Introducción
En esta entrada hablaremos acerca de funciones suprayectivas, este tipo de funciones serán aquellas cuya imagen sea todo el codominio. Tras esto podremos definir el concepto de función biyectiva, este último será de gran utilidad pues haremos uso de él cuando queramos estudiar un conjunto a través de otros conjuntos que tengan la misma cantidad de elementos.
Función suprayectiva
Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si $f[X]=Y$, entonces decimos que $f$ es suprayectiva.
$\square$
Teorema. Sea $f:X\to Y$ una función. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
- $f$ es suprayectiva.
- Para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
- Para cualesquiera $h,k:Y\to Z$ tales que $h\circ f= k\circ f$, se tiene que $h=k$.
Demostración.
$1)\rightarrow 2)$
Supongamos que $f$ es suprayectiva, es decir que $f[X]=Y$. Sea $y\in Y$, entonces $y\in f[X]$ por lo que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. Por lo tanto, para cualquier $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
$2)\rightarrow 3)$
Sean $h,k:Y\to Z$ tales que $h\circ f=k\circ f$. Veamos que $h=k$. Sea $y\in Y$, veamos que $h(y)=k(y)$. Dado que $y\in Y$, por hipótesis tenemos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, por lo que $h(y)= h(f(x))$ y $k(y)= k(f(x))$. Luego, como $(h\circ f)(x)= h(f(x))= k(f(x))= (k\circ f)(x)$, tenemos que $h(y)= k(y)$.
$3)\rightarrow 1)$
Supongamos que $f$ no es suprayectiva en busca de una contradicción. Sean $h: Y\to \set{0}$ y $k: Y\to \set{0,1}$ funciones dadas por $h(y)=0$ para todo $y\in Y$ y
\begin{align*}
k(y) = \left\{ \begin{array}{lcc}
0 & \text{si} & y\in f[X]\\
1 & \text{si} & y \notin f[X] \\
\end{array}
\right.
\end{align*}
respectivamente. Notemos que $k\not=h$ pues dado que $f$ no es suprayectiva, entonces existe $y_0\in Y$ tal que $y_0\notin f[X]$. Así, $h(y_0)=0$ y $k(y_0)=1$, por lo tanto, $h\not=k$.
Sin embargo, veamos que $h\circ f= k\circ f$. Sea $x\in X$, entonces $f(x)\in Y$ y así, $(h\circ f)(x)= h(f(x))=0$ y $(k\circ f)(x)= k(f(x))=0$. Por lo tanto, por hipótesis debe ocurrir que $h=k$, lo cuál es una contradicción con lo encontrado arriba.
Así, $f$ es suprayectiva.
$\square$
Algunas funciones suprayectivas
Ejemplo.
La función identidad es suprayectiva. En efecto, sea $Id_X:X\to X$ la función identidad y sea $y\in X$, entonces existe $y\in X$ tal que $Id_X(y)= y$.
Por lo tanto, $Id_X$ es suprayectiva.
$\square$
Ejemplo.
Sea $X$ un conjunto no vacío y $f:X\to \set{c}$ una función dada por $f(x)=c$ para todo $x\in X$. Tenemos que $f$ es suprayectiva.
En efecto, sea $y\in \set{c}$. Dado que $y\in \set{c}$, entonces $y=c$. Como $X$ no es vacío, existe $x\in X$ y es tal que que $f(x)=c$.
$\square$
Ejemplo.
Sea $X$ un conjunto y $A\subseteq X$ un subconjunto propio de $X$ (distinto de $X$ y no vacío). La función característica de $A$ es una función suprayectiva.
Dado que el codominio de la función característica es el conjunto $\set{0,1}$, deseamos ver que para cualquier $y\in \set{0,1}$ existe $x\in X$ tal que $\chi_A(x)=y$.
Caso 1: Si $y=0$, entonces tomamos $x\in X\setminus A$. Como $x\notin A$, se tiene $\chi_A(x)=0$.
Caso 2: Si $y=1$, entonces tomamos $x\in A$, de modo que $\chi_A(x)=1$.
Por lo tanto, $\chi_A$ es suprayectiva.
$\square$
Composición de funciones y suprayectividad
Así como lo hicimos en la entrada anterior con respecto a la inyectividad, también podemos averiguar qué pasa con la composición de funciones con respecto a la suprayectividad. Tenemos el siguiente teorema.
Teorema. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones suprayectivas, $g\circ f$ es suprayectiva.
Demostración.
Sea $z\in Z$, veamos que existe $x\in X$ tal que $(g\circ f)(x)=z$.
Dado que $g$ es suprayectiva y $z\in Z$, entonces existe $y\in Y$ tal que $g(y)=z$. Luego, como $f$ es suprayectiva y $y\in Y$, entonces existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, así $z=g(y)=g(f(x))$. Por lo tanto, $g\circ f$ es suprayectiva.
$\square$
Funciones biyectivas
Definición. Decimos que $f:X\to Y$ es una función biyectiva si y sólo si $f$ es inyectiva y suprayectiva.
Ejemplo.
La función identidad es biyectiva.
Verificamos en la entrada de funciones inyectivas que la función identidad es una función inyectiva, además de que en esta entrada verificamos que es suprayectiva.
$\square$
Ejemplo.
Sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{2,4,6}$ y sea $f:X\to Y$ la función dada por $f(x)=2x$. Tenemos que $f$ es inyectiva pues es una función uno a uno, es decir, elementos distintos van a dar a elementos distintos. Más explícitamente $1$ va a dar a $2$, $2$ a $4$ y $3$ a $6$.
Además $f$ es suprayectiva, pues para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. En efecto, esto sucede ya que para $2\in Y$ existe $1\in X$ tal que $f(1)=2$; para $4\in Y$ existe $2\in X$ tal que $f(2)=4$ y por último para $6\in Y$ existe $3\in X$ tal que $f(3)=6$.
$\square$
Tarea moral
Realiza la siguiente lista de ejercicios que te ayudará a fortalecer los conceptos de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
- Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones. Demuestra que si $g\circ f$ es suprayectiva, entonces $g$ es suprayectiva.
- Demuestra o da un contraejemplo del siguiente enunciado: Si $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ son funciones tales que $g\circ f$ es suprayectiva, entonces $f$ es suprayectiva.
- Sean $X=\set{1,2,3, \cdots}$ y $Y=\set{3,4,5,\cdots}$ y sea $f:X\to Y$ dada por $f(x)=2x+3$. ¿$f$ es suprayectiva? Argumenta tu respuesta. Quizás a estas alturas tengas que ser un poco informal en términos de teoría de conjuntos, pero usa lo que conoces de las operaciones de números.
Más adelante…
Ahora que aprendimos el concepto de función inyectiva y suprayectiva tenemos las bases suficientes para hablar de funciones invertibles. Veremos funciones invertibles por la derecha e invertibles por la izquierda, cuyos conceptos resultarán equivalentes al de función suprayectiva y función inyectiva respectivamente.
Entradas relacionadas
- Entrada relacionada: Funciones inyectivas y suprayectivas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»