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Teoría de los Conjuntos I: Funciones

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Esta entrada estará dedicada a un tipo de relaciones a las que llamaremos funciones. Este tema es de gran importancia pues utilizaremos funciones con mucha frecuencia a partir de ahora. Por ello, dedicaremos una serie de entradas para tratarlas. En esta primera parte abordaremos la definición de función, algunas de sus propiedades y ejemplos.

¿Qué es una función?

La motivación de la definición de función es la siguiente. Tomemos conjuntos $A$ y $B$. Queremos poder asignar a cualquier elemento de $A$ uno y sólo un elemento de $B$, de manera que inequívocamente para cada $a\in A$ podamos hablar de él elemento que se le asignó en $B$. Las relaciones ayudan a emparejar elementos de $A$ y $B$, pero podemos tener dos problemas 1) Que no todo elemento de $A$ esté en alguna pareja de la relación o 2) Que algún elemento de $A$ quede emparejado con más de un elemento de $B$. Las siguientes definiciones nos permiten evitar estos problemas.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos y $f$ una relación de $A$ en $B$.

  • Diremos que $f$ es total si para cada $a\in A$ existe por lo menos un $b\in B$ tal que $(a,b)\in R$.
  • Diremos que $f$ es funcional si para cada $a\in A$ existe a lo más un $b\in B$ tal que $(a,b)\in R$.
  • Diremos que $f$ es una función de $A$ en $B$ si $f$ es total y funcional.

Otra manera de decir que $f$ es total es que su dominio activo sea igual a su dominio. Así mismo, notemos que $f$ es funcional si y sólo si para todo $a\in A$ y $b,c\in B$, se tiene que $(a,b)\in R$ y $(a,c)\in R$ implican que $b=c$.

La definición de función nos dice que dados dos conjuntos y una relación $f$ de $A$ en $B$, podremos decir que la relación es función si y sólo si a cada uno de los elementos $a\in A$ le corresponde (bajo la relación) a uno y sólo un elemento $b\in B$. A este elemento $b$ lo denotamos por $f(a)$

El siguiente diagrama muestra cómo podría verse una función.

Los siguientes ejemplos ayudarán a entender mejor cada uno de los conceptos anteriores.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Sea $f$ la relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (1,2), (2,1)}$.

Resulta que $f$ no es función pues $(1,1)\in f$ y $(1,2)\in f$, sin embargo no es cierto que $1=2$. Aquí el problema es entonces que la relación no es funcional. Puedes verificar por tu cuenta que $f$ sí es total.

Sea $g$ la relación de $A$ en $B$ dada por $g=\set{(1,2)}$.

Resulta que $g$ no es función pues no tiene parejas de la forma $(2,b)$ con $b\in B$. Aquí el problema es entonces que la relación no es total. Puedes verificar por tu cuenta que $g$ sí es funcional.

Finalmente, sea $h$ la relación de $A$ en $B$ dada por $h=\{(1,3),(2,3)\}$. Aquí la relación sí es total, pues para $1\in A$ existe $3\in B$ con $(1,3)\in h$ y para $2\in A$ existe $3\in B$ con $(2,3)\in h$. La relación también es funcional, pues para $1\in A$ el único $b\in B$ con $(1,3)\in h$ es $b=3$ y para $2\in A$ el único $b\in B$ con $(2,b)\in h$ es $b=3$. Podemos decir entonces que $h(1)=3$ y que $h(2)=3$.

$\square$

Veamos otro ejemplo de una relación que sí es función.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3}$ y $B=\set{1,2}$. Sea $f$ la relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (2,1), (3,1)}$.

En este ejemplo tenemos que $f$ es función pues cada elemento de $A$ va a dar a uno y sólo uno de $B$.

$\square$

Después de revisar estos ejemplos es importante mencionar que aunque no toda relación es función, siempre ocurrirá que una función es una relación.

Algunas funciones importantes

Ahora discutiremos algunos ejemplos importantes de funciones.

  1. Función vacía
    Sea $X=\emptyset$ y $Y$ un conjunto cualquiera. Definimos a la función vacía de $X$ en $Y$ como $f=\emptyset$. En la sección de relaciones vimos que el conjunto vacío en efecto es una relación. Además, como $X$ es vacío se cumple por vacuidad que esta relación es total y funcional. Por lo tanto, la relación vacía es función.
  2. Función constante
    Sean $X$, $Y$ conjuntos y $c\in Y$. Definimos la función constante $f$ de $X$ en $Y$ como $f(x)=c$ para toda $x\in X$. Nuestra función se verá de la siguiente forma:
  1. Función identidad
    Sea $X$ un conjunto. La relación identidad en $X$ es función. Recordemos que la relación identidad $Id_X$ esta definida como sigue:

$Id_X=\set{(x,y): x,y\in X\ y\ x=y}$

Por esta definición, para cada $x\in X$ el único elemento relacionado con $x$ es $x$ mismo. Así concluimos que $Id_X$ es función.

  1. Función característica
    Sean $A$ y $X$ conjuntos tales que $A\subseteq X$. Definimos a la función característica como $\chi_A$ de $A$ en $\set{0,1}$ dada por:

\begin{align*}
\chi_A(x) = \left\{ \begin{array}{lcc}
1 &  \text{si}  & x \in A \\
0 &  \text{si} & x\notin A
\end{array}
\right.
\end{align*}

Recuerda que $0=\emptyset$ y $1=\{\emptyset\}$. Debemos tener un poco de cuidado con las definiciones por casos, pues si una $x$ cae en dos casos cuyas evaluaciones son distintas, podría pasarnos que perdamos la funcionalidad. La función característica sí es función pues para cualquier $x\in X$ pasa uno y sólo uno de los casos $x\in A$ y $x\not \in A$.

  1. Función inclusión. Sea $X$ un conjunto cualquiera y $A\subseteq X$. Definimos a la función inclusión $\iota:A\to X$ como el siguiente conjunto:

$\iota_A= \set{(x,x):x\in A}$.

Restricción de una función

Si ya tenemos una función que va de un conjunto $X$ a otro conjunto $Y$, podemos «limitar» a la función a un subconjunto de $X$ mediante la siguiente definición.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función y sea $A\subseteq X$. Decimos que la restricción de $f$ en $A$ es la función $f\upharpoonright_{A} :A\to Y$ dada por $f\upharpoonright_{A} (x)= f(x)$ para todo $x\in A$.

Aunque las funciones $f$ y $f\upharpoonright$ tengan la misma regla de correspondencia, típicamente son funciones distintas pues casi siempre tienen dominios distintos (a menos que $X=A$).

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3,4}$ y $Y=\set{1,2,3,4,5}$. Sea $f:X\to Y$ la función dada por $\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,1)}$. Si restringimos $f$ al subconjunto $\{1,2,3\}$ obtenemos la función identidad en este subconjunto. En efecto, $f\upharpoonright_A=\set{(1,1), (2,2), (3,3)}$.

$\square$

Dominio activo, imagen e imagen de un subconjunto

De manera similar que con las relaciones, también para las funciones trataremos las definiciones de dominio activo, imagen e imagen de un subconjunto. Además, hablaremos de la imagen inversa de una función.

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$, definimos el dominio activo de $f$ como:

$\text{DomAct}(f)=\set{x\in A:\exists y\in B\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1,2,3,4}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}$.

Tenemos que,

$\text{DomAct}(f)=\set{x\in \set{1,2,3,4}:\exists y\in \set{1,2,3,4}\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2,3,4}$.

$\square$

En este ejemplo el dominio activo coincidió con el dominio. Esto siempre es cierto. Como una función debe ser total, entonces el dominio siempre es igual al dominio activo. Es por esta razón que para funciones prácticamente nunca usamos el término dominio activo.

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$, definimos la imagen de la función $f$ como:

$\text{Im}(f)=\set{y\in B:\exists x\in A\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1,2,3}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por $f(x)=1$ para todo $x\in A$.

Tenemos que,

$\text{Im}(f)=\set{y\in B: \exists x\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1}$.

$\square$

Observa que en este caso la imagen y el codominio no coinciden. En general, para una función no es cierto que la imagen y el codominio coincidan. Las funciones para las cuales pasa esto son especiales y las definiremos y estudiaremos posteriormente.

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $C\subseteq A$. Definimos la imagen de $C$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f[C]=\set{f(x)\in B: \exists x\in C\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $C=\set{2,4}\subseteq A$.

Tenemos que,

$f[C]=\set{y\in B: \exists x\in C\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{4,8}$.

$\square$

En este ejemplo estamos siendo un poco informales, pues estrictamente hablando todavía no hemos definido quién es ni $6$, ni $8$, ni qué quiere decir la expresión $2x$. Pero probablemente a partir de las definiciones de $0,1,2,3,4$ que dimos en la entrada del axioma del par y de la unión puedas imaginarte quiénes serán $6$ y $8$. La expresión $2x$ puedes pensarla de momento que quiere decir que la función tiene a las parejas $(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)$. Esto mismo te ayudará a formalizar el ejemplo después de la siguiente definición.

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $D\subseteq B$. Definimos la imagen inversa de $D$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f^{-1}[D]=\set{x\in A: \exists y\in D\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $D=\set{2,4}\subseteq B$.

Tenemos que,

$f^{-1}[D]=\set{x\in A: \exists y\in D\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2}$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a reforzar los conceptos de función, dominio e imagen.

  • Así como anteriormente definimos $0,1,2,3,4$, define también $5,6,7,8,9$.
  • Sea $f$ una función de $\set{1,2}$ en $\set{2.4,5}$ dada por $f=\set{(1,2), (2,4)}$. Describe al dominio y la imagen de $f$.
  • Sean $A=\set{1,2,3,4,5,6,7,8}$ y $B=\set{1,2,3,4,5,6,7}$ conjuntos. Responde si las siguientes relaciones son o no funciones de $A$ en $B$:
    1. $f_1=\set{(1,1), (1,2), (2,1), (3,4)}$,
    2. $f_2=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (5,5)}$,
    3. $f_3=\set{(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1),(6,2),(7,3),(8,3)}$.

Más adelante…

La siguiente entrada estará dedicada a hablar acerca de algunas de las propiedades que tiene la imagen de un conjunto bajo una función respecto a la unión, la intersección y la diferencia. Además, hablaremos acerca de la composición de funciones, por lo que retomaremos el concepto de composición de relaciones.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Relaciones

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada veremos el concepto de relación, para lo cual es necesario tener fresco el concepto de producto cartesiano. Así mismo, definiremos nuevos conjuntos a partir de una relación, como lo son el dominio activo, la imagen de una relación y la imagen de un conjunto bajo una relación. Concluiremos esta sección definiendo a la relación inversa.

Relación

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Una relación $R$ de $A$ en $B$ es un subconjunto de $A\times B$. A $A$ le llamamos el dominio de la relación y a $B$ el codominio.

Si $A=B$ diremos que $R$ es una relación en $A$.

Ejemplo 1.

Sea $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ y definimos $R$ como:

$R=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}})}$.

Dado que $A\times B=\set{(\emptyset,\emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}}), (\set{\emptyset}, \emptyset), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $R\subseteq A\times B$ decimos que $R$ es una relación de $A$ en $B$.

$\square$

Ejemplo 2.

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Definimos $S=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}$. Tenemos que $S$ es una relación de $A$ en $B$. En efecto, esto sucede pues $S=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}\subseteq A\times B$, ya que $A\times B=\set{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}$.

Podemos representar a $S$ mediante el siguiente diagrama. Del lado izquierdo hemos puesto al dominio $A$. Del lado derecho al codominio $B$. Para cada pareja $(a,b)$ de la relación, hemos puesto una flecha de $a$ a $b$.

Imagen de relación del ejemplo 2

$\square$

Definición. Si $(x,y)\in R$ con $R$ relación, decimos que $x$ está relacionado con $y$ mediante $R$ (o simplemente que $x$ está relacionado con $y$ si por el contexto es claro quién es $y$) y lo denotaremos como $xRy$.

Si retomamos el Ejemplo 1 podemos decir que $\emptyset R\emptyset$ y $\emptyset R\set{\set{\emptyset}}$.

A partir del Ejemplo 2 podemos decir que $1S1$, $1S2$ y $1S3$.

Relaciones relevantes

A continuación hablaremos de algunos ejemplos de relaciones que nos serán de utilidad más adelante.

  1. Relación vacía.
    Si $R=\emptyset$, entonces $R$ será llamada la relación vacía. Esto tiene sentido pues $\emptyset\subseteq A\times B$ para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos.
  2. Relación identidad.
    Sea $A$ un conjunto cualquiera. Definimos la relación identidad en $A$ como:
    $$Id_{A}=\set{(a,a):a\in A}.$$
    Notamos que $Id_{A}\subseteq A$ pues para cualquier $(x,y)\in Id_{A}$ se tiene que $x=y$ con $x,y\in A$, lo que significa que $(x,y)\in A\times A$.
  3. Relación inclusión.
    Sea $X$ un conjunto cualquiera. Definimos a la relación inclusión en $\mathcal{P}(X)$ como el siguiente conjunto:
    $$\set{(A, B): A,B\in \mathcal{P}(X)\ y\ A\subseteq B}.$$
  4. Relación de pertenencia.
    Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de pertenencia en $A$ como el siguiente conjunto:
    $$\in_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\in b}.$$
  5. Relación de contención.
    Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de pertenencia en $A$ como el siguiente conjunto:
    $$\subseteq_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\subseteq b}.$$

Dominio activo de una relación

Ya que hemos definido el concepto de relación, a continuación definiremos al dominio activo de una relación. El nombre lo dice todo: son aquellos elementos del dominio que sí participan activametne en la relación.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos el dominio activo de la relación como:

$\text{DomAct}(R)=\set{x\in A:\exists y\in B\ tal\ que\ (x,y)\in R}$.

Ejemplo.

Sean $A=B=\set{1,2,3}$. Definimos $R=\set{(1,2), (1,1), (2,2),(1,3)}\subseteq A\times B$. Tenemos que $\text{DomAct}(R)=\set{1,2}$ pues para $1\in A$ existe, digamos, $1\in B$ tal que $(1,1)\in R$ y para $2\in A$ existe $2\in B$ tal que $(2,2)\in R$.

$\square$

Imagen de una relación

A continuación vamos a definir lo análogo al dominio activo, pero para el codominio. Le daremos un nombre al subconjunto de elementos del codominio que sí participan en la relación.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la imagen de $R$ como el conjunto

$\text{Im}(R)=\set{y\in B:\exists x\in B\ tal\ que\ (x,y)\in R}$.

Ejemplo.

Sean $A=B=\set{1,2}$. Definimos $R=\set{(1,2), (2,2)}\subseteq A\times B$.

Tenemos que $\text{Im}(R)=\set{2}$ pues para $2\in B$ existe, digamos $2\in A$ tal que $(2,2)\in R$. Sin embargo, $1\not \in \text{Im}(R)$ pues $R$ no tiene ninguna pareja de la forma $(x,1)$ con $x\in A$.

$\square$

Imagen de un conjunto bajo una relación

A veces queremos preguntarnos por los elementos del codominio que participan en la relación, pero sólamente con ciertos elementos del dominio. La siguiente definición establece esto.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq A$. Definimos a la imagen de $C$ bajo $R$ como el el conjunto

$R[C]=\set{y\in B: \exists x\in C (xRy)}$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Sea $R=\set{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,4)}$, la cual es una relación de $A$ en $B$. Tomemos $C=\set{1}\subseteq A$. Tenemos que

$R[C]=\set{y\in \{1,2,3,4\}:\exists x\in\{1\}(xRy)}= \set{1,3}$.

$\square$

Relación inversa

Para cerrar esta entrada, introduciremos un concepto más: el de relación inversa.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la relación inversa de $R$ como la relación $R^{-1}$ de $B$ en $A$ definida como sigue:

$R^{-1}=\set{(b,a): (a,b)\in R}$.

Notemos que la relación inversa intercambia el orden de las entradas de las parejas ordenadas que son elementos de la relación $R$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y definimos $R$ como:

$R=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset,\set{\emptyset})}.$

Tenemos que

$R^{-1}=\set{(\emptyset, \emptyset), (\set{\emptyset}, \emptyset)}.$

En efecto, como $(\emptyset, \emptyset)\in R$ tendremos que $(\emptyset, \emptyset)\in R^{-1}$ y como $(\set{\emptyset}, \emptyset)\in R$ tendremos que $(\emptyset, \set{\emptyset})\in R^{-1}$.

$\square$

Proposición. Sea $R$ una relación, demuestra que $(R^{-1})^{-1}=R$.

Demostración.

Tenemos que

\begin{align*}
(R^{-1})^{-1}&=\set{(x,y): (y,x)\in R^{-1}}\\
&= \set{(x,y): (x,y)\in R}\\
&= R.
\end{align*}

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar los conceptos de relación, dominio activo e imagen.

  1. Si $R$ es la relación vacía, encuentra el dominio activo y la imagen de $R$.
  2. Para $R$ es la relación identidad de $A$, encuentra el dominio activo y la imagen de $R$.
  3. Sea $R=\set{(1,2), (3,4)}$ una relación de $A=\set{1,2,3}$ en $B=\set{1,2,3,4}$. Encuentra el dominio activo y la imagen de $R$. Además, escribe al conjunto $R^{-1}$.
  4. Si $R$ es la relación identidad de $A$, describe quién es $R^{-1}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con el tema de relaciones. Esta vez trataremos el tema de composición de relaciones. Definiremos a la composición de relaciones como una relación que se construye a partir de al menos dos relaciones cuyos dominios y codominios tienen ciertas propiedades en común.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Relaciones en conjuntos: dominio, codominio y composición

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

2 respuestas

Introducción

Habiendo hablado del producto cartesiano, ya tenemos los ingredientes para irnos acercando a la definición de función, pero antes de hablar de ellas, tenemos que hablar de relaciones y de algunos de sus conceptos. En esta entrada introduciremos el concepto de relación, dominio, codominio y composición entre relaciones.

Relaciones

Cuando estamos hablando de el producto cartesiano, estamos juntando las parejas posibles de elementos entre dos conjuntos. Pero quizá no nos interesen todas las parejas posibles, quizá a veces solo nos interesaría hablar de algún subconjunto de estas parejas. Por ejemplo, si tenemos los conjuntos de zapatos izquierdos y derechos denotados por $I,D$ entonces no siempre nos interesan todas las parejas posibles de zapatos, quizá solo nos interese combinar cada zapato izquierda con su par correspondiente. Para dar un ejemplo, imagina que hay tres zapatos $A,B,C$ y los conjuntos $I$ y $D$ contienen tres zapatos de cada uno de los zapatos que hay:

$I = \{A_I,B_I,C_I\} $

$D = \{A_D,B_D,C_D\} $

Si quisieramos unir cada zapato con su par, nos podemos fijar en su producto cartesiano $I \times D$, sin embargo hay elementos que sí nos van a interesar y otros que no. Por ejemplo, la pareja $(I_A,D_A)$ sí nos interesa, pues es el zapato izquierdo y derecho del zapato $A$. Por otro lado, la pareja $(I_A,D_C)$ no nos interesa, pues estamos juntando dos zapatos pero de modelos distintos. En particular, el subconjunto de $I \times D$ que describe a los tres zapatos es: $$R = \{(I_A,D_A),(I_B,D_B),(I_C,D_C)\}.$$ Este conjunto es una relación entre los conjuntos $I$ y $D$. Como podrás notar, $R \subset I \times D$, y para la definición de relación, basta con que el conjunto esté contenido en el producto cartesiano para que cumpla la definicón.

Definición. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos, una relación entre los conjuntos $X$ y $Y$ es un subconjunto $R$ del producto cartesiano $X \times Y$: $$R \subset X \times Y $$

Definición. Si $R$ es una relación de $X$ en $Y$, diremos que $x$ está relacionado con $y$ bajo la relación $R$ si la pareja $(x,y) \in X \times Y$ y $(x,y) \in R$.

Con esta última definición, podemos notar que el zapato izquierdo $A$ ($I_A$) está relacionado con el zapato derecho $A$ ($D_A$) bajo la relación $R$, pues la pareja $(I_A,D_A)$ pertenece a la relación $R$.

En nuestro ejemplo anterior, mostramos una relación entre $I$ y $D$. Otros ejemplos de relaciones entre $I$ y $D$ son los siguientes:

$\{(I_B,D_A),(I_C,D_B),(I_C,D_A)\},$
$\{(I_C,D_B)\}$
$\{(I_A,D_A),(I_C,D_B)\}$
$\emptyset$
$I \times D$

Dominio y codominio de relaciones

Vamos ahora a trabajar con el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$. Y trabajaremos con el producto cartesiano $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. Llamemos a este producto cartesiano $\mathbb{Z}^2$ que es la forma en que comúnmente se le denota al producto cartesiano entre el mismo conjunto (en este caso $\mathbb{Z}$) en la literatura.

Ahora, consideremos la siguiente relación entre los conjuntos: $$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: (x \text{ es múltiplo de 3} )\land (y = 2x) \} $$

Y notemos que algunos ejemplos de elementos de esta relación son: $\{ (3,6),(0,0),(-3,-6),(3^{10},2*3^{10}) ,(-300,-600)\} \subset R$. Gráficamente, podemos ver la relación en la siguiente imagen:

Del lado izquierdo corresponden los elementos $x$ de las parejas $(x,y) \in R$ y del lado derecho los elementos $y$. Notemos que del lado izquierdo (los elementos $x$), no consideramos todos los elementos. Por ejemplo, los números $\{-5,-4,-2,-1,1,2,4,5\}$ no forman ninguna pareja, pues en la definición de nuestro conjunto, solo estamos considerando los múltiplos de $3$ del lado izquierdo de la relación. A estos números que sí forman parejas del lado izquierdo, les llamamos dominio.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. El dominio de la relación $R$ es $$Dom(R) = \{x \in X: \exists y \in Y \text{ tal que } (x,y) \in R\}$$

Notemos que siempre pasará que $Dom(R)\subset X$, otra definición que no hay que confundir con la de dominio es la de contradominio, al que nos referimos como el conjunto $Y$.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. El contradominio de $R$ es el conjunto $Y$.

En nuestro ejemplo anterior, $$Dom(R)=\{x \in X: x \text{ es múltiplo de 3}\}$$

Esto es cierto, pues las parejas de la relación $R$ son aquellas parejas de la forma $(3n,6n)$, pues pedimos que del lado izquierdo estén los múltiplos de $3$ (todo múltiplo de $3$ puede escribirse como algún número entero $n$ multiplicado por $3$), y del lado izquierdo el doble del número que escribimos del otro lado (si del lado izquierdo está $3n$ entonces del derecho estará $2*3n=6n$). Así que el dominio son aquellos números que forman alguna pareja, es decir, los múltiplos de $3$.

Por otro lado, el contradominio es $\mathbb{Z}$. Ahora, podemos preguntarnos en un concepto análogo a la idea de los elementos $y$ para los cuales existe un elemento $x$ de forma que $(x,y)$ pertenezca a la relación, para eso, podemos observar que los únicos elementos de $Z$ que pertenecen a alguna pareja del lado derecho son $\{\dots,-12,-6,0,6,12,\dots\}$, es decir, los múltiplos de $6$, de manera que podríamos hablar de que este conjunto es la imagen de la relación $R$.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. La imagen de $R$ es: $$Im(R) = \{y \in Y: \exists x \in X \text{ tal que } (x,y) \in R\}$$

Imagen Directa e Imagen Inversa

Ahora, tomemos a los conjuntos $A=\{0,2,3,5,7,8,9\}$ y $B=\{-6,-1,2,3,4,6,7,12,21\}$ veamos que $A \times B \subset \mathbb{Z}^2$ pues ambos son subconjuntos de números enteros. El siguiente concepto que vamos a presentar, va a ser la imagen directa e inversa. Para esto, consideremos nuevamente nuestra relación $R$ de la sección anterior. Veamos que los elementos de $A$ que pertenecen al dominio de $R$ son $\{0,3,6,9\}$ esto pues $\{(0,0),(3,6),(6,12),(9,18)\} \subset R$. Definamos la imagen directa de $A$ como los elementos en la imagen de $R$ con la restricción de que únicamente consideremos elementos de $A$ del lado izquierdo.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos, $A \subset X$ y $R$ una relación de $X$ en $Y$. La imagen directa de $A$ es el conjunto: $$Im[A]=\{y \in Y: \exists x \in A \text{ tal que }(x,y) \in R\}$$

Compara esta definición con la definición de imagen, lo único que estamos cambiando es el conjunto al que pertencen las $x$.

De manera similar, tenemos un concepto similar para $B$, en donde restringiremos ahora el dominio. Para esto, nota que las parejas de $R$ que tienen su imagen en $B$ son $\{(-6,-3),(3,6),(6,12)\}$. Y el concepto de imagen inversa, serán aquellos elementos del dominio de $R$ los cuales están relacionados con algún elemento de $B$.

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos, $B\subset Y$ y $R$ una relación de $X$ en $Y$. La imagen inversa de $B$ es el conjunto: $$Im^{-1}[B]=\{y \in Y: \exists x \in A \text{ tal que }(x,y) \in R\}$$

De esta, manera:

$$Im[A]=\{0,6,12,18\},$$ $$ Im^{-1}[B]=\{-6,3,6\}.$$

A continuación, vamos a introducir una última definición de esta entrada, que da la idea intuitiva de juntar distintas relaciones.

Composición de funciones

Ahora, veremos la siguiente relación entre el conjunto de zapatos izquierdos $I$ y conjunto de zapatos derechos $D$:

$$R = \{(x,y) \in I \times D: x \text{ es del mismo color que }y\} $$

Y la relación entre zapatos derechos y el conjunto $P$ de pantalones:

$$ T = \{(x,y) \in D \times P:x \text{ es del mismo color que }y\} $$

Estas relaciones solo nos están juntando colores de prendas, la primera nos junta zapatos del mismo color y la tercera relaciones el color de los zapatos derechos con el del pantalón.

Así que por si ejemplol tuvieramos los colores rojo, amarillo y azul entre zapatos izquierdos, derechos y pantalones, entonces la primera relación tendría al zapato izquierdo rojo $I_R$, el zapato derecho rojo $D_R$ y el pantalón rojo $P_R$, de manera que $(I_R,D_R) \in R \land (D_R,P_R) \in T$. ¿Podemos establecer la conexión entre los zapatos izquierdos y los pantalones? Pues con esta pareja, resulta que de alguna manera el zapato $D_R$ une a los dos elementos mediante dos relaciones distintas. La primera relación tiene como contradominio el conjunto $D$ mientras que la segunda lo tiene como dominio.

De la misma manera, podemos conectar el zapato izquierdo azul $I_A$ con algún pantalón de la siguiente manera:

  1. Notamos que $I_A$ está relacionado con el zapato derecho azul $D_A$ mediante la relación $R$.
  2. Observamos que a su vez el zapato $D_A$ está relacionado con el pantalón azul $P_A$ mediante $T$.

De esta manera, podemos encontrar alguna conexión del zapato $I_A$ al pantalón $P_A$ viendo que hay una relación entre $I_A$ con $D_A$ y de $D_A$ con $P_A$. Así que podríamos definir una relación entre los zapatos izquierdos y los pantalones a través de las relaciones $R$ y $T$. Definamos esta relación como $R \circ T$ de la siguiente manera:

$$T \circ R = \{(x,y) \in I \times P: \exists z \in D \text{ tal que }\big( (x,z) \in R \land (z,y) \in T\big) \} $$

Lo que queremos decir con esta expresión, es que los elementos de la relación $T \circ R$ son los elementos $(x,y)$ de tal forma que existe una forma de conectar $(x,y)$ mediante un elemento $z$ de tal forma que $x$ está relacionado con $y$ mediante la relación $T \circ R$ si existe un elemento $z$ que los conecta, es decir, si existe $z$ en $Im(R) \cap Dom(T)$ de tal forma que $(x,z) \in R$ y $(z,y) \in T$.

Definición. Sean $X,Z,Y$ tres conjuntos, $R$ una relación de $X$ en $Z$ y $T$ una relación de $Z$ en $Y$. La relación composición de $R$ con $T$ es la relación:
$$T \circ R = \{ (x,y) \in X \times Y: \exists z \in Z\big( (x,z) \in R \land (z,y) \in T\big)$$

Veamos ahora un ejemplo de nuevo con los número enteros. Considera la relación que ya habíamos visto anteriormente, dada por: $$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: (x \text{ es múltiplo de 3} )\land (y = 2x) \} $$ Nota ahora, que como dijimos anteriormente, estos son las parejas de la forma $(3n,6n)$ de manera que otra forma de escribir el conjunto es $$R = \{(3n,6n): n \in \mathbb{Z} \} $$.

Ahora considera la siguiente relación $T$:$$T = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x = y+1\}$$

Algunos elementos de esta relación son: $\{(3,2),(7,6),(1,0),(-9,-10)\}$. Gráficamente se ve de la siguiente manera:

Y si te das cuenta, únicamente son los números de la forma $(n+1,n)$. Por lo que podríamos escribir esta relación como $$T = \{(n+1,n): n \in \mathbb{Z} \} $$.

Ahora veamos cómo se ve la composición $T \circ R$. Para ello, tomemos un elemento de la relación $R$. Por ejemplo, $(3,6) \in R$. Ahora notemos que de igual forma, $(6,5)$ pertenece a la relación $T$. De manera que $(3,5) \in T \circ R$. En general, un elemento de la relación $R$ se escribe como $(3n,6n)$, y un elemento de la relación $T$, como dijimos al principio del párrafo, es de la forma $(n+1,n)$ o lo que es lo mismo, $(n,n-1)$. Y enseguida nota que si tomamos un número entero $n$, entonces $(3n,6n) \in R$ y $(6n,6n-1) \in T$. De esta manera, podemos escribir a la composición de $R$ con $T$ como el conjunto: $$ T \circ R = \{(3n,6n-1): n \in \mathbb{Z}\}$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $$R=\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x+y=0\}$$ y la relación$$T=\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x-y=0\}.$$Encuentra:
    • $Dom(R)$
    • $Im(R)$
    • Escribe todos los elementos de $T \circ R$
    • Encuentra $Im[\{1,2,3,4,5\}]$ sobre la relación $R$
    • Encuentra $Im^{-1}[\{-1,-2,-3,-4,-5\}]$ sobre la relación $T$
  2. Demuestra que si $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: (x \text{ es múltiplo de 3} )\land (y = 2x) \} $, entonces $$R = \{(3n,6n): n \in \mathbb{Z} \} $$
  3. La recta $\mathcal{L}$ con pendiente $m$ e intersección $b$ con el eje $y$ en los números enteros es el conjunto: $$\mathcal{L}=\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: mx+b=y\} $$ Encuentra $\mathcal{L_1}\cap \mathcal{L_2}$ donde $\mathcal{L_1}$ es la recta con $m=1,b=0$ y $\mathcal{L_2}$ es la recta con $m=-1,b=2$.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos hablando de las relaciones entre conjuntos y veremos algunos tipos de relaciones especiales que tendrán algunas propiedades interesantes. También hablaremos un poco más de relaciones de un conjunto en sí mismo, este tipo de relaciones ya las hemos visto, sin embargo, veremos más propiedades que pueden cumplir estas. Esto nos servirá para hablar después de órdenes entre conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral I: Concepto de función

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En la unidad anterior desarrollamos todo lo concerniente a los números reales, ahora comenzaremos a ver funciones. Para ello recordemos de nuestros cursos de álgebra cómo se define el producto cartesiano de un par de conjuntos $A$ y $B$:
$$ A\times B := \left\{ (a,b) : a \in A, b \in B \right\},$$
así vemos que sus elementos son pares ordenados.

Por lo que decimos que cualquier subconjunto $R \subseteq A\times B$, es llamado una relación entre $A$ y $B$.

Basándonos en este par de conceptos daremos la definición formal de función entre un par de conjuntos.

Definición de función

Definición (función): Una función $f$ entre los conjuntos $A$ y $B$ es una relación tal que:

  • Para todo $a \in A$ existe $b \in B$ donde $(a,b) \in f$.
  • Si $(a, b_{1}), (a, b_{2})$ entonces $b_{1}= b_{2}$.

Notación:

  • $f : A \rightarrow B$ es una función con dominio $A$ y codominio $B$.
  • $f(a)=b$ es llamada la regla de correspondencia de f.

En resumen, a una función $f : A \rightarrow B$ la conforman tres cosas:

  • Su dominio.
  • Su codominio.
  • Su regla de correspondencia.

El conjunto imagen de una función

Definición (Conjunto imagen): Sea $f : A \rightarrow B$ una función. La imagen de f se define como:
$$Im_{f}:= \left\{ b \in B : \exists a \in A (f(a) =b) \right\}.$$
Simplificado sería:
$$Im_{f}:= \left\{ f(a) \in B : a \in A \right\}.$$

Ejemplo: Sea $f: \r \rightarrow \r$. Si $f(x)=|x|$ entonces $Im_{f}=[0, \infty)$.

Demostración:
$\subseteq )$ Sea $x \in \r$. Vemos que $f(x)= |x|\geq 0$ por lo que $f(x) \in [0, \infty)$.

$\supseteq )$ Tomemos $y \in [0, \infty)$. Debemos probar que existe $x \in \r$ tal que $f(x)= y$.
Sea $x=y \in \r$ con $y \geq 0$. Así se sigue que $f(y)= |y|=y$ por lo que $f(y)=x$.

$\square$

Ejemplo

Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{1-x^{2}}\quad \text{.}$$

Dominio:
Vemos que $y=\sqrt{1-x^{2}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1 \geq x^{2}\\
&\Leftrightarrow 1 \geq |x|\\
\end{align*}
Así concluimos que el dominio es el conjunto:
$$D_{f}= [-1,1]\quad \text{.}$$
Imagen:
Como $x \in [-1,1]$ entonces
\begin{align*}
-1 \leq x \leq 1 &\Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 1\\
&\Leftrightarrow 0 \geq -x^{2} \geq -1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 1-1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1\geq \sqrt{1-x^{2}} \geq 0\\
\end{align*}

Por lo anterior tenemos:
$$Im_{f} = [0,1]\quad \text{.}$$

Ejercicio 1

Encuentra el dominio de la siguiente función:
\begin{equation*} f(x)= \frac{1}{4-x^{2}} \end{equation*}

Vemos que la función está bien definido si y sólo si:
\begin{align*}
4-x^{2} \neq 0 &\Leftrightarrow (2-x)(2+x) \neq 0\\
&\Leftrightarrow x \neq 2 \quad \text{y} \quad x\neq -2
\end{align*}
Por lo que su dominio sería:
$$D_{f}= \r – \left\{-2,2 \right\}\quad \text{.}$$
es decir, todos los reales quitando el $-2$ y el $2$.

Ejercicio 2

Encuentra el dominio de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{x-x^{3}}\quad \text{.}$$

Dominio:
Vemos ahora que para $y=\sqrt{x-x^{3}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow x-x^{3} \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x^{2}) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x)(1+x) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x_{1} \geq 0,\quad x_{2} \leq 1, \quad x_{3} \geq -1
\end{align*}

De las condiciones anteriores vemos que tenemos los siguientes posibles intervalos que cumplen la desigualdad inicial:

  • $(-\infty, -1]$
    Vemos que al sustituir $x= -1 \in (-\infty,-1]$ tenemos que:
    $$-1-(-1)^{3} = -1-(-1)= 0 \geq 0$$
    por lo que se cumple la desigualdad $x-x^{3} \geq 0$.
  • $(-1,0)$
    Tomando $x=-\frac{1}{2}$ vemos que:
    $$-\frac{1}{2} -\left(-\frac{1}{2} \right) ^{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = -\frac{3}{8}$$
    Por lo que no se cumple ser mayor o igual que cero.
  • $[1,0]$
    Ahora si tomamos $x=1$ observamos:
    $$1- 1^{3} =1-1 =0$$
    por lo que cumple la desigualdad.
  • $(1,\infty)$
    Por último si consideramos $x= 2$ ocurre que:
    $$2- (2)^{3} =2-8 =-6$$
    que no cumple la desigualdad.

Del análisis anterior vemos que los intervalos que cumplen con $x-x^{3} \geq 0$ son:
$$(-\infty, -1] \cup [1,0]\quad \text{.}$$
Por lo que el dominio de la función sería:
$$D_{f}=(-\infty, -1] \cup [1,0]\quad \text{.}$$

Gráfica de una función

Definición (gráfica): Sea $f:D_{f} \subseteq \r \rightarrow \r$ Definimos a la grafica de f como el conjunto:
$$ Graf(f)= \left\{ (x,y)\in {\mathbb{R}}^2: x \in D_{f}, \quad y=f(x) \right\},$$
que es equivalente a decir:
$$Graf(f)= \left\{(x, f(x)): x \in D_{f} \right\}\quad \text{.}$$

Ejemplos

  • Para la función constante tenemos:
    $$f(x)=c ,$$
    donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= {c}$.

    Por lo que su gráfica se vería como:
  • Para la función identidad tenemos:
    $$Id(x)=x ,$$
    donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= \r$.

    Así su gráfica se vería:

Tarea moral

A continuación encontrarás una serie de ejercicios que te ayudarán a repasar los conceptos antes vistos:

  • Sea $f: \r \rightarrow \r$. Demuestra que si $f(x)=x^{2}$ entonces $Im_{f}=[0, \infty).$
  • Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{x+1} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= x \sqrt{x^{2}-2} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{-x}+ \frac{1}{\sqrt{x+2}} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{2+x-x^{2}} \end{multline*}$

Más adelante

En la próxima entrada veremos las definiciones relacionadas con las operaciones entre funciones: suma, producto, cociente y composición.

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