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Álgebra Superior II: Mínimo Común Múltiplo

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

Introducción

En la entrada anterior hablamos del máximo común divisor, para lo cual lo definimos en términos de ideales. Luego vimos que cumplía las propiedades que esperábamos. Es el turno de hacer lo mismo con el mínimo común múltiplo.

Recordando lo que nos enseñaron en la educación básica, el mínimo común múltiplo de dos enteros $a$ y $b$ tenía que ser simultáneamente múltiplo de ambos y, a la vez, tenía que ser lo más pequeño posible. Siendo un poco más precisos, tenía que ser un múltiplo positivo.

Como ejemplo, tomemos $a = 6$, $b = 8$. Una manera muy sencilla de encontrar un múltiplo en común es multiplicando ambos: $6\cdot 8 = 48$. Pero este no es el múltiplo más pequeño. Para poder encontrar aquel que sí sea el más pequeño, podemos enlistar los múltiplos de cada uno de estos números:

  • Múltiplos de $6$: $6,12,18,24,30,36, \ldots$
  • Múltiplos de $8$: $8, 16, 24, 32, 40, \ldots$

Notamos que el número más pequeño que está en ambas listas es el $24$. En educación básica había otras maneras de obtener esto sin hacer las listas anteriores, por ejemplo, mediante la siguiente tabla, en donde «vamos encontrando divisores en común, o bien de cada número».

862
432
232
133
1
El mínimo común múltiplo de 8 y 6 es $2^3\cdot 3 = 24.$

Lo que haremos será un poco distinto. Nuestra definición se basará nuevamente en el concepto de ideales. Veremos cómo hacer esto y cómo regresar al terreno familiar de mínimo común múltiplo que ya conocemos.

Mínimo Común Múltiplo

En la entrada de ideales en $\mathbb{Z}$ demostramos que la intersección de cualesquiera dos ideales es un ideal. También vimos que cualquier ideal era generado por algún entero no negativo. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición. Sean $a$ y $b$ números enteros. Definimos a su mínimo común múltiplo como al entero no negativo $k$ tal que $a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = k \mathbb{Z}$. En símbolos, nos referimos al mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ como $\text{mcm}(a,b)$, o bien simplemente como $[a,b]$.

Ejemplo. Retomemos el ejemplo de la introducción. Si queremos calcular, por definición, al mínimo común múltiplo de los enteros $6$ y $8$, debemos considerar a los ideales $6\mathbb{Z}$ y $8\mathbb{Z}$, que respectivamente son:

$$6 \mathbb{Z} = \{\ldots, -12, -6, 0, 6, 12 ,18, 24, \ldots \}$$

$$8 \mathbb{Z}= \{\ldots, -16, -8, 0 ,8, 16, 24, 32, \ldots \}$$

Si hacemos la intersección de ambos ideales, notemos que obtenemos lo siguiente:

$$6 \mathbb{Z} \cap 8 \mathbb{Z} = \{\ldots, -24, 0, 24, 48, 72, \ldots\},$$

que es el ideal generado por el $24$. Así, tenemos, por definición, que el mínimo común múltiplo de $6$ y $8$ es igual a $24$.

$\square$

Propiedad fundamental del Mínimo Común Múltiplo

Lo que nos gustaría hacer ahora es demostrar que el mínimo común múltiplo que obtuvimos de nuestra definición es, en efecto, el número que cumple con las propiedades que esperamos. Escribimos esto en la siguiente proposición.

Proposición. Sean $a$ y $b$ números enteros. Se cumple que:

  • $a\mid [a,b]$ y $b\mid [a,b]$
  • Si $a\mid m$ y $b\mid m$, entonces $[a,b]\mid m$.

Demostración. La primera parte es sencilla. Como $[a,b]$ genera a $a\mathbb{Z} \cap b \mathbb{Z}$, en particular está en este conjunto. Como $[a,b]\in a\mathbb{Z}$, entonces $a|[a,b]$ y como $[a,b]\in b\mathbb{Z}$, entonces $b|[a,b]$.

Para la segunda parte, si $a\mid m$ y $b\mid m$, entonces $m\in a\mathbb{Z}$ y $m\in b\mathbb{Z}$, pero entonces $m\in a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = [a,b]\mathbb{Z}$. De este modo, $[a,b]|m$.

$\square$

Así, el primer punto dice que $[a,b]$ es en efecto un múltiplo en común. El segundo punto es el que dice que «es el mínimo», pues a partir de la divisibilidad ahí escrita se deduce que $|[a,b]|\leq |m|$. Si pedimos que $m$ sea positivo, tenemos entonces que, en efecto, $[a,b]\leq m$. En resumen.

Corolario. Sean $a$ y $b$ enteros y $m$ un entero positivo múltiplo tanto de $a$ como de $b$. Entonces $m\geq [a,b]$.

Otra propiedad del Mínimo Común Múltiplo

Tanto el mínimo común múltiplo, como el máximo común divisor, tienen muchas propiedades que se pueden demostrar. Hay dos caminos que usualmente funcionan: o bien usar la definición a partir de ideales, o bien usar las propiedades fundamentales de cada uno de los conceptos. Veamos algunos ejemplos para el mínimo común múltiplo.

La siguiente propiedad dice que ahora mostraremos que el mínimo común múltiplo «saca constantes» en cierto sentido. Veremos una demostración usando ideales.

Proposición. Sea $k$ un entero positivo, y $b,c$ enteros cualesquiera. Se cumple que $ [kb, kc] = k[b,c]. $

Demostración. Por definición, $[kb,kc]$ es el entero no negativo que genera al ideal $(kb)\mathbb{Z} \cap (kc)\mathbb{Z}$. Nos gustaría ver que dicho entero es $k[b,c]$, en otras palabras, hay que verificar la siguiente igualdad de conjuntos:

$$(kb)\mathbb{Z} \cap (kc)\mathbb{Z} = k[b,c]\mathbb{Z}.$$

Veamos que el lado izquierdo está contenido en el derecho. Tomemos un entero $m$ del lado izquierdo. Como es múltiplo de $kb$, lo podemos escribir como $m=kbr$ para $r \in \mathbb{Z}$. Como es múltiplo de $kc$, lo podemos escribir como $m=kcs$ para $s\in \mathbb{Z}$. Tenemos entonces $kbr=m=kcs$, de donde $br=cs$ (usando $k>0$). Así, $n=br=cs$ es simultánteamente múltiplo de $b$ y $c$, así que debe ser múltiplo de $[b,c]$, digamos $n=t[b,c]$. De este modo, tenemos que $m=kbr=kn=kt[b,c]$. Esto muestra que $m$ está en $k[b,c]\mathbb{Z}$.

Ahora veamos que el lado derecho está contenido en el izquierdo. Un entero $m$ en $k[b,c]\mathbb{Z}$ es de la forma $m=k[b,c]t$ para $t$ un entero. Como $[b,c]$ es múltiplo de $b$ y $c$, podemos escribir $[b,c]=rb$ y $[b,c]=sc$ para algunos enteros $r$ y $s$. Tenemos entonces que

$$m=k[b,c]t=krbt=(kb)(rt),$$

lo cual muestra que $m$ está en $(kb)\mathbb{Z}$ y que

$$m=k[b,c]t=ksct=(kc)(st),$$

lo cual muestra que $m$ está en $(kc)\mathbb{Z}$. Esto muestra que $m$ está en la intersección buscada.

$\square$

Mínimo común múltiplo y primos relativos

Cuando dos números positivos son primos relativos, es sencillo encontrar su mínimo común múltiplo: simplemente se multiplican. De hecho, esto es una caracterización para los números primos relativos.

Proposición. Sean $a$ y $b$ dos números enteros positivos. Se tiene que $(a,b)=1$ si y sólo si $[a,b]=ab$.

Demostración. Supongamos primero que $(a,b)=1$. Tenemos que $a|[a,b]$ y que $b|[a,b]$ Por una propiedad de primos relativos de la entrada anterior, podemos deducir que $ab|[a,b]$. A la vez, sabemos que $[a,b]$ divide a cualquier múltiplo en común de $a$ y $b$, en particular, a $ab$, así, $[a,b]|ab$. Por cómo interactúa la divisibilidad con los valores absolutos, obtenemos entonces que $[a,b]=|[a,b]|=ab$, como queríamos.

Ahora supongamos que $[a,b]=ab$. Tomemos un número $d$ que divida tanto a $a$ como a $b$. Veremos que ese número debe ser $1$ ó $-1$. Escribamos $a=dr$ y $b=ds$. Tomemos el número $n=drs$. Notemos que $n=as=br$, así que $n$ es un múltiplo común de $a$ y $b$. Por ello, debe ser múltiplo del mínimo común múltiplo de ambos, que estamos suponiendo que es $ab$. Así, existe un entero $k$ con $drs=kab$ y por lo tanto $$drs=kab=kdrds.$$ De aquí deducimos que $1=kd$, por lo que $d$ debe de dividir a $1$ y por lo tanto es $1$ ó $-1$, como queríamos.

$\square$

En realidad esta proposición tiene una versión más general. Siempre se cumple, para cualesquiera dos enteros $a$ y $b$, que $|ab|=[a,b]\cdot (a,b)$. Este es un problema clásico que estudiaremos más adelante.

Más adelante…

El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor son dos conceptos que se utilizan mucho en la teoría de números enteros. En estas últimas dos entradas hemos platicado un poco acerca de ellos. Más adelante veremos que estas mismas nociones se pueden generalizar para otras estructuras algebraicas, como la de los polinomios.

Por ahora continuaremos estudiando teoría de la divisibiliad dentro de los números enteros. Es el momento de introducir otro de los conceptos estelares: el de números primos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Encuentra el mínimo común múltiplo de los números $24$ y $36$. Luego, encuentra su máximo común divisor.
  2. Demuestra que, para $a,b\in \mathbb{Z}$ se cumple: $[a,b] = [-a,b] = [a,-b] = [-a, -b].$
  3. Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Muestra que $[a^2,b^2]=[a,b]^2$ y que, en general, para un entero $k\geq 1$ se cumple que $[a^n,b^n]=[a,b]^n$.
  4. ¿Cómo definirías el mínimo común múltiplo de tres números? ¿Y el máximo común divisor de tres números?
  5. Sean $a$, $b$, $c$ enteros. ¿Cómo están relacionados entre sí $[a,c]$, $[b,c]$ y $[a+b,c]$? ¿Será alguno de ellos la suma de los otros dos? Demuéstralo o da un contraejemplo.

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