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Cálculo Diferencial e Integral I: Suma, producto, cociente y composición de funciones

Por Karen González Cárdenas

Introducción

Ya que hemos visto el concepto de función, en esta entrada veremos cómo están definidas las operaciones de suma, producto y cociente. De igual modo, definiremos la composición entre un par de funciones. Para dejar más claras dichas operaciones, daremos ejemplos.

Operaciones de funciones

Definición (operaciones): Sean $f : D_{f} \subseteq R \to R$ , $g : D_{g} \subseteq R \to R$ . Definimos las siguientes operaciones como:

$f + g : D_{f} \cap D_{g} \subseteq R \to R$
$(f + g) (x) = f (x) + g (x) .$
$α f : D_{f} \subseteq R \to R$ y $α \in R$
$(α f) (x) = α f (x) .$
$f g : D_{f} \cap D_{g} \subseteq R \to R$
$(f g) (x) = f (x) g (x) .$
$\begin{matrix} \frac{f}{g} : D_{f / g} \subseteq R \to R \end{matrix}$
$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)} .$
donde $D_{f / g} = D_{f} \cap (D_{g} - {x \in D_{g} : g (x) = 0})$

Notación: Cuando escribamos $f - g$ hacemos referencia a:
$f - g = f + (- g) .$

Ejemplos

Consideremos a las siguientes funciones:
$\begin{aligned} f : R - {- 1} & \to R & g : R & \to R & h : R & \to R^{+} \end{aligned}$
$\begin{aligned} f (x) & = \frac{1}{x + 1} & g (x) & = x^{3} + 3 & h (x) & = x^{2} + 2 x + 1 \end{aligned}$
Notación: Usamos $R^{+}$ para referirnos al conjunto de los números reales positivos.

Realizaremos las siguientes operaciones para ejemplificar lo visto anteriormente:

$(f + g) (x) = f (x) + g (x) = \frac{1}{x + 1} + x^{3} + 3$
con $D_{f + g} = D_{f} \cap D_{g} = R \cap (R - {- 1}) = R - {- 1}$
$(f g) (x) = f (x) g (x) = (\frac{1}{x + 1}) (x^{3} + 3) = \frac{x^{3} + 3}{x + 1}$
con $D_{f g} = D_{f} \cap D_{g} = R \cap (R - {- 1}) = R - {- 1}$
Si $α = - 4$ :
$(α g) (x) = α g (x) = - 4 (x^{3} + 3) = - 4 x^{3} - 12$
con $D_{α g} = D_{g} = R$
$(\frac{g}{h}) (x) = \frac{g (x)}{h (x)} = \frac{x^{3} + 3}{x^{2} + 2 x + 1}$
como $D_{g / h} = D_{g} \cap (D_{h} - {x \in D_{h} : h (x) = 0})$
Observemos que $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ por lo que $(x + 1)^{2} = 0$ cuando $x = - 1$ .
Así el dominio sería:
$D_{g / h} = R \cap (R - {- 1}) = R - {- 1}$
$(h - g) (x) = h (x) - g (x) = x^{2} + 2 x + 1 - (x^{3} + 3) = x^{2} + 2 x + 1 - x^{3} - 3$
con $D_{h - g} = D_{h} \cap D_{g} = R \cap R = R$

Composición de funciones

Definición (composición): Consideremos a las funciones $g : A \to B$ y $f : B \to C$ definimos a la composición de $g$ seguida de $f$ como:

$f \circ g : A \to C$
$(f \circ g) (x) = f (g (x)),$
observamos que la composición sólo está definida si $I m_{g} \subseteq D_{f}$ , por lo que $g (x) \in B$ .
En el siguiente diagrama podemos ver más claramente cómo funciona la composición $f \circ g$ :

Primero tomamos $x \in A$ a la cual le aplicamos la función $g$ para así obtener $g (x) \in B$ .

Ahora tomamos a $g (x) \in B$ para aplicarle la función $f$ y finalmente obtener $f (g (x)) \in C$ .

Así la composición de $f \circ g$ se vería como en el diagrama anterior.

Observación: La composición no es conmutativa, es decir, ocurre que:
$f \circ g \neq g \circ f .$

Ejemplos

Retomando las funciones:
$\begin{aligned} f (x) & = \frac{1}{x + 1} & g (x) & = x^{3} + 3 & h (x) & = x^{2} + 2 x + 1 \end{aligned}$

Realicemos las siguientes composiciones de funciones para tener más claro cómo funciona lo antes explicado:

Ejemplo 1:
$\begin{aligned} (g \circ f) (x) & = g (f (x)) \\ = g (\frac{1}{x + 1}) \\ = {(\frac{1}{x + 1})}^{3} + 3 \\ = \frac{1}{(x + 1)^{3}} + 3 \end{aligned}$
Así tenemos que la composición obtenida es:
$(g \circ f) (x) = \frac{1}{(x + 1)^{3}} + 3$
Ejemplo 2:
$\begin{aligned} (f \circ h) (x) & = f (h (x)) \\ = f ((x^{2} + 2 x + 1)) \\ = \frac{1}{(x^{2} + 2 x + 1) + 1} \\ = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2} \end{aligned}$
Por lo que la composición quedaría como:
$(f \circ h) (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}$

Más adelante

Ahora que ya hemos definido las operaciones entre funciones y la composición, en la siguiente entrada veremos qué características debe cumplir una función para poder determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Del mismo modo, examinaremos el concepto de función inversa, donde haremos uso de la composición de funciones y algunas condiciones.

Tarea moral

Si tenemos a las funciones $f : R \to R$ y $g : R \to R^{+}$ definidas como siguen:
$f (x) = x - 8$
$g (x) = x^{4}$
Realiza las siguientes operaciones:
- $f + g$
- $f - g$
- $f g$
- $\frac{g}{f}$
- $g \circ f$
Da una función $f$ y una función $g$ que ejemplifiquen que la composición no es conmutativa:
$f \circ g \neq g \circ f .$
Demuestra que la composición es asociativa, es decir,
$f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h .$

Entradas relacionadas

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Anteriormente, vimos las operaciones que podemos llevar a cabo entre las funciones. Ahora revisaremos las características que debe cumplir una función para poder determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. De igual manera, definiremos el concepto de función inversa.

Definición de función inyectiva

Definición (1): Sea $f : A \to B$ una función. Decimos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera dos elementos distintos en $A$ , la función le asocia elementos distintos en $B$ , es decir,
$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})$
para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ .

Definición (2): Sea $f : A \to B$ una función. Decimos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera dos elementos iguales en $B$ , provienen de dos elementos iguales en $A$ bajo la función, es decir,
$f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$
para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$ .

Ejemplo

Sea $f : (- \infty, - 1] \to R$ definida como:
$f (x) = 11 - \sqrt{x^{2} - 4 x - 5} .$

Tomemos $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, - 1]$ tales que $f (x_{1}) = f (x_{2})$ . Así queremos probar que $x_{1} = x_{2}$ .
Como $f (x_{1}) = f (x_{2})$ tenemos que:
$\begin{aligned} 11 - \sqrt{x_{1}^{2} - 4 x_{1} - 5} & = 11 - \sqrt{x_{2}^{2} - 4 x_{2} - 5} \\ - \sqrt{x_{1}^{2} - 4 x_{1} - 5} & = - \sqrt{x_{2}^{2} - 4 x_{2} - 5} sumando 11 \\ \sqrt{x_{1}^{2} - 4 x_{1} - 5} & = \sqrt{x_{2}^{2} - 4 x_{2} - 5} multiplcando por - 1 \\ \sqrt{(x_{1} - 2)^{2} - 9} & = \sqrt{(x_{2} - 2)^{2} - 9} factorizando \\ \sqrt{(x_{1} - 2)^{2}} & = \sqrt{(x_{2} - 2)^{2}} \\ | x_{1} - 2 | & = | x_{2} - 2 | quitando la raíz cuadrada \end{aligned}$
De la igualdad anterior tenemos que $x_{1} - 2$ y $x_{2} - 2$ son iguales en valor absoluto. Recordemos que para cualesquiera $a, b \in R$ si:
$| a | = b \Rightarrow a = b o a = - b$

Aplicando esto a nuestra igualdad $| x_{1} - 2 | = | x_{2} - 2 |$ tenemos los siguientes dos casos:
CASO 1: $x_{1} - 2 = x_{2} - 2$

$\begin{aligned} \Rightarrow x_{1} - 2 = x_{2} - 2 \\ \Rightarrow x_{1} = x_{2} \\ ∴ x_{1} = x_{2} \end{aligned}$

CASO 2: $x_{1} - 2 = - (x_{2} - 2)$

$\begin{aligned} \Rightarrow x_{1} - 2 = - x_{2} + 2 \\ \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 4 \end{aligned}$

Ya que $x_{1}$ y $x_{2}$ son números negativos, $x_{1} + x_{2}$ debe ser una suma de dos números negativos, la que siempre resulta en un número negativo. Sin embargo, en el caso $2$ tenemos que $x_{1} + x_{2} = 4$ .

Esto implica que la suma de $x_{1}$ y $x_{2}$ es positiva, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, el segundo caso no es posible si $x_{1}$ y $x_{2}$ son ambos negativos.

Concluyendo así que la única posibilidad es el primer caso:

$∴ x_{1} = x_{2}$
De lo anterior vemos que $f$ es inyectiva.

Definición de función sobreyectiva

Definición (1): Sea $f : A \to B$ una función. Decimos que $f$ es sobreyectiva si todo elemento en $B$ proviene de algún elemento en $A$ bajo la función, es decir, para todo $y \in B$ existe $x \in A$ tal que:
$f (x) = y .$

Definición (2): Sea $f : A \to B$ una función. Decimos que $f$ es sobreyectiva si
$I m_{f} = C o d o m_{f} .$

Ejemplo

Un ejemplo sería la función tangente, ya que su $I m_{f} = R$ y su $C o d o m_{f} = R$ , más adelante veremos su definición con mayor detenimiento:
$f (x) = t a n (x) .$

Definición de función biyectiva

Definición: Sea $f : A \to B$ una función. Decimos que $f$ es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

Sea $f : R \to R$ definida como:
$I d (x) = x .$

Veremos que esta función es inyectiva:
Tomemos $x_{1}, x_{2} \in R$ distintos, queremos ver que $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ . Como tenemos que:
$f (x_{1}) = x_{1},$
$f (x_{2}) = x_{2} .$
Y como sabemos $x_{1} \neq x_{2}$ se sigue así:
$f (x_{1}) \neq f (x_{2}) .$
Por lo que $I d (x)$ es inyectiva.

Ahora vemos que también cumple ser sobreyectiva:
Consideremos $y \in R$ . Por definición de la función identidad tenemos que:
$y = I d (y) .$
Así vemos que cumple ser sobreyectiva.

De lo anterior podemos concluimos que $I d (x)$ es una función biyectiva.

Proposición

Proposición: Si tomamos las funciones $g : A \to B$ y $f : B \to C$ se cumple que:

$f$ inyectiva y $g$ inyectiva $\Rightarrow f \circ g$ es inyectiva.
$f$ sobreyectiva y $g$ sobreyectiva $\Rightarrow f \circ g$ es sobreyectiva.
$f$ biyectiva y $g$ biyectiva $\Rightarrow f \circ g$ es biyectiva.

Demostración:

Tomemos $x_{1}, x_{2} \in A$ tales que $f \circ g (x_{1}) = f \circ g (x_{2})$ . Queremos probar que:
$x_{1} = x_{2}$ .
Observemos que por hipótesis tenemos que:
$f (g (x_{1})) = f (g (x_{2}))$
donde $g (x_{1}), g (x_{2}) \in B$ .
Como $f$ es una función inyectiva entonces se cumple:
$g (x_{1}) = g (x_{2}) .$
Y al ser $g$ inyectiva obtenemos:
$x_{1} = x_{2} .$
Como $f \circ g : A \to C$ por lo que tomemos $c \in C$ . Queremos ver que existe $a \in A$ tal que $f (a) = c$ .
Ya sabemos que $f : B \to C$ es sobreyectiva entonces existe $b \in B$ tal que:
$f (b) = c .$
Recordemos que $g : A \to B$ al ser sobreyectiva ocurre que existe $a \in A$ tal que:
$g (a) = b .$
De lo anterior al sustituir en la composición de funciones se sigue:
$\begin{aligned} f \circ g (a) & = f (g (a)) \\ = f (b) \\ = c \end{aligned}$
Se queda como ejercicio de tarea moral.

Función inversa

Definición (función invertible): Sea $f : A \to B$ una función. Decimos que $f$ es invertible si y sólo si existe una función $g : B \to A$ tal que cumple las siguientes condiciones:

$g \circ f = I d_{A}$
$f \circ g = I d_{B}$

A continuación veremos una equivalencia que nos será de utilidad para poder decir si una función es invertible:

Teorema: Consideremos a $f : A \to B$ una función. Decimos que:
$f$ es Invertible $\Leftrightarrow f$ es biyectiva.
Demostración:
$\Rightarrow) :$ Tomemos $f$ invertible, así por definición existe una función $g : B \to A$ tal que cumple:

$g \circ f = I d_{A}$
$f \circ g = I d_{B}$

Debemos probar que $f$ es biyectiva, por lo que debemos verificar que sea inyectiva y sobreyectiva:

Inyectiva: Sean $x_{1}, x_{2} \in A$ tales que $f (x_{1}) = f (x_{2})$ por lo que $g (f (x_{1})) = g (f (x_{2}))$ al ser $g$ función. Reescribiendo lo anterior tenemos lo siguiente:
$\begin{aligned} g (f (x_{1})) = g (f (x_{2})) & \Rightarrow (g \circ f) (x_{1}) = (g \circ f) (x_{2}) \\ (por definición de g) & \Rightarrow I d_{A} (x_{1}) = I d_{A} (x_{2}) \\ \Rightarrow x_{1} = x_{2} \end{aligned}$

$∴ f$ es inyectiva
Sobreyectiva: Sea $y \in B$ . Debido a que $I d_{B}$ es sobreyectiva tenemos que $I d_{B} (y) = y$ . De lo anterior tenemos:
$\begin{aligned} I d_{B} (y) = y & \Rightarrow f \circ g (y) = y \\ \Rightarrow f (g (y)) = y \\ \Rightarrow g (y) \in A \end{aligned}$
$∴ f$ es sobreyectiva
De todo lo anterior concluimos que $f$ es biyectiva.

$\Leftarrow) :$ Sea $f : A \to B$ una función biyectiva. De este modo para todo $y \in B$ existe $x \in A$ tal que:
$f (x) = y$
ya que $f$ es sobreyectiva. De igual manera cumple ser inyectiva por lo que esa $x$ es única.

Consideremos la función $g : B \to A$ tal que:
$g (y) = x \Leftrightarrow f (x) = y .$
Por lo que al realizar la siguiente composición de funciones tenemos:
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (y) = x = I d_{A} (x),$
$(f \circ g) (y) = f (g (y)) = f (x) = y = I d_{B} (y)$ \quad\text{.}
Vemos que esto cumple la definición de ser invertible.
$∴ f$ es una función invertible.

Definición: Sea $f : A \to B$ entonces:

$f$ tiene inversa izquierda si existe $g : B \to A$ tal que $g \circ f = I d_{A}$ .
$f$ tiene inversa derecha si existe $h : B \to A$ tal que $f \circ h = I d_{B}$ .

Definición (función inversa): Si $f : A \to B$ es invertible donde $g : B \to A$ que cumple lo anterior. Decimos que $f^{- 1} = g$ es la inversa de $f$ .

Corolario: Si $f : A \to B$ es una función invertible entonces $f^{- 1}$ también es biyectiva.

Demostración:
Como $f$ es invertible por definición cumple:

$f^{- 1} \circ f = I d_{A}$
$f \circ f^{- 1} = I d_{B}$

Por lo que cumple ser inyectiva y sobreyectiva.

Del resultado anterior observamos que $f^{- 1}$ es función inversa al componer por la derecha y por la izquierda.

Teorema: Si $f : A \to B$ entonces es equivalente lo siguiente:

$f$ es una función inyectiva
$f$ tiene inversa izquierda

Teorema: Si $f : A \subseteq R \to R$ entonces es equivalente lo siguiente:

$f$ es una función suprayectiva
$f$ tiene inversa derecha

Más adelante

En la siguiente entrada veremos otras características que las funciones pueden cumplir para clasificarse como pares o impares. Veremos su definición formal, algunos ejemplos y resultados.

Tarea moral

Demuestra que $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$ definida como:
$f (x) = x^{2}$
es inyectiva.

Argumenta porque la función $f : R \to R$ definida como:
$f (x) = x^{2}$
no es inyectiva.

Demuestra que $f : R \to R$ definida como:
$f (x) = - 2 x + 1$
es inyectiva.

Prueba que si $f$ y $g$ son funciones biyectivas entonces $f \circ g$ es biyectiva.
Demuestra la siguiente igualdad:
$(f \circ g)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$

Entradas relacionadas

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Cálculo Diferencial e Integral I: Concepto de función

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En la unidad anterior desarrollamos todo lo concerniente a los números reales, ahora comenzaremos a ver funciones. Para ello recordemos de nuestros cursos de álgebra cómo se define el producto cartesiano de un par de conjuntos $A$ y $B$ :
$A \times B := {(a, b) : a \in A, b \in B},$
así vemos que sus elementos son pares ordenados.

Por lo que decimos que cualquier subconjunto $R \subseteq A \times B$ , es llamado una relación entre $A$ y $B$ .

Basándonos en este par de conceptos daremos la definición formal de función entre un par de conjuntos.

Definición de función

Definición (función): Una función $f$ entre los conjuntos $A$ y $B$ es una relación tal que:

Para todo $a \in A$ existe $b \in B$ donde $(a, b) \in f$ .
Si $(a, b_{1}), (a, b_{2})$ entonces $b_{1} = b_{2}$ .

Notación:

$f : A \to B$ es una función con dominio $A$ y codominio $B$ .
$f (a) = b$ es llamada la regla de correspondencia de f.

En resumen, a una función $f : A \to B$ la conforman tres cosas:

Su dominio.
Su codominio.
Su regla de correspondencia.

El conjunto imagen de una función

Definición (Conjunto imagen): Sea $f : A \to B$ una función. La imagen de f se define como:
$I m_{f} := {b \in B : \exists a \in A (f (a) = b)} .$
Simplificado sería:
$I m_{f} := {f (a) \in B : a \in A} .$

Ejemplo: Sea $f : R \to R$ . Si $f (x) = | x |$ entonces $I m_{f} = [0, \infty)$ .

Demostración:
$\subseteq)$ Sea $x \in R$ . Vemos que $f (x) = | x | \geq 0$ por lo que $f (x) \in [0, \infty)$ .

$\supseteq)$ Tomemos $y \in [0, \infty)$ . Debemos probar que existe $x \in R$ tal que $f (x) = y$ .
Sea $x = y \in R$ con $y \geq 0$ . Así se sigue que $f (y) = | y | = y$ por lo que $f (y) = x$ .

Ejemplo

Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente función:
$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} .$

Dominio:
Vemos que $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ está bien definido
$\begin{aligned} \Leftrightarrow 1 - x^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow 1 \geq x^{2} \\ \Leftrightarrow 1 \geq | x | \end{aligned}$
Así concluimos que el dominio es el conjunto:
$D_{f} = [- 1, 1] .$
Imagen:
Como $x \in [- 1, 1]$ entonces
$\begin{aligned} - 1 \leq x \leq 1 & \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 1 \\ \Leftrightarrow 0 \geq - x^{2} \geq - 1 \\ \Leftrightarrow 1 \geq 1 - x^{2} \geq 1 - 1 \\ \Leftrightarrow 1 \geq 1 - x^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow 1 \geq \sqrt{1 - x^{2}} \geq 0 \end{aligned}$

Por lo anterior tenemos:
$I m_{f} = [0, 1] .$

Ejercicio 1

Encuentra el dominio de la siguiente función:
$f (x) = \frac{1}{4 - x^{2}}$

Vemos que la función está bien definido si y sólo si:
$\begin{aligned} 4 - x^{2} \neq 0 & \Leftrightarrow (2 - x) (2 + x) \neq 0 \\ \Leftrightarrow x \neq 2 y x \neq - 2 \end{aligned}$
Por lo que su dominio sería:
$D_{f} = R - {- 2, 2} .$
es decir, todos los reales quitando el $- 2$ y el $2$ .

Ejercicio 2

Encuentra el dominio de la siguiente función:
$f (x) = \sqrt{x - x^{3}} .$

Dominio:
Vemos ahora que para $y = \sqrt{x - x^{3}}$ está bien definido
$\begin{aligned} \Leftrightarrow x - x^{3} \geq 0 \\ \Leftrightarrow x (1 - x^{2}) \geq 0 \\ \Leftrightarrow x (1 - x) (1 + x) \geq 0 \\ \Leftrightarrow x \geq 0, x \leq 1, x \geq - 1 \end{aligned}$

De las condiciones anteriores vemos que tenemos los siguientes posibles intervalos que cumplen la desigualdad inicial:

$(- \infty, - 1]$
Vemos que al sustituir $x = - 1 \in (- \infty, - 1]$ tenemos que:
$- 1 - (- 1)^{3} = - 1 - (- 1) = 0 \geq 0$
por lo que se cumple la desigualdad $x - x^{3} \geq 0$ .
$(- 1, 0)$
Tomando $x = - \frac{1}{2}$ vemos que:
$- \frac{1}{2} - {(- \frac{1}{2})}^{3} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = - \frac{3}{8}$
Por lo que no se cumple ser mayor o igual que cero.
$[1, 0]$
Ahora si tomamos $x = 1$ observamos:
$1 - 1^{3} = 1 - 1 = 0$
por lo que cumple la desigualdad.
$(1, \infty)$
Por último si consideramos $x = 2$ ocurre que:
$2 - (2)^{3} = 2 - 8 = - 6$
que no cumple la desigualdad.

Del análisis anterior vemos que los intervalos que cumplen con $x - x^{3} \geq 0$ son:
$(- \infty, - 1] \cup [1, 0] .$
Por lo que el dominio de la función sería:
$D_{f} = (- \infty, - 1] \cup [1, 0] .$

Gráfica de una función

Definición (gráfica): Sea $f : D_{f} \subseteq R \to R$ Definimos a la gráfica de f como el conjunto:
$G r a f (f) = {(x, y) \in R^{2} : x \in D_{f}, y = f (x)},$
que es equivalente a decir:
$G r a f (f) = {(x, f (x)) : x \in D_{f}} .$

Ejemplos

Para la función constante tenemos:
$f (x) = c,$
donde $D_{f} = R$ y $I m_{f} = c$ .

Por lo que su gráfica se vería como:

Para la función identidad tenemos:
$I d (x) = x,$
donde $D_{f} = R$ y $I m_{f} = R$ .

Así su gráfica se vería:

Más adelante

En la próxima entrada veremos las definiciones relacionadas con las operaciones entre funciones: suma, producto, cociente y composición.

Tarea moral

A continuación encontrarás una serie de ejercicios que te ayudarán a repasar los conceptos antes vistos:

Sea $f : R \to R$ . Demuestra que si $f (x) = x^{2}$ entonces $I m_{f} = [0, \infty) .$
Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
- $\begin{matrix} f (x) = \sqrt{x + 1} \end{matrix}$
- $\begin{matrix} f (x) = x \sqrt{x^{2} - 2} \end{matrix}$
- $\begin{matrix} f (x) = \sqrt{- x} + \frac{1}{\sqrt{x + 2}} \end{matrix}$
- $\begin{matrix} f (x) = \sqrt{2 + x - x^{2}} \end{matrix}$

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Cálculo Diferencial e Integral I: Conjuntos infinitos (Adicional)

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En esta última entrada de la unidad veremos un poco sobre la cardinalidad de un conjunto, un par de definiciones para decir cuando un conjunto es infinito o finito y algunos teoremas útiles. Dado que se trata de un tema adicional varios de los teoremas y resultados sólo serán enunciados.

Cardinalidad de un conjunto

Definición (Cardinalidad): Sea $A$ un conjunto. Definimos a la cardinalidad de $| A |$ como una medida que indica el número de elementos en dicho conjunto $A$ y la denotaremos como:
$| A | .$

Ejemplo: Sea $A = {1, 2, 3, g, y, b}$ así tenemos que su cardinalidad sería:
$| A | = 6.$

Definición: Decimos que $| A | \leq | B |$ si existe una función $f : A \to B$ inyectiva.

Misma cardinalidad

Definición: Sean $A, B$ conjuntos. Decimos que $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad $| A | = | B |,$ si existe una función $f : A \leftrightarrow B$ biyectiva.

Para los fines de esta entrada, daremos la definición de función biyectiva. Revisaremos esta definición con mayor detenimiento en la unidad 3, dedicada a las funciones, como parte de este curso.

Definición: Sea $f : A \to B$ una función. Decimos que $f$ es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: Si consideramos los intervalos $[0, 1]$ y $(0, 1)$ . Vemos que:
$| [0, 1] | = | (0, 1) | .$
Primero tomamos los valores $0$ y $1$ en el intervalo $[0, 1]$ y los enviamos a los valores $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}$ respectivamente en el intervalo $(0, 1)$ .

Ahora consideramos los valores de la forma $\frac{1}{n}$ con $n \in N ∖ {0}$ y $n \geq 2$ . A estos valores los enviaremos a los de la forma $\frac{1}{n + 2}$ . De este modo lo que haremos será enviarlos al $(0, 1)$ como en el ejemplo de la siguiente imagen:

Y por último, a los valores restantes los enviamos a ellos mismos en el intervalo $(0, 1)$ .

Así la función biyectiva sería $f : [0, 1] \leftrightarrow (0, 1)$ :
$f (x) = {\begin{cases} x & si x \neq 0, 1, \frac{1}{n} con n \geq 2 \\ \frac{1}{2} & si x = 1 \\ \frac{1}{3} & si x = 0 \\ \frac{1}{x + 2} & si x = \frac{1}{n} con n \geq 2 \end{cases}$

Conjuntos finitos e infinitos

Definición (1): Sea $A$ un conjunto.

$A$ es finito si existe una función biyectiva $f : A \leftrightarrow {1, 2, \dots, N}$ para algún $N \in N ∖ {0}$ .
$A$ es infinito si no es finito.

Definición (2): Sea $A$ un conjunto.

$A$ es infinito si existe $A^{'} \subset A$ subconjunto propio de A y una función biyectiva $f : A^{'} \leftrightarrow A$ .
$A$ es finito si no es infinito.

Teorema: Sean $A, B$ conjuntos no vacíos. Si $A \subseteq B$ entonces
$| A | \leq | B | .$
Demostración: Proponemos a la función $f : A \to B$ como $f (x) = x$ . Observamos que $f$ es inyectiva y cumple que para todo $x \in A$ se sigue que $x \in B$ . Por definición se sigue que $| A | \leq | B | .$

Observación: Si $A, B$ son conjuntos infinitos puede ocurrir que $A \subset B$ y que $| A | = | B | .$

Teorema: Sean $A, B$ conjuntos finitos.

Si $A \cap B = \emptyset$ entonces:
$| A \cup B | = | A | + | B | .$
Si $A \cap B \neq \emptyset$ entonces:
$| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B | .$

Definición (3): Un conjunto $A$ es infinito si existe $B \subseteq A$ tal que
$| B | = | N | .$

Conjuntos numerables

Definición: Sea $A$ un conjunto no vacío. Decimos que $A$ es numerable si $| A | = | N |$ es decir si existe una función biyectiva:
$f : A \to N .$

Teorema: Sean $A, B$ conjuntos. Si $A$ es finito y $B$ es infinito numerable entonces $A \cup B$ es numerable.
Demostración: Como $A$ es finito consideremos que tiene $m$ elementos.
$A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}} .$
Y como $B$ es infinito y numerable entonces es de la forma:
$B = {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}, \dots} .$
Así al considerar la unión $A \cup B$ tendríamos:
$A \cup B = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}, \dots} .$
Tenemos los siguientes dos casos:

Si $A \cap B = \emptyset$ y consideramos la siguiente indización:
$A \cup B = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}, b_{m + 1}, b_{m + 2}, \dots, b_{m + n}, b_{m + n + 1}, \dots} .$
Vemos $| A \cup B | = | N | .$
Si $A \cap B \neq \emptyset$ . Supongamos que tenemos $k$ elementos en la intersección, es decir:
$a_{1} = b_{1}, a_{2} = b_{2}, \dots, a_{k} = b_{k}$
$A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{k + 1}, \dots, a_{m}} .$
Así consideramos la siguiente indización para la unión:
$A \cup B = {a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{m}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}, \dots} .$
Observamos que $| A \cup B | = | N | .$

Teorema: Si $A$ y $B$ son conjuntos infinitos y numerables entonces $A \cup B$ es infinito y numerable.
Demostración: Primero vemos que $A \cup B$ es infinito ya que al ocurrir que:

$A \subseteq A \cup B$ con $A$ infinito y numerable.
$B \subseteq A \cup B$ con $B$ infinito y numerable.

por definición (3) concluimos que $A \cup B$ es infinito.

Nos falta ver qué $A \cup B$ es numerable, ya que $A$ es numerable podemos escribirlo de la siguiente manera:
$A = {a_{1}, a_{2}, \dots} .$
Análogamente para $B$ :
$B = {b_{1}, b_{2}, \dots},$
por lo que la unión se vería como:
$A \cup B = {a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3} \dots, a_{n}, b_{n}, \dots} .$
Observemos que si consideramos la siguiente indización:
$A \cup B = {a_{1}, b_{2}, a_{3}, b_{4}, a_{5}, b_{6} \dots, a_{2 n - 1}, b_{2 n}, \dots},$

el conjunto tiene una relación biunívoca con el conjunto de los naturales.
Veamos qué sucede en los siguientes casos:

Si $A \cap B = \emptyset \Rightarrow | A \cup B | = | N | .$
Si $A \cap B \neq \emptyset$ . Consideremos que existen k elementos en la intersección, por lo que serían de la forma:
$a_{1} = b_{1}, a_{2} = b_{2}, \dots, a_{k} = b_{k} .$
Por lo que ahora la unión se vería como:
$A \cup B = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k}, a_{k + 1}, b_{k + 1}, a_{k + 2}, b_{k + 2} \dots, a_{k + n}, b_{k + n}, \dots}$
y si consideramos la siguiente nueva indización:
$A \cup B = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k}, a_{k + 1}, b_{k + 2}, a_{k + 3}, b_{k + 4} \dots, a_{k + (2 n - 1)}, b_{k + 2 n}, \dots},$
tenemos que tiene una relación biunívoca con $N$ por lo que también se cumple que $| A \cup B | = | N |$ .

A continuación enunciaremos un teorema que generaliza el resultado sobre conjuntos numerables ya visto.

Teorema: Sean $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}, \dots$ conjuntos no vacíos.

Si $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ son numerables $\Rightarrow \begin{matrix} ⋃_{i = 1}^{N} A_{i} \end{matrix}$ es numerable.
Si $A_{1}, A_{2}, \dots$ son numerables $\Rightarrow \begin{matrix} ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \end{matrix}$ es numerable.

Más adelante

Ahora que hemos concluido con la unidad relacionada a los Números reales, en la próxima iniciaremos el tema de funciones definiendo qué es el dominio, rango y regla de correspondencia de una función.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: El número de Euler

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Supongamos que tenemos un peso el cual hemos decidido invertir y, para hacerlo, tenemos tres opciones. La primera es invertir en el Banco A que está dispuesto a regresarnos un 100% de interés después de un año. En este caso, al finalizar el año tendríamos el doble de dinero que con el que iniciamos, es decir, tendríamos $$ 2.00 .$

Nuestra segunda opción es el Banco B, que nos propone invertir nuestro dinero con ellos y promete generar el 50% del capital dos veces al año. Asumiendo que reinvertimos el dinero obtenido de tal forma que el capital inicial del segundo semestre es igual al capital final del primero, tendríamos lo siguiente

Semestre	Interés	Capital inicial	Cálculo	Capital final
1	50% / $\frac{1}{2}$	$1.00	$1 \cdot (1 + \frac{1}{2})$	$1.50
2	50% / $\frac{1}{2}$	$1.50	$1.5 \cdot (1 + \frac{1}{2})$	$2.25

Notemos que el cálculo podemos hacerlo de forma directa mediante la siguiente expresión

$(1 \cdot (1 + \frac{1}{2})) \cdot (1 + \frac{1}{2}) = 1 \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2} .$

Por otro lado, la tercera opción, el Banco C, promete entregarnos 25% de interés cada trimestre. Si después de cada trimestre se invierte todo el capital inicial más los intereses generados, tenemos el siguiente escenario.

Trimestre	Interés	Capital inicial	Cálculo	Capital final
1	25% / $\frac{1}{4}$	$1.00	$1 \cdot (1 + \frac{1}{4})$	$1.25
2	25% / $\frac{1}{4}$	$1.25	$1.25 \cdot (1 + \frac{1}{4})$	$1.5625
3	25% / $\frac{1}{4}$	$1.5625	$1.5625 \cdot (1 + \frac{1}{4})$	$1.953125
4	25% / $\frac{1}{4}$	$1.953125	$1.953125 \cdot (1 + \frac{1}{4})$	$2.441406

De igual forma, podemos compactar los cálculos anteriores:

$1 \cdot (1 + \frac{1}{4}) \cdot (1 + \frac{1}{4}) \cdot (1 + \frac{1}{4}) \cdot (1 + \frac{1}{4}) = 1 \cdot {(1 + \frac{1}{4})}^{4} .$

Después de analizar todas las opciones, vemos que el Banco C nos permite generar más dinero al final del año siendo la mejor de nuestras tres opciones. Una interrogante natural después de haber evaluado los ejercicios anteriores es saber qué sucede si tenemos una tasa de interés de $\frac{1}{365}$ de forma diaria, lo cual generaría

$1 \cdot {(1 + \frac{1}{365})}^{365} = 2.714567 .$

Este escenario nos permite ganar una mayor cantidad de dinero al final del periodo. ¿Qué pasaría si tuviésemos una tasa de interés que se paga cada hora o cada minuto o cada segundo? Con una periodicidad lo suficientemente alta, ¿podríamos hacernos infinitamente ricos? Esta última pregunta la responderemos analizando el siguiente límite:

$lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} .$

El número de Euler

Después de la motivación dada en la introducción, definiremos la sucesión ${e_{n}}$ tal que $e_{n} = (1 + \frac{1}{n}) .$

Por los ejemplos revisados donde se calcula el interés en diferentes periodicidades, podemos inferir que la sucesión ${e_{n}}$ es creciente y a continuación lo probaremos.

Proposición. La sucesión ${e_{n}}$ es creciente.

Demostración.

Usando la fórmula del binomio de Newton se tiene lo siguiente

$\begin{aligned} e_{n} & = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{1}{n^{k}} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n (n - 1) \dots (n - k + 1)}{n^{k}} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \dots \frac{n - k + 1}{n} \\ (1) & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) \dots (1 - \frac{k - 1}{n}) \\ = 1 + 1 + \frac{1}{2!} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{n!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \dots (1 - \frac{n - 1}{n}) . \end{aligned}$

$∴ e_{n} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{n!} (1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{2}{n}) \dots (1 - \frac{n - 1}{n}) .$

Análogamente, se tiene que

$\begin{aligned} e_{n + 1} = & 1 + 1 + \frac{1}{2!} (1 - \frac{1}{n + 1}) + \frac{1}{3!} (1 - \frac{1}{n + 1}) (1 - \frac{2}{n + 1}) + \dots \\ + \frac{1}{n!} (1 - \frac{1}{n + 1}) \cdot (1 - \frac{2}{n + 1}) \dots (1 - \frac{n - 1}{n + 1}) \\ + \frac{1}{(n + 1)!} (1 - \frac{1}{n + 1}) (1 - \frac{2}{n + 1}) \dots (1 - \frac{n}{n + 1}) . \end{aligned}$

Notemos que

$(1 - \frac{1}{n}) < (1 - \frac{1}{n + 1}), \dots, (1 - \frac{k - 1}{n}) < (1 - \frac{k - 1}{n + 1}) .$

Es decir, cada término de $e_{n}$ es más chico que su correspondiente de $e_{n + 1}$ a partir del tercero. Además, $e_{n + 1}$ tiene un término positivo extra, se sigue entonces que $e_{n} < e_{n + 1} .$

Por tanto, ${e_{n}}$ es creciente.

Antes de continuar, probaremos una proposición respecto a la serie geométrica.

Proposición. Sea $r \in R$ tal que $| r | < 1$ , entonces

$\sum_{k = 0}^{n} r^{k} = \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r} .$

Demostración.

Sea $S_{n} = 1 + r + r^{2} + r^{3} + \dots + r^{n}$ . Entonces se tiene que

$r \cdot S_{n} = r + r^{2} + r^{3} + r^{4} + \dots + r^{n + 1} .$

Restando $S_{n} - r S_{n}$ se tiene

$\begin{aligned} S_{n} - r S_{n} & = 1 + r + r^{2} + r^{3} + \dots + r^{n} - (r + r^{2} + r^{3} + r^{4} + \dots + r^{n + 1}) \\ = 1 - r^{n + 1} . \end{aligned}$

$\begin{matrix} \Rightarrow & S_{n} - r S_{n} = 1 - r^{n + 1} . \\ \Rightarrow & S_{n} (1 - r) = 1 - r^{n + 1} . \end{matrix}$

$∴ S_{n} = \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r} .$

Al inicio se planteó la siguiente pregunta: con una periodicidad lo suficientemente alta, ¿podríamos hacernos infinitamente ricos? La respuesta es no y lo probamos en la siguiente proposición.

Proposición. La sucesión ${e_{n}}$ está acotada entre 2 y 3.

Demostración.

Dado que ${e_{n}}$ es creciente, se tiene que $e_{1} \leq e_{n}$ para todo $n \in N$ . Así, $e_{1} = {(1 + \frac{1}{1})}^{1} = 2$ . Por tanto, $2 \leq e_{n}$ para todo $n \in N .$

Ahora probaremos que $3$ es una cota superior de la sucesión.

Notemos que $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots k \geq 1 \cdot 2 \cdot 2 \dots 2 = 2^{k - 1}$ y de $(1)$ tenemos que

$\begin{aligned} e_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) \dots (1 - \frac{k - 1}{n}) \\ < \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \\ = 1 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k!} \\ \leq 1 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}} \\ = 1 + \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{2^{k}} . \end{aligned}$

Además, por la proposición anterior se tiene que

$\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{2^{k}} = \frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{1 - \frac{1}{2}} < 2.$

Por tanto, se sigue que $1 + \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{2^{k}} < 3.$

Se concluye que $2 < e_{n} < 3$ .

Hemos probado que ${e_{n}}$ es una sucesión creciente y acotada. Por tanto, se sigue que es convergente, y converge al supremo. Definimos el número de Euler de la siguiente forma:

$e := lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} .$

A continuación, mostramos la gráfica de esta sucesión.

Este número ha logrado posicionarse como uno de los más conocidos dentro del mundo de las matemáticas, siendo $e$ la base del logaritmo natural y dentro de este mismo curso se ha usado antes al momento de estudiar la función exponencial.

Más adelante…

En esta unidad hemos revisado a detalle el límite de una sucesión y en la unidad anterior estudiamos el concepto y propiedades de las funciones, es tiempo de continuar con un concepto más avanzado que requiere del entendimiento de ambos temas: el límite de una función.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Encuentra los siguientes límites:

$lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} .$
$lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n} .$
$lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{2 n} .$
$lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{n} .$

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