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Teoría de los Conjuntos I: Funciones

Introducción

Esta sección estará dedicada a un tipo de relaciones a las que llamaremos funciones. Este tema será de gran importancia pues utilizaremos funciones con mucha frecuencia a partir de ahora, es por ello que dedicaremos una serie de entradas para tratarlas. En esta primera parte abordaremos la definición de función, algunas de sus propiedades y ejemplos.

¿Qué es una función?

Definición: Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ (lo denotaremos por $f:A\to B$), diremos que $f$ es función si $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ implica que $b=c$.

La definición de función nos dice que dados dos conjuntos y una relación de $A$ en $B$ podremos hablar de función si y sólo si cada uno de los elementos de $A$ bajo una regla de correspondencia (relación) va a dar a uno y sólo uno de $B$. Como se muestra en la siguiente imagen:

Para abordar la definición desde otra perspectiva revisaremos el siguiente ejemplo que nos muestra que no toda relación es función.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (1,2), (2,1)}$.

Resulta que $f$ no es función pues $(1,1)\in f$ y $(1,2)\in f$, sin embargo no es cierto que $1=2$.

$\square$

Ahora veamos el ejemplo de una relación que si es función.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3}$ y $B=\set{1,2}$. Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (2,1), (3,1)}$.

En este ejemplo tenemos que $f$ es función pues cada elemento de $A$ va a dar a uno y sólo uno de $B$, es decir, para cualesquiera $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ se cumple que $b=c$.

$\square$

Después de revisar estos ejemplos es importante mencionar que aunque no toda relación es función, siempre ocurrirá que una función es una relación, este último hecho se sigue de la definición de función.

Función vacía

Sea $X=\emptyset$ y $Y$ un conjunto cualquiera, definimos a la función vacía de $X$ en $Y$ como $f=\emptyset$. En la sección de relaciones vimos que el conjunto vacío en efecto es una relación, nos resta ver que para cualesquiera $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ se cumple que $b=c$, sin embargo este enunciado se cumple por un argumento por vacuidad.

Por lo tanto, la relación vacía es función.

Función constante

Sean $X$, $Y$ un conjunto y $c\in Y$. Definimos la función constante $f$ de $X$ en $\set{c}$ como $f(x)=c$ para toda $x\in X$. Nuestra función se verá de la siguiente forma:

Función identidad

Sea $X$ un conjunto, la relación identidad es función. Recordemos que la relación identidad $Id_X$ esta definida como sigue:

$Id_X=\set{(x,y): x,y\in X\ y\ x=y}$

Dado que para cualesquiera $(x,y)\in Id_X$ y $(x,w)\in Id_X$ tenemos que $x=y$ y $x=w$ por definición de la relación $Id_X$, por lo tanto, $y=w$ y así concluimos que $Id_X$ es función.

Función característica

Sean $A$ y $X$ conjuntos tales que $A\subseteq X$, definimos a la función característica como $\chi_A$ de $A$ en $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ dada por:

\begin{align*}
\chi_A(x) = \left\{ \begin{array}{lcc}
\set{\emptyset} &  \text{si}  & x \in A \\
\emptyset &  \text{si} & x\notin A
\end{array}
\right.
\end{align*}

Función inclusión

Sea $X$ un conjunto cualquiera, definimos a la función inclusión $\iota:A\to X$ como el siguiente conjunto:

$\iota_A= \set{(x,x):x\in A}$.

Restricción de una función

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función y sea $A\subseteq X$ decimos que la restricción de $f$ en $A$ es la función $f\upharpoonright_{A} :A\to Y$ dada por $f\upharpoonright_{A} (x)= f(x)$ para todo $x\in A$.

Ejemplo: Sean $X=\set{1,2,3,4}$ y $Y=\set{1,2,3,4,5}$. Sea $f:X\to Y$ una función dada por $\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,1)}$, si queremos hacer que la función $f$ sea igual a la identidad en el conjunto $\set{1,2,3}$ podemos considerar a $f\upharpoonright_{A}$ con $A=\set{1,2,3}$. Así, $f\upharpoonright_A=\set{(1,1), (2,2), (3,3)}$.

$\square$

Dominio e imagen

De manera similar que con las relaciones trataremos las definiciones de dominio, imagen e imagen inversa, sin embargo ahora lo haremos para funciones.

Definición: Sea $f$ una función de A en B, definimos el dominio de la $f$ como:

$dom(f)=\set{x\in A:\exists y\in B\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1,2,3,4}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}$.

Tenemos que,

$dom(f)=\set{x\in \set{1,2,3,4}:\exists y\in \set{1,2,3,4}\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2,3,4}$.

$\square$

Definición: Sea $f$ una función de A en B, definimos la imagen de la función $r$ como:

$im(f)=\set{y\in B:\exists x\in A\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por $f(x)=1$ para todo $x\in A$.

Tenemos que,

$im(f)=\set{y\in B: \exists x\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1}$.

$\square$

Definición: Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $D\subseteq A$. Definimos la imagen de $D$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f[D]=\set{f(x)\in B: \exists x\in D\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $A’=\set{2,4}\subseteq A$.

Tenemos que,

$f[A’]=\set{f(x)\in B: \exists x\in A’\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{4,8}$.

$\square$

Definición: Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $B’\subseteq B$. Definimos la imagen inversa de $B’$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f^{-1}[B’]=\set{x\in A: \exists y\in B’\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $B’=\set{2,4}\subseteq B$.

Tenemos que,

$f^{-1}[B’]=\set{x\in A: \exists y\in B’\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2}$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a reforzar los conceptos de función, dominio e imagen.

  • Sea $f$ una función de $\set{1,2}$ en $\set{2.4,5}$ dada por $f=\set{(1,2), (2,4)}$. Describe al dominio y la imagen de $f$.
  • Sean $A=\set{1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ y $B=\set{1,2,3,4,5,6,7}$ conjuntos. Responde si las siguientes relaciones son o no funciones:
    1. $f_1=\set{(1,1), (1,2), (2,1), (3,4)}$,
    2. $f_2=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (5,5)}$,
    3. $f_3=\set{(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1)}$.

Más adelante

La siguiente sección estará dedicada a hablar acerca de algunas de las propiedades que tiene la imagen de un conjunto bajo una función respecto a la unión, la intersección y la diferencia. Además hablaremos acerca de la composición de funciones, en esta parte retomaremos el concepto de composición de relaciones.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar información acerca del tema de funciones abordado desde el álgebra superior:

Álgebra Superior I: Introducción a funciones

Teoría de los Conjuntos I: Relaciones

Introducción

En esta nueva entrada vamos a ver el concepto de relación, para definirla es necesario tener fresco el concepto de producto cartesiano. Así mismo, definiremos nuevos conjuntos a partir de una relación, como lo son el dominio, la imagen de una relación, la imagen de un conjunto bajo una relación. Concluiremos esta sección definiendo a la relación inversa.

Relación

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos, definimos $r$ una relación de $A$ en $B$ si y sólo si $r\subseteq A\times B$.

Si $A=B$ diremos que $r\subseteq A\times A$ es una relación en $A$.

Ejemplo 1:

Sea $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ y definimos $r$ como:

$r=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}})}$.

Dado que $A\times B=\set{(\emptyset,\emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}}), (\set{\emptyset}, \emptyset), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $r\subseteq A\times B$ decimos que $r$ es una relación de $A\times B$.

$\square$

Ejemplo 2:

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Definimos $R=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}$ y decimos que $R$ es una relación.

En efecto, pues $R=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}\subseteq A\times B$, donde $A\times B=\set{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}$.

Si representamos a $R$, podemos verlo como sigue:

Imagen de relación del ejemplo 2

$\square$

Definición: Si $(x,y)\in r$ con $r$ relación, decimos que $x$ está relacionado con $y$ y lo denotaremos como $xRy$.

Si retomamos el ejemplo 1 podemos decir que $\emptyset r\emptyset$ y $\emptyset r\set{\set{\emptyset}}$.

A partir del ejemplo 2 podemos decir que $1R1$, $1R2$ y $1R3$.

Relaciones relevantes

A continuación hablaremos de algunas relaciones que se pueden definir. Dichas relaciones serán de gran utilidad más adelante, por lo que incluso tienen nombre.

  1. Relación vacía
    Si $r=\emptyset$, entonces $r$ será llamada relación vacía. Esto tiene sentido pues $\emptyset\subseteq A\times B$ para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos, debido a que el conjunto vacío está contenido en cualquier conjunto y $A\times B$ es un conjunto.
  2. Relación identidad
    Sea $A$ un conjunto cualquiera, definimos la relación identidad en $A$ como:
    $Id_{A}=\set{(a,a):a\in A}$.
    Notamos que $Id_{A}\subseteq A$ pues para cualquier $(x,y)\in Id_{A}$ se tiene que $x=y$ tal que $x,y\in A$, lo que significa que $(x,y)\in A\times A$.
  3. Relación inclusión
    Sea $X$ un conjunto cualquiera, definimos a la relación inclusión en $\mathcal{P}(X)$ como el siguiente conjunto:
    $\set{(A, B): A,B\in \mathcal{P}(X)\ y\ A\subseteq B}$.
  4. Relación de pertenencia
    Sea $A$ un conjunto, definimos a la relación de pertenencia en $A$ como el siguiente conjunto:
    $\in_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\in b}$.
  5. Relación de contención
    Sea $A$ un conjunto, definimos a la relación de pertenencia en $A$ como el siguiente conjunto:
    $\subseteq_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\subseteq b}$.

Dominio de una relación

Ya que hemos definido el concepto de relación, a continuación definiremos al dominio de una relación:

Definición: Sea $r$ una relación de $A$ en $B$, definimos el dominio de la relación como:

$dom(r)=\set{x\in A:\exists y\in B\ tal\ que\ (x,y)\in r}$.

Ejemplo:

Sean $A=B=\set{1,2}$, definimos $R=\set{(1,2), (1,1), (2,2)}\subseteq A\times B$. Tenemos que:

$dom(R)=\set{1,2}$

pues para $1\in A$ existe $1,2\in B$ tales que $(1,1),(1,2)\in R$ y para $2\in A$ existe $2\in B$ tal que $(2,2)\in R$.

$\square$

Imagen de una relación

A continuación vamos a definir la imagen de una relación:

Definición: Sea $r$ una relación de $A$ en $B$, definimos la imagen de la relación $r$ como:

$im(r)=\set{y\in B:\exists x\in B\ tal\ que\ (x,y)\in r}$.

Ejemplo:

Sean $A=B=\set{1,2}$, definimos $R=\set{(1,2), (1,1), (2,2)}\subseteq A\times B$. Tenemos que:

$im(R)=\set{1,2}$

pues para $1\in B$ existe $1\in A$ tal que $(1,1)\in R$ y para $2\in B$ existe $1,2\in A$ tal que $(1,2), (2,2)\in R$.

$\square$

Imagen de un conjunto bajo una relación

Definición: Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq A$, definimos a la imagen de $C$ bajo $R$ como el siguiente conjunto:

$R(C)=\set{y\in B: \exists x\in C (xRy)}$.

Ejemplo:

Sean $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Sea $r=\set{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,4)}$ una relación de $A$ en $B$ y sea $C=\set{1}\subseteq A$, tenemos que

$R(C)=\set{y\in {1,2,3,4}:\exists x\in{1}(xRy)}= \set{1,3}$.

$\square$

Relación inversa

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos. Sea $r$ una relación de $A$ en $B$, definimos la relación inversa de $r$ de $B$ en $A$ como:

$r^{-1}=\set{(b,a): (a,b)\in r}$.

Notemos que la relación inversa intercambia el orden de las entradas de las parejas ordenadas que son elementos de la relación $r$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y definimos $r$ como:

$r=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset,\set{\emptyset})}$

tenemos que

$r^{-1}=\set{(\emptyset, \emptyset), (\set{\emptyset}, \emptyset)}$.

En efecto, pues como $(\emptyset, \emptyset)\in r$ tendremos que $(\emptyset, emptyset)\in r^{-1}$ y como $(\set{\emptyset}, \emptyset)\in r$ tendremos que $(\emptyset, \set{\emptyset})\in r^{-1}$.

$\square$

Proposición: Sea $R$ una relación, demuestra que $(R^{-1})^{-1}=R$.

Demostración:

Sea $R$ una relación, tenemos que

\begin{align*}
(R^{-1})^{-1}&=\set{(x,y): (y,x)\in R^{-1}}\\
&= \set{(x,y): (x,y)\in R}\\
&= R.
\end{align*}

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar los conceptos de relación, dominio e imagen.

  1. Si $r$ es la relación vacía, encuentra el dominio y la imagen de $r$.
  2. Si $R$ es la relación identidad de $A$, encuentra el dominio y la imagen de $R$.
  3. Sea $R=\set{(1,2), (3,4)}$ relación de $A=\set{1,2,3}$ en $B=\set{1,2,3,4}$. Encuentra el dominio y la imagen de $R$. Además escribe al conjunto $R^{-1}$.
  4. Si $R$ es la relación identidad de $A$, describe a $R^{-1}$.

Más adelante

En la siguiente sección continuaremos con el tema de relaciones, trataremos la composición de relaciones.

Enlaces

En los siguientes enlaces podrás encontrar contenido relacionado a relaciones:

Álgebra Superior I: Relaciones en conjuntos: dominio, codominio y composición

Álgebra Superior I: Tipos de relaciones en conjuntos

Álgebra Superior I: Relaciones en conjuntos: dominio, codominio y composición

Introducción

Habiendo hablado del producto cartesiano, ya tenemos los ingredientes para irnos acercando a la definición de función, pero antes de hablar de ellas, tenemos que hablar de relaciones y de algunos de sus conceptos. En esta entrada introduciremos el concepto de relación, dominio, codominio y composición entre relaciones.

Relaciones

Cuando estamos hablando de el producto cartesiano, estamos juntando las parejas posibles de elementos entre dos conjuntos. Pero quizá no nos interesen todas las parejas posibles, quizá a veces solo nos interesaría hablar de algún subconjunto de estas parejas. Por ejemplo, si tenemos los conjuntos de zapatos izquierdos y derechos denotados por $I,D$ entonces no siempre nos interesan todas las parejas posibles de zapatos, quizá solo nos interese combinar cada zapato izquierda con su par correspondiente. Para dar un ejemplo, imagina que hay tres zapatos $A,B,C$ y los conjuntos $I$ y $D$ contienen tres zapatos de cada uno de los zapatos que hay:

$I = \{A_I,B_I,C_I\} $

$D = \{A_D,B_D,C_D\} $

Si quisieramos unir cada zapato con su par, nos podemos fijar en su producto cartesiano $I \times D$, sin embargo hay elementos que sí nos van a interesar y otros que no. Por ejemplo, la pareja $(I_A,D_A)$ sí nos interesa, pues es el zapato izquierdo y derecho del zapato $A$. Por otro lado, la pareja $(I_A,D_C)$ no nos interesa, pues estamos juntando dos zapatos pero de modelos distintos. En particular, el subconjunto de $I \times D$ que describe a los tres zapatos es: $$R = \{(I_A,D_A),(I_B,D_B),(I_C,D_C)\}.$$ Este conjunto es una relación entre los conjuntos $I$ y $D$. Como podrás notar, $R \subset I \times D$, y para la definición de relación, basta con que el conjunto esté contenido en el producto cartesiano para que cumpla la definicón.

Definición. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos, una relación entre los conjuntos $X$ y $Y$ es un subconjunto $R$ del producto cartesiano $X \times Y$: $$R \subset X \times Y $$

Definición. Si $R$ es una relación de $X$ en $Y$, diremos que $x$ está relacionado con $y$ bajo la relación $R$ si la pareja $(x,y) \in X \times Y$ y $(x,y) \in R$.

Con esta última definición, podemos notar que el zapato izquierdo $A$ ($I_A$) está relacionado con el zapato derecho $A$ ($D_A$) bajo la relación $R$, pues la pareja $(I_A,D_A)$ pertenece a la relación $R$.

En nuestro ejemplo anterior, mostramos una relación entre $I$ y $D$. Otros ejemplos de relaciones entre $I$ y $D$ son los siguientes:

$\{(I_B,D_A),(I_C,D_B),(I_C,D_A)\},$
$\{(I_C,D_B)\}$
$\{(I_A,D_A),(I_C,D_B)\}$
$\emptyset$
$I \times D$

Dominio y codominio de relaciones

Vamos ahora a trabajar con el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$. Y trabajaremos con el producto cartesiano $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. Llamemos a este producto cartesiano $\mathbb{Z}^2$ que es la forma en que comúnmente se le denota al producto cartesiano entre el mismo conjunto (en este caso $\mathbb{Z}$) en la literatura.

Ahora, consideremos la siguiente relación entre los conjuntos: $$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: (x \text{ es múltiplo de 3} )\land (y = 2x) \} $$

Y notemos que algunos ejemplos de elementos de esta relación son: $\{ (3,6),(0,0),(-3,-6),(3^{10},2*3^{10}) ,(-300,-600)\} \subset R$. Gráficamente, podemos ver la relación en la siguiente imagen:

Del lado izquierdo corresponden los elementos $x$ de las parejas $(x,y) \in R$ y del lado derecho los elementos $y$. Notemos que del lado izquierdo (los elementos $x$), no consideramos todos los elementos. Por ejemplo, los números $\{-5,-4,-2,-1,1,2,4,5\}$ no forman ninguna pareja, pues en la definición de nuestro conjunto, solo estamos considerando los múltiplos de $3$ del lado izquierdo de la relación. A estos números que sí forman parejas del lado izquierdo, les llamamos dominio.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. El dominio de la relación $R$ es $$Dom(R) = \{x \in X: \exists y \in Y \text{ tal que } (x,y) \in R\}$$

Notemos que siempre pasará que $Dom(R)\subset X$, otra definición que no hay que confundir con la de dominio es la de contradominio, al que nos referimos como el conjunto $Y$.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. El contradominio de $R$ es el conjunto $Y$.

En nuestro ejemplo anterior, $$Dom(R)=\{x \in X: x \text{ es múltiplo de 3}\}$$

Esto es cierto, pues las parejas de la relación $R$ son aquellas parejas de la forma $(3n,6n)$, pues pedimos que del lado izquierdo estén los múltiplos de $3$ (todo múltiplo de $3$ puede escribirse como algún número entero $n$ multiplicado por $3$), y del lado izquierdo el doble del número que escribimos del otro lado (si del lado izquierdo está $3n$ entonces del derecho estará $2*3n=6n$). Así que el dominio son aquellos números que forman alguna pareja, es decir, los múltiplos de $3$.

Por otro lado, el contradominio es $\mathbb{Z}$. Ahora, podemos preguntarnos en un concepto análogo a la idea de los elementos $y$ para los cuales existe un elemento $x$ de forma que $(x,y)$ pertenezca a la relación, para eso, podemos observar que los únicos elementos de $Z$ que pertenecen a alguna pareja del lado derecho son $\{\dots,-12,-6,0,6,12,\dots\}$, es decir, los múltiplos de $6$, de manera que podríamos hablar de que este conjunto es la imagen de la relación $R$.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. La imagen de $R$ es: $$Im(R) = \{y \in Y: \exists x \in X \text{ tal que } (x,y) \in R\}$$

Imagen Directa e Imagen Inversa

Ahora, tomemos a los conjuntos $A=\{0,2,3,5,7,8,9\}$ y $B=\{-6,-1,2,3,4,6,7,12,21\}$ veamos que $A \times B \subset \mathbb{Z}^2$ pues ambos son subconjuntos de números enteros. El siguiente concepto que vamos a presentar, va a ser la imagen directa e inversa. Para esto, consideremos nuevamente nuestra relación $R$ de la sección anterior. Veamos que los elementos de $A$ que pertenecen al dominio de $R$ son $\{0,3,6,9\}$ esto pues $\{(0,0),(3,6),(6,12),(9,18)\} \subset R$. Definamos la imagen directa de $A$ como los elementos en la imagen de $R$ con la restricción de que únicamente consideremos elementos de $A$ del lado izquierdo.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos, $A \subset X$ y $R$ una relación de $X$ en $Y$. La imagen directa de $A$ es el conjunto: $$Im[A]=\{y \in Y: \exists x \in A \text{ tal que }(x,y) \in R\}$$

Compara esta definición con la definición de imagen, lo único que estamos cambiando es el conjunto al que pertencen las $x$.

De manera similar, tenemos un concepto similar para $B$, en donde restringiremos ahora el dominio. Para esto, nota que las parejas de $R$ que tienen su imagen en $B$ son $\{(-6,-3),(3,6),(6,12)\}$. Y el concepto de imagen inversa, serán aquellos elementos del dominio de $R$ los cuales están relacionados con algún elemento de $B$.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos, $B\subset Y$ y $R$ una relación de $X$ en $Y$. La imagen inversa de $B$ es el conjunto: $$Im^{-1}[B]=\{y \in Y: \exists x \in A \text{ tal que }(x,y) \in R\}$$

De esta, manera:

$$Im[A]=\{0,6,12,18\},$$ $$ Im^{-1}[B]=\{-6,3,6\}.$$

A continuación, vamos a introducir una última definición de esta entrada, que da la idea intuitiva de juntar distintas relaciones.

Composición de funciones

Ahora, veremos la siguiente relación entre el conjunto de zapatos izquierdos $I$ y conjunto de zapatos derechos $D$:

$$R = \{(x,y) \in I \times D: x \text{ es del mismo color que }y\} $$

Y la relación entre zapatos derechos y el conjunto $P$ de pantalones:

$$ T = \{(x,y) \in D \times P:x \text{ es del mismo color que }y\} $$

Estas relaciones solo nos están juntando colores de prendas, la primera nos junta zapatos del mismo color y la tercera relaciones el color de los zapatos derechos con el del pantalón.

Así que por si ejemplol tuvieramos los colores rojo, amarillo y azul entre zapatos izquierdos, derechos y pantalones, entonces la primera relación tendría al zapato izquierdo rojo $I_R$, el zapato derecho rojo $D_R$ y el pantalón rojo $P_R$, de manera que $(I_R,D_R) \in R \land (D_R,P_R) \in T$. ¿Podemos establecer la conexión entre los zapatos izquierdos y los pantalones? Pues con esta pareja, resulta que de alguna manera el zapato $D_R$ une a los dos elementos mediante dos relaciones distintas. La primera relación tiene como contradominio el conjunto $D$ mientras que la segunda lo tiene como dominio.

De la misma manera, podemos conectar el zapato izquierdo azul $I_A$ con algún pantalón de la siguiente manera:

  1. Notamos que $I_A$ está relacionado con el zapato derecho azul $D_A$ mediante la relación $R$.
  2. Observamos que a su vez el zapato $D_A$ está relacionado con el pantalón azul $P_A$ mediante $T$.

De esta manera, podemos encontrar alguna conexión del zapato $I_A$ al pantalón $P_A$ viendo que hay una relación entre $I_A$ con $D_A$ y de $D_A$ con $P_A$. Así que podríamos definir una relación entre los zapatos izquierdos y los pantalones a través de las relaciones $R$ y $T$. Definamos esta relación como $R \circ T$ de la siguiente manera:

$$T \circ R = \{(x,y) \in I \times P: \exists z \in D \text{ tal que }\big( (x,z) \in R \land (z,y) \in T\big) \} $$

Lo que queremos decir con esta expresión, es que los elementos de la relación $T \circ R$ son los elementos $(x,y)$ de tal forma que existe una forma de conectar $(x,y)$ mediante un elemento $z$ de tal forma que $x$ está relacionado con $y$ mediante la relación $T \circ R$ si existe un elemento $z$ que los conecta, es decir, si existe $z$ en $Im(R) \cap Dom(T)$ de tal forma que $(x,z) \in R$ y $(z,y) \in T$.

Definición. Sean $X,Z,Y$ tres conjuntos, $R$ una relación de $X$ en $Z$ y $T$ una relación de $Z$ en $Y$. La relación composición de $R$ con $T$ es la relación:
$$T \circ R = \{ (x,y) \in X \times Y: \exists z \in Z\big( (x,z) \in R \land (z,y) \in T\big)$$

Veamos ahora un ejemplo de nuevo con los número enteros. Considera la relación que ya habíamos visto anteriormente, dada por: $$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: (x \text{ es múltiplo de 3} )\land (y = 2x) \} $$ Nota ahora, que como dijimos anteriormente, estos son las parejas de la forma $(3n,6n)$ de manera que otra forma de escribir el conjunto es $$R = \{(3n,6n): n \in \mathbb{Z} \} $$.

Ahora considera la siguiente relación $T$:$$T = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x = y+1\}$$

Algunos elementos de esta relación son: $\{(3,2),(7,6),(1,0),(-9,-10)\}$. Gráficamente se ve de la siguiente manera:

Y si te das cuenta, únicamente son los números de la forma $(n+1,n)$. Por lo que podríamos escribir esta relación como $$T = \{(n+1,n): n \in \mathbb{Z} \} $$.

Ahora veamos cómo se ve la composición $T \circ R$. Para ello, tomemos un elemento de la relación $R$. Por ejemplo, $(3,6) \in R$. Ahora notemos que de igual forma, $(6,5)$ pertenece a la relación $T$. De manera que $(3,5) \in T \circ R$. En general, un elemento de la relación $R$ se escribe como $(3n,6n)$, y un elemento de la relación $T$, como dijimos al principio del párrafo, es de la forma $(n+1,n)$ o lo que es lo mismo, $(n,n-1)$. Y enseguida nota que si tomamos un número entero $n$, entonces $(3n,6n) \in R$ y $(6n,6n-1) \in T$. De esta manera, podemos escribir a la composición de $R$ con $T$ como el conjunto: $$ T \circ R = \{(3n,6n-1): n \in \mathbb{Z}\}$$

Tarea moral

  1. Sea $$R=\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x+y=0\}$$ y la relación$$T=\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x-y=0\}.$$Encuentra:
    • $Dom(R)$
    • $Im(R)$
    • Escribe todos los elementos de $T \circ R$
    • Encuentra $Im[\{1,2,3,4,5\}]$ sobre la relación $R$
    • Encuentra $Im^{-1}[\{-1,-2,-3,-4,-5\}]$ sobre la relación $T$
  2. Demuestra que si $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: (x \text{ es múltiplo de 3} )\land (y = 2x) \} $, entonces $$R = \{(3n,6n): n \in \mathbb{Z} \} $$
  3. La recta $\mathcal{L}$ con pendiente $m$ e intersección $b$ con el eje $y$ en los números enteros es el conjunto: $$\mathcal{L}=\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: mx+b=y\} $$ Encuentra $\mathcal{L_1}\cap \mathcal{L_2}$ donde $\mathcal{L_1}$ es la recta con $m=1,b=0$ y $\mathcal{L_2}$ es la recta con $m=-1,b=2$.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos hablando de las relaciones entre conjuntos y veremos algunos tipos de relaciones especiales que tendrán algunas propiedades interesantes. También hablaremos un poco más de relaciones de un conjunto en sí mismo, este tipo de relaciones ya las hemos visto, sin embargo, veremos más propiedades que pueden cumplir estas. Esto nos servirá para hablar después de órdenes entre conjuntos.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Concepto de función

Introducción

En la unidad anterior desarrollamos todo lo concerniente a los números reales, ahora comenzaremos a ver funciones. Para ello recordemos de nuestros cursos de álgebra como se define el producto cartesiano de un par de conjuntos $A$ y $B$:
$$ A\times B := \left\{ (a,b) : a \in A, b \in B \right\}$$
así vemos que sus elementos son pares ordenados.

Por lo que decimos que una relación $R \subseteq A\times B$ si ocurre que $(a,b) \in R$ donde $a \in A$ y $b \in B$.

Basándonos en este par de conceptos daremos la definición formal de función entre un par de conjuntos.

Definición de función

Definición (función): Una función $f$ es una relación tal que:

  • Para todo $a \in A$ existe $b \in B$ donde $(a,b) \in f$
  • Si $(a, b_{1}), (a, b_{2})$ entonces $b_{1}= b_{2}$

Notación:

  • $f : A \rightarrow B$ es una función con dominio $A$ y codominio $B$.
  • Si $(a,b) \in f$ entonces $f(a)=b$ es llamada la regla de correspondencia de f.

En resumen, a una función $f : A \rightarrow B$ la conforman tres cosas:

  • Su dominio
  • Su codominio
  • Su regla de regla de correspondencia

El conjunto imagen de una función

Definición (Conjunto imagen): Sea $f : A \rightarrow B$ una función. La imagen de f se define cómo:
$$Im_{f}:= \left\{ b \in B : \exists a \in A (f(a) =b) \right\}$$
Simplificado sería:
$$Im_{f}:= \left\{ f(a) \in B : a \in A \right\}$$

Ejemplo: Sea $f: \r \rightarrow \r$. Si $f(x)=|x|$ entonces $Im_{f}=[0, \infty)$

Demostración:
$\subseteq )$ Sea $x \in \r$. Vemos que $f(x)= |x|\geq 0$ por lo que $f(x) \in [0, \infty)$

$\supseteq )$ Tomemos $y \in [0, \infty)$. Debemos probar que existe $x \in \r$ tal que $f(x)= y$.
Sea $x=y \in \r$ con $y \geq 0$. Así se sigue que $f(y)= |y|=y$ por lo que $f(y)=x$

$\square$

Ejemplo

Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{1-x^{2}}$$

Dominio:
Vemos que $y=\sqrt{1-x^{2}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1 \geq x^{2}\\
&\Leftrightarrow 1 \geq |x|\\
\end{align*}
Así concluimos que el dominio es el conjunto:
$$D_{f}= [-1,1]$$
Imagen:
Cómo $x \in [-1,1]$ entonces
\begin{align*}
-1 \leq x \leq 1 &\Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 1\\
&\Leftrightarrow 0 \geq -x^{2} \geq -1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 1-1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1\geq \sqrt{1-x^{2}} \geq 0\\
\end{align*}

Por lo anterior tenemos:
$$Im_{f} = [0,1]$$

Ejercicio 1

Encuentra el dominio de la siguiente función:
\begin{equation*} f(x)= \frac{1}{4-x^{2}} \end{equation*}

Vemos que la función está bien definido si y sólo si:
\begin{align*}
4-x^{2} \neq 0 &\Leftrightarrow (2-x)(2+x) \neq 0\\
&\Leftrightarrow x \neq 2 \quad \text{y} \quad x\neq -2
\end{align*}
Por lo que su dominio sería:
$$D_{f}= \r – \left\{-2,2 \right\}$$
es decir, todos los reales quitando el $-2$ y el $2$.

Ejercicio 2

Encuentra el dominio de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{x-x^{3}}$$

Dominio:
Vemos ahora que para $y=\sqrt{x-x^{3}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow x-x^{3} \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x^{2}) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x)(1+x) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x_{1} \geq 0,\quad x_{2} \leq 1, \quad x_{3} \geq -1
\end{align*}

De las condiciones anteriores vemos que tenemos los siguientes posibles intervalos que cumplen la desigualdad inicial:

  • $(-\infty, -1]$
    Vemos que al sustituir $x= -1 \in (-\infty,-1]$ tenemos que:
    $$-1-(-1)^{3} = -1-(-1)= 0 \geq 0$$
    por lo que se cumple la desigualdad $x-x^{3} \geq 0$.
  • $(-1,0)$
    Tomando $x=-\frac{1}{2}$ vemos que:
    $$-\frac{1}{2} -\left(-\frac{1}{2} \right) ^{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = -\frac{3}{8}$$
    Por lo que no se cumple ser mayor o igual que cero.
  • $[1,0]$
    Ahora si tomamos $x=1$ observamos:
    $$1- 1^{3} =1-1 =0$$
    por lo que cumple la desigualdad.
  • $(1,\infty)$
    Por último si consideramos $x= 2$ ocurre que:
    $$2- (2)^{3} =2-8 =-6$$
    que no cumple la desigualdad.

Del análisis anterior vemos que los intervalos que cumplen con $x-x^{3} \geq 0$ son:
$$(-\infty, -1] \cup [1,0]$$
Por lo que el dominio de la función sería:
$$D_{f}=(-\infty, -1] \cup [1,0]$$

Gráfica de una función

Definición (gráfica): Sea $f:D_{f} \subseteq \r \rightarrow \r$ Definimos a la grafica de f como el conjunto:
$$ Graf(f)= \left\{ (x,y)\in {\mathbb{R}}^2: x \in D_{f}, \quad y=f(x) \right\}$$
que es equivalente a decir:
$$Graf(f)= \left\{(x, f(x)): x \in D_{f} \right\}$$

Ejemplos

  • Para la función constante tenemos:
    $$f(x)=c$$
    donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= {c}$.

    Por lo que si gráfica se vería como:
  • Para la función identidad tenemos:
    $$Id(x)=x$$
    donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= \r$.

    Así su gráfica se vería:

Tarea moral

A continuación encontrarás una serie de ejercicios que te ayudarán a repasar los conceptos antes vistos:

  • Sea $f: \r \rightarrow \r$. Demuestra que si $f(x)=x^{2}$ entonces $Im_{f}=[0, \infty)$
  • Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{x+1} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= x \sqrt{x^{2}-2} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{-x}+ \frac{1}{\sqrt{x+2}} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{2+x-x^{2}} \end{multline*}$

Más adelante

En la próxima entrada veremos las definiciones relacionadas con las operaciones entre funciones: suma, producto, cociente y composición.

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