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Álgebra Lineal II: Aplicaciones de la forma canónica de Jordan

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En las entradas anteriores demostramos que cualquier matriz (o transformación lineal) tiene una y sólo una forma canónica de Jordan. Además, explicamos cómo se puede obtener siguiendo un procedimiento específico. Para terminar nuestro curso, platicaremos de algunas de las consecuencias del teorema de Jordan.

Clasificación de matrices por similaridad

Una pregunta que aún no hemos podido responder es la siguiente: si nos dan dos matrices $A$ y $B$ en $M_{n} (F)$ , ¿son similares? Con la maquinaria desarrollada hasta ahora podemos dar una muy buena respuesta.

Proposición. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_{n} (F)$ tales que el polinomio característico de $A$ se divide en $F$ . Entonces, $A$ y $B$ son similares si y sólo si se cumplen las siguientes dos cosas:

El polinomio característico de $B$ también se divide en $M_{n} (F)$ y
$A$ y $B$ tienen la misma forma canónica de Jordan.

Demostración. Sea $J$ la forma canónica de Jordan de $A$ .

Si $A$ y $B$ son similares, como $A$ es similar a $J$ , se tiene que $B$ es similar a $J$ . Entonces, $B$ tiene el mismo polinomio característico que $A$ y por lo tanto se divide en $F$ . Además, como $J$ es similar a $B$ , entonces por la unicidad de la forma canónica de Jordan, precisamente $J$ es la forma canónica de Jordan de $B$ . Esto es un lado de nuestra proposición.

Supongamos ahora que el polinomio característico de $B$ también se divide en $M_{n} (F)$ y que la forma canónica de Jordan de $B$ también es $J$ . Por transitividad de similaridad, $A$ es similar a $B$ .

Veamos un ejemplo de cómo usar esto en un problema específico.

Problema. Encuentra dos matrices en $M_{2} (R)$ que tengan como polinomio característico a $x^{2} - 3 x + 2$ , pero que no sean similares.

Solución. Las matrices $A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})$ y $B = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix})$ ya están en forma canónica de Jordan y son distintas, así que por la proposición anterior no pueden ser similares. Además, por ser triangulares superiores, en ambos casos el polinomio característico es $(X - 1) (X - 2) = X^{2} - 3 X + 2.$

$△$

El problema anterior fue sumamente sencillo. Piensa en lo difícil que sería argumentar con cuentas de producto de matrices que no hay ninguna matriz $P \in M_{2} (R)$ tal que $A = P^{- 1} B P$ .

Forma canónica de Jordan «para cualquier matriz»

Como en $C [X]$ todos los polinomios se dividen, entonces tenemos el siguiente corolario del teorema de Jordan.

Corolario. Toda matriz en $M_{n} (C)$ tiene una única forma canónica de Jordan.

Aquí $C$ es muy especial pues es un campo completo, es decir, en el cual cualquier polinomio no constante tiene por lo menos una raíz. En general esto no es cierto, y es muy fácil dar ejemplos: $x^{2} - 2$ no tiene raíces en $Q$ y $x^{2} + 1$ no tiene raíces en $R$ .

Sin embargo, existe toda un área del álgebra llamada teoría de campos en donde se puede hablar de extensiones de campos. Un ejemplo de extensión de campo es que $C$ es una extensión de $R$ pues podemos encontrar «una copia de» $R$ dentro de $C$ (fijando la parte imaginaria igual a cero).

Un resultado importante de teoría de campos es el siguiente:

Teorema. Sea $F$ un campo y $P (X)$ un polinomio en $F [X]$ . Existe una extensión de campo $G$ de $F$ tal que $P (X)$ se divide en $G$ .

¿Puedes notar la consecuencia que esto trae para nuestra teoría de álgebra lineal? Para cualquier matriz en $M_{n} (F)$ , podemos considerar a su polinomio característico y encontrar campo $G$ que extiende a $F$ en donde el polinomio se divide. Por el teorema de Jordan, tendríamos entonces lo siguiente.

Corolario. Sea $A$ una matriz en $M_{n} (F)$ . Entonces, $A$ tiene una forma canónica de Jordan en un campo $G$ que extiende a $F$ .

Por supuesto, la matriz $P$ invertible que lleva $A$ a su forma canónica quizás sea una matriz en $M_{n} (G)$ .

Toda matriz compleja es similar a su transpuesta

Ya demostramos que para cualquier matriz $A$ en $M_{n} (F)$ se cumple que $χ_{A} (X) = χ_{(} A^{T}) (X)$ . Esto implica que $A$ y su transpuesta $A^{T}$ tienen los mismos eigenvalores, traza y determinante. También vimos que $μ_{A} (X) = μ_{A^{T}} (X)$ . Las matrices $A$ y $A^{T}$ comparten muchas propiedades. ¿Será que siempre son similares? A continuación desarrollamos un poco de teoría para resolver esto en el caso de los complejos.

Proposición. Sea $J_{λ, n}$ un bloque de Jordan en $M_{n} (F)$ . Entonces, $J_{λ, n}$ y $J_{λ, n}^{T}$ son similares.

Demostración. Para bloques de Jordan, podemos dar explícitamente la matriz de similitud. Es la siguiente matriz, con unos en la diagonal no principal:

$P = (\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Esta matriz es invertible, su inversa es ella misma y cumple lo siguiente (ver ejercicios). Si $A$ es una matriz en $M_{n} (F)$ , entonces:

Si $A$ tiene columnas $C_{1}, \dots, C_{n}$ , entonces $A P$ tiene columnas $C_{n}, \dots, C_{1}$ .
Si $A$ tiene filas $R_{1}, \dots, R_{n}$ , entonces $P A$ tiene filas $R_{n}, \dots, R_{1}$ .

Para los bloques de Jordan, si revertimos el orden de las filas y luego el de las columnas, llegamos a la transpuesta. Así, $J_{λ, n}^{T} = P J_{λ, n} P$ es la similitud entre las matrices dadas.

La prueba anterior no funciona en general pues para matrices arbitrarias no pasa que $A^{T} = P A P$ (hay un contraejemplo en los ejercicios). Para probar lo que buscamos, hay que usar la forma canónica de Jordan.

Teorema. En $M_{n} (C)$ , toda matriz es similar a su transpuesta.

Demostración. Sea $A$ una matriz en $M_{n} (C)$ . Como en $C$ todo polinomio se divide, tanto $A$ como $A^{T}$ tienen forma canónica de Jordan. Digamos que la forma canónica de Jordan es

$\begin{matrix} (1) & J = (\begin{matrix} J_{λ_{1}, k_{1}} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & J_{λ_{2}, k_{2}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & J_{λ_{3}, k_{3}} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & J_{λ_{d}, k_{d}} \end{matrix}) . \end{matrix}$

Si $P$ es la matriz de similitud, tenemos que $A = P^{- 1} J P$ y al transponer obtenemos que:

$A^{T} = P^{T} (\begin{matrix} J_{λ_{1}, k_{1}}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & J_{λ_{2}, k_{2}}^{T} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & J_{λ_{3}, k_{3}}^{T} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & J_{λ_{d}, k_{d}}^{T} \end{matrix}) (P^{T})^{- 1} .$

Como por la proposición anterior cada bloque de Jordan es similar a su transpuesta, existen matrices invertibles $Q_{1}, \dots, Q_{d}$ tales $J_{λ_{i}, k_{i}}^{T} = Q_{i}^{- 1} J_{λ_{i}, k_{i}} Q_{i}$ para todo $i \in {1, \dots, d}$ . Pero entonces al definir $Q$ como la matriz de bloques

$Q = (\begin{matrix} Q_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & Q_{2} & \dots & 0 \\ 0 & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & Q_{d} \end{matrix}),$

obtenemos la similaridad

$A^{T} = P^{T} Q^{- 1} (\begin{matrix} J_{λ_{1}, k_{1}} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & J_{λ_{2}, k_{2}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & J_{λ_{3}, k_{3}} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & J_{λ_{d}, k_{d}} \end{matrix}) Q (P^{T})^{- 1} .$

Así, $A$ y $A^{T}$ tienen la misma forma canónica de Jordan y por lo tanto son matrices similares.

Más adelante…

¡Hemos terminado el curso de Álgebra Lineal II! Por supuesto, hay muchos temas de Álgebra Lineal adicionales que uno podría estudiar.

Un tema conectado con lo que hemos platicado es qué hacer con las matrices cuyo polinomio característico no se divide en el campo con el que estamos trabajando. Por ejemplo si tenemos una matriz $A$ en $M_{n} (R)$ cuyo polinomio característico no se divide, una opción es pensarla como matriz en $M_{n} (C)$ y ahí encontrar su forma canónica de Jordan. ¿Pero si queremos quedarnos en $R$ ? Sí hay resultados que llevan una matriz a algo así como una «forma canónica» en $R$ muy cercana a la forma canónica de Jordan.

Otro posible camino es profundizar en la pregunta de cuándo dos matrices en $M_{n} (F)$ son similares. Si tienen forma canónica de Jordan, ya dimos una buena caracterización en esta entrada. En los ejercicios encontrarás otra. Pero, ¿y si no tienen forma canónica de Jordan? Podríamos extender el campo a otro campo $G$ y comprar las formas canónicas ahí, pero en caso de existir la similaridad, sólo la tendremos en $M_{n} (G)$ . Existe otra manera de expresar a una matriz en forma canónica, que se llama la forma canónica de Frobenius y precisamente está pensada para determinar si dos matrices son similares sin que sea necesario encontrar las raíces del polinomio característico, ni extender el campo.

Estos son sólo dos ejemplos de que la teoría de álgebra lineal es muy extensa. En caso de que estés interesado, hay mucho más por aprender.

Tarea moral

Sea $A$ una matriz en $M_{n} (F)$ y tomemos $P$ en $M_{n} (F)$ la matriz
$P = (\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{matrix}) .$
- Demuestra que si $A$ tiene columnas $C_{1}, \dots, C_{n}$ , entonces $A P$ tiene columnas $C_{n}, \dots, C_{1}$ .
- Demuestra que si $A$ tiene filas $R_{1}, \dots, R_{1}$ , entonces $P A$ tiene filas $R_{n}, \dots, R_{n}$ .
- Concluye con cualquiera de los incisos anteriores que $P$ es invertible y su inversa es ella misma.
- Tomemos explicitamente $n = 2$ y $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ . Encuentra explícitamente $P A P$ . ¿Es $A^{T}$ ?
¿Cuál es la máxima cantidad de matrices que se pueden dar en $M_{5} (C)$ de manera que cada una de ellas tenga polinomio característico $x^{2} (x^{2} + 1) (x + 3)$ y tales que no haya dos de ellas que sean similares entre sí.
Sea $A$ una matriz en $M_{n} (R)$ tal que su polinomio característico se divide en $R$ , con forma canónica de Jordan $J$ . Sea $P (X)$ un polinomio en $R [X]$ .
- Demuestra que el polinomio característico de $P (A)$ se divide en $R$ .
- La forma canónica de Jordan de $P (A)$ no necesariamente será $P (J)$ pues puede que el polinomio altere el orden de los eigenvalores pero, ¿cómo se obtiene la forma canónica de $P (A)$ a partir de $J$ ?
Sean $A$ y $B$ matrices en $M_{n} (F)$ cuyo polinomio característico se divide en $F$ . Muestra que $A$ y $B$ son similares si y sólo si para cualquier polinomio $P (X)$ en $F [X]$ se tiene que $rango (P (A)) = rango (P (B))$ .
Investiga sobre la forma canónica de Frobenius y sobre la variante a la forma canónica de Jordan restringida a $R$ .

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Entrada anterior del curso: Unicidad de la forma canónica de Jordan

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Existencia de la forma canónica de Jordan

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En las entradas anteriores demostramos que para cualquier matriz nilpotente existe (y es única) una matriz similar muy sencilla, hecha por lo que llamamos bloques de Jordan de eigenvalor cero. Lo que haremos ahora es mostrar una versión análoga de este resultado para una familia mucho más grande de matrices. De hecho, en cierto sentido tendremos un resultado análogo para todas las matrices.

Pensando en ello, lo que haremos en esta entrada es lo siguiente. Primero, generalizaremos nuestra noción de bloques de Jordan para contemplar cualquier eigenvalor. Estudiaremos un poco de los bloques de Jordan. Luego, enunciaremos el teorema que esperamos probar. Finalmente, daremos el primer paso hacia su demostración. En la siguiente entrada terminaremos la demostración y hablaremos de aspectos prácticos para encontrar formas canónicas de Jordan.

Enunciado del teorema de la forma canónica de Jordan

A continuación definimos a los bloques de Jordan para cualquier eigenvalor y tamaño.

Definición. Sea $F$ un campo. El bloque de Jordan de eigenvalor $λ$ y tamaño $k$ es la matriz $J_{λ, k}$ en $M_{k} (F)$ cuyas entradas son todas $λ$ , a excepción de las que están inmediatamente arriba de la diagonal superior, las cuales son unos. En símbolos, $J_{λ, k} = [a_{i j}]$ con $a_{i j} = {\begin{cases} 1 & si j = i + 1 \\ λ & si i = j \\ 0 & en otro caso. \end{cases}$

También podemos expresarlo de la siguiente manera:

$J_{λ, k} = (\begin{matrix} λ & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & λ \end{matrix}),$ en donde estamos pensando que la matriz es de $k \times k$ .

Una última manera en la que nos convendrá pensar a $J_{λ, k}$ es en términos de los bloques de Jordan de eigenvalor cero: $J_{λ, k} = λ I_{k} + J_{0, k}$ .

Definición. Una matriz de bloques de Jordan en $M_{n} (F)$ es una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque en la diagonal es un bloque de Jordan.

Lo que nos gustaría demostrar es el siguiente resultado. En él, piensa en $\leq$ como algún orden total fijo de $F$ (para $R$ es el orden usual, pero otros campos no necesariamente tienen un orden natural asociado).

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ sobre el campo $F$ y $T : V \to V$ una transformación lineal tal que $χ_{T} (X)$ se divide sobre $F$ . Entonces, existen únicos valores $λ_{1} \leq \dots \leq λ_{n}$ en $F$ y únicos enteros $k_{1}, \dots, k_{d}$ tales que $\begin{aligned} k_{1} + k_{2} + \dots + k_{d} = n, \\ k_{1} \leq k_{2} \leq \dots \leq k_{d}, \end{aligned}$ para los cuales existe una base de $V$ en la cual $T$ tiene como forma matricial a la siguiente matriz de bloques de Jordan:

$(\begin{matrix} J_{λ_{1}, k_{1}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & J_{λ_{2}, k_{2}} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & J_{λ_{d}, k_{d}} \end{matrix}) .$

Por supuesto, este teorema también tiene una versión matricial, la cuál tendrás que pensar cómo escribir.

Un teorema de descomposición de kernels

Ya tenemos uno de los ingredientes que necesitamos para dar la demostración de la existencia de la forma canónica de Jordan: su existencia para las transformaciones nilpotentes. Otro de los ingredientes que usaremos es el teorema de Cayley-Hamilton. El tercer ingrediente es un resultado de descoposición de kernels de transformaciones evaluadas en polinomios.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $F$ . Sea $T : V \to V$ una transformación lineal. Y sean $P_{1} (X), \dots, P_{r} (X)$ polinomios en $F [x]$ cuyo máximo común divisor de cualesquiera dos de ellos es el polinomio $1$ . Entonces, $\ker ((P_{1} P_{2} \dots P_{r}) (T)) = ⨁_{i = 1}^{r} \ker (P_{i} (T)) .$

Demostración. Para cada $i \in {1, 2, \dots, r}$ consideraremos a $Q_{i} (X)$ como el polinomio que se obtiene de multiplicar a todos los polinomios dados, excepto $P_{i} (X)$ . Y por comodidad, escribiremos $P (X) = (P_{1} \dots P_{r}) (X)$ . Notemos que entonces $P (X) = (Q_{i} P_{i}) (X)$ para cualquier $i \in {1, 2, \dots, r}$ .

Primero probaremos un resultado polinomial auxiliar. Veremos que $Q_{1} (X), \dots, Q_{r} (X)$ tienen como máximo común divisor al polinomio $1$ . En caso de no ser así, un polinomio $D (X)$ no constante dividiría a todos ellos. Sin pérdida de generalidad, $D$ es irreducible (tomando, por ejemplo $D (X)$ de grado mínimo con esta propiedad). Como $D (X)$ es irreducible y divide a $Q_{r} (X)$ , entonces debe dividir a alguno de los factores de $Q_{r} (X)$ , que sin pérdida de generalidad (por ejemplo, reetiquetando), es $P_{1} (X)$ . Pero $D (X)$ también divide a $Q_{1} (X)$ , así que debe dividir a alguno de sus factores $P_{2} (X), \dots, P_{r} (X)$ , sin pérdida de generalidad a $P_{2} (X)$ . Pero entonces $D (X)$ divide a $P_{1} (X)$ y $P_{2} (X)$ , lo cual contradice las hipótesis. Así, $Q_{1} (X), \dots, Q_{r} (X)$ tienen como máximo común divisor al polinomio $1$ . Por el lema de Bézout para polinomios (ver tarea moral), existen entonces polinomios $R_{1} (X), \dots, R_{r} (X)$ tales que

$\begin{matrix} (2) & (R_{1} Q_{1} + R_{2} Q_{2} + \dots + R_{r} Q_{r}) (X) = 1. \end{matrix}$

Estamos listos para pasar a los argumentos de álgebra lineal. Veamos primero que cualquier elemento en la suma de la derecha está en el kernel de $P (T)$ . Tomemos $v = v_{1} + \dots + v_{r}$ con $v_{i} \in \ker (P_{i} (T))$ . Al aplicar $P$ obtenemos

$\begin{aligned} P (v) & = P (v_{1}) + \dots + P (v_{r}) \\ = Q_{1} (P_{1} (v_{1})) + \dots + Q_{r} (P_{r} (v_{r})) \\ = 0 + \dots + 0 = 0. \end{aligned}$

Esto muestra que $v \in \ker (P (T))$ , de donde se obtiene la primera contención que nos interesa.

Veamos ahora la segunda contención, que $\ker (P (T)) = ⨁_{i = 1}^{r} \ker (P_{i} (T))$ . Tomemos $v \in \ker (P (T))$ . Al aplicar $(2)$ en $T$ y evaluar en $v$ obtenemos que

$\begin{aligned} v & = Id (v) = (1) (T) (v) \\ = (R_{1} Q_{1} + R_{2} Q_{2} + \dots + R_{r} Q_{r}) (T) (v) \\ = (R_{1} Q_{1}) (T) (v) + \dots + (R_{r} Q_{r}) (T) (v) . \end{aligned}$

Pero esto justo expresa a $v$ como elemento de $\ker (P_{i} (T))$ pues para cada $i$ tenemos

$\begin{aligned} P_{i} (T) ((R_{i} Q_{i}) (T) (v)) & = (P_{i} R_{i} Q_{i}) (T) (v) \\ = (R_{i} Q_{i} P_{i}) (T) (v) \\ = R_{i} (T) P (T) (v) \\ = R_{i} (0) = 0, \end{aligned}$

de modo que expresamos a $v$ como suma de vectores en $\ker (P_{1} (T)), \dots, \ker (P_{r} (T))$ .

Ya demostramos la igualdad de conjuntos, pero recordemos que en la igualdad de suma directa hay otra cosa que hay que probar: que el cero tiene una forma única de expresarse como suma de elementos de cada subespacio (aquella en donde cada elemento es cero). Supongamos entonces que $0 = v_{1} + \dots + v_{r}$ con $v_{i} \in \ker (P_{i} (T))$ para cada $i$ . Si aplicamos $Q_{i}$ en esta igualdad, como tiene todos los factores $P_{j}$ con $j \neq i$ obtenemos $0 = Q_{i} (0) = Q_{i} (v_{i}) .$

Por otro lado, al aplicar nuevamente $(2)$ en $T$ y evaluar en $v_{i}$

$\begin{aligned} v_{i} & = Id (v_{i}) = (1) (T) (v_{i}) \\ = (R_{1} Q_{1} + R_{2} Q_{2} + \dots + R_{r} Q_{r}) (T) (v_{i}) \\ = (R_{1} Q_{1}) (T) (v_{1}) + \dots + (R_{r} Q_{r}) (T) (v_{i}) \\ = (R_{i} Q_{i}) (T) (v_{i}) \\ = 0. \end{aligned}$

De esta forma, en efecto tenemos que los espacios están en posición de suma directa, que era lo último que nos faltaba verificar.

Existencia de la forma canónica de Jordan

Estamos listos para demostrar la existencia de la forma canónica de Jordan. Supongamos que $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita $n$ sobre $F$ y que $T : V \to V$ es una transformación lineal cuyo polinomio característico se divide en $F [x]$ . Sabemos entonces que es de la siguiente forma:

$χ_{T} (X) = (X - λ_{1})^{m_{1}} (X - λ_{2})^{m_{2}} \dots (X - λ_{r})^{m_{r}},$

donde $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ son eigenvalores distintos de $T$ y $m_{1}, \dots, m_{r}$ son las multiplicidades algebraicas respectivas de estos eigenvalores como raíces de $χ_{T} (X)$ .

Por el teorema de Cayley-Hamilton, sabemos que $χ_{T} (T) = 0$ , de modo que $\ker (χ_{T} (T)) = V$ . Por la proposición de descomposición de la sección anterior aplicada a los polinomios $P_{i} (X) = (X - λ_{i})^{m_{i}}$ (verifica que son primos relativos dos a dos) para $i \in {1, \dots, r}$ tenemos entonces que $V = ⨁_{i = 1}^{r} \ker ((T - λ_{i} id)^{m_{i}}) .$

Pero, ¿cómo es la transformación $T - λ_{i} id$ restringida a cada $\ker ((T - λ_{i} id)^{m_{i}})$ ? ¡Es nilpotente! Precisamente por construcción, $(T - λ_{i} id)^{m_{i}}$ se anula totalmente en este kernel. Así, por la existencia de la forma canónica de Jordan para matrices nilpotentes, hay una base $β_{i}$ para cada $\ker ((T - λ_{i} id)^{m_{i}})$ tal que $T - λ_{i} id$ restringida a ese kernel tiene como forma matricial una matriz $J_{i}$ de bloques de Jordan de eigenvalor cero. Pero entonces $T$ (restringida a dicho kernel) tiene como forma matricial a $J_{i} + λ_{i} I_{m_{i}}$ , que es una matriz de bloques de Jordan de eigenvalor $λ$ .

Con esto terminamos: como $V$ es la suma directa de todos esos kernel, la unión de bases $β_{1}, \dots, β_{r}$ es una base para la cual $T$ tiene como forma matricial a una matriz de bloques de Jordan.

Más adelante…

Hemos demostrado la existencia de la forma canónica de Jordan, pero aún nos falta demostrar su unicidad. Además de esto, también necesitaremos un mejor procedimiento para encontrarla. Haremos eso en la siguiente entrada.

Tarea moral

Enuncia el teorema de la forma canónica de Jordan versión matrices.
Investiga más sobre el lema de Bézout para polinomios y cómo se demuestra. Después de esto, expresa al polinomio $1$ como combinación lineal de los polinomios $x^{2} - 1, x^{3} + 1, x^{2} + 5 x + 4$ .
Verifica que los polinomios $P_{i} (X) = (X - λ_{i})^{k_{i}}$ de la demostración de la existencia de la forma canónica de Jordan cumplen las hipótesis de la proposición de descomposición de kernels.
Sea $F$ un campo y $r, s$ elementos en $F$ . Sea $n$ un entero. Demuestra que los bloques de Jordan $J_{r, n}$ y $J_{s, n}$ en $M_{n} (F)$ conmutan.
Siguiendo las ideas de la demostración de existencia, encuentra la forma canónica de Jordan de la matriz $(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .$

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Introducción a forma canónica de Jordan

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

1 respuesta

Introducción

En esta última unidad usaremos las herramientas desarrolladas hasta ahora para enunciar y demostrar uno de los teoremas más hermosos y útiles en álgebra lineal: el teorema de la forma canónica de Jordan. A grandes rasgos, lo que nos dice este teorema es que cualquier matriz prácticamente se puede diagonalizar. En esta primera entrada hablaremos un poco de qué puedes esperar en el transcurso de la unidad, aunque en un orden algo distinto que te ayudará a entender mejor la motivación de presentar la teoría cómo vendrá en las siguientes notas.

Bloques de Jordan

Un bloque de Jordan de tamaño $k$ y eigenvalor $λ$ es una matriz en $M_{k} (F)$ que se obtiene de comenzar con $λ I_{k}$ y agregar encima de la diagonal principal puros unos. Queda algo así:

$J_{λ, k} = (\begin{matrix} λ & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & λ \end{matrix}) .$

Puedes notar que esto es prácticamente una matriz diagonal, a excepción de la diagonal de unos que queda por encima de la diagonal principal. Esto debería sugerirte que los bloques de Jordan son casi tan amigables como las matrices diagonales. Como veremos en las siguientes entradas, es muy fácil calcularles su traza, determinante, polinomio característico, polinomio mínimo, eigenvalores, eigenvectores, etc.

A partir de los bloques de Jordan podemos formar matrices de bloques de Jordan pegando varios bloques de Jordan en una diagonal para obtener una matriz del siguiente estilo:

$\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} J_{λ_{1}, k_{1}} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & J_{λ_{2}, k_{2}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & J_{λ_{3}, k_{3}} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & J_{λ_{d}, k_{d}} \end{matrix}) . \end{matrix}$

Aquí pusimos muchos ceros, pero en el fondo cada uno de estos ceros son una matriz de ceros. Por ejemplo, si tenemos los tres bloques de Jordan $J_{3, 2}$ , $J_{- 2, 1}$ y $J_{5, 3}$ y pegamos estos bloques, obtenemos la siguiente matriz de bloques:

$(\begin{array}{cccccc} 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}) .$

Recuerda que las líneas que dibujamos en una matriz de bloques son simplemente ayuda visual. Estas matrices también son prácticamente diagonales y, como te imaginarás, también es fácil encontrar muchas de sus propiedades.

Teorema de la forma canónica de Jordan

Si recuerdas, una de las motivaciones fuertes para que nos interesara diagonalizar una matriz $A$ es que la matriz diagonal $D$ semejante comparte muchas propiedades con $A$ , pero $D$ es mucho más fácil de entender. A veces no podremos encontrar una matriz diagonal semejante a $A$ , pero lo que nos dice el teorema de formas canónicas de Jordan es que prácticamente siempre podremos encontrar una matriz de bloques de Jordan semejante a $A$ .

Teorema. Sea $A \in M_{n} (F)$ una matriz tal que su polinomio característico $χ_{A} (X)$ se divide sobre $F$ . Entonces, $A$ es similar a una matriz de bloques de Jordan, es decir, una matriz como en \refeq{eq:Jordan}.

En realidad, cuando enunciemos el teorema lo haremos de manera más formal, y hasta diremos en qué sentido la forma canónica de Jordan es única.

¿Por qué decimos que entonces prácticamente siempre podemos diagonalizar una matriz? En cursos más avanzados se muestra que sin importar en qué campo $F$ estemos trabajando, siempre podemos extender el campo $F$ lo suficiente como para que cualquier polinomio se divida sobre una extensión $G$ de $F$ . En este campo extendido, cualquier matriz en $M_{n} (F)$ se puede diagonalizar.

Transformaciones y matrices nilpotentes

Para demostrar el teorema de Jordan, primero tendremos que enunciarlo y demostrarlo para una clase muy especial de matrices: las nilpotentes. Ya hemos hablado un poco de estas matrices en ejercicios particulares y algunos problemas de la tarea moral. Pero si se te pasó, una matriz $A$ en $M_{n} (F)$ es nilpotente cuando se puede encontrar un expontente $m$ tal que $A^{m} = O_{n}$ . De manera similar, si $T$ es una transformación lineal, diremos que es nilpotente cuando $T^{m} = Z$ para algún exponente $m$ , donde $Z$ es la transformación lineal trivial que manda todo elemento al $0$ . Recuerda que aquí el exponente indica cuántas veces se compone $T$ consigo mismo. Como te imaginarás, $T$ será nilpotente si y sólo si alguna de sus formas matriciales lo es.

Las matrices nilpotentes servirán como nuestros cimientos para demostrar el teorema de la forma canónica de Jordán. Es sencillo ver que los bloques de Jordan de la forma $J_{0, k}$ son nilpotentes. También es sencillo ver que cualquier matriz de bloques de Jordan con puros eigenvalores iguales a cero es nilpotente. Nuestra primera versión del teorema de la forma canónica de Jordán nos dará algo así como un «regreso» de esta afirmación. El siguiente teorema es una versión «light» de lo que demostraremos.

Teorema. Sea $A \in M_{n} (F)$ una matriz nilpotente. Entonces, $A$ es similar a una matriz de bloques de Jordan, todos ellos con eigenvalor $0$ .

La demostración será muy bonita, y hará uso de la teoría de dualidad de Álgebra Lineal I. Una vez que demostremos esta versión, la combinaremos con el teorema de Cayley-Hamilton de la Unidad 1 para obtener el teorema general.

Aplicaciones del teorema de Jordan

Si conocemos la forma canónica de Jordan de una matriz, podemos encontrar a partir de ella fácilmente muchas propiedades, como la traza, determinante, etc. Además de estas aplicaciones «de cálculo de propiedades», el teorema de la forma canónica de Jordán nos permitirá decir exactamente cuándo dos matrices son similares. En particular, veremos que cualquier matriz $A$ es similar a su transpuesta.

Tarea moral

En esta ocasión la tarea moral consistirá en un repaso de contenido anterior tanto de Álgebra Lineal I como Álgebra Lineal II, para que cuentes con todas las herramientas necesarias para aprovechar esta última unidad.

Haz un repaso de la teoría de Matrices de bloques, para recordar a qué se refiere esta notación y cómo se pueden hacer operaciones cuando las matrices están escritas por bloques.
Revisa la entrada de Matrices de cambio de base, para recordar por qué dos matrices similares en el fondo representan a la misma transformación lineal, pero en distintas bases.
Repasa la teoría básica de dualidad en espacios vectoriales. Puedes comenzar con la entrada de Introducción a espacio dual. Concretamente, tendrás que recordar por lo menos hasta la teoría de Ortogonalidad y espacio ortogonal.
Recuerda todo lo que podemos decir de las transformaciones triangularizables, revisando la entrada de Triangularizar y descomposición de Schur, y compara los resultados de ahí con lo que esperamos obtener sobre forma canónica de Jordan. ¿Cuál teorema dice algo más fuerte?
Vuelve a leer todo el contenido relacionado con el teorema de Cayley-Hamilton para recordar no sólo qué dice, sino cómo está relacionado con los eigenespacios asociados a una transformación lineal. Puedes empezar con la entrada de Introducción al teorema de Cayley-Hamilton.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

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