$ es simétrica para toda $k\geq 1$. Además, $I_n$ es simétrica y por el primer punto tenemos que toda combinación lineal de matrices simétricas es simétrica. En particular $P(A)$ es simétrica.

$\square$

Problema 4. Sea $V$ el espacio vectorial de todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ infinitamente diferenciables. Sea $T:V\to V$ dada por $T:f\mapsto f’$. ¿Puedes encontrar un polinomio $P\in \mathbb{R}(X)$ distinto de cero tal que $P(T)=0$?

Solución. No es posible encontrar dicho polinomio. Suponiendo que sí, tendríamos que $P(T)$ es una ecuación diferencial polinomial de orden $n$, es decir, a cada función la evaluamos en una combinación

\begin{align*}
a_0f+a_1f’+a_2f»+\dots + a_n f^{n}
\end{align*}

donde $f^n$ es la $n$-ésima derivada. Si $P(T)$ es idénticamente cero, tenemos que toda función suave $f$ satisface esta ecuación. En particular tenemos que la constante $g(x)=1$ la satisface. Así $g’=g»=\dots=g^{n}=0$ y entonces

\begin{align*}
P(T)(g)= a_0 g+a_1g+\dots +a_ng^{n}=a_0=0.
\end{align*}

Concluimos que $a_0=0$. Luego, si consideramos a la función identidad $h(x)=x$ entonces también se tiene que cumplir la ecuación (recordamos que ya eliminamos el término $a_0$). Así

\begin{align*}
P(T)(h)= a_1h’+a_2h»+\dots +a_nh^{n}= a_1=0,
\end{align*}

donde usamos que $h'(x)=1$ y todas las derivadas de orden superior son cero. Continuando con este proceso (evaluando en $x^2,x^3,\ldots$) llegamos a que todos los coeficientes $a_i$ son cero. Esto quiere decir que el polinomio era nulo en primer lugar.

$\triangle$

Más adelante…

En entradas subsecuentes estudiaremos polinomios de matrices con propiedades especiales, como por ejemplo el polinomio mínimo, que se distinguen por sus deseables propiedades algebraicas. Este es el primer paso hacia el teorema de Cayley-Hamilton.

Tarea moral

Aquí hay unos ejercicios para que practiques lo visto en esta entrada.

  1. Compara el ejemplo que se dio de evaluar un polinomio en una transformación $T$ con el de evaluar un polinomio en una matriz $A$. ¿Por qué se parecen tanto?
  2. Considera $V$ el espacio vectorial de funciones $C^\infty$ en el intervalo $[0,2\pi]$ y $D:V\to V$ a la transformación que manda una función a su derivada, es decir $D(f)=f’$. Encuentra un polinomio $P$ tal que $P(D)(\sin(x)+\cos(x))$ sea la función cero.
  3. Demuestra que si $A$ es una matriz diagonal, $P(A)$ también es diagonal.
  4. Si
    \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix}
    1 & 2\\
    0 &-1\end{pmatrix}
    \end{align*}
    y $P(X)=X^3-X^2+X-1$, calcula $P(A)$.
  5. Generaliza el último problema de la entrada como sigue: Si $V$ es un espacio vectorial y $T:V\to V$ es tal que existen elementos $v_i$ con $i\in \mathbb{N}$ que cumplen $T^{i}(v_i)\neq 0$ y $T^{j}(v_i)=0$ para $j>i$, entonces no existe $P$ no nulo tal que $P(T)$ sea cero.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Introducción al curso

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

4 respuestas

Introducción

En esta serie de entradas continuaremos platicando acerca de álgebra lineal. Son una continuación a las entradas de Álgebra Lineal I que también se encuentran disponibles en el blog. En el transcurso de ellas, cubriremos los temas que establece el temario de la materia Álgebra Lineal II de la Licenciatura en Matemáticas de la UNAM.

Primero comenzaremos dando un pequeño repaso de lo que se ha visto en Álgebra Lineal I y después daremos un pequeño panorama de lo que se cubrirá en este curso.

Algunos recordatorios de Álgebra Lineal I

En el primer curso de álgebra lineal se establecieron muchos fundamentos del área, relacionados con espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices y más. A continuación damos un breve recordatorio de cada unidad temática. Usaremos letras cursivas para mencionar términos que ya deberías conocer. Si algunos de ellos no los recuerdas. Usaremos letras negritas para hacer énfasis en resultados fundamentales del primer curso, que es muy importante que recuerdes qué dicen y cómo se usan. Todo esto lo puedes encontrar en las notas anteriores.

En la primer parte de ese curso, recordamos las definiciones básicas de vector, matriz y transformación lineal, pero únicamente nos enfocamos en un espacio vectorial muy sencillo: $F^n$, que consiste de todos los vectores con $n$ entradas en un campo $F$. Se definieron operaciones de suma y producto escalar en este espacio. También hablamos de cómo multiplicar matrices. Esto fue suficiente para plantear la idea de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, pues de acuerdo al principio de superposición, esto es suficiente. Luego, vimos el algoritmo de reducción gaussiana, que nos permite llevar cualquier matriz a su forma escalonada reducida. Esto resulta fundamental para calcular todo tipo de cosas en álgebra lineal: resolver sistemas de ecuaciones, invertir matrices, encontrar determinantes, encontrar espacios generados, etc.

En la segunda parte introdujimos el concepto de espacio vectorial en general. Hablamos de $F^n$, pero también del espacio de matrices $M_{m,n}(F)$, del espacio de polinomios $F[x]$, de los espacios de polinomios de grado a lo más $n$, $F_n[x]$, y de algunos otros como los de funciones con ciertas propiedades (continuas, diferenciables, limitadas a un intervalo, acotadas, etc.) A partir de las nociones de combinación lineal, independencia lineal y generadores, desarrollamos la teoría de dimensión. Un resultado crucial en dimensión finita es el lema de Steinitz. Tras hablar de un espacio vectorial, comenzamos a hablar de «funciones bonitas» entre ellos. Las primeras que tratamos fueron las transformaciones lineales. Un resultado crucial es que, en dimensión finita y tras elegir una base cada transformación lineal corresponde a una matriz y viceversa. Como bases distintas dan matrices distintas, fue necesario discutir qué sucede al cambiar de base, por lo que se introdujeron matrices de cambio de base. Otro resultado crucial es el teorema rango-nulidad.

La tercera parte fue mucho más geométrica. En ella hablamos de las formas lineales y de las formas bilineales. A partir de las formas lineales construimos a los espacios duales y desarrollamos la teoría de dualidad. Definimos el concepto de hiperplano. Una de las principales aplicaciones de la teoría de dualidad fue mostrar que en dimensión finita todo subespacio es intersección de hiperplanos. En el caso de formas bilineales, nos enfocamos mucho más en aquellas que van a $\mathbb{R}$. A partir de ellas definimos formas cuadráticas. Estudiamos el caso muy especial de espacios euclideanos, que son, a grandes rasgos espacios vectoriales reales con una forma bilineal «bonita». En este tipo de espacios se puede hablar de normas, distancias y ángulos. Los resultados cruciales fueron la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la existencia de bases ortonormales. Para encontrarlas, hablamos del proceso de Gram-Schmidt.

Finalmente, vino la unidad 4 en la que se desarrolló de manera formal el concepto de determinante, tanto para vectores, como para matrices y transformaciones lineales. Para ello fue importante hablar de formas $n$-lineales (que en cierta forma generalizan a las bilineales) con propiedades especiales, como ser alternantes. Se vieron muchas propiedades de los determinantes para entenderlos a profundidad de manera teórica y práctica, en particular la expansión de Laplace. Se vio cómo los determinantes pueden ayudar a resolver sistemas de ecuaciones mediante las fórmulas de Cramer. También, con toda la teoría desarrollada hasta aquí pudimos finalmente entender con mucha profundidad los sistemas de ecuaciones lineales mediante el teorema de Rouché-Capelli. Para cerrar el curso, vimos muy por encima las ideas de eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico. Esto nos llevó a la idea de diagonalización. Juntando toda la teoría del curso, llegamos a la cereza del pastel: el teorema espectral para matrices simétricas reales.

La idea general del segundo curso

El teorema espectral para matrices simétricas reales es un resultado precioso: bajo ciertas condiciones nos permite «llevar» una transformación (o matriz) a una «forma sencilla». Nos debe de dar la intuición de que toda la teoría que se desarrolló anteriormente la podemos utilizar para demostrar muchos otros resultados lindos de ese estilo. En Álgebra Lineal II haremos precisamente esto.

En la primer parte del curso profundizaremos en la teoría de eigenespacios, que nos permitirán entender mucho mejor cómo son los eigenvectores. Para hacer eso, será importante introducir un nuevo polinomio: el polinomio mínimo. Mostraremos muchas más propiedades de eigenvectores, eigenvalores, polinomios mínimos y característicos. Usaremos estas ideas para profundizar en las nociones de diagonalización y triangulización y enunciaremos teoremas que nos permitirán saber cuándo una matriz (o transformación) se puede llevar mediante un cambio de base a una forma más sencilla. En esta primer parte también demostraremos el bello teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que cualquier matriz se anula en su polinomio característico.

Después de esto, en la segunda parte del curso trabajaremos para entender mejor a las formas bilineales que introdujimos en el primer curso. Ya no sólo nos limitaremos a aquellas que caen a los reales, sino que hablaremos también de aquellas que caen al campo $\mathbb{C}$ de los números complejos. Uno podría pensar que el tratamiento es análogo, pero esto dista mucho de la realidad: se requiere pensar en nuevas definiciones que involucren a los conjugados de las entradas de las matrices.

Tras establecer las propiedades principales que nos interesan en espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$, retomaremos la idea de demostrar teoremas de diagonalización. Ahora tendremos el teorema espectral para matrices reales y el teorema espectral para matrices complejas. Además de garantizarnos una diagonalización, estos teoremas nos garantizan que esa diagonalización es de una forma muy especial. Veremos las consecuencias teóricas que esto tiene.

Finalmente, en la última unidad temática, veremos que aunque las matrices no sean diagonalizables, en realidad no todo está perdido. Hablaremos de la forma canónica de Jordan, que es algo así como una versión débil de diagonalizar. Terminaremos el curso aprovechando todo lo visto hasta ahora para ver que cualquier matriz, sin importar sobre qué campo esté, siempre podrá ser llevada a esta forma tras un cambio de base.

Más adelante…

En la siguiente entrada ya comenzaremos con el contenido teórico del curso. Lo primero que haremos es formalizar qué quiere decir «aplicar un polinomio a una transformación lineal» y qué qué quiere decir aplicarlo a una matriz.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Recuerda el algoritmo de reducción gaussiana y úsalo para determinar si la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & -1\end{pmatrix}$ es invertible y, en caso de que sí, encontrar su inversa. Hazlo a mano y comprueba tu respuesta con alguna calculadora de forma escalonada reducida en línea.
  2. Encuentra una base ortogonal para el espacio de polinomios $\mathbb{R}_4[x]$ de grado a lo más $4$ con producto bilineal $\langle p, q \rangle = \sum_{j=0}^4 p(j)q(j)$. Encuentra la forma matricial de la transformación «derivar» en esta base y da su determinante.
  3. Escribe al subespacio de matrices antisimétricas en $M_3(\mathbb{R})$ como intersección de hiperplanos. ¿Qué dimensión tiene?
  4. Encuentra un sistema de $4$ ecuaciones lineales en $5$ variables cuyo espacio de soluciones tenga dimensión $2$. Después, resuélvelo usando los siguientes dos métodos: reducción gaussiana y fórmulas de Cramer.
  5. Explica qué nos garantiza el teorema espectral visto en el curso anterior para las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Encuentra el polinomio característico de cada una de estas matrices. Esboza (sin hacerlo) cómo encontrarías los valores y vectores propios de $A$ y $B$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal I: Problemas de vectores, matrices y matrices como transformaciones lineales

Por Julio Sampietro

3 respuestas

Introducción

Esta entrada consiste de puros problemas resueltos. Mediante la solución de estos problemas se puede poner en práctica los conceptos vistos anteriormente. En específico, aquí repasamos los conceptos de suma y producto escalar que vimos al inicio, así como la idea de la entrada anterior de relacionar a matrices con transformaciones lineales.

Problemas resueltos

Problema 1. Escribe de manera explicita la matriz $A=[a_{ij}]\in M_{2,3}(\mathbb{R})$ tal que

\begin{align*}
a_{ij}=\begin{cases} 1 & \text{si } i+j \text{ es par}\\ 0 & \text{si } i+j\text{ es impar}\end{cases}
\end{align*}

Solución. Tomemos como ejemplo a la entrada $a_{11}$. Como $1+1=2$ y $2$ es par, entonces la entrada $a_{11}$ será igual a $1$. De manera similar, obtenemos que $a_{12}=0$ pues $1+2=3$, que es un número impar. Siguiendo de este modo, obtenemos que
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\
0 & 1& 0 \end{pmatrix}.
\end{align*}

$\triangle$

Problema 2. Para cada par de matrices $(A,B)$, explica cuáles de las operaciones $A+2B$ y $A-B$ tienen sentido, y cuando tengan sentido, haz el cálculo.

  1. \begin{align*}
    A= \begin{pmatrix} 1 & 1& 0\\
    0& 1 & 1\\
    1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y}\hspace{5mm} B=\begin{pmatrix} 1 &2 &3\\
    7 & 8 & 9\\
    4 & 5 & 6
    \end{pmatrix}.
    \end{align*}
  2. \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix} 192450916\\1\\0 \\1\\2\end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y} \hspace{5mm} B= \begin{pmatrix} -1\\ 0 \\ 199\\ 2020\\ 0\\ 3\end{pmatrix}.
    \end{align*}
  3. \begin{align*}
    A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\
    3 & 5 & 8 \end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y} \hspace{5mm}B= \begin{pmatrix} 1&-1 & 1\\ 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}.
    \end{align*}

Solución:

  1. Dado que ambas matrices tienen el mismo tamaño, podemos calcular ambas operaciones. Tenemos que hacer las operaciones entrada a entrada. Así, la primer entrada de $A+2B$ será $1+2\cdot 1 = 3$. Haciendo lo mismo para cada entrada, obtenemos que
    \begin{align*}
    A+2B= \begin{pmatrix}
    3 & 5 & 6\\
    14 & 17 & 19\\
    9 & 10 & 13
    \end{pmatrix}
    \end{align*}
    De manera similar, obtenemos que \begin{align*}A-B=\begin{pmatrix} 0 &-1 & -3 \\ -7 & -7 & -8\\ -3 & -5 &-5\end{pmatrix}.\end{align*}
  2. En este caso las operaciones no tienen sentido, pues una matriz tiene 5 renglones y la otra 6.
  3. Observamos que ambas matrices tienen el mismo tamaño, por lo que sí podemos calcular ambas operaciones: \begin{align*}
    A+2B= \begin{pmatrix}
    3 & -1 & 4\\ 7 & 13 & 24
    \end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y} \hspace{5mm} A-B=\begin{pmatrix} 0 &2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\end{align*}

$\triangle$

Problema 3.

  • a) Considera la función $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ dada por
    \begin{align*}
    f(x,y)=(x^2,y^2).
    \end{align*}
    ¿Es $f$ una transformación lineal?
  • b) Responde la misma pregunta reemplazando $\mathbb{R}$ por $\mathbb{F}_2$.

Solución.

  • a) No, $f$ no es lineal. Vamos a ver un ejemplo en el cual no «abre sumas». Por un lado, tenemos por definición que $f(2,0)=(4,0)$. Por otro lado, tenemos que $(2,0)=(1,0)+(1,0)$ y que $f(1,0)+f(1,0)= (2,0)$. Es decir
    \begin{align*}
    f( (1,0)+(1,0) ) \neq f(1,0)+f(1,0).
    \end{align*}
  • b) Si cambiamos el dominio por $\mathbb{F}_2$ entonces $f$ sí es lineal. Lo podemos verificar:
    \begin{align*}
    f(x+y,z+w)&= \left((x+y)^2, (z+w)^2\right)\\
    &= \left( x^2+y^2+2xy, z^2+w^2+2wz\right)\\
    &=\left(x^2+y^2, z^2+w^2\right)\\
    &= \left(x^2,z^2\right)+\left(y^2,w^2\right)\\
    &= f(x,z)+f(y,w).
    \end{align*}
    En estas igualdades estamos usando que $\mathbb{F}_2$ es el campo con dos elementos, en donde se cumple que $2=1+1=0$, por lo cual $2xy=0=2wz$.
    Por otro lado, si $\alpha\in \mathbb{F}_2$ es un escalar, entonces
    \begin{align*}
    f(\alpha\cdot(x,y))&= f(\alpha x, \alpha y)\\
    &= (\alpha^2 x^2, \alpha^2 y^2)\\
    &= \alpha^2 \cdot (x^2,y^2)\\
    &= \alpha \cdot f(x,y).
    \end{align*}
    De nuevo estamos usando las propiedades del campo $\mathbb{F}_2$ en la última igualdad. Como $\mathbb{F}_2$ es el campo con $2$ elementos, los valores de $\alpha, x,y $ sólo pueden ser $0$ o $1$. Como $0^2=0$ y $1^2=1$, tenemos la igualdad. Concluimos que $f$ es lineal.
  • b)’ Otra manera de resolver el inciso b) es observar que en $\mathbb{F}_2$, $x^2=x$ para todo $x$ (esto lo usamos con $\alpha, x, y$ en la prueba pasada). Luego la función $f$ coincide con la función identidad, y es más fácil verificar que ésta es lineal.

$\triangle$

Problema 4. Da un ejemplo de un mapeo $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ que no sea lineal, pero que cumpla

\begin{align*}
f(av)= af(v)
\end{align*}

para cualesquiera $v\in \mathbb{R}^2$ y $a\in \mathbb{R}$.

Solución. Proponemos

\begin{align*}
f(x,y)= \begin{cases} x & \text{si } y=0\\
y & \text{si } y\neq 0
\end{cases}.
\end{align*}

Verifiquemos que $f$ cumple la compatibilidad con escalares. Primero, si $a=0$ es claro que

\begin{align*}
f(av) &= f(0,0)\\
&= 0\\
&= 0 \cdot f(v)\\
&= a\cdot f(v).
\end{align*}

Entonces si $a=0$ se cumple la condición. Ahora supongamos que $a\neq 0$, tenemos dos subcasos que verificar:

  • Si $v=(x,y)$ con $y\neq 0$, entonces $av= (ax,ay)$ y $ay\neq 0$ (pues el producto de reales no nulos es no nulo), por lo que
    \begin{align*}
    f(av)&= f(ax,ay)\\
    &= ay\\
    &= a\cdot f(x,y)=a\cdot f(v).
    \end{align*}
  • Si $v=(x,0)$ entonces $av= (ax,0)$ y así
    \begin{align*}
    f(av)&= f(ax,0)\\
    &= ax\\
    &= a\cdot f(x,0)=a\cdot f(v).
    \end{align*}

Así verificamos que $f$ cumple con la condición buscada. Para ver que $f$ no es lineal, observamos que

  • $f(1,0)=1$
  • $f(0,1)=1$
  • $f(1,1)=1$

Y así tenemos

\begin{align*}
f(0,1)+f(1,0)&= 2\\
&\neq 1\\
&= f(1,1)\\
&=f((1,0)+(0,1))
\end{align*}

Es decir, existen $u$ y $v$ vectores tales que $f(u+v)\neq f(u)+f(v)$, por lo que $f$ no es lineal.

$\triangle$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Determinantes de vectores e independencia lineal

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

4 respuestas

Introducción

En este cuarto y último bloque del curso comenzamos hablando de transformaciones multilineales y de permutaciones. Luego, nos enfocamos en las transformaciones multilineales antisimétricas y alternantes. Con la teoría que hemos desarrollado hasta ahora, estamos listos para definir determinantes de vectores, de transformaciones lineales y de matrices.

En esta entrada comenzaremos con la definición de determinantes de vectores. En la siguiente entrada hablaremos acerca de determinantes de matrices y de transformaciones lineales. Después de definir determinantes, probaremos varias de las propiedades que satisfacen. Posteriormente, hablaremos de varias técnicas que nos permitirán calcular una amplia variedad de determinantes para tipos especiales de matrices.

Determinantes de vectores

Para empezar, definiremos qué es el determinante de un conjunto de vectores en un espacio de dimensión finita con respecto a una base.

Definición. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$ y $x_1,\ldots,x_n$ vectores de $V$. Cada uno de los $x_i$ se puede escribir como $$x_i=\sum_{j=1}^n a_{ji}b_j.$$

El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a $(b_1,\ldots,b_n)$ es $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)},$$ y lo denotamos por $\det_{(b_1,\ldots,b_n)} (x_1,\ldots,x_n)$.

Observa que estamos sumando tantos términos como elementos en $S_n$. Como existen $n!$ permutaciones de un conjunto de $n$ elementos, entonces la suma de la derecha tiene $n!$ sumandos.

Ejemplo. Consideremos la base $b_1=1$, $b_2=1+x$ y $b_3=1+x+x^2$ del espacio vectorial $\mathbb{R}_2[x]$ de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más $2$. Tomemos los polinomios $v_1=1$, $v_2=2x$ y $v_3=3x^2$. Vamos a calcular el determinante de $v_1, v_2, v_3$ con respecto a la base $(b_1,b_2,b_3)$.

Para hacer eso, lo primero que tenemos que hacer es expresar a $v_1, v_2, v_3$ en términos de la base. Hacemos esto a continuación:
\begin{align*}
v_1&= 1\cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3\\
v_2&= -2\cdot b_1 + 2 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3\\
v_3&= 0 \cdot b_1 – 3 \cdot b_2 +3 b_3.
\end{align*}

De aquí, obtenemos
\begin{align*}
a_{11}&=1, a_{21}=0, a_{31}=0,\\
a_{12}&=-2, a_{22}=2, a_{32}=0,\\
a_{13}&=0, a_{23}=-3, a_{33}=3.
\end{align*}

Si queremos calcular el determinante, tenemos que considerar las $3!=3\cdot 2 \cdot 1 = 6$ permutaciones en $S_3$. Estas permutaciones son

\begin{align*}
\sigma_1 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\\
\sigma_2 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}\\
\sigma_3 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}\\
\sigma_4 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\\
\sigma_5 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\\
\sigma_6 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}.
\end{align*}

Los signos de $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son, como puedes verificar, $1$, $-1$, $-1$, $1$, $-1$ y $1$, respectivamente.

El sumando correspondiente a $\sigma_1$ es
\begin{align}
\text{sign}(\sigma_1) &a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}a_{3\sigma_1(3)}\\
&= 1 \cdot a_{11}a_{22}a_{33}\\
&=1\cdot 1\cdot 2 \cdot 3 = 6.
\end{align}

El sumando correspondiente a $\sigma_2$ es
\begin{align}
\text{sign}(\sigma_2) &a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)}a_{3\sigma_2(3)}\\
&= (-1) \cdot a_{11}a_{23}a_{32}\\
&=(-1) \cdot 1\cdot (-3) \cdot 0 = 0.
\end{align}

Continuando de esta manera, se puede ver que los sumandos correspondientes a $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son $$+6,-0,-0,+0,-0,+0,$$ respectivamente de modo que el determinante es $6$.

$\triangle$

La expresión de determinante puede parecer algo complicada, pero a través de ella podemos demostrar fácilmente algunos resultados. Consideremos como ejemplo el siguiente resultado.

Proposición. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$. El determinante de $B$ con respecto a sí mismo es $1$.

Demostración. Cuando escribimos a $b_i$ en términos de la base $b$, tenemos que $$b_i=\sum_{j=1}^n a_{ji} b_j.$$ Como la expresión en una base es única, debemos tener $a_{ii}=1$ y $a_{ji}=0$ si $j\neq i$. Ahora, veamos qué le sucede al determinante $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}.$$

Si $\sigma$ es una permutación tal que $\sigma(i)\neq i$ para alguna $i$, entonces en el producto del sumando correspondiente a $\sigma$ aparece $a_{i\sigma(i)}=0$, de modo que ese sumando es cero. En otras palabras, el único sumando no cero es cuando $\sigma$ es la permutación identidad.

Como el signo de la identidad es $1$ y cada $a_{ii}$ es $1$, tenemos que el determinante es
\begin{align*}
\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}&(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)} \\
&=a_{11}\cdot\ldots\cdot a_{nn}\\
&= 1\cdot\ldots\cdot 1 \\
& = 1.
\end{align*}

$\square$

El determinante es una forma $n$-lineal alternante

La razón por la cual hablamos de transformaciones $n$-lineales antisimétricas y alternantes antes de hablar de determinantes es que, en cierto sentido, los determinantes de vectores son las únicas transformaciones de este tipo. Los siguientes resultados formalizan esta intuición.

Teorema. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ sobre $F$. Entonces la transformación $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}:V^n \to F$ es una forma $n$-lineal y alternante.

Demostración. La observación clave para demostrar este resultado es que $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ se puede reescribir en términos de la base dual $b_1^\ast, \ldots, b_n^\ast$. En efecto, recuerda que $b_i^\ast$ es la forma lineal que «lee» la coordenada de un vector $v$ escrito en la base $B$. De esta forma,

\begin{align*}
\det_{(b_1,\ldots,b_n)}&(v_1,\ldots,v_n)\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}\left(\text{sign}(\sigma) \prod_{j=1}^n b_j^\ast(v_{\sigma(j)})\right)\\
\end{align*}

Para cada permutación $\sigma$, el sumando correspondiente es una forma $n$-lineal, pues es producto de $n$ formas lineales evaluadas en los distintos vectores. Así que $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ es suma de formas $n$-lineales y por lo tanto es forma $n$-lineal.

Para mostrar que el determinante es alternante, tenemos que mostrar que es igual a $0$ cuando algún par de sus entradas son iguales. Supongamos que $i\neq j$ y que $v_i=v_j$. Tomemos $\tau$ a la transposición que intercambia a $i$ y a $j$. Cuando se compone una permutación con una transposición, su signo cambia. Así, para cualquier permutación $\sigma$, tenemos que $\sigma\tau$ tiene signo diferente.

Además, para cualquier $\sigma$ tenemos que $$a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}$$ y $$a_{1\sigma\tau(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma\tau(n)}$$ son iguales, pues $v_i=v_j$. Combinando ambas ideas, podemos emparejar a cada sumando del determinante con otro con el cual sume cero. Esto muestra que el determinante es $0$.

$\square$

Usando la teoría que desarrollamos en la entrada anterior, tenemos el siguiente corolario.

Corolario. La forma $n$-lineal $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ es antisimétrica.

Los determinantes de vectores son las «únicas» formas $n$-lineales alternantes

Ya vimos que el determinante es una forma $n$-lineal alternante. Veamos ahora por qué decimos que es «la única». El siguiente resultado dice que cualquier otra forma $n$-lineal alternante varía de $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ únicamente por un factor multiplicativo.

Teorema. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$. Si $f:V^n \to F$ es cualquier forma $n$-lineal y alternante, entonces $$f=f(b_1,\ldots,b_n)\det_{(b_1,\ldots,b_n)}.$$

Demostración. Para mostrar la igualdad del teorema, que es una igualdad de transformaciones, tenemos que ver que es cierta al evaluar en cualesquiera vectores $x_1,\ldots,x_n$. Escribamos a cada $x_i$ en términos de la base $B$: $$x_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_j.$$

Usando la $n$-linealidad de $f$ en cada una de las entradas, tenemos que
\begin{align*}
f(x_1,\ldots,x_n)&=\sum_{i=1}^n a_{1i} f(b_i,x_2,\ldots,x_n)\\
&=\sum_{i,j=1}^n a_{1i}a_{2i} f(b_i,b_j,x_3,\ldots,x_n)\\
&=\ldots\\
&=\sum_{i_1,\ldots,i_n = 1}^n a_{1i_1}\ldots a_{ni_n} f(b_{i_1},\ldots,b_{i_n}).
\end{align*}

Aquí hay muchos términos, pero la mayoría de ellos son $0$. En efecto, si $b_{i_k}=b_{i_l}$, como $f$ es alternante tendríamos que ese sumando es $0$. Así, los únicos sumandos que pueden ser no cero son cuando la elección de subíndices es una permutación, es decir cuando existe $\sigma$ en $S_n$ tal que para $i_k=\sigma(k)$.

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión anterior a
$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{\sigma \in S_n}a_{1 \sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)} f(b_{\sigma(1)},\ldots,b_{\sigma(n)}).$$

Como $f$ es alternante, entonces es antisimétrica. De este modo, podemos continuar la igualdad anterior como
\begin{align*}
&=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma) a_{1 \sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)} f(b_1,\ldots,b_n)\\
&=f(b_1,\ldots,b_n) \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(x_1,\ldots, x_n).
\end{align*}

Esto es justo lo que queríamos probar.

$\square$

Los determinantes de vectores caracterizan bases

Como consecuencia del último teorema de la sección anterior, los determinantes de vectores caracterizan totalmente a los conjuntos de vectores que son bases. A continuación enunciamos esto formalmente.

Corolario. En un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ son equivalentes las siguientes tres afirmaciones para vectores $x_1,\ldots,x_n$ de $V$:

  1. El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a toda base es distinto de $0$.
  2. El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a alguna base es distinto de $0$.
  3. $x_1,\ldots,x_n$ es una base de $V$.

Demostración. La afirmación (1) es más fuerte que la (2) y por lo tanto la implica.

Ahora, probemos que la afirmación (2) implica la afirmación (3). Como $x_1,\ldots,x_n$ son $n$ vectores y $n$ es la dimensión de $V$, para mostrar que forman una base basta mostrar que son linealmente independientes. Anteriormente, vimos que cualquier forma alternante manda vectores linealmente dependientes a $0$. Como la hipótesis de (2) es que existe alguna forma alternante que no se anula en $x_1,\ldots, x_n$, entonces deben ser linealmente independientes y por lo tanto formar una base.

Finalmente, probemos que (3) implica (1). Tomemos $B=(b_1,\ldots,b_n)$ otra base de $V$. Como $\det_{(x_1,\ldots,x_n)}$ es una forma $n$-lineal, podemos aplicar el teorema anterior y evaluar en $x_1,\ldots,x_n$ para concluir que
\begin{align*}
\det_{(x_1,\ldots,x_n)}&(x_1,\ldots,x_n)&\\
&=\det_{(x_1,\ldots,x_n)}(b_1,\ldots,b_n) \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(x_1,\ldots,x_n).
\end{align*}

El término de la izquierda es igual a $1$, de modo que ambos factores a la derecha deben ser distintos de $0$.

$\square$

Ejemplo. En el ejemplo que dimos de polinomios vimos que el determinante de $1$, $2x$ y $3x^2$ con respecto a la base $1$, $1+x$ y $1+x+x^2$ es igual a $6$. De acuerdo al teorema anterior, esto implica que $1$, $2x$ y $3x^2$ es un conjunto linealmente independiente de polinomios, y de hecho una base.

Además, el teorema anterior también implica que sin importar que otra base $B$ de $\mathbb{R}_2[x]$ tomemos, el determinante de $1$, $2x$ y $3x^2$ con respecto a $B$ también será distinto de $0$.

$\triangle$

Más adelante…

A lo largo de esta entrada estudiamos la definición de determinantes para un conjunto de vectores y enunciamos sus principales propiedades. En las siguientes entradas vamos a hablar cómo se define el determinante para matrices y para transformaciones lineales. Después de las definiciones, pasaremos a estudiar cómo se calculan los determinantes y veremos cómo se aplican a diferentes problemas de álgebra lineal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • ¿Cuántos sumandos tendrá el determinante de $5$ vectores en un espacio vectorial de dimensión $5$ con respecto a cualquier base? Da el número de manera explícita.
  • Verifica que en el primer ejemplo de determinantes de esta entrada, en efecto los sumandos correspondientes a $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son los que se enuncian.
  • Encuentra el determinante de los vectores $(3,1)$ y $(2,4)$ con respecto a la base $((5,1), (2,3))$ de $\mathbb{R}^2$.
  • Muestra que los vectores $(1,4,5,2)$, $(0,3,2,1)$, $(0,0,-1,4)$ y $(0,0,0,1)$ son linealmente independientes calculando por definición su determinante con respecto a la base canónica de $\mathbb{R}^4$.
  • Usa un argumento de determinantes para mostrar que los vectores $(1,4,3)$, $(2,-2,9)$, $(7,8,27)$ de $\mathbb{R}^3$ no son linealmente independientes. Sugerencia. Calcula su determinante con respecto a la base canónica.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Transformaciones multilineales antisimétricas y alternantes

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

5 respuestas

Introducción

En la entrada anterior hablamos de la importancia que tiene poder diagonalizar una matriz: nos ayuda a elevarla a potencias y a encontrar varias de sus propiedades fácilmente. En esa entrada discutimos a grandes rasgos el caso de matrices en $M_2(\mathbb{R})$. Dijimos que para dimensiones más altas, lo primero que tenemos que hacer es generalizar la noción de determinante de una manera que nos permita probar varias de sus propiedades fácilmente. Es por eso que introdujimos a las funciones multilineales y dimos una introducción a permutaciones. Tras definir las clases de transformaciones multilineales alternantes y antisimétricas, podremos finalmente hablar de determinantes.

Antes de entrar con el tema, haremos un pequeño recordatorio. Para $d$ un entero positivo y $V$, $W$ espacios vectoriales sobre un mismo campo, una transformación $d$-lineal es una transformación multilineal de $V^d$ a $W$, es decir, una tal que al fijar cualesquiera $d-1$ coordenadas, la función que queda en la entrada restante es lineal.

Con $[n]$ nos referimos al conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$. Una permutación en $S_n$ es una función biyectiva $\sigma:[n]\to [n]$. Una permutación invierte a la pareja $i<j$ si $\sigma(i)>\sigma(j)$. Si una permutación $\sigma$ invierte una cantidad impar de parejas, decimos que es impar y que tiene signo $\text{sign}(\sigma)=-1$. Si invierte a una cantidad par de parejas (tal vez cero), entonces es par y tiene signo $\text{sign}(\sigma)=1$.

Transformaciones $n$-lineales antisimétricas y alternantes

Tomemos $d$ un entero positivo, $V$, $W$ espacios vectoriales sobre el mismo campo y $\sigma$ una permutación en $S_d$. Si $T:V^d\to W$ es una transformación $d$-lineal, entonces la función $(\sigma T):V^d\to W$ dada por $$(\sigma T)(v_1,\ldots,v_d)=T(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},\ldots,v_{\sigma(d)})$$ también lo es. Esto es ya que sólo se cambia el lugar al que se lleva cada vector. Como $T$ es lineal en cualquier entrada (al fijar las demás), entonces $\sigma T$ también.

Definición. Decimos que $T$ es antisimétrica si $\sigma T = \text{sign}(\sigma) T$ para cualquier permutación $\sigma$ en $S_d$. En otras palabras, $T$ es antisimétrica si $\sigma T=T$ para las permutaciones pares y $\sigma T = -T$ para las permutaciones impares.

Definición. Decimos que $T$ es alternante si $T(v_1,\ldots,v_d)=0$ cuando hay dos $v_i$ que sean iguales.

Ejemplo. Consideremos la función $T:(\mathbb{R}^2)^2\to\mathbb{R}$ dada por $$T((a,b),(c,d))=ad-bc.$$ Afirmamos que ésta es una transformación $2$-lineal alternante y antisimétrica. La parte de mostrar que es $2$-lineal es sencilla y se queda como tarea moral.

Veamos primero que es una función alternante. Tenemos que mostrar que si $(a,b)=(c,d)$, entonces $T((a,b),(c,d))=0$. Para ello, basta usar la definición: $$T((a,b),(a,b))=ab-ab=0.$$

Ahora veamos que es una función antisimétrica. Afortunadamente, sólo hay dos permutaciones en $S_2$, la identidad $\text{id}$ y la permutación $\sigma$ que intercambia a $1$ y $2$. La primera tiene signo $1$ y la segunda signo $-1$.

Para la identidad, tenemos $(\text{id}T)((a,b),(c,d))=\sigma((a,b),(c,d))$, así que $(\text{id}T)=T=\text{sign}(\text{id})T$, como queremos.

Para $\sigma$, tenemos que $\sigma T$ es aplicar $T$ pero «con las entradas intercambiadas». De este modo:
\begin{align*}
(\sigma T)((a,b),(c,d))&=T((c,d),(a,b))\\
&=cb-da\\
&=-(ad-bc)\\
&=-T((a,b),(c,d)).
\end{align*}

Esto muestra que $(\sigma T) = -T = \text{sign}(\sigma)T$.

$\square$

Equivalencia entre alternancia y antisimetría

Resulta que ambas definiciones son prácticamente la misma. Las transformaciones alternantes siempre son antisimétricas. Lo único que necesitamos para que las transformaciones antisimétricas sean alternantes es que en el campo $F$ en el que estamos trabajando la ecuación $2x=0$ sólo tenga la solución $x=0$. Esto no pasa, por ejemplo, en $\mathbb{Z}_2$. Pero sí pasa en $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$.

Proposición. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un campo donde $2x=0$ sólo tiene la solución $x=0$. Sea $d$ un entero positivo. Una transformación $d$-lineal $T:V^d\to W$ es antisimétrica si y sólo si es alternante.

Demostración. Supongamos primero que $T$ es antisimétrica. Mostremos que es alternante. Para ello, supongamos que para $i\neq j$ tenemos que $x_i=x_j$.

Tomemos la permutación $\sigma:[d]\to [d]$ tal que $\sigma(i)=j$, $\sigma(j)=i$ y $\sigma(k)=k$ para todo $k$ distinto de $i$ y $j$. A esta permutación se le llama la transposición $(i,j)$. Es fácil mostrar (y queda como tarea moral), que cualquier transposición tiene signo $-1$.

Usando la hipótesis de que $T$ es antisimétrica con la transposición $(i,j)$, tenemos que
\begin{align*}
T(x_1,&\ldots, x_i,\ldots,x_j,\ldots,x_n)\\
&=-T(x_1,\ldots, x_j,\ldots,x_i,\ldots,x_n)\\
&=-T(x_1,\ldots, x_i,\ldots,x_j,\ldots,x_n),
\end{align*}

en donde en la segunda igualdad estamos usando que $x_i=x_j$. De este modo, $$2T(x_1,\ldots, x_i,\ldots,x_j,\ldots,x_n)=0,$$ y por la hipótesis sobre el campo, tenemos que $$T(x_1,\ldots, x_i,\ldots,x_j,\ldots,x_n)=0.$$ Así, cuando dos entradas son iguales, la imagen es $0$, de modo que la transformación es alternante.

Hagamos el otro lado de la demostración. Observa que este otro lado no usará la hipótesis del campo. Supongamos que $T$ es alternante.

Como toda permutación es producto de transposiciones y el signo de un producto de permutaciones es el producto de los signos de los factores, basta con mostrar la afirmación para transposiciones. Tomemos entonces $\sigma$ la transposición $(i,j)$. Tenemos que mostrar que $\sigma T = \text{sign}(\sigma) T = -T$.

Usemos que $T$ es alternante. Pondremos en las entradas $i$ y $j$ a la suma de vectores $x_i+x_j$, de modo que $$T(x_1,\ldots,x_i+x_j,\ldots,x_i+x_j,\ldots,x_n)=0.$$ Usando la $n$-linealidad de $T$ en las entradas $i$ y $j$ para abrir el término a la izquierda, tenemos que
\begin{align*}
0=T(x_1&,\ldots,x_i,\ldots,x_i,\ldots,x_n) + \\
&T(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_j,\ldots,x_n)+\\
&T(x_1,\ldots,x_j,\ldots,x_i,\ldots,x_n)+\\
&T(x_1,\ldots,x_j,\ldots,x_j,\ldots,x_n).
\end{align*}

Usando de nuevo que $T$ es alternante, el primero y último sumando son cero. Así, \begin{align*}
T(x_1&,\ldots, x_i,\ldots,x_j,\ldots,x_n)\\
&=-T(x_1,\ldots, x_j,\ldots,x_i,\ldots,x_n).
\end{align*}

En otras palabras, al intercambiar las entradas $i$ y $j$ se cambia el signo de $T$, que precisamente quiere decir que $(\sigma T) = \text{sign}(\sigma)T$.

$\square$

Las transformaciones alternantes se anulan en linealmente dependientes

Una propiedad bastante importante de las transformaciones alternantes es que ayudan a detectar a conjuntos de vectores linealmente dependientes.

Teorema. Sea $T:V^d\to W$ una transformación $d$-lineal y alternante. Supongamos que $v_1,\ldots,v_d$ son linealmente dependientes. Entonces $$T(v_1,v_2,\ldots,v_d)=0.$$

Demostración. Como los vectores son linealmente dependientes, hay uno que está generado por los demás. Sin perder generalidad, podemos suponer que es $v_d$ y que tenemos $$v_d=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_{d-1}v_{d-1}$$ para ciertos escalares $\alpha_1,\ldots, \alpha_{d-1}$.

Usando la $d$-linealidad de $T$, tenemos que
\begin{align*}
T\left(v_1,v_2,\ldots,v_{d-1},v_d\right)&=T\left(v_1,\ldots,v_{d-1},\sum_{i=1}^{d-1} \alpha_i v_i\right)\\
&=\sum_{i=1}^{d-1} \alpha_i T(v_1,\ldots,v_{d-1}, v_i).
\end{align*}

Usando que $T$ es alternante, cada uno de los sumandos del lado derecho es $0$, pues en el $i$-ésimo sumando tenemos que aparece dos veces el vector $v_i$ entre las entradas de $T$. Esto muestra que $$T(v_1,\ldots,v_d)=0,$$ como queríamos mostrar.

$\square$

Introducción a definiciones de determinantes

En la siguiente entrada daremos tres definiciones de determinante. Una es para un conjunto de vectores. Otra es para transformaciones lineales. La última es para matrices. Todas ellas se motivan entre sí, y las propiedades de una nos ayudan a probar propiedades de otras. En esa entrada daremos las definiciones formales. Por ahora sólo hablaremos de ellas de manera intuitiva.

Para definir el determinante para un conjunto de vectores, empezamos con un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ y tomamos una base $B=(b_1,\ldots,b_n)$. Definiremos el determinante con respecto a $B$ de un conjunto de vectores $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ , al cual denotaremos por $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}(v_1,\ldots,v_n)$de $V$ de la manera siguiente.

A cada vector $v_i$ lo ponemos como combinación lineal de elementos de la base: $$v_i=\sum_{j=1}^n a_{ji}b_j.$$ El determinante $$\det_{(b_1,\ldots,b_n)}(v_1,\ldots,v_n)$$ es $$\sum_{\sigma \in S(n)} \text{sign}(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdot a_{2\sigma(1)}\cdot \ldots\cdot a_{n\sigma(n)}.$$

Observa que esta suma tiene tantos sumandos como elementos en $S_n$, es decir, como permutaciones de $[n]$. Hay $n!$ permutaciones, así que esta suma tiene muchos términos incluso si $n$ no es tan grande.

Veremos que para cualquier base $B$, el determinante con respecto a $B$ es una forma $d$-lineal alternante, y que de hecho las únicas formas $d$-lineales alternantes en $V$ «son determinantes», salvo una constante multiplicativa.

Luego, para una transformación $T:V\to V$ definiremos al determinante de $T$ como el determinante $$\det_{(b_1,\ldots,b_n)}(T(b_1),\ldots,T(b_n)),$$ y veremos que esta definición no depende de la elección de base.

Finalmente, para una matriz $A$ en $M_n(F)$, definiremos su determinante como el determinante de la transformación $T_A:F^n\to F^n$ tal que $T_A(X)=AX$. Veremos que se recupera una fórmula parecida a la de determinante para un conjunto de vectores.

Los teoremas que veremos en la siguiente entrada nos ayudarán a mostrar más adelante de manera muy sencilla que el determinante para funciones o para matrices es multiplicativo, es decir, que para $T:V\to V$, $S:V\to V$ y para matrices $A,B$ en $M_n(F)$ se tiene que

\begin{align*}
\det(T\circ S)&=\det(T)\cdot \det(S)\\
\det(AB)&=\det(A)\cdot \det(B).
\end{align*}

También mostraremos que los determinantes nos ayudan a caracterizar conjuntos linealmente independientes, matrices invertibles y transformaciones biyectivas.

Más Adelante…

En esta entrada hemos definido las clases de transformaciones lineales alternantes y antisimétricas; esto con la finalidad de introducir el concepto de determinantes. Además hemos dado una definición intuitiva del concepto de determinante.

En las siguientes entrada estudiaremos diferentes definiciones de determinante: para un conjunto de vectores, para una transformación lineal y finalmente para una matriz. Veremos cómo el uso de determinantes nos ayuda a determinar si un conjunto es linealmente independiente, si una matriz es invertible o si una transformación es biyectiva; además de otras aplicaciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba que la función $T:(\mathbb{R}^2)^2\to\mathbb{R}$ dada por $$T((a,b),(c,d))=ad-bc$$ es $2$-lineal. Para esto, tienes que fijar $(a,b)$ y ver que es lineal en la segunda entrada, y luego fijar $(c,d)$ y ver que es lineal en la primera.
  • Muestra que las transposiciones tienen signo $-1$. Ojo: sólo se intercambia el par $(i,j)$, pero puede ser que eso haga que otros pares se inviertan.
  • Muestra que cualquier permutación se puede expresar como producto de transposiciones.
  • Muestra que la suma de dos transformaciones $n$-lineales es una transformación $n$-lineal. Muestra que al multiplicar por un escalar una transformación $n$-lineal, también se obtiene una transformación $n$-lineal.
  • ¿Es cierto que la suma de transformaciones $n$-lineales alternantes es alternante?

Al final del libro Essential Linear Algebra with Applications de Titu Andreescu hay un apéndice en el que se habla de permutaciones. Ahí puedes aprender o repasar este tema.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»